วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจสำหรับการแก้สมการอินเอกจีนัสเชิงเส้น วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก:
(1) .
มีสามวิธีในการแก้สมการนี้:

• วิธีการแปรผันของค่าคงที่ (ลากรองจ์)

ให้เราพิจารณาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งโดยวิธีลากรองจ์

วิธีการแปรผันของค่าคงที่ (ลากรองจ์)

ในการแปรผันของวิธีคงที่ เราจะแก้สมการในสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก เราทำให้สมการดั้งเดิมง่ายขึ้นและแก้สมการเอกพันธ์ ในขั้นตอนที่สอง เราจะแทนที่ค่าคงที่ของการรวมที่ได้รับในขั้นตอนแรกของการแก้ปัญหาด้วยฟังก์ชัน จากนั้นเราหาคำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิม

พิจารณาสมการ:
(1)

ขั้นตอนที่ 1 การแก้สมการเอกพันธ์

กำลังมองหาวิธีแก้ปัญหา สมการเอกพันธ์:

นี่คือสมการที่แยกออกจากกัน

เราแยกตัวแปร - คูณด้วย dx หารด้วย y:

มาบูรณาการกัน:

อินทิกรัลเหนือ y - ตาราง:

แล้ว

มาเพิ่มศักยภาพกันเถอะ:

ลองแทนที่ค่าคงที่ e C ด้วย C แล้วลบเครื่องหมายโมดูลัสซึ่งลงมาเพื่อคูณด้วยค่าคงที่ ±1ซึ่งเราจะรวมไว้ใน C:

ขั้นตอนที่ 2 แทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชัน

ทีนี้ลองแทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชัน x:
ซี → คุณ (เอ็กซ์)
นั่นคือเราจะหาคำตอบของสมการดั้งเดิม (1) ในรูปแบบ:
(2)
การหาอนุพันธ์

ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
.
ตามกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์:

.
แทนลงในสมการเดิม (1) :
(1) ;

.
สมาชิกสองคนลดลง:
;
.
มาบูรณาการกัน:
.
เข้ามาแทน. (2) :
.
ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้คำตอบทั่วไปสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง:
.

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งโดยวิธีลากรองจ์

แก้สมการ

สารละลาย

เราแก้สมการเอกพันธ์:

เราแยกตัวแปร:

คูณด้วย:

มาบูรณาการกัน:

อินทิกรัลแบบตาราง:

มาเพิ่มศักยภาพกันเถอะ:

ลองแทนที่ค่าคงที่ e C ด้วย C และลบเครื่องหมายมอดุลัสออก:

จากที่นี่:

ลองแทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชันของ x:
ซี → คุณ (เอ็กซ์)

ค้นหาอนุพันธ์:
.
แทนลงในสมการดั้งเดิม:
;
;
หรือ:
;
.
มาบูรณาการกัน:
;
การแก้สมการ:
.

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นด้วย ค่าสัมประสิทธิ์คงที่ลำดับที่ n โดยพลการ:
(1) .
วิธีการแปรผันของค่าคงที่ซึ่งเราพิจารณาสำหรับสมการลำดับที่หนึ่ง ก็ใช้ได้กับสมการลำดับที่สูงกว่าเช่นกัน

การแก้ปัญหาจะดำเนินการในสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก เราละทิ้งทางด้านขวามือและแก้สมการเอกพันธ์ ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้คำตอบที่มีค่าคงที่ไม่คงที่ ในระยะที่สอง เราจะเปลี่ยนแปลงค่าคงที่ นั่นคือเราพิจารณาว่าค่าคงที่เหล่านี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ x และค้นหารูปแบบของฟังก์ชันเหล่านี้

แม้ว่าเราจะพิจารณาสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ก็ตาม วิธีการของลากรองจ์ยังใช้ได้กับการแก้ปัญหาเชิงเส้นใดๆ อีกด้วย สมการที่ไม่เหมือนกัน - อย่างไรก็ตาม จะต้องรู้จักการทำเช่นนี้ ระบบพื้นฐานคำตอบของสมการเอกพันธ์

ขั้นตอนที่ 1 การแก้สมการเอกพันธ์

เช่นเดียวกับในกรณีของสมการอันดับหนึ่ง อันดับแรกเราจะหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์โดยการเทียบมือขวา ส่วนที่ต่างกันถึงศูนย์:
(2) .
คำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ:
(3) .
นี่คือค่าคงที่ตามอำเภอใจ - n เชิงเส้น การตัดสินใจที่เป็นอิสระสมการเอกพันธ์ (2) ซึ่งเป็นระบบพื้นฐานของการแก้สมการนี้

ขั้นตอนที่ 2 การแปรผันของค่าคงที่ - แทนที่ค่าคงที่ด้วยฟังก์ชัน

ในขั้นที่สอง เราจะจัดการกับความแปรผันของค่าคงที่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจะแทนที่ค่าคงที่ด้วยฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ x:
.
นั่นคือเรากำลังมองหาคำตอบของสมการดั้งเดิม (1) ในรูปแบบต่อไปนี้:
(4) .

