อนุพันธ์ของการสั่นของฮาร์มอนิก การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกและคุณลักษณะของมัน

>>การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

§ 22 การสั่นสะเทือนแบบฮาร์โมนิก

เมื่อรู้ว่าความเร่งและพิกัดของวัตถุที่สั่นนั้นสัมพันธ์กันอย่างไร จากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ จึงสามารถค้นหาการขึ้นต่อกันของพิกัดตรงเวลาได้โดยอาศัยการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ความเร่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลาความเร็วชั่วขณะของจุดหนึ่งๆ ดังที่คุณทราบจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ นั้นเป็นอนุพันธ์ของพิกัดของจุดนั้นเทียบกับเวลา ความเร่งของจุดคืออนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา หรืออนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลา ดังนั้นสมการ (3.4) สามารถเขียนได้ดังนี้

ที่ไหน x " - อนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลา ตามสมการ (3.11) ในระหว่างการแกว่งอิสระ พิกัด x เปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลาจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับพิกัดนั้นเองและอยู่ตรงข้ามในเครื่องหมาย

จากหลักสูตรคณิตศาสตร์เป็นที่ทราบกันดีว่าอนุพันธ์อันดับสองของไซน์และโคไซน์ที่เกี่ยวข้องกับการโต้แย้งนั้นเป็นสัดส่วนกับฟังก์ชันของตัวเองโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่าไม่มีฟังก์ชันอื่นที่มีคุณสมบัตินี้ ทั้งหมดนี้ช่วยให้เรายืนยันได้อย่างถูกกฎหมายว่าพิกัดของร่างกายที่ทำการแกว่งอย่างอิสระเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือปาไซน์ รูปที่ 3.6 แสดงการเปลี่ยนแปลงพิกัดของจุดในช่วงเวลาตามกฎโคไซน์

การเปลี่ยนแปลงปริมาณทางกายภาพเป็นระยะๆ ขึ้นอยู่กับเวลา ซึ่งเกิดขึ้นตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ เรียกว่าการแกว่งของฮาร์มอนิก

แอมพลิจูดของการสั่นแอมพลิจูด การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกเรียกว่าโมดูลัสของการกระจัดที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล

แอมพลิจูดอาจมี ความหมายที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับว่าเราเคลื่อนร่างกายออกจากตำแหน่งสมดุลในช่วงเวลาเริ่มต้นมากน้อยเพียงใด หรือความเร็วที่ให้กับร่างกาย แอมพลิจูดถูกกำหนดโดยสภาวะเริ่มต้น หรืออย่างแม่นยำยิ่งขึ้นโดยพลังงานที่ส่งให้กับร่างกาย แต่ค่าสูงสุดของโมดูลัสไซน์และโมดูลัสโคไซน์มีค่าเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นการแก้สมการ (3.11) จึงไม่สามารถแสดงเป็นไซน์หรือโคไซน์ได้ง่ายๆ ควรอยู่ในรูปของผลิตภัณฑ์ของแอมพลิจูดการสั่น x m โดยไซน์หรือโคไซน์

การแก้สมการที่อธิบายการสั่นสะเทือนอิสระให้เราเขียนคำตอบของสมการ (3.11) ในรูปแบบต่อไปนี้:

และอนุพันธ์อันดับสองจะเท่ากับ:

เราได้รับสมการ (3.11) ดังนั้น ฟังก์ชัน (3.12) จึงเป็นคำตอบของสมการดั้งเดิม (3.11) การแก้สมการนี้ก็คือฟังก์ชันเช่นกัน

กราฟของพิกัดของร่างกายเทียบกับเวลาตาม (3.14) เป็นคลื่นโคไซน์ (ดูรูปที่ 3.6)

คาบและความถี่ของการสั่นฮาร์มอนิก- เมื่อสั่น การเคลื่อนไหวของร่างกายจะเกิดซ้ำเป็นระยะๆ ช่วงเวลา T ในระหว่างที่ระบบทำการแกว่งครบหนึ่งรอบเรียกว่าช่วงเวลาของการแกว่ง

เมื่อทราบระยะเวลา คุณสามารถกำหนดความถี่ของการแกว่งได้ เช่น จำนวนการแกว่งต่อหน่วยเวลา เช่น ต่อวินาที หากการสั่นหนึ่งครั้งเกิดขึ้นในเวลา T แล้วจำนวนการสั่นต่อวินาที

ใน ระบบสากลหน่วย (SI) ความถี่ของการสั่นจะเท่ากับ 1 ถ้าเกิดการสั่นหนึ่งครั้งต่อวินาที หน่วยความถี่เรียกว่าเฮิรตซ์ (ตัวย่อ: Hz) เพื่อเป็นเกียรติแก่นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน G. Hertz

จำนวนการสั่นใน 2 วินาทีเท่ากับ:

ปริมาณคือความถี่ของการแกว่งแบบวนหรือแบบวงกลม หากในสมการ (3.14) เวลา t เท่ากับหนึ่งช่วง ดังนั้น T = 2 ดังนั้น หาก ณ เวลา t = 0 x = x m ดังนั้น ณ เวลา t = T x = x m เช่น ผ่านช่วงระยะเวลาหนึ่งเท่ากับหนึ่ง การสั่นจะเกิดขึ้นซ้ำๆ

