ลิมิตของฟังก์ชันโดยไม่ใช้กฎโลปิตัล เครื่องคิดเลขออนไลน์ การแก้ลิมิต

27.09.2019 | ความงาม

กฎของ L'Hopital และการเปิดเผยความไม่แน่นอน
การเปิดเผยความไม่แน่นอนประเภท "ศูนย์หารด้วยศูนย์" และ "อนันต์หารด้วยอนันต์"
การเปิดเผยความไม่แน่นอนในรูปแบบ "ศูนย์คูณอนันต์"
การเปิดเผยความไม่แน่นอนประเภท "ศูนย์ยกกำลังศูนย์" "อนันต์ยกกำลังศูนย์" และ "หนึ่งยกกำลังอนันต์"
การเปิดเผยความไม่แน่นอนแบบอินฟินิตี้ลบอินฟินิตี้

กฎของ L'Hopital และการเปิดเผยความไม่แน่นอน

การเปิดเผยความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม 0/0 หรือ ∞/∞ และความไม่แน่นอนอื่นๆ ทำได้ง่ายมากโดยใช้กฎ L'Hopital

แก่นแท้ กฎโลจิสติก คือในกรณีที่การคำนวณขีดจำกัดของอัตราส่วนของสองฟังก์ชันให้ความไม่แน่นอนในรูปแบบ 0/0 หรือ ∞/∞ ขีดจำกัดของอัตราส่วนของสองฟังก์ชันสามารถถูกแทนที่ด้วยขีดจำกัดของอัตราส่วนของอนุพันธ์และ ดังนั้นจึงสามารถรับผลลัพธ์ที่แน่นอนได้

โดยทั่วไป กฎของ L'Hopital หมายถึงทฤษฎีบทต่างๆ ที่สามารถถ่ายทอดออกมาเป็นสูตรเดียวต่อไปนี้

กฎของ L'Hopital. ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) และ ช(x) สามารถแยกความแตกต่างได้ในบางย่านของจุด โดยมีข้อยกเว้นที่เป็นไปได้สำหรับจุดเอง และในละแวกนี้

(1)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 หรือ ∞/∞ ขีดจำกัดของอัตราส่วนของสองฟังก์ชันจะเท่ากับขีดจำกัดของอัตราส่วนของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น ถ้าฟังก์ชันหลังมีอยู่ (จำกัดหรืออนันต์)

ในความเท่าเทียมกัน (1) ค่า ซึ่งตัวแปรมีแนวโน้มจะเป็นได้ทั้งจำนวนจำกัด หรืออนันต์ หรือลบอนันต์

ความไม่แน่นอนประเภทอื่นยังสามารถลดลงเป็นความไม่แน่นอนประเภท 0/0 และ ∞/∞

การเปิดเผยความไม่แน่นอนประเภท "ศูนย์หารด้วยศูนย์" และ "อนันต์หารด้วยอนันต์"

ตัวอย่างที่ 1คำนวณ

x=2 นำไปสู่ความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 ดังนั้นเราจึงใช้กฎของ L'Hopital:

ตัวอย่างที่ 2คำนวณ

สารละลาย. ทดแทนใน ฟังก์ชันที่กำหนดค่า x

ตัวอย่างที่ 3คำนวณ

สารละลาย. การแทนค่าในฟังก์ชันค่าที่กำหนด x=0 นำไปสู่ความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 ดังนั้นเราจึงใช้กฎของ L'Hopital:

ตัวอย่างที่ 4คำนวณ

สารละลาย. การแทนค่า x เท่ากับบวกอินฟินิตี้ลงในฟังก์ชันที่กำหนดจะนำไปสู่ความไม่แน่นอนของรูปแบบ ∞/∞ ดังนั้นเราจึงใช้กฎของ L'Hopital:

ความคิดเห็น หากขีดจำกัดของอัตราส่วนของอนุพันธ์มีความไม่แน่นอนในรูปแบบ 0/0 หรือ ∞/∞ ก็จะสามารถใช้กฎ L'Hopital ได้อีกครั้ง เช่น ไปที่ขีด จำกัด ของอัตราส่วนของอนุพันธ์อันดับสอง ฯลฯ

ตัวอย่างที่ 5คำนวณ

สารละลาย. เราพบว่า

ที่นี่ใช้กฎของ L'Hospital สองครั้ง เนื่องจากทั้งขีดจำกัดของอัตราส่วนของฟังก์ชันและขีดจำกัดของอัตราส่วนของอนุพันธ์ให้ความไม่แน่นอนของรูปแบบ ∞/∞

ตัวอย่างที่ 6คำนวณ

คำแนะนำ

การคำนวณลิมิตโดยตรงนั้นเชื่อมต่อกัน อย่างแรกคือ ลิมิตของตรรกยะ Qm(x)/Rn(x) โดยที่ Q และ R เป็นพหุนาม หากคำนวณขีดจำกัดที่ x → a (a คือตัวเลข) ความไม่แน่นอนอาจเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น หากต้องการกำจัด ให้นำเศษและส่วนมาหารด้วย (x-a) ทำซ้ำการดำเนินการจนกว่าความไม่แน่นอนจะหายไป การแบ่งพหุนามนั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกับการหารตัวเลข มันขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าการหารและการคูณเป็นการดำเนินการผกผัน ตัวอย่างแสดงในรูปที่ 1.

