ในบทความนี้เราจะอธิบายวิธีการใช้สูตรเพื่อแก้ปัญหาระบบ สมการเชิงเส้น.

นี่คือตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้น:
3x + 4y = 8
4x + 8y = 1

วิธีแก้ไขคือหาค่าดังกล่าว เอ็กซ์และ ที่ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง ระบบสมการนี้มีคำตอบเดียวคือ
x=7.5
y=-3.625

จำนวนตัวแปรในระบบสมการต้องเท่ากับจำนวนสมการ ตัวอย่างก่อนหน้านี้ใช้สองสมการในสองตัวแปร ต้องใช้สามสมการเพื่อค้นหาค่าของตัวแปรสามตัว ( เอ็กซ์,ที่และ ซี). ขั้นตอนทั่วไปสำหรับการแก้ระบบสมการมีดังนี้ (รูปที่ 128.1)

1. แสดงสมการในรูปแบบมาตรฐาน หากจำเป็น ให้ใช้พีชคณิตพื้นฐานและเขียนสมการใหม่เพื่อให้ตัวแปรทั้งหมดปรากฏทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ สมการสองสมการต่อไปนี้เหมือนกัน แต่สมการที่สองอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน:
   3x - 8 = -4y
   3x + 4y = 8
2. วางค่าสัมประสิทธิ์ในช่วงของเซลล์ที่มีขนาดต่างๆ น x น, ที่ไหน นเป็นจำนวนสมการ บนมะเดื่อ ค่าสัมประสิทธิ์ 128.1 อยู่ในช่วง I2:J3
3. วางค่าคงที่ (ตัวเลขทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ) ในช่วงแนวตั้งของเซลล์ บนมะเดื่อ 128.1 ค่าคงที่อยู่ในช่วง L2:L3 .
4. ใช้สูตรอาร์เรย์ในการคำนวณ เมทริกซ์ผกผันค่าสัมประสิทธิ์ บนมะเดื่อ 128.1 สูตรอาร์เรย์ต่อไปนี้ป้อนในช่วง I6:J7 (อย่าลืมกด Ctrl+Shift+Enterเพื่อป้อนสูตรอาร์เรย์): =INV(I2:J3)
5. ใช้สูตรอาร์เรย์เพื่อคูณค่าผกผันของเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ด้วยเมทริกซ์ของค่าคงที่ บนมะเดื่อ 128.1 สูตรอาร์เรย์ต่อไปนี้ป้อนในช่วง J10:JJ11 ซึ่งมีวิธีแก้ปัญหา (x = 7.5 และ y = -3.625): =MMULT(I6:J7;L2:L3) บนมะเดื่อ 128.2 แสดงชีตที่ตั้งค่าไว้เพื่อแก้ระบบสามสมการ

ที่ โปรแกรมเอ็กเซลมีชุดเครื่องมือมากมายสำหรับการแก้ปัญหา ชนิดต่างๆสมการในรูปแบบต่างๆ

มาดูตัวอย่างการแก้ปัญหากัน

การแก้สมการด้วยวิธีการเลือกพารามิเตอร์ของ Excel

เครื่องมือ Parameter Seek ใช้ในสถานการณ์ที่ทราบผลลัพธ์ แต่ไม่ทราบอาร์กิวเมนต์ Excel จะเลือกค่าจนกว่าการคำนวณจะได้ผลรวมที่ต้องการ

เส้นทางไปยังคำสั่ง: "ข้อมูล" - "การทำงานกับข้อมูล" - "การวิเคราะห์แบบ What-if" - "การเลือกพารามิเตอร์"

ลองมาดูวิธีแก้ปัญหากัน สมการกำลังสอง x 2 + 3x + 2 = 0 ลำดับการค้นหารูทโดยใช้ Excel:

โปรแกรมใช้กระบวนการแบบวงกลมเพื่อเลือกพารามิเตอร์ หากต้องการเปลี่ยนจำนวนการวนซ้ำและข้อผิดพลาด คุณต้องไปที่ตัวเลือกของ Excel บนแท็บ "สูตร" กำหนดขีดจำกัดสำหรับจำนวนการวนซ้ำ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์. ทำเครื่องหมายในช่อง "เปิดใช้งานการคำนวณซ้ำ"



วิธีแก้ระบบสมการด้วยวิธีเมทริกซ์ใน Excel

ระบบสมการจะได้รับ:

ได้รับรากสมการ

การแก้ระบบสมการด้วยวิธีของแครมเมอร์ใน Excel

ลองใช้ระบบสมการจากตัวอย่างที่แล้ว:

เพื่อแก้ปัญหาด้วยวิธีแครมเมอร์ เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการแทนที่หนึ่งคอลัมน์ในเมทริกซ์ A ด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ B

ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ เราใช้ฟังก์ชัน MOPRED อาร์กิวเมนต์คือช่วงที่มีเมทริกซ์สอดคล้องกัน

เรายังคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A (อาร์เรย์ - เรนจ์ของเมทริกซ์ A)

ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบมีค่ามากกว่า 0 - สามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้โดยใช้สูตรแครมเมอร์ (D x / |A|)