ถ้าเราแทน (4) ลงใน (1) เราจะได้สมการเชิงอนุพันธ์หนึ่งสำหรับฟังก์ชัน n ในกรณีนี้ เราสามารถเชื่อมโยงฟังก์ชันเหล่านี้กับสมการเพิ่มเติมได้ จากนั้นคุณจะได้สมการ n อันที่สามารถกำหนดฟังก์ชัน n อันได้สามารถเขียนสมการเพิ่มเติมได้

ในรูปแบบต่างๆ - แต่เราจะทำสิ่งนี้เพื่อให้คำตอบมีรูปแบบที่ง่ายที่สุด ในการทำเช่นนี้ เมื่อทำการหาความแตกต่าง คุณจะต้องเทียบเงื่อนไขที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันให้เป็นศูนย์มาสาธิตสิ่งนี้กัน
.
ในการแทนที่วิธีแก้ปัญหาที่เสนอ (4) ลงในสมการดั้งเดิม (1) เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับ n แรกของฟังก์ชันที่เขียนในรูปแบบ (4) เราแยกความแตกต่าง (4) โดยใช้

.
กฎสำหรับการแยกผลรวม
(5.1) .
และผลงาน:
(6.1) .

มาจัดกลุ่มสมาชิกกัน ขั้นแรก เราเขียนพจน์ที่มีอนุพันธ์ของ และตามด้วยอนุพันธ์ของ :

.
กำหนดเงื่อนไขแรกให้กับฟังก์ชัน:
(5.2) .
แล้ว
(6.2) .
จากนั้นนิพจน์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่งจะมีรูปแบบที่ง่ายกว่า: ด้วยวิธีเดียวกัน เราจะพบอนุพันธ์อันดับสอง:กำหนดเงื่อนไขที่สองให้กับฟังก์ชัน:

และอื่นๆ ใน
เงื่อนไขเพิ่มเติม ,
เราถือพจน์ที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันให้เป็นศูนย์
ดังนั้น หากเราเลือกสมการเพิ่มเติมต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชัน: .
(5.k)

ค้นหาอนุพันธ์ลำดับที่ n:
(6.น)
.

แทนลงในสมการดั้งเดิม (1):
(1) ;






.
ให้เราคำนึงว่าฟังก์ชันทั้งหมดเป็นไปตามสมการ (2):
.
จากนั้นผลรวมของพจน์ที่มีศูนย์จะให้ศูนย์ เป็นผลให้เราได้รับ:
(7) .

เป็นผลให้เราได้รับระบบสมการเชิงเส้นสำหรับอนุพันธ์:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

ในการแก้ระบบนี้ เราจะพบนิพจน์ของอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันของ x
.
เมื่อบูรณาการ เราได้รับ:

นี่คือค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นอยู่กับ x อีกต่อไป เมื่อแทนค่าใน (4) เราจะได้คำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิม โปรดทราบว่าในการกำหนดค่าอนุพันธ์เราไม่เคยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสัมประสิทธิ์ a i คงที่ นั่นเป็นเหตุผลวิธีการของลากรองจ์ใช้ได้กับการแก้สมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้นใดๆ

หากทราบระบบพื้นฐานของการแก้สมการเอกพันธ์ (2)

ตัวอย่าง

แก้สมการโดยใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ (ลากรองจ์)

ขั้นต่ำทางทฤษฎี
ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ มีวิธีการที่อ้างว่ามีความเป็นสากลในระดับสูงพอสมควรสำหรับทฤษฎีนี้
เรากำลังพูดถึงวิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจซึ่งใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ต่างๆ
ระบบ นี่เป็นกรณีที่ทฤษฎี - หากเรานำการพิสูจน์ข้อความออกจากวงเล็บ - มีเพียงเล็กน้อย แต่ช่วยให้เราบรรลุผลได้

ผลลัพธ์ที่มีนัยสำคัญ ดังนั้นจะเน้นที่ตัวอย่าง
แนวคิดทั่วไปของวิธีนี้ค่อนข้างง่ายในการกำหนด ให้สมการที่กำหนด (ระบบสมการ) แก้ยากหรือเข้าใจยาก
วิธีแก้ปัญหา อย่างไรก็ตาม เป็นที่ชัดเจนว่าการกำจัดเงื่อนไขบางคำออกจากสมการก็จะได้รับการแก้ไข จากนั้นพวกเขาก็แก้โจทย์แบบง่ายนี้จริงๆ
สมการ (ระบบ) เราได้คำตอบที่มีค่าคงที่ตามอำเภอใจจำนวนหนึ่ง - ขึ้นอยู่กับลำดับของสมการ (จำนวน
สมการในระบบ) จากนั้นให้สันนิษฐานว่าค่าคงที่ในสารละลายที่พบนั้นไม่ใช่ค่าคงที่จริงของสารละลายที่พบ
จะถูกแทนที่ในสมการดั้งเดิม (ระบบ) จะได้สมการเชิงอนุพันธ์ (หรือระบบสมการ) เพื่อกำหนด "ค่าคงที่"
มีความเฉพาะเจาะจงบางประการในการใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจกับปัญหาต่างๆ แต่สิ่งเหล่านี้เป็นข้อมูลเฉพาะเจาะจงอยู่แล้วที่จะ

