วิธีการของตัวคูณ Lagrangeเป็นวิธีคลาสสิกในการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ (โดยเฉพาะ นูน) น่าเสียดายที่ในการใช้งานจริงของวิธีการนี้อาจเกิดปัญหาในการคำนวณอย่างมีนัยสำคัญทำให้พื้นที่การใช้งานแคบลง เราพิจารณาที่นี่ว่าวิธีลากรองจ์เป็นส่วนใหญ่เพราะเป็นเครื่องมือที่ใช้อย่างแข็งขันเพื่อพิสูจน์วิธีการเชิงตัวเลขสมัยใหม่ต่างๆ ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ สำหรับฟังก์ชันลากรองจ์และตัวคูณลากรองจ์ พวกมันมีบทบาทที่เป็นอิสระและมีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีและการประยุกต์ ไม่เพียงแต่การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์เท่านั้น

พิจารณาปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพแบบดั้งเดิม

สูงสุด (นาที) z=f(x) (7.20)

ปัญหานี้แตกต่างจากปัญหา (7.18), (7.19) เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าท่ามกลางข้อจำกัด (7.21) ไม่มีอสมการ ไม่มีเงื่อนไขสำหรับการไม่ปฏิเสธของตัวแปร ความไม่ต่อเนื่อง และฟังก์ชัน f(x ) มีทั้งแบบต่อเนื่องและมีอนุพันธ์บางส่วนเป็นลำดับที่สองเป็นอย่างน้อย

แนวทางดั้งเดิมในการแก้ปัญหา (7.20), (7.21) ให้ระบบสมการ ( เงื่อนไขที่จำเป็น) ซึ่งต้องเป็นไปตามจุด x* ที่ให้ฟังก์ชัน f(x) กับจุดสุดโต่งบนเซตของจุดที่เป็นไปตามข้อจำกัด (7.21) (สำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบนูน จุด x* ที่พบตาม ทฤษฎีบท 7.6 จะเป็นจุดสุดขั้วของโลกด้วย)

สมมติว่า ณ จุด x* ฟังก์ชัน (7.20) มีเงื่อนไขแบบโลคอลสุดโต่งและอันดับของเมทริกซ์คือ จากนั้นสามารถเขียนเงื่อนไขที่จำเป็นได้ดังนี้

(7.22)

คือฟังก์ชันลากรองจ์ เป็นตัวคูณของลากรองจ์

นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขเพียงพอที่คำตอบของระบบสมการ (7.22) จะกำหนดจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) คำถามนี้ได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของการศึกษาเครื่องหมายของส่วนต่างที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์ อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขที่เพียงพอนั้นเป็นผลประโยชน์ทางทฤษฎีเป็นส่วนใหญ่

สามารถระบุขั้นตอนต่อไปนี้สำหรับการแก้ปัญหา (7.20), (7.21) โดยวิธีตัวคูณ Lagrange:

1) เขียนฟังก์ชัน Lagrange (7.23);

2) ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันลากรองจ์ที่เกี่ยวกับตัวแปรทั้งหมด และเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจะได้ระบบ (7.22) ที่ประกอบด้วยสมการ แก้ปัญหาระบบผลลัพธ์ (ถ้าเป็นไปได้!) และด้วยวิธีนี้ค้นหาจุดคงที่ทั้งหมดของฟังก์ชัน Lagrange

3) จากจุดที่อยู่นิ่งซึ่งถ่ายโดยไม่มีพิกัด ให้เลือกจุดที่ฟังก์ชัน f(x) มีเงื่อนไขในพื้นที่สุดโต่งโดยมีข้อจำกัด (7.21) ตัวอย่างเช่น ตัวเลือกนี้ทำขึ้นโดยใช้เงื่อนไขที่เพียงพอ สุดขีดในท้องถิ่น. บ่อยครั้งที่การศึกษาง่ายขึ้นหากใช้เงื่อนไขเฉพาะของปัญหา

ตัวอย่าง 7.3. ค้นหาการกระจายที่เหมาะสมที่สุดของทรัพยากรที่จำกัดในหน่วย ระหว่างผู้บริโภค n ราย หากกำไรที่ได้รับเมื่อจัดสรร x j หน่วยของทรัพยากรให้กับผู้บริโภคที่ j คำนวณโดยสูตร .

การตัดสินใจ.แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหามีรูปแบบดังนี้

เราเขียนฟังก์ชัน Lagrange:

.

เราพบว่า อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน Lagrange และเทียบเป็นศูนย์:

การแก้ระบบสมการนี้ เราได้รับ:

ดังนั้นหากผู้บริโภค j-th ได้รับการจัดสรรหน่วย ทรัพยากร จากนั้นกำไรทั้งหมดจะถึงมูลค่าสูงสุดและจำนวนที่ถ้ำ หน่วย

เราได้พิจารณาวิธี Lagrange ที่ใช้กับปัญหาการปรับให้เหมาะสมแบบดั้งเดิม เป็นไปได้ที่จะสรุปวิธีการนี้ในกรณีที่ตัวแปรไม่เป็นค่าลบและข้อจำกัดบางอย่างถูกกำหนดให้อยู่ในรูปของความไม่เท่าเทียมกัน อย่างไรก็ตาม การวางนัยทั่วไปนี้เป็นทฤษฎีส่วนใหญ่และไม่ได้นำไปสู่อัลกอริทึมการคำนวณเฉพาะ

ในที่สุดเราก็ให้ตัวคูณ Lagrange การตีความทางเศรษฐกิจ. ในการทำเช่นนี้ เราหันไปใช้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมแบบคลาสสิกที่ง่ายที่สุด

สูงสุด (นาที) ซี=ฉ(x 1 , เอ็กซ์ 2); (7.24)

𝜑(x 1, x 2)=ข. (7.25)

สมมติว่าถึงจุดสิ้นสุดของเงื่อนไขแล้ว ค่าสุดโต่งที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน ฉ(x)

สมมติว่าในข้อจำกัด (7.25) ปริมาณ ขสามารถเปลี่ยนแปลงได้ จากนั้นจึงเปลี่ยนพิกัดของจุดสุดขั้ว และด้วยเหตุนี้ค่าสุดขั้ว ฉ*ฟังก์ชั่น ฉ(x) จะกลายเป็นปริมาณขึ้นอยู่กับ ข, เช่น. ,และดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (7.24)