ในการคำนวณ X 1: \u003d U2 / $ U $ 1 โดยที่ U2 - D1 ในการคำนวณ X 2: =U3/$U$1 เป็นต้น เราได้รากของสมการ:

การแก้ระบบสมการด้วยวิธี Gauss ใน Excel

ตัวอย่างเช่น ลองใช้ระบบสมการที่ง่ายที่สุด:

3a + 2c - 5c = -1
2a - c - 3c = 13
a + 2b - c \u003d 9

เราเขียนค่าสัมประสิทธิ์ในเมทริกซ์ A เงื่อนไขอิสระ - ในเมทริกซ์ B

เพื่อความชัดเจน เราเน้นสมาชิกฟรีด้วยการกรอก ถ้าเซลล์แรกของเมทริกซ์ A เป็น 0 คุณต้องสลับแถวเพื่อให้มีค่าอื่นที่ไม่ใช่ 0

ตัวอย่างการแก้สมการโดยการวนซ้ำใน Excel

ต้องตั้งค่าการคำนวณในสมุดงานดังนี้:

สิ่งนี้ทำในแท็บ "สูตร" ใน "ตัวเลือกของ Excel" ลองหารากของสมการ x - x 3 + 1 = 0 (a = 1, b = 2) โดยการวนซ้ำโดยใช้การอ้างอิงแบบวงกลม สูตร:

X n+1 \u003d X n - F (X n) / M, n \u003d 0, 1, 2, ....

M คือค่าสูงสุดของอนุพันธ์โมดูโล ในการหา M เรามาคำนวณกัน:

f' (1) = -2 * f' (2) = -11.

ค่าผลลัพธ์น้อยกว่า 0 ดังนั้นฟังก์ชันจะมีเครื่องหมายตรงกันข้าม: f (x) \u003d -x + x 3 - 1 M \u003d 11

ในเซลล์ A3 ให้ป้อนค่า: a = 1 ความแม่นยำ - ทศนิยมสามตำแหน่ง ในการคำนวณค่าปัจจุบันของ x ในเซลล์ที่อยู่ติดกัน (B3) ให้ป้อนสูตร: =IF(B3=0;A3;B3-(-B3+POWER(B3;3)-1/11))

ในเซลล์ C3 เราควบคุมค่าของ f (x): โดยใช้สูตร =B3-POWER(B3;3)+1

รากของสมการคือ 1.179 ป้อนค่า 2 ในเซลล์ A3 เราได้ผลลัพธ์เดียวกัน:

มีเพียงหนึ่งรูทในช่วงเวลาที่กำหนด

» บทที่ 15

บทที่ 15

วิธีแครมเมอร์

(SLN)
- ตัวระบุระบบ
ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของ SLE ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นคำตอบของระบบจะถูกกำหนดโดยสูตร Cramer โดยไม่ซ้ำกัน:
, , ()
ที่ไหน:

	เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในคอลัมน์ที่มีตัวแปร x ดังนั้นในคอลัมน์แรก แทนที่จะใส่ค่าสัมประสิทธิ์ที่ x เราจึงใส่ค่าสัมประสิทธิ์อิสระ ซึ่งในระบบสมการจะอยู่ทางด้านขวาของสมการ
	ในการทำเช่นนี้ในคอลัมน์ที่ตัวแปร y คือ (คอลัมน์ที่ 2) แทนที่จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่ y เราใส่ค่าสัมประสิทธิ์อิสระซึ่งอยู่ในระบบสมการทางด้านขวาของสมการ
	ในการทำเช่นนี้ในคอลัมน์ที่มีตัวแปร z ซึ่งหมายถึงคอลัมน์ที่สาม แทนที่จะใส่ค่าสัมประสิทธิ์ที่ z เราใส่ค่าสัมประสิทธิ์อิสระ ซึ่งในระบบสมการจะอยู่ทางด้านขวาของสมการ

แบบฝึกหัด 1.แก้ปัญหา SLE ด้วย Cramer Formulas ใน Excel

ความคืบหน้าการตัดสินใจ

1. เราเขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์:

2. ใส่เมทริกซ์ A และ B ใน Excel

3. หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A มันควรจะเท่ากับ 30

4. ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบแตกต่างจากศูนย์ ดังนั้น - โซลูชันถูกกำหนดโดยสูตรของแครมเมอร์โดยเฉพาะ

5. กรอกค่า dX, dY, dZ ในแผ่นงาน Excel (ดูรูปด้านล่าง)

6. ในการคำนวณค่า dX, dY, dZ ในเซลล์ F8, F12, F16 คุณต้องป้อนฟังก์ชันที่คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ dX, dY, dZ ตามลำดับ

7. ในการคำนวณค่า X ในเซลล์ I8 คุณต้องป้อนสูตร =F8/B5 (ตามสูตรของ Cramer คือ dX/|A|)

8. ใส่สูตรคำนวณ Y และ Z ด้วยตัวคุณเอง

ภารกิจที่ 2: ค้นหาวิธีแก้ปัญหา SLE ด้วยวิธี Cramer อย่างอิสระ:

สูตรของแครมเมอร์และ วิธีเมทริกซ์คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นไม่มีการประยุกต์ใช้อย่างจริงจังเนื่องจากเกี่ยวข้องกับการคำนวณที่ยุ่งยาก ในทางปฏิบัติ วิธีเกาส์มักใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

วิธีเกาส์

กระบวนการแก้ปัญหา Gaussian ประกอบด้วยสองขั้นตอน

1. จังหวะตรง:ระบบจะลดลงเป็นรูปแบบขั้นบันได (โดยเฉพาะรูปสามเหลี่ยม)

ในการแก้ระบบสมการ เมทริกซ์ส่วนเพิ่มของระบบนี้จะถูกเขียนออกมา

และเหนือแถวของเมทริกซ์นี้ การแปลงเบื้องต้นนำมาสู่รูปแบบเมื่อเลขศูนย์จะอยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลัก
อนุญาตให้ทำการแปลงเบื้องต้นในเมทริกซ์ได้
ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเหล่านี้ ทุกครั้งที่ได้รับเมทริกซ์เสริม ระบบใหม่เทียบเท่ากับของเดิมคือ ระบบที่มีโซลูชันที่สอดคล้องกับโซลูชันของระบบเดิม

2. ย้อนกลับ:มีการกำหนดสิ่งที่ไม่รู้ตามลำดับจากระบบแบบขั้นตอนนี้

ตัวอย่าง.ตั้งค่าความเข้ากันได้และแก้ปัญหาระบบ

การตัดสินใจ.
ย้ายโดยตรง:ลองเขียนเมทริกซ์แบบขยายของระบบและสลับแถวที่หนึ่งและแถวที่สองเพื่อให้องค์ประกอบมีค่าเท่ากับหนึ่ง (สะดวกกว่าในการแปลงเมทริกซ์ด้วยวิธีนี้)



.

เรามี อันดับของเมทริกซ์ระบบและเมทริกซ์ส่วนขยายนั้นใกล้เคียงกับจำนวนที่ไม่รู้จัก ตามทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี ระบบสมการนั้นสอดคล้องกันและคำตอบของสมการนั้นไม่เหมือนใคร
ย้อนกลับ:ให้เราเขียนระบบสมการซึ่งเป็นเมทริกซ์ขยายที่เราได้รับจากการแปลง:

ดังนั้นเราจึงมี
นอกจากนี้ เราพบการแทนที่ในสมการที่สาม .
แทนลงในสมการที่สอง เราจะได้
การแทนค่าในสมการแรกพบว่าเราได้ .
เราจึงมีวิธีแก้ปัญหาระบบ

วิธีแก้ปัญหา SLE โดยวิธี Gauss ใน Excel:

ข้อความจะแจ้งให้คุณป้อนสูตรของแบบฟอร์ม: (=A1:B3+$C$2:$C$3) ในช่วงของเซลล์ ฯลฯ ซึ่งเรียกว่า "สูตรอาร์เรย์" ไมโครซอฟต์ เอ็กเซลล้อมรอบโดยอัตโนมัติด้วยวงเล็บปีกกา (( )) หากต้องการป้อนสูตรประเภทนี้ ให้เลือกช่วงทั้งหมดที่คุณต้องการแทรกสูตร ป้อนสูตรโดยไม่ใส่วงเล็บปีกกาในเซลล์แรก (สำหรับตัวอย่างด้านบน - =A1:B3+$C$2:$C$3) แล้วกด Ctrl +Shift+Enter
มาสร้างระบบสมการเชิงเส้นกัน:

1. ลองเขียนค่าสัมประสิทธิ์ของระบบสมการในเซลล์ A1:D4 และคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระในเซลล์ E1:E4 หากอยู่ในเซลล์A1เป็น 0 คุณต้องสลับแถวเพื่อให้เซลล์นี้มีค่าที่ไม่ใช่ศูนย์. เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น คุณสามารถเติมข้อมูลลงในเซลล์ที่มีสมาชิกฟรีอยู่

2. จำเป็นต้องลดค่าสัมประสิทธิ์ที่ x1 ในทุกสมการ ยกเว้นอันแรกให้เป็น 0 ก่อนอื่น ลองทำสิ่งนี้กับสมการที่สอง คัดลอกบรรทัดแรกลงในเซลล์ A6:E6 โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง ลงในเซลล์ A7:E7 คุณต้องป้อนสูตร: (=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)) ดังนั้นเราจึงลบแถวแรกออกจากแถวที่สอง คูณด้วย A2/$A$1 เช่น อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ตัวแรกของสมการที่สองและสมการแรก เพื่อความสะดวกในการกรอกข้อมูลในบรรทัดที่ 8 และ 9 การอ้างอิงถึงเซลล์ของบรรทัดแรกจะต้องเป็นแบบสัมบูรณ์ (เราใช้สัญลักษณ์ $)

3. เราคัดลอกสูตรที่ป้อนลงในบรรทัดที่ 8 และ 9 ดังนั้น จึงกำจัดค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้า x1 ในทุกสมการ ยกเว้นสมการแรก

4. ตอนนี้ให้นำค่าสัมประสิทธิ์มาไว้หน้า x2 ในสมการที่สามและสี่เป็น 0 ในการทำเช่นนี้ ให้คัดลอกแถวที่ 6 และ 7 ที่เป็นผลลัพธ์ (ค่าเท่านั้น) ลงในแถวที่ 11 และ 12 และในเซลล์ A13:E13 ให้ป้อนสูตร (=A8:E8-$ A$7:$E$7*(B8/$B$7)) ซึ่งเราจะคัดลอกลงในเซลล์ A14:E14 ดังนั้น ความแตกต่างของแถวที่ 8 และ 7 คูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ B8/$B$7 จึงเป็นจริง .

