สามเหลี่ยมเฉียบพลันตามอำเภอใจ คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยม

เลือกหมวดหมู่ หนังสือ คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ การควบคุมการเข้าถึงและการจัดการ ความปลอดภัยจากอัคคีภัย ซัพพลายเออร์อุปกรณ์ที่มีประโยชน์ เครื่องมือวัด การวัดความชื้น - ซัพพลายเออร์ในสหพันธรัฐรัสเซีย สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R22 - ไดฟลูออโรคลอโรมีเทน (CF2ClH) สารทำความเย็น (สารทำความเย็น) R32 - ไดฟลูออโรมีเทน (CH2F2) รูปทรงเรขาคณิต คุณสมบัติ สูตร: เส้นรอบวง พื้นที่ ปริมาตร ความยาว สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม เป็นต้น องศาเป็นเรเดียน อินเตอร์เฟซการเชื่อมต่อ การแสดงกราฟิกทั่วไปในโครงการทำความร้อน การระบายอากาศ การปรับอากาศ และการทำความร้อนและความเย็น ตามมาตรฐาน ANSI/ASHRAE 134-2005 ปริมาณไฟฟ้าและแม่เหล็ก โมเมนต์ไดโพลไฟฟ้า

การกำหนดมาตรฐาน

สามเหลี่ยมที่มีจุดยอด ก, บีและ คถูกกำหนดให้เป็น (ดูรูป) สามเหลี่ยมมีสามด้าน:

ความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมระบุด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก (a, b, c):

สามเหลี่ยมมีมุมดังต่อไปนี้:

ค่ามุมที่จุดยอดที่สอดคล้องกันจะแสดงด้วยตัวอักษรกรีกแบบดั้งเดิม (α, β, γ)

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมบนระนาบยูคลิดสามารถกำหนดได้โดยไม่ซ้ำกัน (ขึ้นอยู่กับความสอดคล้อง) โดยองค์ประกอบพื้นฐานสามประการต่อไปนี้:

1. a, b, γ (ความเท่าเทียมกันของทั้งสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างทั้งสอง);
2. a, β, γ (ความเท่าเทียมกันที่ด้านข้างและสองมุมที่อยู่ติดกัน);
3. a, b, c (ความเท่าเทียมกันทั้งสามด้าน)

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

1. ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก;
2. สองขา;
3. ตามขาและมุมแหลม
4. ตามแนวด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

จุดบางจุดในสามเหลี่ยมมี "คู่กัน" ตัวอย่างเช่น มีสองจุดที่มองเห็นทุกด้านที่มุม 60° หรือมุม 120° พวกเขาถูกเรียกว่า จุดตอร์ริเชลลี- นอกจากนี้ยังมีจุดสองจุดที่เส้นโครงด้านข้างอยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยมปกติ นี้ - คะแนนอพอลโลเนียส- คะแนนและสิ่งดังกล่าวเรียกว่า คะแนนโบรการ์ด.

โดยตรง

ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ จุดศูนย์ถ่วง จุดออร์โธเซนเตอร์ และจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้นอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่า เส้นออยเลอร์.

เส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดเลมอยน์เรียกว่า แกนโบรการ์ด- มีจุด Apollonius อยู่บนนั้น จุดของตอร์ริเชลลีและจุดของเลมอยน์ก็อยู่ในเส้นเดียวกันเช่นกัน ฐานของเส้นแบ่งครึ่งภายนอกของมุมของรูปสามเหลี่ยมอยู่บนเส้นตรงเดียวกันเรียกว่า แกนของเส้นแบ่งครึ่งภายนอก- จุดตัดของเส้นที่มีด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากกับเส้นที่มีด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมก็อยู่บนเส้นเดียวกันเช่นกัน เส้นนี้เรียกว่า แกนตั้งฉากจะตั้งฉากกับเส้นตรงออยเลอร์

หากเราหาจุดบนเส้นรอบวงของสามเหลี่ยม แล้วส่วนที่ยื่นออกไปด้านข้างของสามเหลี่ยมจะอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวกัน เรียกว่า ซิมสันพูดตรงๆจุดนี้ เส้นตรงของจุดที่ตรงข้ามกันของซิมสันนั้นตั้งฉากกัน

สามเหลี่ยม

• เรียกว่าสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่ฐานที่ลากผ่านจุดที่กำหนด สามเหลี่ยมซีเวียนจุดนี้
• สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ในเส้นโครงของจุดที่กำหนดไปด้านข้างเรียกว่า สดหรือ สามเหลี่ยมเหยียบจุดนี้
• สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดที่สองของจุดตัดของเส้นที่ลากผ่านจุดยอดและจุดที่กำหนดให้มีวงกลมล้อมรอบเรียกว่า สามเหลี่ยมเส้นรอบวง- สามเหลี่ยมเส้นรอบวงจะคล้ายกับสามเหลี่ยมสด