ความถี่ของการสั่นสะเทือนอิสระถูกกำหนดโดยความถี่ธรรมชาติของระบบออสซิลเลเตอร์ 1

การขึ้นอยู่กับความถี่และระยะเวลาของการแกว่งอิสระกับคุณสมบัติของระบบความถี่ธรรมชาติของการสั่นสะเทือนของร่างกายที่ติดกับสปริงตามสมการ (3.13) เท่ากับ:

ยิ่งความแข็งของสปริง k ยิ่งมาก ยิ่งมีมาก และยิ่งน้อย มวลตัว m ก็จะยิ่งมากขึ้น สิ่งนี้เข้าใจได้ง่าย: สปริงที่แข็งช่วยให้ร่างกายเร่งความเร็วได้มากขึ้นและเปลี่ยนความเร็วของร่างกายได้เร็วขึ้น และยิ่งร่างกายมีขนาดใหญ่เท่าไร ความเร็วก็จะยิ่งช้าลงภายใต้อิทธิพลของแรงเท่านั้น ระยะเวลาการสั่นเท่ากับ:

การมีชุดสปริงที่มีความแข็งต่างกันและมีมวลต่างกัน จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบจากประสบการณ์ว่าสูตร (3.13) และ (3.18) อธิบายธรรมชาติของการพึ่งพาของ และ T บน k และ m ได้อย่างถูกต้อง

เป็นที่น่าสังเกตว่าคาบการแกว่งของวัตถุบนสปริงและคาบการสั่นของลูกตุ้มที่มุมโก่งเล็ก ๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของการแกว่ง

โมดูลัสของสัมประสิทธิ์สัดส่วนระหว่างความเร่ง t และการกระจัด x ในสมการ (3.10) ซึ่งอธิบายการแกว่งของลูกตุ้ม ดังในสมการ (3.11) คือกำลังสองของความถี่ไซคลิก ดังนั้น ความถี่ธรรมชาติของการแกว่งของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ที่มุมเล็กๆ ของการเบี่ยงเบนของเกลียวจากแนวตั้ง ขึ้นอยู่กับความยาวของลูกตุ้มและความเร่งของแรงโน้มถ่วง:

สูตรนี้ได้รับและทดสอบครั้งแรกโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์ G. Huygens ซึ่งเป็นผู้ร่วมสมัยของ I. Newton ใช้ได้เฉพาะกับมุมโก่งเกลียวเล็กๆ เท่านั้น

1 บ่อยครั้งต่อไปนี้ เพื่อความกระชับ เราจะเรียกความถี่ไซคลิกว่าเป็นความถี่ คุณสามารถแยกแยะความถี่ไซคลิกจากความถี่ปกติได้ด้วยสัญลักษณ์

คาบการสั่นจะเพิ่มขึ้นตามความยาวของลูกตุ้มที่เพิ่มขึ้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้ม สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายด้วยการทดลองด้วยลูกตุ้มต่างๆ นอกจากนี้ยังสามารถตรวจจับการขึ้นต่อกันของคาบการสั่นกับความเร่งของแรงโน้มถ่วงได้ด้วย ยิ่ง g น้อยลง ระยะเวลาการแกว่งของลูกตุ้มก็จะนานขึ้น ดังนั้น นาฬิกาลูกตุ้มจะเดินช้าลงเท่านั้น ดังนั้นนาฬิกาที่มีลูกตุ้มอยู่ในรูปของน้ำหนักบนไม้เรียวจะตกไปเกือบ 3 วินาทีต่อวันหากยกจากห้องใต้ดินขึ้นไปชั้นบนสุดของมหาวิทยาลัยมอสโก (สูง 200 ม.) และนี่เป็นเพียงเพราะความเร่งของการตกอย่างอิสระที่ลดลงตามความสูง

ในทางปฏิบัติการพึ่งพาคาบการแกว่งของลูกตุ้มกับค่า g ด้วยการวัดคาบการสั่น ทำให้สามารถกำหนด g ได้แม่นยำมาก ความเร่งของแรงโน้มถ่วงเปลี่ยนแปลงไปด้วย ละติจูดทางภูมิศาสตร์- แต่ถึงแม้ในละติจูดที่กำหนด มันก็ไม่เหมือนกันทุกที่ ท้ายที่สุดความหนาแน่นของเปลือกโลกก็ไม่เท่ากันทุกที่ ในบริเวณที่มีหินหนาแน่นเกิดขึ้น ความเร่ง g จะมากกว่าเล็กน้อย สิ่งนี้จะถูกนำมาพิจารณาเมื่อค้นหาแร่ธาตุ

ดังนั้นแร่เหล็กจึงมีความหนาแน่นสูงกว่าเมื่อเทียบกับหินธรรมดา การวัดความเร่งของการตกอย่างอิสระใกล้เคิร์สต์ดำเนินการภายใต้การนำของนักวิชาการ A. A. Mikhailov ทำให้สามารถชี้แจงตำแหน่งของ แร่เหล็ก- พวกมันถูกค้นพบครั้งแรกผ่านการวัดทางแม่เหล็ก

