กรวย ฟรัสทัม

พื้นผิวเรียวเรียกว่า พื้นผิวที่เกิดจากเส้นตรงทุกเส้นที่ผ่านแต่ละจุดของเส้นโค้งที่กำหนดและจุดนอกเส้นโค้ง (รูปที่ 32)

เส้นโค้งนี้เรียกว่า แนะนำ , โดยตรง - กำลังสร้าง , จุด - การประชุมสุดยอด พื้นผิวทรงกรวย

พื้นผิวเรียวเป็นวงกลมตรงเรียกพื้นผิวที่เกิดจากเส้นทุกเส้นที่ผ่านแต่ละจุดของวงกลมที่กำหนดและจุดบนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบของวงกลมและผ่านจุดศูนย์กลาง. ต่อไปนี้จะเรียกพื้นผิวนี้โดยย่อว่า พื้นผิวทรงกรวย (รูปที่ 33)

กรวย (กรวยกลมตรง ) เรียกว่าร่างกายทางเรขาคณิตที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกรวยและระนาบที่ขนานกับระนาบของวงกลมนำทาง (รูปที่ 34)

ข้าว. 32 รูป 33 รูป 34

กรวยถือได้ว่าเป็นวัตถุที่ได้จากการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากรอบแกนที่มีขาด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม

วงกลมที่พันรอบกรวย ก็เรียก พื้นฐาน . จุดยอดของผิวทรงกรวยเรียกว่า การประชุมสุดยอด กรวย ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างยอดกรวยกับจุดศูนย์กลางของฐานเรียกว่า ความสูง กรวย ส่วนที่ก่อตัวเป็นพื้นผิวทรงกรวยเรียกว่า กำลังสร้าง กรวย แกน ของกรวยคือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดของกรวยและจุดศูนย์กลางของฐาน ส่วนแกน เรียกว่าส่วนที่ผ่านแกนของกรวย การพัฒนาพื้นผิวด้านข้าง กรวยเรียกว่าภาคที่มีรัศมี เท่ากับความยาว generatrix ของกรวย และความยาวของส่วนโค้งของเซกเตอร์เท่ากับเส้นรอบวงของฐานของกรวย

สำหรับกรวย สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน รคือรัศมีของฐาน

ชม- ความสูง;

ล- ความยาวของ generatrix

เอส หลัก- พื้นที่ฐาน

ฝั่งเอส

เอสเต็ม

วีคือปริมาตรของกรวย

กรวยตัดเรียกว่าส่วนของกรวยที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบตัดที่ขนานกับฐานของกรวย (รูปที่ 35)

กรวยที่ถูกตัดออกถือเป็นรูปทรงที่ได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูรอบแกนที่มีด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูตั้งฉากกับฐาน

วงกลมสองวงที่ล้อมรอบกรวยเรียกว่ามัน บริเวณ . ส่วนสูง ของกรวยที่ถูกตัดคือระยะห่างระหว่างฐาน ส่วนที่สร้างพื้นผิวรูปกรวยของกรวยที่ถูกตัดเรียกว่า กำลังสร้าง . เส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของฐานเรียกว่า แกน กรวยตัด ส่วนแกน เรียกว่าส่วนที่ผ่านแกนของกรวยที่ถูกตัด

สำหรับกรวยที่ถูกตัดออก สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

(8)

ที่ไหน รคือรัศมีของฐานล่าง

รคือรัศมีของฐานชั้นบน

ชมคือความสูง l คือความยาวของเจนเนอราทริกซ์

ฝั่งเอสคือพื้นที่ผิวข้าง

เอสเต็มคือพื้นที่ผิวทั้งหมด

วีคือปริมาตรของกรวยที่ตัดแล้ว

ตัวอย่างที่ 1ส่วนของกรวยที่ขนานกับฐานจะแบ่งส่วนสูงในอัตราส่วน 1:3 โดยนับจากยอด จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดออก ถ้ารัศมีของฐานและความสูงของกรวยเท่ากับ 9 ซม. และ 12 ซม.

การตัดสินใจ.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 36)

ในการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดออก เราใช้สูตร (8) ค้นหารัศมีของฐาน ประมาณ 1 กและ ประมาณ 1 โวลต์และสร้าง เอบี

พิจารณาสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน โซ 2 บีและ ดังนั้น 1A, ค่าสัมประสิทธิ์ของความคล้ายคลึง , แล้ว

จากที่นี่

ตั้งแต่นั้นมา

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดออกเท่ากับ:

ตอบ: .