แสดงให้เห็นด้วยตัวอย่าง
.
ให้เราแยกกันพิจารณาคำตอบของสมการเชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์ของลำดับที่สูงกว่านั่นคือ สมการของแบบฟอร์ม
ของสมการนี้ สมมติว่าเราได้ค้นพบคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์แล้ว กล่าวคือ ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา (FSS) ได้ถูกสร้างขึ้นแล้ว
- แล้วคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์จะเท่ากับ
เราจำเป็นต้องหาคำตอบเฉพาะใดๆ ของสมการอินเอกยีน เพื่อจุดประสงค์นี้ ค่าคงที่จะถือว่าขึ้นอยู่กับตัวแปร
ต่อไปคุณจะต้องแก้ระบบสมการ
.
ทฤษฎีนี้รับประกันว่าระบบนี้ สมการพีชคณิตเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ
เมื่อค้นหาฟังก์ชันด้วยตนเอง ค่าคงที่ของการอินทิเกรตจะไม่ปรากฏ: ท้ายที่สุดแล้ว จะต้องค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาวิธีใดวิธีหนึ่ง

ในกรณีของการแก้ระบบสมการลำดับที่หนึ่งเชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์ของรูปแบบ

อัลกอริธึมยังคงแทบไม่เปลี่ยนแปลง ก่อนอื่นคุณต้องค้นหา FSR ที่เกี่ยวข้อง ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันสมการ สร้างเมทริกซ์พื้นฐาน
ระบบคอลัมน์ที่แสดงถึงองค์ประกอบของ FSR ต่อไปจะวาดสมการขึ้นมา
.
เมื่อทำการแก้ไขระบบ เราจะกำหนดฟังก์ชันต่างๆ ดังนั้นจึงค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับระบบดั้งเดิม
(เมทริกซ์พื้นฐานคูณด้วยคอลัมน์ของฟังก์ชันที่พบ)
เราเพิ่มมันเข้าไปในคำตอบทั่วไปของระบบสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันซึ่งสร้างขึ้นบนพื้นฐานของ FSR ที่พบแล้ว
จะได้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบดั้งเดิม

ตัวอย่าง.

ตัวอย่างที่ 1 สมการเชิงเส้นตรงของลำดับที่หนึ่ง.

ให้เราพิจารณาสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน (เราแสดงถึงฟังก์ชันที่ต้องการ):
.
สมการนี้สามารถแก้ได้อย่างง่ายดายโดยใช้วิธีแยกตัวแปร:

.
ทีนี้ลองจินตนาการถึงคำตอบของสมการดั้งเดิมในรูปแบบนี้ โดยที่ยังไม่พบฟังก์ชัน
เราแทนที่วิธีแก้ปัญหาประเภทนี้ลงในสมการดั้งเดิม:
.
อย่างที่คุณเห็น เทอมที่สองและสามทางด้านซ้ายหักล้างกัน นี่คือ คุณลักษณะเฉพาะวิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ

นี่มันมีค่าคงที่ตามใจชอบอยู่แล้ว ดังนั้น,
.

ตัวอย่างที่ 2 สมการของเบอร์นูลลี.

ดำเนินการคล้ายกับตัวอย่างแรก - เราแก้สมการ

วิธีการแยกตัวแปร ปรากฎว่าเรามองหาคำตอบของสมการดั้งเดิมในรูปแบบ
.
เราแทนที่ฟังก์ชันนี้เป็นสมการดั้งเดิม:
.
และการลดลงก็เกิดขึ้นอีกครั้ง:
.
ที่นี่คุณต้องจำไว้เพื่อให้แน่ใจว่าเมื่อหารด้วยสารละลายจะไม่สูญหาย และวิธีการแก้ไขของแบบเดิมก็สอดคล้องกับกรณีนี้
สมการ เรามาจำกัน ดังนั้น,
.
มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า
นี่คือวิธีแก้ปัญหา เมื่อจดคำตอบ คุณควรระบุวิธีแก้ปัญหาที่พบก่อนหน้านี้ด้วย เนื่องจากไม่สอดคล้องกับค่าสุดท้ายใดๆ
ค่าคงที่

ตัวอย่างที่ 3 สมการเชิงเส้นตรงแบบไม่เอกพันธ์ของลำดับที่สูงกว่า.

