วิธีหาค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมโดยรู้ด้านของมัน ค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐานสามเหลี่ยมคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยมนี้

คุณสมบัติค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม

1. ค่ามัธยฐานแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน

2. ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งแบ่งแต่ละส่วนในอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากด้านบน จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยม (เซนทรอยด์)

3. รูปสามเหลี่ยมทั้งหมดถูกหารด้วยค่ามัธยฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมหกรูปเท่าๆ กัน

ความยาวของเส้นมัธยฐานที่ลากไปด้านข้าง: ( doc โดยสร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและใช้ความเท่าเทียมกันในสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นสองเท่าของผลรวมของกำลังสองด้านและผลรวมกำลังสองของเส้นทแยงมุม )

ที1.ค่ามัธยฐานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุด M ซึ่งแบ่งแต่ละจุดในอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ให้: ∆ เอบีซี,เอสเอส 1, เอเอ 1, BB 1 - ค่ามัธยฐาน
∆เอบีซี. พิสูจน์: และ

D-in: ให้ M เป็นจุดตัดของค่ามัธยฐาน CC 1 , AA 1 ของสามเหลี่ยม ABC หมายเหตุ A 2 - ตรงกลางของส่วน AM และ C 2 - ตรงกลางของส่วน CM จากนั้น A 2 C 2 คือเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม โรคเอเอ็มเอสวิธี, เอ2ซี2|| เครื่องปรับอากาศ

และ A 2 C 2 \u003d 0.5 * AC กับ 1 ก 1 คือเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม ABC ดังนั้น ก 1 กับ 1 || เอซีและอ 1 กับ 1 \u003d 0.5 * เอซี

รูปสี่เหลี่ยม ก 2 ค 1 ก 1 ค 2- สี่เหลี่ยมด้านขนานเนื่องจากด้านตรงข้าม A 1 กับ 1 และ เอ2ซี2เท่ากันและขนานกัน เพราะฉะนั้น, เอ 2 ม =ศศ.ม 1 และ ค 2 ม =นางสาว 1 . ซึ่งหมายความว่าจุด เอ 2และ มแบ่งค่ามัธยฐาน เอเอ 2เป็นสามส่วนเท่าๆ กัน เช่น AM = 2MA 2. ในทำนองเดียวกัน CM = 2MC 1 . ดังนั้น จุด M ของจุดตัดของค่ามัธยฐานสองค่า เอเอ 2และ ซีซี2สามเหลี่ยม ABC แบ่งแต่ละอันในอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากจุดยอดของสามเหลี่ยม ในทำนองเดียวกัน มีการพิสูจน์ว่าจุดตัดกันของค่ามัธยฐาน AA 1 และ BB 1 แบ่งแต่ละจุดในอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากจุดยอดของสามเหลี่ยม

บนค่ามัธยฐาน AA 1 จุดดังกล่าวคือจุด M ดังนั้น จุด มและมีจุดตัดของค่ามัธยฐาน AA 1 และ BB 1

ดังนั้น, น

ที2.พิสูจน์ว่าส่วนที่เชื่อมต่อเซนทรอยด์กับจุดยอดของสามเหลี่ยมแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน กำหนด: ∆ABC , เป็นค่ามัธยฐาน

พิสูจน์: เอส แอมบ =เอส บีเอ็มซี =S-บบส.การพิสูจน์. ใน,พวกเขามีเหมือนกัน เพราะ ฐานของพวกเขาเท่ากัน และความสูงที่ลากจากด้านบน เอ็มพวกเขามีเหมือนกัน แล้ว

ในทำนองเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า S AMB = S AMCดังนั้น, S AMB = S AMC = S CMBน

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม ทฤษฎีบทต่างๆ เกี่ยวกับเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม สูตรการหาเส้นแบ่งครึ่ง

เส้นแบ่งครึ่งมุมรังสีที่เริ่มต้นที่จุดยอดของมุมและแบ่งมุมออกเป็นสองมุมเท่าๆ กัน

เส้นแบ่งครึ่งมุมคือตำแหน่งของจุดภายในมุมที่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน

คุณสมบัติ

1. ทฤษฎีบทแบ่งครึ่ง: เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของสามเหลี่ยมแบ่งด้านตรงข้ามในอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของด้านประชิดทั้งสอง

2. เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง - ศูนย์กลาง - ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมนี้

3. ถ้าเส้นแบ่งครึ่งสองเส้นในสามเหลี่ยมเท่ากัน แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นหน้าจั่ว (ทฤษฎีบทของ Steiner-Lemus)

การคำนวณความยาวของเส้นแบ่งครึ่ง

l c - ความยาวของเส้นแบ่งครึ่งที่ลากไปด้าน c

a,b,c - ด้านสามเหลี่ยมเทียบกับจุด A,B,C ตามลำดับ

p - ครึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยม

a l ,b l - ความยาวของส่วนที่เส้นแบ่งครึ่ง lc แบ่งด้าน c

α,β,γ - มุมภายในของสามเหลี่ยมที่จุดยอด A,B,C ตามลำดับ

h c - ความสูงของรูปสามเหลี่ยม, ลดลงไปทางด้าน c.