ตัวอย่างที่ 2รัศมีหนึ่งในสี่ของวงกลมถูกพับเป็นพื้นผิวทรงกรวย หารัศมีของฐานและความสูงของกรวย.

การตัดสินใจ.สี่เท่าของวงกลมคือการพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวย แสดงว่า รคือรัศมีของฐาน ชม-ความสูง. พื้นที่ผิวด้านข้างคำนวณโดยสูตร: . เท่ากับพื้นที่หนึ่งในสี่ของวงกลม: . เราได้สมการที่มีนิรนามสองตัว รและ ล(เครื่องกำเนิดกรวย). ในกรณีนี้ generatrix เท่ากับรัศมีหนึ่งในสี่ของวงกลม รดังนั้นเราจึงได้สมการต่อไปนี้ ดังนั้นเมื่อรู้รัศมีของฐานและเจนเนอราทริกซ์แล้ว เราจึงพบความสูงของกรวย:

ตอบ: 2 ซม., .

ตัวอย่างที่ 3สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีมุมแหลม 45 O ฐานเล็กกว่า 3 ซม. และด้านเอียงเท่ากับ หมุนรอบด้านที่ตั้งฉากกับฐาน ค้นหาปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติที่ได้รับ

การตัดสินใจ.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 37)

ผลจากการหมุน เราได้กรวยที่ถูกตัดออก เพื่อหาปริมาตร เราจะคำนวณรัศมีของฐานที่ใหญ่ขึ้นและความสูง ในราวสำหรับออกกำลังกาย O 1 O 2 ABเราจะใช้จ่าย AC^O 1 บี. เรามี: สามเหลี่ยมนี้จึงเป็นหน้าจั่ว เครื่องปรับอากาศ=พ.ศ\u003d 3 ซม.

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 4สามเหลี่ยมที่มีด้าน 13 ซม., 37 ซม. และ 40 ซม. หมุนรอบแกนภายนอกที่ขนานกับด้านที่ใหญ่กว่าและห่างจากด้านนั้น 3 ซม. (แกนอยู่ในระนาบของสามเหลี่ยม) ค้นหาพื้นที่ผิวของตัวผลลัพธ์ของการปฏิวัติ

การตัดสินใจ . มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 38)

พื้นผิวของตัวผลลัพธ์ของการปฏิวัติประกอบด้วยพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดสองอันและพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอก ในการคำนวณพื้นที่เหล่านี้จำเป็นต้องทราบรัศมีของฐานของกรวยและทรงกระบอก ( เป็นและ อค) การขึ้นรูปกรวย ( พ.ศและ เครื่องปรับอากาศ) และความสูงของทรงกระบอก ( เอบี). สิ่งที่ไม่รู้จักเป็นเพียง บจก. คือระยะทางจากด้านของสามเหลี่ยมถึงแกนหมุน หากัน กระแสตรง. พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ด้านหนึ่งเท่ากับผลคูณของครึ่งหนึ่งของด้าน AB และความสูงที่ลากไป กระแสตรงในทางกลับกัน เมื่อรู้ทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมแล้ว เราคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตรของเฮรอน

ข้าว. 1. วัตถุจากชีวิตที่มีรูปร่างเป็นกรวยที่ถูกตัดทอน

คุณคิดว่ารูปร่างใหม่ๆ มาจากไหนในเรขาคณิต ทุกอย่างง่ายมาก: คน ๆ หนึ่งในชีวิตพบกับวัตถุที่คล้ายกันและคิดว่าจะเรียกมันว่าอะไร พิจารณาแท่นที่สิงโตนั่งในคณะละครสัตว์ แครอทชิ้นหนึ่งซึ่งได้มาจากการตัดเพียงบางส่วน ภูเขาไฟที่ยังคุกรุ่น และแสงจากไฟฉาย (ดูรูปที่ 1)

ข้าว. 2. รูปทรงเรขาคณิต

เราเห็นว่าตัวเลขทั้งหมดเหล่านี้มีรูปร่างคล้ายกัน - ทั้งจากด้านล่างและด้านบนจะถูก จำกัด ด้วยวงกลม แต่แคบลง (ดูรูปที่ 2)