ให้เราทราบทันทีว่าสมการนี้สามารถแก้ไขได้ง่ายกว่า แต่จะสะดวกในการสาธิตวิธีการใช้ แม้ว่าจะมีข้อดีอยู่บ้าง
วิธีการแปรผันก็มีค่าคงที่ตามอำเภอใจในตัวอย่างนี้เช่นกัน
ดังนั้น คุณต้องเริ่มต้นด้วย FSR ของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน ให้เราระลึกว่าในการค้นหา FSR จะมีการคอมไพล์เส้นโค้งลักษณะเฉพาะ
สมการ
.
ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์
.
ค่าคงที่ที่รวมไว้ที่นี่จะต้องหลากหลาย การสร้างระบบ

วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจหรือวิธีลากรองจ์เป็นอีกวิธีหนึ่งในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งและสมการเบอร์นูลลี

เชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับแรกคือสมการที่อยู่ในรูปแบบ y’+p(x)y=q(x) หากมีศูนย์ทางด้านขวา: y'+p(x)y=0 นี่จะเป็นเส้นตรง เป็นเนื้อเดียวกันสมการลำดับที่ 1 ดังนั้นสมการที่ไม่เป็นศูนย์ ด้านขวา, y'+p(x)y=q(x), — ต่างกัน สมการเชิงเส้นลำดับที่ 1.

วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ (วิธีลากรองจ์) เป็นดังนี้:

1) เรากำลังมองหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ y’+p(x)y=0: y=y*

2) ในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป เราถือว่า C ไม่ใช่ค่าคงที่ แต่เป็นฟังก์ชันของ x: C = C (x) เราค้นหาอนุพันธ์ของวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (y*)’ และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับ y* และ (y*)’ ให้เป็นเงื่อนไขเริ่มต้น จากสมการผลลัพธ์เราจะพบฟังก์ชัน C(x)

3) ในคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ แทนที่จะเป็น C เราจะแทนที่นิพจน์ที่พบ C(x)

ลองดูตัวอย่างวิธีการเปลี่ยนค่าคงที่ตามอำเภอใจ มาทำงานเดียวกันกับใน เปรียบเทียบความคืบหน้าของการแก้ปัญหา และตรวจสอบให้แน่ใจว่าคำตอบที่ได้รับตรงกัน

1) y’=3x-y/x

ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบมาตรฐาน (ไม่เหมือนกับวิธีของเบอร์นูลลี ซึ่งเราต้องการรูปแบบสัญลักษณ์เพียงเพื่อดูว่าสมการนั้นเป็นเส้นตรง)

y’+y/x=3x (I) ตอนนี้เราดำเนินการตามแผน

1) แก้สมการเอกพันธ์ y’+y/x=0 นี่คือสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกจากกันได้ ลองนึกภาพ y’=dy/dx แทน: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x เราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย dx และหารด้วย xy≠0: dy/y=-dx/x มาบูรณาการกัน:

2) ในผลลัพธ์ของคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ เราจะถือว่า C ไม่ใช่ค่าคงที่ แต่เป็นฟังก์ชันของ x: C=C(x) จากที่นี่

เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ให้เป็นเงื่อนไข (I):

มารวมทั้งสองข้างของสมการกัน:

โดยที่ C เป็นค่าคงที่ใหม่อยู่แล้ว

3) ในคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ y=C/x โดยที่เราถือว่า C=C(x) นั่นคือ y=C(x)/x แทนที่จะเป็น C(x) เราจะแทนที่นิพจน์ที่พบ x³ +C: y=(x³ +C)/x หรือ y=x²+C/x เราได้รับคำตอบเช่นเดียวกับเมื่อแก้ด้วยวิธีของเบอร์นูลลี

คำตอบ: y=x²+C/x

2) y’+y=cosx.

ในที่นี้สมการถูกเขียนไว้ในรูปแบบมาตรฐานแล้ว ไม่จำเป็นต้องแปลงมัน

1) แก้สมการเชิงเส้นเอกพันธ์ y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. มาบูรณาการกัน:

เพื่อให้ได้รูปแบบสัญลักษณ์ที่สะดวกยิ่งขึ้น เราจะนำเลขยกกำลังของ C เป็น C ตัวใหม่:

การแปลงนี้ดำเนินการเพื่อให้ค้นหาอนุพันธ์ได้สะดวกยิ่งขึ้น

2) ในผลลัพธ์ของคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น เราถือว่า C ไม่ใช่ค่าคงที่ แต่เป็นฟังก์ชันของ x: C=C(x) ภายใต้เงื่อนไขนี้

เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ y และ y’ ลงในเงื่อนไข:

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย

เราอินทิเกรตทั้งสองข้างของสมการโดยใช้สูตรอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ เราได้:

โดยที่ C ไม่ใช่ฟังก์ชันอีกต่อไป แต่เป็นค่าคงที่ปกติ

3) ในคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์

แทนที่ฟังก์ชันที่พบ C(x):

เราได้รับคำตอบเช่นเดียวกับเมื่อแก้ด้วยวิธีของเบอร์นูลลี

วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจก็ใช้ในการแก้เช่นกัน

y'x+y=-xy²

เรานำสมการมาสู่รูปแบบมาตรฐาน: y’+y/x=-y² (II)