5. มันยังคงนำค่าสัมประสิทธิ์ที่ x3 ในสมการที่สี่เป็น 0 สำหรับสิ่งนี้เราจะทำเช่นเดียวกันอีกครั้ง: คัดลอกแถวที่ 11, 12 และ 13 ที่เป็นผลลัพธ์ (ค่าเท่านั้น) ลงในแถว 16-18 และป้อนสูตร ( = A14: E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)). ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างแถว 14 และ 13 คูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ C14/$C$13 จึงเป็นจริง อย่าลืมเปลี่ยนเส้นเพื่อกำจัด 0 ในตัวส่วนของเศษส่วน.

6. การกวาดไปข้างหน้าของ Gaussian เสร็จสิ้น เรามาเริ่มการย้อนกลับจากแถวสุดท้ายของเมทริกซ์ผลลัพธ์ จำเป็นต้องแบ่งองค์ประกอบทั้งหมดของแถวสุดท้ายด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ x4 ในการทำเช่นนี้ในบรรทัดที่ 24 เราป้อนสูตร (=A19:E19/D19)

7. นำทุกบรรทัดมาอยู่ในแบบฟอร์มที่คล้ายกันสำหรับสิ่งนี้เรากรอกสูตรต่อไปนี้ในบรรทัดที่ 23, 22, 21:

23: (=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18) - เราลบแถวที่สี่คูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ x4 ของแถวที่สามจากแถวที่สาม

22: (=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17) – ลบบรรทัดที่สามและสี่ออกจากบรรทัดที่สอง คูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้อง

21: (=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16) – ลบบรรทัดที่สอง สาม และสี่จากบรรทัดแรก คูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้อง

ผลลัพธ์ (รากของสมการ) จะคำนวณในเซลล์ E21:E24

เรียบเรียงโดย : สาลี่ เอ็น.เอ.

วิธีของแครมเมอร์ใช้ในการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิต(SLAE) ซึ่งจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักเท่ากับจำนวนสมการและดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่ใช่ศูนย์ ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์ว่าพบตัวแปรที่ไม่รู้จักด้วยวิธี Cramer และรับสูตรได้อย่างไร หลังจากนั้นเราจะหันไปหาตัวอย่างและอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยวิธี Cramer

การนำทางหน้า

วิธีของแครมเมอร์ - ที่มาของสูตร

เราต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้นของแบบฟอร์ม

โดยที่ x 1 , x 2 , …, xn เป็นตัวแปรที่ไม่รู้จัก a i j , ผม = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- ค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข b 1 , b 2 , ..., b n - สมาชิกฟรี วิธีแก้ปัญหาของ SLAE คือชุดของค่า x 1 , x 2 , …, x n ซึ่งสมการทั้งหมดของระบบเปลี่ยนเป็นตัวตน

ในรูปแบบเมทริกซ์ ระบบนี้สามารถเขียนเป็น A ⋅ X = B โดยที่ - เมทริกซ์หลักของระบบองค์ประกอบคือค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก - เมทริกซ์เป็นคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระและ - เมทริกซ์เป็นคอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก หลังจากพบตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 , x 2 , …, x n เมทริกซ์จะกลายเป็นคำตอบของระบบสมการและความเท่าเทียมกัน A ⋅ X = B จะกลายเป็นเอกลักษณ์

เราจะถือว่าเมทริกซ์ A ไม่เสื่อม นั่นคือดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ ในกรณีนี้ ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นมีคำตอบเฉพาะที่หาได้ด้วยวิธีของแครมเมอร์ (วิธีการแก้ปัญหาระบบจะกล่าวถึงในหัวข้อการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น)

วิธีของแครมเมอร์ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติสองประการของดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์:

เรามาเริ่มหาตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 กันเลย ในการทำเช่นนี้ เราคูณทั้งสองส่วนของสมการแรกของระบบด้วย A 1 1 ทั้งสองส่วนของสมการที่สอง - ด้วย A 2 1 และต่อไปเรื่อยๆ ทั้งสองส่วนของสมการที่ n - โดย A n 1 ( นั่นคือ เราคูณสมการของระบบด้วยการเติมเต็มเชิงพีชคณิตที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์คอลัมน์แรก A ):

เราเพิ่มส่วนซ้ายทั้งหมดของสมการของระบบ จัดกลุ่มคำที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1, x 2, ..., x n และถือเอาผลรวมนี้กับผลรวมของส่วนที่ถูกต้องทั้งหมดของสมการ:

หากเราหันไปใช้คุณสมบัติที่เปล่งออกมาก่อนหน้านี้ของดีเทอร์มิแนนต์ เราก็จะได้

และความเท่าเทียมกันก่อนหน้านี้จะเกิดขึ้น

ที่ไหน

ในทำนองเดียวกัน เราพบ x 2 ในการทำเช่นนี้ เราคูณทั้งสองส่วนของสมการของระบบด้วยการเติมเต็มเชิงพีชคณิตของคอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์ A:

เราเพิ่มสมการทั้งหมดของระบบ จัดกลุ่มคำที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1, x 2, ..., x n และใช้คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์:

ที่ไหน
.