วิธีพื้นที่

ลักษณะวิธีการจากชื่อเป็นไปตามวัตถุหลักของวิธีนี้คือพื้นที่ สำหรับตัวเลขหลายตัว เช่น สำหรับรูปสามเหลี่ยม พื้นที่จะแสดงอย่างเรียบง่ายผ่านการรวมกันขององค์ประกอบต่างๆ ของรูป (สามเหลี่ยม) ดังนั้นเทคนิคจะมีประสิทธิภาพมากเมื่อเปรียบเทียบการแสดงออกที่แตกต่างกันสำหรับพื้นที่ของตัวเลขที่กำหนด ในกรณีนี้ สมการประกอบด้วยองค์ประกอบที่ทราบและต้องการของตัวเลขเกิดขึ้น โดยแก้ที่เรากำหนดสิ่งที่ไม่รู้จัก นี่คือคุณสมบัติหลักของวิธีการหาพื้นที่ - จากปัญหาทางเรขาคณิตมัน "ทำให้" เป็นพีชคณิตโดยลดทุกอย่างลงเพื่อแก้สมการ (และบางครั้งก็เป็นระบบสมการ)

1) วิธีการเปรียบเทียบ: เกี่ยวข้องกับสูตร S จำนวนมากของตัวเลขเดียวกัน

2) วิธีอัตราส่วน S: ขึ้นอยู่กับงานอ้างอิงต่อไปนี้:

ทฤษฎีบทของเซวา

ให้จุด A",B",C" อยู่บนเส้น BC,CA,AB ของสามเหลี่ยม เส้น AA",BB",CC" ตัดกันที่จุดหนึ่ง ก็ต่อเมื่อ

การพิสูจน์.

แสดงโดยจุดตัดของเซกเมนต์ และ ให้เราทิ้งเส้นตั้งฉากจากจุด C และ A ไปที่เส้น BB 1 จนกว่าจะตัดกันที่จุด K และ L ตามลำดับ (ดูรูป)

เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมมีด้านร่วมกัน พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจึงสัมพันธ์กันตามความสูงที่ลากมาทางด้านนี้ นั่นคือ อัลและซีเค:

ความเท่าเทียมกันสุดท้ายเป็นจริงเนื่องจาก สามเหลี่ยมมุมฉาก และคล้ายกันในมุมแหลม

ในทำนองเดียวกันเราได้รับ และ

ลองคูณความเท่าเทียมกันทั้งสามนี้:

คิวอีดี

ความคิดเห็น ส่วน (หรือความต่อเนื่องของส่วน) ที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดที่อยู่ฝั่งตรงข้ามหรือความต่อเนื่องเรียกว่าซีเวียนา

ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทซีวาผกผัน). ให้จุด A",B",C" อยู่บนด้าน BC,CA และ AB ของสามเหลี่ยม ABC ตามลำดับ ให้ความสัมพันธ์คงอยู่

จากนั้นแบ่งส่วน AA", BB", CC" และตัดกันที่จุดหนึ่ง

ทฤษฎีบทของ Menelaus

ทฤษฎีบทของ Menelaus ให้เส้นตรงตัดกับสามเหลี่ยม ABC โดยที่ C 1 คือจุดตัดกับด้าน AB, A 1 คือจุดตัดกับด้าน BC และ B 1 คือจุดตัดกับด้านขยายของด้าน AC แล้ว

การพิสูจน์ . ลากเส้นผ่านจุด C ขนานกับ AB แสดงโดย K จุดตัดกับเส้น B 1 C 1 .

สามเหลี่ยม AC 1 B 1 และ CKB 1 คล้ายกัน (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1 , ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1) เพราะฉะนั้น,

สามเหลี่ยม BC 1 A 1 และ CKA 1 ก็คล้ายกันเช่นกัน (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1) วิธี,

จากแต่ละความเท่าเทียมกัน เราแสดง CK:

ที่ไหน คิวอีดี

ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทผกผันของ Menelaus)ให้สามเหลี่ยม ABC ได้รับ ให้จุด C 1 อยู่ที่ด้าน AB จุด A 1 อยู่ที่ด้าน BC และจุด B 1 อยู่ที่ส่วนต่อขยายของด้าน AC และความสัมพันธ์

จากนั้นจุด A 1 ,B 1 และ C 1 จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

1. ค่ามัธยฐานคืออะไร?

