แก้ระบบโดยใช้ตัวอย่างวิธีของแครมเมอร์ สมการเชิงเส้น

27.09.2019 | ความงาม

วิธีของแครเมอร์หรือที่เรียกว่ากฎของแครเมอร์เป็นวิธีการค้นหาปริมาณที่ไม่ทราบจากระบบสมการ สามารถใช้ได้ก็ต่อเมื่อจำนวนค่าที่ค้นหาเท่ากับตัวเลขเท่านั้น สมการพีชคณิตในระบบ กล่าวคือ เมทริกซ์หลักที่สร้างจากระบบจะต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและไม่มีแถวเป็นศูนย์ และถ้าดีเทอร์มิแนนต์ต้องไม่เป็นศูนย์ด้วย

ทฤษฎีบท 1

ทฤษฎีบทของแครเมอร์ถ้าปัจจัยหลัก $D$ ของเมทริกซ์หลักที่คอมไพล์โดยใช้สัมประสิทธิ์ของสมการไม่เท่ากับศูนย์ แสดงว่าระบบสมการมีความสอดคล้องกัน และมีคำตอบเฉพาะ การแก้ปัญหาของระบบดังกล่าวคำนวณโดยใช้สูตรที่เรียกว่าแครมเมอร์สำหรับการแก้ระบบ สมการเชิงเส้น: $x_i = \frac(D_i)(D)$

วิธีแครมเมอร์คืออะไร?

สาระสำคัญของวิธีการของ Cramer มีดังนี้:

ในการค้นหาคำตอบของระบบโดยใช้วิธีของแครมเมอร์ ก่อนอื่นเราต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์หลักของเมทริกซ์ $D$ เมื่อดีเทอร์มิแนนต์ที่คำนวณได้ของเมทริกซ์หลัก เมื่อคำนวณโดยวิธีของแครมเมอร์ กลายเป็นศูนย์ แสดงว่าระบบไม่มีคำตอบเดียวหรือมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด ในกรณีนี้ หากต้องการหาคำตอบทั่วไปหรือคำตอบพื้นฐานสำหรับระบบ ขอแนะนำให้ใช้วิธีเกาส์เซียน
จากนั้นคุณจะต้องแทนที่คอลัมน์ด้านนอกสุด เมทริกซ์หลักไปที่คอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระและคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ $D_1$
ทำซ้ำเช่นเดียวกันกับทุกคอลัมน์ โดยรับปัจจัยจาก $D_1$ ถึง $D_n$ โดยที่ $n$ คือหมายเลขของคอลัมน์ขวาสุด
หลังจากพบปัจจัยกำหนด $D_1$...$D_n$ ทั้งหมดแล้ว ตัวแปรที่ไม่รู้จักสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร $x_i = \frac(D_i)(D)$

เทคนิคการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีมิติมากกว่า 2 คูณ 2 คุณสามารถใช้ได้หลายวิธี:

กฎสามเหลี่ยมหรือกฎของซาร์รัสชวนให้นึกถึงกฎเดียวกัน สาระสำคัญของวิธีสามเหลี่ยมคือเมื่อคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ผลคูณของตัวเลขทั้งหมดที่เชื่อมต่อในรูปด้วยเส้นสีแดงทางด้านขวาจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายบวกและตัวเลขทั้งหมดที่เชื่อมต่อในลักษณะเดียวกันในรูปด้านซ้าย ถูกเขียนด้วยเครื่องหมายลบ กฎทั้งสองข้อเหมาะสำหรับเมทริกซ์ขนาด 3 x 3 ในกรณีของกฎซาร์รัส เมทริกซ์นั้นจะถูกเขียนใหม่ครั้งแรก และถัดจากนั้นคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สองจะถูกเขียนใหม่อีกครั้ง เส้นทแยงมุมจะถูกลากผ่านเมทริกซ์และคอลัมน์เพิ่มเติมเหล่านี้ สมาชิกของเมทริกซ์ที่วางอยู่บนเส้นทแยงมุมหลักหรือขนานกับมันจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายบวก และองค์ประกอบที่วางอยู่บนหรือขนานกับเส้นทแยงมุมรองจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายลบ

รูปที่ 1 กฎสามเหลี่ยมสำหรับคำนวณดีเทอร์มิแนนต์สำหรับวิธีของแครมเมอร์

เมื่อใช้วิธีการที่เรียกว่าวิธีเกาส์เซียน บางครั้งวิธีนี้ก็เรียกว่าการลดลำดับของดีเทอร์มิแนนต์ ในกรณีนี้เมทริกซ์จะถูกแปลงและลดเป็นรูปสามเหลี่ยมจากนั้นคูณตัวเลขทั้งหมดบนเส้นทแยงมุมหลัก ควรจำไว้ว่าเมื่อค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยวิธีนี้ คุณจะไม่สามารถคูณหรือหารแถวหรือคอลัมน์ด้วยตัวเลขได้โดยไม่ต้องนำออกมาเป็นตัวคูณหรือตัวหาร ในกรณีของการค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ เป็นไปได้ที่จะลบและเพิ่มแถวและคอลัมน์เข้าด้วยกันเท่านั้น โดยก่อนหน้านี้คูณแถวที่ลบด้วยตัวประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ นอกจากนี้ เมื่อใดก็ตามที่คุณจัดเรียงแถวหรือคอลัมน์ของเมทริกซ์ใหม่ คุณควรจำไว้ว่าจำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมายสุดท้ายของเมทริกซ์
เมื่อแก้ SLAE ด้วยค่าไม่ทราบค่า 4 ค่าโดยใช้วิธี Cramer วิธีที่ดีที่สุดคือใช้วิธี Gauss เพื่อค้นหาดีเทอร์มิแนนต์หรือกำหนดดีเทอร์มิแนนต์โดยการค้นหาผู้เยาว์

การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีแครเมอร์

ลองใช้วิธีของแครเมอร์กับระบบที่มี 2 สมการและปริมาณที่ต้องการ 2 จำนวน:

$\begin(กรณี) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(กรณี)$

มาแสดงในรูปแบบขยายเพื่อความสะดวก:

$A = \begin(อาร์เรย์)(ซีซี|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(อาร์เรย์)$

ลองหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักหรือที่เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์หลักของระบบ:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

หากดีเทอร์มิแนนต์หลักไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นในการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีของแครมเมอร์ จำเป็นต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อีกสองสามตัวจากเมทริกซ์สองตัวที่มีคอลัมน์ของเมทริกซ์หลักแทนที่ด้วยแถวของเทอมอิสระ:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

ตอนนี้เรามาค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก $x_1$ และ $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

ตัวอย่างที่ 1

วิธีของแครมเมอร์ในการแก้ SLAE ด้วยเมทริกซ์หลักลำดับที่ 3 (3 x 3) และเมทริกซ์ที่จำเป็น 3 รายการ

