อนุญาต
(1)
เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของ x ก่อนอื่นเราจะพิจารณาในชุดของค่า x ที่ y รับค่าบวก: . ต่อไปนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้รับยังใช้ได้กับค่าลบของ

ในบางกรณี การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (1) จะเป็นการสะดวกที่จะใช้ลอการิทึมในเบื้องต้น
,
แล้วคำนวณอนุพันธ์ จากนั้น ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
.
จากที่นี่
(2) .

อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเรียกว่าอนุพันธ์ลอการิทึม:
.

อนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน y = ฉ(x) เป็นอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชันนี้: (บันทึก f(x))'.

กรณีของค่า y ที่เป็นลบ

ตอนนี้ให้พิจารณากรณีที่ตัวแปรสามารถใช้ทั้งค่าบวกและค่าลบ ในกรณีนี้ ใช้ลอการิทึมของโมดูลัสและหาอนุพันธ์ของมัน:
.
จากที่นี่
(3) .
นั่นคือใน กรณีทั่วไปคุณต้องหาอนุพันธ์ของลอการิทึมของโมดูลัสของฟังก์ชัน

การเปรียบเทียบ (2) และ (3) เรามี:
.
นั่นคือ ผลลัพธ์อย่างเป็นทางการของการคำนวณอนุพันธ์ลอการิทึมไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเราใช้โมดูโลหรือไม่ ดังนั้นเมื่อคำนวณอนุพันธ์ลอการิทึม เราไม่ต้องกังวลว่าฟังก์ชันจะมีเครื่องหมายอะไร

สถานการณ์นี้สามารถอธิบายได้โดยใช้ตัวเลขที่ซับซ้อน ปล่อยให้ค่า x เป็นค่าลบ: หากเราพิจารณาเฉพาะจำนวนจริง ฟังก์ชันจะไม่ถูกกำหนด แต่ถ้าเราคำนึงถึง จำนวนเชิงซ้อนแล้วเราจะได้สิ่งต่อไปนี้:
.
นั่นคือฟังก์ชั่นและแตกต่างจากค่าคงที่ที่ซับซ้อน:
.
เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ ดังนั้น
.

คุณสมบัติของอนุพันธ์ลอการิทึม

จากการพิจารณาดังกล่าวได้ความว่า อนุพันธ์ลอการิทึมจะไม่เปลี่ยนแปลงหากฟังก์ชันถูกคูณด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจ :
.
แน่จริงก็สมัครสิ คุณสมบัติลอการิทึม, สูตร ผลรวมอนุพันธ์และ อนุพันธ์ของค่าคงที่, เรามี:

.

การประยุกต์อนุพันธ์ลอการิทึม

สะดวกที่จะใช้อนุพันธ์ลอการิทึมในกรณีที่ฟังก์ชันดั้งเดิมประกอบด้วยผลคูณของกำลังหรือ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง. ในกรณีนี้ การดำเนินการลอการิทึมจะเปลี่ยนผลคูณของฟังก์ชันเป็นผลรวม สิ่งนี้ทำให้การคำนวณอนุพันธ์ง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
.

สารละลาย

เราใช้ลอการิทึมของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.

แยกความแตกต่างด้วยความเคารพ x
ในตารางอนุพันธ์เราพบ:
.
เราใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
;
;
;
;
(P1.1) .
คูณด้วย:

.

ดังนั้นเราจึงพบอนุพันธ์ลอการิทึม:
.
จากที่นี่เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.

บันทึก

หากเราต้องการใช้เฉพาะจำนวนจริง เราควรใช้ลอการิทึมของโมดูลัสของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.
แล้ว
;
.
และเราได้สูตร (A1.1) ดังนั้นผลลัพธ์จึงไม่เปลี่ยนแปลง

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 2

ใช้อนุพันธ์ลอการิทึม หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
.

สารละลาย

ลอการิทึม:
(P2.1) .
แยกความแตกต่างด้วยความเคารพ x :
;
;

;
;
;
.

คูณด้วย:
.
จากที่นี่เราได้อนุพันธ์ลอการิทึม:
.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.