แวดวง

• วงกลมที่ถูกจารึกไว้- วงกลมสัมผัสทั้งสามด้านของรูปสามเหลี่ยม เธอคือคนเดียวเท่านั้น เรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ ศูนย์กลาง.
• วงกลม- วงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม วงกลมที่ล้อมรอบก็มีเอกลักษณ์เช่นกัน
• เอ็กเซอร์เคิล- วงกลมแตะด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมและต่อเนื่องกันของอีกสองด้าน มีวงกลมสามวงในรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางที่รุนแรงคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ของสามเหลี่ยมตรงกลางที่เรียกว่า ประเด็นของสไปเกอร์.

จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ฐานของความสูงทั้งสามด้าน และจุดกึ่งกลางของส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดยอดกับจุดศูนย์กลางออร์โธเซนเตอร์ อยู่บนวงกลมวงเดียวเรียกว่า วงกลมเก้าจุดหรือ วงกลมออยเลอร์- จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดอยู่บนเส้นออยเลอร์ วงกลมที่มีเก้าจุดสัมผัสกับวงกลมที่จารึกไว้และวงกลมภายนอกสามวง เรียกว่าจุดสัมผัสระหว่างวงกลมที่ถูกจารึกไว้กับวงกลมเก้าจุด จุดฟอยเออร์บาค- หากจากแต่ละจุดยอดเราวางด้านนอกของสามเหลี่ยมบนเส้นตรงที่มีด้านข้าง มีออร์โธสที่มีความยาวเท่ากันกับด้านตรงข้าม ดังนั้นผลลัพธ์หกจุดจะอยู่บนวงกลมเดียวกัน - วงกลมคอนเวย์- วงกลมสามวงสามารถเขียนลงในสามเหลี่ยมใดๆ ก็ได้ โดยให้แต่ละวงสัมผัสกับด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมและวงกลมอีกสองวง วงกลมดังกล่าวเรียกว่า วงกลมมัลฟัตติ- จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมทั้ง 6 รูปซึ่งมีค่ามัธยฐานหารเป็นรูปสามเหลี่ยมจะอยู่บนวงกลมวงเดียว เรียกว่า เส้นรอบวงลำมุน.

สามเหลี่ยมมีวงกลมสามวงที่สัมผัสสองด้านของรูปสามเหลี่ยมและเส้นรอบวง วงกลมดังกล่าวเรียกว่า กึ่งจารึกไว้หรือ วงกลมเวอร์ริเอร์- ส่วนที่เชื่อมต่อจุดสัมผัสของวงกลม Verrier กับวงกลมที่ตัดกัน ณ จุดหนึ่งเรียกว่า ประเด็นของเวอร์ริเออร์- มันทำหน้าที่เป็นศูนย์กลางของโฮโมเทตี ซึ่งเปลี่ยนเส้นรอบวงให้เป็นวงกลมที่ถูกจารึกไว้ จุดสัมผัสของวงกลม Verrier โดยที่ด้านข้างวางอยู่บนเส้นตรงที่ผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดสัมผัสของวงกลมที่ถูกจารึกไว้กับจุดยอดตัดกันที่จุดหนึ่งเรียกว่า ประเด็นเกอร์กอนน์และส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดสัมผัสของวงกลมด้านนอกนั้นอยู่ จุดนาเจล.

วงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลา

จารึกรูปกรวย (วงรี) และเปอร์สเปคเตอร์

รูปกรวย (วงรี พาราโบลา หรือไฮเปอร์โบลา) จำนวนอนันต์สามารถเขียนลงในรูปสามเหลี่ยมได้ ถ้าเราเขียนรูปกรวยใดๆ ลงในรูปสามเหลี่ยมและเชื่อมต่อจุดแทนเจนต์กับจุดยอดตรงข้าม แล้วเส้นตรงที่ได้จะตัดกันที่จุดหนึ่งที่เรียกว่า โอกาสเตียงสองชั้น สำหรับจุดใดๆ ของระนาบที่ไม่ได้นอนตะแคงหรือส่วนต่อขยาย จะมีรูปกรวยจารึกไว้พร้อมผู้มอง ณ จุดนี้