แก้ระบบสมการ:

$\begin(กรณี) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(กรณี)$

มาคำนวณดีเทอร์มิแนนต์หลักของเมทริกซ์โดยใช้กฎที่ระบุไว้ข้างต้นใต้จุดที่ 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

และตอนนี้มีปัจจัยกำหนดอีกสามประการ:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 ดอลลาร์

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 เหรียญสหรัฐ

มาหาปริมาณที่ต้องการ:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

วิธีของแครมเมอร์ขึ้นอยู่กับการใช้ดีเทอร์มิแนนต์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น สิ่งนี้จะช่วยเร่งกระบวนการแก้ปัญหาได้อย่างมาก

วิธีของแครมเมอร์สามารถใช้เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้มากเท่าที่ไม่ทราบค่าในแต่ละสมการ ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เท่ากับศูนย์ ก็สามารถใช้วิธีของแครมเมอร์ในการแก้ปัญหาได้ แต่ถ้ามันเท่ากับศูนย์ก็จะใช้ไม่ได้ นอกจากนี้ วิธีของแครมเมอร์ยังสามารถใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเฉพาะได้

คำนิยาม- ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบเรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ของระบบและเขียนแทนด้วย (เดลต้า)

ปัจจัยกำหนด

ได้จากการแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งแปลกปลอมที่เกี่ยวข้องด้วยเงื่อนไขอิสระ:

;

ทฤษฎีบทของแครเมอร์. ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบสมการเชิงเส้นจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัวเดียว และความไม่ทราบจะเท่ากับอัตราส่วนของดีเทอร์มิแนนต์ ตัวส่วนประกอบด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ และตัวเศษประกอบด้วยดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้รับจากดีเทอร์มิแนนต์ของระบบโดยการแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จักด้วยเงื่อนไขอิสระ ทฤษฎีบทนี้ใช้สำหรับระบบสมการเชิงเส้นของลำดับใดๆ

ตัวอย่างที่ 1แก้ระบบสมการเชิงเส้น:

ตาม ทฤษฎีบทของแครเมอร์เรามี:

ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาของระบบ (2):

เครื่องคิดเลขออนไลน์ วิธีการแตกหักเครเมอร์.

สามกรณีเมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ตามที่ชัดเจนจาก ทฤษฎีบทของแครเมอร์เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสามารถเกิดขึ้นได้สามกรณี:

กรณีแรก: ระบบสมการเชิงเส้นมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

(ระบบมีความสม่ำเสมอและแน่นอน)

กรณีที่สอง: ระบบสมการเชิงเส้นมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

(ระบบมีความสม่ำเสมอและไม่แน่นอน)

** ,

เหล่านั้น. ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้และเงื่อนไขอิสระนั้นเป็นสัดส่วน

กรณีที่สาม: ระบบสมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบ

(ระบบไม่สอดคล้องกัน)

ดังนั้นระบบ มสมการเชิงเส้นด้วย nเรียกว่าตัวแปร ไม่ใช่ข้อต่อถ้าเธอไม่มีทางออกเดียวและ ข้อต่อถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งวิธี เรียกว่าระบบสมการที่มีคำตอบเดียวเท่านั้น แน่ใจและมากกว่าหนึ่ง – ไม่แน่นอน.

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์

ให้ระบบได้รับ

ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทของแครเมอร์

………….
,

ที่ไหน
-

ปัจจัยกำหนดระบบ เราได้รับปัจจัยที่เหลือโดยการแทนที่คอลัมน์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง (ไม่ทราบ) ด้วยเงื่อนไขอิสระ:

ตัวอย่างที่ 2

ดังนั้นระบบจึงมีความชัดเจน เพื่อหาคำตอบ เราจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์

จากการใช้สูตรของ Cramer เราพบว่า:

ดังนั้น (1; 0; -1) จึงเป็นทางออกเดียวของระบบ

หากต้องการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์โดยใช้วิธีการแก้ของแครเมอร์

หากในระบบสมการเชิงเส้นไม่มีตัวแปรในสมการตั้งแต่หนึ่งสมการขึ้นไป องค์ประกอบที่เกี่ยวข้องจะเท่ากับศูนย์ในดีเทอร์มิแนนต์! นี่คือตัวอย่างถัดไป

ตัวอย่างที่ 3แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์:

สารละลาย. เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ:

ดูระบบสมการและดีเทอร์มิแนนต์ของระบบอย่างละเอียด แล้วตอบซ้ำสำหรับคำถามซึ่งในกรณีนี้ องค์ประกอบของดีเทอร์มิแนนต์อย่างน้อยหนึ่งรายการจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นระบบจึงมีค่าแน่นอน เพื่อหาวิธีแก้ปัญหา เราจะคำนวณปัจจัยกำหนดของสิ่งที่ไม่ทราบ

จากการใช้สูตรของ Cramer เราพบว่า:

ดังนั้น คำตอบของระบบคือ (2; -1; 1)

ด้านบนของหน้า

เรายังคงแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีของ Cramer ร่วมกัน

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว หากปัจจัยกำหนดของระบบเท่ากับศูนย์ และปัจจัยกำหนดของสิ่งที่ไม่ทราบไม่เท่ากับศูนย์ ระบบจะไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ให้เราอธิบายด้วยตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 6แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์:

สารละลาย. เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ:

ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นจึงไม่สอดคล้องกันและแน่นอน หรือไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีคำตอบ เพื่อชี้แจงให้กระจ่างยิ่งขึ้น เราจะคำนวณปัจจัยกำหนดสำหรับสิ่งที่ไม่ทราบ

ปัจจัยกำหนดของสิ่งที่ไม่ทราบไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบจึงไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับระบบสมการเชิงเส้น ยังมีปัญหาที่นอกเหนือจากตัวอักษรที่แสดงถึงตัวแปรแล้ว ยังมีตัวอักษรอื่นๆ ด้วย ตัวอักษรเหล่านี้เป็นตัวแทนของตัวเลข ซึ่งส่วนใหญ่มักเป็นตัวเลขจริง ในทางปฏิบัติสมการและระบบสมการดังกล่าวนำไปสู่ปัญหาในการค้นหาคุณสมบัติทั่วไปของปรากฏการณ์และวัตถุใด ๆ นั่นก็คือคุณได้คิดค้นอะไรขึ้นมาบ้าง วัสดุใหม่หรืออุปกรณ์ และเพื่ออธิบายคุณสมบัติของมัน ซึ่งเป็นเรื่องปกติโดยไม่คำนึงถึงขนาดหรือจำนวนของอินสแตนซ์ คุณต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยที่แทนที่จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรจะมีตัวอักษร คุณไม่จำเป็นต้องมองหาตัวอย่างไกล