มันง่ายมาก!

ใช้สามเหลี่ยม

ทำเครื่องหมายตรงกลางด้านใดด้านหนึ่ง

และเชื่อมต่อกับฝั่งตรงข้าม!

บรรทัดผลลัพธ์ และเป็นค่ามัธยฐาน.

2. คุณสมบัติของมัธยฐาน

คุณสมบัติที่ดีของมัธยฐานคืออะไร?

1) ลองจินตนาการว่าสามเหลี่ยม - เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีเหล่านั้นใช่มั้ย?

ทำไม??? เกี่ยวอะไรกับมุมฉาก?

ลองดูอย่างระมัดระวัง ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมเท่านั้น แต่เป็น ... รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณถามทำไม?

แต่คุณเดินบนโลก - คุณเห็นว่ามันกลมไหม? ไม่แน่นอน คุณต้องมองโลกจากอวกาศเพื่อสิ่งนี้ ดังนั้นเราจึงมองไปที่สามเหลี่ยมมุมฉากของเรา "จากอวกาศ"

มาวาดเส้นทแยงมุมกันเถอะ:

คุณจำได้ไหมว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า เท่ากันและ แบ่งปันจุดตัด ในครึ่ง? (ถ้าจำไม่ผิดดูที่หัวข้อ)

ครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมที่สองเป็นของเรา ค่ามัธยฐาน. เส้นทแยงมุมเท่ากันแน่นอนครึ่งหนึ่งเช่นกัน ที่นี่เราได้รับ

เราจะไม่พิสูจน์ข้อความนี้ แต่เพื่อให้เชื่อ ลองคิดด้วยตัวคุณเอง: มีสี่เหลี่ยมด้านขนานอื่นที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากันหรือไม่ ยกเว้นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ไม่แน่นอน! นั่นหมายความว่าค่ามัธยฐานสามารถเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านเท่านั้น สามเหลี่ยมมุมฉาก.

มาดูกันว่าคุณสมบัตินี้ช่วยแก้ปัญหาได้อย่างไร

ที่นี่, งาน:
ไปด้านข้าง . จากด้านบนจัดขึ้น ค่ามัธยฐาน. หา.

ไชโย! คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้! ดูว่ามันยอดเยี่ยมแค่ไหน? ถ้าเราไม่รู้เรื่องนั้น ค่ามัธยฐานเท่ากับครึ่งด้าน

เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

2) และตอนนี้อย่าให้เรามี แต่ทั้งหมด สามค่ามัธยฐาน! พวกเขาประพฤติตนอย่างไร?

จำได้มาก ข้อเท็จจริงสำคัญ:

ยาก? ดูที่รูปภาพ:

ค่ามัธยฐานและตัดกันที่จุดหนึ่ง

และ .... (เราพิสูจน์ได้ใน แต่ตอนนี้ จดจำ!):

• - สองเท่า;
• - สองเท่า;
• - เพิ่มเป็นสองเท่า

ยังไม่เหนื่อยอีกเหรอ? แรงพอสำหรับตัวอย่างต่อไป? ตอนนี้เราจะใช้ทุกสิ่งที่เราพูดถึง!

งาน: ในรูปสามเหลี่ยม ค่ามัธยฐานและถูกวาดขึ้น ซึ่งตัดกันที่จุดหนึ่ง หา

เราพบโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

และตอนนี้เราใช้ความรู้เกี่ยวกับจุดตัดของค่ามัธยฐาน

มาทำเครื่องหมายกัน ตัด ก. หากทุกอย่างชัดเจน - ดูภาพ

เราได้พบสิ่งนั้นแล้ว

วิธี, ; .

ในปัญหาที่เราถูกถามเกี่ยวกับส่วน

ในสัญกรณ์ของเรา

คำตอบ: .

ชอบ? ตอนนี้ลองใช้ความรู้เกี่ยวกับค่ามัธยฐานด้วยตัวคุณเอง!

ค่ามัธยฐาน ระดับเฉลี่ย

1. ค่ามัธยฐานแบ่งครึ่งด้านข้าง

และทั้งหมด? หรือบางทีเธออาจแบ่งครึ่งบางอย่างด้วยซ้ำ? นึกว่าเป็น!

2. ทฤษฎีบท: ค่ามัธยฐานแบ่งครึ่งพื้นที่

ทำไม และจำรูปแบบที่ง่ายที่สุดของพื้นที่สามเหลี่ยม

และเราใช้สูตรนี้สองครั้ง!