Joseph Louis Lagrange เกิดที่เมืองตูริน (อิตาลี) ในครอบครัวชาวอิตาลี-ฝรั่งเศส เขาศึกษาและสอนที่โรงเรียนทหารปืนใหญ่ ในปี 1759 ตามคำแนะนำของออยเลอร์ ลากรองจ์วัย 23 ปีได้รับเลือกให้เป็นสมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งเบอร์ลิน ในปี พ.ศ. 2309 เขาได้กลายเป็นประธานาธิบดีแล้ว Frederick II เชิญ Lagrange ไปเบอร์ลิน หลังจากการเสียชีวิตของ Frederick II ในปี 1786 Lagrange ก็ย้ายไปปารีส ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2265 เขาเป็นสมาชิกของ Paris Academy of Sciences และในปี พ.ศ. 2338 เขาได้รับแต่งตั้งให้เป็นสมาชิกของสำนักลองจิจูดและมีส่วนร่วมในการสร้างระบบการวัดเมตริก วงกลม การวิจัยทางวิทยาศาสตร์ Lagrange กว้างผิดปกติ พวกเขาทุ่มเทให้กับกลศาสตร์ เรขาคณิต การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ พีชคณิต ทฤษฎีจำนวน เช่นเดียวกับดาราศาสตร์เชิงทฤษฎี ทิศทางหลักของการวิจัยของ Lagrange คือการนำเสนอปรากฏการณ์ทางกลศาสตร์ที่หลากหลายที่สุดจากมุมมองเดียว เขาได้รับสมการที่อธิบายพฤติกรรมของระบบใดๆ ภายใต้การกระทำของกองกำลัง ในด้านดาราศาสตร์ Lagrange ได้แก้ปัญหาความเสถียรอย่างมาก ระบบสุริยะ; พิสูจน์กรณีพิเศษบางประการเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ที่เสถียร โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับวัตถุขนาดเล็กที่อยู่ในจุดสอบเทียบรูปสามเหลี่ยม

วิธีลากรองจ์เป็นวิธีการแก้ปัญหา การเพิ่มประสิทธิภาพตามเงื่อนไขโดยที่ข้อจำกัดซึ่งเขียนเป็นฟังก์ชันโดยปริยายจะรวมกับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในรูปของสมการใหม่ที่เรียกว่า ลากรองจ์.

พิจารณากรณีพิเศษของปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นทั่วไป:

ระบบสมการไม่เชิงเส้น (1) ได้รับ:

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

ค้นหาค่าที่น้อยที่สุด (หรือมากที่สุด) ของฟังก์ชัน (2)

(2) ฉ (x1,x2,…,xn),

หากไม่มีเงื่อนไขสำหรับการไม่เป็นค่าลบของตัวแปร และ f(x1,x2,…,xn) และ gi(x1,x2,…,xn) เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องร่วมกับอนุพันธ์บางส่วน

ในการหาวิธีแก้ไขปัญหานี้ คุณสามารถใช้วิธีต่อไปนี้: 1. ป้อนชุดของตัวแปร λ1, λ2,…, λm ซึ่งเรียกว่าตัวคูณลากรองจ์ ประกอบเป็นฟังก์ชันลากรองจ์ (3)

(3) F(х1,х2,…,хn , λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi .

2. ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน Lagrange เทียบกับตัวแปร xi และ λi แล้วเทียบค่าให้เป็นศูนย์

3. การแก้ระบบสมการหาจุดที่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาสามารถมีสุดขั้วได้

4. ในจุดที่สงสัยว่าไม่ใช่จุดสูงสุด พวกเขาพบจุดที่ถึงจุดสูงสุดและคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ .

4. เปรียบเทียบค่าที่ได้รับของฟังก์ชัน f และเลือกค่าที่ดีที่สุด

ตามแผนการผลิต องค์กรจำเป็นต้องผลิตสินค้า 180 รายการ ผลิตภัณฑ์เหล่านี้สามารถผลิตได้สองวิธีทางเทคโนโลยี ในการผลิตผลิตภัณฑ์ x1 โดยวิธีที่ I ค่าใช้จ่ายคือ 4 * x1 + x1 ^ 2 รูเบิล และในการผลิตผลิตภัณฑ์ x2 โดยวิธีที่ II จะมีราคา 8 * x2 + x2 ^ 2 รูเบิล กำหนดจำนวนผลิตภัณฑ์ในแต่ละวิธีเพื่อให้ต้นทุนการผลิตทั้งหมดน้อยที่สุด

วิธีแก้ไข: การกำหนดปัญหาทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยการกำหนด ค่าที่น้อยที่สุดฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2 ให้ x1 +x2 = 180

มาเขียนฟังก์ชัน Lagrange กัน:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2)

เราคำนวณอนุพันธ์บางส่วนของมันด้วยความเคารพ x1, x2, λ และเท่ากับ 0:

เราย้ายสมการสองสมการแรก λ ไปทางขวามือและจัดสมการทางซ้ายมือ เราจะได้ 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 หรือ x1 − x2 = 2

แก้สมการสุดท้ายด้วยสมการ x1 + x2 = 180 เราพบ x1 = 91, x2 = 89 นั่นคือเราได้คำตอบที่ตรงตามเงื่อนไข:

มาหาค่ากัน ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ f ด้วยค่าตัวแปรเหล่านี้:

F(x1, x2) = 17278

จุดนี้น่าสงสัยสุดขั้ว การใช้อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง เราสามารถแสดงได้ว่า ณ จุด (91.89) ฟังก์ชัน f มีค่าต่ำสุด

วิธีคูณลากรองจ์(ในวรรณคดีอังกฤษ วิธีของ "LaGrange" ของตัวคูณที่ไม่ได้ระบุ") ˗ เป็นวิธีเชิงตัวเลขสำหรับแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่ช่วยให้คุณระบุค่าสูงสุด "แบบมีเงื่อนไข" ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด)

เมื่อมีข้อ จำกัด ที่กำหนดเกี่ยวกับตัวแปรในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน (เช่นมีการกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้)