ตัวอย่างต่อไปนี้ใช้สำหรับปัญหาที่คล้ายกัน เฉพาะจำนวนสมการ ตัวแปร และตัวอักษรที่แสดงถึงจำนวนจริงเท่านั้นที่เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างที่ 8แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์:

สารละลาย. เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ:

การหาปัจจัยกำหนดสิ่งที่ไม่รู้

ให้ระบบสมการเชิงเส้นมีสมการมากเท่ากับจำนวนตัวแปรอิสระ เช่น ดูเหมือนว่า

ระบบสมการเชิงเส้นดังกล่าวเรียกว่ากำลังสอง ดีเทอร์มิแนนต์ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรอิสระของระบบ (1.5) เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์หลักของระบบ เราจะแสดงมัน อักษรกรีกดี โซ

. (1.6)

หากปัจจัยหลักประกอบด้วยค่าใด ๆ ( เจ th) แทนที่ด้วยคอลัมน์เงื่อนไขระบบอิสระ (1.5) จากนั้นคุณจะได้รับ nรอบคัดเลือกเสริม:

(เจ = 1, 2, …, n). (1.7)

กฎของแครเมอร์การแก้ระบบกำลังสองของสมการเชิงเส้นมีดังนี้ หากปัจจัยหลัก D ของระบบ (1.5) แตกต่างจากศูนย์ แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตร:

(1.8)

ตัวอย่างที่ 1.5แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีแครเมอร์

ให้เราคำนวณปัจจัยหลักของระบบ:

ตั้งแต่ D¹0 ระบบก็มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตร (1.8):

ดังนั้น,

การดำเนินการกับเมทริกซ์

1. การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขการดำเนินการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขมีดังต่อไปนี้

2. ในการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข คุณต้องคูณองค์ประกอบทั้งหมดด้วยตัวเลขนี้ นั่นก็คือ

. (1.9)

ตัวอย่างที่ 1.6 .

การบวกเมทริกซ์

การดำเนินการนี้ใช้กับเมทริกซ์ที่มีลำดับเดียวกันเท่านั้น

ในการเพิ่มเมทริกซ์สองตัว จำเป็นต้องเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์อื่นเข้ากับองค์ประกอบของเมทริกซ์ตัวหนึ่ง:

(1.10)
การดำเนินการของการบวกเมทริกซ์มีคุณสมบัติของการเชื่อมโยงและการสับเปลี่ยน

ตัวอย่างที่ 1.7 .

การคูณเมทริกซ์

ถ้าเป็นจำนวนคอลัมน์เมทริกซ์ กตรงกับจำนวนแถวของเมทริกซ์ ในจากนั้นสำหรับเมทริกซ์ดังกล่าว จะมีการแนะนำการดำเนินการคูณ:

ดังนั้นเมื่อทำการคูณเมทริกซ์ กขนาด ม´ nถึงเมทริกซ์ ในขนาด n´ เคเราได้เมทริกซ์ กับขนาด ม´ เค- ในกรณีนี้คือองค์ประกอบเมทริกซ์ กับคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ปัญหา 1.8.ค้นหาผลคูณของเมทริกซ์หากเป็นไปได้ เอบีและ ปริญญาตรี:

สารละลาย. 1) เพื่อหางานทำ เอบีคุณต้องมีแถวเมทริกซ์ กคูณด้วยคอลัมน์เมทริกซ์ บี:

2) การทำงาน ปริญญาตรีไม่มีอยู่ เนื่องจากจำนวนคอลัมน์เมทริกซ์ บีไม่ตรงกับจำนวนแถวเมทริกซ์ ก.

เมทริกซ์ผกผัน การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

เมทริกซ์ เอ- 1 เรียกว่าอินเวอร์สของเมทริกซ์จตุรัส กถ้าความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ:

ผ่านที่ไหน ฉันหมายถึงเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีลำดับเดียวกันกับเมทริกซ์ ก:

เพื่อให้เมทริกซ์จตุรัสมีค่าผกผัน จำเป็นและเพียงพอที่ดีเทอร์มิแนนต์จะแตกต่างจากศูนย์ พบเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร:

, (1.13)

ที่ไหน อาจ- การเติมพีชคณิตให้กับองค์ประกอบ ไอจเมทริกซ์ ก(โปรดทราบว่าการบวกพีชคณิตในแถวเมทริกซ์ กอยู่ในเมทริกซ์ผกผันในรูปแบบของคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน)

ตัวอย่างที่ 1.9ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เอ- 1 ถึงเมทริกซ์

เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร (1.13) ซึ่งในกรณีนี้ n= 3 มีรูปแบบ:

มาหาเดชกัน. ก = | ก- = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมไม่เป็นศูนย์ จึงมีเมทริกซ์ผกผันอยู่

1) ค้นหาการเสริมพีชคณิต อาจ:

เพื่อความสะดวกในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เราได้ใส่การบวกพีชคณิตลงในแถวของเมทริกซ์ดั้งเดิมในคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง

จากการบวกพีชคณิตที่ได้รับ เราจะเขียนเมทริกซ์ใหม่และหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ det ก- ดังนั้นเราจึงได้เมทริกซ์ผกผัน:

ระบบกำลังสองของสมการเชิงเส้นที่มีตัวกำหนดหลักที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถแก้ไขได้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ระบบ (1.5) จะถูกเขียนในรูปแบบเมทริกซ์:

ที่ไหน

คูณความเสมอภาคทั้งสองข้าง (1.14) จากทางซ้ายด้วย เอ- 1. เราได้คำตอบของระบบ:

, ที่ไหน

ดังนั้น เพื่อที่จะหาคำตอบของระบบกำลังสอง คุณต้องค้นหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์หลักของระบบแล้วคูณทางด้านขวาด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ

ปัญหา 1.10.แก้ระบบสมการเชิงเส้น

โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

สารละลาย.ให้เราเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์: ,

ที่ไหน - เมทริกซ์หลักของระบบ - คอลัมน์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก และ - คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระ เนื่องจากปัจจัยกำหนดหลักของระบบ แล้วเมทริกซ์หลักของระบบ กมีเมทริกซ์ผกผัน ก-1. เพื่อหาเมทริกซ์ผกผัน ก-1 เราคำนวณการเสริมพีชคณิตให้กับองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ ก:

จากตัวเลขที่ได้รับ เราจะเขียนเมทริกซ์ (และการบวกพีชคณิตในแถวของเมทริกซ์ กเขียนมันลงในคอลัมน์ที่เหมาะสม) แล้วหารมันด้วยดีเทอร์มิแนนต์ D ดังนั้นเราจึงพบเมทริกซ์ผกผัน:

เราค้นหาวิธีแก้ไขระบบโดยใช้สูตร (1.15):