วงรีสไตเนอร์ที่อธิบายไว้และซีเวียนเคลื่อนผ่านจุดโฟกัสของมัน

วงรีสามารถเขียนเป็นรูปสามเหลี่ยมโดยแตะด้านข้างตรงกลาง วงรีดังกล่าวเรียกว่า วงรี Steiner ที่จารึกไว้(เปอร์สเปคทีฟของมันจะเป็นจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม) วงรีวงรีที่แตะเส้นที่ลากผ่านจุดยอดขนานกับด้านข้าง เรียกว่า วงรีวงรีล้อมรอบ อธิบายโดยวงรีสไตเนอร์- หากเราแปลงรูปสามเหลี่ยมให้เป็นรูปสามเหลี่ยมปกติโดยใช้การแปลงความสัมพันธ์ (“เบ้”) วงรีสไตเนอร์ที่มีเส้นจารึกและเส้นรอบวงของมันจะแปลงเป็นวงกลมที่มีเส้นจารึกและเส้นรอบวง เส้น Chevian ที่ลากผ่านจุดโฟกัสของวงรีสไตเนอร์ (จุดสกูติน) ที่อธิบายไว้มีค่าเท่ากัน (ทฤษฎีบทสกูติน) ในบรรดาวงรีที่อธิบายไว้ทั้งหมด วงรีสไตเนอร์ที่อธิบายไว้นั้นมีพื้นที่เล็กที่สุด และในบรรดาวงรีที่จารึกไว้ทั้งหมด วงรีสไตเนอร์ที่ถูกจารึกไว้นั้นมีพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุด

วงรีโบรการ์ดและเปอร์สเปคเตอร์ - จุดเลมอยน์

วงรีที่มีจุดโฟกัสที่จุดโบรการ์ดเรียกว่า วงรีโบรการ์ด- มุมมองของมันคือจุดเลมอยน์

คุณสมบัติของพาราโบลาที่ถูกจารึกไว้

คีเพิร์ตพาราโบลา

แนวโน้มของพาราโบลาที่จารึกไว้นั้นอยู่บนวงรีสไตเนอร์ที่อธิบายไว้ จุดเน้นของพาราโบลาที่เขียนไว้นั้นอยู่ที่เส้นรอบวงวงกลม และไดเรกตริกซ์จะผ่านออร์โธเซนเตอร์ พาราโบลาที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมและมีไดเรกตริกซ์ของออยเลอร์เป็นไดเรกตริกซ์ของมันเรียกว่า คีเพิร์ตพาราโบลา- เปอร์สเปกเตอร์คือจุดที่สี่ของจุดตัดของวงกลมที่มีเส้นรอบวงกับวงรีสไตเนอร์ที่มีเส้นรอบวง เรียกว่า จุดสไตเนอร์.

อติพจน์ของ Kiepert

หากไฮเพอร์โบลาที่อธิบายผ่านจุดตัดของความสูง แสดงว่าไฮเปอร์โบลานั้นมีด้านเท่ากันหมด (นั่นคือ เส้นกำกับของมันจะตั้งฉากกัน) จุดตัดของเส้นกำกับของไฮเปอร์โบลาด้านเท่ากันหมดอยู่บนวงกลมของจุดเก้าจุด

การเปลี่ยนแปลง

หากเส้นที่ลากผ่านจุดยอดและจุดบางจุดไม่อยู่ด้านข้างและส่วนขยายของเส้นนั้นสะท้อนสัมพันธ์กับเส้นแบ่งครึ่งที่สอดคล้องกัน รูปภาพของเส้นเหล่านั้นก็จะตัดกันที่จุดหนึ่งด้วย ซึ่งเรียกว่า คอนจูเกตแบบไอโซโกกอนอันเดิม (หากจุดวางบนวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตไว้ เส้นผลลัพธ์จะขนานกัน) จุดที่น่าทึ่งหลายคู่มีการคอนจูเกตแบบไอโซโกนกัน: จุดเส้นรอบวงและจุดออร์โธเซ็นเตอร์, จุดเซนทรอยด์และจุดเลมอยน์, จุดโบรการ์ด จุด Apollonius นั้นเชื่อมกันแบบ isogonally กับจุด Torricelli และจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้นั้น conjugate แบบ isogonally กับตัวมันเอง ภายใต้การกระทำของการผัน isogonal เส้นตรงจะเปลี่ยนเป็นรูปกรวยที่มีเส้นรอบวง และรูปทรงกรวยที่มีเส้นรอบวงเป็นเส้นตรง ดังนั้น ไฮเปอร์โบลาคีเพิร์ตและแกนโบรคาร์ด ไฮเปอร์โบลาเจนซาเบกและเส้นตรงออยเลอร์ ไฮเปอร์โบลาฟอยเออร์บาค และเส้นศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนไว้และที่เขียนในวงรอบวง จึงเป็นคอนจูเกตแบบไอโซโกน เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมของจุดคอนจูเกตไอโซเหลี่ยมตรงกัน จุดโฟกัสของวงรีที่ถูกจารึกไว้นั้นเป็นคอนจูเกตแบบไอโซโกกอน

แทนที่จะใช้ซีเวียนแบบสมมาตร หากเราใช้ซีเวียนซึ่งมีฐานอยู่ห่างจากตรงกลางด้านเท่ากับฐานของเดิม ซีเวียนดังกล่าวก็จะตัดกันที่จุดหนึ่งด้วย เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้น การผันไอโซโทมิก- นอกจากนี้ยังแปลงเส้นตรงเป็นรูปกรวยที่อธิบายไว้ด้วย จุด Gergonne และ Nagel เป็นการคอนจูเกตแบบไอโซโทม ภายใต้การแปลงแบบอัฟฟิน จุดคอนจูเกตแบบไอโซโทมถูกแปลงเป็นจุดคอนจูเกตแบบไอโซโทม ด้วยการผันไอโซโทมิก วงรีสไตเนอร์ที่อธิบายไว้จะเข้าสู่เส้นตรงที่อยู่ห่างออกไปอย่างไม่สิ้นสุด

หากในส่วนที่ถูกตัดออกโดยด้านข้างของสามเหลี่ยมจากวงกลมที่มีเส้น จำกัด เราจะเขียนวงกลมที่แตะด้านข้างที่ฐานของ cevians ที่วาดผ่านจุดใดจุดหนึ่งแล้วเชื่อมต่อจุดสัมผัสของวงกลมเหล่านี้กับวงกลมที่ล้อมรอบด้วย จุดยอดตรงข้าม แล้วเส้นตรงดังกล่าวจะตัดกันที่จุดหนึ่ง เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงระนาบที่ตรงกับจุดเดิมกับจุดผลลัพธ์ การเปลี่ยนแปลงแบบวงกลม- องค์ประกอบของคอนจูเกตแบบ isogonal และ isotomic คือองค์ประกอบของการเปลี่ยนแปลงแบบ isocircular ด้วยตัวมันเอง องค์ประกอบนี้เป็นการเปลี่ยนแปลงแบบฉายภาพ ซึ่งจะทำให้ด้านข้างของสามเหลี่ยมอยู่กับที่ และแปลงแกนของเส้นแบ่งครึ่งภายนอกให้เป็นเส้นตรงที่ระยะอนันต์

ถ้าเราขยายด้านของสามเหลี่ยม Chevian ของจุดหนึ่ง และหาจุดตัดกันกับด้านที่ตรงกัน ผลลัพธ์ของจุดตัดจะอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว เรียกว่า ขั้วโลกไตรลิเนียร์จุดเริ่มต้น แกนออร์โธเซนตริกคือขั้วไตรลิเนียร์ของออร์โธเซ็นเตอร์ ขั้วไตรลิเนียร์ของจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้คือแกนของเส้นแบ่งครึ่งภายนอก ขั้วไตรลิเนียร์ของจุดต่างๆ ที่วางอยู่บนจุดตัดทรงกรวยที่จำกัดขอบเขต ณ จุดหนึ่ง (สำหรับวงกลมที่มีขอบเขตจำกัด นี่คือจุดเลมอยน์ สำหรับวงรีสไตเนอร์ในขอบเขตนั้นคือจุดเซนทรอยด์) องค์ประกอบของการเชื่อมต่อแบบไอโซโกนอล (หรือไอโซโทมิก) และขั้วไตรลิเนียร์คือการเปลี่ยนแปลงความเป็นคู่ (หากจุดหนึ่งมีคอนจูเกตแบบไอโซโกน (ไอโซโทมิก) ไปยังจุดหนึ่งอยู่บนขั้วไตรลิเนียร์ของจุดหนึ่ง ดังนั้น ขั้วไตรลิเนียร์ของจุดแบบไอโซโกน (ไอโซโตมิก) คอนจูเกตไปยังจุดหนึ่งซึ่งอยู่บนขั้วไตรลิเนียร์ของจุด)

ลูกบาศก์

อัตราส่วนในรูปสามเหลี่ยม

บันทึก:ในส่วนนี้ , , คือความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม และ , , คือมุมที่อยู่ตรงข้ามทั้งสามด้านตามลำดับ (มุมตรงข้าม)

อสมการสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมไม่เสื่อม ผลรวมของความยาวของด้านทั้งสองจะมากกว่าความยาวของด้านที่สาม ในสามเหลี่ยมเสื่อมจะเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมสัมพันธ์กันด้วยอสมการต่อไปนี้:

อสมการสามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในสัจพจน์ของเมตริก

ทฤษฎีบทผลรวมมุมสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทของไซน์

,

โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม จากทฤษฎีบทที่ว่า ถ้า a< b < c, то α < β < γ.