˗ นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน (พารามิเตอร์ควบคุม) บนพื้นที่จริงซึ่งค่าของฟังก์ชันมีแนวโน้มสูงสุด การใช้ชื่อ "conditional" extremum เกิดจากการกำหนดตัวแปร เงื่อนไขเพิ่มเติมซึ่งจำกัดช่วงของค่าที่อนุญาตเมื่อค้นหาฟังก์ชันสุดขั้ว

วิธีการคูณ Lagrange อนุญาตให้ค้นหาปัญหา สุดขั้วตามเงื่อนไขฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ในการตั้งค่าที่ยอมรับได้เพื่อแปลงเป็นปัญหาของการเพิ่มประสิทธิภาพที่ไม่มีข้อ จำกัด ของฟังก์ชั่น

ถ้าฟังก์ชั่น และ มีความต่อเนื่องร่วมกับอนุพันธ์ย่อย จากนั้นมีตัวแปร λ ที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ดังนั้น ตามวิธีการของตัวคูณลากรองจ์เพื่อค้นหาค่าสุดขั้วของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในชุดค่าที่ยอมรับได้ ฉันจึงเขียนฟังก์ชันลากรองจ์ L(x, λ) ซึ่งได้รับการปรับให้เหมาะสมเพิ่มเติม:

โดยที่ λ ˗ เป็นเวกเตอร์ของตัวแปรเพิ่มเติมที่เรียกว่าตัวคูณ Lagrange ไม่จำกัด

ดังนั้น ปัญหาในการหาค่าสุดขั้วตามเงื่อนไขของฟังก์ชัน f(x) จึงลดลงเป็นปัญหาในการหาค่าสุดขั้วแบบไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชัน L(x, λ)

และ

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดขั้วของฟังก์ชันลากรองจ์กำหนดโดยระบบสมการ (ระบบประกอบด้วยสมการ "n + m"):

คำตอบของระบบสมการนี้ทำให้สามารถกำหนดอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน (X) ซึ่งค่าของฟังก์ชัน L(x, λ) เช่นเดียวกับค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ f(x) สอดคล้องกับ สุดขีด

ค่าของตัวคูณลากรองจ์ (λ) นั้นมีประโยชน์ในทางปฏิบัติหากข้อจำกัดถูกแสดงในรูปแบบที่มีเทอมอิสระของสมการ (ค่าคงที่) ในกรณีนี้ เราสามารถพิจารณาเพิ่มเติม (เพิ่ม/ลด) ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ได้โดยการเปลี่ยนค่าของค่าคงที่ในระบบสมการ ดังนั้นตัวคูณ Lagrange แสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันวัตถุประสงค์สูงสุดโดยมีการเปลี่ยนแปลงค่าคงที่จำกัด

มีหลายวิธีในการกำหนดลักษณะของค่าสูงสุดของฟังก์ชันที่เป็นผลลัพธ์:

วิธีแรก: ให้ - พิกัดของจุดสูงสุดและ - ค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ จุดที่อยู่ใกล้กับจุดจะถูกนำมาใช้ และค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะถูกคำนวณ:

ถ้า แล้วมีจุดสูงสุด

ถ้า แล้วมีจุดต่ำสุด

วิธีที่สอง: เงื่อนไขที่เพียงพอซึ่งเราสามารถกำหนดลักษณะของค่าสูงสุดได้คือสัญญาณของส่วนต่างที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์ ดิฟเฟอเรนเชียลที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์ถูกกำหนดดังนี้:

หากถึงจุดที่กำหนด ขั้นต่ำ, ถ้า แล้วฟังก์ชันวัตถุประสงค์ f(x) มีเงื่อนไข ขีดสุด.

วิธีที่สาม: นอกจากนี้ยังสามารถพบธรรมชาติของฟังก์ชันสุดขั้วได้โดยพิจารณาจากฟังก์ชัน Hessian of the Lagrange เมทริกซ์ Hessian เป็นเมทริกซ์กำลังสองสมมาตรของอนุพันธ์ย่อยอันดับสองของฟังก์ชัน ณ จุดที่องค์ประกอบเมทริกซ์สมมาตรรอบเส้นทแยงมุมหลัก

ในการกำหนดประเภทของ extremum (สูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน) คุณสามารถใช้กฎ Sylvester:

1. เพื่อให้ส่วนต่างที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์เป็นเครื่องหมายบวก จำเป็นที่มุมรองของฟังก์ชันจะต้องเป็นค่าบวก ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุด ณ จุดนี้

2. เพื่อให้ส่วนต่างที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์เป็นเครื่องหมายลบ จำเป็นที่ผู้เยาว์เชิงมุมของฟังก์ชันจะสลับกัน และองค์ประกอบแรกของเมทริกซ์ต้องเป็นค่าลบ sv ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุด ณ จุดนี้

มุมรองเป็นมุมรองที่อยู่ใน k แถวแรกและ k คอลัมน์ของเมทริกซ์ดั้งเดิม

ความสำคัญเชิงปฏิบัติหลักของวิธี Lagrange คือช่วยให้คุณเปลี่ยนจากการเพิ่มประสิทธิภาพแบบมีเงื่อนไขเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขและขยายคลังแสง วิธีการที่มีอยู่การแก้ปัญหา. อย่างไรก็ตามปัญหาของการแก้ระบบสมการซึ่งวิธีนี้ลดลงใน กรณีทั่วไปไม่ง่ายไปกว่าปัญหาดั้งเดิมในการค้นหาจุดสูงสุด วิธีการดังกล่าวเรียกว่าทางอ้อม อธิบายการใช้งานของพวกเขาโดยความต้องการที่จะได้รับการแก้ปัญหาสุดโต่งในรูปแบบการวิเคราะห์ (ตัวอย่างเช่นสำหรับการคำนวณทางทฤษฎีบางอย่าง) เมื่อแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติที่เฉพาะเจาะจง มักจะใช้วิธีโดยตรงตามกระบวนการวนซ้ำของการคำนวณและเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ปรับให้เหมาะสม

วิธีการคำนวณ

1 ขั้นตอน: เรากำหนดฟังก์ชัน Lagrange จากฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่กำหนดและระบบของข้อจำกัด:

ซึ่งไปข้างหน้า

หากต้องการเพิ่มความคิดเห็นของคุณในบทความ โปรดลงทะเบียนบนเว็บไซต์

อัน(t)z(n)(t) + อัน − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = ฉ(เสื้อ)

ประกอบด้วยการแทนที่ค่าคงที่โดยพลการ ck ในโซลูชันทั่วไป

z(เสื้อ) = c1z1(เสื้อ) + c2z2(เสื้อ) + ...