ข้าว. 3. ตัดส่วนบนของกรวยออก

ดูเหมือนกรวย ขาดแค่ท่อนบน ลองจินตนาการว่าเราใช้กรวยแล้วตัดส่วนบนออกด้วยการแกว่งดาบคม ๆ เพียงครั้งเดียว (ดูรูปที่ 3)

ข้าว. 4. กรวยที่ถูกตัดทอน

ปรากฎว่าเป็นเพียงรูปร่างของเราเรียกว่ากรวยที่ถูกตัดออก (ดูรูปที่ 4)

ข้าว. 5. ส่วนที่ขนานกับฐานของกรวย

ให้กรวย มาวาดเครื่องบินกันเถอะ ขนานกับระนาบฐานของกรวยนี้และตัดกันของกรวย (ดูรูปที่ 5)

มันจะแยกกรวยออกเป็นสองส่วน: อันหนึ่งเป็นกรวยที่เล็กกว่า และอันที่สองเรียกว่ากรวยที่ถูกตัดออก (ดูรูปที่ 6)

ข้าว. 6. ได้รับร่างกายที่มีส่วนขนาน

ดังนั้น กรวยที่ถูกตัดออกจึงเป็นส่วนหนึ่งของกรวยที่ปิดอยู่ระหว่างฐานและระนาบที่ขนานกับฐาน ในกรณีของกรวย กรวยที่ถูกตัดสามารถมีวงกลมที่ฐานได้ ในกรณีนี้เรียกว่าวงกลม ถ้ากรวยเดิมตรง กรวยที่ตัดจะเรียกว่าตรง ในกรณีของกรวย เราจะพิจารณาเฉพาะกรวยที่ถูกตัดเป็นวงกลมตรง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นพิเศษว่าเรากำลังพูดถึงกรวยที่ถูกตัดทางอ้อมหรือไม่มีวงกลมอยู่ในฐาน

ข้าว. 7. การหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมู

ธีมสากลของเราคือเนื้อหาของการปฏิวัติ กรวยที่ถูกตัดก็ไม่มีข้อยกเว้น! จำได้ว่าเพื่อให้ได้กรวยเราพิจารณา สามเหลี่ยมมุมฉากแล้วหมุนรอบขา? หากกรวยผลลัพธ์ถูกข้ามโดยระนาบขนานกับฐาน รูปสี่เหลี่ยมคางหมูจะยังคงอยู่จากรูปสามเหลี่ยม การหมุนรอบด้านข้างที่เล็กกว่าจะทำให้เราได้กรวยที่ถูกตัดทอน โปรดทราบว่าเรากำลังพูดถึงเฉพาะกรวยกลมด้านขวาเท่านั้น (ดูรูปที่ 7)

ข้าว. 8. ฐานของกรวยที่ถูกตัดทอน

ขอตั้งข้อสังเกตบางอย่าง ฐานของกรวยเต็มและวงกลมที่ได้จากระนาบของกรวยเรียกว่าฐานของกรวยที่ถูกตัด (ล่างและบน) (ดูรูปที่ 8)

ข้าว. 9. เครื่องกำเนิดของกรวยที่ถูกตัดทอน

ส่วนของเครื่องกำเนิดของกรวยที่สมบูรณ์ซึ่งอยู่ระหว่างฐานของกรวยที่ถูกตัดเรียกว่าเครื่องกำเนิดของกรวยที่ถูกตัด เนื่องจากตัวกำเนิดทั้งหมดของกรวยดั้งเดิมมีค่าเท่ากันและตัวสร้างทั้งหมดของกรวยที่ถูกตัดมีค่าเท่ากัน ดังนั้นตัวกำเนิดของกรวยที่ถูกตัดจึงมีค่าเท่ากัน (อย่าสับสนระหว่างการตัดทอนและการตัดทอน!) ดังนั้นตามด้วยสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วของส่วนแกน (ดูรูปที่ 9)

ส่วนของแกนหมุนที่อยู่ในกรวยที่ถูกตัดเรียกว่าแกนของกรวยที่ถูกตัด แน่นอนว่าส่วนนี้เชื่อมต่อศูนย์กลางของฐาน (ดูรูปที่ 10)

ข้าว. 10. แกนของกรวยที่ถูกตัดทอน

ความสูงของกรวยที่ถูกตัดเป็นเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดหนึ่งของฐานหนึ่งไปยังอีกฐานหนึ่ง บ่อยครั้งที่แกนของมันถูกพิจารณาว่าเป็นความสูงของกรวยที่ถูกตัดทอน