1) แก้สมการเอกพันธ์ y’+y/x=0 dy/dx=-y/x เราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย dx และหารด้วย y: dy/y=-dx/x ตอนนี้เรามารวมเข้าด้วยกัน:

เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ให้เป็นเงื่อนไข (II):

มาทำให้ง่ายขึ้น:

เราได้รับสมการที่มีตัวแปรที่แยกได้สำหรับ C และ x:

โดยที่ C เป็นค่าคงที่ปกติอยู่แล้ว ในระหว่างกระบวนการบูรณาการ เราเขียนเพียง C แทน C(x) เพื่อไม่ให้สัญลักษณ์โอเวอร์โหลด และในตอนท้ายเราก็กลับมาที่ C(x) เพื่อไม่ให้ C(x) สับสนกับ C ใหม่

3) ในคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ y=C(x)/x เราจะแทนที่ฟังก์ชันที่พบ C(x):

เราได้คำตอบเหมือนกับการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีแบร์นูลลี

ตัวอย่างการทดสอบตัวเอง:

1. ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบมาตรฐาน: y’-2y=x

1) แก้สมการเอกพันธ์ y’-2y=0 y’=dy/dx ดังนั้น dy/dx=2y คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย dx หารด้วย y แล้วอินทิเกรต:

จากที่นี่เราพบ y:

เราแทนที่นิพจน์สำหรับ y และ y’ ลงในเงื่อนไข (เพื่อความกระชับ เราจะใช้ C แทน C(x) และ C’ แทน C"(x)):

ในการค้นหาอินทิกรัลทางด้านขวา เราใช้สูตรอินทิกรัลตามส่วน:

ตอนนี้เราแทน u, du และ v ลงในสูตร:

ที่นี่ C = const

3) ตอนนี้เราแทนที่เนื้อเดียวกันลงในสารละลาย

วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน บทเรียนนี้มีไว้สำหรับนักเรียนที่มีความรอบรู้ในหัวข้อนี้ไม่มากก็น้อย หากคุณเพิ่งเริ่มทำความคุ้นเคยกับการควบคุมระยะไกลเช่น หากคุณเป็นกาน้ำชา ฉันขอแนะนำให้เริ่มด้วยบทเรียนแรก: สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ตัวอย่างการแก้ปัญหา- และถ้าคุณทำเสร็จแล้ว โปรดละทิ้งอคติที่เป็นไปได้ว่าวิธีการนี้ยาก เพราะมันง่าย

ในกรณีใดบ้างที่ใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ?

1) วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจสามารถใช้เพื่อแก้ได้ DE ที่ไม่เหมือนกันเชิงเส้นของลำดับที่ 1- เนื่องจากสมการอยู่ในลำดับแรก ค่าคงที่จึงเป็นหนึ่งด้วย

2) วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจใช้ในการแก้ปัญหาบางอย่าง สมการลำดับที่สองแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้น- ค่าคงที่สองค่าที่นี่แตกต่างกันไป

มีเหตุผลที่จะสรุปได้ว่าบทเรียนจะประกอบด้วยสองย่อหน้า... ฉันจึงเขียนประโยคนี้ และเป็นเวลาประมาณ 10 นาที ฉันก็ครุ่นคิดถึงเรื่องไร้สาระอื่นๆ ที่ฉันจะเพิ่มเข้าไปได้ เพื่อให้การเปลี่ยนผ่านไปสู่เรื่องราบรื่นราบรื่น ตัวอย่างการปฏิบัติ- แต่ด้วยเหตุผลบางอย่าง ฉันไม่มีความคิดใดๆ หลังวันหยุด แม้ว่าฉันจะไม่ได้ทำอะไรในทางที่ผิดก็ตาม ดังนั้นเรามาตรงไปที่ย่อหน้าแรกกันดีกว่า

วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ
สำหรับสมการเชิงเส้นตรงลำดับที่หนึ่ง

ก่อนที่จะพิจารณาวิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจขอแนะนำให้ทำความคุ้นเคยกับบทความนี้ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก- ในบทเรียนนั้นเราฝึกฝน วิธีแก้ปัญหาแรกลำดับที่ 1 ที่ไม่เหมือนกัน DE ฉันขอเตือนคุณว่าวิธีแก้ปัญหาแรกนี้เรียกว่า วิธีการทดแทนหรือ วิธีเบอร์นูลลี(เพื่อไม่ให้สับสนกับ สมการของเบอร์นูลลี!!!)