ดังนั้น,

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีกำจัดแบบจอร์แดนธรรมดา

ให้ระบบสมการเชิงเส้นตามอำเภอใจ (ไม่จำเป็นต้องเป็นกำลังสอง):

(1.16)

จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาให้กับระบบเช่น ชุดของตัวแปรที่ตอบสนองความเท่าเทียมกันของระบบทั้งหมด (1.16) ใน กรณีทั่วไประบบ (1.16) สามารถมีได้ไม่เพียงแต่โซลูชันเดียวเท่านั้น แต่ยังมีโซลูชันอีกนับไม่ถ้วนอีกด้วย มันอาจจะไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลยก็ได้

เมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวจะใช้วิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักในโรงเรียนที่รู้จักกันดีซึ่งเรียกอีกอย่างว่าวิธีกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดา สาระสำคัญของวิธีนี้คือในสมการหนึ่งของระบบ (1.16) ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจะแสดงในรูปของตัวแปรอื่น จากนั้นตัวแปรนี้จะถูกแทนที่ด้วยสมการอื่นๆ ในระบบ ผลลัพธ์ที่ได้คือระบบที่มีหนึ่งสมการและมีตัวแปรน้อยกว่าระบบเดิมหนึ่งตัว สมการที่แสดงตัวแปรจะถูกจดจำ

กระบวนการนี้จะถูกทำซ้ำจนกว่าสมการสุดท้ายจะยังคงอยู่ในระบบ ด้วยกระบวนการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ สมการบางอย่างอาจกลายเป็นตัวตนที่แท้จริงได้ เช่น สมการดังกล่าวไม่รวมอยู่ในระบบเนื่องจากสมการเหล่านี้พอใจกับค่าใด ๆ ของตัวแปรดังนั้นจึงไม่ส่งผลกระทบต่อการแก้ปัญหาของระบบ หากในกระบวนการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก สมการอย่างน้อยหนึ่งสมการกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่สามารถพอใจกับค่าของตัวแปรใด ๆ (ตัวอย่าง) เราก็สรุปได้ว่าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา

หากไม่มีสมการที่ขัดแย้งกันเกิดขึ้นระหว่างการแก้โจทย์ สมการสุดท้ายจะพบตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งในสมการนั้น หากสมการสุดท้ายเหลือตัวแปรเพียงตัวเดียว ตัวแปรนั้นจะแสดงเป็นตัวเลข หากตัวแปรอื่นยังคงอยู่ในสมการสุดท้าย ตัวแปรเหล่านั้นจะถือเป็นพารามิเตอร์ และตัวแปรที่แสดงผ่านตัวแปรเหล่านั้นจะเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์เหล่านี้ จากนั้นสิ่งที่เรียกว่า "การย้อนกลับ" จะเกิดขึ้น ตัวแปรที่พบจะถูกแทนที่ลงในสมการที่จดจำไว้สุดท้าย และพบตัวแปรตัวที่สอง จากนั้นตัวแปรที่พบทั้งสองจะถูกแทนที่ลงในสมการที่จดจำสุดท้าย และตัวแปรที่สามจะถูกพบ และต่อๆ ไป จนถึงสมการแรกที่จดจำ

เป็นผลให้เราได้รับวิธีแก้ไขปัญหาของระบบ คำตอบนี้จะไม่ซ้ำกันหากตัวแปรที่พบเป็นตัวเลข หากพบตัวแปรแรกแล้วตามด้วยตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมด ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์ (พารามิเตอร์แต่ละชุดสอดคล้องกับโซลูชันใหม่) สูตรที่ช่วยให้คุณค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาของระบบโดยขึ้นอยู่กับชุดพารามิเตอร์เฉพาะเรียกว่าวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ

ตัวอย่างที่ 1.11

หลังจากท่องจำสมการแรกได้แล้ว และนำคำที่คล้ายกันมาสู่สมการที่สองและสามที่เรามาถึงระบบ:

มาแสดงออกกันเถอะ ยจากสมการที่สองแล้วแทนลงในสมการแรก:

ให้เราจำสมการที่สองและจากสมการแรกที่เราพบ z:

การทำงานย้อนกลับเราพบอย่างต่อเนื่อง ยและ z- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราจะแทนที่สมการที่จำได้สุดท้ายจากจุดที่เราพบ ย:

จากนั้นเราจะแทนที่มันลงในสมการแรกที่จดจำได้ เราจะหามันได้ที่ไหน x:

ปัญหา 1.12.แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้:

. (1.17)

สารละลาย.ให้เราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xและแทนที่มันลงในสมการที่สองและสาม:

จำสมการแรกกัน

ในระบบนี้ สมการที่หนึ่งและที่สองขัดแย้งกัน แท้จริงแล้วการแสดงออก ย เราจะได้ 14 = 17 ความเท่าเทียมกันนี้ไม่ถือเป็นค่าใด ๆ ของตัวแปร x, ย, และ z- ส่งผลให้ระบบ (1.17) ไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เราขอเชิญชวนผู้อ่านให้ตรวจสอบด้วยตนเองว่าปัจจัยกำหนดหลักของระบบดั้งเดิม (1.17) มีค่าเท่ากับศูนย์

ให้เราพิจารณาระบบที่แตกต่างจากระบบ (1.17) ด้วยเทอมเดียวเท่านั้น

ปัญหา 1.13.แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้:

. (1.18)

สารละลาย.เช่นเดิมเราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xและแทนที่มันลงในสมการที่สองและสาม:

จำสมการแรกกัน และนำเสนอพจน์ที่คล้ายกันในสมการที่สองและสาม เรามาถึงระบบ:

กำลังแสดงออก ยจากสมการแรกแล้วนำไปแทนลงในสมการที่สอง เราได้รับข้อมูลประจำตัว 14 = 14 ซึ่งไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหาของระบบ ดังนั้นจึงสามารถแยกออกจากระบบได้

ในความเสมอภาคที่จำได้ครั้งสุดท้ายคือตัวแปร zเราจะถือว่ามันเป็นพารามิเตอร์ เราเชื่อ. แล้ว

มาทดแทนกัน ยและ zเข้าสู่ความเท่าเทียมกันครั้งแรกที่จดจำและค้นหา x:

ดังนั้น ระบบ (1.18) จึงมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนไม่สิ้นสุด และสามารถหาวิธีแก้ปัญหาใด ๆ ได้โดยใช้สูตร (1.19) โดยเลือกค่าพารามิเตอร์ที่กำหนดเอง ที:

(1.19)
ดังนั้น คำตอบของระบบ เช่น คือชุดของตัวแปรต่อไปนี้ (1; 2; 0), (2; 26; 14) เป็นต้น สูตร (1.19) แสดงถึงคำตอบทั่วไป (ใดๆ) ของระบบ (1.18 ).

ในกรณีที่ระบบเดิม (1.16) มีเพียงพอ จำนวนมากสมการและไม่ทราบวิธีการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดาที่ระบุดูเหมือนจะยุ่งยาก อย่างไรก็ตามนี่ไม่เป็นความจริง การได้มาซึ่งอัลกอริธึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบใหม่ในขั้นตอนเดียวก็เพียงพอแล้ว มุมมองทั่วไปและกำหนดวิธีแก้ไขปัญหาในรูปแบบตารางจอร์แดนพิเศษ

ให้ระบบรูปแบบเชิงเส้น (สมการ) ได้รับ:

, (1.20)
ที่ไหน เอ็กซ์เจ- ตัวแปรอิสระ (ค้นหา) ไอจ- อัตราต่อรองคงที่
(ฉัน = 1, 2,…, ม; เจ = 1, 2,…, n- ส่วนที่ถูกต้องของระบบ ใช่แล้ว (ฉัน = 1, 2,…, ม) อาจเป็นตัวแปร (ขึ้นอยู่กับ) หรือค่าคงที่ก็ได้ จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบนี้โดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ออกไป

ขอให้เราพิจารณาปฏิบัติการต่อไปนี้ ซึ่งต่อจากนี้ไปเรียกว่า "ขั้นตอนหนึ่งของการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดา" จากพลการ ( ร th) ความเท่าเทียมกันเราแสดงตัวแปรตามอำเภอใจ ( xs) และแทนที่ลงในความเท่าเทียมกันอื่นๆ ทั้งหมด แน่นอนว่าจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ อาร์เอส¹ 0. ค่าสัมประสิทธิ์ อาร์เอสเรียกว่าองค์ประกอบการแก้ปัญหา (บางครั้งเป็นแนวทางหรือหลัก)

เราจะได้ระบบดังนี้:

. (1.21)

จาก ส- ความเท่าเทียมกันของระบบ (1.21) เราจะพบตัวแปรในภายหลัง xs(หลังจากพบตัวแปรที่เหลือแล้ว) สบรรทัดที่ -th ถูกจดจำและแยกออกจากระบบในเวลาต่อมา ระบบที่เหลือจะมีหนึ่งสมการและตัวแปรอิสระหนึ่งตัวที่น้อยกว่าระบบเดิม

ให้เราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบผลลัพธ์ (1.21) ผ่านค่าสัมประสิทธิ์ของระบบดั้งเดิม (1.20) เริ่มต้นด้วย รสมการซึ่งหลังจากแสดงตัวแปรแล้ว xsผ่านตัวแปรที่เหลือจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ใหม่ รสมการต่างๆ คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

(1.23)
ให้เราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ใหม่ บีจ(ฉัน¹ ร) สมการตามอำเภอใจ- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เราแทนตัวแปรที่แสดงใน (1.22) xsวี ฉันสมการของระบบ (1.20):

หลังจากนำคำศัพท์ที่คล้ายกันมา เราจะได้รับ:

(1.24)
จากความเท่าเทียมกัน (1.24) เราได้สูตรที่คำนวณค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือของระบบ (1.21) (ยกเว้นข้อยกเว้น) รสมการที่:

(1.25)
การเปลี่ยนแปลงของระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดาจะแสดงในรูปแบบของตาราง (เมทริกซ์) ตารางเหล่านี้เรียกว่า "ตารางจอร์แดน"

ดังนั้น ปัญหา (1.20) จึงเชื่อมโยงกับตาราง Jordan ต่อไปนี้:

ตารางที่ 1.1

	x 1	x 2	…	เอ็กซ์เจ	…	xs	…	เอ็กซ์เอ็น
ย 1 =	ก 11	ก 12		ก 1เจ		ก 1ส		ก 1n
…………………………………………………………………..
ใช่แล้ว=	ฉัน 1	ฉัน 2		ไอจ		เป็น		ใน
…………………………………………………………………..
ใช่=	อาร์ 1	อาร์ 2		อาร์เจ		อาร์เอส		อาร์น
………………………………………………………………….
ใช่=	เช้า 1	เช้า 2		มจ		นางสาว		นาที

ตาราง Jordan 1.1 ประกอบด้วยคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้ายซึ่งใช้เขียนส่วนด้านขวาของระบบ (1.20) และแถวส่วนหัวด้านบนที่ใช้เขียนตัวแปรอิสระ

องค์ประกอบที่เหลือของตารางจะสร้างเมทริกซ์หลักของค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ (1.20) ถ้าคุณคูณเมทริกซ์ กไปยังเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวหัวเรื่องบนสุด คุณจะได้เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของคอลัมน์หัวเรื่องด้านซ้าย โดยพื้นฐานแล้ว ตาราง Jordan เป็นรูปแบบเมทริกซ์สำหรับการเขียนระบบสมการเชิงเส้น: ระบบ (1.21) สอดคล้องกับตารางจอร์แดนต่อไปนี้:

ตารางที่ 1.2

	x 1	x 2	…	เอ็กซ์เจ	…	ใช่	…	เอ็กซ์เอ็น
ย 1 =	ข 11	ข 12		ข 1 เจ		ข 1 ส		ข 1 n
…………………………………………………………………..
ใช่ ฉัน =	ข ฉัน 1	ข ฉัน 2		บีจ		ข คือ		ข เข้า
…………………………………………………………………..
x ส =	บีอาร์ 1	บีอาร์ 2		บีอาร์เจ		บีอาร์เอส		เบอร์น
………………………………………………………………….
ใช่ =	ข ม 1	ข ม 2		บีเอ็มเจ		บีเอ็มเอส		ข ม

องค์ประกอบที่อนุญาต อาร์เอส เราจะเน้นด้วยตัวหนา โปรดจำไว้ว่าหากต้องการใช้ขั้นตอนหนึ่งของการกำจัดจอร์แดน องค์ประกอบการแก้ไขจะต้องไม่เป็นศูนย์ แถวของตารางที่มีองค์ประกอบการเปิดใช้งานเรียกว่าแถวการเปิดใช้งาน คอลัมน์ที่มีองค์ประกอบเปิดใช้งานเรียกว่าคอลัมน์เปิดใช้งาน เมื่อย้ายจากตารางที่กำหนดไปยังตารางถัดไป ตัวแปรหนึ่งตัว ( xs) จากแถวหัวเรื่องด้านบนของตารางจะถูกย้ายไปยังคอลัมน์หัวเรื่องด้านซ้าย และในทางกลับกัน หนึ่งในสมาชิกที่ว่างของระบบ ( ใช่) ย้ายจากคอลัมน์หัวซ้ายของตารางไปยังแถวหัวบนสุด

ให้เราอธิบายอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ใหม่เมื่อย้ายจากตารางจอร์แดน (1.1) ไปยังตาราง (1.2) ซึ่งตามมาจากสูตร (1.23) และ (1.25)