ตัวแปรที่ไม่รู้จักที่เหลือจะพบในทำนองเดียวกัน

ถ้าเรากำหนด

จากนั้นเราจะได้รับ สูตรสำหรับค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักด้วยวิธีแครมเมอร์ .

ความคิดเห็น

ถ้าระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเป็นแบบเอกพันธ์ นั่นคือ แล้วมันมีเพียงวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย (สำหรับ ) แท้จริงสำหรับเงื่อนไขฟรีเป็นศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์ทั้งหมด จะเป็นโมฆะเพราะจะมีคอลัมน์ขององค์ประกอบที่เป็นโมฆะ ดังนั้นสูตร จะให้ .

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงพีชคณิตเชิงเส้นโดยวิธีแครมเมอร์

มาจดกันเถอะ อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงพีชคณิตเชิงเส้นโดยวิธีแครมเมอร์.

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยวิธีแครมเมอร์

ลองมาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

หาคำตอบของระบบสมการเชิงพีชคณิตเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันโดยวิธีของแครมเมอร์ .

การตัดสินใจ.

เมทริกซ์หลักของระบบมีรูปแบบ เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ตามสูตร :

เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่ใช่ศูนย์ SLAE จึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และสามารถพบได้ด้วยวิธีแครมเมอร์ เราเขียนปัจจัยและ เราแทนที่คอลัมน์แรกของเมทริกซ์หลักของระบบด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ และเราได้ดีเทอร์มีแนนต์ . ในทำนองเดียวกัน เราแทนที่คอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์หลักด้วยคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ และเราได้รับ

เราคำนวณปัจจัยเหล่านี้:

เราค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 และ x 2 โดยใช้สูตร :

มาตรวจสอบกัน เราแทนที่ค่าที่ได้รับ x 1 และ x 2 ลงในระบบสมการดั้งเดิม:

สมการทั้งสองของระบบกลายเป็นเอกลักษณ์ดังนั้นจึงพบคำตอบได้อย่างถูกต้อง

ตอบ:

.

องค์ประกอบบางอย่างของเมทริกซ์ SLAE หลักอาจเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ จะไม่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการของระบบ ลองมาเป็นตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

หาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีของแครมเมอร์ .

การตัดสินใจ.

ให้เราเขียนระบบใหม่ในรูปแบบ เพื่อดูเมทริกซ์หลักของระบบ . ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ตามสูตร

เรามี

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักนั้นแตกต่างจากศูนย์ ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ลองหาด้วยวิธีของแครมเมอร์ คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ :

ทางนี้,

ตอบ:

การกำหนดตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการของระบบอาจแตกต่างจาก x 1 , x 2 , …, xn . สิ่งนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อกระบวนการตัดสินใจ แต่ลำดับของตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการของระบบมีความสำคัญมากเมื่อรวบรวมเมทริกซ์หลักและปัจจัยที่จำเป็นของวิธีแครมเมอร์ ลองอธิบายประเด็นนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ใช้วิธีของแครมเมอร์ หาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามสมการในสามค่าที่ไม่รู้ .

การตัดสินใจ.

ในตัวอย่างนี้ ตัวแปรที่ไม่รู้จักมีการกำหนดที่แตกต่างกัน (x , y และ z แทนที่จะเป็น x 1 , x 2 และ x 3 ) สิ่งนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อการแก้ปัญหา แต่ควรระวังด้วยการกำหนดตัวแปร อย่าใช้เป็นเมทริกซ์หลักของระบบ . คุณต้องเรียงลำดับตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการทั้งหมดของระบบก่อน ในการทำเช่นนี้ เราเขียนระบบสมการใหม่เป็น . ตอนนี้สามารถมองเห็นเมทริกซ์หลักของระบบได้อย่างชัดเจน . ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์:

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักนั้นแตกต่างจากศูนย์ ดังนั้นระบบสมการจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ลองหาด้วยวิธีของแครมเมอร์ ลองเขียนดีเทอร์มิแนนต์ (ให้ความสนใจกับสัญกรณ์) และคำนวณ:

ยังคงค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยใช้สูตร :

มาตรวจสอบกัน ในการทำเช่นนี้ เราคูณเมทริกซ์หลักด้วยผลลัพธ์ที่ได้ (หากจำเป็น โปรดดูหัวข้อ ):

เป็นผลให้เราได้รับคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระของระบบสมการดั้งเดิม ดังนั้นจึงพบคำตอบได้อย่างถูกต้อง

ตอบ:

x = 0, y = -2, z = 3 .

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีของแครมเมอร์ โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง

การตัดสินใจ.

ตอบ:

ตัวอย่าง.

หาคำตอบของระบบสมการ วิธีของแครมเมอร์คือจำนวนจริงบางส่วน

การตัดสินใจ.

ลองคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบ: . นิพจน์มีช่วงเวลา ดังนั้นสำหรับค่าจริงใดๆ ดังนั้นระบบสมการจึงมีคำตอบเฉพาะที่สามารถหาได้จากวิธีของแครมเมอร์ เราคำนวณและ:

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถแก้ไขได้โดยใช้ ส่วนเสริม "ค้นหาวิธีแก้ปัญหา"เมื่อใช้ส่วนเสริมนี้ ลำดับของการประมาณจะถูกสร้างขึ้น , ผม=0,1,…น.

โทรเลย เวกเตอร์ที่เหลือ เวกเตอร์ถัดไป:

งานของ Excel คือการ ค้นหาค่าประมาณดังกล่าว , ซึ่งเวกเตอร์ที่เหลือจะกลายเป็นศูนย์, เช่น. เพื่อให้เกิดความบังเอิญของค่าของส่วนขวาและซ้ายของระบบ

ตัวอย่างเช่น พิจารณา SLAE (3.27)

ลำดับ:

1. มาสร้างตารางดังรูปที่ 3.4 มาแนะนำค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ (เมทริกซ์ A) ลงในเซลล์ A3:C5

รูปที่ 3.4 การแก้ไข SLAE โดยใช้ส่วนเสริม "ค้นหาวิธีแก้ปัญหา"

2. ในเซลล์ A8:C8 วิธีแก้ปัญหาของระบบจะเกิดขึ้น (x 1, x 2, x 3). ในขั้นต้นพวกเขายังคงว่างเปล่าเช่น ศูนย์. ต่อไปนี้เราจะเรียกพวกเขาว่า เปลี่ยนเซลล์. อย่างไรก็ตาม เพื่อควบคุมความถูกต้องของสูตรที่ป้อนด้านล่าง จะเป็นการสะดวกที่จะป้อนค่าใดๆ ในเซลล์เหล่านี้ เช่น หน่วย ค่าเหล่านี้ถือเป็นค่าประมาณศูนย์ของวิธีแก้ปัญหาของระบบ = (1, 1, 1)

3. ในคอลัมน์ D เราแนะนำนิพจน์สำหรับการคำนวณส่วนซ้ายของระบบเดิม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในเซลล์ D3 ให้ป้อนแล้วคัดลอกสูตรลงไปที่ส่วนท้ายของตาราง:

D3=SUMPRODUCT(A3:C3;$A$8:$C$8)

ฟังก์ชันที่ใช้ ผลิตภัณฑ์รวมอยู่ในหมวดหมู่ ทางคณิตศาสตร์.

4. ในคอลัมน์ E เราเขียนค่าของส่วนที่ถูกต้องของระบบ (เมทริกซ์ B)

5. ในคอลัมน์ F เราแนะนำส่วนที่เหลือตามสูตร (3.29) เช่น ใส่สูตร F3=D3-E3 แล้วคัดลอกลงไปท้ายตาราง

6. การตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณสำหรับกรณี = (1, 1, 1) จะไม่ฟุ่มเฟือย

7. เลือกทีม ข้อมูล\วิเคราะห์\ค้นหาโซลูชัน.

ข้าว. 3.5. หน้าต่าง Add-in ของโปรแกรมแก้ปัญหา

ในหน้าต่าง หาทางออก(รูปที่ 3.5) ในสนาม เซลล์ที่เปลี่ยนแปลงได้ระบุบล็อก $A$8:$C$8,และในสนาม ข้อ จำกัด – $F$3:$F$5=0. ถัดไปคลิกที่ปุ่ม เพิ่มและแนะนำข้อจำกัดเหล่านี้ แล้วก็ปุ่ม วิ่ง

ผลลัพธ์ของระบบ (3.28) เอ็กซ์ 1 = 1; เอ็กซ์ 2 = –1เอ็กซ์ 3 = 2 เขียนไว้ในเซลล์ A8:C8 รูปที่ 3.4

การดำเนินการตามวิธี Jacobi โดยใช้ MS Excel

ตัวอย่างเช่น พิจารณาระบบสมการ (3.19) ซึ่งเป็นคำตอบที่ได้จากวิธี Jacobi (ตัวอย่าง 3.2)

เรานำระบบนี้มาให้ ดูปกติ:

ลำดับ

1. มาทำตารางดังแสดงในรูปที่ 3.6:

เราแนะนำเมทริกซ์และ (3.15) ลงในเซลล์ B6:E8

ความหมาย อี– ใน H5

หมายเลขการวนซ้ำ เคเราจะสร้างคอลัมน์ A ของตารางโดยใช้การเติมข้อความอัตโนมัติ

ในการประมาณค่าศูนย์ เราเลือกเวกเตอร์

= (0, 0, 0) แล้วป้อนลงในเซลล์ B11:D11

2. การใช้นิพจน์ (3.29) ในเซลล์ B12:D12 เราเขียนสูตรสำหรับคำนวณค่าประมาณแรก:

B12=$E$6+B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6,

C12=$E$7+B11*$B$7+C11*$C$7+D11*$D$7,

D12=$E$8+B11*$B$8+C11*$C$8+D11*$D$8

สูตรเหล่านี้สามารถเขียนได้แตกต่างกันโดยใช้ ฟังก์ชันเอกเซลผลิตภัณฑ์รวม

ในเซลล์ E12 ให้ป้อนสูตร: E12=ABS(B11-B12) แล้วคัดลอกไปทางขวา ลงในเซลล์ F12:G12

รูปที่ 3.6 โครงการแก้ไข SLAE โดยวิธี Jacobi

3. ในเซลล์ H12 ให้ป้อนสูตรสำหรับการคำนวณ ม(k) ,ใช้นิพจน์ (3.18): H12 = MAX(E12:G12) ฟังก์ชัน MAX อยู่ในหมวดหมู่ ทางสถิติ

4. เลือกเซลล์ B12:H12 และคัดลอกลงไปที่ท้ายตาราง ดังนั้นเราจึงได้รับ เคค่าประมาณของโซลูชัน SLAE

5. กำหนดวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของระบบและจำนวนการวนซ้ำที่จำเป็นเพื่อให้ได้ความแม่นยำที่กำหนด อี.

ในการทำเช่นนี้ เราประเมินระดับความใกล้ชิดของการวนซ้ำที่อยู่ใกล้เคียงสองครั้งโดยใช้สูตร (3.18) มาใช้กันเถอะ การจัดรูปแบบตามเงื่อนไขในเซลล์ของคอลัมน์

ผลลัพธ์ของการจัดรูปแบบดังกล่าวแสดงในรูปที่ 3.6 เซลล์ของคอลัมน์ H ที่มีค่าตรงตามเงื่อนไข (3.18) เช่น เล็กลง อี=0.1 ย้อมสี

จากการวิเคราะห์ผลลัพธ์ เราใช้การวนซ้ำครั้งที่สี่เป็นวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของระบบเดิมด้วยความแม่นยำที่กำหนด e=0.1 นั่นคือ

การสำรวจ ลักษณะของกระบวนการวนซ้ำ. ในการดำเนินการนี้ ให้เลือกบล็อกของเซลล์ A10:D20 และใช้ ต้นแบบไดอะแกรม,เราจะสร้างกราฟของการเปลี่ยนแปลงในแต่ละองค์ประกอบของเวกเตอร์โซลูชันขึ้นอยู่กับจำนวนการวนซ้ำ

กราฟที่แสดง (รูปที่ 3.7) ยืนยันการบรรจบกันของกระบวนการวนซ้ำ

ข้าว. 3.7. ภาพประกอบของกระบวนการวนซ้ำแบบบรรจบกัน

การเปลี่ยนค่า อีในเซลล์ H5 เราได้รับโซลูชันใหม่โดยประมาณของระบบเดิมพร้อมความแม่นยำใหม่

ใช้วิธีการกวาดโดยใช้ Excel

พิจารณาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นต่อไปนี้โดยวิธี "กวาด" โดยใช้ตาราง เก่ง.

เวกเตอร์:

ลำดับ

1. มาสร้างตารางดังรูปที่ 3.8 ข้อมูลเริ่มต้นของเมทริกซ์ขยายของระบบ (3.30) เช่น เวกเตอร์จะถูกป้อนลงในเซลล์ B5:E10

2. เกี่ยวกับอัตราการต่อรอง คุณ 0 =0 และ V 0 =0เข้าสู่เซลล์ G4 และ H4 ตามลำดับ

3. คำนวณค่าสัมประสิทธิ์การกวาด L ฉัน , คุณ ฉัน , V ฉัน. ในการทำเช่นนี้ในเซลล์ F5, G5, H5 เราคำนวณ ล 1 , ยู 1 , วี 1. ตามสูตร (3.8) ในการทำเช่นนี้ เราแนะนำสูตร:

F5=B5*G4+C5; G5=-D5/F5, H5 = (E5-B5*H4)/F5 แล้วคัดลอกลงไป

รูปที่ 3.8 รูปแบบการออกแบบของวิธีการ "กวาด"

4. ในเซลล์ I10 เราคำนวณ x6ตามสูตร (3.10)

I10 = (E10-B10*H9)/(B10*G9+C10)

5. ใช้สูตร (3.7) เราคำนวณสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมด x 5 x 4 , x 3 , x 2 , x 1ในการทำเช่นนี้ในเซลล์ I9 เราคำนวณ x5ตามสูตร (3.6): I9=G9*I10+H9 . แล้วคัดลอกสูตรนี้ขึ้นมา

คำถามทดสอบ

1. ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) ทางออกของ SLAE คืออะไร เมื่อมีโซลูชัน SLAE เฉพาะ

2. ลักษณะทั่วไปวิธีการโดยตรง (แน่นอน) สำหรับการแก้ปัญหา SLAE วิธีการเกาส์และการกวาด