ทฤษฎีบทโคไซน์

ทฤษฎีบทแทนเจนต์

อัตราส่วนอื่นๆ

อัตราส่วนเมตริกในรูปสามเหลี่ยมมีไว้เพื่อ:

การแก้รูปสามเหลี่ยม

การคำนวณด้านและมุมที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยมโดยอิงจากสิ่งที่ทราบ ในอดีตเรียกว่า "การแก้รูปสามเหลี่ยม" ใช้ทฤษฎีบทตรีโกณมิติทั่วไปข้างต้น

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สัญกรณ์กรณีพิเศษ

สำหรับพื้นที่ อสมการต่อไปนี้ถูกต้อง:

การคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมในอวกาศโดยใช้เวกเตอร์

ให้จุดยอดของสามเหลี่ยมอยู่ที่จุด , , .

เรามาแนะนำเวกเตอร์พื้นที่กันดีกว่า ความยาวของเวกเตอร์นี้เท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและถูกกำหนดทิศทางให้เป็นปกติกับระนาบของรูปสามเหลี่ยม:

ให้เราตั้งค่า โดยที่ , เป็นการฉายภาพของสามเหลี่ยมบนระนาบพิกัด ในเวลาเดียวกัน

และในทำนองเดียวกัน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ

อีกทางเลือกหนึ่งคือคำนวณความยาวของด้าน (โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) แล้วใช้สูตรของเฮรอน

ทฤษฎีบทสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์: ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปเป็นเปอร์สเปคทีฟ (เส้นที่ลากผ่านจุดยอดที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง) ด้านที่ตรงกันของสามเหลี่ยมทั้งสองจะตัดกันบนเส้นเดียวกัน

ทฤษฎีบทของซอนดา: ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปเป็นเปอร์สเปคทีฟและออร์โธโลจีส (ตั้งฉากจากจุดยอดของสามเหลี่ยมหนึ่งไปยังด้านข้างตรงข้ามกับจุดยอดที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมและในทางกลับกัน) จากนั้นทั้งสองจุดศูนย์กลางของออร์โธโลจี (จุดตัดกันของตั้งฉากเหล่านี้) และจุดศูนย์กลาง เปอร์สเป็คทีฟอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ตั้งฉากกับแกนเปอร์สเปคทีฟ (เส้นตรงจากทฤษฎีบทของเดซาร์กส์)

ว่ากันว่าสามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันทุกประการหากนำมารวมกันได้โดยการทับซ้อนกัน รูปที่ 1 แสดงสามเหลี่ยมเท่ากัน ABC และ A 1 B 1 C 1 สามเหลี่ยมเหล่านี้แต่ละรูปสามารถซ้อนทับกันเพื่อให้เข้ากันได้อย่างสมบูรณ์ นั่นคือจุดยอดและด้านข้างเข้ากันได้เป็นคู่ เห็นได้ชัดว่ามุมของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะจับคู่กันด้วย

ดังนั้น หากสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ องค์ประกอบ (เช่น ด้านและมุม) ของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งจะเท่ากับองค์ประกอบของสามเหลี่ยมอีกด้านตามลำดับ โปรดทราบว่า ในรูปสามเหลี่ยมเท่ากันกับด้านที่เท่ากัน(เช่น ทับซ้อนกันเมื่อซ้อนทับ) มุมที่เท่ากันโกหกและกลับ: ด้านที่เท่ากันอยู่ตรงข้ามมุมที่เท่ากันตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน ABC และ A 1 B 1 C 1 ดังแสดงในรูปที่ 1 ซึ่งอยู่ตรงข้ามด้านเท่ากัน AB และ A 1 B 1 ตามลำดับ จะมีมุมเท่ากัน C และ C 1 เราจะแสดงถึงความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 ดังนี้: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 ปรากฎว่าสามารถสร้างความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมสองรูปได้โดยการเปรียบเทียบองค์ประกอบบางส่วน

ทฤษฎีบท 1 สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมถ้าสองด้านและมุมระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับสองด้านและมุมระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมอื่นตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ (รูปที่ 2)

การพิสูจน์. พิจารณารูปสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 โดยที่ AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (ดูรูปที่ 2) ให้เราพิสูจน์ว่า Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

เนื่องจาก ∠ A = ∠ A 1 ดังนั้น สามเหลี่ยม ABC สามารถซ้อนทับบนสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 เพื่อให้จุดยอด A จัดอยู่ในแนวเดียวกับจุดยอด A 1 และด้าน AB และ AC ซ้อนทับบนรังสี A 1 B 1 และ A 1 ตามลำดับ ค 1. เนื่องจาก AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ดังนั้นด้าน AB จะอยู่ในแนวเดียวกันกับด้าน A 1 B 1 และด้าน AC จะอยู่ในแนวเดียวกันกับด้าน A 1 C 1; โดยเฉพาะจุด B และ B 1, C และ C 1 จะตรงกัน ดังนั้นด้าน BC และ B 1 C 1 จะเรียงกัน ดังนั้น สามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 เข้ากันได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าพวกมันเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 2 ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกันโดยใช้วิธีการซ้อนทับ

ทฤษฎีบท 2 เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมหากด้านหนึ่งและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับด้านและสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมอื่นตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ (รูปที่ 34)

ความคิดเห็น จากทฤษฎีบทที่ 2 จึงมีการสร้างทฤษฎีบทที่ 3 ขึ้นมา

ทฤษฎีบท 3 ผลรวมของมุมภายในสองมุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมจะน้อยกว่า 180°

ทฤษฎีบทที่ 4 ต่อจากทฤษฎีบทสุดท้าย

ทฤษฎีบท 4 มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่ามุมภายในใดๆ ที่ไม่อยู่ติดกัน

ทฤษฎีบท 5 เครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเท่ากันกับด้านสามด้านของสามเหลี่ยมอีกด้านตามลำดับ แล้วสามเหลี่ยมนั้นจะเท่ากันทุกประการ ()

ตัวอย่างที่ 1ในรูปสามเหลี่ยม ABC และ DEF (รูปที่ 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 ซม., AC = 18 ซม., DE = 18 ซม., EF = 20 ซม. เปรียบเทียบสามเหลี่ยม ABC และ DEF มุมใดในรูปสามเหลี่ยม DEF เท่ากับมุม B?

สารละลาย. สามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากันตามเครื่องหมายแรก มุม F ของสามเหลี่ยม DEF เท่ากับมุม B ของสามเหลี่ยม ABC เนื่องจากมุมเหล่านี้อยู่ตรงข้ามกันด้าน DE และ AC ที่เท่ากันตามลำดับ

ตัวอย่างที่ 2ส่วน AB และ CD (รูปที่ 5) ตัดกันที่จุด O ซึ่งอยู่ตรงกลางของแต่ละส่วน ความยาวของส่วน BD คือเท่าใด ถ้าส่วน AC คือ 6 เมตร

สารละลาย. สามเหลี่ยม AOC และ BOD เท่ากัน (ตามเกณฑ์แรก): ∠ AOC = ∠ BOD (แนวตั้ง), AO = OB, CO = OD (ตามเงื่อนไข)
จากความเท่ากันของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ แสดงว่าด้านของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน นั่นคือ AC = BD แต่เนื่องจากตามเงื่อนไข AC = 6 m ดังนั้น BD = 6 m

รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดที่เรียนในโรงเรียนคือรูปสามเหลี่ยม นักเรียนจะเข้าใจได้ง่ายขึ้นและประสบปัญหาน้อยลง แม้ว่าสามเหลี่ยมจะมีหลายประเภทซึ่งมีคุณสมบัติพิเศษก็ตาม

รูปร่างใดเรียกว่าสามเหลี่ยม?

ประกอบด้วยสามจุดและปล้อง อันแรกเรียกว่าจุดยอด ส่วนอันที่สองเรียกว่าด้านข้าง ยิ่งกว่านั้นทั้งสามส่วนจะต้องเชื่อมต่อกันเพื่อให้เกิดมุมระหว่างกัน จึงเป็นที่มาของชื่อรูป “สามเหลี่ยม”

ความแตกต่างของชื่อในแต่ละมุม

เนื่องจากสามารถมีลักษณะแหลม ป้าน และตรงได้ ประเภทของรูปสามเหลี่ยมจึงถูกกำหนดโดยชื่อเหล่านี้ ดังนั้นจึงมีตัวเลขดังกล่าวสามกลุ่ม

• อันดับแรก. ถ้าทุกมุมของสามเหลี่ยมมีมุมแหลม ก็จะเรียกว่ามุมแหลม ทุกอย่างมีเหตุผล

• ที่สอง. มุมหนึ่งเป็นมุมป้าน ซึ่งหมายความว่ารูปสามเหลี่ยมเป็นมุมป้าน มันไม่ง่ายไปกว่านี้แล้ว

• ที่สาม. มีมุมเท่ากับ 90 องศา ซึ่งเรียกว่ามุมฉาก สามเหลี่ยมจะกลายเป็นสี่เหลี่ยม

ความแตกต่างในชื่อด้านข้าง

สามเหลี่ยมประเภทต่อไปนี้มีความโดดเด่นขึ้นอยู่กับลักษณะของด้านข้าง:

กรณีทั่วไปคือความไม่สมดุลซึ่งทุกด้านมีความยาวตามอำเภอใจ

หน้าจั่ว ซึ่งทั้งสองด้านมีค่าตัวเลขเท่ากัน

ด้านเท่ากันหมด ความยาวของด้านทั้งหมดจะเท่ากัน

หากปัญหาไม่ได้ระบุประเภทของสามเหลี่ยมที่เฉพาะเจาะจง คุณจะต้องวาดรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ โดยมุมทุกมุมจะคมและด้านข้างมีความยาวต่างกัน

คุณสมบัติทั่วไปของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด

1. หากคุณรวมมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมเข้าด้วยกัน คุณจะได้ตัวเลขเท่ากับ 180° และไม่สำคัญว่าเป็นประเภทไหน กฎนี้จะมีผลเสมอ
2. ค่าตัวเลขของด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมจะน้อยกว่าอีกสองด้านที่บวกเข้าด้วยกัน ยิ่งไปกว่านั้น มันยิ่งใหญ่กว่าความแตกต่างของพวกเขาด้วย
3. มุมภายนอกแต่ละมุมมีค่าที่ได้มาจากการเพิ่มมุมภายในสองมุมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน ยิ่งไปกว่านั้น มันจะใหญ่กว่าอันภายในที่อยู่ติดกันเสมอ
4. มุมที่เล็กที่สุดจะอยู่ตรงข้ามด้านที่เล็กกว่าของสามเหลี่ยมเสมอ และในทางกลับกัน ถ้าด้านมีขนาดใหญ่ มุมก็จะใหญ่ที่สุด

คุณสมบัติเหล่านี้ใช้ได้เสมอ ไม่ว่าจะพิจารณาสามเหลี่ยมชนิดใดในโจทย์ก็ตาม ส่วนที่เหลือทั้งหมดเป็นไปตามคุณสมบัติเฉพาะ

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

• มุมที่อยู่ติดกับฐานจะเท่ากัน
• ความสูงซึ่งลากไปที่ฐานจะเป็นค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งด้วย
• ระดับความสูง ค่ามัธยฐาน และเส้นแบ่งครึ่งซึ่งสร้างไว้ที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม จะเท่ากันตามลำดับ

คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

หากมีตัวเลขดังกล่าว คุณสมบัติทั้งหมดที่อธิบายข้างต้นเล็กน้อยจะเป็นจริง เพราะด้านเท่ากันหมดจะเป็นหน้าจั่วเสมอ แต่ในทางกลับกัน สามเหลี่ยมหน้าจั่วไม่จำเป็นต้องมีด้านเท่ากันหมด

• มุมทั้งหมดเท่ากันและมีค่า 60 องศา
• ค่ามัธยฐานใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าคือความสูงและเส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยมนั้น ยิ่งกว่านั้นพวกเขาทั้งหมดเท่าเทียมกัน ในการกำหนดค่า มีสูตรที่ประกอบด้วยผลคูณของด้านบาย รากที่สองของ 3 หารด้วย 2.

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก

• มุมแหลมสองมุมรวมกันได้90°
• ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะมากกว่าความยาวของขาใดๆ เสมอ
• ค่าตัวเลขของค่ามัธยฐานที่ลากไปทางด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับครึ่งหนึ่ง
• ขาจะเท่ากับค่าเดียวกันหากอยู่ตรงข้ามกับมุม 30 องศา
• ความสูงซึ่งดึงมาจากจุดยอดด้วยค่า 90 องศา มีการพึ่งพาทางคณิตศาสตร์บางประการที่ขา: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2 ที่นี่: a, b - ขา, n - ความสูง

ปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ

ลำดับที่ 1. กำหนดให้เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ทราบเส้นรอบวงแล้วเท่ากับ 90 ซม. เราต้องหาด้านข้างของมัน ตามเงื่อนไขเพิ่มเติม: ด้านข้างเล็กกว่าฐาน 1.2 เท่า

ค่าของเส้นรอบวงโดยตรงขึ้นอยู่กับปริมาณที่ต้องค้นหา ผลรวมของทั้งสามด้านจะให้ 90 ซม. ตอนนี้คุณต้องจำสัญลักษณ์ของสามเหลี่ยมตามที่เป็นหน้าจั่ว นั่นคือทั้งสองฝ่ายมีความเท่าเทียมกัน คุณสามารถสร้างสมการโดยใช้ค่าไม่ทราบค่าสองตัวได้: 2a + b = 90 โดยที่ a คือด้าน และ b คือฐาน

ตอนนี้ถึงเวลาสำหรับเงื่อนไขเพิ่มเติม ต่อไปจะได้สมการที่สอง: b = 1.2a คุณสามารถแทนที่นิพจน์นี้เป็นนิพจน์แรกได้ ปรากฎว่า: 2a + 1.2a = 90 หลังการแปลง: 3.2a = 90 ดังนั้น a = 28.125 (ซม.) ตอนนี้มันง่ายที่จะหาพื้นฐาน วิธีนี้ทำได้ดีที่สุดจากเงื่อนไขที่สอง: b = 1.2 * 28.125 = 33.75 (ซม.)

