โหมดของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือค่าของมัน มัธยฐานและฐานนิยมของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

ในบรรดาลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม ก่อนอื่นจำเป็นต้องสังเกตลักษณะเฉพาะของตัวแปรสุ่มบนแกนตัวเลข เช่น ระบุค่าเฉลี่ยค่าประมาณซึ่งจัดกลุ่มค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม

ค่าเฉลี่ย ตัวแปรสุ่มมีตัวเลขจำนวนหนึ่งซึ่งก็คือ "ตัวแทน" ของมันและแทนที่ด้วยการคำนวณโดยประมาณคร่าวๆ เมื่อเราพูดว่า: "เวลาการทำงานของหลอดไฟโดยเฉลี่ยคือ 100 ชั่วโมง" หรือ "จุดกระทบโดยเฉลี่ยจะเลื่อนไปทางขวา 2 ม. เมื่อเทียบกับเป้าหมาย" เราจะระบุด้วยลักษณะตัวเลขบางอย่างของตัวแปรสุ่มที่อธิบายลักษณะนี้ ตำแหน่งบนแกนตัวเลข เช่น คำอธิบายตำแหน่ง

จากลักษณะของตำแหน่งในทฤษฎีความน่าจะเป็น บทบาทที่สำคัญที่สุดแสดงโดยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ซึ่งบางครั้งเรียกง่ายๆ ว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม

พิจารณาตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีค่าที่เป็นไปได้ด้วยความน่าจะเป็น เราจำเป็นต้องกำหนดลักษณะของตำแหน่งของค่าของตัวแปรสุ่มบนแกน x โดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าค่าเหล่านี้มีความน่าจะเป็นต่างกัน เพื่อจุดประสงค์นี้ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้ค่าที่เรียกว่า "ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก" และแต่ละค่าควรนำมาพิจารณาระหว่างการหาค่าเฉลี่ยด้วย "น้ำหนัก" ตามสัดส่วนของความน่าจะเป็นของค่านี้ ดังนั้น เราจะคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม ซึ่งเราจะแสดงโดย:

หรือกำหนดว่า

. (5.6.1)

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักนี้เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นเราจึงได้แนะนำหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดของทฤษฎีความน่าจะเป็น - แนวคิด ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์.

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือผลรวมของผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้

โปรดทราบว่าในสูตรข้างต้น คำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นถูกต้อง พูดอย่างเคร่งครัด เฉพาะสำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องเท่านั้น ด้านล่าง เราจะสรุปแนวคิดนี้ในกรณีของปริมาณต่อเนื่อง

เพื่อให้แนวคิดของการคาดคะเนทางคณิตศาสตร์มีภาพประกอบมากขึ้น ให้เราหันไปใช้การตีความเชิงกลของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ปล่อยให้จุดที่มี abscissa อยู่บนแกน abscissa ซึ่งมีมวลรวมอยู่ตามลำดับ และ . เห็นได้ชัดว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดโดยสูตร (5.6.1) นั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าจุดศูนย์ถ่วงของระบบจุดวัตถุที่กำหนด

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนั้นเชื่อมโยงกันโดยการพึ่งพาเฉพาะกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มที่มีการทดลองจำนวนมาก การพึ่งพานี้เป็นประเภทเดียวกับการพึ่งพาระหว่างความถี่และความน่าจะเป็น กล่าวคือ ด้วยการทดลองจำนวนมาก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของแนวทางตัวแปรสุ่ม (ลู่เข้าในความน่าจะเป็น) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ จากการมีอยู่ของความสัมพันธ์ระหว่างความถี่และความน่าจะเป็น เราสามารถอนุมานได้ว่าเป็นผลมาจากการมีอยู่ของความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความคาดหมายทางคณิตศาสตร์

อันที่จริง พิจารณาตัวแปรสุ่มแบบแยกที่มีลักษณะโดยชุดการแจกแจง:

ที่ไหน .

ให้ดำเนินการทดลองอิสระซึ่งแต่ละปริมาณจะใช้ค่าที่แน่นอน สมมติว่าค่าปรากฏขึ้นครั้งเดียว ค่าปรากฏหนึ่งครั้ง โดยทั่วไป ค่าปรากฏขึ้นครั้งเดียว อย่างชัดเจน,

ให้เราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของปริมาณ ซึ่งตรงกันข้ามกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เราจะแสดงว่า :

แต่ไม่มีอะไรมากไปกว่าความถี่ (หรือความน่าจะเป็นทางสถิติ) ของเหตุการณ์หนึ่งๆ สามารถเรียกความถี่นี้ได้ แล้ว

,

เหล่านั้น. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลรวมของผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความถี่ของค่าเหล่านี้

ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น ความถี่จะเข้าใกล้ (บรรจบในความน่าจะเป็น) กับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มที่มีจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้นจะเข้าใกล้ (มาบรรจบกับความน่าจะเป็น) กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตและการคาดคะเนทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดขึ้นข้างต้นถือเป็นเนื้อหาของรูปแบบหนึ่งของกฎของตัวเลขจำนวนมาก เราจะให้หลักฐานที่เข้มงวดของกฎหมายนี้ในบทที่ 13

เรารู้แล้วว่ากฎของคนจำนวนมากทุกรูปแบบระบุถึงข้อเท็จจริงที่ว่าค่าเฉลี่ยบางอย่างจะคงที่ในการทดลองจำนวนมาก ในที่นี้เรากำลังพูดถึงความเสถียรของค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากการสังเกตค่าเดียวกันหลายชุด ด้วยการทดลองจำนวนน้อย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลลัพธ์จะเป็นแบบสุ่ม เมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้นเพียงพอ มันจะกลายเป็น "เกือบจะไม่ใช่การสุ่ม" และทำให้เสถียรเข้าใกล้ค่าคงที่ - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติความเสถียรของค่าเฉลี่ยสำหรับการทดสอบจำนวนมากนั้นง่ายต่อการตรวจสอบในการทดลอง ตัวอย่างเช่น การชั่งน้ำหนักร่างกายในห้องปฏิบัติการโดย เครื่องชั่งที่แม่นยำเป็นผลมาจากการชั่งน้ำหนัก เราได้รับค่าใหม่ทุกครั้ง เพื่อลดข้อผิดพลาดในการสังเกต เราชั่งน้ำหนักร่างกายหลาย ๆ ครั้งและใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่ได้รับ เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเมื่อเพิ่มจำนวนการทดลอง (การชั่งน้ำหนัก) มากขึ้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะตอบสนองต่อการเพิ่มขึ้นนี้น้อยลงเรื่อยๆ และด้วยการทดลองจำนวนมากพอ มันก็หยุดการเปลี่ยนแปลงในทางปฏิบัติ

สูตร (5.6.1) สำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สอดคล้องกับกรณีของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง สำหรับ มูลค่าอย่างต่อเนื่องแน่นอนว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ได้แสดงด้วยผลรวมอีกต่อไป แต่โดยปริพันธ์:

, (5.6.2)

ความหนาแน่นของการกระจายของปริมาณอยู่ที่ไหน

สูตร (5.6.2) ได้มาจากสูตร (5.6.1) หากเราแทนที่ค่าแต่ละค่าด้วยพารามิเตอร์ x ที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน - ด้วยองค์ประกอบความน่าจะเป็นและผลรวมสุดท้าย - ด้วยอินทิกรัล ในสิ่งต่อไปนี้ เรามักจะใช้วิธีการนี้ในการขยายสูตรที่ได้มาสำหรับปริมาณที่ไม่ต่อเนื่องไปยังกรณีของปริมาณต่อเนื่อง

ในการตีความทางกลความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องยังคงมีความหมายเดียวกัน - จุดศูนย์ถ่วง abscissa ในกรณีที่มวลกระจายไปตามแกน abscissa อย่างต่อเนื่องโดยมีความหนาแน่น . การตีความนี้มักจะทำให้สามารถค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์โดยไม่ต้องคำนวณอินทิกรัล (5.6.2) จากการพิจารณาเชิงกลอย่างง่าย

ข้างต้น เราได้แนะนำสัญกรณ์สำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของปริมาณ ในบางกรณี เมื่อค่ารวมอยู่ในสูตรเป็นตัวเลขหนึ่งๆ จะสะดวกกว่าในการแสดงด้วยตัวอักษรตัวเดียว ในกรณีเหล่านี้ เราจะแสดงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมูลค่าผ่าน:

สัญกรณ์และสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะใช้ควบคู่กันในอนาคต ขึ้นอยู่กับความสะดวกของสัญกรณ์สูตรอย่างใดอย่างหนึ่ง ให้เราเห็นด้วยหากจำเป็นที่จะย่อคำว่า "ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์" ด้วยตัวอักษร m.o.

ควรสังเกตว่าคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของตำแหน่ง - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ - ไม่มีอยู่ในตัวแปรสุ่มทั้งหมด เป็นไปได้ที่จะสร้างตัวอย่างของตัวแปรสุ่มดังกล่าวซึ่งไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากผลรวมหรืออินทิกรัลที่สอดคล้องกันนั้นแตกต่างกัน

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องกับชุดการแจกแจง:

ง่ายต่อการตรวจสอบ นั่นคือ ซีรีย์การจัดจำหน่ายนั้นสมเหตุสมผล อย่างไรก็ตาม ผลรวมในกรณีนี้แตกต่างกัน ดังนั้นจึงไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าดังกล่าว อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติแล้ว กรณีดังกล่าวไม่มีความน่าสนใจในสาระสำคัญ โดยปกติแล้ว ตัวแปรสุ่มที่เรากำลังเผชิญอยู่นั้นมีช่วงค่าที่เป็นไปได้จำกัด และแน่นอน มีความคาดหวัง

ด้านบน เราได้ให้สูตร (5.6.1) และ (5.6.2) ที่แสดงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง ตามลำดับ

หากปริมาณเป็นของปริมาณ ชนิดผสมจากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะแสดงด้วยสูตรของแบบฟอร์ม:

, (5.6.3)

โดยที่ผลรวมจะขยายไปยังทุกจุดที่ฟังก์ชันการแจกแจงหยุดทำงาน และอินทิกรัลจะขยายไปยังทุกส่วนที่ฟังก์ชันการแจกแจงต่อเนื่องกัน

นอกเหนือจากคุณลักษณะตำแหน่งที่สำคัญที่สุด - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ - คุณลักษณะตำแหน่งอื่น ๆ บางครั้งก็ใช้ในทางปฏิบัติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โหมดและค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม

โหมดของตัวแปรสุ่มคือค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด คำว่า "ค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด" พูดอย่างเคร่งครัดใช้กับปริมาณที่ไม่ต่อเนื่องเท่านั้น สำหรับปริมาณต่อเนื่อง ฐานนิยมคือค่าที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสูงสุด เราตกลงที่จะกำหนดโหมดด้วยตัวอักษร บนมะเดื่อ 5.6.1 และ 5.6.2 แสดงโหมดสำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องตามลำดับ

ถ้ารูปหลายเหลี่ยมการกระจาย (เส้นโค้งการกระจาย) มีมากกว่าหนึ่งค่าสูงสุด การแจกแจงจะเรียกว่า "โพลิโมดัล" (รูปที่ 5.6.3 และ 5.6.4)

บางครั้งมีการแจกแจงที่ไม่มีค่าสูงสุดอยู่ตรงกลาง แต่เป็นค่าต่ำสุด (รูปที่ 5.6.5 และ 5.6.6) การกระจายดังกล่าวเรียกว่า "antimodal" ตัวอย่างของการแจกแจงแบบต้านโมดอลคือการกระจายที่ได้รับในตัวอย่างที่ 5, n° 5.1

ใน กรณีทั่วไปโหมดและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มไม่ตรงกัน ในกรณีเฉพาะ เมื่อการแจกแจงเป็นแบบสมมาตรและเป็นโมดอล (เช่น มีฐานนิยม) และมีการคาดคะเนทางคณิตศาสตร์ การแจกแจงจะสอดคล้องกับฐานนิยมและศูนย์กลางสมมาตรของการแจกแจง

มักใช้ลักษณะอื่นของตำแหน่ง - ค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม คุณลักษณะนี้มักใช้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องเท่านั้น แม้ว่าจะสามารถกำหนดอย่างเป็นทางการสำหรับตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่องได้เช่นกัน

ค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่มคือค่าของมัน

เหล่านั้น. มีโอกาสเท่ากันที่ตัวแปรสุ่มจะน้อยกว่าหรือมากกว่า ในทางเรขาคณิต ค่ามัธยฐานคือ abscissa ของจุดที่พื้นที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งการกระจายถูกแบ่งครึ่ง (รูปที่ 5.6.7)

นอกเหนือจากการคาดคะเนทางคณิตศาสตร์และการกระจายแล้ว ยังมีการใช้คุณลักษณะเชิงตัวเลขจำนวนหนึ่งในทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งสะท้อนถึงคุณลักษณะบางอย่างของการแจกแจง

คำนิยาม. โหมด Mo(X) ของตัวแปรสุ่ม X คือค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด(ซึ่งความน่าจะเป็น r rหรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

หากความน่าจะเป็นหรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็นถึงค่าสูงสุด ไม่ใช่ที่หนึ่ง แต่ที่หลายจุด การแจกแจงจะเรียกว่า รูปหลายรูป(รูปที่ 3.13)

แฟชั่น ตะไคร่น้ำ)ซึ่งความน่าจะเป็น อาร์ (หรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (p(x) ถึงค่าสูงสุดทั่วโลก เรียกว่า ค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดตัวแปรสุ่ม (ในรูปที่ 3.13 นี้ โม(X) 2).

คำนิยาม. ค่ามัธยฐาน Me(X) ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X คือค่าของมัน, ซึ่ง

เหล่านั้น. ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์รับค่าน้อยกว่าค่ามัธยฐาน ขน)หรือมากกว่านั้นเท่ากับ 1/2 เส้นแนวตั้งทางเรขาคณิต เอ็กซ์ = ขน) ผ่านจุดที่มี abscissa เท่ากับ ขน) แบ่งพื้นที่ของเส้นโค้งการกระจายออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน (รูปที่ 3.14) ชัดเจนตรงจุด เอ็กซ์ = ขน)ฟังก์ชันการกระจายเท่ากับ 1/2 เช่น พี(ฉัน(X))= 1/2 (รูปที่ 3.15)

หมายเหตุคุณสมบัติที่สำคัญของค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าสัมบูรณ์ของการเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่ม X จากค่าคงที่ C นั้นน้อยที่สุด, เมื่อค่าคงที่ C เท่ากับค่ามัธยฐาน Me(X) = m, เช่น.

(คุณสมบัติคล้ายกับคุณสมบัติ (3.10") ของค่าต่ำสุดของค่าเฉลี่ยกำลังสองของการเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์)

O ตัวอย่าง 3.15. ค้นหาฐานนิยม มัธยฐาน และค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม X sความหนาแน่นของความน่าจะเป็น φ(x) = 3x 2 สำหรับ xx

สารละลาย.เส้นโค้งการกระจายแสดงในรูปที่ 3.16. เห็นได้ชัดว่า ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น φ(x) มีค่าสูงสุดที่ เอ็กซ์= โม(X) = 1.

ค่ามัธยฐาน ขน) = ข เราพบจากเงื่อนไข (3.28):

ที่ไหน

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คำนวณโดยสูตร (3.25):

การจัดจุดร่วมกัน M(X) > ฉัน(X) และ ตะไคร่น้ำ) จากน้อยไปหามากของ abscissa แสดงในรูปที่ 3.16. ?