1. องค์ประกอบการแก้ไขจะถูกแทนที่ด้วยหมายเลขผกผัน:

2. องค์ประกอบที่เหลือของสตริงการแก้ไขจะถูกหารด้วยองค์ประกอบการแก้ไขและเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม:

3. องค์ประกอบที่เหลือของคอลัมน์ความละเอียดจะแบ่งออกเป็นองค์ประกอบความละเอียด:

4. องค์ประกอบที่ไม่รวมอยู่ในแถวที่อนุญาตและคอลัมน์ที่อนุญาตจะถูกคำนวณใหม่โดยใช้สูตร:

สูตรสุดท้ายจำง่ายถ้าสังเกตองค์ประกอบที่ประกอบเป็นเศษส่วน , อยู่ที่สี่แยก ฉัน-โอ้และ ร-th บรรทัดและ เจและ สคอลัมน์ที่ th (การแยกแถว การแยกคอลัมน์ และแถวและคอลัมน์ที่จุดตัดซึ่งมีองค์ประกอบที่คำนวณใหม่ตั้งอยู่) แม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อจำสูตร คุณสามารถใช้ไดอะแกรมต่อไปนี้:

-21 -26 -13 -37

เมื่อดำเนินการขั้นตอนแรกของข้อยกเว้นของ Jordan คุณสามารถเลือกองค์ประกอบใดๆ ของตาราง 1.3 ที่อยู่ในคอลัมน์เป็นองค์ประกอบการแก้ปัญหา x 1 ,…, x 5 (องค์ประกอบที่ระบุทั้งหมดไม่เป็นศูนย์) อย่าเลือกองค์ประกอบการเปิดใช้งานในคอลัมน์สุดท้าย เพราะ คุณต้องค้นหาตัวแปรอิสระ x 1 ,…, x 5. เช่น เราเลือกค่าสัมประสิทธิ์ 1 ด้วยตัวแปร x 3 ในบรรทัดที่สามของตาราง 1.3 (องค์ประกอบการเปิดใช้งานแสดงเป็นตัวหนา) เมื่อย้ายไปยังตารางที่ 1.4 ตัวแปร x 3 จากแถวส่วนหัวบนสุดจะสลับกับค่าคงที่ 0 ของคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย (แถวที่สาม) ในกรณีนี้คือตัวแปร x 3 แสดงผ่านตัวแปรที่เหลือ

สตริง x 3 (ตารางที่ 1.4) สามารถแยกออกจากตารางที่ 1.4 ได้หลังจากจดจำล่วงหน้าแล้ว คอลัมน์ที่สามที่มีศูนย์ในบรรทัดหัวเรื่องด้านบนก็ไม่รวมอยู่ในตารางที่ 1.4 เช่นกัน ประเด็นก็คือโดยไม่คำนึงถึงอัตราต่อรอง ของคอลัมน์นี้ ข ฉัน 3 พจน์ที่สอดคล้องกันทั้งหมดของแต่ละสมการ 0 ข ฉัน 3 ระบบจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ การกำจัดตัวแปรหนึ่งตัว x 3 และจดจำสมการใดสมการหนึ่ง เราก็มาถึงระบบที่สอดคล้องกับตารางที่ 1.4 (โดยขีดเส้นออก x 3). การเลือกในตาราง 1.4 เป็นองค์ประกอบการแก้ไข ข 14 = -5 ไปที่ตาราง 1.5 ในตาราง 1.5 จำแถวแรกและแยกออกจากตารางพร้อมกับคอลัมน์ที่สี่ (โดยมีศูนย์อยู่ด้านบน)

ตารางที่ 1.5 ตารางที่ 1.6

จากตารางสุดท้าย 1.7 เราพบว่า: x 1 = - 3 + 2x 5 .

แทนที่ตัวแปรที่พบแล้วอย่างต่อเนื่องลงในบรรทัดที่จำได้ เราจะพบตัวแปรที่เหลือ:

ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด ตัวแปร x 5 สามารถกำหนดค่าได้ตามใจชอบ ตัวแปรนี้ทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ x 5 = เสื้อ เราได้พิสูจน์ความเข้ากันได้ของระบบและพบว่า วิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

x 1 = - 3 + 2ที

x 2 = - 1 - 3ที

x 3 = - 2 + 4ที . (1.27)
x 4 = 4 + 5ที

x 5 = ที

ให้พารามิเตอร์ ที ความหมายที่แตกต่างกันเราได้รับโซลูชันจำนวนอนันต์สำหรับระบบดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น คำตอบของระบบคือชุดตัวแปรต่อไปนี้ (- 3; - 1; - 2; 4; 0)

ในส่วนแรก เราดูเนื้อหาทางทฤษฎีบางอย่าง วิธีการแทนที่ ตลอดจนวิธีการบวกสมการของระบบทีละเทอม ฉันแนะนำให้ทุกคนที่เข้าถึงเว็บไซต์ผ่านหน้านี้เพื่ออ่านส่วนแรก บางทีผู้เยี่ยมชมบางคนอาจพบว่าเนื้อหาง่ายเกินไป แต่ในกระบวนการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ฉันได้แสดงความคิดเห็นและข้อสรุปที่สำคัญมากหลายประการเกี่ยวกับการแก้ปัญหา ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไป.

ตอนนี้เราจะวิเคราะห์กฎของ Cramer รวมถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน (วิธีเมทริกซ์) เนื้อหาทั้งหมดนำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียด และชัดเจน ผู้อ่านเกือบทั้งหมดจะสามารถเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการข้างต้น

ขั้นแรก เราจะมาดูรายละเอียดกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในค่าไม่ทราบค่าสองตัว เพื่ออะไร? - หลังจากนั้น ระบบที่ง่ายที่สุดแก้ได้โดยใช้วิธีโรงเรียน วิธีบวกแบบทีละภาค!

ความจริงก็คือแม้ว่าบางครั้งงานดังกล่าวจะเกิดขึ้น - เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวโดยใช้สูตรของแครมเมอร์ ประการที่สอง ตัวอย่างที่ง่ายกว่านี้จะช่วยให้คุณเข้าใจวิธีใช้กฎของแครเมอร์สำหรับกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น นั่นคือระบบสมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า

นอกจากนี้ยังมีระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวซึ่งแนะนำให้แก้โดยใช้กฎของแครมเมอร์!

พิจารณาระบบสมการ

ในขั้นตอนแรกเราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งเรียกว่า ปัจจัยกำหนดหลักของระบบ.

วิธีเกาส์

ถ้า ดังนั้นระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสองตัว:
และ

ในทางปฏิบัติ สามารถระบุคุณสมบัติข้างต้นได้เช่นกัน อักษรละติน.