ตอนนี้เราจะดู วิธีที่สอง– วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ ฉันจะยกตัวอย่างเพียงสามตัวอย่างเท่านั้น และฉันจะนำมาจากบทเรียนที่กล่าวข้างต้น ทำไมน้อยจัง? เพราะที่จริงแล้ว คำตอบวิธีที่สองจะคล้ายกับคำตอบวิธีแรกมาก นอกจากนี้จากการสังเกตของฉัน วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจนั้นถูกใช้น้อยกว่าวิธีการแทนที่

ตัวอย่างที่ 1

(แตกต่างจากตัวอย่างที่ 2 ของบทเรียน สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ 1)

สารละลาย:สมการนี้เป็นสมการเชิงเส้นตรงและมีรูปแบบที่คุ้นเคย:

ในระยะแรก จำเป็นต้องแก้สมการที่ง่ายกว่า:
นั่นคือเรารีเซ็ตด้านขวาอย่างโง่เขลาและเขียนเป็นศูนย์แทน
สมการ ฉันจะโทร สมการเสริม.

ในตัวอย่างนี้ คุณต้องแก้สมการเสริมต่อไปนี้:

ก่อนเรา สมการที่แยกออกจากกันวิธีแก้ปัญหา (ฉันหวังว่า) จะไม่ใช่เรื่องยากสำหรับคุณอีกต่อไป:

ดังนั้น:
– ผลเฉลยทั่วไปของสมการเสริม

ในขั้นตอนที่สอง เราจะแทนที่ค่าคงที่บางอย่าง สำหรับตอนนี้ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักซึ่งขึ้นอยู่กับ "x":

ดังนั้นชื่อของวิธีการ - เราเปลี่ยนแปลงค่าคงที่ อีกทางหนึ่ง ค่าคงที่อาจเป็นฟังก์ชันที่เราต้องหาตอนนี้

ใน ต้นฉบับสมการที่ไม่เหมือนกัน มาทดแทนกัน:

มาแทนและ ลงในสมการ :

จุดควบคุม – เงื่อนไขสองข้อทางด้านซ้ายจะยกเลิก- หากไม่เกิดขึ้น คุณควรค้นหาข้อผิดพลาดด้านบน

จากการแทนที่จะได้สมการที่มีตัวแปรที่แยกได้ เราแยกตัวแปรและรวมเข้าด้วยกัน

ช่างเป็นพรอย่างยิ่งที่เลขชี้กำลังก็ยกเลิก:

เราเพิ่มค่าคงที่ "ปกติ" ให้กับฟังก์ชันที่พบ:

ในขั้นตอนสุดท้าย เราจำการเปลี่ยนของเราได้:

เพิ่งค้นพบฟังก์ชั่นนี้!

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

คำตอบ:วิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

หากคุณพิมพ์โซลูชันทั้งสองออกมา คุณจะสังเกตเห็นได้ง่ายว่าในทั้งสองกรณี เราพบอินทิกรัลที่เหมือนกัน ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือในอัลกอริทึมของโซลูชัน

สำหรับสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้ ฉันจะแสดงความคิดเห็นกับตัวอย่างที่สองด้วย:

ตัวอย่างที่ 2

หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
(แตกต่างจากตัวอย่างที่ 8 ของบทเรียน สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ 1)

สารละลาย:ให้เราลดสมการให้อยู่ในรูปแบบ :

ลองรีเซ็ตทางด้านขวามือแล้วแก้สมการเสริม:

คำตอบทั่วไปของสมการเสริม:

ในสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเราทำการแทนที่:

ตามกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์:

มาแทนและ เข้าสู่สมการเอกพันธ์ดั้งเดิม:

คำศัพท์สองคำทางด้านซ้ายเป็นการยกเลิก ซึ่งหมายความว่าเรามาถูกทางแล้ว:

มาบูรณาการกันทีละส่วน ตัวอักษรแสนอร่อยจากสูตรการรวมตามชิ้นส่วนมีส่วนเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาแล้ว ดังนั้นเราจึงใช้ตัวอย่างเช่นตัวอักษร "a" และ "be":

ตอนนี้เรามาจำการแทนที่กัน:

คำตอบ:วิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

และตัวอย่างหนึ่งสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขตั้งต้นที่กำหนด

,
(แตกต่างจากตัวอย่างที่ 4 ของบทเรียน สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ 1)
สารละลาย:
DE นี้เป็นแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้น เราใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ มาแก้สมการเสริมกัน:

เราแยกตัวแปรและรวม:

วิธีแก้ปัญหาทั่วไป:
ในสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเราทำการแทนที่:

มาทำการทดแทนกัน:

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

ให้เราค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด:

คำตอบ:โซลูชันส่วนตัว:

วิธีแก้ปัญหาในตอนท้ายของบทเรียนสามารถใช้เป็นตัวอย่างในการจบงานได้

วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ
สำหรับสมการลำดับที่สองแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้น
โดยมีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

ฉันมักจะได้ยินความคิดเห็นว่าวิธีการเปลี่ยนค่าคงที่ตามอำเภอใจสำหรับสมการอันดับสองไม่ใช่เรื่องง่าย แต่ฉันถือว่าสิ่งต่อไปนี้: เป็นไปได้มากว่าวิธีนี้ดูเหมือนยากสำหรับหลาย ๆ คนเพราะมันไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก แต่ในความเป็นจริงแล้ว ไม่มีปัญหาใดเป็นพิเศษ - แนวทางการตัดสินใจมีความชัดเจน โปร่งใส และเข้าใจได้ และสวยงาม