นอกจากลักษณะเชิงตัวเลขที่ระบุไว้ข้างต้นแล้ว แนวคิดของควอไทล์และจุดเปอร์เซ็นต์ยังใช้เพื่ออธิบายตัวแปรสุ่ม

คำนิยาม. ควอไทล์ระดับ y-ควอนไทล์ )

เรียกว่าค่า x q ของตัวแปรสุ่ม , ซึ่งฟังก์ชันการแจกแจงจะใช้ค่าเท่ากับ d เช่น

ควอไทล์บางตัวได้รับชื่อพิเศษ แน่นอนข้างต้น ค่ามัธยฐาน ตัวแปรสุ่มคือควอไทล์ระดับ 0.5 เช่น ฉัน (X) \u003d x 05. ควอไทล์ dg 0 2 5 และ x 075 ได้รับการตั้งชื่อตามลำดับ ต่ำกว่า และ ควอไทล์บนK

ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของควอนไทล์คือแนวคิด จุดเปอร์เซ็นต์ภายใต้ YuOuHo-น้อยจุด ควอนไทล์โดยนัย x x (( , เหล่านั้น. ค่าดังกล่าวของตัวแปรสุ่ม x, ตามที่

0 ตัวอย่าง 3.16. ตามตัวอย่างที่ 3.15 จงหาควอนไทล์ x 03 และจุดตัวแปรสุ่ม 30% x.

สารละลาย. ตามสูตร (3.23) ฟังก์ชันการกระจาย

เราพบควอไทล์ r 0 z จากสมการ (3.29) เช่น x$3 \u003d 0.3 จากที่ L "oz -0.67 ค้นหาจุด 30% ของตัวแปรสุ่ม x, หรือควอไทล์ x 0 7 จากสมการ x$ 7 = 0.7 ดังนั้น x 0 7 "0.89. ?

ท่ามกลางลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม ช่วงเวลา - เริ่มต้นและศูนย์กลาง - มีความสำคัญเป็นพิเศษ

คำนิยาม. ช่วงเวลาเริ่มต้นลำดับที่ k ของตัวแปรสุ่ม X เรียกว่า ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ k-th องศาค่านี้ :

คำนิยาม. จุดศูนย์กลางลำดับที่ k ของตัวแปรสุ่ม X คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของระดับความเบี่ยงเบน k-th ของตัวแปรสุ่ม X จากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

สูตรคำนวณโมเมนต์สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง (รับค่า x 1 ด้วยความน่าจะเป็น p,) และต่อเนื่อง (ด้วยความหนาแน่นของความน่าจะเป็น cp(x)) แสดงไว้ในตาราง 3.1.

ตารางที่ 3.1

มันง่ายที่จะเห็นว่าเมื่อ k = 1 โมเมนต์เริ่มต้นแรกของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์เป็นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมัน เช่น ชั่วโมง x \u003d M [X) \u003d ก,ที่ ถึง= 2 โมเมนต์ศูนย์กลางที่สองคือการกระจาย เช่น หน้า 2 = ที)(เอ็กซ์).

โมเมนต์กลาง p A สามารถแสดงในรูปของโมเมนต์เริ่มต้นโดยใช้สูตร:

เป็นต้น

ตัวอย่างเช่น ค 3 \u003d M (X-a) * \u003d M (X * -ZaX 2 + Za 2 X-a-\u003e) \u003d M (X *) ~ -ZaM (X 2) + Za 2 M (X) ~ a3 \u003d y 3 -Zy ^ + Zy (y, -y ^ \u003d y 3 - Zy ^ + 2y ^ (เมื่อเราพิจารณาว่า ก = เอ็ม(เอ็กซ์)= V, - ค่าที่ไม่สุ่ม). ?

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอ็ม(เอ็กซ์),หรือช่วงเวลาเริ่มต้นแรก กำหนดลักษณะของค่าเฉลี่ยหรือตำแหน่ง ศูนย์กลางของการกระจายของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์บนเส้นจำนวน การกระจายตัว โอ้),หรือช่วงเวลากลางที่สอง p 2 , - s t s - การกระเจิงของการกระจาย เอ็กซ์ค่อนข้าง เอ็ม(เอ็กซ์).สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม คำอธิบายโดยละเอียดการกระจายเป็นช่วงเวลาของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

ช่วงเวลากลางที่สามหน้า 3 ทำหน้าที่แสดงลักษณะความไม่สมมาตรของการกระจาย (ความเบ้) มีขนาดเท่ากับลูกบาศก์ของตัวแปรสุ่ม เพื่อให้ได้ค่าที่ไม่มีมิติ ให้หารด้วย 3 โดยที่ a คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม x.มูลค่าที่ได้รับ กเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของตัวแปรสุ่ม

หากการแจกแจงเป็นแบบสมมาตรตามความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ค่าสัมประสิทธิ์ความเบ้คือ A = 0

บนมะเดื่อ 3.17 แสดงเส้นโค้งการกระจายสองเส้น: I และ II เส้นโค้ง I มีความไม่สมมาตรเป็นบวก (ด้านขวา) (L > 0) และเส้นโค้ง II มีความไม่สมมาตรเป็นลบ (ด้านซ้าย) (L

ช่วงเวลากลางที่สี่ หน้า 4 ทำหน้าที่แสดงลักษณะความสูงชัน (จุดสูงสุดของยอดบนหรือยอดเสาแบน) ของการกระจาย

มูลค่าที่คาดหวัง ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์ซึ่งรับค่าเป็นจำนวนจำกัด เอ็กซ์ฉันด้วยความน่าจะเป็น รฉันเรียกว่าผลรวม:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง เอ็กซ์เรียกว่าอินทิกรัลของผลคูณของค่าของมัน เอ็กซ์ความหนาแน่นของการกระจายความน่าจะเป็น ฉ(x):

(6ข)

อินทิกรัลไม่เหมาะสม (6 ข) จะถือว่ามาบรรจบกันอย่างสมบูรณ์ (มิฉะนั้นเราจะเรียกว่าการคาดหมาย ม(เอ็กซ์) ไม่ได้อยู่). ลักษณะความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ค่าเฉลี่ยตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์. มิติของมันตรงกับขนาดของตัวแปรสุ่ม

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

การกระจายตัว การกระจายตัวตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์หมายเลขที่เรียกว่า:

การกระจายคือ ลักษณะการกระเจิงค่าของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์เทียบกับค่าเฉลี่ยของมัน ม(เอ็กซ์). มิติของความแปรปรวนจะเท่ากับมิติของตัวแปรสุ่มกำลังสอง ตามคำจำกัดความของความแปรปรวน (8) และความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (5) สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง และ (6) สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง เราได้นิพจน์ที่คล้ายกันสำหรับความแปรปรวน:

(9)

ที่นี่ ม = ม(เอ็กซ์).

คุณสมบัติการกระจาย:

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

(11)

เนื่องจากขนาดของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้นเหมือนกับของตัวแปรสุ่ม จึงมักจะมากกว่าความแปรปรวนที่ใช้เป็นตัวชี้วัดการกระจายตัว

ช่วงเวลาการกระจาย แนวคิดของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนเป็นกรณีพิเศษมากกว่า แนวคิดทั่วไปสำหรับลักษณะตัวเลขของตัวแปรสุ่ม - ช่วงเวลาการกระจาย. โมเมนต์การกระจายของตัวแปรสุ่มถูกนำมาใช้เป็นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันง่ายๆ ของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นช่วงเวลาของการสั่งซื้อ เคสัมพันธ์กับประเด็น เอ็กซ์ 0 เรียกว่าความคาดหวัง ม(เอ็กซ์–เอ็กซ์ 0 )เค. ช่วงเวลาที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด เอ็กซ์= 0 ถูกเรียก ช่วงเวลาเริ่มต้นและมีการทำเครื่องหมาย:

(12)

ช่วงเวลาเริ่มต้นของลำดับแรกคือศูนย์กลางการกระจายของตัวแปรสุ่มที่พิจารณา:

(13)

ช่วงเวลาที่สัมพันธ์กับศูนย์กระจายสินค้า เอ็กซ์= มเรียกว่า ช่วงเวลาสำคัญและมีการทำเครื่องหมาย:

(14)

จาก (7) จะได้ว่าโมเมนต์ศูนย์กลางของออร์เดอร์แรกมีค่าเท่ากับศูนย์เสมอ:

ช่วงเวลากลางไม่ได้ขึ้นอยู่กับที่มาของค่าของตัวแปรสุ่มเนื่องจากมีการเปลี่ยนแปลงตามค่าคงที่ กับศูนย์กลางของการกระจายจะเปลี่ยนไปตามค่าเดียวกัน กับและส่วนเบี่ยงเบนจากจุดศูนย์กลางไม่เปลี่ยนแปลง: เอ็กซ์ – ม = (เอ็กซ์ – กับ) – (ม – กับ).
ตอนนี้เห็นได้ชัดว่า การกระจายตัว- นี้ โมเมนต์อันดับสอง:

ความไม่สมดุล ช่วงเวลาสำคัญของคำสั่งที่สาม:

(17)

ทำหน้าที่ประเมิน ความเบ้กระจาย. ถ้าการกระจายสมมาตรเกี่ยวกับจุด เอ็กซ์= มจากนั้นช่วงเวลาศูนย์กลางของคำสั่งที่สามจะเท่ากับศูนย์ (เช่นเดียวกับช่วงเวลาศูนย์กลางทั้งหมดของคำสั่งคี่) ดังนั้น ถ้าโมเมนต์ศูนย์กลางของลำดับที่สามแตกต่างจากศูนย์ การกระจายนั้นไม่สามารถสมมาตรได้ ขนาดของความไม่สมมาตรประมาณโดยใช้แบบไร้มิติ ค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมดุล:

(18)

เครื่องหมายของค่าสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตร (18) บ่งชี้ความไม่สมดุลทางด้านขวาหรือด้านซ้าย (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. ประเภทของความไม่สมมาตรของการแจกแจง

ส่วนเกิน. ช่วงเวลากลาง ลำดับที่สี่:

(19)

ทำหน้าที่ประเมินสิ่งที่เรียกว่า คูร์โทซิสซึ่งกำหนดระดับความชัน (ความแหลม) ของเส้นโค้งการกระจายใกล้กับจุดศูนย์กลางการกระจายด้วยความเคารพต่อเส้นโค้ง การแจกแจงแบบปกติ. เนื่องจากการแจกแจงแบบปกติ ปริมาณที่ใช้เป็นเคิร์ตซีสคือ:

(20)