ดูสิ ค่ามัธยฐานแบ่งออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยม: และ แต่! พวกเขามีส่วนสูงเท่ากัน! ที่ความสูงนี้เท่านั้นที่ตกลงไปด้านข้างและที่ - เพื่อความต่อเนื่องของด้านข้าง. น่าแปลกที่มันเกิดขึ้นเช่นนี้: สามเหลี่ยมต่างกัน แต่ความสูงเท่ากัน ตอนนี้เราใช้สูตรสองครั้ง

นั่นหมายถึงอะไร? ดูที่รูปภาพ. ในความเป็นจริง มีสองข้อความในทฤษฎีบทนี้ คุณสังเกตเห็นหรือไม่?

คำสั่งแรก:ค่ามัธยฐานตัดกันที่จุดหนึ่ง

คำสั่งที่สอง:จุดตัดของค่ามัธยฐานจะถูกแบ่งตามความสัมพันธ์โดยนับจากด้านบน

มาลองไขความลับของทฤษฎีบทนี้กัน:

มาเชื่อมต่อจุดและ เกิดอะไรขึ้น

ทีนี้มาวาดเส้นตรงกลางอีกเส้น: ทำเครื่องหมายตรงกลาง - ใส่จุด, ทำเครื่องหมายตรงกลาง - ใส่จุด

ตอนนี้ - ทางสายกลาง นั่นคือ

1. ขนาน;

คุณสังเกตเห็นความบังเอิญหรือไม่? ทั้งสองและขนานกัน และและ.

อะไรต่อจากนี้?

1. ขนาน;

แน่นอน สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่านั้น!

ดังนั้น - สี่เหลี่ยมด้านขนาน แล้วไง และจำคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานกัน ตัวอย่างเช่น คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานบ้าง ถูกต้อง พวกเขาแบ่งจุดตัดออกเป็นสองส่วน

มาดูภาพกันอีกครั้ง

นั่นคือ - ค่ามัธยฐานถูกหารด้วยคะแนนและแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน และเช่นเดียวกัน

ซึ่งหมายความว่าค่ามัธยฐานทั้งสองคั่นด้วยจุดที่สัมพันธ์กัน นั่นคือ และ

จะเกิดอะไรขึ้นกับมัธยฐานที่สาม? กลับไปที่จุดเริ่มต้นกันเถอะ โอ้พระเจ้า?! ไม่ตอนนี้ทุกอย่างจะสั้นลงมาก วางค่ามัธยฐานแล้ววาดค่ามัธยฐานและ

ทีนี้ลองนึกดูว่าเราได้ใช้เหตุผลเดียวกันกับค่ามัธยฐานและ แล้วไง?

ปรากฎว่าค่ามัธยฐานจะแบ่งค่ามัธยฐานในลักษณะเดียวกันทุกประการ: สัมพันธ์กัน นับจากจุด

แต่จะมีกี่คะแนนในส่วนที่แบ่งความสัมพันธ์โดยนับจากจุด?

คนเดียวแน่นอน! และเราได้เห็นแล้ว - นี่คือประเด็น

เกิดอะไรขึ้นในตอนจบ?

ค่ามัธยฐานผ่านแน่นอน! มัธยฐานทั้งสามผ่านมันไป และทุกคนถูกแบ่งความสัมพันธ์โดยนับจากด้านบน

ดังนั้นเราจึงแก้ไข (พิสูจน์) ทฤษฎีบท คำตอบกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่อยู่ในรูปสามเหลี่ยม

4. สูตรสำหรับความยาวของค่ามัธยฐาน

จะหาความยาวของมัธยฐานได้อย่างไรหากทราบด้านต่างๆ คุณแน่ใจหรือว่าคุณต้องการมัน? มาเปิดเผยความลับที่น่ากลัว: สูตรนี้ไม่ค่อยมีประโยชน์ แต่ถึงกระนั้นเราจะเขียนมัน แต่เราจะไม่พิสูจน์ (หากคุณสนใจในการพิสูจน์ให้ดูที่ระดับถัดไป)

เราจะเข้าใจได้อย่างไรว่าทำไมสิ่งนี้จึงเกิดขึ้น

ลองดูอย่างระมัดระวัง ไม่ใช่เฉพาะในรูปสามเหลี่ยม แต่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ลองดูสี่เหลี่ยมผืนผ้ากัน

คุณสังเกตไหมว่าสามเหลี่ยมของเราคือครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้พอดี

มาวาดเส้นทแยงมุมกัน

คุณจำได้ไหมว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากันและแบ่งครึ่งจุดตัดกัน? (ถ้าจำไม่ผิดดูที่หัวข้อ)
แต่หนึ่งในเส้นทแยงมุมคือด้านตรงข้ามมุมฉากของเรา! ดังนั้นจุดตัดของเส้นทแยงมุมคือจุดกึ่งกลางด้านตรงข้ามมุมฉาก เธอถูกเรียกโดยเรา

ครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมที่สองคือค่ามัธยฐานของเรา เส้นทแยงมุมเท่ากันแน่นอนครึ่งหนึ่งเช่นกัน ที่นี่เราได้รับ

ยิ่งกว่านั้น สิ่งนี้จะเกิดขึ้นในสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น!

เราจะไม่พิสูจน์ข้อความนี้ แต่เพื่อให้เชื่อ ลองคิดด้วยตัวคุณเอง: มีสี่เหลี่ยมด้านขนานอื่นที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากันหรือไม่ ยกเว้นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ไม่แน่นอน! นั่นหมายความว่าค่ามัธยฐานสามารถเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น มาดูกันว่าคุณสมบัตินี้ช่วยแก้ปัญหาได้อย่างไร

นี่คืองาน:

ไปด้านข้าง . ค่ามัธยฐานดึงมาจากด้านบน หา.

ไชโย! คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้! ดูว่ามันยอดเยี่ยมแค่ไหน? ถ้าเราไม่รู้ว่ามัธยฐานอยู่ครึ่งด้าน ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้นเราไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่อย่างใด และตอนนี้เราทำได้!

เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ค่ามัธยฐาน สั้น ๆ เกี่ยวกับหลัก

1. ค่ามัธยฐานแบ่งครึ่งด้านข้าง

2. ทฤษฎีบท: ค่ามัธยฐานแบ่งครึ่งพื้นที่

4. สูตรสำหรับความยาวของค่ามัธยฐาน

ทฤษฎีบทผกผัน:ถ้าค่ามัธยฐานเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้าน แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นมุมฉากและค่ามัธยฐานนี้จะถูกดึงไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก

หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางอย่างได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณก็อยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้เข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำว่า...มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือมันอาจไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

สำหรับการสอบผ่านเพื่อเข้าศึกษาต่อในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดสำหรับชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวใจคุณ แต่ฉันจะพูดอย่างหนึ่ง ...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะเปิดขึ้นต่อหน้าพวกเขามาก เป็นไปได้มากขึ้นและชีวิตจะสดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเอง...

อะไรที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่น ๆ ในการสอบและจะ ... มีความสุขมากขึ้นในท้ายที่สุด?

จับมือคุณแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบ คุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และหากคุณยังแก้ไขไม่ได้ (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่ก็แก้ไขไม่ทัน

ก็เหมือนกับการเล่นกีฬา คุณต้องเล่นซ้ำหลายๆ ครั้งจึงจะชนะได้อย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยโซลูชั่น การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำอย่างแน่นอน

เพื่อที่จะได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุของหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ - 299 ถู
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทช่วยสอนทั้ง 99 บทความ - 499 ถู

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียน และสามารถเปิดงานทั้งหมดและข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

สรุปแล้ว...

ถ้าคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” และ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

คำแนะนำ

จะถอนตัว สูตรสำหรับ ค่ามัธยฐานตามอำเภอใจ จำเป็นต้องหันไปหาผลสรุปของทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ได้รับจากการกรอก สามเหลี่ยม. สูตรนี้สามารถพิสูจน์ได้ ซึ่งจะสะดวกมากในการแก้ปัญหาหากทราบความยาวทั้งหมดของด้าน หรือสามารถหาได้ง่ายจากข้อมูลเริ่มต้นอื่น ๆ ของปัญหา

อันที่จริง ทฤษฎีบทโคไซน์เป็นการสรุปทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยทั่วไป ดูเหมือนว่านี้สำหรับสองมิติ สามเหลี่ยมด้วยความยาวด้าน a, b และ c และมุม α ตรงข้าม a ความเสมอภาคต่อไปนี้จะคงอยู่: a² = b² + c² - 2 b c cos α

ผลสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทโคไซน์กำหนดหนึ่งในคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของรูปสี่เหลี่ยม: ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของทุกด้าน: d1² + d2² = a² + b² + c² + d² .

เติมรูปสามเหลี่ยมให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD โดยเพิ่มเส้นที่ขนานกับ a และ c ด้วยด้าน a และ c และเส้นทแยงมุม b วิธีที่สะดวกที่สุดในการสร้างมีดังนี้: บนเส้นตรงที่ค่ามัธยฐานอยู่ ส่วน MD ที่มีความยาวเท่ากัน เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดยอดของ A และ C ที่เหลือ

ตามคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งโดยจุดตัดออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน ใช้ผลสรุปของทฤษฎีบทโคไซน์ ซึ่งผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับผลรวมของสองเท่าของกำลังสองของด้าน: BK² + AC² = 2 AB² + 2 BC²

เนื่องจาก BK = 2 BM และ BM เป็นค่ามัธยฐานของ m ดังนั้น: (2 m) ² + b² = 2 c² + 2 a² ดังนั้น m = 1/2 √(2 c² + 2 a² - b²)

