ขยายเวกเตอร์ให้เป็นฐาน การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์

พื้นฐาน(กรีกโบราณ βασις พื้นฐาน) - ชุดของเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ โดยที่เวกเตอร์ใดๆ ในพื้นที่นี้สามารถแสดงได้โดยไม่ซ้ำกันเป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จากชุดนี้ - เวกเตอร์พื้นฐาน

พื้นฐานในพื้นที่ Rn คือระบบใดๆ จาก n- เวกเตอร์อิสระเชิงเส้น เวกเตอร์แต่ละตัวจาก R n ที่ไม่รวมอยู่ในฐานสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐานได้ เช่น กระจายอยู่บนพื้นฐาน
อนุญาต เป็นพื้นฐานของช่องว่าง R n และ . จากนั้นก็มีตัวเลข แลมบ์ดา 1, แลมบ์ 2, …, แลมบ์ n แบบนั้น .
ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัว แลมบ์ดา 1, แลมบ์ 2, ..., แลมบ์ n เรียกว่าพิกัดเวกเตอร์ในฐาน B หากกำหนดพื้นฐานไว้ ค่าสัมประสิทธิ์เวกเตอร์จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน

ความคิดเห็น ในทุก n-ปริภูมิเวกเตอร์มิติ คุณสามารถเลือกฐานที่แตกต่างกันได้ไม่จำกัดจำนวน ในฐานที่ต่างกัน เวกเตอร์เดียวกันมีพิกัดต่างกัน แต่จะไม่ซ้ำกันในพื้นฐานที่เลือก ตัวอย่าง.ขยายเวกเตอร์ให้เป็นฐาน
สารละลาย. - ลองแทนที่พิกัดของเวกเตอร์ทั้งหมดแล้วดำเนินการกับพวกมัน:

เมื่อพิกัดเท่ากันเราจะได้ระบบสมการ:

มาแก้กัน: .
ดังนั้นเราจึงได้รับการสลายตัว: .
โดยพื้นฐานแล้ว เวกเตอร์มีพิกัด

สิ้นสุดการทำงาน -

หัวข้อนี้เป็นของส่วน:

แนวคิดเรื่องเวกเตอร์ การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์

เวกเตอร์คือเซกเมนต์ที่มีทิศทางซึ่งมีความยาวที่แน่นอน นั่นคือ ส่วนของความยาวที่แน่นอนซึ่งมีจุดจำกัดจุดใดจุดหนึ่ง

หากคุณต้องการ วัสดุเพิ่มเติมในหัวข้อนี้หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหาเราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในฐานข้อมูลผลงานของเรา:

เราจะทำอย่างไรกับเนื้อหาที่ได้รับ:

หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณได้ เครือข่ายสังคมออนไลน์:

ร
(คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์)

การสลายตัวของเวกเตอร์

การสลายตัวของเวกเตอร์ กเป็นส่วนประกอบ - การดำเนินการแทนที่เวกเตอร์ กเวกเตอร์อื่นๆ อีกหลายตัว ab a2, a3 ฯลฯ ซึ่งเมื่อบวกเข้ากับเวกเตอร์เริ่มต้น ก;ในกรณีนี้ เวกเตอร์ db a2, a3 ฯลฯ เรียกว่าส่วนประกอบของเวกเตอร์ ก.กล่าวอีกนัยหนึ่งการสลายตัวของ...
(ฟิสิกส์)

พื้นฐานและอันดับของระบบเวกเตอร์

พิจารณาระบบเวกเตอร์ (1.18) ระบบย่อยอิสระสูงสุดของระบบเวกเตอร์(1.I8) คือเซตเวกเตอร์บางส่วนของระบบนี้ที่ตรงตามเงื่อนไขสองประการ: 1) เวกเตอร์ของเซตนี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้น; 2) เวกเตอร์ใดๆ ของระบบ (1.18) ถูกแสดงเป็นเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ของเซตนี้....
(คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์)