การประยุกต์ใช้ขีด จำกัด ที่น่าทึ่งแรก สูตรสำหรับขีด จำกัด ที่น่าทึ่งแรกแสดงในรูปที่ 2a หากต้องการใช้ ให้นำนิพจน์ตัวอย่างของคุณไปใส่ในแบบฟอร์มที่เหมาะสม สิ่งนี้สามารถทำได้โดยใช้พีชคณิตล้วนๆ หรือโดยการเปลี่ยนตัวแปร สิ่งสำคัญ - อย่าลืมว่าถ้าไซน์มาจาก kx ตัวส่วนก็คือ kx ด้วย ตัวอย่างแสดงในรูปที่ 2e นอกจากนี้ หากเราคำนึงถึงว่า tgx=sinx/cosx, cos0=1 ดังนั้น จึงปรากฏขึ้น (ดูรูปที่ 2b) arcsin(sinx)=x และ arctg(tgx)=x ดังนั้นจึงมีผลตามมาอีกสองประการ (รูปที่ 2c และ 2d) มีวิธีการที่หลากหลายพอสมควร

การใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งที่สอง (ดูรูปที่ 3a) ขีดจำกัดประเภทนี้ใช้เพื่อกำจัดประเภท ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้อง เพียงแค่แปลงเงื่อนไขเป็นโครงสร้างที่สอดคล้องกับประเภทของขีดจำกัด โปรดจำไว้ว่าเมื่อเพิ่มพลัง นิพจน์ที่อยู่ในพลังนั้นจะถูกคูณ อันที่เกี่ยวข้องแสดงในรูปที่ 2e ใช้การแทนที่ α=1/x และรับผลที่ตามมาของขีดจำกัดที่น่าทึ่งที่สอง (รูปที่ 2b) เมื่อใช้ลอการิทึมในฐาน a ทั้งสองส่วนของผลสรุปนี้ คุณจะมาถึงผลสรุปที่สองในและด้วย a \u003d e (ดูรูปที่ 2c) ทำการแทนค่า a^x-1=y จากนั้น x=log(a)(1+y) เมื่อ x มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ y ก็มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เช่นกัน ดังนั้นผลที่สามจึงเกิดขึ้น (ดูรูปที่ 2d)

การประยุกต์สมมูลของ infinitesimals ฟังก์ชันเล็ก ๆ ที่ไม่สิ้นสุดจะเทียบเท่ากับ x → a ถ้าลิมิตของอัตราส่วน α(x)/γ(x) เท่ากับหนึ่ง เมื่อคำนวณลิมิตโดยใช้ค่าเล็กน้อย ให้เขียน γ(x)=α(x)+o(α(x)) o(α(x)) มีค่ามากกว่าเล็กน้อย ลำดับสูงความเล็กกว่า α(x) เพราะมัน lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0 หากต้องการทราบความเท่าเทียมกันให้ใช้สิ่งที่ยอดเยี่ยมเหมือนกัน ขีด จำกัด. วิธีนี้ช่วยให้คุณลดความซับซ้อนของกระบวนการได้อย่างมาก ทำให้โปร่งใสมากขึ้น

แหล่งที่มา:

Shipachev VS. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น. โพรซี สำหรับมหาวิทยาลัย - แก้ไขครั้งที่ 3 ลบแล้ว - ม.: สูงกว่า. โรงเรียน 2539 - 496 น.: ป่วย

ฟังก์ชันเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ของเธอ จำกัดคือค่าที่อาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเกี่ยวกับ จำกัดค่า. สามารถคำนวณได้โดยใช้เทคนิคบางอย่าง เช่น กฎแบร์นูลลี-โลปิตาล

คำแนะนำ

การคำนวณ จำกัดที่จุด x0 ที่กำหนด ค่าอาร์กิวเมนต์นี้ควรถูกแทนที่ในนิพจน์ฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมาย lim ไม่จำเป็นเลยที่พื้นที่นี้เป็นของ จำกัดการทำงาน. ถ้า จำกัดอ จำกัดเท่ากับเลขหลักเดียว จึงเรียกฟังก์ชันนั้นว่าลู่เข้า ถ้าเขาไม่สามารถ จำกัด en หรืออนันต์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง จากนั้นความคลาดเคลื่อน