คุณสมบัติของการสั่นสะเทือนทางกลนั้นใช้ในอุปกรณ์ของเครื่องชั่งอิเล็กทรอนิกส์ส่วนใหญ่ ร่างกายที่จะชั่งน้ำหนักจะวางอยู่บนแท่นซึ่งมีสปริงแข็งติดตั้งอยู่ เป็นผลให้เกิดการสั่นสะเทือนทางกลขึ้นความถี่ที่วัดโดยเซ็นเซอร์ที่เกี่ยวข้อง ไมโครโปรเซสเซอร์ที่เกี่ยวข้องกับเซ็นเซอร์นี้จะแปลงความถี่การสั่นเป็นมวลของร่างกายที่ชั่งน้ำหนัก เนื่องจากความถี่นี้ขึ้นอยู่กับมวล

สูตรผลลัพธ์ (3.18) และ (3.20) สำหรับคาบการสั่นบ่งชี้ว่าคาบการสั่นฮาร์มอนิกขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของระบบ (ความแข็งของสปริง ความยาวของเกลียว ฯลฯ)

Myakishev G. Ya. ฟิสิกส์ เกรด 11: ทางการศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; แก้ไขโดย V. I. Nikolaeva, N. A. Parfentieva - ฉบับที่ 17 แก้ไขใหม่ และเพิ่มเติม - อ.: การศึกษา, 2551. - 399 หน้า: ป่วย.

รายการหัวข้อทั้งหมดตามเกรด แผนปฏิทินตามหลักสูตรของโรงเรียนในวิชาฟิสิกส์ออนไลน์ วัสดุวิดีโอเกี่ยวกับฟิสิกส์สำหรับการดาวน์โหลดเกรด 11

เนื้อหาบทเรียน บันทึกบทเรียนสนับสนุนวิธีการเร่งความเร็วการนำเสนอบทเรียนแบบเฟรมเทคโนโลยีเชิงโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด การทดสอบตัวเอง เวิร์คช็อป การฝึกอบรม กรณีศึกษา ภารกิจ การบ้าน การอภิปราย คำถาม คำถามวาทศิลป์จากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียภาพถ่าย รูปภาพ กราฟิก ตาราง แผนภาพ อารมณ์ขัน เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เรื่องตลก การ์ตูน อุปมา คำพูด ปริศนาอักษรไขว้ คำพูด ส่วนเสริม บทคัดย่อบทความ เคล็ดลับสำหรับเปล ตำราเรียนขั้นพื้นฐาน และพจนานุกรมคำศัพท์เพิ่มเติมอื่นๆ การปรับปรุงตำราเรียนและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในตำราเรียนการอัปเดตส่วนในตำราเรียน องค์ประกอบของนวัตกรรมในบทเรียน การแทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบแผนปฏิทินสำหรับปี คำแนะนำด้านระเบียบวิธี บทเรียนบูรณาการ

การเปลี่ยนแปลงในปริมาณใดๆ อธิบายไว้โดยใช้กฎของไซน์หรือโคไซน์ จากนั้นการแกว่งดังกล่าวเรียกว่าฮาร์มอนิก ลองพิจารณาวงจรที่ประกอบด้วยตัวเก็บประจุ (ซึ่งถูกชาร์จก่อนที่จะรวมไว้ในวงจร) และตัวเหนี่ยวนำ (รูปที่ 1)

รูปที่ 1.

สมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกสามารถเขียนได้ดังนี้:

$q=q_0cos((\โอเมก้า )_0t+(\อัลฟา )_0)$ (1)

โดยที่ $t$ คือเวลา; ค่าธรรมเนียม $q$, $q_0$-- ค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของค่าธรรมเนียมจากค่าเฉลี่ย (ศูนย์) ระหว่างการเปลี่ยนแปลง $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- เฟสการแกว่ง; $(\alpha )_0$- เฟสเริ่มต้น; $(\omega )_0$ - ความถี่แบบวน ในระหว่างงวด ระยะจะเปลี่ยน $2\pi $

สมการของแบบฟอร์ม:

สมการของการสั่นฮาร์มอนิกใน รูปแบบที่แตกต่างสำหรับวงจรออสซิลเลเตอร์ที่ไม่มีความต้านทานแบบแอกทีฟ

การแกว่งตามคาบประเภทใดก็ตามสามารถแสดงได้อย่างแม่นยำเป็นผลรวมของการแกว่งฮาร์มอนิก หรือที่เรียกว่าอนุกรมฮาร์มอนิก

สำหรับคาบการสั่นของวงจรที่ประกอบด้วยคอยล์และตัวเก็บประจุ เราได้สูตรของทอมสัน:

หากเราแยกนิพจน์ (1) ตามเวลา เราจะได้สูตรสำหรับฟังก์ชัน $I(t)$:

แรงดันไฟฟ้าตกคร่อมตัวเก็บประจุสามารถพบได้ดังนี้:

จากสูตร (5) และ (6) จะได้ว่าความแรงของกระแสไฟฟ้าอยู่ข้างหน้าแรงดันไฟฟ้าบนตัวเก็บประจุเป็น $\frac(\pi )(2).$

การแกว่งของฮาร์มอนิกสามารถแสดงได้ทั้งในรูปแบบของสมการ ฟังก์ชัน และแผนภาพเวกเตอร์

สมการ (1) แสดงถึงการแกว่งที่ไม่มีการหน่วงอิสระ

สมการการสั่นแบบหน่วง

การเปลี่ยนแปลงประจุ ($q$) บนแผ่นตัวเก็บประจุในวงจรโดยคำนึงถึงความต้านทาน (รูปที่ 2) จะถูกอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ของรูปแบบ:

รูปที่ 2.

ถ้าความต้านทานที่เป็นส่วนหนึ่งของวงจร $R\

โดยที่ $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ คือความถี่การแกว่งแบบวน $\beta =\frac(R)(2L)-$ค่าสัมประสิทธิ์การหน่วง แอมพลิจูดของการสั่นแบบหน่วงจะแสดงเป็น:

หากที่ $t=0$ ประจุบนตัวเก็บประจุเท่ากับ $q=q_0$ และไม่มีกระแสไฟฟ้าในวงจร ดังนั้นสำหรับ $A_0$ เราสามารถเขียนได้:

เฟสของการแกว่ง ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น ($(\alpha )_0$) เท่ากับ:

เมื่อ $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ การเปลี่ยนแปลงประจุไม่ใช่การแกว่ง การคายประจุของตัวเก็บประจุเรียกว่า aคาบ

ตัวอย่างที่ 1

ออกกำลังกาย:มูลค่าการเรียกเก็บเงินสูงสุดคือ $q_0=10\ C$ มันแปรผันอย่างกลมกลืนด้วยคาบ $T= 5 s$ กำหนดกระแสสูงสุดที่เป็นไปได้

สารละลาย:

เป็นพื้นฐานในการแก้ปัญหาที่เราใช้:

ในการค้นหาความแรงในปัจจุบัน จะต้องแยกนิพจน์ (1.1) ตามเวลา:

โดยที่ค่าสูงสุด (ค่าแอมพลิจูด) ของความแรงของกระแสคือนิพจน์:

จากเงื่อนไขของปัญหา เราทราบค่าแอมพลิจูดของประจุ ($q_0=10\ C$) คุณควรหาความถี่ธรรมชาติของการแกว่ง ลองแสดงมันเป็น:

\[(\โอเมก้า )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]

ในกรณีนี้จะหาค่าที่ต้องการได้โดยใช้สมการ (1.3) และ (1.2) ดังนี้

เนื่องจากปริมาณทั้งหมดในเงื่อนไขของปัญหาจะแสดงอยู่ในระบบ SI เราจึงจะดำเนินการคำนวณ:

คำตอบ:$I_0=12.56\ อ.$

ตัวอย่างที่ 2

ออกกำลังกาย:คาบของการแกว่งในวงจรคือเท่าใด ซึ่งมีตัวเหนี่ยวนำ $L=1$H และตัวเก็บประจุ หากความแรงของกระแสในวงจรเปลี่ยนแปลงไปตามกฎหมาย: $I\left(t\right)=-0.1sin20 \pi t\ \left(A \right)?$ ความจุของตัวเก็บประจุเป็นเท่าใด?

สารละลาย:

จากสมการความผันผวนของกระแสซึ่งกำหนดไว้ในเงื่อนไขของปัญหา:

เราจะเห็นว่า $(\omega )_0=20\pi $ ดังนั้น เราสามารถคำนวณคาบการสั่นได้โดยใช้สูตร:

\ \

ตามสูตรของทอมสันสำหรับวงจรที่ประกอบด้วยตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ เรามี:

มาคำนวณความจุกัน:

คำตอบ:$T=0.1$ ค, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$

การแกว่งของฮาร์มอนิกเป็นปรากฏการณ์ของการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะของปริมาณใด ๆ ซึ่งการพึ่งพาอาร์กิวเมนต์มีลักษณะเป็นฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์ ตัวอย่างเช่น ปริมาณจะผันผวนอย่างกลมกลืนและเปลี่ยนแปลงตามเวลาดังนี้

โดยที่ x คือค่าของปริมาณที่เปลี่ยนแปลง t คือเวลา พารามิเตอร์ที่เหลือจะเป็นค่าคงที่: A คือแอมพลิจูดของการออสซิลเลชัน ω คือความถี่ไซคลิกของการออสซิลเลชัน คือเฟสเต็มของการออสซิลเลชัน คือเฟสเริ่มต้นของการออสซิลเลชัน

การสั่นฮาร์มอนิกทั่วไปในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล

(ใดๆ วิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญนี้ สมการเชิงอนุพันธ์- มีการสั่นฮาร์มอนิกด้วยความถี่ไซคลิก)