การแสดงเวกเตอร์ในระบบพิกัดต่างๆ

ลองพิจารณาระบบพิกัดสี่เหลี่ยมมุมฉากสองระบบที่มีเซตของเวกเตอร์หน่วย (i, j, k) และ (i j", k") และแทนเวกเตอร์ a ที่อยู่ในนั้น ให้เราสันนิษฐานตามอัตภาพว่าเวกเตอร์หน่วยที่มีจำนวนเฉพาะสอดคล้องกัน ระบบใหม่พิกัด e และไม่มีเส้นขีด - เก่า ลองจินตนาการถึงเวกเตอร์ในรูปของการขยายตัวตามแกนของระบบทั้งเก่าและใหม่...

การสลายตัวของเวกเตอร์ในลักษณะตั้งฉาก

พิจารณาพื้นฐานของพื้นที่ รโดยที่เวกเตอร์แต่ละตัวตั้งฉากกับเวกเตอร์พื้นฐานอื่นๆ: ฐานตั้งฉากเป็นที่รู้จักและสามารถแสดงได้ดีบนระนาบและในอวกาศ (รูปที่ 1.6) ฐานประเภทนี้สะดวกเป็นหลักเนื่องจากมีการกำหนดพิกัดของการขยายตัวของเวกเตอร์ที่กำหนดเอง...
(คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์)

เวกเตอร์และการแทนค่าในระบบพิกัด

แนวคิดของเวกเตอร์มีความเกี่ยวข้องกับค่าที่แน่นอน ปริมาณทางกายภาพซึ่งมีลักษณะเฉพาะด้วยความเข้ม (ขนาด) และทิศทางในอวกาศ ปริมาณดังกล่าวได้แก่ แรงที่กระทำต่อวัตถุ ความเร็วของจุดใดจุดหนึ่งของวัตถุนี้ ความเร่งของอนุภาควัตถุ...
(กลศาสตร์ต่อเนื่อง: ทฤษฎีความเครียดและแบบจำลองพื้นฐาน)

การแสดงเชิงวิเคราะห์ที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชันรูปไข่โดยพลการ

การแสดงฟังก์ชันวงรีเป็นผลรวมขององค์ประกอบที่ง่ายที่สุดอนุญาต / (ซ)เป็นฟังก์ชันรูปไข่ของลำดับ s ที่มีขั้วธรรมดา jjt $s,นอนอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานของช่วงเวลา แสดงถึงโดย บีเคเมื่อลบฟังก์ชันด้วยความเคารพกับขั้ว เราจะได้ 2 ?l = 0 (§ 1, ย่อหน้า 3, ทฤษฎีบท...
(บทนำสู่ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน)

ในแคลคูลัสเวกเตอร์และการประยุกต์ คุ้มค่ามากมีงานการสลายตัวซึ่งประกอบด้วยการแสดงเวกเตอร์ที่กำหนดเป็นผลรวมของเวกเตอร์หลายตัวที่เรียกว่าส่วนประกอบของเวกเตอร์ที่กำหนด

เวกเตอร์ ซึ่งงานนี้ก็ได้ กรณีทั่วไปคำตอบจำนวนอนันต์จะค่อนข้างแน่นอนหากคุณระบุองค์ประกอบบางส่วนของเวกเตอร์ส่วนประกอบ

2. ตัวอย่างการสลายตัว

ให้เราพิจารณากรณีการสลายตัวที่พบบ่อยๆ หลายกรณี

1. แยกเวกเตอร์ c ที่กำหนดให้เป็นเวกเตอร์องค์ประกอบสองตัว โดยเวกเตอร์ตัวหนึ่ง เช่น a กำหนดขนาดและทิศทาง

ปัญหาอยู่ที่การกำหนดความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์สองตัว อันที่จริง ถ้าเวกเตอร์เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ c ก็จะต้องได้รับความเท่าเทียมกัน