ข้าว. 11. ส่วนแกนของกรวยที่ถูกตัดทอน

ส่วนตามแนวแกนของกรวยที่ถูกตัดเป็นส่วนที่ผ่านแกนของมัน ดูเหมือนสี่เหลี่ยมคางหมู หลังจากนั้นไม่นานเราจะพิสูจน์หน้าจั่วของมัน (ดูรูปที่ 11)

ข้าว. 12. กรวยพร้อมสัญกรณ์แนะนำ

ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดออก ให้ฐานของกรวยที่ถูกตัดมีรัศมี และ และเครื่องกำเนิดมีค่าเท่ากัน (ดูรูปที่ 12)

ข้าว. 13. สัญกรณ์ของ generatrix ของกรวยที่ถูกตัดทอน

ให้เราหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดเป็นส่วนต่างระหว่างพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยเดิมกับพื้นที่ที่ถูกตัดออก ในการทำเช่นนี้เราแสดงโดย generatrix ของกรวยที่ถูกตัดออก (ดูรูปที่ 13)

แล้วที่ต้องการ.

ข้าว. 14. สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

มันยังคงแสดงออก

โปรดทราบว่าจากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม จากที่ใด (ดูรูปที่ 14)

เป็นไปได้ที่จะแสดงโดยการหารด้วยผลต่างของรัศมี แต่เราไม่ต้องการสิ่งนี้ เนื่องจากผลคูณจะปรากฏในนิพจน์ที่ต้องการ แทนที่ แทน ในที่สุดเราก็มี: .

ตอนนี้การหาสูตรสำหรับพื้นที่ผิวทั้งหมดไม่ใช่เรื่องยาก ในการทำเช่นนี้ เพียงเพิ่มพื้นที่ของวงกลมฐานสองวง: .

ข้าว. 15. ภาพประกอบสำหรับปัญหา

ให้หากรวยที่ถูกตัดออกโดยหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูรอบความสูงของมัน เส้นมัธยฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากัน และด้านข้างขนาดใหญ่เท่ากับ (ดูรูปที่ 15) ค้นหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดออก

การตัดสินใจ

จากสูตรเรารู้ว่า .

เจเนราทริกซ์ของกรวยจะเป็นด้านใหญ่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูดั้งเดิม นั่นคือ รัศมีของกรวยคือฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู เราไม่พบพวกเขา แต่เราไม่ต้องการ: ต้องการผลรวมเท่านั้นและผลรวมของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นสองเท่าของกึ่งกลางนั่นคือเท่ากับ แล้ว .

โปรดทราบว่าเมื่อเราพูดถึงกรวย เราได้วาดแนวระหว่างมันกับพีระมิด - สูตรมีความคล้ายคลึงกัน ที่นี่เหมือนกันเนื่องจากกรวยที่ถูกตัดทอนนั้นคล้ายกับปิรามิดที่ถูกตัดออกมาก ดังนั้นสูตรสำหรับพื้นที่ด้านข้างและพื้นผิวเต็มของกรวยที่ถูกตัดและพีระมิด (และในไม่ช้าจะมีสูตรสำหรับปริมาตร) จึงคล้ายกัน .

ข้าว. 1. ภาพประกอบสำหรับปัญหา

รัศมีของฐานของกรวยที่ถูกตัดออกเท่ากับ และ และ generatrix เท่ากับ . ค้นหาความสูงของกรวยที่ถูกตัดออกและพื้นที่ของส่วนตามแนวแกน (ดูรูปที่ 1)

และโดยระนาบขนานกับฐาน ( ข้าว. ). ปริมาตรของ U. ถึง. เท่ากับ , ที่ไหน ร 1 และ ร 2 – รัศมีฐาน, ชม-ความสูง.

สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่ - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

ดูว่า "Truncated Cone" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

รูปทรงเรขาคณิตที่ถูกตัดออกจากกรวยโดยระนาบขนานกับฐาน (รูปที่) ปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดคือ * * * TRUNCATED CONE TRUNCATED CONE รูปทรงเรขาคณิตที่ตัดออกจากกรวยโดยระนาบขนานกับฐาน ปริมาณ… … พจนานุกรมสารานุกรม

หงุดหงิด- — หัวข้อ อุตสาหกรรมน้ำมันและก๊าซ TH กรวยตัด … คู่มือนักแปลทางเทคนิค

ตัดทอน, ตัดทอน, ตัดทอน; ตัดทอน, ตัดทอน, ตัดทอน. 1. รวม ความทุกข์ อดีต อุณหภูมิ จากการตัดทอน (หนังสือ) ๒. ท่อนบนตัดเป็นระนาบขนานกับฐาน (ประมาณกรวย พีระมิด). ฟรัสทัม. พีระมิดตัดทอน... พจนานุกรมอูชาคอฟ

ถูกตัดทอน- โอ้โอ้ .; คณิตศาสตร์. ส่วนที่ส่วนบนถูกตัดออกโดยระนาบขนานกับฐาน ฟรัสทัม. ว้าว พีระมิด... พจนานุกรมของสำนวนมากมาย

ตัดทอนโอ้โอ้ ในวิชาคณิตศาสตร์: ซึ่งส่วนบนถูกแยกออกโดยระนาบขนานกับฐาน ว. กรวย. ปิรามิดที่ถูกตัดทอน พจนานุกรมอธิบายของ Ozhegov เอส.ไอ. Ozhegov, N.Yu. ชเวโดวา 2492 2535 ... พจนานุกรมอธิบายของ Ozhegov

อร๊ายยย. 1. รวม ความทุกข์ อดีต จากการตัดทอน 2. ในมูลค่า [adj.] เสื่อ. ส่วนที่ส่วนบนถูกตัดออกโดยระนาบขนานกับฐาน ฟรัสทัม. ปิรามิดที่ถูกตัดทอน 3. ในมูลค่า [adj.] กรัม,สว่าง. ด้วยการตัดทอน (เป็น 2 ค่า) แทน ... พจนานุกรมวิชาการขนาดเล็ก

กรวยกลมตรง. ตรงและ ... Wikipedia

- (ภาษาละติน conus จากภาษากรีก konos) พื้นผิวรูปกรวยคือชุดของเส้น (เครื่องกำเนิด) ของพื้นที่ที่เชื่อมต่อจุดทั้งหมดของเส้นบางเส้น (ไกด์) กับจุดที่กำหนด (จุดยอด) ของพื้นที่ K. ที่ง่ายที่สุดคือวงกลมหรือวงกลมตรงไปที่ ... พจนานุกรมโปลีเทคนิคสารานุกรมขนาดใหญ่

- (lat. conus จากภาษากรีก konos) (คณิตศาสตร์), 1) K. หรือพื้นผิวรูปกรวย, ตำแหน่งทางเรขาคณิตของเส้น (เครื่องกำเนิดไฟฟ้า) ของพื้นที่ที่เชื่อมต่อจุดทั้งหมดของเส้นบางเส้น (ไกด์) กับจุดที่กำหนด (จุดสุดยอด ) ของพื้นที่ ... ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

โลกรอบตัวเรามีพลวัตและหลากหลาย และไม่ใช่ทุกวัตถุที่สามารถวัดได้ด้วยไม้บรรทัด สำหรับการถ่ายโอนดังกล่าวจะใช้เทคนิคพิเศษเช่นรูปสามเหลี่ยม จำเป็นต้องรวบรวมการกวาดที่ซับซ้อนตามกฎ ... ... Wikipedia

การบรรยาย: กรวย ฐาน ความสูง พื้นผิวด้านข้าง เจเนอราทริกซ์ พัฒนาการ

กรวย- นี่คือร่างกายซึ่งประกอบด้วยวงกลมซึ่งตั้งอยู่ที่ฐานจากจุดที่เท่ากันจากจุดทั้งหมดบนวงกลมรวมถึงจากเส้นที่เชื่อมต่อจุดนี้ (จุดสุดยอด) กับจุดทั้งหมดที่อยู่ในวงกลม

คำถามสองสามข้อก่อนหน้านี้ เราดูพีระมิด ดังนั้น กรวยจึงเป็นกรณีพิเศษของพีระมิด ที่ฐานเป็นวงกลม คุณสมบัติเกือบทั้งหมดของปิรามิดก็เหมาะสำหรับกรวยเช่นกัน

คุณจะได้กรวยได้อย่างไร? จำคำถามสุดท้ายและวิธีที่เราได้กระบอกสูบ ตอนนี้ใช้สามเหลี่ยมหน้าจั่วแล้วบิดรอบแกน - คุณจะได้กรวย