วิธีแก้ไข แทนค่า x = -2:lim (x² - 6 x - 14) / (2 x² + 3 x - 6) = -1/2 ลงในนิพจน์

วิธีแก้ปัญหานั้นไม่ได้ชัดเจนและเรียบง่ายเสมอไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากการแสดงออกยุ่งยากเกินไป ในกรณีนี้ ขั้นแรกคุณควรลดความซับซ้อน การจัดกลุ่ม หรือการแทนที่ตัวแปร: lim_(x→-8) (10 x - 1)/(2 x + ∛x) = [y= ∛x] = lim_(y→- 2) (10 y³ - 1) / (2 y³ + y) \u003d 9/2

บ่อยครั้งที่สถานการณ์ที่เป็นไปไม่ได้เกี่ยวกับ จำกัดเอนิยา จำกัดก โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดหรือเป็นศูนย์ การเปลี่ยนตัวไม่นำมาซึ่งผลลัพธ์ที่คาดหวังซึ่งนำไปสู่ จำกัดค่าของแบบฟอร์มหรือ [∞/∞] จากนั้นใช้ L'Hospital-Bernoulli ซึ่งเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง ตัวอย่างเช่น คำนวณ จำกัดลิม (x² - 5 x -14) / (2 x² + x - 6) กับ x → -2

Solution.lim (x² - 5 x -14) / (2 x² + x - 6) =

ค้นหาอนุพันธ์: ลิม (2 x - 5) / (4 x + 1) = 9/7

lim (sinx/x) = 1 เป็น x → 0 ตรงกันข้ามจะเป็นจริงด้วย: lim (x/sinx) = 1; x → 0 อาร์กิวเมนต์อาจเป็นสิ่งก่อสร้างใด ๆ สิ่งสำคัญคือค่าของมันมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์: lim (x³ - 5 x² + x) / sin(x³ - 5 x² + x) = 1; x → 0

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

ทฤษฎี ขีด จำกัดเป็นพื้นที่ที่ค่อนข้างกว้างของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แนวคิดนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันและเป็นการสร้างองค์ประกอบสามอย่าง: การกำหนดลิม นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายจำกัด และค่าจำกัดของอาร์กิวเมนต์

คำแนะนำ

ในการคำนวณลิมิต คุณต้องใช้ฟังก์ชันที่เท่ากับ ณ จุดที่ตรงกับค่าลิมิตของอาร์กิวเมนต์ ในบางกรณี ตัวแปรนี้ไม่มีคำตอบสุดท้าย และการแทนที่ค่าที่ตัวแปรมีแนวโน้มจะเป็นรูปแบบ "ศูนย์คูณศูนย์" หรือ "อนันต์ด้วยอนันต์" ในกรณีนี้ ใช้ได้ โดย Bernoulli และ L'Hopital ซึ่งหมายถึงการหาอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่ง

เช่นเดียวกับคณิตศาสตร์อื่นๆ ลิมิตอาจมีนิพจน์ฟังก์ชันอยู่ใต้เครื่องหมาย ซึ่งยุ่งยากเกินไปหรือไม่สะดวกสำหรับการแทนที่อย่างง่าย จากนั้นจำเป็นต้องทำให้มันง่ายขึ้นก่อน โดยใช้วิธีปกติ การจัดกลุ่ม การถอดปัจจัยร่วมและเปลี่ยนตัวแปร ซึ่งค่าจำกัดของอาร์กิวเมนต์ก็เปลี่ยนไปด้วย

คุณโชคดี การแสดงออกของฟังก์ชันสมเหตุสมผลเมื่อพิจารณาจากค่าจำกัดของอาร์กิวเมนต์ นี่เป็นกรณีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณขีดจำกัด ตอนนี้แก้ปัญหาต่อไปนี้ซึ่งเกี่ยวข้องกับแนวคิดที่ไม่ชัดเจนของอนันต์: lim_(x→∞) (5 - x)

กฎ Bernoulli-L'Hopital: lim_(x→-2) (x^5 - 4 x³)/(x³ + 2 x²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = ระบุความแตกต่างของนิพจน์ฟังก์ชัน: ลิม (5 x^4 - 12 x²) / (3 x² + 4 x) = (5 16 - 12 4) / (3 4 - 8) = 8

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร: lim_(x→125) (x + 2 ∛x)/(x + 5) = = lim_(y→5) (y³ + 2 y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/ (125 + 5) = 27/26.

อักษรกรีกπ (pi, pi) มักจะแสดงเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง นี้ ตัวเลขเดิมปรากฏในงานเขียนของ geometers โบราณ ต่อมากลายเป็นสิ่งสำคัญมากในสาขาคณิตศาสตร์มากมาย ดังนั้นจึงต้องสามารถคำนวณได้

คำแนะนำ

π - ไม่ลงตัว ตัวเลข. นั่นคือไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มและตัวส่วนได้ ยิ่งกว่านั้น π อยู่เหนือธรรมชาติ ตัวเลขนั่นคือไม่สามารถให้บริการใด ๆ สมการพีชคณิต. ดังนั้นจึงไม่สามารถเขียนค่าที่แน่นอนของจำนวน π ได้ อย่างไรก็ตาม มีวิธีการคำนวณด้วยระดับความแม่นยำที่ต้องการ

คนโบราณที่ใช้โดย geometers ของกรีกและอียิปต์กล่าวว่า π มีค่าเท่ากับ รากที่สองจาก 10 หรือเศษ 256/81 แต่สูตรเหล่านี้ให้ค่า π เท่ากับ 3.16 ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่เพียงพอ

ด้วยการพัฒนาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และสาขาวิชาคณิตศาสตร์ใหม่อื่นๆ นักวิทยาศาสตร์จึงมีทางเลือก เครื่องมือใหม่- ชุดไฟ Gottfried Wilhelm Leibniz ค้นพบในปี 1674 ว่าชุด
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
บรรจบกันในลิมิตเท่ากับ π/4 การคำนวณผลรวมนี้ทำได้ง่าย แต่ต้องใช้หลายขั้นตอนเพื่อให้ได้ความแม่นยำเพียงพอ เนื่องจากอนุกรมจะบรรจบกันช้ามาก

ต่อจากนั้น มีการค้นพบอนุกรมกำลังอื่นๆ ที่ทำให้สามารถคำนวณ π ได้เร็วกว่าการใช้อนุกรมไลบ์นิซ ตัวอย่างเช่น เป็นที่ทราบกันว่า tg(π/6) = 1/√3 ดังนั้น arctg(1/√3) = π/6
ฟังก์ชันอาร์คแทนเจนต์ถูกขยายเป็นอนุกรมกำลัง และสำหรับค่าที่กำหนด เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
ด้วยสูตรนี้และสูตรอื่นที่คล้ายคลึงกัน ตัวเลขπ ถูกคำนวณให้อยู่ในตำแหน่งทศนิยมหลายล้านตำแหน่งแล้ว

บันทึก

มีหลายวิธีในการคำนวณ pi วิธีที่ง่ายที่สุดและเข้าใจได้มากที่สุดคือวิธีการแบบตัวเลขของ Monte Carlo ซึ่งสาระสำคัญจะลดลงเหลือการแจกแจงจุดที่ง่ายที่สุดในพื้นที่ y สองเท่า=รัศมี*รัศมี-x*x; กลับ y; ) โปรแกรมจะแสดงค่าของ Pi ขึ้นอยู่กับรัศมีและจำนวนจุด สิ่งเดียวที่เหลือสำหรับผู้อ่านคือการคอมไพล์เองและเรียกใช้ด้วยพารามิเตอร์ที่เขาต้องการ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

แต่นักวิทยาศาสตร์ที่ไม่รู้จักเหน็ดเหนื่อยยังคงคำนวณตำแหน่งทศนิยมของ pi ต่อไป ซึ่งจริงๆ แล้วเป็นงานที่ไม่สำคัญ เพราะคุณไม่สามารถคำนวณมันในคอลัมน์ได้: ตัวเลขไม่ได้เป็นเพียงจำนวนอตรรกยะเท่านั้น แต่ยังเป็นอตรรกยะอีกด้วย (สิ่งเหล่านี้เป็นเพียง ตัวเลขดังกล่าวที่ไม่ได้คำนวณด้วยสมการง่ายๆ) นักวิทยาศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยโตเกียวสามารถสร้างสถิติโลกในการคำนวณจำนวน pi ได้ถึง 12411 ล้านล้านเครื่องหมาย

แหล่งที่มา:

ประวัติพี่

วิธีการทางคณิตศาสตร์ประยุกต์ใช้ในศาสตร์หลายแขนง ข้อความนี้เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์โดยเฉพาะ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราคำนวณที่สอง อนุพันธ์ฟังก์ชันระยะทางจากตัวแปรเวลาสามารถหาความเร่งของจุดวัสดุได้

คำแนะนำ

กฎและวิธีการแยกความแตกต่างจะถูกรักษาไว้สำหรับอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า สิ่งนี้ใช้กับฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่าง การดำเนินการของการบวกและการหาร รวมถึงฟังก์ชันที่ซับซ้อนของรูปแบบ u(g(x)): u’ = C’ = 0 เป็นอนุพันธ์ของค่าคงที่ u’ = x’ = 1 เป็นอาร์กิวเมนต์ที่ง่ายที่สุด คุณ' = (x^a)' = a x^(a-1); คุณ' = (a^x)' = a^x ln a - ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง;

การดำเนินการเลขคณิตของคู่ฟังก์ชัน u(x) และ g(x): (u + g)' = u' + g'; (u g)' = u' g + g' u; (u/g)' = (u' g – g' u)/g²

วินาทีที่ค่อนข้างยาก อนุพันธ์ ฟังก์ชันที่ซับซ้อน. สำหรับวิธีนี้ วิธีการหาค่าความแตกต่างเชิงตัวเลข แม้ว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าประมาณ แต่ก็มีข้อผิดพลาดในการประมาณค่าที่เรียกว่า α: u''(x) = (u(x + h) - 2 u(x) + u(x - h) ) / h² + α (h²) - พหุนามการประมาณค่าของนิวตัน; – 2 ชั่วโมง))/(12 h²) + α(h²) – Strilling

ในสูตรเหล่านี้มีค่าที่แน่นอน h เรียกว่าการประมาณค่า ซึ่งตัวเลือกจะต้องเหมาะสมที่สุดเพื่อลดข้อผิดพลาดในการคำนวณให้เหลือน้อยที่สุด การเลือก ค่าที่ถูกต้อง h เรียกว่า ระเบียบแบบขั้น: |u(х + h) – u(х)| > ε โดยที่ ε มีค่าน้อยมาก

วิธีการคำนวณอนุพันธ์อันดับสองจะใช้เมื่อ ความแตกต่างทั้งหมดการสั่งซื้อครั้งที่สอง. ในเวลาเดียวกัน มีการคำนวณแบบส่วนตัวสำหรับแต่ละอาร์กิวเมนต์และมีส่วนร่วมในนิพจน์สุดท้ายในฐานะตัวประกอบของดิฟเฟอเรนเชียล dx, dy ฯลฯ ที่สอดคล้องกัน: /∂zd²z

ตัวอย่าง: ค้นหาที่สอง อนุพันธ์ฟังก์ชัน u \u003d 2 x บาป x - 7 x³ + x ^ 5 / tg x

คำตอบ u' = 2 sin x + 2 x cos x - 21 x² + 5 x^4/tg x - x² / sin² x; u'' = 4 cos x - 2 x sin x - 42 x + 20 x³ / tg x - 5 x ^ 4 / sin² x - 2 x / sin² x + 2 x² cos x / sin³ x

วิธีการของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ใช้ในการศึกษาธรรมชาติของพฤติกรรม ฟังก์ชั่นในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่เฉพาะแอปพลิเคชันของพวกเขา แต่มักจำเป็นต้องค้นหา อนุพันธ์ในการคำนวณค่าลิมิตในทางเศรษฐศาสตร์ ในการคำนวณความเร็วหรือความเร่งในวิชาฟิสิกส์

คำแนะนำ

ความไม่แน่นอนของรูปแบบ [∞-∞] จะถูกเปิดเผยหากความแตกต่างของเศษส่วนใดๆ มีความหมาย นำความแตกต่างนี้มาเป็นตัวส่วนร่วม คุณจะได้อัตราส่วนของฟังก์ชัน

ความไม่แน่นอนของประเภท 0^∞, 1^∞, ∞^0 เกิดขึ้นในการคำนวณประเภท p(x)^q(x) ในกรณีนี้จะใช้ความแตกต่างล่วงหน้า จากนั้นขีดจำกัดที่ต้องการ A จะอยู่ในรูปของผลคูณ โดยอาจมีตัวส่วนสำเร็จรูป ถ้าไม่เช่นนั้นคุณสามารถใช้วิธีการของตัวอย่างที่ 3 ได้ สิ่งสำคัญคืออย่าลืมเขียนคำตอบสุดท้ายในรูปแบบ e^A (ดูรูปที่ 5)

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

แหล่งที่มา:

คำนวณลิมิตของฟังก์ชันโดยไม่ใช้กฎโลปิตัลในปี 2019

คำแนะนำ

ขีดจำกัดคือตัวเลขที่ตัวแปร ตัวแปร หรือค่าของนิพจน์มีแนวโน้ม โดยปกติแล้วตัวแปรหรือฟังก์ชันจะมีค่าเป็นศูนย์หรือค่าอนันต์ ที่ขีด จำกัด เป็นศูนย์ ปริมาณจะถือว่าน้อยมาก กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปริมาณที่แปรผันและเข้าใกล้ศูนย์เรียกว่า น้อยนิด ถ้ามันมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด มันจะเรียกว่าไม่มีที่สิ้นสุด มักจะเขียนเป็น:
ลิมx=+∞