ประเภทของการสั่นสะเทือน

การสั่นสะเทือนอิสระเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงภายในของระบบหลังจากที่ระบบถูกถอดออกจากตำแหน่งสมดุลแล้ว เพื่อให้การแกว่งอิสระเป็นแบบฮาร์มอนิก จำเป็นที่ระบบออสซิลลาทอรีจะเป็นเส้นตรง (อธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น) และไม่มีการกระจายพลังงานไปในตัว (อย่างหลังจะทำให้เกิดการลดทอน)

แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอกเป็นระยะ เพื่อให้เป็นฮาร์มอนิกก็เพียงพอแล้วที่ระบบออสซิลโลสโคปจะเป็นเส้นตรง (อธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น) และแรงภายนอกเองก็เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาเนื่องจากการแกว่งของฮาร์มอนิก (นั่นคือ การพึ่งพาเวลาของแรงนี้เป็นไซนูซอยด์) .

สมการฮาร์มอนิก

สมการ (1)

ให้การพึ่งพาค่าที่ผันผวน S ตรงเวลา t; นี่คือสมการของการแกว่งของฮาร์มอนิกอิสระในรูปแบบที่ชัดเจน อย่างไรก็ตาม โดยปกติแล้ว สมการการสั่นสะเทือนถือเป็นตัวแทนที่แตกต่างกันของสมการนี้ ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล เพื่อความแน่นอน ขอให้เราใช้สมการ (1) ในรูปแบบ

มาแยกความแตกต่างสองครั้งตามเวลา:

จะเห็นได้ว่ามีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

ซึ่งเรียกว่าสมการของการแกว่งฮาร์มอนิกอิสระ (ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล) สมการ (1) เป็นวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ (2) เนื่องจากสมการ (2) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง เงื่อนไขเริ่มต้นสองเงื่อนไขจึงมีความจำเป็นเพื่อให้ได้คำตอบที่สมบูรณ์ (นั่นคือ การหาค่าคงที่ A และ   ที่รวมอยู่ในสมการ (1) เช่น ตำแหน่งและความเร็วของระบบออสซิลลาทอรีที่ t = 0

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือออสซิลเลเตอร์ ซึ่งเป็นระบบกลไกที่ประกอบด้วยจุดวัสดุที่ตั้งอยู่บนเกลียวที่ไม่สามารถยืดออกได้แบบไร้น้ำหนัก หรือบนแท่งไร้น้ำหนักในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ คาบของการสั่นตามธรรมชาติเล็กน้อยของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ความยาว l ซึ่งแขวนลอยอย่างไม่มีการเคลื่อนที่ในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอโดยมีความเร่งการตกอย่างอิสระ g เท่ากับ

และไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและมวลของลูกตุ้ม

ลูกตุ้มทางกายภาพคือออสซิลเลเตอร์ ซึ่งเป็นวัตถุแข็งที่แกว่งไปมาในสนามที่มีแรงใดๆ สัมพันธ์กับจุดที่ไม่ใช่จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุนี้ หรือแกนคงที่ตั้งฉากกับทิศทางการกระทำของแรง และไม่ ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายนี้

การสั่นแบบฮาร์มอนิกเชิงกล- นี่คือการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรงซึ่งพิกัดของวัตถุที่สั่น (จุดวัสดุ) เปลี่ยนแปลงตามกฎของโคไซน์หรือไซน์ขึ้นอยู่กับเวลา

ตามคำจำกัดความนี้ กฎการเปลี่ยนแปลงพิกัดตามเวลามีรูปแบบ:

โดยที่ wt คือปริมาณที่อยู่ใต้เครื่องหมายโคไซน์หรือไซน์ ว- ค่าสัมประสิทธิ์ความหมายทางกายภาพซึ่งจะเปิดเผยด้านล่าง A คือแอมพลิจูดของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกเชิงกล

สมการ (4.1) เป็นสมการจลนศาสตร์พื้นฐานของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกเชิงกล

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ลองใช้แกน Ox (รูปที่ 64) จากจุด 0 เราวาดวงกลมที่มีรัศมี R = A ให้จุด M จากตำแหน่ง 1 เริ่มเคลื่อนที่รอบวงกลมด้วยความเร็วคงที่ โวลต์(หรือด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ ว, วี = ว- หลังจากนั้นครู่หนึ่ง รัศมีจะหมุนเป็นมุม ฉ: ฉ=น้ำหนัก.

ด้วยการเคลื่อนที่แบบวงกลมของจุด M การฉายภาพบนแกน x M x จะเคลื่อนที่ไปตามแกน x ซึ่งพิกัดที่ x จะเท่ากับ x = A cos ฉ = = กเพราะ น้ำหนัก- ดังนั้น หากจุดวัสดุเคลื่อนที่ไปตามวงกลมรัศมี A ซึ่งมีจุดศูนย์กลางตรงกับจุดกำเนิดของพิกัด ดังนั้นการฉายภาพของจุดนี้บนแกน x (และบนแกน y) จะทำให้เกิดการสั่นสะเทือนเชิงกลแบบฮาร์มอนิก

หากทราบค่า wt ซึ่งอยู่ใต้เครื่องหมายโคไซน์ และแอมพลิจูด A ก็สามารถหาค่า x ได้ในสมการ (4.1)

ปริมาณ wt ซึ่งยืนอยู่ใต้เครื่องหมายโคไซน์ (หรือไซน์) ซึ่งกำหนดพิกัดของจุดสั่นที่แอมพลิจูดที่กำหนดโดยไม่ซ้ำกันเรียกว่า เฟสการสั่น- สำหรับจุด M ที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม ค่า w หมายถึงความเร็วเชิงมุม ความหมายทางกายภาพของค่า w ของจุด M x ที่มีการสั่นฮาร์มอนิกเชิงกลคืออะไร? พิกัดของจุดสั่น M x เท่ากัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง t และ (T +1) (จากคำจำกัดความของช่วงเวลา T) เช่น A cos น้ำหนัก = cos w (t + T) ซึ่งหมายความว่า ว(t + T) - น้ำหนัก = 2 พี(จากคุณสมบัติความเป็นคาบของฟังก์ชันโคไซน์) มันเป็นไปตามนั้น

ดังนั้น สำหรับจุดวัสดุที่มีการออสซิลเลชันเชิงกลแบบฮาร์มอนิก ค่าของ w สามารถตีความได้ว่าเป็นจำนวนการออสซิลเลชันสำหรับค่าหนึ่ง วงจรเวลาเท่ากัน 2ล- จึงมีค่า วชื่อ วัฏจักร(หรือ วงกลม) ความถี่.

หากจุด M เริ่มเคลื่อนที่ไม่ใช่จากจุดที่ 1 แต่จากจุดที่ 2 สมการ (4.1) จะอยู่ในรูปแบบ:

ขนาด ฉ 0เรียกว่า ระยะเริ่มแรก.

เราพบว่าความเร็วของจุด M x เป็นอนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา:

ความเร่งของจุดที่แกว่งไปมา กฎฮาร์มอนิกเรากำหนดให้มันเป็นอนุพันธ์ของความเร็ว:

จากสูตร (4.4) เห็นได้ชัดว่าความเร็วของจุดที่ทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกเปลี่ยนแปลงไปตามกฎโคไซน์ด้วย แต่ความเร็วเฟสนั้นนำหน้าพิกัดด้วยปี่/2 - ความเร่งในระหว่างการสั่นฮาร์มอนิกจะแปรผันไปตามกฎโคไซน์ แต่อยู่ข้างหน้าพิกัดในเฟสโดย n

- สมการ (4.5) สามารถเขียนในรูปของพิกัด x ได้:

ความเร่งระหว่างการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกจะเป็นสัดส่วนกับการกระจัดที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม ให้เราคูณด้านขวาและด้านซ้ายของสมการ (4.5) ด้วยมวลของจุดวัสดุที่สั่น m เราจะได้ความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้: ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน ความหมายทางกายภาพของนิพจน์ทางด้านขวามือ (4.6) คือการฉายภาพของแรง F x ซึ่งให้ฮาร์โมนิค:

การเคลื่อนไหวทางกล

ค่าของ F x เป็นสัดส่วนกับการกระจัด x และอยู่ตรงข้ามกับค่านั้น ตัวอย่างของแรงดังกล่าวคือแรงยืดหยุ่น ซึ่งมีขนาดเป็นสัดส่วนกับการเสียรูปและมีทิศทางตรงกันข้ามกับแรงนั้น (กฎของฮุค) รูปแบบของการเร่งความเร็วและการกระจัด ซึ่งตามมาจากสมการ (4.6) ซึ่งเราพิจารณาสำหรับการแกว่งของฮาร์มอนิกเชิงกล สามารถสรุปและนำไปใช้ได้เมื่อพิจารณาการแกว่งของลักษณะทางกายภาพที่แตกต่างกัน (เช่น การเปลี่ยนแปลงของกระแสในวงจรการแกว่ง การเปลี่ยนแปลงของประจุ แรงดันไฟฟ้า การเหนี่ยวนำสนามแม่เหล็ก ฯลฯ) ดังนั้นสมการ (4.8) จึงเรียกว่าสมการหลัก.

ไดนามิกส์ฮาร์มอนิก

ให้สปริง (รูปที่ 63) ซึ่งอยู่ในแนวนอนและคงที่ที่จุด 0 ติดที่ปลายด้านหนึ่งเข้ากับวัตถุที่มีมวล m ซึ่งสามารถเคลื่อนที่ไปตามแกน x โดยไม่มีแรงเสียดทาน ให้ค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริงเท่ากับ k ขอให้เราได้รับร่างกายมแรงภายนอก

จากตำแหน่งสมดุลแล้วปล่อยไป จากนั้นตามแกน x จะมีเพียงแรงยืดหยุ่นเท่านั้นที่จะกระทำต่อร่างกาย ซึ่งตามกฎของฮุคจะเท่ากับ: F yпp = -kx

สมการการเคลื่อนที่ของร่างกายนี้คือ:

เมื่อเปรียบเทียบสมการ (4.6) และ (4.9) เราได้ข้อสรุปสองประการ:

จากสูตร (4.2) และ (4.10) เราได้สูตรสำหรับคาบการแกว่งของโหลดบนสปริง:

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือวัตถุที่มีมวล m แขวนอยู่บนเส้นด้ายยาวที่ยืดออกไม่ได้และมีมวลเล็กน้อย ในตำแหน่งสมดุล วัตถุนี้จะถูกกระทำโดยแรงโน้มถ่วงและแรงยืดหยุ่นของเส้นด้าย กองกำลังเหล่านี้จะสมดุลซึ่งกันและกัน หากด้ายเอียงเป็นมุมก จากตำแหน่งสมดุลแรงเดียวกันจะกระทำต่อร่างกาย แต่พวกมันไม่สมดุลกันอีกต่อไปและร่างกายเริ่มเคลื่อนที่ไปตามส่วนโค้งภายใต้อิทธิพลขององค์ประกอบแรงโน้มถ่วงที่พุ่งไปตามแทนเจนต์ถึงส่วนโค้งและเท่ากับ mg sin.

ก

สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอยู่ในรูปแบบ: เครื่องหมายลบทางด้านขวาหมายความว่าแรง F x = mg sin a พุ่งต้านการกระจัด การสั่นของฮาร์มอนิกจะเกิดขึ้นที่มุมโก่งตัวเล็กน้อย กล่าวคือ ให้ไว้เอ 2* จากตำแหน่งสมดุลแรงเดียวกันจะกระทำต่อร่างกาย แต่พวกมันไม่สมดุลกันอีกต่อไปและร่างกายเริ่มเคลื่อนที่ไปตามส่วนโค้งภายใต้อิทธิพลขององค์ประกอบแรงโน้มถ่วงที่พุ่งไปตามแทนเจนต์ถึงส่วนโค้งและเท่ากับ mg sin.

บาป มาแทนที่บาปกันเถอะและใน

สมการ (4.12) เราได้สมการดังต่อไปนี้

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก กราฟฟังก์ชัน(ฉ x ฉ) = บาป( ) และ(ฉก ฉ) = คอส(

) บนระนาบคาร์ทีเซียนการสั่นแบบฮาร์มอนิก

,

- การแกว่งซึ่งปริมาณทางกายภาพ (หรืออื่นๆ) เปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎไซน์ซอยด์หรือโคไซน์ สมการจลนศาสตร์ของการแกว่งฮาร์มอนิกมีรูปแบบ ที่ไหนเอ็กซ์ - การกระจัด (ส่วนเบี่ยงเบน) ของจุดสั่นจากตำแหน่งสมดุล ณ เวลา t;ก ω - ความกว้างของการแกว่งเป็นค่าที่กำหนดค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของจุดสั่นจากตำแหน่งสมดุล

- ความถี่ไซคลิก ค่าที่ระบุจำนวนการแกว่งที่สมบูรณ์ที่เกิดขึ้นภายใน 2π วินาที - ระยะการแกว่งเต็มเฟส - ระยะเริ่มต้นของการแกว่ง

การสั่นฮาร์มอนิกทั่วไปในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล

(คำตอบที่ไม่ไม่สำคัญใดๆ ของสมการเชิงอนุพันธ์นี้คือการแกว่งของฮาร์มอนิกที่มีความถี่เป็นรอบ)

ประเภทของการสั่นสะเทือน

• วิวัฒนาการของเวลาของการกระจัด ความเร็ว และความเร่งในการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกจะดำเนินการภายใต้อิทธิพลของแรงภายในของระบบหลังจากที่ระบบถูกถอดออกจากตำแหน่งสมดุลแล้ว เพื่อให้การแกว่งอิสระเป็นแบบฮาร์โมนิค จำเป็นที่ระบบการแกว่งจะเป็นเส้นตรง (อธิบายไว้แล้ว สมการเชิงเส้นการเคลื่อนไหว) และไม่มีการสูญเสียพลังงาน (อย่างหลังจะทำให้เกิดการลดทอนลง)
• แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับจะดำเนินการภายใต้อิทธิพลของแรงคาบภายนอก เพื่อให้เป็นฮาร์มอนิกก็เพียงพอแล้วที่ระบบออสซิลโลสโคปจะเป็นเส้นตรง (อธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น) และแรงภายนอกเองก็เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาเนื่องจากการแกว่งของฮาร์มอนิก (นั่นคือ การพึ่งพาเวลาของแรงนี้เป็นไซนูซอยด์) .

แอปพลิเคชัน

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกโดดเด่นจากการสั่นสะเทือนประเภทอื่นๆ ทั้งหมดด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้:

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

วรรณกรรม

• ฟิสิกส์. หนังสือเรียนฟิสิกส์เบื้องต้น / อ. จี.เอส. แลนสเบิร์ก. - ฉบับที่ 3 - ม., 2505. - ต. 3.
• ไข่คิน เอส.อี.พื้นฐานทางกายภาพของกลศาสตร์ - ม., 2506.
• อ. เอ็ม. อาโฟนิน.พื้นฐานทางกายภาพของกลศาสตร์ - เอ็ด ฉัน บาวแมน, 2549.
• Gorelik G. S.การสั่นและคลื่น ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับอะคูสติก รังสีฟิสิกส์ และทัศนศาสตร์ - ม.: Fizmatlit, 2502. - 572 หน้า

มูลนิธิวิกิมีเดีย

2010.