หากต้องการตรวจสอบ คุณสามารถเพิ่มค่าได้สามค่า: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (ซม.) ถูกต้องแล้ว

คำตอบ: ด้านข้างของสามเหลี่ยมคือ 28.125 ซม., 28.125 ซม., 33.75 ซม.

ลำดับที่ 2. ด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าคือ 12 ซม. คุณต้องคำนวณความสูงของมัน

สารละลาย. หากต้องการค้นหาคำตอบ ก็เพียงพอที่จะกลับไปยังช่วงเวลาที่อธิบายคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมไว้ นี่คือสูตรในการหาความสูง ค่ามัธยฐาน และเส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

n = a * √3 / 2 โดยที่ n คือความสูง และ a คือด้าน

การทดแทนและการคำนวณให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: n = 6 √3 (ซม.)

ไม่จำเป็นต้องจำสูตรนี้ ก็เพียงพอที่จะจำไว้ว่าความสูงแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วน ยิ่งไปกว่านั้น มันกลายเป็นขาและด้านตรงข้ามมุมฉากในนั้นคือด้านข้างของขาเดิม ขาที่สองคือครึ่งหนึ่งของด้านที่รู้จัก ตอนนี้คุณต้องเขียนทฤษฎีบทพีทาโกรัสและหาสูตรสำหรับความสูง

คำตอบ: ความสูงคือ 6 √3 ซม.

ลำดับที่ 3. เมื่อให้ MKR เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่มุม K มีค่าเป็น 90 องศา ทราบค่าด้าน MR และ KR ทั้งสองมีค่าเท่ากับ 30 และ 15 ซม. ตามลำดับ เราจำเป็นต้องหาค่าของมุม P

สารละลาย. หากคุณวาดภาพ จะเห็นได้ชัดว่า MR คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ยิ่งไปกว่านั้น มันมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของด้านข้างของ KR คุณต้องหันไปหาคุณสมบัติอีกครั้ง หนึ่งในนั้นเกี่ยวข้องกับมุม เห็นได้ชัดว่ามุม KMR อยู่ที่ 30 องศา ซึ่งหมายความว่ามุม P ที่ต้องการจะเท่ากับ60° สิ่งนี้ตามมาจากคุณสมบัติอื่น ซึ่งระบุว่าผลรวมของมุมแหลมสองมุมต้องเท่ากับ 90°

คำตอบ: มุม P คือ 60 องศา

ลำดับที่ 4. เราจำเป็นต้องค้นหามุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เป็นที่รู้กันว่ามุมภายนอกจากมุมที่ฐานคือ110°

สารละลาย. เนื่องจากกำหนดไว้เฉพาะมุมภายนอก คุณจึงจำเป็นต้องใช้ดังนี้ มันก่อตัวขึ้นด้วยภายใน หันเป็นมุมซึ่งหมายความว่าโดยรวมแล้วพวกเขาจะให้180º นั่นคือมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับ 70° เนื่องจากเป็นหน้าจั่ว มุมที่สองจึงมีค่าเท่ากัน มันยังคงคำนวณมุมที่สาม ตามคุณสมบัติทั่วไปของสามเหลี่ยมทุกรูป ผลรวมของมุมคือ 180° ซึ่งหมายความว่าส่วนที่สามจะถูกกำหนดเป็น180º - 70º - 70º = 40º

คำตอบ: มุมคือ 70°, 70°, 40°

ลำดับที่ 5. เป็นที่ทราบกันว่าในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่อยู่ตรงข้ามฐานคือ 90° มีจุดทำเครื่องหมายไว้บนฐาน ส่วนที่เชื่อมต่อกับมุมขวาจะหารด้วยอัตราส่วน 1 ต่อ 4 คุณต้องค้นหามุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมเล็กกว่า

สารละลาย. มุมใดมุมหนึ่งสามารถกำหนดได้ทันที เนื่องจาก สามเหลี่ยมมุมฉากและหน้าจั่ว แล้วส่วนที่อยู่ที่ฐานจะเป็น 45 องศา นั่นคือ 90 องศา/2

อย่างที่สองจะช่วยคุณค้นหาความสัมพันธ์ที่ทราบในเงื่อนไข เนื่องจากมีค่าเท่ากับ 1 ถึง 4 ส่วนต่างๆ ที่จะแบ่งออกจึงมีเพียง 5 เท่านั้น ซึ่งหมายความว่าหากต้องการหามุมที่เล็กกว่าของสามเหลี่ยม คุณต้องมี 90°/5 = 18° มันยังคงค้นหาที่สาม ในการทำเช่นนี้ คุณต้องลบ 45° และ 18° จาก 180° (ผลรวมของมุมทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยม) การคำนวณนั้นง่ายดาย และคุณจะได้รับ: 117°