บนมะเดื่อ 3 แสดงตัวอย่างเส้นโค้งการกระจายด้วย ความหมายที่แตกต่างกันคูร์โทซิส สำหรับการแจกแจงแบบปกติ อี= 0 เส้นโค้งที่มียอดมากกว่าปกติจะมีเคิร์โทซีสเป็นบวก และเส้นโค้งที่มียอดแบนมากกว่าจะมีเคิร์โทซีสเป็นลบ

ข้าว. 3. เส้นโค้งการกระจายที่มีระดับความชันต่างกัน (kurtosis)

มักจะไม่ใช้โมเมนต์ที่มีลำดับสูงกว่าในแอปพลิเคชันทางวิศวกรรมของสถิติทางคณิตศาสตร์

แฟชั่น ไม่ต่อเนื่องตัวแปรสุ่มคือค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด แฟชั่น ต่อเนื่องตัวแปรสุ่มคือค่าที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสูงสุด (รูปที่ 2) ถ้าเส้นโค้งการกระจายมีค่าสูงสุดหนึ่งค่า การแจกแจงจะเรียกว่า ยูนิโมดัล. ถ้าเส้นโค้งการกระจายมีค่าสูงสุดมากกว่าหนึ่งค่า จะเรียกว่าการกระจาย รูปหลายรูป. บางครั้งมีการแจกแจงที่เส้นโค้งไม่มีค่าสูงสุด แต่มีค่าต่ำสุด การแจกแจงดังกล่าวเรียกว่า ต่อต้านกิริยา. ในกรณีทั่วไป ฐานนิยมและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มจะไม่ตรงกัน ในกรณีเฉพาะสำหรับ โมดอล, เช่น. มีฐานนิยม การแจกแจงแบบสมมาตร และมีเงื่อนไขว่ามีการคาดคะเนทางคณิตศาสตร์ ซึ่งแบบหลังจะสอดคล้องกับโหมดและศูนย์กลางของสมมาตรของการแจกแจง

ค่ามัธยฐาน ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์คือความหมายของมัน ฉันซึ่งความเท่าเทียมกันถือ: เช่น มีโอกาสเท่ากันที่ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์จะมากหรือน้อย ฉัน. ทางเรขาคณิต ค่ามัธยฐานคือ abscissa ของจุดที่พื้นที่ใต้เส้นโค้งการกระจายแบ่งออกเป็นครึ่ง (รูปที่ 2) ในกรณีของการแจกแจงแบบสมมาตร ค่ามัธยฐาน ค่าฐานนิยม และค่าเฉลี่ยจะเหมือนกัน

แฟชั่น()ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องคือค่าของมัน ซึ่งสอดคล้องกับค่าสูงสุดของความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

ค่ามัธยฐาน ()ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องคือค่าของมัน ซึ่งกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:

บี15. กฎทวินามการกระจายและลักษณะเชิงตัวเลข. การกระจายทวินาม อธิบายประสบการณ์อิสระซ้ำๆ กฎหมายนี้กำหนดเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นครั้งเดียว การทดสอบอิสระถ้าความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ในแต่ละประสบการณ์เหล่านี้ไม่เปลี่ยนแปลงจากประสบการณ์หนึ่งไปอีกประสบการณ์หนึ่ง ความน่าจะเป็น:

,

โดยที่: คือความน่าจะเป็นที่ทราบของการเกิดเหตุการณ์ในการทดสอบ ซึ่งไม่เปลี่ยนจากประสบการณ์เป็นประสบการณ์

คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่ปรากฏในการทดลอง

คือจำนวนเหตุการณ์ที่ระบุในการทดลอง

คือจำนวนของการรวมกันขององค์ประกอบโดย

บี15. กฎการแจกแจงแบบเอกภาพ กราฟของฟังก์ชันการแจกแจงและความหนาแน่น ลักษณะเชิงตัวเลข. พิจารณาตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง กระจายอย่างสม่ำเสมอถ้าความหนาแน่นของความน่าจะเป็นมีรูปแบบ:

มูลค่าที่คาดหวังตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ:

การกระจายตัวสามารถคำนวณได้ดังนี้

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีลักษณะดังนี้:

.

บี17. กฎการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล กราฟของฟังก์ชันและความหนาแน่นของการแจกแจง คุณลักษณะทางตัวเลข. การกระจายแบบเลขชี้กำลังตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องคือการแจกแจงที่อธิบายโดยนิพจน์ต่อไปนี้สำหรับความหนาแน่นของความน่าจะเป็น:

,

โดยที่ค่าคงที่เป็นค่าบวก

ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นในกรณีนี้มีรูปแบบ:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลนั้นได้มาจาก สูตรทั่วไปโดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าเมื่อ:

.

เมื่อรวมนิพจน์นี้ตามส่วนต่างๆ เราพบว่า: .

สามารถรับความแปรปรวนของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลได้โดยใช้นิพจน์:

.

แทนที่นิพจน์สำหรับความหนาแน่นของความน่าจะเป็น เราพบ:

การคำนวณอินทิกรัลโดยส่วน เราได้รับ: .

บี16. กฎการแจกแจงแบบปกติ กราฟของฟังก์ชันและความหนาแน่นของการแจกแจง การแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน ฟังก์ชันการแจกแจงปกติแบบสะท้อนกลับ ปกติการแจกแจงของตัวแปรสุ่มดังกล่าวเรียกว่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็นซึ่งอธิบายโดยฟังก์ชัน Gaussian:

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานอยู่ที่ไหน

คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม

พล็อตการกระจายความหนาแน่นแบบปกติเรียกว่าเส้นโค้งเกาส์เซียนปกติ

บี18. ความไม่เท่าเทียมของมาร์คอฟ สรุปความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev. ถ้าสำหรับตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์มีอยู่สำหรับใด ๆ ความไม่เท่าเทียมของมาร์คอฟ .