บันทึก

ฟังก์ชันดั้งเดิมนี้ไม่เป็นค่าลบ: กำหนดไว้ที่ หากเราไม่คิดว่าลอการิทึมสามารถกำหนดค่าลบของอาร์กิวเมนต์ได้ ดังนั้นควรเขียนสูตร (A2.1) ดังนี้
.
เพราะว่า

และ
,
มันจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 3

หาอนุพันธ์
.

สารละลาย

การแยกความแตกต่างทำได้โดยใช้อนุพันธ์ลอการิทึม ลอการิทึม เนื่องจาก:
(P3.1) .

โดยการแยกความแตกต่าง เราจะได้อนุพันธ์ลอการิทึม
;
;
;
(P3.2) .

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

.

บันทึก

มาคำนวณกันโดยไม่ถือว่าลอการิทึมสามารถกำหนดเป็นค่าลบของอาร์กิวเมนต์ได้ ในการทำเช่นนี้ให้ใช้ลอการิทึมของโมดูลัสของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.
จากนั้นแทนที่จะเป็น (A3.1) เรามี:
;

.
เมื่อเปรียบเทียบกับ (A3.2) เราจะเห็นว่าผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลง

อนุพันธ์ที่ซับซ้อน อนุพันธ์ลอการิทึม
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เราปรับปรุงเทคนิคการสร้างความแตกต่างอย่างต่อเนื่อง ในบทเรียนนี้ เราจะรวบรวมเนื้อหาที่ครอบคลุม พิจารณาอนุพันธ์ที่ซับซ้อนมากขึ้น และทำความคุ้นเคยกับเทคนิคและลูกเล่นใหม่ๆ ในการค้นหาอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับอนุพันธ์ลอการิทึม

ผู้อ่านที่มีการเตรียมตัวในระดับต่ำควรดูบทความ จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร? ตัวอย่างโซลูชันซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถยกระดับทักษะของคุณได้ตั้งแต่เริ่มต้น ถัดไปคุณต้องศึกษาหน้านี้อย่างละเอียด อนุพันธ์ของฟังก์ชันผสมเข้าใจและแก้ไข ทั้งหมดตัวอย่างที่ฉันได้ให้ไว้ บทเรียนนี้เป็นบทเรียนที่สามติดต่อกันอย่างมีเหตุผล และหลังจากเชี่ยวชาญแล้ว คุณจะแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ค่อนข้างซับซ้อนได้อย่างมั่นใจ ไม่ควรยึดติดกับตำแหน่ง "ที่ไหนอีก? เท่านี้ก็เพียงพอแล้ว!” เนื่องจากตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดนำมาจากของจริง ควบคุมการทำงานและมักพบในทางปฏิบัติ

เริ่มต้นด้วยการทำซ้ำ ในบทเรียน อนุพันธ์ของฟังก์ชันผสมเราได้พิจารณาตัวอย่างจำนวนมากพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด ในหลักสูตรของการเรียนแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และส่วนอื่นๆ ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ คุณจะต้องแยกแยะความแตกต่างบ่อยครั้ง และไม่สะดวกเสมอไป (และไม่จำเป็นเสมอไป) ในการระบายสีตัวอย่างโดยละเอียด ดังนั้นเราจะฝึกการหาอนุพันธ์ด้วยปากเปล่า "ผู้สมัคร" ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับสิ่งนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่ง่ายที่สุด ตัวอย่างเช่น:

ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน :

เมื่อศึกษาหัวข้อ matan อื่น ๆ ในอนาคต มักจะไม่จำเป็นต้องบันทึกรายละเอียดดังกล่าว สันนิษฐานว่านักเรียนสามารถค้นหาอนุพันธ์ที่คล้ายคลึงกันใน autopilot ลองจินตนาการว่าเวลา 3 โมงเช้าโทรศัพท์ดังขึ้น และเสียงที่ไพเราะถามว่า: "อนุพันธ์ของแทนเจนต์ของ 2 x คืออะไร" ควรตามด้วยการตอบกลับเกือบจะทันทีและสุภาพ: .