ดูว่า "การแกว่งของฮาร์มอนิก" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

สารานุกรมสมัยใหม่การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก - การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก การเปลี่ยนแปลงปริมาณทางกายภาพเป็นระยะ ๆ ที่เกิดขึ้นตามกฎของไซน์ กราฟิก การสั่นของฮาร์มอนิกจะแสดงด้วยเส้นโค้งไซน์ซอยด์ การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกรูปแบบที่ง่ายที่สุด การเคลื่อนไหวเป็นระยะ มีลักษณะโดย...

พจนานุกรมสารานุกรมภาพประกอบ การสั่นซึ่งปริมาณทางกายภาพ เปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ ในเชิงกราฟิก GK จะแสดงด้วยคลื่นไซน์โค้งหรือคลื่นโคไซน์ (ดูรูป) สามารถเขียนได้ในรูปแบบ: x ​​= Asin (ωt + φ) หรือ x...

สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต HARMONIC VIBRATIONS การเคลื่อนที่เป็นระยะ เช่น การเคลื่อนที่ของ PENDULUM การสั่นสะเทือนของอะตอม หรือการสั่นสะเทือนในวงจรไฟฟ้า - ร่างกายจะทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกแบบไม่แดมป์เมื่อมันแกว่งไปตามแนวเส้น โดยเคลื่อนที่แบบเดียวกัน... ...

พจนานุกรมสารานุกรมวิทยาศาสตร์และเทคนิค การสั่นซึ่งทางกายภาพ (หรืออื่นๆ) ปริมาณเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎไซน์ซอยด์: x=Asin(wt+j) โดยที่ x คือค่าของปริมาณที่ผันผวน ณ เวลาที่กำหนด โมเมนต์ของเวลา t (สำหรับ G.K. เชิงกล เช่น การกระจัดหรือความเร็ว สำหรับ ... ...

สารานุกรมทางกายภาพ- การแกว่งทางกล ซึ่งพิกัดทั่วไปและ (หรือ) ความเร็วทั่วไปเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนของไซน์โดยอาร์กิวเมนต์เชิงเส้นขึ้นอยู่กับเวลา [รวบรวมคำศัพท์ที่แนะนำ ฉบับที่ 106 การสั่นสะเทือนทางกล สถาบันวิทยาศาสตร์… คู่มือนักแปลทางเทคนิค

การสั่นซึ่งทางกายภาพ (หรืออื่นๆ) ปริมาณการเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎไซนูซอยด์ โดยที่ x คือค่าของปริมาณการสั่น ณ เวลา t (สำหรับระบบไฮดรอลิกเชิงกล เช่น การกระจัดและความเร็ว สำหรับแรงดันไฟฟ้าและความแรงของกระแส) ... การสั่นซึ่งทางกายภาพ (หรืออื่นๆ) ปริมาณเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎไซน์ซอยด์: x=Asin(wt+j) โดยที่ x คือค่าของปริมาณที่ผันผวน ณ เวลาที่กำหนด โมเมนต์ของเวลา t (สำหรับ G.K. เชิงกล เช่น การกระจัดหรือความเร็ว สำหรับ ... ...

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์โมนิก- (ดู) ซึ่งทางกายภาพ ปริมาณเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ (เช่น การเปลี่ยนแปลง (ดู) และความเร็วระหว่างการสั่น (ดู) หรือการเปลี่ยนแปลง (ดู) และความแรงของกระแสระหว่างไฟฟ้า G.k.) ... สารานุกรมโพลีเทคนิคขนาดใหญ่

มีลักษณะเฉพาะคือการเปลี่ยนแปลงค่าการสั่น x (เช่น การเบี่ยงเบนของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุล แรงดันไฟฟ้าในวงจรกระแสสลับ ฯลฯ) ในเวลา t ตามกฎหมาย: x = Asin (?t + ?) โดยที่ A คือแอมพลิจูดของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก ? มุม... ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

สารานุกรมสมัยใหม่- 19. การสั่นแบบฮาร์มอนิก การสั่นซึ่งค่าของปริมาณการสั่นเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎหมาย ที่มา ... หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมเกี่ยวกับเอกสารเชิงบรรทัดฐานและทางเทคนิค

เป็นระยะๆ ความผันผวนซึ่งการเปลี่ยนแปลงทางกายภาพของเวลา ปริมาณเกิดขึ้นตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ (ดูรูป): s = Аsin(wt+ф0) โดยที่ s คือค่าเบี่ยงเบนของปริมาณที่ผันผวนจากค่าเฉลี่ย ค่า (สมดุล), A=แอมพลิจูด const, w= const วงกลม... พจนานุกรมโพลีเทคนิคสารานุกรมขนาดใหญ่