จากที่นี่จะกำหนดเวกเตอร์องค์ประกอบที่สอง

2. แยกเวกเตอร์ c ที่กำหนดออกเป็นสององค์ประกอบ โดยองค์ประกอบหนึ่งจะต้องอยู่ในระนาบที่กำหนด และเวกเตอร์ที่สองต้องอยู่บนเส้นตรง a ที่กำหนด

ในการกำหนดเวกเตอร์ส่วนประกอบ เราย้ายเวกเตอร์ c เพื่อให้จุดเริ่มต้นของมันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดตัดของเส้นตรงที่กำหนดกับระนาบ (จุด O - ดูรูปที่ 18) จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ c (จุด C) เราวาดเส้นตรงไปที่

จุดตัดกับระนาบ (B คือจุดตัด) จากนั้นจากจุด C เราวาดเส้นตรงขนานกัน

เวกเตอร์ และ จะเป็นค่าที่ต้องการ เช่น โดยธรรมชาติแล้ว การขยายตัวที่ระบุเป็นไปได้หากเส้นตรง a และระนาบไม่ขนานกัน

3. ให้เวกเตอร์โคพลานาร์สามตัว a, b และ c และเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน จำเป็นต้องแยกเวกเตอร์ c ให้เป็นเวกเตอร์

ให้เรานำเวกเตอร์ที่กำหนดทั้งสามตัวมาที่จุดเดียว O จากนั้น เนื่องจากความระนาบของพวกมัน พวกมันจึงอยู่ในระนาบเดียวกัน การใช้เวกเตอร์ c นี้เป็นเส้นทแยงมุม เราจะสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งด้านข้างขนานกับเส้นการกระทำของเวกเตอร์ (รูปที่ 19) โครงสร้างนี้เป็นไปได้เสมอ (เว้นแต่ว่าเวกเตอร์เป็นแบบแนวเดียวกัน) และมีลักษณะเฉพาะ จากรูป 19 เป็นที่ชัดเจนว่า

พื้นฐานของพื้นที่พวกเขาเรียกระบบเวกเตอร์ดังกล่าวว่าเวกเตอร์อื่นๆ ทั้งหมดในอวกาศสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในฐานได้
ในทางปฏิบัติ ทั้งหมดนี้ทำได้ค่อนข้างง่าย ตามกฎแล้วจะมีการตรวจสอบพื้นฐานบนระนาบหรือในอวกาศและด้วยเหตุนี้คุณจะต้องค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับที่สองและสามที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์ ด้านล่างมีการเขียนแผนผัง เงื่อนไขที่เวกเตอร์เป็นพื้นฐาน

ถึง ขยายเวกเตอร์ b ไปเป็นเวกเตอร์ฐาน
e,e...,e[n] มีความจำเป็นต้องค้นหาสัมประสิทธิ์ x, ..., x[n] ซึ่งผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ e,e...,e[n] เท่ากับ เวกเตอร์ ข:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = ข.
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ สมการเวกเตอร์ควรถูกแปลงเป็นระบบ สมการเชิงเส้นและหาทางแก้ไข นี่ยังค่อนข้างง่ายที่จะนำไปใช้
เรียกค่าสัมประสิทธิ์ที่พบ x, ..., x[n] พิกัดของเวกเตอร์ b บนพื้นฐานอี,อี...,อี[n].
เรามาดูด้านการปฏิบัติของหัวข้อกันดีกว่า

การสลายตัวของเวกเตอร์ให้เป็นเวกเตอร์พื้นฐาน

ภารกิจที่ 1 ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ a1, a2 ประกอบเป็นฐานบนระนาบหรือไม่

1) ก1 (3; 5), ก2 (4; 2)
วิธีแก้ไข: เราเขียนดีเทอร์มิแนนต์จากพิกัดของเวกเตอร์แล้วคำนวณ

ปัจจัยกำหนดไม่เป็นศูนย์, เพราะฉะนั้น เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าพวกมันก่อตัวเป็นพื้นฐาน.

2) เอ1 (2; -3), เอ2 (5;-1)
วิธีแก้: เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์

ดีเทอร์มิแนนต์มีค่าเท่ากับ 13 (ไม่เท่ากับศูนย์) - จากนี้จึงเป็นไปตามที่เวกเตอร์ a1, a2 เป็นพื้นฐานบนระนาบ

---=================---

ลองดูตัวอย่างทั่วไปจากโปรแกรม MAUP ในสาขาวิชา "คณิตศาสตร์ขั้นสูง"

ภารกิจที่ 2 จงแสดงว่าเวกเตอร์ a1, a2, a3 เป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์สามมิติ และขยายเวกเตอร์ b ตามพื้นฐานนี้ (เมื่อแก้ระบบเชิงเส้นตรง สมการพีชคณิตใช้วิธีของแครเมอร์)
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
วิธีแก้: ขั้นแรก พิจารณาระบบของเวกเตอร์ a1, a2, a3 และตรวจสอบดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A

สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ เมทริกซ์ประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นศูนย์หนึ่งรายการ ดังนั้นจึงเหมาะสมกว่าในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เป็นกำหนดการในคอลัมน์แรกหรือแถวที่สาม

จากการคำนวณเราพบว่าดีเทอร์มิแนนต์แตกต่างจากศูนย์ดังนั้น เวกเตอร์ a1, a2, a3 มีความเป็นอิสระเชิงเส้น.
ตามคำนิยาม เวกเตอร์จะสร้างพื้นฐานใน R3 ลองเขียนตารางเวลาของเวกเตอร์ b กัน

เวกเตอร์จะเท่ากันเมื่อพิกัดที่สอดคล้องกันเท่ากัน
ดังนั้นจากสมการเวกเตอร์เราได้ระบบสมการเชิงเส้น

มาแก้ SLAE กันดีกว่า วิธีการของแครมเมอร์- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เขียนระบบสมการในรูปแบบ

ดีเทอร์มิแนนต์หลักของ SLAE จะเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์พื้นฐานเสมอ

ดังนั้นในทางปฏิบัติจะไม่นับสองครั้ง ในการค้นหาปัจจัยเสริม เราใส่คอลัมน์ที่มีพจน์อิสระเข้ามาแทนที่แต่ละคอลัมน์ของปัจจัยหลัก ปัจจัยกำหนดคำนวณโดยใช้กฎสามเหลี่ยม



ลองแทนที่ดีเทอร์มิแนนต์ที่พบลงในสูตรของแครเมอร์



ดังนั้น การขยายตัวของเวกเตอร์ b ในรูปของฐานจะมีรูปแบบ b=-4a1+3a2-a3 พิกัดของเวกเตอร์ b บนพื้นฐาน a1, a2, a3 จะเป็น (-4,3, 1)

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), ข (3; 5; 1)
วิธีแก้ปัญหา: เราตรวจสอบเวกเตอร์เป็นพื้นฐาน - เราเขียนดีเทอร์มิแนนต์จากพิกัดของเวกเตอร์แล้วคำนวณ

ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์จึงไม่เท่ากับศูนย์ เวกเตอร์เป็นพื้นฐานในอวกาศ- ยังคงต้องค้นหาตารางเวลาของเวกเตอร์ b ผ่านพื้นฐานนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราเขียนสมการเวกเตอร์

และแปลงเป็นระบบสมการเชิงเส้น

การบันทึก สมการเมทริกซ์

ต่อไป สำหรับสูตรของแครเมอร์ เราจะหาปัจจัยเสริม



เราใช้สูตรของแครเมอร์



ดังนั้นเวกเตอร์ที่กำหนด b มีตารางเวลาผ่านเวกเตอร์ฐานสองตัว b=-2a1+5a3 และพิกัดของมันในฐานเท่ากับ b(-2,0, 5)