ตัวอย่างแรกจะมีไว้สำหรับโซลูชันอิสระทันที

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ต่อไปนี้ด้วยปากเปล่าในขั้นตอนเดียว ตัวอย่างเช่น เพื่อให้งานสำเร็จคุณต้องใช้เท่านั้น ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐาน(ถ้าเธอยังจำไม่ได้) หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันขอแนะนำให้อ่านบทเรียนอีกครั้ง อนุพันธ์ของฟังก์ชันผสม.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

อนุพันธ์เชิงซ้อน

หลังจากการเตรียมปืนใหญ่เบื้องต้นแล้ว ตัวอย่างที่มีฟังก์ชันแนบ 3-4-5 จะน่ากลัวน้อยลง บางทีตัวอย่างสองตัวอย่างต่อไปนี้อาจดูซับซ้อนสำหรับบางคน แต่ถ้าพวกเขาเข้าใจ (บางคนทนทุกข์) เกือบทุกอย่างในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จะดูเหมือนเป็นเรื่องตลกของเด็ก

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตามที่ระบุไว้แล้ว ในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน สิ่งแรกคือสิ่งที่จำเป็น ขวาเข้าใจการลงทุน ในกรณีที่มีข้อสงสัย ฉันเตือน เทคนิคที่เป็นประโยชน์: เราใช้ค่าทดลอง "x" และลอง (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อแทนที่ ค่าที่กำหนดเป็นสีหน้าสยดสยอง

1) ก่อนอื่นเราต้องคำนวณนิพจน์ ดังนั้นผลรวมจึงเป็นการซ้อนที่ลึกที่สุด

2) จากนั้นคุณต้องคำนวณลอการิทึม:

4) จากนั้นคูณโคไซน์:

5) ในขั้นตอนที่ห้า ความแตกต่าง:

6) และสุดท้าย ฟังก์ชันนอกสุดคือ รากที่สอง:

สูตรการหาความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน จะถูกนำไปใช้ในลำดับย้อนกลับ จากฟังก์ชันที่อยู่นอกสุดไปในสุด เราตัดสินใจ:

ดูเหมือนจะไม่มีข้อผิดพลาด ...

(1) เราหาอนุพันธ์ของสแควร์รูท

(2) เราหาอนุพันธ์ของความแตกต่างโดยใช้กฎ

(3) อนุพันธ์ของสามเท่ากับศูนย์ ในเทอมที่สอง เราใช้อนุพันธ์ของดีกรี (ลูกบาศก์)

(4) เราหาอนุพันธ์ของโคไซน์

(5) เราหาอนุพันธ์ของลอการิทึม

(6) สุดท้าย เราจะหาอนุพันธ์ของรังที่ลึกที่สุด

อาจดูยากเกินไป แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่โหดร้ายที่สุด ยกตัวอย่างเช่น คอลเลกชันของ Kuznetsov แล้วคุณจะประทับใจกับเสน่ห์และความเรียบง่ายของอนุพันธ์ที่วิเคราะห์ ฉันสังเกตเห็นว่าพวกเขาชอบให้สิ่งที่คล้ายกันในข้อสอบเพื่อตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนหรือไม่เข้าใจ

ตัวอย่างต่อไปนี้ใช้สำหรับโซลูชันแบบสแตนด์อโลน

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คำแนะนำ: อันดับแรก เราใช้กฎความเป็นเส้นตรงและกฎความแตกต่างของผลิตภัณฑ์

เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน

ได้เวลาไปสู่สิ่งที่กะทัดรัดและสวยงามยิ่งขึ้น
ไม่ใช่เรื่องแปลกสำหรับสถานการณ์ที่ผลคูณของฟังก์ชันไม่ใช่สองแต่มีสามฟังก์ชันดังตัวอย่าง จะหาอนุพันธ์ของผลคูณของปัจจัยสามตัวได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อันดับแรก เราดู แต่เป็นไปได้ไหมที่จะเปลี่ยนผลคูณของสามฟังก์ชันให้เป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีพหุนามสองตัวในผลคูณ เราก็สามารถเปิดวงเล็บได้ แต่ในตัวอย่างนี้ ฟังก์ชันทั้งหมดแตกต่างกัน: องศา เลขชี้กำลัง และลอการิทึม

ในกรณีเช่นนี้มีความจำเป็น อย่างต่อเนื่องใช้กฎความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ สองครั้ง

เคล็ดลับคือสำหรับ "y" เราแสดงถึงผลคูณของสองฟังก์ชัน: และสำหรับ "ve" - ​​ลอการิทึม: ทำไมถึงทำได้? ใช่ไหม - นี่ไม่ใช่ผลคูณของสองปัจจัยและกฎใช้ไม่ได้?! ไม่มีอะไรซับซ้อน:

ตอนนี้ยังคงใช้กฎเป็นครั้งที่สอง ในวงเล็บ:

คุณยังคงบิดเบือนและนำบางสิ่งออกจากวงเล็บได้ แต่ในกรณีนี้จะเป็นการดีกว่าที่จะทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มนี้ - จะตรวจสอบได้ง่ายกว่า

ตัวอย่างข้างต้นสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สอง:

โซลูชันทั้งสองนั้นเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ในตัวอย่างจะแก้ไขด้วยวิธีแรก

พิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกันด้วยเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คุณสามารถไปได้หลายวิธี:

หรือแบบนี้:

แต่วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนให้กระชับกว่านี้ได้ ถ้าก่อนอื่น เราใช้กฎความแตกต่างของผลหาร รับตัวเศษทั้งหมด:

โดยหลักการแล้วตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้วและหากทิ้งไว้ในรูปแบบนี้ก็จะไม่ผิดพลาด แต่ถ้าคุณมีเวลา ขอแนะนำให้ตรวจสอบแบบร่างเสมอ แต่เป็นไปได้ไหมที่จะทำให้คำตอบง่ายขึ้น? เรานำนิพจน์ของตัวเศษมาเป็นตัวส่วนร่วมและ กำจัดเศษสามชั้น:

ข้อเสียของการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติมคือมีความเสี่ยงที่จะเกิดข้อผิดพลาดไม่ใช่เมื่อค้นหาอนุพันธ์ แต่เมื่อแปลงโรงเรียนซ้ำซาก ในทางกลับกัน ครูมักจะปฏิเสธงานและขอให้ "นึกถึง" อนุพันธ์

ตัวอย่างที่ง่ายกว่าสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เรายังคงฝึกฝนเทคนิคต่างๆ ในการค้นหาอนุพันธ์ต่อไป และตอนนี้เราจะพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่ "แย่มาก" เพื่อการหาอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ที่นี่คุณสามารถไปได้ไกลโดยใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

แต่ขั้นตอนแรกนั้นทำให้คุณรู้สึกสิ้นหวังทันที - คุณต้องใช้อนุพันธ์ที่ไม่พึงประสงค์ของระดับเศษส่วนและจากเศษส่วนด้วย

นั่นเป็นเหตุผล ก่อนวิธีหาอนุพันธ์ของลอการิทึม "แฟนซี" ก่อนหน้านี้ทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของโรงเรียนที่รู้จักกันดี:

! หากคุณมีสมุดบันทึกแบบฝึกหัดอยู่ในมือ ให้คัดลอกสูตรเหล่านี้ไปที่นั่น หากคุณไม่มีสมุดบันทึก ให้วาดลงบนกระดาษ เนื่องจากตัวอย่างบทเรียนที่เหลือจะเกี่ยวกับสูตรเหล่านี้

โซลูชันสามารถกำหนดได้ดังนี้:

มาแปลงฟังก์ชันกันเถอะ:

เราพบอนุพันธ์:

การแปลงฟังก์ชันเบื้องต้นทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก ดังนั้น เมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่คล้ายกันสำหรับการหาอนุพันธ์ จึงแนะนำให้ "แยกย่อย" เสมอ

ตอนนี้สองสาม ตัวอย่างง่ายๆสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

การแปลงทั้งหมดและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

อนุพันธ์ลอการิทึม

หากอนุพันธ์ของลอการิทึมเป็นเพลงที่ไพเราะ คำถามก็เกิดขึ้น เป็นไปได้ไหมที่จะจัดระเบียบลอการิทึมเทียมในบางกรณี สามารถ! และจำเป็นด้วยซ้ำ

ตัวอย่างที่ 11

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่คล้ายกันที่เราเพิ่งพิจารณา จะทำอย่างไร? เราสามารถใช้กฎความแตกต่างของผลหารได้อย่างต่อเนื่อง จากนั้นจึงใช้กฎความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ ข้อเสียของวิธีนี้คือคุณจะได้เศษส่วนสามชั้นขนาดใหญ่ซึ่งคุณไม่ต้องการจัดการเลย

แต่ในทางทฤษฎีและทางปฏิบัติ มีสิ่งที่วิเศษมาก เช่น อนุพันธ์ลอการิทึม ลอการิทึมสามารถจัดแบบเทียมได้โดยการ "แขวน" ทั้งสองด้าน:

บันทึก : เพราะ ฟังก์ชันสามารถรับค่าลบได้ โดยทั่วไปแล้ว คุณต้องใช้โมดูล: ซึ่งหายไปเนื่องจากความแตกต่าง อย่างไรก็ตาม การออกแบบปัจจุบันก็เป็นที่ยอมรับเช่นกัน โดยที่ค่าเริ่มต้นคือ ซับซ้อนค่า แต่ถ้าเข้มงวดแล้วในทั้งสองกรณีจำเป็นต้องทำการจอง.

ตอนนี้คุณต้อง "ทำลาย" ลอการิทึมของด้านขวาให้มากที่สุด (สูตรต่อหน้าต่อตาคุณ?) ฉันจะอธิบายกระบวนการนี้โดยละเอียด:

เริ่มจากความแตกต่างกันก่อน
เราสรุปทั้งสองส่วนด้วยจังหวะ:

อนุพันธ์ของด้านขวานั้นค่อนข้างง่าย ฉันจะไม่แสดงความคิดเห็น เพราะถ้าคุณกำลังอ่านข้อความนี้ คุณควรจะสามารถจัดการกับมันได้ด้วยความมั่นใจ

แล้วด้านซ้ายล่ะ?

ทางด้านซ้ายเรามี ฟังก์ชันที่ซับซ้อน. ฉันคาดการณ์ล่วงหน้าว่า: "ทำไม จึงมีตัวอักษร "y" หนึ่งตัวอยู่ใต้ลอการิทึม"

ความจริงก็คือว่า "หนึ่งตัวอักษร y" - เป็นฟังก์ชั่นในตัวเอง(หากไม่ชัดเจน โปรดดูบทความ อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย) ดังนั้น ลอการิทึมจึงเป็นฟังก์ชันภายนอก และ "y" เป็นฟังก์ชันภายใน และเราใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผสม :

ทางด้านซ้ายราวกับเวทมนตร์เรามีอนุพันธ์ นอกจากนี้ ตามกฎของสัดส่วน เราโยน "y" จากตัวส่วนของด้านซ้ายไปที่ด้านบนของด้านขวา:

และตอนนี้เราจำฟังก์ชั่น "เกม" แบบใดที่เราพูดถึงเมื่อสร้างความแตกต่าง? ลองดูเงื่อนไข:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 12

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง ตัวอย่างการออกแบบตัวอย่างประเภทนี้ในตอนท้ายของบทเรียน

ด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์ของลอการิทึม มันเป็นไปได้ที่จะแก้ตัวอย่างใดๆ หมายเลข 4-7 อีกสิ่งหนึ่งคือฟังก์ชันที่มีอยู่นั้นง่ายกว่า และบางที การใช้อนุพันธ์ของลอการิทึมนั้นไม่สมเหตุสมผลมากนัก

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

เรายังไม่ได้พิจารณาฟังก์ชั่นนี้ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลคือฟังก์ชันที่มี และองศากับฐานขึ้นอยู่กับ "x". ตัวอย่างคลาสสิกที่จะมอบให้คุณในตำราเรียนหรือในการบรรยาย:

จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลได้อย่างไร?

จำเป็นต้องใช้เทคนิคที่เพิ่งพิจารณา - อนุพันธ์ลอการิทึม เราแขวนลอการิทึมทั้งสองด้าน:

ตามกฎแล้วระดับจะถูกดึงออกมาจากใต้ลอการิทึมทางด้านขวา:

เป็นผลให้ทางด้านขวาเรามีผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันซึ่งจะแตกต่างกันไปตามสูตรมาตรฐาน .

เราพบอนุพันธ์ ด้วยเหตุนี้เราจึงใส่ทั้งสองส่วนไว้ใต้เส้นขีด:

ขั้นตอนต่อไปนั้นง่าย:

ในที่สุด:

หากการแปลงบางอย่างไม่ชัดเจน โปรดอ่านคำอธิบายของตัวอย่างที่ 11 อีกครั้งอย่างละเอียด

ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะซับซ้อนกว่าตัวอย่างการบรรยายเสมอ

ตัวอย่างที่ 13

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เราใช้อนุพันธ์ลอการิทึม

ทางด้านขวาเรามีค่าคงที่และผลคูณของปัจจัยสองตัว - "x" และ "ลอการิทึมของลอการิทึมของ x" (ลอการิทึมอื่นซ้อนอยู่ใต้ลอการิทึม) เมื่อแยกแยะความแตกต่างของค่าคงที่ตามที่เราจำได้ จะเป็นการดีกว่าถ้านำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ทันที เพื่อไม่ให้มันกีดขวาง และแน่นอน ใช้กฎที่คุ้นเคย :

เมื่อเราต้องการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในรูปแบบ y = (f (x)) g (x) หรือแปลงนิพจน์ที่ยุ่งยากด้วยเศษส่วน เราสามารถใช้อนุพันธ์ลอการิทึมได้ ภายในกรอบของเนื้อหานี้ เราจะให้ตัวอย่างการใช้สูตรนี้หลายตัวอย่าง

เพื่อให้เข้าใจหัวข้อนี้ คุณจำเป็นต้องรู้วิธีใช้ตารางอนุพันธ์ ทำความคุ้นเคยกับกฎพื้นฐานของการหาอนุพันธ์ และเข้าใจว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนคืออะไร

วิธีหาสูตรสำหรับอนุพันธ์ลอการิทึม

ในการรับสูตรนี้ ก่อนอื่นคุณต้องนำลอการิทึมไปใช้กับฐาน e แล้วจึงลดความซับซ้อนของฟังก์ชันผลลัพธ์โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม หลังจากนั้น คุณต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย:

y = f (x) ln y = ln (f (x)) (ln y) " = (ln (f (x))) " 1 y y " = (ln (f (x))) " ⇒ y "= y(ln(f(x)))"

ตัวอย่างการใช้สูตร

ลองแสดงตัวอย่างวิธีการทำ

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลของตัวแปร x ยกกำลัง x

สารละลาย

เราดำเนินการลอการิทึมในฐานที่ระบุและรับ ln y = ln x x . โดยคำนึงถึงคุณสมบัติของลอการิทึม สิ่งนี้สามารถแสดงเป็น ln y = x · ln x . ตอนนี้เราแยกความแตกต่างของส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกันและรับผลลัพธ์:

ln y = x ln x ln y " = x ln x " 1 y y " = x " ln x + ln x " ⇒ y " = y 1 ln x + x 1 x = y (ln x + 1) = x x (ln x + 1)

คำตอบ: x x "= x x (ln x + 1)

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่นโดยไม่ต้องใช้อนุพันธ์ลอการิทึม ขั้นแรก เราต้องแปลงนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อเปลี่ยนจากการหาความแตกต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น

y = x x = e ln x x = e x ln x ⇒ y " = (e x ln x)" = e x ln x x ln x " = x x x" ln x + x (ln x)" = = x x 1 ln x + x 1 x = x x ln x + 1

ลองพิจารณาอีกหนึ่งปัญหา

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x .

สารละลาย

ฟังก์ชันดั้งเดิมแสดงเป็นเศษส่วน ซึ่งหมายความว่าเราสามารถแก้ปัญหาโดยใช้การหาอนุพันธ์ได้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันนี้ค่อนข้างซับซ้อน ซึ่งหมายความว่าจะต้องมีการแปลงจำนวนมาก ดังนั้น เราควรใช้อนุพันธ์ลอการิทึมที่นี่ y " = y · ln (f (x)) " ให้เราอธิบายว่าทำไมการคำนวณดังกล่าวจึงสะดวกกว่า

เริ่มจากการหา ln(f(x)) กันก่อน สำหรับการแปลงเพิ่มเติม เราต้องการคุณสมบัติของลอการิทึมต่อไปนี้:

• ลอการิทึมของเศษส่วนสามารถแสดงเป็นผลต่างของลอการิทึมได้
• ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงเป็นผลรวม
• ถ้านิพจน์ภายใต้ลอการิทึมมีกำลัง เราสามารถดึงออกมาเป็นค่าสัมประสิทธิ์ได้

มาแปลงนิพจน์กันเถอะ:

ln (f (x)) = ln (x 2 + 1) 1 3 x 3 บาป x 1 2 = ln (x 2 + 1) 1 3 - ln (x 3 บาป x) 1 2 = = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x

เป็นผลให้เราได้นิพจน์ที่ค่อนข้างง่ายซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่คำนวณได้ง่าย:

(ln (f (x))) "= 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln sin x" == 1 3 ln (x 2 + 1) "- 3 2 ln x" - 1 2 ln sin x " = = 1 3 (ln (x 2 + 1)) " - 3 2 (ln x) " - 1 2 (ln sin x) " = = 1 3 1 x 2 + 1 x 2 + 1 "- 3 2 1 x - 1 2 1 บาป x (บาป x)" = = 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 บาป x

ตอนนี้สิ่งที่เราทำจำเป็นต้องแทนที่ในสูตรสำหรับอนุพันธ์ลอการิทึม

คำตอบ: y " \u003d y ln (f (x)) " \u003d x 2 + 1 3 x 3 บาป x 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 บาป x

ในการรวมเนื้อหา ให้ศึกษาตัวอย่างต่อไปนี้สองสามตัวอย่าง เฉพาะการคำนวณที่มีความคิดเห็นขั้นต่ำเท่านั้นที่จะได้รับที่นี่

ตัวอย่างที่ 3

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = (x 2 + x + 1) x 3 จะได้รับ คำนวณอนุพันธ์ของมัน

สารละลาย:

y "= y (ln (f (x)))" = (x 2 + x + 1) x 3 ln (x 2 + x + 1) x 3 " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 " ln (x 2 + x + 1) + x 3 ln (x 2 + x + 1) " \u003d \ u003d (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 1 x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1 ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

คำตอบ: y "= y (ln (f(x)))" = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x+1

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์ y = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2

สารละลาย

เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ลอการิทึม

y " = y ln x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 " = = y ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 - ln x 2 + 2 x + 2 " == y 1 3 ln (x 2 + 1) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln (x 3 + 1) - 1 2 ln (x 2 + 2 x + 2) " = = y (x 2 + 1) " 3 (x 2 + 1) + x + 1 " 2 (x + 1) + (x 3 + 1) " 4 x 3 + 1 - x 2 + 2 x + 2 " 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2)

คำตอบ:

y "= x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1 ) - 2x + 2 2 (x 2 + 2x + 2) .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

คุณคิดว่าเวลาก่อนสอบยังมีอีกมากไหม? เป็นเดือนหรือไม่? สอง? ปี? การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่านักเรียนสามารถรับมือกับการสอบได้ดีที่สุดหากเขาเริ่มเตรียมตัวล่วงหน้า มีงานที่ยากมากมายในการสอบ Unified State ที่ขวางทางนักเรียนและผู้สมัครในอนาคตเพื่อให้ได้คะแนนสูงสุด อุปสรรคเหล่านี้ต้องเรียนรู้ที่จะเอาชนะ นอกจากนี้ การทำเช่นนี้ไม่ใช่เรื่องยาก คุณต้องเข้าใจหลักการทำงานกับงานต่างๆ จากตั๋ว แล้วจะไม่มีปัญหากับคนใหม่