หากต้องการเชี่ยวชาญวิธีการนี้ ขอแนะนำให้สามารถแก้สมการอันดับสองที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันได้โดยเลือกวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตามรูปแบบของด้านขวามือ วิธีการนี้กล่าวถึงรายละเอียดในบทความ DE ลำดับที่ 2 ที่ไม่เหมือนกัน- เราจำได้ว่าสมการเชิงเส้นตรงลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่มีรูปแบบ:

วิธีการเลือกซึ่งได้อภิปรายไปแล้วในบทเรียนข้างต้น ใช้ได้เฉพาะในกรณีที่จำนวนจำกัดเท่านั้น เมื่อทางด้านขวาประกอบด้วยพหุนาม เอ็กซ์โปเนนเชียล ไซน์ และโคไซน์ แต่จะทำอย่างไรเมื่อทางด้านขวา เช่น เศษส่วน, ลอการิทึม, แทนเจนต์? ในสถานการณ์เช่นนี้ วิธีการแปรผันของค่าคงที่จะช่วยได้

ตัวอย่างที่ 4

หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง

สารละลาย:มีเศษส่วนอยู่ทางด้านขวาของสมการ ดังนั้นเราจึงบอกได้ทันทีว่าวิธีการเลือกวิธีแก้ปัญหาเฉพาะไม่ได้ผล เราใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ไม่มีสัญญาณของพายุฝนฟ้าคะนอง จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหาเป็นเรื่องปกติโดยสิ้นเชิง:

เราจะพบ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปเหมาะสม เป็นเนื้อเดียวกันสมการ:

มาเขียนและแก้กัน สมการลักษณะเฉพาะ:


– จะได้รากเชิงซ้อนคอนจูเกต ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

ให้ความสนใจกับบันทึกวิธีแก้ปัญหาทั่วไป - หากมีวงเล็บให้เปิดออก

ตอนนี้เราทำกลอุบายเกือบจะเหมือนกับสมการลำดับที่หนึ่ง นั่นคือ เราเปลี่ยนแปลงค่าคงที่ โดยแทนที่มันด้วยฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก นั่นคือ สารละลายทั่วไปที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเราจะค้นหาสมการในรูปแบบ:

ที่ไหน - สำหรับตอนนี้ฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จัก

ดูเหมือนเป็นหลุมฝังกลบ ขยะในครัวเรือนแต่ตอนนี้เราจะแยกแยะทุกอย่างออก

สิ่งที่ไม่ทราบคืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน เป้าหมายของเราคือการค้นหาอนุพันธ์ และอนุพันธ์ที่พบจะต้องเป็นไปตามสมการที่หนึ่งและที่สองของระบบ

“ชาวกรีก” มาจากไหน? นกกระสาพาพวกเขามา เราดูวิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่ได้รับมาก่อนหน้านี้แล้วเขียน:

มาหาอนุพันธ์กัน:

ส่วนด้านซ้ายได้รับการจัดการ อะไรอยู่ทางขวา?

- นี้ ด้านขวาสมการดั้งเดิมในกรณีนี้:

ค่าสัมประสิทธิ์คือค่าสัมประสิทธิ์ของอนุพันธ์อันดับสอง:

ในทางปฏิบัติเกือบทุกครั้ง และตัวอย่างของเราก็ไม่มีข้อยกเว้น

ทุกอย่างชัดเจน ตอนนี้คุณสามารถสร้างระบบได้แล้ว:

ปกติระบบจะได้รับการแก้ไข ตามสูตรของแครเมอร์โดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือแทนที่จะเป็นตัวเลข เรามีฟังก์ชัน

มาหาปัจจัยหลักของระบบกัน:

หากคุณลืมวิธีการเปิดเผยปัจจัยกำหนดแบบสองต่อสอง โปรดดูบทเรียนนี้ จะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างไร?ลิงค์นำไปสู่บอร์ดแห่งความละอาย =)

ดังนั้น นี่หมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

ค้นหาอนุพันธ์:

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด จนถึงตอนนี้ เราพบแค่อนุพันธ์เท่านั้น
ฟังก์ชั่นนั้นถูกกู้คืนโดยการรวมเข้าด้วยกัน:

ลองดูฟังก์ชันที่สอง:

ที่นี่เราเพิ่มค่าคงที่ "ปกติ"

ในขั้นตอนสุดท้ายของการแก้โจทย์ เราจำได้ว่าเรากำลังมองหาคำตอบทั่วไปของสมการแบบไม่เอกพันธ์ในรูปแบบใด ในนี้:

ฟังก์ชั่นที่คุณต้องการเพิ่งพบ!