เครื่องกำเนิดของกรวยคือส่วนที่อยู่ระหว่างจุดของวงกลมกับจุดยอดของกรวย เครื่องกำเนิดไฟฟ้าของกรวยมีค่าเท่ากัน

ในการหาความยาวของ generatrix คุณควรใช้สูตร:

หากเครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมดเชื่อมต่อกัน คุณจะได้พื้นผิวด้านข้างของกรวย พื้นผิวทั่วไปประกอบด้วยพื้นผิวด้านข้างและฐานเป็นรูปวงกลม

มีกรวย ความสูง. เพื่อให้ได้ก็เพียงพอที่จะลดแนวตั้งฉากจากด้านบนลงไปที่กึ่งกลางของฐาน

ในการหาพื้นที่ผิวข้าง ให้ใช้สูตร:

ใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวย

จะได้กรวยที่ถูกตัดออกหากกรวยขนาดเล็กถูกตัดออกจากกรวยโดยระนาบขนานกับฐาน (รูปที่ 8.10) กรวยที่ถูกตัดมีสองฐาน: "ด้านล่าง" - ฐานของกรวยเดิม - และ "ด้านบน" - ฐานของกรวยที่ถูกตัด ตามทฤษฎีบท ส่วนของกรวย ฐานของกรวยที่ถูกตัดจะคล้ายกัน .

ความสูงของกรวยที่ถูกตัดเป็นแนวตั้งฉากที่ลดลงจากจุดหนึ่งของฐานหนึ่งไปยังระนาบของอีกฐานหนึ่ง เส้นตั้งฉากดังกล่าวทั้งหมดมีค่าเท่ากัน (ดูข้อ 3.5) ความสูงเรียกอีกอย่างว่าความยาวนั่นคือ ระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน

กรวยการปฏิวัติที่ถูกตัดทอนนั้นได้มาจากกรวยการปฏิวัติ (รูปที่ 8.11) ดังนั้นฐานและส่วนทั้งหมดขนานกันจึงเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว - บนแกน กรวยของการปฏิวัติที่ถูกตัดทอนทำได้โดยการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูรอบด้านที่ตั้งฉากกับฐาน หรือโดยการหมุน

สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วรอบแกนสมมาตร (รูปที่ 8.12)

พื้นผิวด้านข้างของกรวยปฏิวัติที่ถูกตัดทอน

นี่เป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิวด้านข้างของกรวยแห่งการปฏิวัติซึ่งเป็นของมันซึ่งได้มา พื้นผิวของกรวยปฏิวัติที่ถูกตัดทอน (หรือพื้นผิวทั้งหมด) ประกอบด้วยฐานและพื้นผิวด้านข้าง

8.5 รูปภาพของกรวยแห่งการปฏิวัติและกรวยแห่งการปฏิวัติที่ถูกตัดทอน

กรวยวงกลมตรงถูกวาดเช่นนี้ ขั้นแรกให้วาดวงรีแทนเส้นรอบวงของฐาน (รูปที่ 8.13) จากนั้นพวกเขาพบจุดศูนย์กลางของฐาน - จุด O และวาดส่วน RO ในแนวตั้งซึ่งแสดงถึงความสูงของกรวย จากจุด P เส้นตรงสัมผัส (อ้างอิง) จะถูกลากไปยังวงรี (จริง ๆ แล้วทำได้โดยใช้ตา ใช้ไม้บรรทัด) และเลือกส่วน RA และ PB ของเส้นเหล่านี้จากจุด P ไปยังจุดสัมผัส A และ B โปรดทราบว่า ส่วน AB ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางของกรวยฐาน และสามเหลี่ยม ARV ไม่ใช่ส่วนแกนของกรวย ส่วนแกนของกรวยเป็นรูปสามเหลี่ยม APC: ส่วน AC ผ่านจุด O เส้นที่มองไม่เห็นวาดด้วยลายเส้น ส่วน OP มักไม่ถูกวาด แต่จะวาดโครงร่างทางจิตใจเท่านั้นเพื่อแสดงให้เห็นส่วนบนของกรวย P เหนือจุดศูนย์กลางของฐานโดยตรง - จุด O

การวาดภาพกรวยของการปฏิวัติที่ถูกตัดทอนจะสะดวกในการวาดกรวยก่อนซึ่งจะได้รับกรวยที่ถูกตัดทอน (รูปที่ 8.14)