มันเกิดจาก ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ทั่วไป: ปล่อยให้ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นแบบจำเจและไม่เป็นลบบน ถ้าสำหรับตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์มีอยู่สำหรับอสมการใดๆ .

บี19. กฎของจำนวนมากในรูปแบบของ Chebyshev ความหมายของมัน. ผลที่ตามมาของกฎหมายจำนวนมากในรูปแบบของ Chebyshev กฎของจำนวนมากในรูปแบบ Bernoulli ภายใต้ กฎของจำนวนมากในทฤษฎีความน่าจะเป็นมีการเข้าใจทฤษฎีบทจำนวนหนึ่งซึ่งแต่ละทฤษฎีมีการสร้างข้อเท็จจริงของการประมาณเชิงซีมโทติคของค่าเฉลี่ยของข้อมูลการทดลองจำนวนมากกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม การพิสูจน์ทฤษฎีบทเหล่านี้ขึ้นอยู่กับอสมการของ Chebyshev ความไม่เท่าเทียมกันนี้สามารถหาได้จากการพิจารณาตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีค่าที่เป็นไปได้

ทฤษฎีบท. ปล่อยให้มีลำดับที่แน่นอน ตัวแปรสุ่มอิสระที่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากันและความแปรปรวนจำกัดด้วยค่าคงที่เดียวกัน :

จากนั้น ไม่ว่าจะเป็นตัวเลข ก็ตาม ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้น

มีแนวโน้มที่จะมีความสามัคคีที่ .

ทฤษฎีบทของ Chebyshev สร้างการเชื่อมต่อระหว่างทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งพิจารณาลักษณะเฉลี่ยของค่าทั้งชุดของตัวแปรสุ่มและสถิติทางคณิตศาสตร์ซึ่งดำเนินการกับชุดค่าที่ จำกัด ของตัวแปรนี้ มันแสดงให้เห็นว่าสำหรับการวัดตัวแปรสุ่มจำนวนหนึ่งที่มากพอค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าของการวัดเหล่านี้จะเข้าใกล้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ใน 20 วิชาและงานสถิติทางคณิตศาสตร์. ประชากรทั่วไปและกลุ่มตัวอย่าง วิธีการคัดเลือก. สถิติคณิตศาสตร์- ศาสตร์แห่ง วิธีการทางคณิตศาสตร์การจัดระบบและการใช้ข้อมูลทางสถิติสำหรับข้อสรุปทางวิทยาศาสตร์และการปฏิบัติตามทฤษฎีความน่าจะเป็น

วัตถุประสงค์ของการศึกษาสถิติทางคณิตศาสตร์คือเหตุการณ์สุ่ม ปริมาณ และฟังก์ชันที่แสดงลักษณะของปรากฏการณ์สุ่มที่พิจารณา เหตุการณ์ต่อไปนี้เป็นการสุ่ม: ชนะรางวัลลอตเตอรีเงินสดหนึ่งใบ, การปฏิบัติตามผลิตภัณฑ์ควบคุมที่มีข้อกำหนดที่กำหนดไว้, การใช้งานรถโดยปราศจากปัญหาในช่วงเดือนแรกของการดำเนินงาน, การปฏิบัติตามตารางการทำงานประจำวันของผู้รับเหมา

ชุดสุ่มตัวอย่างเป็นชุดของวัตถุที่เลือกแบบสุ่ม

ประชากรทั่วไปตั้งชื่อชุดของวัตถุที่สร้างตัวอย่าง

ที่ 21 วิธีการคัดเลือก.

วิธีการคัดเลือก 1 การคัดเลือกที่ไม่ต้องสูญเสียอวัยวะ ประชากรออกเป็นส่วนๆ สิ่งเหล่านี้รวมถึง a) การเลือกแบบสุ่มอย่างง่ายที่ไม่ซ้ำ และ b) การเลือกซ้ำแบบสุ่มอย่างง่าย 2) การเลือก คือ การแบ่งประชาชนทั่วไปออกเป็นส่วนๆ ซึ่งรวมถึงก) การเลือกประเภท ข) การเลือกเชิงกล และค) การเลือกแบบอนุกรม

สุ่มง่ายๆเรียกว่าการเลือกซึ่งวัตถุจะถูกแยกออกจากประชากรทั่วไปทีละรายการ

ทั่วไปเรียกว่า การเลือก ซึ่งวัตถุไม่ได้ถูกเลือกจากประชากรทั่วไปทั้งหมด แต่มาจากแต่ละส่วน "ทั่วไป"

เครื่องกลเรียกว่า การเลือก ซึ่งประชากรทั่วไปจะถูกแบ่งออกเป็นหลายกลุ่มตามกลไกที่มีวัตถุที่จะรวมอยู่ในตัวอย่าง และหนึ่งวัตถุจะถูกเลือกจากแต่ละกลุ่ม

อนุกรมเรียกว่าการเลือกซึ่งวัตถุจะถูกเลือกจากประชากรทั่วไปไม่ใช่ทีละรายการ แต่เป็น "ชุด" ซึ่งต้องได้รับการตรวจสอบอย่างต่อเนื่อง