สิ่งที่เหลืออยู่คือทำการทดแทนและจดคำตอบ:

คำตอบ:วิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

โดยหลักการแล้ว คำตอบสามารถขยายวงเล็บได้

ดำเนินการตรวจสอบการตอบสนองแบบเต็มโดยใช้ โครงการมาตรฐานที่ได้พูดคุยกันในชั้นเรียน DE ลำดับที่ 2 ที่ไม่เหมือนกัน- แต่การตรวจสอบจะไม่ง่ายเนื่องจากจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ที่ค่อนข้างหนักและดำเนินการทดแทนที่ยุ่งยาก นี่เป็นคุณสมบัติที่ไม่พึงประสงค์เมื่อคุณแก้ปัญหาตัวกระจายสัญญาณดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยการเปลี่ยนค่าคงที่ตามใจชอบ

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง อันที่จริง ทางด้านขวาก็มีเศษส่วนด้วย ให้เราจำสูตรตรีโกณมิติไว้ก่อน แต่จะต้องนำไปใช้ในระหว่างการแก้โจทย์

วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจเป็นวิธีการสากลที่สุด มันสามารถแก้สมการใด ๆ ที่สามารถแก้ไขได้ วิธีการเลือกโซลูชั่นเฉพาะตามรูปแบบด้านขวา- คำถามเกิดขึ้น: ทำไมไม่ใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจด้วยล่ะ คำตอบนั้นชัดเจน: การเลือกวิธีแก้ปัญหาเฉพาะซึ่งมีการอภิปรายในชั้นเรียน สมการอันดับสองที่ไม่เหมือนกันช่วยเร่งความเร็วโซลูชันได้อย่างมากและลดระยะเวลาการบันทึก โดยไม่ต้องยุ่งยากกับดีเทอร์มิแนนต์และอินทิกรัล

ลองดูสองตัวอย่างด้วย ปัญหาคอชี่.

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด

,

สารละลาย:อีกครั้งเศษส่วนและเลขชี้กำลังเข้า สถานที่ที่น่าสนใจ.
เราใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ

เราจะพบ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปเหมาะสม เป็นเนื้อเดียวกันสมการ:



– จะได้รากที่แท้จริงต่างกัน ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

สารละลายทั่วไปที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเรามองหาสมการในรูปแบบ: , โดยที่ – สำหรับตอนนี้ฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จัก

มาสร้างระบบกันเถอะ:

ในกรณีนี้:
,
การหาอนุพันธ์:
,

ดังนั้น:

มาแก้ระบบโดยใช้สูตรของ Cramer:
ซึ่งหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

เราคืนค่าฟังก์ชันโดยการรวมเข้าด้วยกัน:

ใช้ที่นี่ วิธีการรวมฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล.

เราคืนค่าฟังก์ชันที่สองโดยการรวมเข้าด้วยกัน:

อินทิกรัลนี้แก้ได้แล้ว วิธีการแทนที่ตัวแปร:

จากการทดแทนเราแสดง:

ดังนั้น:

อินทิกรัลนี้สามารถพบได้ วิธีการสกัดกำลังสองแบบสมบูรณ์แต่ในตัวอย่างที่มีตัวกระจาย ฉันชอบที่จะขยายเศษส่วน วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน:

พบทั้งสองฟังก์ชัน:

ผลที่ได้คือคำตอบทั่วไปของสมการแบบไม่เอกพันธ์คือ:

ลองหาคำตอบเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขตั้งต้นกัน .

ในทางเทคนิคแล้ว การค้นหาวิธีแก้ไขจะดำเนินการในลักษณะมาตรฐานตามที่กล่าวไว้ในบทความ สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์ของลำดับที่สอง.

เดี๋ยวก่อนเราจะหาอนุพันธ์ของวิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่พบ:

นี่เป็นเรื่องน่าอับอาย ไม่จำเป็นต้องทำให้มันง่ายขึ้น การสร้างระบบสมการทันทีจะง่ายกว่า ตามเงื่อนไขเบื้องต้น :

ลองแทนค่าที่พบของค่าคงที่ สู่วิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

ในคำตอบ ลอการิทึมสามารถบรรจุได้เล็กน้อย

คำตอบ:โซลูชันส่วนตัว:

อย่างที่คุณเห็น ปัญหาอาจเกิดขึ้นในอินทิกรัลและอนุพันธ์ แต่ไม่ใช่ในอัลกอริทึมสำหรับวิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ ไม่ใช่ฉันที่ข่มขู่คุณ แต่เป็นของสะสมทั้งหมดของ Kuznetsov!

เพื่อการผ่อนคลาย ตัวอย่างสุดท้ายที่ง่ายกว่าสำหรับการแก้ปัญหาด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 7

แก้ปัญหาคอชี่

,

ตัวอย่างนี้เรียบง่ายแต่สร้างสรรค์ เมื่อคุณสร้างระบบ ให้พิจารณาให้รอบคอบก่อนตัดสินใจ ;-)




ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาโดยทั่วไปคือ:

ให้เราค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้น .



ให้เราแทนค่าที่พบของค่าคงที่ลงในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

คำตอบ:โซลูชันส่วนตัว: