คำนิยาม 8.4สมการเชิงอนุพันธ์ของแบบฟอร์ม

ที่ไหน
เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์รวม

โปรดทราบว่าด้านซ้ายของสมการคือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน
.

โดยทั่วไปสมการ (8.4) สามารถแสดงได้เป็น

แทนที่จะเป็นสมการ (8.5) เราสามารถพิจารณาสมการได้

,

วิธีแก้คืออินทิกรัลทั่วไปของสมการ (8.4) ดังนั้นในการแก้สมการ (8.4) จึงจำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชัน
- ตามคำจำกัดความของสมการ (8.4) เราได้

(8.6)

การทำงาน
เราจะค้นหาฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งเหล่านี้ (8.6):

ที่ไหน - ฟังก์ชั่นตามอำเภอใจที่เป็นอิสระจาก .

การทำงาน
ถูกกำหนดเพื่อให้ตรงตามเงื่อนไขที่สองของนิพจน์ (8.6)

(8.7)

จากนิพจน์ (8.7) ฟังก์ชันจะถูกกำหนด
- การแทนที่มันลงในนิพจน์สำหรับ
และได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการดั้งเดิม

ปัญหา 8.3สมการอินทิกรัล

ที่นี่
.

ดังนั้นสมการนี้จึงอยู่ในประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์ในอนุพันธ์รวม การทำงาน
เราจะค้นหามันในรูปแบบ

.

อีกด้านหนึ่ง

.

ในบางกรณีมีสภาพ
ไม่อาจเติมเต็มได้

จากนั้นสมการดังกล่าวก็จะลดลงเหลือประเภทที่พิจารณาโดยการคูณด้วยสิ่งที่เรียกว่าตัวประกอบการปริพันธ์ ซึ่งใน กรณีทั่วไป, เป็นฟังก์ชันเท่านั้น หรือ .

หากสมการบางสมการมีปัจจัยอินทิเกรตที่ขึ้นอยู่กับเท่านั้น แล้วจึงถูกกำหนดโดยสูตร

ความสัมพันธ์อยู่ที่ไหน ควรเป็นฟังก์ชันเท่านั้น .

ในทำนองเดียวกันปัจจัยการอินทิเกรตขึ้นอยู่กับเท่านั้น ถูกกำหนดโดยสูตร

ความสัมพันธ์อยู่ที่ไหน
ควรเป็นฟังก์ชันเท่านั้น .

ขาดความสัมพันธ์ที่กำหนด ในกรณีแรก ของตัวแปร และในวินาที - ตัวแปร เป็นสัญญาณของการมีอยู่ของปัจจัยการอินทิเกรตสำหรับสมการที่กำหนด

ปัญหา 8.4.ลดสมการนี้ให้เป็นสมการในผลต่างรวม

.

พิจารณาความสัมพันธ์:

.

หัวข้อ 8.2. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

คำจำกัดความ 8.5- สมการเชิงอนุพันธ์
เรียกว่าเชิงเส้นถ้าเป็นเชิงเส้นโดยสัมพันธ์กับฟังก์ชันที่ต้องการ อนุพันธ์ของมัน และไม่มีผลคูณของฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์ของมัน

รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแสดงด้วยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

(8.8)

หากสัมพันธ์กัน (8.8) ทางด้านขวา
จากนั้นสมการดังกล่าวเรียกว่าเอกพันธ์เชิงเส้น ในกรณีที่ ด้านขวา
จากนั้นสมการดังกล่าวเรียกว่าเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

ให้เราแสดงว่าสมการ (8.8) สามารถบูรณาการในพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสได้

ในระยะแรก เราจะพิจารณาสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

สมการดังกล่าวเป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกไม่ออก จริงหรือ,

;

/

ความสัมพันธ์สุดท้ายเป็นตัวกำหนด วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

ในการหาคำตอบทั่วไปของสมการอินเอกจีนัสเชิงเส้น จะใช้วิธีการเปลี่ยนอนุพันธ์ของค่าคงที่ แนวคิดของวิธีนี้คือคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นอยู่ในรูปแบบเดียวกับคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน แต่เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ ถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันบางอย่าง
ที่จะถูกกำหนด ดังนั้นเราจึงมี:

(8.9)

การแทนที่ความสัมพันธ์ (8.8) นิพจน์ที่สอดคล้องกัน
และ
เราได้รับ

แทนที่นิพจน์สุดท้ายเป็นความสัมพันธ์ (8.9) เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้น

ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นจึงถูกกำหนดโดยพื้นที่สองส่วน ได้แก่ คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น และคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

ปัญหา 8.5สมการอินทิกรัล

ดังนั้น สมการดั้งเดิมจึงอยู่ในประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้น

ในระยะแรก เราจะหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

;

ในขั้นที่สอง เราจะหาคำตอบทั่วไปของสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้นซึ่งพบในรูปแบบ

,

ที่ไหน
- ฟังก์ชั่นที่จะกำหนด

ดังนั้นเราจึงมี:

ทดแทนความสัมพันธ์ของ และ ในสมการเชิงเส้นตรงแบบไม่เอกพันธ์ดั้งเดิมที่เราได้รับ:

;

;

.

ผลเฉลยทั่วไปของสมการแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นจะมีรูปแบบดังนี้

.

คำจำกัดความ: สมการของแบบฟอร์ม

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

โดยที่ด้านซ้ายคือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรสองตัว เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์รวม

ให้เราแสดงฟังก์ชันนี้ของตัวแปรสองตัวด้วย F(x,y) จากนั้นสมการ (9) สามารถเขียนใหม่ได้เป็น dF(x,y) = 0 และสมการนี้มีคำตอบทั่วไป F(x,y) = C

ให้สมการของแบบฟอร์ม (9) ในการที่จะดูว่ามันเป็นสมการเชิงอนุพันธ์รวมหรือไม่ คุณต้องตรวจสอบว่านิพจน์นั้นเป็นสมการหรือไม่

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

ผลต่างรวมของฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรสองตัว ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องตรวจสอบความเท่าเทียมกัน

สมมติว่าสำหรับนิพจน์ที่กำหนด (10) ความเท่าเทียมกัน (11) เป็นที่พอใจในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย ๆ (S) ดังนั้น นิพจน์ (10) จึงเป็นผลต่างรวมของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน F(x,y) ใน (S) ).

ลองพิจารณาวิธีการต่อไปนี้ในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟนี้ มีความจำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชัน F(x,y) เช่นนั้น

โดยที่ฟังก์ชัน (y) จะถูกกำหนดไว้ด้านล่าง จากสูตร (12) จึงเป็นไปตามนั้น

ทุกจุดของภูมิภาค (S) ตอนนี้เรามาเลือกฟังก์ชัน (y) เพื่อให้มีความเท่าเทียมกัน

ในการทำเช่นนี้ เราเขียนความเท่าเทียมกัน (14) ที่เราต้องการใหม่ โดยแทนที่ F(x,y) นิพจน์ตามสูตร (12):

ขอให้เราแยกความแตกต่างด้วยความเคารพต่อ y ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัล (สามารถทำได้ตั้งแต่ P(x,y) และเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของตัวแปรสองตัว):

เนื่องจากตาม (11) ดังนั้นแทนที่ด้วยภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัลใน (16) เรามี:

เมื่ออินทิเกรตกับ y แล้ว เราจะพบฟังก์ชัน (y) ซึ่งถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่ทำให้ความเท่าเทียมกัน (14) เป็นที่น่าพอใจ เมื่อใช้ความเท่าเทียมกัน (13) และ (14) เราจะเห็นว่า

ในพื้นที่ (S) (18)

ตัวอย่างที่ 5 ตรวจสอบว่าได้รับหรือไม่ สมการเชิงอนุพันธ์สมการในดิฟเฟอเรนเชียลรวมแล้วแก้มัน

นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์ในผลต่างรวม ที่จริงแล้ว โดยการกำหนด เราเชื่อมั่นเช่นนั้น

และนี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความจริงที่ว่าการแสดงออก

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

คือผลต่างรวมของฟังก์ชัน U(x,y) ยิ่งไปกว่านั้น สิ่งเหล่านี้คือฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันใน R

ดังนั้น เพื่อรวมสมการเชิงอนุพันธ์นี้ คุณต้องหาฟังก์ชันที่ด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์เป็นอนุพันธ์รวม ให้ฟังก์ชันดังกล่าวเป็น U(x,y)

เมื่อรวมด้านซ้ายและขวาเข้าด้วยกันบน x เราจะได้:

ในการหา q(y) เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า

แทนที่ค่าที่พบ μ(y) ลงใน (*) ในที่สุดเราก็ได้ฟังก์ชัน U(x,y):

อินทิกรัลทั่วไปของสมการดั้งเดิมมีรูปแบบ

ประเภทพื้นฐานของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (ต่อ)

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

คำจำกัดความ: สมการเชิงเส้นลำดับที่หนึ่งคือสมการของรูปแบบ

y" + P(x)y = ฉ(x), (21)

โดยที่ P(x) และ f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

ชื่อของสมการอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าอนุพันธ์ y" เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ y นั่นคือถ้าเราเขียนสมการ (21) ใหม่ในรูปแบบ y" = - P(x) + f(x) แล้ว ด้านขวามี y ยกกำลังแรกเท่านั้น

ถ้า f(x) = 0 แล้วสมการ

คุณ+ P(x) y = 0 (22)

เรียกว่าเชิงเส้น สมการเอกพันธ์- แน่นอนว่าสมการเชิงเส้นเอกพันธ์คือสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกได้:

y" +P(x)y = 0; ,

ถ้า f(x) ? 0 แล้วสมการ

คุณ+ P(x) y = f(x) (23)

เรียกว่าสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้น

โดยทั่วไปแล้ว ตัวแปรในสมการ (21) ไม่สามารถแยกออกจากกันได้

สมการ (21) ได้รับการแก้ไขดังนี้: เราจะหาคำตอบในรูปแบบของผลคูณของสองฟังก์ชัน U(x) และ V(x):

มาหาอนุพันธ์กัน:

y" = U"V + UV" (25)

และแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x)

มาจัดกลุ่มคำศัพท์ทางด้านซ้าย:

U"V + U = ฉ(x). (26)

ให้เรากำหนดเงื่อนไขให้กับปัจจัยตัวใดตัวหนึ่ง (24) กล่าวคือ เราถือว่าฟังก์ชัน V(x) เปลี่ยนนิพจน์ในวงเล็บเหลี่ยมใน (26) ให้กลายเป็นศูนย์เหมือนกัน นั่นคือ ว่าเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์

วี" + พี(x)วี = 0 (27)

นี่คือสมการที่มีตัวแปรแยกกันได้ เราจะหา V(x) จากมัน:

ทีนี้ลองหาฟังก์ชัน U(x) โดยที่เมื่อพบฟังก์ชัน V(x) แล้ว ผลคูณ UV จะเป็นคำตอบของสมการ (26) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำเป็นที่ U(x) จะเป็นคำตอบของสมการ

นี่คือสมการที่แยกออกจากกันไม่ได้

แทนที่ฟังก์ชันที่พบ (28) และ (30) ลงในสูตร (4) เราจะได้คำตอบทั่วไปของสมการ (21):

ดังนั้นวิธีที่พิจารณา (วิธีเบอร์นูลลี) จึงช่วยลดการแก้ปัญหา สมการเชิงเส้น(21) การแก้สมการสองสมการที่มีตัวแปรที่แยกจากกันไม่ได้

ตัวอย่างที่ 6 ค้นหาอินทิกรัลทั่วไปของสมการ

สมการนี้ไม่เป็นเชิงเส้นด้วยความเคารพต่อ y และ y" แต่จะกลายเป็นเชิงเส้นถ้าเราถือว่า x เป็นฟังก์ชันที่ต้องการและ y เป็นอาร์กิวเมนต์ อันที่จริงเมื่อผ่านไปแล้ว เราได้รับ

ในการแก้สมการผลลัพธ์ เราใช้วิธีทดแทน (เบอร์นูลลี) เราจะหาคำตอบของสมการในรูปแบบ x(y)=U(y)V(y) จากนั้น เราได้รับสมการ:

ให้เราเลือกฟังก์ชัน V(y) เพื่อสิ่งนั้น แล้ว

นักศึกษามหาวิทยาลัยมักจะค้นหาข้อมูล "จะหาคำตอบของสมการในผลต่างรวมได้อย่างไร"จากบทเรียนนี้ คุณจะได้รับคำแนะนำที่ครบถ้วนพร้อมทั้งโซลูชันสำเร็จรูป ขั้นแรกแนะนำสั้น ๆ - สมการในผลต่างรวมคืออะไร? จะหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์รวมได้อย่างไร?
การวิเคราะห์เพิ่มเติม ตัวอย่างสำเร็จรูปหลังจากนั้นคุณอาจไม่มีคำถามเหลืออยู่ในหัวข้อนี้

สมการในผลต่างรวม

คำจำกัดความ 1. สมการในรูปแบบ M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 เรียกว่า สมการในผลต่างรวมถ้าการพึ่งพาหน้าเครื่องหมายเท่ากับคือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางตัวของตัวแปรสองตัว u(x,y) แสดงว่ามีสูตรที่ยุติธรรม
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx
(1)
ดังนั้น สมการดั้งเดิมในเนื้อหาหมายความว่าผลต่างรวมของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์
ดู่(x,y)=0 . การรวมส่วนต่างที่เราได้รับอินทิกรัลทั่วไป
การควบคุมระยะไกลในรูปแบบ
คุณ(x,y)=C.
(2) ตามกฎแล้วในการคำนวณค่าคงที่จะถูกตั้งค่าเท่ากับศูนย์
ก่อนการคำนวณจะมีคำถามเกิดขึ้นเสมอ

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับผลต่างรวม

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับผลต่างรวมคือความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์บางส่วน
(3)
เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ อันดับแรกจะมีการตรวจสอบเพื่อระบุว่าสมการนั้นอยู่ในส่วนต่างรวมหรือสมการอื่นที่เป็นไปได้หรือไม่
ในแง่ของเนื้อหา เงื่อนไขนี้หมายความว่าอนุพันธ์แบบผสมของฟังก์ชันมีค่าเท่ากัน
ในสูตรโดยคำนึงถึงการขึ้นต่อกัน
(4)
เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของผลต่างรวมเราสามารถเขียนมันในรูปแบบได้

เกณฑ์ที่กำหนดจะใช้ในการตรวจสอบสมการว่าสอดคล้องกับผลต่างรวม แม้ว่าเมื่อศึกษาหัวข้อนี้ ครูจะไม่ถามคุณถึงสมการประเภทอื่น

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการในผลต่างรวม

จากสัญกรณ์ (4) ของอนุพันธ์ย่อยของผลต่างรวมของฟังก์ชัน จะได้ว่าเราสามารถหา u(x,y) โดยการอินทิเกรต

สูตรเหล่านี้เป็นทางเลือกในการคำนวณ ดังนั้น สำหรับการบูรณาการ ให้เลือกอนุพันธ์บางส่วนที่หาอินทิกรัลได้ง่ายกว่าในทางปฏิบัติ
ต่อไป จุดสำคัญที่สอง - อินทิกรัลไม่ จำกัดแสดงถึงแอนติเดริเวทีฟนั่นคือ "+ C" ที่ควรกำหนด
ดังนั้น หากเราอินทิเกรตอนุพันธ์บางส่วน M(x,y) ด้วยความเคารพต่อ “x” ดังนั้นอนุพันธ์จะขึ้นอยู่กับ y และในทางกลับกัน - หากเราอินทิเกรต N(x,y) ด้วยความเคารพต่อ y อนุพันธ์จะขึ้นอยู่กับ y “เอ็กซ์”
ขั้นต่อไป เพื่อกำหนดค่าคงที่ ให้หาอนุพันธ์ของ u(x,y) เทียบกับตัวแปรอื่นที่ไม่ใช่ตัวแปรที่ใช้อินทิเกรตแล้วนำมาเทียบกับอนุพันธ์ย่อยตัวที่สอง
ในสูตรจะมีลักษณะเช่นนี้