ซีเอ็นเอ็น(t)

ที่สอดคล้องกัน สมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน

อัน(t)z(n)(t) + อัน − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

กับฟังก์ชันเสริม ck(t) ซึ่งอนุพันธ์เป็นไปตามระบบพีชคณิตเชิงเส้น

ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ (1) คือ Wronskian ของฟังก์ชัน z1,z2,...,zn ซึ่งทำให้แน่ใจได้ว่าสามารถแก้ไขได้เฉพาะในส่วนที่เกี่ยวกับ

หากเป็น antiderivatives สำหรับค่าคงที่ของค่าคงที่ของการรวมแล้วฟังก์ชัน

เป็นคำตอบของสมการอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธ์ดั้งเดิม การบูรณาการ สมการเอกพันธ์ในที่ที่มีคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน จึงลดลงเป็นกำลังสอง

วิธีลากรองจ์ (วิธีการแปรผันของค่าคงที่โดยพลการ)

วิธีการหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของสมการเอกพันธ์ โดยรู้คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์โดยไม่ต้องหาคำตอบเฉพาะ

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

โดยที่ y = y(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) เป็นที่รู้จัก, ต่อเนื่อง, จริง: 1) มี n เชิงเส้น การตัดสินใจที่เป็นอิสระสมการ y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) สำหรับค่าคงที่ใด ๆ c1, c2, ..., cn, ฟังก์ชัน y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) คือ a คำตอบของสมการ 3) สำหรับค่าเริ่มต้นใด ๆ x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 มีค่า c*1, c*n, ..., c*n เช่นนั้นวิธีแก้ปัญหา y*(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) เป็นไปตาม x = x0 เงื่อนไขเริ่มต้น y*(x0)=y0, ( y*)"(x0) =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1

นิพจน์ y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) เรียกว่า วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n

ชุดของคำตอบอิสระเชิงเส้น n ของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n y1(x), y2(x), ..., yn(x) เรียกว่าระบบพื้นฐานของการแก้สมการ

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเอกพันธ์เชิงเส้นด้วย ค่าสัมประสิทธิ์คงที่มีอัลกอริทึมอย่างง่ายสำหรับการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา เราจะหาคำตอบของสมการในรูปแบบ y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0 เช่น หมายเลข l คือราก สมการคุณลักษณะ ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0 ทางด้านซ้ายของสมการคุณลักษณะเรียกว่าพหุนามคุณลักษณะของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + อัน ดังนั้นปัญหาในการแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n ด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่จึงลดลงเป็นการแก้สมการพีชคณิต

ถ้าสมการคุณลักษณะมีรากที่แท้จริงต่างกัน n ตัว l1№ l2 № ... № ln ระบบพื้นฐานของคำตอบจะประกอบด้วยฟังก์ชัน y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx) และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์คือ: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx)

ระบบพื้นฐานของคำตอบและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของรากที่แท้จริงอย่างง่าย

หากรากที่แท้จริงของสมการคุณลักษณะซ้ำกัน r ครั้ง (ราก r-fold) ดังนั้นฟังก์ชัน r จะสอดคล้องกับสมการนั้นในระบบพื้นฐานของคำตอบ ถ้า lk=lk+1 = ... = lk+r-1 แล้วเข้า ระบบพื้นฐานการแก้สมการ มีฟังก์ชัน r: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+ r-1( x)=xr-1exp(lnx).

ตัวอย่าง 2. ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและการแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของจำนวนจริงหลายราก

ถ้าสมการคุณลักษณะมีรากที่ซับซ้อน ดังนั้นแต่ละคู่ของรากเชิงซ้อนอย่างง่าย (ของการคูณ 1) lk,k+1=ak ± ibk ในระบบพื้นฐานของคำตอบจะสอดคล้องกับคู่ของฟังก์ชัน yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

ตัวอย่าง 4. ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและการแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของรากที่ซับซ้อนอย่างง่าย รากในจินตนาการ

หากคู่ของรากที่ซับซ้อนมีจำนวนหลายหลาก r ดังนั้นคู่ดังกล่าว lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk ในระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะสอดคล้องกับฟังก์ชัน exp(akx)cos( bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx) cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

ตัวอย่าง 5. ระบบพื้นฐานของโซลูชันและโซลูชันทั่วไปสำหรับกรณีของรากที่ซับซ้อนหลายตัว

ดังนั้น ในการหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ เราควรเขียนสมการคุณลักษณะลงไป ค้นหารากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะ l1, l2, ... , ln; เขียนระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา y1(x), y2(x), ..., yn(x); เขียนนิพจน์สำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไป y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ในการแก้ปัญหา Cauchy เราจำเป็นต้องแทนที่นิพจน์สำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไปในเงื่อนไขเริ่มต้นและกำหนดค่าของค่าคงที่ c1,..., cn ซึ่งเป็นคำตอบของระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิต c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของอันดับ n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

โดยที่ y = y(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) เป็นที่รู้จัก, ต่อเนื่อง, ถูกต้อง: 1 ) ถ้า y1(x) และ y2(x) เป็นสองคำตอบของสมการเอกพันธ์ ดังนั้นฟังก์ชัน y(x) = y1(x) - y2(x) คือคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน 2) ถ้า y1(x) เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ และ y2(x) เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน ดังนั้นฟังก์ชัน y(x) = y1(x) + y2(x) จะเป็นคำตอบของ สมการที่ไม่เอกพันธ์ 3) ถ้า y1(x), y2(x), ..., yn(x) เป็นคำตอบอิสระเชิงเส้น n ของสมการเอกพันธ์ และ ych(x) - การตัดสินใจโดยพลการสมการไม่เป็นเนื้อเดียวกันจากนั้นสำหรับค่าเริ่มต้นใด ๆ x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 มีค่า c*1, c*n, ..., c*n เช่นนั้น วิธีแก้ปัญหา y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) เป็นไปตาม x = x0 เงื่อนไขเริ่มต้น y*( x0)=y0, ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

นิพจน์ y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) เรียกว่าคำตอบทั่วไปของสมการอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของอันดับ n

เพื่อหาทางออกเฉพาะของ inhomogeneous สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่ทางขวามือของรูปแบบ: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx) โดยที่ Pk(x), Qm(x) เป็นพหุนาม ของระดับ k และ m ตามนั้น มีอัลกอริทึมอย่างง่ายสำหรับการสร้างวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งเรียกว่าวิธีการเลือก

วิธีการเลือกหรือวิธีหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนมีดังนี้ คำตอบของสมการที่ต้องการเขียนเป็น: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs โดยที่ Pr(x), Qr(x) คือ พหุนามของดีกรี r = สูงสุด(k, m) พร้อมค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0 ปัจจัย xs เรียกว่าปัจจัยเรโซแนนซ์ การสั่นพ้องเกิดขึ้นในกรณีที่รากของสมการคุณลักษณะมีราก l = a ± ib ของหลายหลาก s เหล่านั้น. ถ้าในรากของสมการคุณลักษณะของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันมีส่วนจริงที่ตรงกับค่าสัมประสิทธิ์ในเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลังและส่วนจินตภาพตรงกับค่าสัมประสิทธิ์ในการโต้แย้งของฟังก์ชันตรีโกณมิติทางด้านขวา ของสมการและผลคูณของรูต s นี้ จากนั้นในคำตอบเฉพาะที่ต้องการจะมีตัวประกอบเรโซแนนซ์ xs หากไม่มีความบังเอิญ (s=0) แสดงว่าไม่มีปัจจัยพ้อง

แทนที่นิพจน์สำหรับคำตอบเฉพาะทางด้านซ้ายของสมการ เราจะได้พหุนามทั่วไปในรูปแบบเดียวกับพหุนามทางด้านขวาของสมการ ซึ่งไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์

พหุนามทั่วไปสองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของตัวประกอบในรูปแบบ xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) ที่มีกำลังเท่ากันของ t เท่ากัน การเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของปัจจัยดังกล่าว เราได้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น 2(r+1) ในค่าที่ไม่รู้จัก 2(r+1) แสดงให้เห็นว่าระบบดังกล่าวมีความสอดคล้องกันและมีโซลูชันเฉพาะ

• กวดวิชา

วันดีทุกคน ในบทความนี้ฉันต้องการแสดงหนึ่งใน วิธีการกราฟิกอาคาร แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบไดนามิกซึ่งเรียกว่า กราฟพันธบัตร("พันธบัตร" - การเชื่อมต่อ "กราฟ" - กราฟ) ในวรรณคดีรัสเซียฉันพบคำอธิบายของวิธีนี้เฉพาะในตำราเรียนของ Tomsk Polytechnic University, A.V. Voronin "แบบจำลองของระบบเมคคาทรอนิกส์" 2551 แสดงวิธีการแบบคลาสสิกผ่านสมการลากรองจ์ประเภทที่ 2

วิธีลากรองจ์

ฉันจะไม่วาดทฤษฎี ฉันจะแสดงขั้นตอนการคำนวณและแสดงความคิดเห็นเล็กน้อย โดยส่วนตัวแล้วฉันคิดว่าการเรียนรู้จากตัวอย่างง่ายกว่าการอ่านทฤษฎี 10 เท่า สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าในวรรณคดีรัสเซียคำอธิบายของวิธีนี้และคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์นั้นเต็มไปด้วยสูตรที่ซับซ้อนซึ่งจำเป็นต้องมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง ในขณะที่ศึกษาวิธี Lagrange (เรียนที่ Turin Polytechnic University ประเทศอิตาลี) ฉันได้ศึกษาวรรณคดีรัสเซียเพื่อเปรียบเทียบวิธีการคำนวณ และเป็นเรื่องยากสำหรับฉันที่จะติดตามความคืบหน้าของการแก้ปัญหาด้วยวิธีนี้ แม้แต่การจำหลักสูตรการสร้างแบบจำลองที่ Kharkov Aviation Institute การได้มาของวิธีการดังกล่าวก็ยุ่งยากมากและไม่มีใครสนใจที่จะทำความเข้าใจปัญหานี้ นี่คือสิ่งที่ฉันตัดสินใจเขียน คู่มือสำหรับการสร้างแบบจำลองเสื่อตาม Lagrange เมื่อปรากฎว่ามันไม่ยากเลย เพียงพอที่จะรู้วิธีคำนวณอนุพันธ์ของเวลาและอนุพันธ์บางส่วน สำหรับโมเดลที่ซับซ้อนมากขึ้น จะมีการเพิ่มเมทริกซ์การหมุน แต่ก็ไม่มีอะไรซับซ้อนเช่นกัน

คุณสมบัติของวิธีการสร้างแบบจำลอง:

• นิวตัน ออยเลอร์: สมการเวกเตอร์ตามสมดุลไดนามิก กองกำลัง (แรง)และ ช่วงเวลา
• ลากรองจ์: สมการสเกลาร์ตามฟังก์ชันสถานะที่เกี่ยวข้องกับจลนศาสตร์และศักยภาพ พลังงาน
• กราฟพันธบัตร: วิธีการไหลตาม อำนาจ (อำนาจ)ระหว่างองค์ประกอบของระบบ

เริ่มจากตัวอย่างง่ายๆ น้ำหนักพร้อมสปริงและแดมเปอร์ เราละเลยแรงโน้มถ่วง

รูปที่ 1. น้ำหนักพร้อมสปริงและแดมเปอร์

ก่อนอื่น เรากำหนด:

• ระบบพิกัดเริ่มต้น(NSK) หรือฟิกซ์เจอร์สก R0(i0,j0,k0). ที่ไหน? คุณสามารถแหย่นิ้วของคุณขึ้นไปบนท้องฟ้าได้ แต่ด้วยการกระตุกปลายเซลล์ประสาทในสมอง ความคิดในการวาง NSC บนแนวการเคลื่อนไหวของร่างกาย M1 ก็ผ่านไป
• ระบบประสานงานสำหรับแต่ละร่างกายด้วยมวล(เรามี M1 R1(i1,j1,k1)) การวางแนวอาจเป็นไปตามอำเภอใจ แต่ทำไมชีวิตของคุณถึงซับซ้อน เรากำหนดความแตกต่างขั้นต่ำจาก NSC
• พิกัดทั่วไป q_i(จำนวนตัวแปรขั้นต่ำที่สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ได้) ในตัวอย่างนี้ พิกัดทั่วไปหนึ่งพิกัด การเคลื่อนที่ตามแนวแกน j เท่านั้น

รูปที่ 2. วางระบบพิกัดและพิกัดทั่วไป

รูปที่ 3. ตำแหน่งและความเร็วของร่างกาย M1

หลังจากที่เราพบพลังงานจลน์ (C) และศักยภาพ (P) และฟังก์ชันการกระจายตัว (D) สำหรับแดมเปอร์ตามสูตร:

รูปที่ 4. เต็มสูตรพลังงานจลน์

ในตัวอย่างของเรา ไม่มีการหมุน องค์ประกอบที่สองคือ 0

รูปที่ 5. การคำนวณจลนศาสตร์ พลังงานศักย์ และฟังก์ชันการกระจายตัว

สมการลากรองจ์มีรูปแบบดังนี้

รูปที่ 6. สมการลากรองจ์และลากรองจ์

เดลต้า W_iมันเป็นงานเสมือนที่ทำโดยใช้แรงและช่วงเวลา มาหากันเถอะ:

รูปที่ 7. การคำนวณงานเสมือน

ที่ไหน เดลต้า q_1การเคลื่อนไหวเสมือนจริง

เราแทนทุกอย่างลงในสมการลากรองจ์:

รูปที่ 8. แบบจำลองมวลที่ได้พร้อมสปริงและแดมเปอร์

นี่คือจุดสิ้นสุดของวิธีลากรองจ์ อย่างที่คุณเห็น มันไม่ใช่เรื่องยาก แต่ก็ยังเป็นตัวอย่างง่ายๆ ซึ่งวิธีของนิวตัน-ออยเลอร์น่าจะง่ายกว่าด้วยซ้ำ สำหรับระบบที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งจะมีวัตถุหลายชิ้นหมุนสัมพันธ์กันในมุมต่างๆ วิธีลากรองจ์จะง่ายกว่า

วิธีกราฟพันธบัตร

ฉันจะแสดงให้คุณเห็นทันทีว่าแบบจำลองมีลักษณะอย่างไรในกราฟพันธบัตรสำหรับตัวอย่างที่มีมวลของสปริงและแดมเปอร์:

รูปที่ 9. มวลกราฟบอนด์พร้อมสปริงและแดมเปอร์

ตรงนี้ต้องขอเล่าทฤษฎีเล็กๆ น้อยๆ ก็พอสร้างได้ โมเดลที่เรียบง่าย. หากผู้ใดสนใจสามารถอ่านหนังสือ ( วิธีการของกราฟพันธบัตร) หรือ ( โวโรนิน A.V. การสร้างแบบจำลองของระบบเมคคาทรอนิกส์: กวดวิชา. - Tomsk: สำนักพิมพ์แห่ง Tomsk Polytechnic University, 2008).

ให้เรานิยามก่อนว่าระบบที่ซับซ้อนประกอบด้วยหลายโดเมน ตัวอย่างเช่น มอเตอร์ไฟฟ้าประกอบด้วยชิ้นส่วนหรือโดเมนไฟฟ้าและเครื่องกล

กราฟพันธบัตรขึ้นอยู่กับการแลกเปลี่ยนพลังงานระหว่างโดเมน ระบบย่อยเหล่านี้ โปรดทราบว่าการแลกเปลี่ยนพลังงานไม่ว่าจะอยู่ในรูปแบบใดก็ตาม ถูกกำหนดโดยตัวแปรสองตัวเสมอ ( พลังแปรผัน) ด้วยความช่วยเหลือซึ่งเราสามารถศึกษาปฏิสัมพันธ์ของระบบย่อยต่าง ๆ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของระบบไดนามิก (ดูตาราง)

ดังที่เห็นได้จากตาราง การแสดงออกของพลังเกือบจะเหมือนกันทุกที่ สรุป, พลัง- งานนี้ " กระแส - ฉ" บน " ความพยายาม - อี».

ความพยายาม(ภาษาอังกฤษ) ความพยายาม) ในโดเมนไฟฟ้าคือแรงดัน (e) ในโดเมนทางกลคือแรง (F) หรือโมเมนต์ (T) ในระบบไฮดรอลิกส์คือแรงดัน (p)

ไหล(ภาษาอังกฤษ) ไหล) ในโดเมนทางไฟฟ้าคือกระแส (i) ในโดเมนทางกลคือความเร็ว (v) หรือความเร็วเชิงมุม (โอเมก้า) ในระบบไฮดรอลิกส์คือการไหลหรือการไหลของของไหล (Q)

เราได้รับการแสดงออกของพลัง:

รูปที่ 10. สูตรกำลังในแง่ของตัวแปรกำลัง

ในภาษากราฟพันธะ การเชื่อมต่อระหว่างสองระบบย่อยที่แลกเปลี่ยนพลังงานจะแสดงด้วยพันธะ พันธบัตร). นั่นคือเหตุผลที่วิธีนี้เรียกว่า กราฟพันธบัตรหรือ ก การเชื่อมต่อ raf กราฟที่เชื่อมต่อ. พิจารณา บล็อกไดอะแกรมพันธบัตรในรุ่นด้วยมอเตอร์ไฟฟ้า (นี่ยังไม่ใช่กราฟพันธบัตร):

รูปที่ 11. บล็อกไดอะแกรมของกระแสไฟระหว่างโดเมน

หากเรามีแหล่งจ่ายแรงดัน มันจะสร้างแรงดันและจ่ายให้กับมอเตอร์เพื่อกรอกลับ (ดังนั้น ลูกศรจึงชี้ไปที่มอเตอร์) ขึ้นอยู่กับความต้านทานของขดลวด กระแสจะปรากฏขึ้นตามกฎของโอห์ม (กำกับจาก มอเตอร์ไปยังแหล่งจ่าย) ดังนั้น ตัวแปรหนึ่งคืออินพุตไปยังระบบย่อย และตัวแปรที่สองจะต้องจำเป็น ทางออกจากระบบย่อย นี่คือแรงดันไฟฟ้า ( ความพยายาม) – อินพุต, ปัจจุบัน ( ไหล) - เอาต์พุต

หากคุณใช้แหล่งข้อมูลปัจจุบัน ไดอะแกรมจะเปลี่ยนไปอย่างไร อย่างถูกต้อง กระแสจะถูกส่งตรงไปยังมอเตอร์และแรงดันไปยังแหล่งจ่าย จากนั้นกระแส ( ไหล) – อินพุต, แรงดันไฟฟ้า ( ความพยายาม) - เอาต์พุต

พิจารณาตัวอย่างในกลศาสตร์ แรงที่กระทำต่อมวล

รูปที่ 12. แรงที่ใช้กับมวล

แผนภาพบล็อกจะเป็นดังนี้:

รูปที่ 13. บล็อกไดอะแกรม

ในตัวอย่างนี้ ความแข็งแกร่ง ( ความพยายาม) เป็นตัวแปรอินพุตสำหรับมวล (แรงที่กระทำต่อมวล)
ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน:

มวลชนตอบสนองด้วยความเร็ว:

ในตัวอย่างนี้ ถ้าตัวแปรหนึ่งตัว ( บังคับ - ความพยายาม) เป็น ทางเข้าเข้าไปในโดเมนเชิงกล จากนั้นตัวแปรกำลังอีกตัว ( ความเร็ว - ไหล) - กลายเป็นโดยอัตโนมัติ ทางออก.

เพื่อแยกแยะว่าอินพุตอยู่ที่ใดและเอาต์พุตอยู่ที่ใดจะใช้เส้นแนวตั้งที่ส่วนท้ายของลูกศร (การเชื่อมต่อ) ระหว่างองค์ประกอบ เส้นนี้เรียกว่า สัญญาณของสาเหตุ หรือ เวรกรรม (เวรกรรม). ปรากฎว่า: แรงที่ใช้เป็นสาเหตุและความเร็วคือผลกระทบ เครื่องหมายนี้มีความสำคัญมากสำหรับการสร้างแบบจำลองระบบที่ถูกต้อง เนื่องจากสาเหตุเป็นผลมาจากพฤติกรรมทางกายภาพและการแลกเปลี่ยนพลังงานของระบบย่อยสองระบบ ดังนั้นการเลือกตำแหน่งของสัญลักษณ์สาเหตุจึงไม่เป็นไปตามอำเภอใจ

รูปที่ 14. สัญกรณ์สาเหตุ

เส้นแนวตั้งนี้แสดงว่าระบบย่อยใดได้รับแรง ( ความพยายาม) และเป็นผลให้สร้างโฟลว์ ( ไหล). ในตัวอย่างมวล จะมีลักษณะดังนี้:

รูปที่ 14. สาเหตุของแรงที่กระทำต่อมวล

ตามลูกศร เป็นที่ชัดเจนว่าอินพุตสำหรับมวล - บังคับและเอาต์พุตคือ ความเร็ว. สิ่งนี้ทำเพื่อไม่ให้โครงร่างและการจัดระบบของการสร้างแบบจำลองยุ่งเหยิงด้วยลูกศร

จุดสำคัญต่อไป โมเมนตัมทั่วไป(ปริมาณการเคลื่อนไหว) และ ย้าย(ตัวแปรพลังงาน).

ตารางตัวแปรกำลังและพลังงานในโดเมนต่างๆ

ตารางด้านบนแสดงปริมาณทางกายภาพเพิ่มเติมสองปริมาณที่ใช้ในวิธีกราฟพันธะ พวกเขาเรียกว่า โมเมนตัมทั่วไป (ร) และ การกระจัดทั่วไป (ถาม) หรือตัวแปรพลังงาน และสามารถรับได้โดยการรวมตัวแปรกำลังในช่วงเวลาหนึ่ง:

รูปที่ 15. ความสัมพันธ์ระหว่างกำลังและตัวแปรพลังงาน

ในโดเมนไฟฟ้า :

ตามกฎของฟาราเดย์ แรงดันไฟฟ้าที่ปลายของตัวนำจะเท่ากับอนุพันธ์ของฟลักซ์แม่เหล็กที่ผ่านตัวนำนี้

และ ความแรงในปัจจุบัน - ปริมาณทางกายภาพเท่ากับอัตราส่วนของจำนวนประจุ Q ที่ผ่านไประยะหนึ่ง t ผ่านส่วนตัดของตัวนำเป็นค่าของช่วงเวลานี้

โดเมนเครื่องกล:

จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน บังคับคืออนุพันธ์ของเวลาของโมเมนตัม

และตามลําดับ ความเร็ว- อนุพันธ์ของเวลาของการกระจัด:

ขอสรุป:

องค์ประกอบพื้นฐาน

องค์ประกอบทั้งหมดในระบบไดนามิกสามารถแบ่งออกเป็นองค์ประกอบสองขั้วและสี่ขั้ว
พิจารณา ส่วนประกอบสองขั้ว:

แหล่งที่มา
แหล่งที่มามีทั้งความพยายามและการไหล การเปรียบเทียบในโดเมนไฟฟ้า: แหล่งที่มาของความพยายาม – แหล่งจ่ายแรงดัน, แหล่งที่มาของการไหล – แหล่งปัจจุบัน. สัญญาณสาเหตุสำหรับแหล่งที่มาควรเป็นเช่นนั้นเท่านั้น

รูปที่ 16. การเชื่อมโยงสาเหตุและการกำหนดแหล่งที่มา

ส่วนประกอบ R - องค์ประกอบกระจายตัว

ส่วนประกอบ I – องค์ประกอบเฉื่อย

ส่วนประกอบ C - องค์ประกอบความจุ

ดังจะเห็นได้จากตัวเลข องค์ประกอบที่แตกต่างกันของสิ่งเดียวกัน พิมพ์ R,C,Iอธิบายด้วยสมการเดียวกัน มีเพียงความแตกต่างของความจุไฟฟ้า คุณเพียงแค่ต้องจำไว้!