บี22. อนุกรมทางสถิติและความแปรผัน ฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์และคุณสมบัติของมัน. ชุดรูปแบบต่างๆสำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง ให้นำตัวอย่างมาจากประชากรทั่วไป และสังเกตค่าของพารามิเตอร์ภายใต้การศึกษาหนึ่งครั้ง หนึ่งครั้ง ฯลฯ อย่างไรก็ตามขนาดตัวอย่าง ค่าที่สังเกตได้เรียกว่า ตัวเลือกและลำดับเป็นตัวแปรที่เขียนจากน้อยไปหามาก - ชุดการเปลี่ยนแปลง . จำนวนการสังเกตเรียกว่า ความถี่, และความสัมพันธ์กับขนาดตัวอย่าง - ความถี่สัมพัทธ์.ชุดรูปแบบต่างๆสามารถแสดงเป็นตาราง:

เอ็กซ์			…..
น			….

การกระจายตัวทางสถิติของตัวอย่างเรียกรายการตัวเลือกและความถี่สัมพัทธ์ที่เกี่ยวข้อง การแจกแจงทางสถิติสามารถจินตนาการได้ดังนี้:

เอ็กซ์			…..
ว			….

ความถี่สัมพัทธ์อยู่ที่ไหน

ฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์เรียกฟังก์ชันที่กำหนดสำหรับแต่ละค่า x ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ X

แฟชั่น- ค่าในชุดของการสังเกตที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุด

Mo \u003d X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

ที่นี่ X Mo คือเส้นขอบด้านซ้ายของช่วงโมดอล h Mo คือความยาวของช่วงโมดอล f Mo-1 คือความถี่ของช่วงพรีมอดอล f Mo คือความถี่ของช่วงโมดอล f Mo+1 คือ ความถี่ของช่วงเวลาหลังโมดอล

โหมดของการกระจายอย่างต่อเนื่องอย่างแน่นอนคือจุดใด ๆ ของความหนาแน่นสูงสุดของการกระจายในพื้นที่ สำหรับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง ฐานนิยมคือค่าใดๆ a i ซึ่งความน่าจะเป็น p i มากกว่าความน่าจะเป็นของค่าข้างเคียง

ค่ามัธยฐานตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง เอ็กซ์ค่าของมันเรียกว่า Me ซึ่งมีความเป็นไปได้เท่ากันว่าตัวแปรสุ่มจะน้อยกว่าหรือมากกว่า ฉัน, เช่น.

ม อี \u003d (n + 1) / 2 พี(เอ็กซ์ < ฉัน) = P(X > ฉัน)

กระจายอย่างสม่ำเสมอ ใหม่

แม้กระทั่งการกระจายตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องเรียกว่าการกระจายอย่างสม่ำเสมอในส่วน () ถ้าฟังก์ชันความหนาแน่นของการกระจาย (รูปที่ 1.6, ก) ดูเหมือน:

การกำหนด: - SW มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอใน.

ดังนั้น ฟังก์ชันการกระจายในส่วน (รูปที่ 1.6, ข):

ข้าว. 1.6. ฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มที่กระจายอย่างสม่ำเสมอบน [ ก,ข]: ก– ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ฉ(x); ข– การกระจาย ฉ(x)

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของ RV นี้ถูกกำหนดโดยนิพจน์:

เนื่องจากความสมมาตรของฟังก์ชันความหนาแน่นจึงตรงกับค่ามัธยฐาน แฟชั่นไม่มีการกระจายตัวที่สม่ำเสมอ

ตัวอย่างที่ 4 เวลารอรับสายเป็นตัวแปรสุ่มที่เป็นไปตามกฎการกระจายแบบสม่ำเสมอในช่วง 0 ถึง 2 นาที ค้นหาฟังก์ชันการแจกแจงแบบอินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรสุ่มนี้

27. กฎปกติของการแจกแจงความน่าจะเป็น

ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง x มีการแจกแจงแบบปกติพร้อมพารามิเตอร์: m, s > 0 ถ้าความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็นมีรูปแบบ:

โดยที่ m คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ s คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การแจกแจงแบบปกติเรียกอีกอย่างว่า Gaussian ตามชื่อ Gauss นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ความจริงที่ว่าตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงแบบปกติพร้อมพารามิเตอร์: m, , แสดงได้ดังนี้: N (m, s) โดยที่: m=a=M[X];

บ่อยครั้งในสูตรความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะแสดงด้วย ก . หากมีการกระจายตัวแปรสุ่มตามกฎหมาย N(0,1) ก็จะเรียกว่าค่าปกติที่เป็นมาตรฐานหรือมาตรฐาน ฟังก์ชันการแจกจ่ายมีรูปแบบ:

กราฟความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติซึ่งเรียกว่าเส้นโค้งปกติหรือเส้นโค้งเกาส์เซียนแสดงในรูปที่ 5.4

ข้าว. 5.4. ความหนาแน่นของการกระจายปกติ

คุณสมบัติตัวแปรสุ่มที่มีกฎการแจกแจงแบบปกติ

1. ถ้า เพื่อหาความน่าจะเป็นที่ค่านี้อยู่ในช่วงที่กำหนด ( x 1; x 2) ใช้สูตร:

2. ความน่าจะเป็นที่การเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะไม่เกินค่า (ในค่าสัมบูรณ์) เท่ากับ