ลอการิทึมในแวบแรกดูเหมือนซับซ้อนอย่างไม่น่าเชื่อ แต่เมื่อวิเคราะห์อย่างใกล้ชิด สถานการณ์จะง่ายขึ้นมาก หากคุณต้องการสอบผ่านด้วยคะแนนสูงสุด คุณควรเข้าใจแนวคิดที่เป็นปัญหา ซึ่งเราเสนอให้ทำในบทความนี้

ก่อนอื่นมาแยกคำจำกัดความเหล่านี้ออกจากกัน ลอการิทึม (ล็อก) คืออะไร? นี่คือตัวบ่งชี้ของพลังงานที่ต้องยกฐานเพื่อให้ได้จำนวนที่ระบุ หากยังไม่ชัดเจน เราจะวิเคราะห์ตัวอย่างเบื้องต้น

กรณีนี้ต้องยกฐานด้านล่างยกกำลังสองจึงจะได้เลข 4

ทีนี้มาจัดการกับแนวคิดที่สอง อนุพันธ์ของฟังก์ชันในรูปแบบใดๆ เรียกว่า แนวคิดที่แสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด อย่างไรก็ตาม นี่เป็นหลักสูตรของโรงเรียน และหากคุณประสบปัญหาเกี่ยวกับแนวคิดเหล่านี้แยกกัน คุณควรพูดหัวข้อนี้ซ้ำ

อนุพันธ์ของลอการิทึม

ใน ใช้การมอบหมายสามารถยกตัวอย่างได้หลายหัวข้อในหัวข้อนี้ เริ่มจากอนุพันธ์ลอการิทึมที่ง่ายที่สุดกันก่อน เราต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้

เราต้องหาอนุพันธ์ถัดไป

มีสูตรพิเศษคือ

ในกรณีนี้ x=u, log3x=v แทนค่าจากฟังก์ชันของเราลงในสูตร

อนุพันธ์ของ x จะเท่ากับหนึ่ง ลอการิทึมนั้นยากขึ้นเล็กน้อย แต่คุณจะเข้าใจหลักการถ้าคุณแค่แทนค่า จำได้ว่าอนุพันธ์ของ lg x เป็นอนุพันธ์ของลอการิทึมฐานสิบ และอนุพันธ์ของ ln x เป็นอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ (ขึ้นอยู่กับ e)

ตอนนี้เพียงแค่แทนค่าที่ได้รับลงในสูตร ลองด้วยตัวเองแล้วตรวจสอบคำตอบ

สิ่งที่อาจเป็นปัญหาสำหรับบางคนที่นี่ เราได้แนะนำแนวคิดของลอการิทึมธรรมชาติ มาพูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้และในขณะเดียวกันก็หาวิธีแก้ไขปัญหาด้วย คุณจะไม่เห็นอะไรที่ซับซ้อนโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณเข้าใจหลักการทำงานของมัน คุณควรจะทำความคุ้นเคยกับมัน เพราะมันมักจะใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ (ในระดับที่สูงขึ้น สถาบันการศึกษาโดยเฉพาะ).

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ

ที่แกนกลาง นี่คืออนุพันธ์ของลอการิทึมของฐาน e (นี่คือจำนวนอตรรกยะที่เท่ากับประมาณ 2.7) อันที่จริงแล้ว ln นั้นง่ายมาก ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมักใช้ในวิชาคณิตศาสตร์โดยทั่วไป ที่จริงแล้วการแก้ปัญหากับเขาจะไม่เป็นปัญหาเช่นกัน เป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การจดจำว่าอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของฐาน e จะเท่ากับหนึ่งหารด้วย x คำตอบของตัวอย่างต่อไปนี้จะบ่งชี้มากที่สุด

ลองนึกภาพเป็น ฟังก์ชันที่ซับซ้อนประกอบด้วยสองอย่างง่ายๆ

พอจะแปลงร่างได้

เรากำลังหาอนุพันธ์ของ u เทียบกับ x