3. ลักษณะทั่วไปของวิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้ปัญหา SLAE วิธีจาโคบี ( การวนซ้ำอย่างง่าย) และเกาส์-ไซเดล

4. เงื่อนไขสำหรับการบรรจบกันของกระบวนการวนซ้ำ

5. เงื่อนไขของเงื่อนไขของงานและการคำนวณหมายถึงอะไรความถูกต้องของปัญหาในการแก้ปัญหา SLAE

บทที่ 4

การรวมตัวเลข

เมื่อแก้ปัญหาทางเทคนิคจำนวนมากพอสมควร เราต้องเผชิญกับความจำเป็นในการคำนวณอินทิกรัลบางอย่าง:

การคำนวณ พื้นที่, ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง, งาน, โมเมนต์ความเฉื่อย การคูณของไดอะแกรมตามสูตรของมอร์ เป็นต้น จะลดลงเป็นการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน

หากต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก ข] การทำงาน y = ฉ(x)มีการต่อต้านอนุพันธ์ในส่วนนี้ เอฟ(x), เช่น. ฉ' (x) = ฉ(x)จากนั้นสามารถคำนวณอินทิกรัล (4.1) ได้โดยใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ:

อย่างไรก็ตาม สำหรับฟังก์ชันระดับแคบเท่านั้น y=ฉ(x)ต่อต้านอนุพันธ์ เอฟ(x)สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันพื้นฐานได้ นอกจากนี้ฟังก์ชั่น y=ฉ(x)สามารถระบุแบบกราฟิกหรือแบบตารางได้ ในกรณีเหล่านี้ ให้สมัคร สูตรต่างๆสำหรับการคำนวณปริพันธ์โดยประมาณ

สูตรดังกล่าวเรียกว่า สูตรสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสูตรการรวมตัวเลข

สูตรการรวมตัวเลขจะแสดงเป็นภาพกราฟิกอย่างดี เป็นที่ทราบกันว่าค่าของอินทิกรัลแน่นอน (4.1) ได้สัดส่วนพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่เกิดจากอินทิกรัล y=ฉ(x), ตรง x=a และ x=bแกน โอ้(รูปที่ 4.1)

ปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน (4.1) ถูกแทนที่ด้วยปัญหาในการคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งนี้ อย่างไรก็ตามปัญหาในการหาพื้นที่ของเส้นโค้งนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย

ดังนั้นแนวคิดของการรวมตัวเลขจะเป็น ในการแทนที่รูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งพื้นที่ซึ่งคำนวณได้ค่อนข้างง่าย

y=ฉ(x)

ย

x

สิบเอ็ด

xi+1

xn=ข

xo=ก

ศรี

รูปที่ 4.1 การตีความทางเรขาคณิตของการรวมตัวเลข

สำหรับสิ่งนี้ ส่วนการผสานรวม [ ก ข] แบ่งเป็น นเท่ากับ ส่วนระดับประถมศึกษา (i=0, 1, 2, …..,n-1),เป็นขั้นเป็นตอน h=(b-a)/n.ในกรณีนี้ สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะถูกแบ่งออกเป็น n. รูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเชิงเส้นที่มีฐานเท่ากัน ชม.(รูปที่ 4.1)

สี่เหลี่ยมคางหมูเส้นโค้งพื้นฐานแต่ละอันจะถูกแทนที่ด้วยตัวเลขซึ่งเป็นพื้นที่ที่คำนวณได้ค่อนข้างง่าย ขอกำหนดบริเวณนี้ ศรี.ผลรวมของพื้นที่ทั้งหมดนี้เรียกว่า ผลรวมของอินทิกรัลและคำนวณโดยสูตร

จากนั้นสูตรโดยประมาณสำหรับการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน (4.1) จะมีรูปแบบ

ความถูกต้องของการคำนวณตามสูตร (4.4) ขึ้นอยู่กับขั้นตอน ชม., เช่น. ตามจำนวนพาร์ติชัน น.ด้วยการเพิ่มขึ้น นผลรวมของอินทิกรัลจะเข้าใกล้ค่าที่แน่นอนของอินทิกรัล

ซึ่งแสดงให้เห็นอย่างดีในรูปที่ 4.2

รูปที่ 4.2 ขึ้นอยู่กับความแม่นยำของการคำนวณอินทิกรัล

ตามจำนวนพาร์ติชัน

ในทางคณิตศาสตร์มีการพิสูจน์ ทฤษฎีบท: ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) ต่อเนื่องบน ขีดจำกัดของผลรวมของอินทิกรัล bn จะมีอยู่และไม่ขึ้นอยู่กับวิธีการแบ่งส่วนออกเป็นส่วนย่อย

สามารถใช้สูตร (4.4) ได้หากระดับความแม่นยำดังกล่าว การประมาณมีสูตรต่าง ๆ สำหรับการประมาณข้อผิดพลาดของนิพจน์ (4.4) แต่ตามกฎแล้วค่อนข้างซับซ้อน เราจะประเมินความถูกต้องของการประมาณ (4.4) โดยวิธีการ ครึ่งก้าว.