ตามกฎแล้ว คำศัพท์บางคำจะถูกทำให้ง่ายขึ้นและเราได้สมการสำหรับอนุพันธ์ของค่าคงที่ สำหรับสมการแรกที่เราได้รับ

ในที่สุดอินทิกรัลทั่วไปหลังจากกำหนดค่าคงที่จะมีรูปแบบ

ในรูปแบบสมมาตร เราได้คำตอบสำหรับสมการอื่น
การบันทึกดูซับซ้อน แต่ในความเป็นจริงแล้ว ทุกอย่างดูเรียบง่ายและชัดเจนกว่ามาก วิเคราะห์ปัญหาผลต่างรวมต่อไปนี้

พร้อมตอบสมการในส่วนผลต่างรวม

ตัวอย่างที่ 1

วิธีแก้: ทางด้านซ้ายของสมการคือ เฟืองท้ายเต็มฟังก์ชันบางอย่างเนื่องจากเป็นไปตามเงื่อนไข

จากที่นี่ เขียนอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวจาก "เอ็กซ์"

และโดยการบูรณาการเราจะพบรูปแบบของมัน

เพื่อกำหนดค่าคงที่เพิ่มเติม ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเทียบกับ"y" และนำไปเทียบกับค่าในสมการ

เรายกเลิกเงื่อนไขที่คล้ายกันทางด้านขวาและด้านซ้าย หลังจากนั้นเราจะพบค่าคงที่โดยการอินทิเกรต

ตอนนี้เรามีปริมาณทั้งหมดที่จะบันทึกแล้ว คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ

คุณจะมั่นใจได้อย่างไร รูปแบบการแก้สมการในผลต่างรวมมันไม่ซับซ้อนและใครๆ ก็สามารถเรียนรู้ได้ ปัจจัยในความแตกต่างมีความสำคัญเนื่องจากจะต้องบูรณาการและแยกความแตกต่างเพื่อหาวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 2 (6.18) ค้นหาอินทิกรัลของสมการเชิงอนุพันธ์

วิธีแก้ปัญหา: ตามทฤษฎี ทางด้านซ้ายของสมการควรเป็นค่าผลต่างรวมของฟังก์ชันบางตัวของตัวแปรสองตัว u(x,y) และเราตรวจสอบว่าเป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่

จากที่นี่เราหาอนุพันธ์ย่อยและหาฟังก์ชันผ่านอินทิกรัล

เราคำนวณอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวด้วยความเคารพ y และจัดให้มันอยู่ทางด้านขวาของสมการเชิงอนุพันธ์

อนุพันธ์แสดงโดยการพึ่งพา

เมื่อคำนึงถึงค่าคงที่ เราได้มันมาในรูปแบบ

การดำเนินการคำนวณสำหรับตัวอย่างนี้เสร็จสมบูรณ์

ตัวอย่างที่ 3 (6.20)แก้สมการเชิงอนุพันธ์

วิธีแก้: ทางด้านซ้ายของสมการจะเป็นผลต่างรวมของฟังก์ชันบางตัวของตัวแปรสองตัว u(x; y) หากตรงตามเงื่อนไข

จากที่นี่เราเริ่มแก้สมการ หรือแทนที่จะรวมอนุพันธ์ย่อยตัวใดตัวหนึ่งเข้าด้วยกัน

ต่อไปเราจะค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผลลัพธ์เทียบกับตัวแปร y และจัดให้อยู่ทางด้านขวาของการพึ่งพาเชิงอนุพันธ์

วิธีนี้ช่วยให้คุณค้นหาค่าคงที่เป็นฟังก์ชันของ y ได้ ถ้าเราเริ่มแสดงการพึ่งพาส่วนต่างทางด้านขวา เราจะพบว่าค่าคงที่ขึ้นอยู่กับ x มันจะไม่เปลี่ยนแปลงเพื่อ สมการที่กำหนดดูเหมือนว่า

นี่เป็นการสรุปตัวอย่าง ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เราก็สามารถเขียนสูตรได้

เพื่อรวบรวมหัวข้อนี้ เราขอให้คุณตรวจสอบอย่างอิสระว่าสมการเหล่านี้เป็นสมการในอนุพันธ์รวมแล้วแก้สมการเหล่านี้:
ที่นี่คุณจะพบกับฟังก์ชันรูท ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ทุกสิ่งที่คาดหวังได้ในโมดูลและการสอบ
หลังจากนี้ คุณจะแก้สมการประเภทนี้ได้ง่ายขึ้นมาก
ในบทความหน้า คุณจะคุ้นเคยกับสมการของแบบฟอร์ม
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
ซึ่งค่อนข้างคล้ายกับสมการในผลต่างรวม แต่ไม่ตรงตามเงื่อนไขความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์ย่อย คำนวณโดยการค้นหาปัจจัยการอินทิเกรต แล้วคูณด้วยสมการที่กำหนดจนกลายเป็นสมการในผลต่างรวม

มีรูปแบบมาตรฐาน $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$ โดยทางด้านซ้ายคือผลรวมของฟังก์ชัน $F \left( x,y\right)$ เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์รวม

สมการในผลต่างรวมสามารถเขียนใหม่ได้เสมอเป็น $dF\left(x,y\right)=0$ โดยที่ $F\left(x,y\right)$ เป็นฟังก์ชันที่ $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$

ลองอินทิเกรตทั้งสองด้านของสมการ $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; อินทิกรัลของด้านขวามือเป็นศูนย์เท่ากับค่าคงที่ใดๆ ของ $C$ ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการนี้ในรูปแบบโดยปริยายคือ $F\left(x,y\right)=C$

เพื่อให้สมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดเป็นสมการในผลต่างรวม จำเป็นและเพียงพอที่เงื่อนไข $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ มีความพึงพอใจ หากตรงตามเงื่อนไขที่ระบุ ก็จะมีฟังก์ชัน $F\left(x,y\right)$ ซึ่งเราสามารถเขียนได้: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$ ซึ่งเราจะได้ความสัมพันธ์สองความสัมพันธ์ : $\frac(\ บางส่วน F)(\บางส่วน x) =P\left(x,y\right)$ และ $\frac(\บางส่วน F)(\บางส่วน y) =Q\left(x,y\right )$

เรารวมความสัมพันธ์แรก $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ ส่วน $x$ และรับ $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ โดยที่ $U\left(y\right)$ เป็นฟังก์ชันใดๆ ของ $y$

ให้เราเลือกมันเพื่อให้ความสัมพันธ์ที่สอง $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ เป็นที่น่าพอใจ ในการทำเช่นนี้ เราแยกความแตกต่างความสัมพันธ์ผลลัพธ์สำหรับ $F\left(x,y\right)$ เทียบกับ $y$ และเทียบผลลัพธ์กับ $Q\left(x,y\right)$ เราได้รับ: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\ขวา)$.

วิธีแก้ไขเพิ่มเติมคือ:

• จากความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุด เราจะพบว่า $U"\left(y\right)$;
• รวม $U"\left(y\right)$ และค้นหา $U\left(y\right)$;
• แทนที่ $U\left(y\right)$ ลงในความเท่าเทียมกัน $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ และสุดท้ายเราก็ได้ฟังก์ชัน $F\left(x,y\right)$

\

เราพบความแตกต่าง:

เรารวม $U"\left(y\right)$ มากกว่า $y$ และหา $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$

ค้นหาผลลัพธ์: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$

เราเขียนคำตอบทั่วไปในรูปแบบ $F\left(x,y\right)=C$ กล่าวคือ:

หาคำตอบเฉพาะ $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$ โดยที่ $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

ผลเฉลยบางส่วนมีรูปแบบ: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$