เราค้นหารากของสมการโดยใช้สูตร:
,

ตัวอย่างที่ 7

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

สารละลาย: เราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของสมการค่อนข้างมากทางด้านขวาจะมี ทศนิยมด้วยลูกน้ำ ลูกน้ำเป็นแขกที่ค่อนข้างหายาก งานภาคปฏิบัติในทางคณิตศาสตร์ ผมเอาระบบนี้มาจากปัญหาทางเศรษฐมิติ

จะแก้ไขระบบดังกล่าวได้อย่างไร? คุณสามารถลองแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่งได้ แต่ในกรณีนี้ คุณอาจจะจบลงด้วยเศษส่วนแฟนซีที่แย่มากซึ่งใช้งานไม่สะดวกอย่างยิ่ง และการออกแบบโซลูชันจะดูแย่มาก คุณสามารถคูณสมการที่สองด้วย 6 และลบเทอมต่อเทอม แต่เศษส่วนเดียวกันก็จะเกิดขึ้นที่นี่เช่นกัน

จะทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ สูตรของ Cramer เข้ามาช่วยเหลือ

;

คำตอบ: ,

รากทั้งสองมีหางที่ไม่มีที่สิ้นสุดและพบได้โดยประมาณ ซึ่งค่อนข้างยอมรับได้ (และแม้แต่เรื่องธรรมดาด้วยซ้ำ) สำหรับปัญหาทางเศรษฐมิติ

ไม่จำเป็นต้องแสดงความคิดเห็นที่นี่เนื่องจากงานได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตรสำเร็จรูปอย่างไรก็ตามมีข้อแม้อยู่ประการหนึ่ง เมื่อใช้วิธีนี้ บังคับส่วนของการออกแบบงานคือส่วนต่อไปนี้: “นั่นหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร”- มิฉะนั้น ผู้ตรวจสอบอาจลงโทษคุณสำหรับการไม่เคารพทฤษฎีบทของแครเมอร์

การตรวจสอบซึ่งสามารถทำได้สะดวกบนเครื่องคิดเลขจะไม่ฟุ่มเฟือย: เราแทนที่ค่าโดยประมาณทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ ด้วยเหตุนี้ หากมีข้อผิดพลาดเล็กน้อย คุณควรได้ตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวา

ตัวอย่างที่ 8

แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนเกินสามัญ ทำการตรวจสอบ

นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบท้ายบทเรียน)

มาดูกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการ 3 สมการที่ไม่ทราบค่า 3 ตัวกัน:

เราค้นหาปัจจัยหลักของระบบ:

ถ้า แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุดหรือไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ในกรณีนี้ กฎของแครเมอร์จะไม่ช่วย คุณต้องใช้วิธีเกาส์

ถ้า จากนั้นระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสามตัว:
, ,

และสุดท้าย คำตอบก็คำนวณโดยใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็นโดยพื้นฐานแล้วกรณี "สามต่อสาม" นั้นไม่แตกต่างจากกรณี "สองต่อสอง" คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระตามลำดับ "เดิน" จากซ้ายไปขวาตามคอลัมน์ของปัจจัยหลัก

ตัวอย่างที่ 9

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์

สารละลาย: มาแก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์กันดีกว่า

ซึ่งหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

คำตอบ: .

ที่จริงแล้วไม่มีอะไรพิเศษที่จะแสดงความคิดเห็นที่นี่อีกครั้งเนื่องจากการแก้ปัญหาเป็นไปตามสูตรสำเร็จรูป แต่มีความคิดเห็นสองสามอย่าง

มันเกิดขึ้นว่าจากการคำนวณจะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ "ไม่ดี" เช่น: .
ฉันขอแนะนำอัลกอริทึม "การรักษา" ต่อไปนี้ หากคุณไม่มีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ทำดังนี้:

1) อาจมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ ทันทีที่คุณเจอเศษส่วนที่ “แย่” คุณต้องตรวจสอบทันที เขียนเงื่อนไขใหม่ถูกต้องหรือไม่?- หากเงื่อนไขถูกเขียนใหม่โดยไม่มีข้อผิดพลาด คุณจะต้องคำนวณปัจจัยกำหนดใหม่โดยใช้การขยายในแถวอื่น (คอลัมน์)

2) หากไม่มีการระบุข้อผิดพลาดจากการตรวจสอบ เป็นไปได้มากว่ามีการพิมพ์ผิดในเงื่อนไขของงาน ในกรณีนี้ ทำงานอย่างใจเย็นและระมัดระวังจนจบงานและจากนั้น อย่าลืมตรวจสอบและเราเก็บมันขึ้นมาบนคลีนชีตหลังการตัดสิน แน่นอนว่าการตรวจสอบคำตอบที่เป็นเศษส่วนนั้นเป็นงานที่ไม่น่าพอใจ แต่มันจะเป็นข้อโต้แย้งที่น่ากังวลสำหรับครูที่ชอบให้คะแนนลบสำหรับเรื่องไร้สาระเช่น วิธีจัดการกับเศษส่วนอธิบายไว้โดยละเอียดในคำตอบของตัวอย่างที่ 8

หากคุณมีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ใช้โปรแกรมอัตโนมัติเพื่อตรวจสอบ ซึ่งสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีตั้งแต่ต้นบทเรียน อย่างไรก็ตาม การใช้โปรแกรมทันทีจะทำกำไรได้มากที่สุด (ก่อนที่จะเริ่มวิธีแก้ปัญหา) คุณจะเห็นขั้นตอนกลางที่คุณทำผิดพลาดทันที! เครื่องคิดเลขเดียวกันจะคำนวณวิธีแก้ปัญหาให้กับระบบโดยอัตโนมัติ วิธีเมทริกซ์.

หมายเหตุที่สอง ในบางครั้งจะมีระบบในสมการที่ตัวแปรบางตัวหายไป เช่น

ในสมการแรกไม่มีตัวแปร สมการที่สองไม่มีตัวแปร ในกรณีเช่นนี้ การเขียนปัจจัยหลักอย่างถูกต้องและระมัดระวังเป็นสิ่งสำคัญมาก:
– เลขศูนย์จะถูกวางไว้แทนที่ตัวแปรที่หายไป
อย่างไรก็ตาม มีเหตุผลที่จะเปิดปัจจัยที่มีศูนย์ตามแถว (คอลัมน์) ซึ่งมีศูนย์อยู่เนื่องจากมีการคำนวณน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด

ตัวอย่างที่ 10

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ (ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบท้ายบทเรียน)

ในกรณีของระบบสมการ 4 สมการที่มี 4 ไม่ทราบ สูตรของแครเมอร์ก็เขียนตามหลักการที่คล้ายคลึงกัน คุณสามารถดูตัวอย่างสดได้ในบทเรียนคุณสมบัติของปัจจัยกำหนด การลดลำดับของดีเทอร์มิแนนต์ - ดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 4 ห้าตัวค่อนข้างแก้ไขได้ แม้ว่างานจะชวนให้นึกถึงรองเท้าของศาสตราจารย์บนหน้าอกของนักเรียนที่โชคดีอยู่แล้ว