8.6. ภาคตัดกรวย เราได้กล่าวไปแล้วว่าระนาบตัดกับพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกหมุนตามวงรี (ข้อ 6.4) นอกจากนี้ ส่วนของพื้นผิวด้านข้างของกรวยปฏิวัติโดยระนาบที่ไม่ตัดกับฐานจะเป็นวงรี (รูปที่ 8.15) ดังนั้นวงรีจึงเรียกว่าภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวยยังรวมถึงเส้นโค้งอื่นๆ ที่รู้จักกันดี เช่น ไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา พิจารณากรวยที่ไม่มีขอบเขตซึ่งได้จากการขยายพื้นผิวด้านข้างของกรวยการปฏิวัติ (รูปที่ 8.16) ให้เราตัดมันด้วยระนาบที่ไม่ผ่านจุดยอด ถ้า a ตัดกันกำเนิดทั้งหมดของกรวย จากนั้นในส่วนดังกล่าวแล้ว เราจะได้วงรี (รูปที่ 8.15)

โดยการหมุนระนาบ OS เพื่อให้แน่ใจว่าตัดกับตัวกำเนิดทั้งหมดของกรวย K ยกเว้นอันเดียว (ซึ่ง OS ขนานกัน) จากนั้นในส่วนที่เราได้รับพาราโบลา (รูปที่ 8.17) ในที่สุดเมื่อหมุนระนาบระบบปฏิบัติการต่อไปเราจะถ่ายโอนไปยังตำแหน่งที่ a ซึ่งข้ามส่วนหนึ่งของเครื่องกำเนิดของกรวย K ไม่ตัดกันเครื่องกำเนิดอื่นจำนวนไม่สิ้นสุดและขนานกับสองเครื่อง (รูปที่ 8.18) . จากนั้นในส่วนของกรวย K กับระนาบ เราได้เส้นโค้งที่เรียกว่าไฮเปอร์โบลา ดังนั้น ไฮเปอร์โบลาซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันจึงเป็นกรณีพิเศษของไฮเปอร์โบลา นั่นคือไฮเปอร์โบลาหน้าจั่ว เช่นเดียวกับวงกลมที่เป็นกรณีพิเศษของวงรี

ไฮเพอร์โบลาใดๆ สามารถหาได้จากหน้าจั่วโดยการฉายภาพ เช่นเดียวกับวงรีที่ได้มาจากการฉายภาพวงกลมแบบขนาน

ในการรับไฮเปอร์โบลาทั้งสองกิ่ง เราต้องใช้ส่วนของกรวยที่มี "โพรง" สองอัน นั่นคือ กรวยไม่ได้เกิดจากรังสี แต่เป็นเส้นตรงที่มี generatrixes ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยการปฏิวัติ (รูปที่ .8.19).

นักเรขาคณิตกรีกโบราณศึกษาภาคตัดกรวย และทฤษฎีของมันก็เป็นหนึ่งในจุดสุดยอดของเรขาคณิตโบราณ การศึกษาภาคตัดกรวยที่สมบูรณ์ที่สุดในสมัยโบราณดำเนินการโดย Apollonius of Perga (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช)

มีคุณสมบัติที่สำคัญหลายอย่างที่รวมวงรี ไฮเพอร์โบลา และพาราโบลาเข้าไว้ด้วยกันในคลาสเดียว ตัวอย่างเช่น พวกเขาระบาย "ไม่เสื่อมสภาพ" เช่น ไม่สามารถลดลงเป็นจุด เส้นตรงหรือคู่ของเส้นตรง เส้นโค้งที่กำหนดบนระนาบในพิกัดคาร์ทีเซียนโดยสมการของแบบฟอร์ม

ภาคตัดกรวยมีบทบาทสำคัญในธรรมชาติ: ร่างกายเคลื่อนที่ไปตามวงโคจรวงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลิกในสนามโน้มถ่วง (จำกฎของเคปเลอร์) คุณสมบัติที่โดดเด่นของภาคตัดกรวยมักถูกนำมาใช้ในด้านวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี เช่น ในการผลิตอุปกรณ์เกี่ยวกับสายตาหรือไฟฉาย (พื้นผิวของกระจกในไฟฉายหาได้จากการหมุนส่วนโค้งของพาราโบลารอบแกนของพาราโบลา ). สามารถสังเกตเห็นส่วนทรงกรวยเป็นขอบเขตของเงาจากโป๊ะโคมทรงกลม (รูปที่ 8.20)