มีคุณสมบัติหลายประการ ซึ่งบางส่วนได้แก่ ด้านล่างนี้คือรายการหลัก
- หนึ่งค่ามีขีดจำกัดเดียวเท่านั้น

ลิมิตของค่าคงที่เท่ากับค่าของค่าคงที่นี้

ผลรวมลิมิตจะเท่ากับผลรวมของลิมิต: lim(x+y)=lim x + lim y;

ลิมิตของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของลิมิต: lim(xy)=lim x * lim y

สามารถนำปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายจำกัด: lim(Cx) = C * lim x โดยที่ C=const;

ลิมิตของผลหารจะเท่ากับผลหารของลิมิต: lim(x/y)=lim x / lim y

ในปัญหาเกี่ยวกับลิมิตมีทั้งนิพจน์ที่เป็นตัวเลขและนิพจน์เหล่านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งอาจมีลักษณะดังต่อไปนี้:
limxn=a (เป็น n→∞)
ด้านล่างนี้คือขีดจำกัดที่ไม่ซับซ้อน:
ลิม3n +1 /n+1

n→∞
ในการแก้ลิมิตนี้ ให้นำนิพจน์ทั้งหมดไปหารด้วย n หน่วย เป็นที่ทราบกันดีว่าหากหน่วยหารด้วยปริมาณ n→∞ ลงตัว ขีดจำกัด 1/n จะเท่ากับศูนย์ บทสนทนายังเป็นจริง: ถ้า n→0 แล้ว 1/0=∞ หารตัวอย่างทั้งหมดด้วย n เขียนในรูปแบบด้านล่างและรับ:
ลิม3+1/n/1+1/n=3

เมื่อแก้ไขขีดจำกัด ผลลัพธ์อาจเกิดขึ้นที่เรียกว่าความไม่แน่นอน ในกรณีดังกล่าว ให้ปฏิบัติตามกฎของ L'Hospital ในการทำเช่นนี้ จะมีการสร้างฟังก์ชันซ้ำๆ ซึ่งจะทำให้ตัวอย่างอยู่ในรูปที่สามารถแก้ไขได้ ความไม่แน่นอนมีสองประเภท: 0/0 และ ∞/∞ ตัวอย่างที่มีความไม่แน่นอนอาจมีลักษณะดังนี้:
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

การคำนวณวงเงิน ฟังก์ชั่น- รากฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ซึ่งอุทิศให้กับหลาย ๆ หน้าในตำราเรียน อย่างไรก็ตามบางครั้งไม่เพียง แต่คำจำกัดความเท่านั้น แต่ยังไม่ชัดเจนถึงสาระสำคัญของขีด จำกัด การพูด ภาษาธรรมดาขีด จำกัด คือการประมาณของตัวแปรหนึ่งที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรอื่นสำหรับค่าเดียวเฉพาะเมื่อปริมาณอื่น ๆ เปลี่ยนแปลง สำหรับการคำนวณที่ประสบความสำเร็จ ก็เพียงพอแล้วที่จะจำอัลกอริทึมการแก้ปัญหาง่ายๆ

เครื่องคิดเลขคณิตศาสตร์ออนไลน์นี้จะช่วยคุณได้หากต้องการ คำนวณขีด จำกัด ของฟังก์ชัน. โปรแกรม จำกัด โซลูชั่นไม่เพียงแต่ให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังนำไปสู่ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดพร้อมคำอธิบาย, เช่น. แสดงความคืบหน้าของการคำนวณวงเงิน

โปรแกรมนี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายในการเตรียมตัว ควบคุมการทำงานและการสอบเมื่อทดสอบความรู้ก่อนสอบผู้ปกครองจะควบคุมการแก้ปัญหาต่าง ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างติวเตอร์หรือซื้อหนังสือเรียนใหม่? หรือคุณแค่ต้องการทำให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? การบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิต? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด

ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมของคุณเองและ/หรือฝึกอบรมน้องชายหรือน้องสาวของคุณได้ ในขณะที่ระดับการศึกษาในสาขางานที่ต้องแก้ไขจะเพิ่มขึ้น

ป้อนนิพจน์ฟังก์ชัน
คำนวณวงเงิน

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชหน้า

คุณปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ
ต้องเปิดใช้งาน JavaScript เพื่อให้โซลูชันปรากฏขึ้น
นี่คือคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีเปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ

เพราะ มีคนจำนวนมากที่ต้องการแก้ปัญหาคำขอของคุณอยู่ในคิว
หลังจากนั้นไม่กี่วินาที วิธีแก้ไขจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มข้อเสนอแนะ
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจอะไร ป้อนในฟิลด์.

เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

ลิมิตของฟังก์ชันที่ x-> x 0

ให้ฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดในเซต X และให้จุด $x_0 \in X $ หรือ $x_0 \notin X $

รับจาก X ลำดับของจุดอื่นที่ไม่ใช่ x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., xn , ... (1)
บรรจบกับ x* ค่าฟังก์ชันที่จุดของลำดับนี้ยังสร้างลำดับตัวเลข
ฉ(x 1), ฉ(x 2), ฉ(x 3), ..., ฉ(x n), ... (2)
และสามารถตั้งคำถามถึงการมีอยู่ของขีดจำกัดของมันได้

คำนิยาม. จำนวน A เรียกว่าขีด จำกัด ของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x \u003d x 0 (หรือที่ x -> x 0) หากสำหรับลำดับใด ๆ (1) ของค่าของอาร์กิวเมนต์ x ที่ลู่เข้า x 0 ซึ่งแตกต่างจาก x 0 ลำดับที่สอดคล้องกัน (2) ของฟังก์ชันค่าลู่เข้าที่เลข A

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

ฟังก์ชัน f(x) สามารถมีลิมิตที่จุด x 0 ได้เพียงหนึ่งลิมิต นี้เป็นไปตามข้อเท็จจริงที่ว่าลำดับ
(f(xn)) มีลิมิตเดียวเท่านั้น

มีคำจำกัดความอื่นของลิมิตของฟังก์ชัน

คำนิยามจำนวน A เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x = x 0 ถ้าสำหรับจำนวนใดๆ $\varepsilon > 0 $ มีจำนวน $\delta > 0 $ เช่นนั้นสำหรับ \ ทั้งหมด (x \in X, \; x \neq x_0 \) ตอบสนองอสมการ $|x-x_0| โดยใช้สัญลักษณ์ตรรกะ นิยามนี้สามารถเขียนเป็น
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| โปรดทราบว่าอสมการ \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| คำจำกัดความแรกขึ้นอยู่กับแนวคิดของขีดจำกัดของลำดับตัวเลข ดังนั้น จึงมักเรียกว่าคำจำกัดความ "ภาษาลำดับ" คำจำกัดความที่สองเรียกว่า "\(\varepsilon - \delta $" คำนิยาม.
คำจำกัดความของลิมิตของฟังก์ชันทั้งสองนี้เทียบเท่ากัน และคุณสามารถใช้อย่างใดอย่างหนึ่งก็ได้ แล้วแต่ว่าจะสะดวกกว่าสำหรับการแก้ปัญหาใดปัญหาหนึ่ง

โปรดทราบว่าคำจำกัดความของลิมิตของฟังก์ชัน "ในภาษาของลำดับ" เรียกอีกอย่างว่าคำจำกัดความของลิมิตของฟังก์ชันตาม Heine และนิยามของลิมิตของฟังก์ชัน "ในภาษา $\varepsilon - \delta $" เรียกอีกอย่างว่าคำจำกัดความของลิมิตของฟังก์ชันตาม Cauchy

ลิมิตของฟังก์ชันที่ x->x 0 - และที่ x->x 0 +

ต่อไปนี้ เราจะใช้แนวคิดเกี่ยวกับขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชัน ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้

คำนิยามจำนวน A เรียกว่าลิมิตขวา (ซ้าย) ของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x 0 ถ้าสำหรับลำดับใดๆ (1) บรรจบกับ x 0 ซึ่งองค์ประกอบ xn มากกว่า (น้อยกว่า) x 0 , ลำดับที่สอดคล้องกัน (2) บรรจบกับ A

มันเขียนเป็นสัญลักษณ์ดังนี้:
$$ \lim_(x \ถึง x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

เราสามารถให้คำจำกัดความเทียบเท่าของขีดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชัน "ในภาษา $\varepsilon - \delta $":

คำนิยามจำนวน A เรียกว่าลิมิตขวา (ซ้าย) ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 ถ้าสำหรับ $\varepsilon > 0 $ ใดๆ มีอยู่ $\delta > 0 $ เช่นนั้นสำหรับ x ทั้งหมดเป็นที่น่าพอใจ ความไม่เท่าเทียมกัน \(x_0 รายการสัญลักษณ์:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