การแก้ระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

วิธีเมทริกซ์ผกผันถือเป็นกรณีพิเศษ สมการเมทริกซ์(ดูตัวอย่างหมายเลข 3 ของบทเรียนที่ระบุ)

หากต้องการศึกษาส่วนนี้ คุณจะต้องสามารถขยายดีเทอร์มิแนนต์ ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ และทำการคูณเมทริกซ์ได้ ลิงก์ที่เกี่ยวข้องจะมีให้ตามความคืบหน้าของคำอธิบาย

ตัวอย่างที่ 11

แก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์

สารละลาย: ลองเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์:
, ที่ไหน

โปรดดูระบบสมการและเมทริกซ์ ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจหลักการที่เราเขียนองค์ประกอบลงในเมทริกซ์ ความคิดเห็นเดียว: หากตัวแปรบางตัวหายไปจากสมการ จะต้องวางศูนย์ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันในเมทริกซ์

เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร:
โดยที่ คือเมทริกซ์ขนย้ายของการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

ก่อนอื่น มาดูปัจจัยกำหนดกันก่อน:

ที่นี่ดีเทอร์มิแนนต์จะขยายอยู่ในบรรทัดแรก

ความสนใจ! ถ้า แสดงว่าเมทริกซ์ผกผันไม่มีอยู่ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ ในกรณีนี้ ระบบจะแก้ไขโดยวิธีกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบ (วิธี Gauss)

ตอนนี้เราต้องคำนวณตัวรอง 9 ตัวแล้วเขียนลงในเมทริกซ์ตัวรอง

อ้างอิง:การทราบความหมายของตัวห้อยคู่ในพีชคณิตเชิงเส้นมีประโยชน์ หลักแรกคือหมายเลขบรรทัดที่ องค์ประกอบนี้- หลักที่สองคือจำนวนคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบอยู่:

นั่นคือ ตัวห้อยคู่บ่งชี้ว่าองค์ประกอบอยู่ในแถวแรก คอลัมน์ที่สาม และตัวอย่าง องค์ประกอบอยู่ใน 3 แถว 2 คอลัมน์

เพื่อที่จะเชี่ยวชาญย่อหน้านี้ คุณจะต้องสามารถเปิดเผยปัจจัยกำหนด "สองต่อสอง" และ "สามต่อสาม" ได้ หากเข้ารอบไม่ดีโปรดศึกษาบทเรียน จะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างไร?

ขั้นแรก เราจะมาดูรายละเอียดกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในค่าไม่ทราบค่าสองตัว เพื่ออะไร? – ท้ายที่สุดแล้ว ระบบที่ง่ายที่สุดสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีของโรงเรียน วิธีการบวกแบบทีละเทอม!

พิจารณาระบบสมการ

วิธีเกาส์

ในทางปฏิบัติ ตัวระบุข้างต้นสามารถแสดงด้วยตัวอักษรละตินได้เช่นกัน

เราค้นหารากของสมการโดยใช้สูตร:
,

ตัวอย่างที่ 7

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

สารละลาย: เราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของสมการค่อนข้างมาก โดยทางด้านขวาจะมีเศษส่วนทศนิยมพร้อมเครื่องหมายจุลภาค ลูกน้ำเป็นแขกที่ค่อนข้างหายากในงานภาคปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ ฉันเอาระบบนี้มาจากปัญหาทางเศรษฐมิติ

จะทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ สูตรของ Cramer เข้ามาช่วยเหลือ

;

คำตอบ: ,

ตัวอย่างที่ 8

แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนเกินสามัญ ทำการตรวจสอบ

มาดูกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการ 3 สมการที่ไม่ทราบค่า 3 ตัวกัน:

เราค้นหาปัจจัยหลักของระบบ:

และสุดท้าย คำตอบก็คำนวณโดยใช้สูตร:

ตัวอย่างที่ 9

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์

คำตอบ: .

หากคุณมีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ใช้โปรแกรมอัตโนมัติเพื่อตรวจสอบ ซึ่งสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีตั้งแต่ต้นบทเรียน อย่างไรก็ตาม การใช้โปรแกรมทันทีจะทำกำไรได้มากที่สุด (ก่อนที่จะเริ่มวิธีแก้ปัญหา) คุณจะเห็นขั้นตอนกลางที่คุณทำผิดพลาดทันที! เครื่องคิดเลขเดียวกันจะคำนวณวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยอัตโนมัติโดยใช้วิธีเมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 10

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์

การแก้ระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

ตัวอย่างที่ 11

แก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์

สารละลาย: ลองเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์:
, ที่ไหน

ก่อนอื่น มาดูปัจจัยกำหนดกันก่อน:

ที่นี่ดีเทอร์มิแนนต์จะขยายอยู่ในบรรทัดแรก

ตอนนี้เราต้องคำนวณตัวรอง 9 ตัวแล้วเขียนลงในเมทริกซ์ตัวรอง

อ้างอิง:การทราบความหมายของตัวห้อยคู่ในพีชคณิตเชิงเส้นมีประโยชน์ ตัวเลขตัวแรกคือจำนวนบรรทัดที่องค์ประกอบนั้นตั้งอยู่ หลักที่สองคือจำนวนคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบอยู่:

นั่นคือ ตัวห้อยคู่บ่งชี้ว่าองค์ประกอบอยู่ในแถวแรก คอลัมน์ที่สาม และตัวอย่าง องค์ประกอบอยู่ใน 3 แถว 2 คอลัมน์

ในระหว่างการแก้ปัญหาจะเป็นการดีกว่าที่จะอธิบายรายละเอียดการคำนวณของผู้เยาว์โดยละเอียด แม้ว่าจะมีประสบการณ์บางอย่างที่คุณสามารถคุ้นเคยกับการคำนวณโดยมีข้อผิดพลาดด้วยวาจา

แก้ระบบโดยใช้ตัวอย่างวิธีของแครมเมอร์ สมการเชิงเส้น

วิธีแครมเมอร์คืออะไร?

เทคนิคการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีแครเมอร์

สามกรณีเมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์

ด้านบนของหน้า

เรายังคงแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีของ Cramer ร่วมกัน

การดำเนินการกับเมทริกซ์

การบวกเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์

เมทริกซ์ผกผัน การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีกำจัดแบบจอร์แดนธรรมดา

การแก้ระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

การแก้ระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

การทดสอบ Rorschach: รูปภาพและการถอดเสียง

ฉันเก็บมะนาวไว้ 1 ลูก หนังสือในฝันมีเยอะมาก

พระเครื่องเครื่องรางของขลังและความหมายของพวกเขา

ภาพรวมโดยย่อของกองทัพในยุคกลาง

หมวดหมู่