คุณนำออกมา สูตรหนึ่งใน สามเหลี่ยมสำหรับด้าน b: mb = m ก็มีเหมือนกัน ค่ามัธยฐานอีกสองด้านของมัน: ma = 1/2 √(2 c² + 2 b² - a²); mc = 1/2 √(2 a² + 2 b² - c²)

แหล่งที่มา:

• สูตรมัธยฐาน
• สูตรหาค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม [วิดีโอ]

ค่ามัธยฐาน สามเหลี่ยมเรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดใดๆ สามเหลี่ยมตรงกลางของฝั่งตรงข้าม. ค่ามัธยฐานสามเส้นตัดกันที่จุดหนึ่งเสมอภายใน สามเหลี่ยม. จุดนี้จะแบ่งแต่ละ ค่ามัธยฐานในอัตราส่วน 2:1

คำแนะนำ

ปัญหาในการหาค่ามัธยฐานสามารถแก้ไขได้โดยการสร้างเพิ่มเติม สามเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและผ่านทฤษฎีบทบนเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ลองขยายด้าน สามเหลี่ยมและ ค่ามัธยฐานสร้างให้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้นค่ามัธยฐาน สามเหลี่ยมจะเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ได้ทั้งสองด้าน สามเหลี่ยม- ด้านของมัน (a, b) และด้านที่สาม สามเหลี่ยมซึ่งเป็นเส้นทแยงมุมที่สองของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ได้ ตามทฤษฎีบท ผลรวมของกำลังสองของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากับสองเท่าของผลรวมกำลังสองของด้านของมัน
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
ที่ไหน
d1, d2 - เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดขึ้น
จากที่นี่:
d1 = 0.5*v(2*(a^2 + b^2) - d2^2)

ค่ามัธยฐานคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดยอด สามเหลี่ยมและตรงกลางของฝั่งตรงข้าม รู้ความยาวของด้านทั้งสาม สามเหลี่ยมคุณสามารถหาค่ามัธยฐานของมันได้ โดยเฉพาะในกรณีของหน้าจั่วและด้านเท่า สามเหลี่ยมเห็นได้ชัดว่าเพียงพอที่จะรู้ตามลำดับสอง (ไม่เท่ากัน) และด้านหนึ่ง สามเหลี่ยม.

คุณจะต้องการ

• ไม้บรรทัด

คำแนะนำ

พิจารณา กรณีทั่วไป สามเหลี่ยม ABC กับเพื่อนไม่เท่ากัน ปาร์ตี้. ความยาวของค่ามัธยฐาน AE ของค่านี้ สามเหลี่ยมสามารถคำนวณโดยใช้สูตร: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2 ค่ามัธยฐานที่เหลือเหมือนกันทุกประการ สิ่งนี้ได้มาจากทฤษฎีบทสจ๊วตหรือผ่านการทำให้เสร็จสมบูรณ์ สามเหลี่ยมให้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ถ้า ABC เป็นหน้าจั่วและ AB = AC ค่ามัธยฐาน AE จะเป็นทั้งสองค่านี้ สามเหลี่ยม. ดังนั้น สามเหลี่ยม BEA จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยทฤษฎีบทปีทาโกรัส AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4) จากความยาวรวมของค่ามัธยฐาน สามเหลี่ยมสำหรับค่ามัธยฐาน BO และ СP จะเป็นจริง: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2

แหล่งที่มา:

• ค่ามัธยฐานและ nonsectors ของสามเหลี่ยม

ค่ามัธยฐานคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม คุณสามารถหาความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมได้ ค่ามัธยฐาน. ในกรณีเฉพาะของสามเหลี่ยมหน้าจั่วและสามเหลี่ยมด้านเท่า ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้ตามลำดับ สอง (ไม่เท่ากัน) และด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม นอกจากนี้ยังสามารถหาค่ามัธยฐานได้จากข้อมูลอื่นๆ

คุณจะต้องการ

• ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม มุมระหว่างด้านของรูปสามเหลี่ยม

คำแนะนำ

พิจารณากรณีทั่วไปที่สุดของสามเหลี่ยม ABC ที่มีด้านสามด้านไม่เท่ากัน ความยาว ค่ามัธยฐาน AE ของสามเหลี่ยมนี้สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2 พักผ่อน ค่ามัธยฐานเหมือนกันทุกประการ สิ่งนี้ได้มาจากทฤษฎีบทของสจ๊วตหรือโดยการทำให้สามเหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ถ้า ABC เป็นหน้าจั่ว และ AB = AC ดังนั้น AE จะเป็นสามเหลี่ยมนี้ในเวลาเดียวกัน ดังนั้น สามเหลี่ยม BEA จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยทฤษฎีบทปีทาโกรัส AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4) ของความยาวทั้งหมด ค่ามัธยฐานสามเหลี่ยม สำหรับ BO และ CP เป็นจริง: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมสามารถหาได้จากข้อมูลอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ความยาวของด้านสองด้าน ค่ามัธยฐานจะถูกดึงไปที่ด้านใดด้านหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ความยาวของด้าน AB และ BC รวมถึงมุม x ระหว่างทั้งสองด้าน แล้วความยาว ค่ามัธยฐานสามารถหาได้จากทฤษฎีบทโคไซน์: AE = sqrt((AB^2+(BC^2)/4)-AB*BC*cos(x)).