ส่วนประกอบ Quadripole:

พิจารณาสององค์ประกอบ หม้อแปลงและไจเรเตอร์

องค์ประกอบสุดท้ายที่สำคัญในวิธีกราฟพันธบัตรคือการเชื่อมต่อ โหนดมีสองประเภท:

นี่คือจุดสิ้นสุดขององค์ประกอบ

ขั้นตอนหลักในการวางความสัมพันธ์เชิงสาเหตุหลังจากสร้างกราฟพันธะ:

1. ใส่ความเป็นเหตุเป็นผลกับทุกสิ่ง แหล่งที่มา
2. ผ่านโหนดทั้งหมดและวางความสัมพันธ์เชิงสาเหตุหลังจากจุดที่ 1
3. สำหรับ ส่วนประกอบ Iกำหนดสาเหตุของการป้อนข้อมูล (ความพยายามรวมอยู่ในองค์ประกอบนี้) สำหรับ ส่วนประกอบ คกำหนดสาเหตุของผลลัพธ์ (ความพยายามมาจากองค์ประกอบนี้)
4. ทำซ้ำจุดที่ 2
5. วาดลิงก์เชิงสาเหตุสำหรับ R ส่วนประกอบ

เป็นการสรุปหลักสูตรขนาดเล็กเกี่ยวกับทฤษฎี ตอนนี้เรามีทุกสิ่งที่จำเป็นในการสร้างโมเดล
ลองแก้ตัวอย่างสองสามข้อ เริ่มต้นด้วย วงจรไฟฟ้าเป็นการดีที่จะเข้าใจการเปรียบเทียบของการสร้างกราฟพันธบัตร

ตัวอย่างที่ 1

มาเริ่มสร้างกราฟพันธะจากแหล่งจ่ายแรงดันกันเถอะ เพียงแค่เขียน Se และใส่ลูกศร

คุณเห็นว่าทุกอย่างง่าย! เราดูต่อไป R และ L เชื่อมต่อเป็นอนุกรมซึ่งหมายความว่ากระแสเดียวกันจะไหลในพวกมันหากเราพูดถึงตัวแปรกำลัง - การไหลเดียวกัน โหนดใดมีกระแสเดียวกัน? คำตอบที่ถูกต้องคือ 1 โหนด เราแนบแหล่งที่มา ความต้านทาน (ส่วนประกอบ - R) และความเหนี่ยวนำ (ส่วนประกอบ - I) เข้ากับ 1 โหนด

ต่อไป เรามีความจุและความต้านทานแบบขนาน ซึ่งหมายความว่ามีแรงดันหรือแรงเท่ากัน 0-node จะพอดีไม่เหมือนใคร เราเชื่อมต่อความจุ (ส่วนประกอบ C) และความต้านทาน (ส่วนประกอบ R) เข้ากับโหนด 0

โหนด 1 และ 0 เชื่อมต่อกันด้วย ทิศทางของลูกศรถูกเลือกโดยพลการ ทิศทางของการเชื่อมต่อมีผลกับเครื่องหมายในสมการเท่านั้น

รับกราฟลิงค์ต่อไปนี้:

ตอนนี้เราต้องวางความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ ทำตามคำแนะนำสำหรับลำดับการติด เรามาเริ่มกันที่แหล่งที่มา

1. เรามีแหล่งที่มาของความเครียด (ความพยายาม) แหล่งที่มาดังกล่าวมีตัวเลือกสาเหตุเพียงตัวเลือกเดียวเท่านั้น - เอาต์พุต เราใส่.
2. จากนั้นมีองค์ประกอบ I เราดูสิ่งที่แนะนำ เราใส่
3. วางลงสำหรับ 1 โหนด มี
4. โหนด 0 ต้องมีหนึ่งอินพุตและลิงก์สาเหตุของเอาต์พุตทั้งหมด เรามีวันหยุดหนึ่งวัน เรากำลังมองหาส่วนประกอบ C หรือ I พบแล้ว เราใส่
5. แสดงสิ่งที่เหลืออยู่

นั่นคือทั้งหมด สร้างกราฟพันธบัตร ไชโยสหาย!

สิ่งเดียวที่ต้องทำคือเขียนสมการที่อธิบายระบบของเรา ในการทำเช่นนี้เราจะสร้างตารางที่มี 3 คอลัมน์ ตัวแรกจะมีส่วนประกอบทั้งหมดของระบบ ตัวที่สองจะมีตัวแปรอินพุตสำหรับแต่ละองค์ประกอบ และตัวที่สามจะมีตัวแปรเอาต์พุตสำหรับส่วนประกอบเดียวกัน เราได้กำหนดทางเข้าออกไว้แล้วตามเหตุปัจจัย จึงไม่น่าจะมีปัญหาอะไร

ให้เรานับการเชื่อมต่อแต่ละรายการเพื่อความสะดวกในการเขียนสมการ เรานำสมการสำหรับแต่ละองค์ประกอบจากรายการส่วนประกอบ C, R, I

เมื่อรวบรวมตารางแล้ว เรากำหนดตัวแปรสถานะ ในตัวอย่างนี้มี 2, p3 และ q5 ถัดไป คุณต้องเขียนสมการของรัฐ:

เพียงเท่านี้โมเดลก็พร้อมแล้ว

ตัวอย่างที่ 2 ฉันแค่ต้องการขอโทษสำหรับคุณภาพของภาพถ่าย สิ่งสำคัญคือคุณสามารถอ่านได้

ลองแก้อีกตัวอย่างหนึ่งสำหรับระบบกลไก ซึ่งเป็นระบบเดียวกับที่เราแก้ไขด้วยวิธีลากรองจ์ ฉันจะแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยไม่มีความคิดเห็น มาดูกันว่าวิธีใดต่อไปนี้ง่ายกว่ากัน

ใน matball โมเดลเสื่อทั้งสองถูกรวบรวมด้วยพารามิเตอร์เดียวกัน ซึ่งได้จากวิธี Lagrange และกราฟพันธะ ผลลัพธ์ด้านล่าง: เพิ่มป้ายกำกับ