1. เส้นลำดับที่สองบนระนาบยูคลิด

2. ค่าคงที่ของสมการเส้นลำดับที่สอง

3. การกำหนดประเภทของเส้นลำดับที่สองจากค่าคงที่ของสมการ

4. เปิดรายการคำสั่งซื้อที่สอง เครื่องบินสัมพันธ์- ทฤษฎีบทเอกลักษณ์

5. ศูนย์กลางของบรรทัดลำดับที่สอง

6. เส้นกำกับและเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นลำดับที่สอง

7. การลดสมการของบรรทัดลำดับที่สองให้เหลือน้อยที่สุด

8. ทิศทางหลักและเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นลำดับที่สอง

รายการอ้างอิงที่ใช้

1. เส้นลำดับที่สองในระนาบยูคลิด

คำนิยาม:

เครื่องบินยูคลิดเป็นปริภูมิมิติ 2

(พื้นที่จริงสองมิติ)

เส้นลำดับที่สองคือเส้นตัดของกรวยทรงกลมที่มีระนาบที่ไม่ผ่านจุดยอด

บรรทัดเหล่านี้มักพบในคำถามต่างๆ ของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น การเคลื่อนที่ของจุดวัตถุภายใต้อิทธิพลของสนามแรงโน้มถ่วงส่วนกลางเกิดขึ้นตามเส้นใดเส้นหนึ่งเหล่านี้

ถ้าระนาบการตัดตัดกับยีนที่เป็นเส้นตรงทั้งหมดของช่องหนึ่งของกรวย จากนั้นส่วนดังกล่าวจะทำให้เกิดเส้นที่เรียกว่า วงรี(รูปที่ 1.1 ก) ถ้าระนาบการตัดตัดกับเจเนราไทรซ์ของทั้งสองช่องของกรวย แล้วส่วนนั้นจะทำให้เกิดเส้นที่เรียกว่า อติพจน์(รูปที่ 1.1,6) และสุดท้าย ถ้าระนาบการตัดขนานกับหนึ่งในยีนของกรวย (ที่ 1.1, วี- นี่คือเครื่องกำเนิด เอบี),จากนั้นส่วนจะสร้างบรรทัดที่เรียกว่า พาราโบลาข้าว. 1.1 ให้การแสดงรูปร่างของเส้นที่เป็นปัญหาด้วยสายตา

รูปที่ 1.1

สมการทั่วไปของบรรทัดลำดับที่สองมีดังนี้:

(1)

(1*)

วงรี คือเซตของจุดบนระนาบซึ่งผลรวมของระยะทางเป็นสอง จุดคงที่ เอฟ 1 และ เอฟ 2 ระนาบนี้เรียกว่า foci เป็นค่าคงที่

ในกรณีนี้ จะไม่รวมความบังเอิญของจุดโฟกัสของวงรี อย่างชัดเจน ถ้าจุดโฟกัสตรงกัน วงรีจะเป็นวงกลม

เพื่อให้ได้สมการมาตรฐานของวงรี เราเลือกจุดกำเนิด O ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่อยู่ตรงกลางของส่วน เอฟ 1 เอฟ 2 , และขวาน โอ้และ โอ้ลองกำหนดทิศทางดังแสดงในรูป 1.2 (หากเล่นกล เอฟ 1 และ เอฟ 2 ตรงกันแล้ว O เกิดขึ้นพร้อมกับ เอฟ 1 และ เอฟ 2 และสำหรับแกน โอ้คุณสามารถใช้แกนใดก็ได้ที่ผ่านไป เกี่ยวกับ).

ให้ความยาวของส่วน เอฟ 1 เอฟ 2 เอฟ 1 และ เอฟ 2 ตามลำดับมีพิกัด (-с, 0) และ (с, 0) ให้เราแสดงโดย 2กค่าคงที่ที่อ้างถึงในคำจำกัดความของวงรี แน่นอน 2a > 2c นั่นคือ ก > ค (ถ้า ม- จุดของวงรี (ดูรูปที่ 1.2) จากนั้น | ม.ฟ. ] |+ | ม.ฟ. 2 | = 2 ก , และเนื่องจากผลรวมของทั้งสองด้าน ม.ฟ. 1 และ ม.ฟ. 2 สามเหลี่ยม ม.ฟ. 1 เอฟ 2 บุคคลที่สามมากขึ้น เอฟ 1 เอฟ 2 = 2c แล้วก็ 2a > 2c เป็นเรื่องปกติที่จะแยกกรณี 2a = 2c ออก ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา มตั้งอยู่บนส่วน เอฟ 1 เอฟ 2 และวงรีเสื่อมลงเป็นส่วนๆ ).

อนุญาต ม- จุดระนาบพร้อมพิกัด (x, ย)(รูปที่ 1.2) ให้เราแสดงด้วย r 1 และ r 2 ระยะทางจากจุด มถึงจุด เอฟ 1 และ เอฟ 2 ตามลำดับ ตามคำนิยามของวงรี ความเท่าเทียมกัน

ร 1 + ร 2 = 2ก (1.1)

เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับตำแหน่งของจุด M (x, y) บนวงรีที่กำหนด

เราจะได้โดยใช้สูตรสำหรับระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

(1.2)

จาก (1.1) และ (1.2) เป็นไปตามนั้น อัตราส่วน

(1.3)

แสดงถึงเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับตำแหน่งของจุด M โดยมีพิกัด x และ y บนวงรีที่กำหนดดังนั้นความสัมพันธ์ (1.3) จึงถือได้ว่าเป็น สมการวงรีการใช้วิธีมาตรฐานในการ "ทำลายราก" สมการนี้จึงลดลงเหลือรูปแบบ

(1.4) (1.5)

เนื่องจากสมการ (1.4) คือ ผลทางพีชคณิตสมการวงรี (1.3) แล้วตามด้วยพิกัด x และ yจุดใดก็ได้ มวงรีก็จะเป็นไปตามสมการ (1.4) ด้วย เนื่องจากในระหว่างการแปลงพีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับการกำจัดอนุมูล "รากเพิ่มเติม" อาจปรากฏขึ้น เราจึงต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าจุดใดๆ เอ็มซึ่งพิกัดเป็นไปตามสมการ (1.4) จะอยู่บนวงรีนี้ การทำเช่นนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ว่าค่าของ r 1 และร 2 สำหรับแต่ละจุดเป็นไปตามความสัมพันธ์ (1.1) เลยให้พิกัดมา เอ็กซ์และ ที่คะแนน มเป็นไปตามสมการ (1.4) การทดแทนค่า เวลา 2จาก (1.4) ถึง ด้านขวานิพจน์ (1.2) สำหรับ r 1 หลังจากการแปลงอย่างง่าย เราพบว่า

, แล้ว .

ในลักษณะเดียวกับที่เราพบสิ่งนั้น

. ดังนั้นสำหรับประเด็นที่เป็นปัญหา ม , (1.6)

เช่น. ร 1 + ร 2 = 2ก,ดังนั้นจุด M จึงอยู่บนวงรี เรียกว่าสมการ (1.4) สมการมาตรฐานของวงรีปริมาณ กและ ขถูกเรียกตามนั้น ครึ่งแกนหลักและรองของวงรี(ชื่อ "ใหญ่" และ "เล็ก" อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่า ก>ข)

ความคิดเห็น- ถ้าเป็นกึ่งแกนของวงรี กและ ขเท่ากัน แล้ววงรีก็คือวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ ร = ก = ขและศูนย์กลางตรงกับจุดกำเนิด

อติพจน์ คือเซตของจุดบนระนาบซึ่งมีค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระยะทางถึงจุดคงที่สองจุด เอฟ 1 และ เอฟ 2 ของระนาบนี้เรียกว่า foci มีค่าคงที่ (เคล็ดลับ เอฟ 1 และ เอฟ 2 เป็นเรื่องธรรมดาที่จะต้องพิจารณาไฮเปอร์โบลาที่แตกต่างกัน เพราะหากค่าคงที่ที่ระบุในคำจำกัดความของไฮเปอร์โบลาไม่เท่ากับศูนย์ จะไม่มีจุดใดจุดหนึ่งของระนาบหากมันตรงกัน เอฟ 1 และ เอฟ 2 , ซึ่งจะเป็นไปตามข้อกำหนดสำหรับคำจำกัดความของไฮเปอร์โบลา หากค่าคงที่นี้เป็นศูนย์และ เอฟ 1 เกิดขึ้นพร้อมกับ เอฟ 2 , จากนั้นจุดใดๆ บนระนาบจะเป็นไปตามข้อกำหนดสำหรับคำจำกัดความของไฮเปอร์โบลา ).

เพื่อให้ได้สมการมาตรฐานของไฮเปอร์โบลา เราเลือกที่มาของพิกัดที่อยู่ตรงกลางส่วน เอฟ 1 เอฟ 2 , และขวาน โอ้และ โอ้ลองกำหนดทิศทางดังแสดงในรูป 1.2. ให้ความยาวของส่วน เอฟ 1 เอฟ 2 เท่ากับ 2 วินาที จากนั้นในระบบพิกัดที่เลือกจะมีจุดต่างๆ เอฟ 1 และ เอฟ 2 ตามลำดับมีพิกัด (-с, 0) และ (с, 0) ให้เราแสดงด้วย 2 กค่าคงที่ที่อ้างถึงในคำจำกัดความของไฮเปอร์โบลา เห็นได้ชัดว่า 2a< 2с, т. е. ก < с. เราต้องแน่ใจว่าสมการ (1.9) ที่ได้จากการแปลงพีชคณิตของสมการ (1.8) ไม่ได้มาจากรากใหม่ การทำเช่นนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ในแต่ละจุด เอ็มพิกัด เอ็กซ์และ ที่ซึ่งเป็นไปตามสมการ (1.9) ค่าของ r 1 และ r 2 เป็นไปตามความสัมพันธ์ (1.7) การดำเนินการโต้แย้งที่คล้ายกับที่เกิดขึ้นเมื่อรับสูตร (1.6) เราพบนิพจน์ต่อไปนี้สำหรับปริมาณที่เราสนใจ r 1 และ r 2:

(1.11)

ดังนั้นสำหรับประเด็นที่เป็นปัญหา มเรามี

, ดังนั้นมันจึงอยู่บนไฮเปอร์โบลา

เรียกว่าสมการ (1.9) สมการบัญญัติของไฮเปอร์โบลาปริมาณ กและ ขเรียกว่าจริงและจินตภาพตามลำดับ เซมิแกนของไฮเปอร์โบลา

พาราโบลา คือเซตของจุดบนระนาบซึ่งมีระยะห่างถึงจุดคงที่บางจุด เอฟ ระนาบนี้เท่ากับระยะห่างถึงเส้นตรงคงที่บางเส้นซึ่งอยู่ในระนาบที่พิจารณาเช่นกัน

เส้นลำดับที่สอง
วงรีและสมการบัญญัติของมัน วงกลม

หลังจากศึกษาอย่างละเอียดแล้ว เส้นตรงในเครื่องบินเรายังคงศึกษาเรขาคณิตของโลกสองมิติต่อไป เงินเดิมพันเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า และฉันขอเชิญคุณเยี่ยมชมแกลเลอรีอันงดงามของวงรี ไฮเปอร์โบลา พาราโบลา ซึ่งเป็นตัวแทนทั่วไป บรรทัดลำดับที่สอง- การเดินทางได้เริ่มขึ้นแล้วและก่อนอื่น ข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับนิทรรศการทั้งหมดบนชั้นต่างๆ ของพิพิธภัณฑ์:

แนวคิดของเส้นพีชคณิตและลำดับของมัน

เส้นบนเครื่องบินเรียกว่า พีชคณิต, ถ้าเข้า ระบบพิกัดความสัมพันธ์สมการของมันมีรูปแบบ โดยที่พหุนามประกอบด้วยเงื่อนไขของรูปแบบ ( – จำนวนจริง – จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ)

อย่างที่คุณเห็น สมการของเส้นพีชคณิตไม่มีไซน์ โคไซน์ ลอการิทึม และโบมอนด์เชิงฟังก์ชันอื่นๆ มีเพียง X และ Y เท่านั้นที่เข้า จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบองศา

สั่งทางไลน์เท่ากับมูลค่าสูงสุดของข้อกำหนดที่รวมอยู่ในนั้น

ตามทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง แนวคิดของเส้นพีชคณิตตลอดจนลำดับของมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลือก ระบบพิกัดความสัมพันธ์ดังนั้น เพื่อความสะดวกในการดำรงอยู่ เราถือว่าการคำนวณที่ตามมาทั้งหมดเกิดขึ้น พิกัดคาร์ทีเซียน.

สมการทั่วไปบรรทัดลำดับที่สองมีแบบฟอร์ม โดยที่ – จำนวนจริงตามอำเภอใจ (เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนด้วยปัจจัยสองเท่า)และสัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน

ถ้า แล้วสมการจะลดรูปลงเป็น และถ้าสัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน นี่ก็เป็นเช่นนั้น สมการทั่วไปของเส้น “แบน”ซึ่งแสดงถึง สายการสั่งซื้อครั้งแรก.

หลายคนเข้าใจความหมายของคำศัพท์ใหม่แล้ว แต่เพื่อที่จะเชี่ยวชาญเนื้อหา 100% เราจึงเอานิ้วของเราเข้าไปในเบ้า หากต้องการกำหนดลำดับรายการ คุณต้องวนซ้ำ เงื่อนไขทั้งหมดสมการและค้นหาแต่ละสมการ ผลรวมขององศาตัวแปรขาเข้า

ตัวอย่างเช่น:

คำนี้มี "x" ยกกำลัง 1
คำนี้มีคำว่า "Y" ยกกำลัง 1
ไม่มีตัวแปรในเทอม ดังนั้นผลรวมของกำลังจึงเป็นศูนย์

ทีนี้ ลองหาคำตอบว่าทำไมสมการถึงกำหนดเส้นตรง ที่สองคำสั่ง:

คำนี้มี "x" ยกกำลัง 2
summand มีผลรวมของกำลังของตัวแปร: 1 + 1 = 2;
คำนี้มีคำว่า "Y" ยกกำลัง 2
ข้อกำหนดอื่นๆ ทั้งหมด - น้อยองศา

ค่าสูงสุด: 2

หากเราบวกเข้าไปในสมการของเราเพิ่มเติม มันจะเป็นตัวกำหนดอยู่แล้ว เส้นลำดับที่สาม- เห็นได้ชัดว่ารูปแบบทั่วไปของสมการบรรทัดที่ 3 มีคำศัพท์ "ชุดเต็ม" ซึ่งผลรวมของกำลังของตัวแปรซึ่งเท่ากับสาม:
โดยที่สัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน

ในกรณีที่คุณเพิ่มคำศัพท์ที่เหมาะสมหนึ่งคำขึ้นไปซึ่งประกอบด้วย แล้วเราจะพูดถึง เส้นลำดับที่ 4ฯลฯ

เราจะต้องเผชิญกับเส้นพีชคณิตลำดับที่ 3, 4 และสูงกว่ามากกว่าหนึ่งครั้งโดยเฉพาะเมื่อทำความคุ้นเคยกับ ระบบพิกัดเชิงขั้ว.

อย่างไรก็ตาม ลองกลับไปที่สมการทั่วไปและจำรูปแบบโรงเรียนที่ง่ายที่สุดของมัน ตัวอย่างเช่น พาราโบลาแนะนำตัวมันเอง ซึ่งสมการนี้สามารถลดทอนลงได้อย่างง่ายดาย ลักษณะทั่วไปและไฮเปอร์โบลาที่มีสมการเท่ากัน อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกอย่างจะราบรื่นนัก...

ข้อเสียเปรียบที่สำคัญของสมการทั่วไปก็คือ แทบจะไม่มีความชัดเจนว่าสมการนี้ให้คำจำกัดความว่าเส้นใด แม้แต่ในกรณีที่ง่ายที่สุด คุณจะไม่ได้ตระหนักทันทีว่านี่คือคำอติพจน์ เลย์เอาต์ดังกล่าวใช้ได้เฉพาะในงานปลอมตัวเท่านั้น ดังนั้นปัญหาทั่วไปจึงได้รับการพิจารณาในวิชาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ นำสมการเส้นลำดับที่ 2 มาสู่รูปแบบมาตรฐาน.

รูปแบบบัญญัติของสมการคืออะไร?

นี่คือรูปแบบมาตรฐานที่ยอมรับกันโดยทั่วไปของสมการ เมื่อในเวลาไม่กี่วินาที ก็จะชัดเจนว่าสมการนี้กำหนดวัตถุทางเรขาคณิตชนิดใด นอกจากนี้รูปแบบบัญญัติยังสะดวกมากสำหรับการแก้ปัญหาหลายอย่าง งานภาคปฏิบัติ- ตัวอย่างเช่น ตามสมการทางบัญญัติ "แบน" ตรงประการแรก ชัดเจนทันทีว่านี่คือเส้นตรง และประการที่สอง มองเห็นจุดที่เป็นของมันและเวกเตอร์ทิศทางได้ง่าย

เห็นได้ชัดว่าใด ๆ เส้นลำดับที่ 1เป็นเส้นตรง บนชั้นสอง ไม่ใช่ยามที่กำลังรอเราอีกต่อไป แต่เป็นกลุ่มรูปปั้นเก้าอันที่มีความหลากหลายมากกว่า:

การจำแนกประเภทของบรรทัดลำดับที่สอง

เมื่อใช้ชุดการกระทำพิเศษ สมการใดๆ ของบรรทัดลำดับที่สองจะลดลงให้อยู่ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้:

(และเป็นจำนวนจริงบวก)

1) – สมการมาตรฐานของวงรี

2) – สมการบัญญัติของไฮเปอร์โบลา;

3) – สมการบัญญัติของพาราโบลา

4) – จินตภาพวงรี;

5) – เส้นตัดกันคู่หนึ่ง;

6) – คู่ จินตภาพเส้นตัดกัน (มีจุดตัดที่ถูกต้องเพียงจุดเดียวที่จุดเริ่มต้น)

7) – เส้นขนานคู่หนึ่ง;

8) – คู่ จินตภาพเส้นขนาน

9) – เส้นคู่ที่ตรงกัน

ผู้อ่านบางคนอาจรู้สึกว่ารายการไม่สมบูรณ์ เช่น ในจุดที่ 7 สมการระบุคู่ โดยตรงขนานกับแกน และคำถามก็เกิดขึ้น: สมการที่กำหนดเส้นขนานกับแกนพิกัดอยู่ที่ไหน? คำตอบ: มัน ไม่ถือว่าเป็นที่ยอมรับ- เส้นตรงแสดงถึงกรณีมาตรฐานเดียวกัน หมุน 90 องศา และรายการเพิ่มเติมในการจำแนกประเภทนั้นซ้ำซ้อน เนื่องจากไม่ได้นำมาซึ่งสิ่งใหม่โดยพื้นฐาน

จึงมีเก้าและเก้าเท่านั้น ประเภทต่างๆบรรทัดลำดับที่ 2 แต่ในทางปฏิบัติมักพบบ่อยที่สุด วงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลา.

มาดูวงรีกันก่อน ตามปกติฉันจะเน้นไปที่จุดเหล่านั้นที่มี คุ้มค่ามากเพื่อแก้ปัญหา และหากคุณต้องการรายละเอียดที่มาของสูตร การพิสูจน์ทฤษฎีบท โปรดดูหนังสือเรียนของ Bazylev/Atanasyan หรือ Aleksandrov เป็นต้น

วงรีและสมการบัญญัติของมัน

การสะกด... โปรดอย่าทำซ้ำข้อผิดพลาดของผู้ใช้ยานเดกซ์บางคนที่สนใจ "วิธีสร้างวงรี", "ความแตกต่างระหว่างวงรีกับวงรี" และ "ความเยื้องศูนย์กลางของวงรี"

สมการมาตรฐานของวงรีมีรูปแบบ โดยที่ เป็นจำนวนจริงบวก และ ฉันจะกำหนดคำจำกัดความของวงรีในภายหลัง แต่ตอนนี้ถึงเวลาที่จะพักจากร้านพูดคุยและแก้ไขปัญหาทั่วไป:

จะสร้างวงรีได้อย่างไร?

ใช่ แค่หยิบมันขึ้นมาและวาดมันขึ้นมา งานนี้เกิดขึ้นบ่อยครั้ง และนักเรียนส่วนสำคัญไม่สามารถรับมือกับการวาดภาพได้อย่างถูกต้อง:

ตัวอย่างที่ 1

สร้างวงรีที่กำหนดโดยสมการ

สารละลาย: ก่อนอื่น เรามานำสมการมาสู่รูปแบบมาตรฐาน:

เอามาทำไม? ข้อดีอย่างหนึ่งของสมการ Canonical คือช่วยให้คุณสามารถระบุได้ทันที จุดยอดของวงรีซึ่งตั้งอยู่ที่จุดต่างๆ ง่ายที่จะเห็นว่าพิกัดของแต่ละจุดเหล่านี้เป็นไปตามสมการ

ในกรณีนี้:


เซ็กเมนต์เรียกว่า แกนหลักวงรี;
ส่วน – แกนรอง;
ตัวเลข เรียกว่า เพลากึ่งหลักวงรี;
ตัวเลข – แกนรอง.
ในตัวอย่างของเรา: .

หากต้องการจินตนาการอย่างรวดเร็วว่าวงรีนั้นมีลักษณะอย่างไร เพียงแค่ดูค่าของ "a" และ "be" ของสมการทางบัญญัติของมัน

ทุกอย่างเรียบร้อยดี เรียบเนียนและสวยงาม แต่มีข้อแม้ประการหนึ่ง: ฉันวาดภาพโดยใช้โปรแกรม และคุณสามารถสร้างภาพวาดโดยใช้แอปพลิเคชันใดก็ได้ อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริงอันโหดร้าย มีกระดาษตารางหมากรุกอยู่บนโต๊ะ และมีหนูเต้นรำเป็นวงกลมบนมือของเรา แน่นอนว่าคนที่มีความสามารถทางศิลปะสามารถโต้เถียงได้ แต่คุณก็มีหนูด้วย (แม้ว่าจะตัวเล็กกว่าก็ตาม) ไม่ใช่เรื่องไร้ประโยชน์ที่มนุษยชาติคิดค้นไม้บรรทัด เข็มทิศ ไม้โปรแทรกเตอร์ และอุปกรณ์ง่ายๆ สำหรับการวาดภาพ

ด้วยเหตุนี้ เราจึงไม่น่าจะสามารถวาดรูปวงรีได้อย่างแม่นยำโดยรู้แต่จุดยอดเท่านั้น ไม่เป็นไรถ้าวงรีมีขนาดเล็ก เช่น มีครึ่งแกน หรือคุณสามารถลดขนาดและขนาดของรูปวาดได้ตามต้องการ แต่ใน กรณีทั่วไปเป็นที่พึงปรารถนาอย่างยิ่งที่จะหาจุดเพิ่มเติม

มีสองวิธีในการสร้างวงรี - เรขาคณิตและพีชคณิต ฉันไม่ชอบการก่อสร้างโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดเพราะอัลกอริธึมไม่ได้สั้นที่สุดและภาพวาดก็เกะกะมาก ในกรณีที่ ภาวะฉุกเฉินโปรดดูตำราเรียน แต่ในความเป็นจริง การใช้เครื่องมือพีชคณิตมีเหตุผลมากกว่ามาก จากสมการวงรีในแบบร่างเราแสดงได้อย่างรวดเร็ว:

สมการจะแบ่งออกเป็นสองฟังก์ชัน:
– กำหนดส่วนโค้งด้านบนของวงรี
– กำหนดส่วนโค้งด้านล่างของวงรี

วงรีที่กำหนดโดยสมการมาตรฐานนั้นมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับแกนพิกัด เช่นเดียวกับจุดกำเนิดด้วย และนี่เป็นเรื่องที่ยอดเยี่ยม - ความสมมาตรมักเป็นลางสังหรณ์ของของสมนาคุณเสมอ แน่นอนว่าการจัดการกับควอเตอร์พิกัดที่ 1 ก็เพียงพอแล้ว ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องมีฟังก์ชันนี้ - ขอให้พบจุดเพิ่มเติมด้วย abscissas - ลองแตะข้อความ SMS สามข้อความบนเครื่องคิดเลข:

แน่นอนว่าเป็นเรื่องดีที่หากเกิดข้อผิดพลาดร้ายแรงในการคำนวณระหว่างการก่อสร้างก็จะปรากฏชัดเจนทันที

ทำเครื่องหมายจุดบนภาพวาด (สีแดง) จุดสมมาตรบนส่วนโค้งที่เหลือ ( สีฟ้า) และเชื่อมต่อทั้งบริษัทอย่างระมัดระวังด้วยสาย:


เป็นการดีกว่าที่จะวาดภาพร่างเริ่มต้นแบบบาง ๆ แล้วจึงใช้แรงกดด้วยดินสอเท่านั้น ผลลัพธ์ควรเป็นรูปวงรีที่ค่อนข้างดี ว่าแต่, อยากรู้ว่าเส้นโค้งนี้คืออะไร?

ความหมายของวงรี จุดโฟกัสวงรีและความเยื้องศูนย์ของวงรี

วงรีเป็นกรณีพิเศษของวงรี ไม่ควรเข้าใจคำว่า "วงรี" ในความหมายของฟิลิสเตีย ("เด็กวาดรูปวงรี" ฯลฯ ) ซึ่งเป็นศัพท์ทางคณิตศาสตร์ที่มีสูตรละเอียด จุดประสงค์ของบทเรียนนี้ไม่ใช่เพื่อพิจารณาทฤษฎีของวงรีและประเภทต่างๆ ซึ่งในทางปฏิบัติไม่ได้รับความสนใจในหลักสูตรมาตรฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์ และเพื่อให้สอดคล้องกับความต้องการในปัจจุบัน เราจะก้าวไปสู่คำจำกัดความที่เข้มงวดของวงรีทันที:

วงรีคือเซตของจุดทุกจุดของระนาบ ซึ่งเรียกว่าผลรวมของระยะทางแต่ละจุดจากจุดที่กำหนดสองจุด เทคนิควงรี - เป็นปริมาณคงที่เป็นตัวเลข เท่ากับความยาวแกนเอกของวงรีนี้: .
ในขณะเดียวกัน ระยะห่างระหว่างโฟกัสก็น้อยลง มูลค่าที่กำหนด: .

ตอนนี้ทุกอย่างจะชัดเจนขึ้น:

ลองจินตนาการว่าจุดสีน้ำเงิน “เคลื่อนที่” ไปตามวงรี ดังนั้น ไม่ว่าเราจะหาจุดใดของวงรี ผลรวมของความยาวของเซ็กเมนต์จะเท่ากันเสมอ:

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าในตัวอย่างของเรา ค่าของผลรวมเท่ากับแปดจริงๆ วางจุด “um” ไว้ที่จุดยอดด้านขวาของวงรี จากนั้น: ซึ่งเป็นจุดที่ต้องตรวจสอบ

วิธีการวาดอีกวิธีหนึ่งนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของวงรี คณิตศาสตร์ระดับสูงบางครั้งเป็นสาเหตุของความตึงเครียดและความเครียด ดังนั้นจึงถึงเวลาที่จะมีเซสชั่นการขนถ่ายอีกครั้ง โปรดนำกระดาษ whatman หรือกระดาษแข็งแผ่นใหญ่แล้วตอกลงบนโต๊ะด้วยตะปูสองอัน สิ่งเหล่านี้จะเป็นกลอุบาย ผูกด้ายสีเขียวเข้ากับหัวเล็บที่ยื่นออกมา แล้วใช้ดินสอดึงจนสุด ไส้ดินสอจะสิ้นสุดที่จุดหนึ่งของวงรี ตอนนี้เริ่มวาดดินสอไปตามแผ่นกระดาษ โดยให้ด้ายสีเขียวตึง ดำเนินการต่อไปจนกว่าจะกลับสู่จุดเริ่มต้น...เยี่ยมครับ...คุณหมอและอาจารย์สามารถตรวจสอบการวาดได้ =)

จะหาจุดโฟกัสของวงรีได้อย่างไร?

ในตัวอย่างข้างต้น ฉันบรรยายถึงจุดโฟกัส "สำเร็จรูป" และตอนนี้เราจะเรียนรู้วิธีดึงจุดโฟกัสเหล่านั้นออกมาจากส่วนลึกของเรขาคณิต

หากวงรีถูกกำหนดโดยสมการมาตรฐาน จุดโฟกัสของมันจะมีพิกัด นี่คือที่ไหน ระยะห่างจากโฟกัสแต่ละจุดถึงจุดศูนย์กลางสมมาตรของวงรี.

การคำนวณจะง่ายกว่า หัวผักกาดนึ่ง:

- ไม่สามารถระบุพิกัดเฉพาะของ foci ด้วยความหมายของ "tse" ได้!ย้ำว่านี่คือ DISTANCE จากจุดโฟกัสแต่ละจุดไปยังจุดศูนย์กลาง(ซึ่งในกรณีทั่วไปไม่จำเป็นต้องอยู่ตรงจุดกำเนิด)
ดังนั้นระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสจึงไม่สามารถเชื่อมโยงกับตำแหน่งมาตรฐานของวงรีได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง วงรีสามารถย้ายไปยังตำแหน่งอื่นได้ และค่าจะไม่เปลี่ยนแปลง ในขณะที่จุดโฟกัสจะเปลี่ยนพิกัดตามธรรมชาติ โปรดพิจารณา ในขณะนี้ในระหว่างการศึกษาหัวข้อต่อไป

ความเยื้องศูนย์ของวงรีและความหมายทางเรขาคณิต

ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีคืออัตราส่วนที่สามารถรับค่าภายในช่วงได้

ในกรณีของเรา:

เรามาดูกันว่ารูปร่างของวงรีขึ้นอยู่กับความเยื้องศูนย์กลางของมันอย่างไร สำหรับสิ่งนี้ แก้ไขจุดยอดด้านซ้ายและขวาของวงรีที่พิจารณา กล่าวคือ ค่าของกึ่งแกนเอกจะคงที่ จากนั้นสูตรความเยื้องศูนย์จะอยู่ในรูปแบบ: .

มาเริ่มนำค่าความเยื้องศูนย์กลางเข้าใกล้ความสามัคคีมากขึ้น เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ มันหมายความว่าอะไร? ...จำเคล็ดลับต่างๆ - ซึ่งหมายความว่าจุดโฟกัสของวงรีจะ "เคลื่อนออกจากกัน" ไปตามแกนแอบซิสซาไปจนถึงจุดยอดด้านข้าง และเนื่องจาก "ส่วนสีเขียวไม่ใช่ยาง" วงรีจึงจะเริ่มแบนลงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ และกลายเป็นไส้กรอกที่บางลงและบางลงที่พันไว้บนแกน

ดังนั้น, ยิ่งค่าความเยื้องศูนย์ของวงรีเข้าใกล้ความสามัคคีมากเท่าใด วงรีก็จะยิ่งยาวมากขึ้นเท่านั้น.

ตอนนี้ เรามาจำลองกระบวนการที่ตรงกันข้ามกัน: จุดโฟกัสของวงรี เดินเข้าหากันเข้าใกล้ศูนย์กลาง ซึ่งหมายความว่าค่าของ "ce" จะน้อยลงเรื่อยๆ และด้วยเหตุนี้ ความเยื้องศูนย์กลางจึงมีแนวโน้มเป็นศูนย์:
ในกรณีนี้ ในทางกลับกัน "ส่วนสีเขียว" จะ "หนาแน่น" และจะเริ่ม "ดัน" วงรีขึ้นและลง

ดังนั้น, ยิ่งค่าความเยื้องศูนย์กลางใกล้ศูนย์ วงรีก็จะยิ่งคล้ายกันมากขึ้น... ดูกรณีที่จำกัดเมื่อจุดโฟกัสกลับมารวมกันที่จุดกำเนิดได้สำเร็จ:

วงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรี

อันที่จริงในกรณีของความเท่าเทียมกันของครึ่งแกน สมการบัญญัติของวงรีจะอยู่ในรูปแบบ ซึ่งแปลงกลับเป็นสมการของวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของรัศมี "a" ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในโรงเรียน

ในทางปฏิบัติสัญกรณ์ที่มีตัวอักษร "พูด" "เอ้อ" มักใช้บ่อยกว่า: . รัศมีคือความยาวของส่วน โดยแต่ละจุดของวงกลมจะถูกลบออกจากศูนย์กลางด้วยระยะทางรัศมี

โปรดทราบว่าคำจำกัดความของวงรียังคงถูกต้องสมบูรณ์ จุดโฟกัสตรงกัน และผลรวมของความยาวของส่วนที่ตรงกันสำหรับแต่ละจุดบนวงกลมจะเป็นค่าคงที่ เนื่องจากระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสคือ ดังนั้น ความเยื้องศูนย์ของวงกลมใดๆ จะเป็นศูนย์.

การสร้างวงกลมนั้นง่ายและรวดเร็วเพียงแค่ใช้เข็มทิศ อย่างไรก็ตามบางครั้งก็จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดบางจุดในกรณีนี้เราใช้วิธีที่คุ้นเคย - เรานำสมการมาสู่รูปแบบ Matanov ที่ร่าเริง:

– หน้าที่ของครึ่งวงกลมบน
– หน้าที่ของครึ่งวงกลมล่าง

หลังจากนั้นเราก็พบ ค่าที่ต้องการ, แตกต่าง, บูรณาการและทำความดีอื่นๆ

แน่นอนว่าบทความนี้มีไว้เพื่อการอ้างอิงเท่านั้น แต่คุณจะอยู่ในโลกที่ปราศจากความรักได้อย่างไร? งานสร้างสรรค์สำหรับโซลูชันอิสระ

ตัวอย่างที่ 2

เขียนสมการมาตรฐานของวงรีหากทราบจุดโฟกัสและแกนกึ่งรองของมัน (จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด) ค้นหาจุดยอด จุดเพิ่มเติม และลากเส้นในภาพวาด คำนวณความเยื้องศูนย์

วิธีแก้ปัญหาและการวาดภาพในตอนท้ายของบทเรียน

มาเพิ่มการกระทำ:

หมุนและขนานแปลวงรี

กลับไปที่สมการบัญญัติของวงรีนั่นคือสภาพความลึกลับที่ทรมานจิตใจที่อยากรู้อยากเห็นนับตั้งแต่การกล่าวถึงโค้งนี้ครั้งแรก เราจึงดูที่วงรี แต่ในทางปฏิบัติเป็นไปไม่ได้ที่จะบรรลุสมการนี้ - อย่างไรก็ตาม ที่นี่ก็ดูเหมือนว่าจะเป็นรูปวงรีเช่นกัน!

สมการประเภทนี้หาได้ยากแต่ก็พบได้ และจริงๆ แล้ว มันกำหนดวงรี มาทำความเข้าใจกันดีกว่า:

จากผลการก่อสร้าง ทำให้ได้วงรีดั้งเดิมของเรา ซึ่งหมุนได้ 90 องศา นั่นคือ - นี้ รายการที่ไม่เป็นที่ยอมรับวงรี . บันทึก!– สมการ ไม่ได้กำหนดวงรีอื่น เนื่องจากไม่มีจุด (จุดโฟกัส) บนแกนที่จะเป็นไปตามคำจำกัดความของวงรี

ให้เราพิจารณาปัญหาในการลดสมการของเส้นลำดับที่สองให้เป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุด (ตามรูปแบบบัญญัติ)

จำได้ว่าเส้นพีชคณิตลำดับที่สองคือตำแหน่งของจุดทางเรขาคณิตในระนาบนั้น ในบางตำแหน่ง ระบบความสัมพันธ์พิกัด Ox_1x_2 สามารถระบุได้ด้วยสมการในรูปแบบ p(x_1,x_2)=0 โดยที่ p(x_1,x_2) คือพหุนามของระดับที่สองของตัวแปรสองตัว Ox_1x_2 จำเป็นต้องค้นหาระบบพิกัดสี่เหลี่ยมซึ่งสมการของเส้นจะอยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด

ผลการแก้ปัญหาที่ตั้งไว้เป็นทฤษฎีบทหลัก (3.3) ดังนี้

การจำแนกเส้นพีชคณิตอันดับสอง (ทฤษฎีบท 3.3)

สำหรับเส้นพีชคณิตลำดับที่สองใดๆ จะมีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy ซึ่งสมการของเส้นนั้นใช้รูปแบบมาตรฐานรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งจากเก้ารูปแบบต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท 3.3 ให้คำจำกัดความเชิงวิเคราะห์ของเส้นลำดับที่สอง ตามวรรค 2 ของหมายเหตุ 3.1 เส้น (1), (4), (5), (6), (7), (9) เรียกว่า จริง (จริง) และเส้น (2), (3), ( 8) - จินตภาพ

ให้เรานำเสนอการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เนื่องจากทฤษฎีบทนี้มีอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นจริง

โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่าสมการของเส้นลำดับที่สองถูกกำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy มิฉะนั้น คุณสามารถไปจากระบบพิกัดที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยม Ox_1x_2 ไปยัง Oxy สี่เหลี่ยม ซึ่งในกรณีนี้สมการของเส้นจะมีรูปแบบและระดับเดียวกันตามทฤษฎีบท 3.1 เกี่ยวกับค่าคงที่ของลำดับของเส้นพีชคณิต

ให้เส้นพีชคณิตลำดับที่สองในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเป็นค่า Oxy จากสมการ

A_(11)x^2+2a_(12)xy+a_(22)y^2+2a_1x+2a_2y+a_0=0,

โดยมีสัมประสิทธิ์นำหน้าอย่างน้อยหนึ่งตัว ก_(11),ก_(12),ก_(22)แตกต่างจากศูนย์ กล่าวคือ ทางด้านซ้ายของ (3.34) คือพหุนามของตัวแปรสองตัว x,y ของดีกรีที่สอง ค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลังสองของตัวแปร x และ y เช่นเดียวกับผลคูณ x\cdot y ของตัวแปรจะถูกคูณเป็นสองเท่าเพื่อความสะดวกในการแปลงต่อไป

ในการนำสมการ (3.34) มาสู่รูปแบบมาตรฐาน จะใช้การแปลงพิกัดสี่เหลี่ยมต่อไปนี้:

– การหมุนตามมุม \varphi

\begin(cases)x=x"\cdot\cos\varphi-y"\cdot\sin\varphi,\\y=x"\cdot\sin\varphi+y"\cdot\cos\varphi;\end( กรณี)

– การโอนแบบขนาน

\begin(กรณี)x=x_0+x",\\y=y_0+y";\end(กรณี)

– เปลี่ยนทิศทางของแกนพิกัด (การสะท้อนในแกนพิกัด):

แกน y \begin(กรณี)x=x",\\y=-y",\end(กรณี)แกน x \begin(กรณี)x=-x",\\y=y",\end(กรณี)ทั้งสองขวาน \begin(กรณี)x=-x",\\y=-y";\end(กรณี)

– การเปลี่ยนชื่อแกนพิกัด (การสะท้อนในเส้นตรง y=x)

\begin(กรณี)x=y",\\y=x",\end(กรณี)

โดยที่ x,y และ x",y" เป็นพิกัดของจุดใดก็ได้ในระบบพิกัด O"x"y" เก่า (Oxy) และใหม่ตามลำดับ

นอกจากการแปลงพิกัดแล้ว ทั้งสองด้านของสมการยังสามารถคูณด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ได้อีกด้วย

ก่อนอื่นให้เราพิจารณากรณีพิเศษเมื่อสมการ (3.34) มีรูปแบบ:

\begin(ชิด) &\mathsf((I)\colon)~ \lambda_2\cdot y^2+a_0,~\lambda_2\ne0;\\ &\mathsf((II)\colon)~ \lambda_2\cdot y ^2+2\cdot a_1\cdot x,~\lambda_2\ne0,~a_1\ne0;\\ &\mathsf((III)\colon)~ \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2 +a_0,~\lambda_1\ne0,~\lambda_2\ne0. \end(ชิด)

สมการเหล่านี้ (รวมถึงพหุนามทางด้านซ้ายด้วย) เรียกว่าการลดลง ให้เราแสดงให้เห็นว่าสมการข้างต้น (I), (II), (III) ลดลงเหลือสมการตามบัญญัติ (1)–(9)

สมการ (I)หากในสมการ (I) เทอมอิสระเท่ากับศูนย์ (a_0=0) จากนั้นโดยการหารทั้งสองข้างของสมการ \lambda_2y^2=0 ด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า (\lambda_0\ne0) เราจะได้ y^2= 0 - สมการของเส้นตรงสองเส้นที่ตรงกัน(9) ซึ่งมีแกน x y=0 หากพจน์อิสระไม่เป็นศูนย์ a_0\ne0 เราจะหารทั้งสองข้างของสมการ (I) ด้วยสัมประสิทธิ์นำ (\lambda_2\ne0): y^2+\frac(a_0)(\lambda_2)=0- หากค่าเป็นลบ ให้แสดงด้วย -b^2 โดยที่ b=\sqrt(-\frac(a_0)(\lambda_2)), เราได้ y^2-b^2=0 - สมการของเส้นคู่ขนาน(7): y=b หรือ y=-b หากมีค่า \frac(a_0)(\แลมบ์ดา_2)บวก แล้วแทนด้วย b^2 โดยที่ b=\sqrt(\frac(a_0)(\lambda_2)), เราได้ y^2+b^2=0 - สมการของเส้นขนานจินตภาพคู่หนึ่ง(8) สมการนี้ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง ดังนั้น ประสานงานเครื่องบินไม่มีจุดที่สอดคล้องกับสมการนี้ อย่างไรก็ตามในพื้นที่ จำนวนเชิงซ้อนสมการ y^2+b^2=0 มีวิธีแก้ปัญหาคอนจูเกต 2 แบบ y=\pm ib ซึ่งแสดงด้วยเส้นประ (ดูย่อหน้าที่ 8 ของทฤษฎีบท 3.3)

สมการ (II)หารสมการด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า (\lambda_2\ne0) และย้ายพจน์เชิงเส้นไปทางด้านขวา: y^2=-\frac(2a_1)(\แลมบ์ดา_2)\,x- หากค่าเป็นลบแสดงว่าหมายถึง p=-\frac(a_1)(\แลมบ์ดา_2)>0เราจะได้ y^2=2px - สมการพาราโบลา(6) หากมีค่า \frac(a_1)(\แลมบ์ดา_2)บวกจากนั้นเปลี่ยนทิศทางของแกนแอบซิสซาเช่น เมื่อทำการแปลงครั้งที่สองใน (3.37) เราจะได้สมการ (y")^2=\frac(2a_1)(\lambda_2)\,x"หรือ (y")^2=2px" โดยที่ p=\frac(a_1)(\แลมบ์ดา_2)>0- นี่คือสมการของพาราโบลาในระบบพิกัดใหม่ Ox"y"

สมการ (III)เป็นไปได้สองกรณี: ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้ามีเครื่องหมายเดียวกัน (กรณีวงรี) หรือเครื่องหมายตรงกันข้าม (กรณีไฮเปอร์โบลิก)

ในกรณีวงรี (\แลมบ์ดา_1\แลมบ์ดา_2>0)

\mathsf((III))\quad\ลูกศรซ้าย\quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0\quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \frac(\lambda_1)(-a_0)\cdot x ^2+\frac(\lambda_2)(-a_0)\cdot y^2=1

เครื่องหมายอยู่ตรงข้ามกับ a_0 จากนั้นจึงหมายถึงปริมาณที่เป็นบวก และ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 - สมการวงรี (1).

ถ้าเป็นสัญญาณของค่าสัมประสิทธิ์นำ \แลมบ์ดา_1,\แลมบ์ดา_2เกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมาย a_0 จากนั้นจึงแสดงถึงค่าบวก \frac(a_0)(\แลมบ์ดา_1)และ \frac(a_0)(\แลมบ์ดา_2)ผ่าน a^2 และ b^2 เราได้รับ -\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1~\ลูกศรซ้าย~\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^ 2)(ข^2)=-1 - สมการวงรีจินตภาพ(2) สมการนี้ไม่มีคำตอบที่แท้จริง อย่างไรก็ตาม มันมีคำตอบในโดเมนของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งแสดงด้วยเส้นประ (ดูย่อหน้าที่ 2 ของทฤษฎีบท 3.3)

เราสามารถสรุปได้ว่าในสมการของวงรี (ของจริงหรือจินตภาพ) ค่าสัมประสิทธิ์เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน a\geqslant b มิฉะนั้นสามารถทำได้โดยการเปลี่ยนชื่อแกนพิกัด กล่าวคือ ทำการแปลง (3.38) ของระบบพิกัด

หากเงื่อนไขอิสระของสมการ (III) เท่ากับศูนย์ (a_0=0) ดังนั้น จะแสดงถึงปริมาณที่เป็นบวก \frac(1)(|\lambda_1|)และ \frac(1)(|\lambda_2|)ผ่าน a^2 และ b^2 เราได้รับ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=0 - สมการของเส้นตัดจินตภาพคู่หนึ่ง(3). สมการนี้จะพอใจเฉพาะจุดที่มีพิกัด x=0 และ y=0 เท่านั้น เช่น จุด O คือจุดกำเนิด อย่างไรก็ตาม ในโดเมนของจำนวนเชิงซ้อน ทางด้านซ้ายของสมการสามารถแยกตัวประกอบได้ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\left(\frac(y)(b)+i\,\frac(x)(a)\ ขวา)\!\!\left(\frac(y)(b)-i\,\frac(x)(a)\right)ดังนั้นสมการจึงมีคำตอบแบบคอนจูเกต y=\pm i\,\frac(b)(ก)\,xซึ่งแสดงด้วยเส้นประที่ตัดกันที่จุดกำเนิด (ดูย่อหน้าที่ 3 ของทฤษฎีบท 3.3)

ในกรณีไฮเปอร์โบลิก (\แลมบ์ดา_1,\แลมบ์ดา_2<0) สำหรับ a_0\ne0 เราย้ายพจน์อิสระไปทางด้านขวาแล้วหารทั้งสองข้างด้วย -a_0\ne0 :

\mathsf((III))\quad \ลูกศรซ้าย \quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0 \quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \frac(\lambda_1)(-a_0)\cdot x ^2+\frac(\lambda_2)(-a_0)\cdot y^2=1

ปริมาณ \frac(-a_0)(\แลมบ์ดา_1)และ \frac(-a_0)(\แลมบ์ดา_2)มีสัญญาณตรงกันข้าม โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราถือว่าเครื่องหมายของ \lambda_2 เกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของคำศัพท์อิสระ a_0 กล่าวคือ \frac(a_0)(\แลมบ์ดา_2)>0- มิฉะนั้นคุณจะต้องเปลี่ยนชื่อแกนพิกัดเช่น ทำการแปลง (3.38) ของระบบพิกัด แสดงถึงปริมาณที่เป็นบวก \frac(-a_0)(\แลมบ์ดา_1)และ \frac(a_0)(\แลมบ์ดา_2)ผ่าน a^2 และ b^2 เราได้รับ \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1 - สมการไฮเปอร์โบลา (4).

ให้พจน์อิสระในสมการ (III) เป็นศูนย์ (a_0=0) จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่า \lambda_1>0 และ \lambda_2<0 (в противном случае обе части уравнения умножим на –1) . Обозначая положительные величины \frac(1)(\แลมบ์ดา_1)และ -\frac(1)(\แลมบ์ดา_2)ผ่าน a^2 และ b^2 เราได้รับ \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=0 - สมการของเส้นตัดกันคู่หนึ่ง(5) สมการของเส้นหาได้จากการแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=\left(\frac(x)(a)-\frac(y)(b)\right)\ !\!\left(\frac(x)(a)+\frac(y)(b)\right)=0นั่นคือ y=\pm\frac(b)(ก)\cdot x

ดังนั้น สมการที่กำหนด (I), (II), (III) ของเส้นพีชคณิตลำดับที่สองจึงถูกลดให้เหลือเป็นรูปแบบมาตรฐาน (1)–(9) ที่ระบุไว้ในทฤษฎีบท 3.3

ยังคงแสดงให้เห็นว่าสมการทั่วไป (3.34) สามารถลดลงเหลือเพียงสมการที่กำหนดได้โดยใช้การแปลงระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

ลดความซับซ้อนของสมการทั่วไป (3.34) ดำเนินการในสองขั้นตอน ในระยะแรก ด้วยการหมุนระบบพิกัด คำที่เป็นผลคูณของสิ่งไม่รู้จะ "ถูกทำลาย" หากไม่มีผลคูณของสิ่งที่ไม่ทราบ (a_(12)=0) ก็ไม่จำเป็นต้องหมุนเวียน (ในกรณีนี้ เราจะตรงไปยังขั้นตอนที่สอง) ในขั้นตอนที่สอง เมื่อใช้การถ่ายโอนแบบขนาน เทอมหนึ่งหรือทั้งสองเทอมของระดับแรกจะ "ถูกทำลาย" เป็นผลให้ได้สมการต่อไปนี้ (I), (II), (III)

ขั้นแรก:การแปลงสมการของเส้นลำดับที่สองเมื่อหมุนระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

หากค่าสัมประสิทธิ์คือ a_(12)\ne0 เราจะหมุนระบบพิกัดเป็นมุม \varphi การแทนที่นิพจน์ (3.35) ลงในสมการ (3.34) เราได้รับ:

\begin(รวบรวม) a_(11)(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)^2+2a_(12)(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)(x"\ บาป\วาร์ฟี+y"\cos\varphi)+a_(22)(x"\sin\varphi+y"\cos\varphi)^2+\\ +2a_1(x"\cos\varphi-y"\sin \varphi)+2a_2(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)+a_0=0 \end(รวบรวม)

เมื่อนำคำที่คล้ายกันมา เราจะได้สมการของรูปแบบ (3.34):

A"_(11)(x")^2+2a"_(12)x"y"+a"_(22)(y")^2+2a"_1x"+2a"_2y"+a"_0 =0,

\begin(aligned)a"_(11)&=a_(11)\cos^2\varphi+2a_(12)\cos\varphi\sin\varphi+a_(22)\sin^2\varphi;\\ a"_(12)&=-a_(11)\cos\varphi\sin\varphi+a_(12)(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)+a_(22)\cos\varphi \sin\varphi;\\a"_(22)&=a_(11)\sin^2\varphi-2a_(12)\cos\varphi\sin\varphi+a_(22)\cos^2\varphi; \\ a"_1&=a_1\cos\varphi+a_2\sin\varphi;\quad a"_2=-a_1\sin\varphi+a_2\cos\varphi; \quad a"_0=a_0. \end(ชิด)

ลองกำหนดมุม \varphi เพื่อให้ a"_(12)=0 แปลงนิพจน์สำหรับ a"_(12) โดยเลื่อนไปที่มุมสองเท่า:

A"_(12)= -\frac(1)(2)\,a_(11)\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi+\frac(1)(2)\,a_(22)\ sin2\varphi= \frac(a_(22)-a_(11))(2)\,\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi.

มุม \varphi จะต้องเป็นไปตามสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ \frac(a_(22)-a_(11))(2)\,\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi=0ซึ่งเทียบเท่ากับสมการ

\ชื่อผู้ดำเนินการ(ctg)2\varphi=\frac(a_(11)-a_(22))(2a_(12))

ตั้งแต่ a_(12)\ne 0 . สมการนี้มีจำนวนรากไม่สิ้นสุด

\varphi=\frac(1)(2)\ชื่อผู้ดำเนินการ(arcctg)\frac(a_(11)-a_(22))(2a_(12))+\frac(\pi)(2)\,n, \ รูปสี่เหลี่ยม n\in\mathbb(Z)

ลองเลือกอันใดก็ได้ เช่น มุม \varphi จากช่วงเวลา 0<\varphi<\frac{\pi}{2} - จากนั้นพจน์ 2a"_(12)x"y" จะหายไปในสมการ (3.39) เนื่องจาก a"_(12)=0

แทนค่าสัมประสิทธิ์นำที่เหลือด้วย \lambda_1= a" และ \lambda_2=a"_(22) เราได้สมการ

\lambda_1\cdot(x")^2+\lambda_2\cdot(y")^2+2\cdot a"_1\cdot x"+2\cdot a"_2\cdot y"+a"_0=0.

ตามทฤษฎีบท 3.1 สมการ (3.41) คือสมการของระดับที่สอง (ภายใต้การเปลี่ยนแปลง (3.35) ลำดับของเส้นจะถูกรักษาไว้) เช่น ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าอย่างน้อยหนึ่งค่า \lambda_1 หรือ \lambda_2 แตกต่างจากศูนย์ นอกจากนี้ เราจะถือว่ามันเป็นสัมประสิทธิ์ที่ (y")^2 ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ (\lambda_2\ne0) มิฉะนั้น (ด้วย \lambda_2=0 และ \lambda_1\ne0 ) ระบบพิกัดควรจะหมุนโดย มุม \varphi+\frac(\pi)(2)ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (3.40) ด้วย จากนั้นแทนที่จะเป็นพิกัด x",y" ใน (3.41) เราจะได้ y",-x" ตามลำดับ นั่นคือ ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ \lambda_1 จะอยู่ที่ (y")^2

ขั้นตอนที่สอง:การแปลงสมการของเส้นอันดับสองด้วยการแปลแบบขนานของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

สมการ (3.41) สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยการแยกกำลังสองสมบูรณ์ออกจากกัน มีสองกรณีที่ต้องพิจารณา: \lambda_1\ne0 หรือ \lambda_1=0 (ตามสมมติฐาน \lambda_2\ne0 ) ซึ่งเรียกว่าศูนย์กลาง (รวมถึงกรณีวงรีและไฮเปอร์โบลิก) หรือพาราโบลา ตามลำดับ ความหมายทางเรขาคณิตของชื่อเหล่านี้ถูกเปิดเผยเพิ่มเติม

กรณีกลาง: \lambda_1\ne0 และ \lambda_2\ne0 เมื่อเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์เหนือตัวแปร x",y" เราจะได้

\begin(รวบรวม)\lambda_1\left[(x")^2+2\,\frac(a"_1)(\lambda_1)\,x"+(\left(\frac(a"_1)(\lambda_1 )\ขวา)\^2\right]+ \lambda_2\left[(y")^2+2\,\frac{a"_2}{\lambda_2}\,y"+{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]- \lambda_1{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0~\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow~ \lambda_1{\left(x"+\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2+\lambda_2{\left(y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2- \lambda_1{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0. \end{gathered} !}

หลังจากเปลี่ยนตัวแปรแล้ว

\left\(\begin(ชิด) x""&=x"+\frac(a"_1)(\lambda_1),\\ y""&=y"+\frac(a"_2)(\lambda_2) ,\end(ชิด)\right.

เราได้สมการ

\lambda_1\,(x"")^2+\lambda_2\,(y"")^2+a""_0=0,

ที่ไหน a""_0=-\lambda_1(\left(\frac(a"_1)(\lambda_1)\right)\^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0 !}.

กรณีพาราโบลา: \lambda_1=0 และ \lambda_2\ne0 เราได้รับการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ในตัวแปร y"

\begin(รวบรวม) \lambda_2\left[(y")^2+2\cdot\frac(a"_2)(\lambda_2)\cdot y"+(\left(\frac(a"_2)(\lambda_2 )\ขวา)\^2\right]+2\cdot a"_1\cdot x"-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0 \quad \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \quad \lambda_2{\left(y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+2\cdot a"_1\cdot x"-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0.\end{gathered} !}

ถ้า a"_1\ne0 สมการสุดท้ายจะลดลงเป็นรูปแบบ

\lambda_2(\left(y"+ \frac(a"_2)(\lambda_2)\right)\^2+ 2\cdot a"_1\left=0. !}

โดยทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร

\left\(\begin(ชิด) x""&=x"+\frac(a"_0)(2a"_1)- \frac(\lambda_2)(2a"_1)(\left(\frac(a" _2)(\แลมบ์ดา_2)\ขวา)\^2,\\ y""&=y"+ \frac{a"_2}{\lambda_2}, \end{aligned}\right. !}

เราได้มาจากที่ a""_1=a"_1

\lambda_2\cdot(y"")^2+2\cdot a""_1\cdot x""=0,

ถ้า a"_1=0 สมการ (3.44) จะลดลงเป็นรูปแบบโดยที่ ก""_0=-\lambda_2(\left(\frac(a"_2)(\lambda_2) \right)\^2+a"_0 !},

\lambda_2\cdot(y"")^2+a""_0,

\left\(\begin(ชิด)x""&=x",\\y""&=y"+\frac(a"_2)(\lambda_2).\end(ชิด)\right

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร (3.42), (3.45), (3.48) สอดคล้องกับการแปลแบบขนานของระบบพิกัด Ox"y" (ดูย่อหน้าที่ 1 "a" ของหมายเหตุ 2.3)

ดังนั้นเราจึงใช้การแปลแบบขนานของระบบพิกัด Ox"y" ระบบใหม่พิกัด O""x""y"" ซึ่งสมการของเส้นลำดับที่สองอยู่ในรูปแบบ (3.43) หรือ (3.46) หรือ (3.47) สมการเหล่านี้จะลดลง (ในรูปแบบ (III), (II) หรือ (I) ตามลำดับ)

ทฤษฎีบทหลัก 3.3 เกี่ยวกับการลดสมการของเส้นพีชคณิตลำดับที่สองเป็นรูปแบบมาตรฐานได้รับการพิสูจน์แล้ว

หมายเหตุ 3.8

1. ระบบพิกัดที่สมการของเส้นพีชคณิตลำดับที่สองมีรูปแบบมาตรฐานเรียกว่ามาตรฐาน ระบบพิกัดมาตรฐานถูกกำหนดไว้อย่างคลุมเครือ ตัวอย่างเช่น โดยการเปลี่ยนทิศทางของแกน y ไปในทางตรงกันข้าม เราจะได้ระบบพิกัดมาตรฐานอีกครั้ง เนื่องจากการแทนที่ตัวแปร y ด้วย (-y) จะไม่เปลี่ยนสมการ (1)–(9) ดังนั้นการวางแนวของระบบพิกัดมาตรฐานจึงไม่มีความสำคัญพื้นฐาน แต่สามารถหมุนไปทางขวาได้ตลอดเวลาโดยการเปลี่ยนทิศทางของแกนพิกัดหากจำเป็น

2. แสดงให้เห็นก่อนหน้านี้ว่าการแปลงของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบลดลงเหลือการแปลงแบบใดแบบหนึ่ง (2.9) หรือ (2.10):

\begin(กรณี) x=x_0+x"\cdot\cos\varphi-y"\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x"\cdot\sin\varphi+y"\cdot\cos\varphi , \end(กรณี)\quad \begin(กรณี) x=x_0+x"\cdot\cos\varphi+y"\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x"\cdot\sin\varphi- y"\cdot\cos\varphi.\end(กรณี)

ดังนั้น งานในการนำสมการของเส้นลำดับที่สองมาสู่รูปแบบมาตรฐานจะลดลงเหลือเพียงการหาจุดเริ่มต้น O"(x_0,y_0) ของระบบพิกัดมาตรฐานมาตรฐาน O"x"y" และมุม \varphi ของการเอียงของ แกน abscissa ของมัน O"x" ถึงแกน abscissa Ox ของระบบพิกัดดั้งเดิม Oxy

3. ในกรณี (3), (5), (7), (8), (9) เส้นต่างๆ เรียกว่าการสลายตัว เนื่องจากพหุนามที่สอดคล้องกันของดีกรีที่สองจะถูกสลายเป็นผลคูณของพหุนามของดีกรีที่ 1

Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
หากต้องการคำนวณ คุณต้องเปิดใช้งานตัวควบคุม ActiveX!

ตัวแยกแยะขนาดเล็ก 5 (§ 66) เป็นผลบวกสำหรับวงรี (ดูตัวอย่างที่ 1 § 66) ค่าลบสำหรับไฮเปอร์โบลา และศูนย์สำหรับพาราโบลา

การพิสูจน์. วงรีแสดงด้วยสมการ สมการนี้มีการแบ่งแยกเล็กน้อย เมื่อแปลงพิกัด มันจะคงค่าของมันไว้ และเมื่อทั้งสองข้างของสมการคูณด้วยจำนวนใดๆ การแบ่งแยกจะถูกคูณด้วย (§ 66 หมายเหตุ) ดังนั้นการแบ่งแยกวงรีจึงเป็นค่าบวกในระบบพิกัดใดๆ ในกรณีของไฮเพอร์โบลาและในกรณีของพาราโบลา การพิสูจน์จะคล้ายกัน

ตามนี้ เส้นลำดับที่สองสามประเภท (และสมการระดับที่สอง) มีความโดดเด่น:

1. ประเภทรูปไข่ มีลักษณะตามสภาพ

นอกเหนือจากวงรีจริงแล้ว ยังรวมถึงวงรีจินตภาพด้วย (§ 58 ตัวอย่างที่ 5) และเส้นสมมุติคู่หนึ่งตัดกันที่จุดจริง (§ 58 ตัวอย่างที่ 4)

2. ประเภทไฮเปอร์โบลิก มีลักษณะตามเงื่อนไข

นอกเหนือจากไฮเพอร์โบลาแล้ว ยังรวมถึงเส้นตัดกันจริงคู่หนึ่งด้วย (§ 58 ตัวอย่างที่ 1)

3. ประเภทพาราโบลา มีลักษณะตามสภาพ

นอกเหนือจากพาราโบลาแล้ว ยังรวมถึงเส้นคู่ขนาน (จริงหรือจินตภาพ) คู่หนึ่งด้วย (สามารถตรงกันได้)

ตัวอย่างที่ 1: สมการ

เป็นประเภทพาราโบลาเนื่องจาก

เนื่องจากมีการเลือกปฏิบัติมาก

ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการ (1) แทนเส้นตรงที่ไม่แตกตัว เช่น พาราโบลา (เปรียบเทียบ §§ 61-62 ตัวอย่างที่ 2)

ตัวอย่างที่ 2: สมการ

อยู่ในประเภทไฮเปอร์โบลิกเนื่องจาก

เพราะ

จากนั้นสมการ (2) แทนเส้นตัดกันคู่หนึ่ง สมการของพวกเขาสามารถพบได้โดยใช้วิธีการใน§ 65

ตัวอย่างที่ 3: สมการ

เป็นของประเภทรูปไข่เนื่องจาก

เพราะ

แล้วเส้นตรงจะไม่แยกออก ดังนั้นจึงเป็นรูปวงรี

ความคิดเห็น เส้นประเภทเดียวกันมีความสัมพันธ์กันทางเรขาคณิตดังนี้: เส้นจินตภาพคู่หนึ่งที่ตัดกัน (เช่น จุดจริงหนึ่งจุด) เป็นกรณีที่จำกัดของวงรี “หดตัวจนถึงจุดหนึ่ง” (รูปที่ 88) เส้นจริงที่ตัดกันคู่หนึ่งเป็นกรณีที่จำกัดของไฮเปอร์โบลาที่เข้าใกล้เส้นกำกับของมัน (รูปที่ 89) เส้นขนานคู่หนึ่งเป็นกรณีที่จำกัดของพาราโบลา โดยที่แกนและจุดหนึ่งคู่สมมาตรรอบแกน (รูปที่ 90) ได้รับการแก้ไขแล้ว และจุดยอดจะเคลื่อนที่ไปยังระยะอนันต์