การเปิดเผยความไม่แน่นอนของแบบ 0/0 หรือ ∞/∞ และความไม่แน่นอนอื่นๆ ที่เกิดขึ้นในการคำนวณ จำกัดความสัมพันธ์ของฟังก์ชันเล็กหรือใหญ่น้อยสองฟังก์ชันนั้นง่ายขึ้นอย่างมากด้วยความช่วยเหลือของกฎของโรงพยาบาล L'Hospital (อันที่จริงแล้วกฎสองข้อและข้อสังเกตเกี่ยวกับฟังก์ชันเหล่านี้)

แก่นแท้ กฎของ L'Hospital คือในกรณีที่การคำนวณลิมิตอัตราส่วนของฟังก์ชันเล็กหรือใหญ่อนันต์สองตัวให้ความไม่แน่นอนในรูปแบบ 0/0 หรือ ∞/∞ ลิมิตของอัตราส่วนของสองฟังก์ชันสามารถแทนที่ด้วยลิมิตของ อัตราส่วนของพวกเขา อนุพันธ์และทำให้ได้ผลลัพธ์ที่แน่นอน

มาดูการกำหนดกฎของ L'Hopital กัน

กฎของ L'Hopital สำหรับกรณีของลิมิตของค่าที่น้อยมากสองค่า. ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) และ ช(x กกและในละแวกนี้ ช"(x กเท่ากันและเท่ากับศูนย์

().

กฎของ L'Hôpital ในกรณีของขีดจำกัดของปริมาณที่มากอย่างไม่จำกัดสองปริมาณ. ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) และ ช(x) มีความแตกต่างกันในบางพื้นที่ใกล้เคียงของจุด กด้วยข้อยกเว้นที่เป็นไปได้ กและในละแวกนี้ ช"(x)≠0 และถ้าและถ้าลิมิตของฟังก์ชันเหล่านี้เป็น x มีแนวโน้มที่จะมีค่าของฟังก์ชันที่จุด กเท่ากันและเท่ากับอนันต์

(),

แล้วลิมิตของอัตราส่วนของฟังก์ชันเหล่านี้จะเท่ากับลิมิตของอัตราส่วนของอนุพันธ์

().

หมายเหตุ.

1. กฎของ L'Hopital ยังใช้บังคับเมื่องานต่างๆ ฉ(x) และ ช(x) ไม่ได้กำหนดไว้ที่ x = ก.

2. ถ้าเมื่อคำนวณขีด จำกัด ของอัตราส่วนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) และ ช(x) เราพบความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 หรือ ∞/∞ อีกครั้ง ดังนั้นควรใช้กฎของ L'Hopital ซ้ำๆ (อย่างน้อยสองครั้ง)

3. กฎของ L'Hopital ยังใช้ได้เมื่ออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน (x) มีแนวโน้มที่จะเป็นจำนวนไม่จำกัด ก, และไม่มีที่สิ้นสุด ( x → ∞).

ความไม่แน่นอนประเภทอื่นยังสามารถลดลงเป็นความไม่แน่นอนประเภท 0/0 และ ∞/∞

การเปิดเผยความไม่แน่นอนประเภท "ศูนย์หารด้วยศูนย์" และ "อนันต์หารด้วยอนันต์"

ตัวอย่างที่ 1

x=2 นำไปสู่ความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 ดังนั้นอนุพันธ์ของแต่ละฟังก์ชันจึงได้รับ

ในตัวเศษมีการคำนวณอนุพันธ์ของพหุนามและในตัวส่วน - อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมเชิงซ้อน. ก่อนเครื่องหมายเท่ากับสุดท้าย ตามปกติ จำกัดแทน deuce แทน x

ตัวอย่างที่ 2คำนวณลิมิตของอัตราส่วนของสองฟังก์ชันโดยใช้กฎของ L'Hospital:

สารละลาย. การแทนค่าในฟังก์ชันค่าที่กำหนด x

ตัวอย่างที่ 3คำนวณลิมิตของอัตราส่วนของสองฟังก์ชันโดยใช้กฎของ L'Hospital:

สารละลาย. การแทนค่าในฟังก์ชันค่าที่กำหนด x=0 นำไปสู่ความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 ดังนั้นเราจึงคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันในตัวเศษและตัวส่วน และรับ:

ตัวอย่างที่ 4คำนวณ

ความคิดเห็น เรามาต่อกันที่ตัวอย่างซึ่งต้องใช้กฎ L'Hopital สองครั้ง นั่นคือ มาถึงขีดจำกัดของอัตราส่วนของอนุพันธ์อันดับสอง เนื่องจากขีดจำกัดของอัตราส่วนของอนุพันธ์อันดับหนึ่งคือความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 หรือ ∞/∞