แหล่งที่มา:

• มัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม
• วิธีหาความยาวของมัธยฐาน

ค่ามัธยฐานและความสูงของรูปสามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในหัวข้อที่น่าสนใจและน่าสนใจที่สุดในเรขาคณิต คำว่า "ค่ามัธยฐาน" หมายถึงเส้นหรือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับด้านตรงข้ามกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่ามัธยฐานคือเส้นที่ลากจากจุดกึ่งกลางด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมไปยังจุดยอดตรงข้ามของสามเหลี่ยมเดียวกัน เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมมีจุดยอดเพียงสามจุดและสามด้าน จึงมีค่ามัธยฐานเพียงสามค่าเท่านั้น

คุณสมบัติค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม

1. ค่ามัธยฐานทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งและถูกคั่นด้วยจุดนี้ในอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากด้านบน ดังนั้น หากคุณวาดค่ามัธยฐานทั้งสามในรูปสามเหลี่ยม จุดตัดจะแบ่งพวกมันออกเป็นสองส่วน ส่วนที่อยู่ใกล้ด้านบนสุดจะเป็น 2/3 ของเส้นทั้งหมด และส่วนที่ใกล้กับด้านข้างของสามเหลี่ยมจะเป็น 1/3 ของเส้น ค่ามัธยฐานตัดกันที่จุดหนึ่ง
2. ค่ามัธยฐานสามเส้นที่วาดในรูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปแบ่งสามเหลี่ยมนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมเล็ก ๆ 6 รูปซึ่งพื้นที่จะเท่ากัน
3. ยิ่งด้านของสามเหลี่ยมที่ค่ามัธยฐานมามากเท่าไหร่ ค่ามัธยฐานก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น ในทางกลับกัน ด้านที่สั้นที่สุดจะมีค่ามัธยฐานที่ยาวที่สุด
4. ค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีลักษณะเฉพาะหลายประการ ตัวอย่างเช่น หากมีการอธิบายวงกลมรอบๆ สามเหลี่ยมซึ่งจะผ่านจุดยอดทั้งหมด ก็จะมีค่ามัธยฐาน มุมฉาก, วาดไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก, จะกลายเป็นรัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวง (นั่นคือ ความยาวของมันจะเป็นระยะทางจากจุดใดๆ บนวงกลมไปยังจุดศูนย์กลางของมัน)

สมการความยาวมัธยฐานของสามเหลี่ยม

สูตรค่ามัธยฐานมาจากทฤษฎีบทของสจ๊วตและระบุว่าค่ามัธยฐานคือ รากที่สองจากอัตราส่วนของกำลังสองของผลบวกของด้านของสามเหลี่ยมที่ประกอบกันเป็นจุดยอด ลบกำลังสองของด้านที่ดึงค่ามัธยฐานเป็นสี่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เพื่อหาความยาวของค่ามัธยฐาน คุณต้องนำความยาวของแต่ละด้านของสามเหลี่ยมยกกำลังสองแล้วเขียนเป็นเศษส่วน ซึ่งตัวเศษจะเป็นผลรวมของกำลังสองของด้านที่ก่อตัวขึ้น มุมที่ค่ามัธยฐานมา ลบกำลังสองของด้านที่สาม ตัวส่วนในที่นี้คือเลข 4 จากนั้น คุณต้องแยกรากที่สองออกจากเศษส่วนนี้ แล้วเราจะได้ความยาวของค่ามัธยฐาน

จุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

ดังที่เราเขียนไว้ข้างต้น ค่ามัธยฐานทั้งหมดของสามเหลี่ยมหนึ่งอันตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม แบ่งค่ามัธยฐานออกเป็นสองส่วน โดยมีความยาวสัมพันธ์กันเท่ากับ 2:1 ศูนย์กลางของสามเหลี่ยมยังเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบด้วย และคนอื่น ๆ รูปทรงเรขาคณิตมีศูนย์ของตัวเอง

พิกัดของจุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

ในการหาพิกัดจุดตัดของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมหนึ่งรูป เราใช้คุณสมบัติของเซนทรอยด์ ซึ่งแบ่งค่ามัธยฐานแต่ละอันออกเป็น 2:1 ส่วน เราแสดงจุดยอดเป็น A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

และคำนวณพิกัดของจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมตามสูตร: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3) / 3; y 0 \u003d (y 1 + y 2 + y 3) / 3

พื้นที่ของสามเหลี่ยมในแง่ของค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐานทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปจะแบ่งรูปสามเหลี่ยมนี้ออกเป็น 6 รูปสามเหลี่ยมเท่าๆ กัน และจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมจะแบ่งค่ามัธยฐานแต่ละรูปในอัตราส่วน 2:1 ดังนั้นหากทราบพารามิเตอร์ของค่ามัธยฐานแต่ละอันคุณสามารถคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมผ่านพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมขนาดเล็กรูปใดรูปหนึ่งแล้วเพิ่มตัวเลขนี้ 6 เท่า

ค่ามัธยฐานคือส่วนที่ลากจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมไปยังจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม นั่นคือแบ่งครึ่งด้วยจุดตัดกัน จุดที่ค่ามัธยฐานตัดกับด้านตรงข้ามที่มันออกมาเรียกว่าฐาน ผ่านจุดหนึ่งที่เรียกว่าจุดตัด ผ่านค่ามัธยฐานแต่ละส่วนของรูปสามเหลี่ยม สูตรสำหรับความยาวสามารถแสดงได้หลายวิธี

สูตรแสดงความยาวของมัธยฐาน

• บ่อยครั้งในปัญหาทางเรขาคณิต นักเรียนต้องจัดการกับส่วนเช่นค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม สูตรสำหรับความยาวของมันแสดงในรูปของด้าน:

โดยที่ a, b และ c เป็นด้าน นอกจากนี้ c คือด้านที่มัธยฐานตก นี่คือลักษณะของสูตรที่ง่ายที่สุด บางครั้งค่ามัธยฐานสามเหลี่ยมจำเป็นสำหรับการคำนวณเสริม มีสูตรอื่นด้วย

• หากทราบด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมและมุม α ที่อยู่ระหว่างการคำนวณในระหว่างการคำนวณ ความยาวของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมซึ่งลดลงถึงด้านที่สามจะแสดงดังนี้

คุณสมบัติพื้นฐาน

• ค่ามัธยฐานทั้งหมดมีจุดร่วมหนึ่งจุดของจุดตัด O และพวกมันจะถูกหารด้วยอัตราส่วนสองต่อหนึ่ง ถ้าเรานับจากด้านบน จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยม
• ค่ามัธยฐานแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนซึ่งมีพื้นที่เท่ากัน รูปสามเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
• หากคุณวาดค่ามัธยฐานทั้งหมด รูปสามเหลี่ยมจะถูกแบ่งออกเป็น 6 รูปเท่าๆ กัน ซึ่งจะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้วย
• หากทั้งสามด้านเท่ากันในรูปสามเหลี่ยม ค่ามัธยฐานแต่ละด้านจะเป็นความสูงและเส้นแบ่งครึ่ง นั่นคือ ตั้งฉากกับด้านที่วาด และแบ่งครึ่งมุมที่ออกมา
• ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ค่ามัธยฐานที่ลดลงจากจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามด้านที่ไม่เท่ากับด้านอื่นๆ จะเป็นความสูงและเส้นแบ่งครึ่งด้วย ค่ามัธยฐานที่ลดลงจากจุดยอดอื่นมีค่าเท่ากัน นี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับหน้าจั่ว
• ถ้ารูปสามเหลี่ยมเป็นฐานของพีระมิดปกติ ความสูงที่ลดลงบนฐานนี้จะถูกคาดการณ์ไปยังจุดตัดของค่ามัธยฐานทั้งหมด

• ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านที่ยาวที่สุดคือครึ่งหนึ่งของความยาว
• ให้ O เป็นจุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม สูตรด้านล่างจะเป็นจริงสำหรับจุด M ใดๆ

• คุณสมบัติอื่นคือค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม สูตรสำหรับกำลังสองของความยาวในแง่ของกำลังสองของด้านแสดงอยู่ด้านล่าง

คุณสมบัติของด้านที่ดึงค่ามัธยฐาน

• หากคุณเชื่อมต่อจุดตัดสองจุดใดๆ ของค่ามัธยฐานกับด้านที่ลดระดับลง ส่วนผลลัพธ์จะเป็นเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมและอยู่ห่างจากด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่มีจุดร่วมครึ่งหนึ่ง
• ฐานของความสูงและค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยม ตลอดจนจุดกึ่งกลางของส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดตัดของความสูง จะอยู่บนวงกลมเดียวกัน

โดยสรุป มีเหตุผลที่จะกล่าวว่าส่วนที่สำคัญที่สุดส่วนหนึ่งคือค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม สูตรนี้สามารถใช้หาความยาวของด้านอื่นๆ ได้