ค้นหาจุดที่สมมาตรกับจุดที่กำหนดซึ่งสัมพันธ์กับระนาบ ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเส้นตรงบนเครื่องบิน

เส้นตรงในอวกาศสามารถกำหนดเป็นเส้นตัดกันของระนาบที่ไม่ขนานกันสองระนาบได้เสมอ ถ้าสมการของระนาบหนึ่งคือสมการของระนาบที่สอง สมการของเส้นตรงจะได้รับเป็น

ที่นี่ ไม่ใช่คอลลิเนียร์
- สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการทั่วไป ตรงไปในอวกาศ

สมการ Canonical ของเส้นตรง

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นตรงที่กำหนดหรือขนานกับเวกเตอร์นั้น เรียกว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงนี้

หากทราบประเด็นแล้ว
เส้นตรงและเวกเตอร์ทิศทางของมัน
จากนั้นสมการมาตรฐานของเส้นตรงจะมีรูปแบบ:

. (9)

สมการพาราเมตริกของเส้นตรง

ให้สมการมาตรฐานของเส้นตรงถูกกำหนดไว้

.

จากตรงนี้ เราจะได้สมการพาราเมตริกของเส้นตรง:

(10)

สมการเหล่านี้มีประโยชน์ในการค้นหาจุดตัดของเส้นตรงและระนาบ

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด
และ
มีรูปแบบ:

.

มุมระหว่างเส้นตรง

มุมระหว่างเส้นตรง

และ

เท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้นจึงสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร (4):

เงื่อนไขสำหรับเส้นคู่ขนาน:

.

เงื่อนไขสำหรับระนาบที่จะตั้งฉาก:

ระยะห่างของจุดจากเส้น

ป สมมติว่าได้รับประเด็นแล้ว
และตรง

.

จากสมการบัญญัติของเส้นตรง เรารู้ประเด็นนี้
ที่เป็นของเส้นตรงและเวกเตอร์ทิศทางของมัน
- แล้วระยะห่างของจุด
จากเส้นตรงเท่ากับความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ และ
- เพราะฉะนั้น,

.

เงื่อนไขสำหรับจุดตัดของเส้น

เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกัน

,

ตัดกันถ้าและถ้าเท่านั้น

.

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงและระนาบ

ปล่อยให้เป็นเส้นตรง
และเครื่องบิน มุม ระหว่างนั้นสามารถพบได้โดยใช้สูตร

.

ปัญหาที่ 73.เขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรง

(11)

สารละลาย- ในการเขียนสมการบัญญัติของเส้นตรง (9) จำเป็นต้องรู้จุดใดๆ ที่เป็นของเส้นและเวกเตอร์ทิศทางของเส้น

ลองหาเวกเตอร์กัน ขนานกับเส้นนี้ เนื่องจากจะต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติของระนาบเหล่านี้ เช่น

,
, ที่

.

จากสมการทั่วไปของเส้นตรงเราได้ว่า
,
- แล้ว

.

ตั้งแต่จุด
จุดใดๆ บนเส้นตรง พิกัดของมันจะต้องเป็นไปตามสมการของเส้นตรงและสามารถระบุจุดใดจุดหนึ่งได้ เช่น
เราจะพบอีกสองพิกัดจากระบบ (11):

จากที่นี่
.

ดังนั้นสมการทางบัญญัติของเส้นที่ต้องการจึงมีรูปแบบ:

หรือ
.

ปัญหาที่ 74.

และ
.

สารละลาย.จาก สมการบัญญัติบรรทัดแรกรู้พิกัดของจุด
ที่เป็นของเส้นตรงและพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง
- จากสมการบัญญัติของบรรทัดที่สอง พิกัดของจุดยังเป็นที่รู้จักอีกด้วย
และพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง
.

ระยะห่างระหว่างเส้นขนานเท่ากับระยะห่างของจุด
จากเส้นตรงที่สอง ระยะทางนี้คำนวณโดยสูตร

.

ลองหาพิกัดของเวกเตอร์กัน
.

ลองคำนวณผลคูณเวกเตอร์กัน
:

.

ปัญหาที่ 75.หาจุด จุดสมมาตร
ค่อนข้างตรง

.

สารละลาย- ให้เราเขียนสมการของระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดและผ่านจุดหนึ่ง - เป็นเวกเตอร์ปกติของมัน คุณสามารถหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงได้ แล้ว
- เพราะฉะนั้น,

มาหาประเด็นกัน
จุดตัดของเส้นนี้กับระนาบ P เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ให้เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นโดยใช้สมการ (10) ที่เราได้รับ

เพราะฉะนั้น,
.

อนุญาต
ชี้สมมาตรไปยังจุด
สัมพันธ์กับบรรทัดนี้ แล้วชี้.
จุดกึ่งกลาง
- เพื่อค้นหาพิกัดของจุด เราใช้สูตรสำหรับพิกัดของจุดกึ่งกลางของกลุ่ม:

,
,
.

ดังนั้น,
.

ปัญหาที่ 76.เขียนสมการของระนาบที่ลากผ่านเส้นตรง
และ

ก) ผ่านจุดหนึ่ง
;

b) ตั้งฉากกับระนาบ

สารละลาย.ให้เราเขียนสมการทั่วไปของเส้นนี้ลงไป เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาความเท่าเทียมกันสองประการ:

ซึ่งหมายความว่าระนาบที่ต้องการนั้นอยู่ในกลุ่มของระนาบที่มีเครื่องกำเนิดไฟฟ้าและสมการของมันสามารถเขียนได้ในรูปแบบ (8):

ก) มาหากัน
และ จากสภาพที่เครื่องบินผ่านจุดนั้น
ดังนั้นพิกัดของมันจะต้องเป็นไปตามสมการของระนาบ ลองแทนพิกัดของจุดดู
เข้าไปในสมการของระนาบจำนวนหนึ่ง:

พบคุณค่า
ลองแทนที่มันเป็นสมการ (12) เราได้สมการของระนาบที่ต้องการ:

b) มาหากัน
และ จากเงื่อนไขว่าระนาบที่ต้องการตั้งฉากกับระนาบ เวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนด
, เวกเตอร์ปกติของระนาบที่ต้องการ (ดูสมการของระนาบพวง (12)

เวกเตอร์สองตัวจะตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อผลคูณดอทของพวกมันเป็นศูนย์ เพราะฉะนั้น,

ลองแทนค่าที่พบ
ลงในสมการของพวงเครื่องบิน (12) เราได้สมการของระนาบที่ต้องการ:

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

ปัญหาที่ 77.นำมาสู่รูปแบบมาตรฐานของสมการเส้น:

1)
2)

ปัญหาที่ 78.เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรง
, ถ้า:

1)
,
; 2)
,
.

ปัญหาที่ 79- เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดนั้น
ตั้งฉากกับเส้นตรง

ปัญหาที่ 80เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด
ตั้งฉากกับเครื่องบิน

ปัญหาที่ 81.ค้นหามุมระหว่างเส้นตรง:

1)
และ
;

2)
และ

ปัญหาที่ 82พิสูจน์เส้นขนาน:

และ
.

ปัญหาที่ 83พิสูจน์ความตั้งฉากของเส้น:

และ

ปัญหาที่ 84.คำนวณระยะทางจุด
จากเส้นตรง:

1)
; 2)
.

ปัญหาที่ 85.คำนวณระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน:

และ
.

ปัญหาที่ 86- ในสมการของเส้นตรง
กำหนดพารามิเตอร์ เพื่อให้เส้นนี้ตัดกับเส้นตรงแล้วหาจุดตัดกัน

ปัญหาที่ 87- แสดงว่าตรง.
ขนานไปกับเครื่องบิน
และเส้นตรง
อยู่ในระนาบนี้

ปัญหาที่ 88- หาจุด จุดสมมาตร สัมพันธ์กับเครื่องบิน
, ถ้า:

1)
, ;

2)
, ;.

ปัญหาที่ 89เขียนสมการของการตกจากจุดตั้งฉาก
โดยตรง
.

ปัญหาที่ 90- หาจุด จุดสมมาตร
ค่อนข้างตรง
.

คำชี้แจงของปัญหา ค้นหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดหนึ่ง สัมพันธ์กับเครื่องบิน

แผนการแก้ปัญหา

1. ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดแล้วผ่านจุดนั้น - เนื่องจากเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด ดังนั้นเวกเตอร์ปกติของระนาบจึงสามารถใช้เป็นเวกเตอร์ทิศทางได้ กล่าวคือ

.

ดังนั้นสมการของเส้นตรงจะเป็นดังนี้

.

2. ค้นหาจุด จุดตัดของเส้นตรง และเครื่องบิน (ดูปัญหาที่ 13)

3. จุด คือจุดกึ่งกลางของส่วนที่เป็นจุด เป็นจุดสมมาตรกับจุด นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม

ปัญหาที่ 14- ค้นหาจุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับระนาบ

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดจะเป็น:

.

ลองหาจุดตัดของเส้นตรงและระนาบกัน

ที่ไหน – จุดตัดของเส้นและระนาบจึงอยู่ตรงกลางของส่วน

เหล่านั้น. .

พิกัดระนาบที่เป็นเนื้อเดียวกัน

กำหนดการแปลงร่างบนเครื่องบิน อนุญาต มเอ็กซ์ และ

อนุญาต(ม, และที่ (ม, และแม่

ที่ (ม, และ

ที่ (ม, และ , 1) ในอวกาศ (รูปที่ 8)

ฮะ

(hx, hy, h), ชั่วโมง  0,

ความคิดเห็นชม. ความคิดเห็น

(ตัวอย่างเช่น, ความคิดเห็น

(hx, hy, h), ชั่วโมง  0,

ที่จริงแล้วการพิจารณา

ตัวอย่างที่ 1ข ) เป็นมุม

(รูปที่ 9)

ขั้นตอนที่ 1ขั้นตอนที่ 2

หมุนตามมุม 

เมทริกซ์ของการแปลงที่สอดคล้องกันขั้นตอนที่ 3 ถ่ายโอนไปยังเวกเตอร์ A(a,

หมุนตามมุม 

ข)

 ตัวอย่างที่ 3

(รูปที่ 9)

หมุนตามมุม 

ขั้นตอนที่ 1

เมทริกซ์ของการแปลงที่สอดคล้องกัน

ตามแนวแกน x และ

(hx, hy, h), ชั่วโมง  0,

ในที่สุดเราก็จะได้มันมา

กำหนดการแปลงร่างบนเครื่องบิน อนุญาต[R],[D],[M],[T], มเอ็กซ์ และ- จุดตามอำเภอใจของเครื่องบินพร้อมพิกัด

คำนวณสัมพันธ์กับระบบพิกัดเส้นตรงที่กำหนด พิกัดเอกพันธ์ของจุดนี้คือสามเท่าของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์พร้อมๆ กัน x 1, x 2, x 3 ซึ่งสัมพันธ์กับตัวเลขที่กำหนด x และ y โดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้: อนุญาต(ม, และเมื่อแก้ไขปัญหาคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ มักจะป้อนพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันดังนี้: ไปยังจุดใดก็ได้ ที่ (ม, และแม่

) เครื่องบินได้รับการกำหนดจุด ที่ (ม, และโปรดทราบว่าจุดใดก็ได้บนเส้นที่เชื่อมต่อจุดเริ่มต้น จุด 0(0, 0, 0) โดยมีจุด

, 1) สามารถกำหนดได้ด้วยตัวเลขสามตัวของรูปแบบ (hx, hy, h) ที่ (ม, และเวกเตอร์ที่มีพิกัด hx, hy คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุด 0 (0, 0, 0) และ , 1) ในอวกาศ (รูปที่ 8)

ดังนั้นระหว่างจุดใดก็ได้ที่มีพิกัด (x, y) และเซตของตัวเลขสามเท่าของแบบฟอร์ม

ฮะ

มีการสร้างการติดต่อสื่อสาร (แบบหนึ่งต่อหนึ่ง) ซึ่งช่วยให้เราสามารถพิจารณาตัวเลข hx, hy, h เป็นพิกัดใหม่ของจุดนี้

(hx, hy, h), ชั่วโมง  0,

พิกัดเนื้อเดียวกันที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในเรขาคณิตการฉายภาพทำให้สามารถอธิบายสิ่งที่เรียกว่าองค์ประกอบที่ไม่เหมาะสมได้อย่างมีประสิทธิภาพ (โดยพื้นฐานแล้วคือองค์ประกอบที่ระนาบการฉายภาพแตกต่างจากระนาบยูคลิดที่คุ้นเคย) รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความเป็นไปได้ใหม่ที่ได้รับจากพิกัดเอกพันธ์ที่แนะนำไว้มีการอภิปรายในส่วนที่สี่ของบทนี้

ในเรขาคณิตฉายภาพสำหรับพิกัดเนื้อเดียวกัน ยอมรับสัญกรณ์ต่อไปนี้:

x:y:1 หรือโดยทั่วไปคือ x1:x2:x3

(โปรดจำไว้ว่าในที่นี้จำเป็นอย่างยิ่งที่ตัวเลข x 1, x 2, x 3 จะไม่เปลี่ยนเป็นศูนย์ในเวลาเดียวกัน)

การใช้พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นสะดวกแม้ว่าจะแก้ไขปัญหาที่ง่ายที่สุดก็ตาม

ตัวอย่างเช่น พิจารณาประเด็นที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงขนาด หากอุปกรณ์แสดงผลใช้งานได้กับจำนวนเต็มเท่านั้น (หรือถ้าคุณต้องการทำงานเฉพาะกับจำนวนเต็ม) ดังนั้นสำหรับค่าที่กำหนดเอง ความคิดเห็นชม. ความคิดเห็น= 1) จุดที่มีพิกัดเป็นเนื้อเดียวกัน

เป็นไปไม่ได้ที่จะจินตนาการ อย่างไรก็ตาม ด้วยตัวเลือก h ที่สมเหตุสมผล จึงเป็นไปได้ที่จะตรวจสอบให้แน่ใจว่าพิกัดของจุดนี้เป็นจำนวนเต็ม โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ h = 10 สำหรับตัวอย่างที่เรามี

ลองพิจารณาอีกกรณีหนึ่ง เพื่อป้องกันไม่ให้ผลลัพธ์การแปลงนำไปสู่การโอเวอร์โฟลว์ทางคณิตศาสตร์ สำหรับจุดที่มีพิกัด (80000 40000 1000) คุณสามารถใช้ได้ เช่น h=0.001 เป็นผลให้เราได้รับ (80 40 1)

ตัวอย่างที่ให้ไว้แสดงให้เห็นถึงประโยชน์ของการใช้พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันเมื่อทำการคำนวณ อย่างไรก็ตาม วัตถุประสงค์หลักของการแนะนำพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันในคอมพิวเตอร์กราฟิกคือความสะดวกอย่างไม่ต้องสงสัยในการประยุกต์กับการแปลงทางเรขาคณิต

การใช้พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันสามเท่าและเมทริกซ์ลำดับที่สาม สามารถอธิบายการเปลี่ยนแปลงแบบสัมพัทธ์ใดๆ ของระนาบได้

(ตัวอย่างเช่น, ความคิดเห็น= 1 เปรียบเทียบสองรายการ: ทำเครื่องหมายด้วยสัญลักษณ์ * และเมทริกซ์ต่อไปนี้:

จะสังเกตได้ง่ายว่าหลังจากคูณนิพจน์ทางด้านขวาของความสัมพันธ์สุดท้าย เราจะได้ทั้งสูตร (*) และความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง 1=1

(hx, hy, h), ชั่วโมง  0,

บางครั้งในวรรณคดีมีการใช้สัญกรณ์อื่น - สัญกรณ์เรียงเป็นแนว:

สัญกรณ์นี้เทียบเท่ากับสัญกรณ์แบบทีละบรรทัดข้างต้น (และได้รับจากสัญกรณ์นี้โดยการย้าย)

องค์ประกอบของเมทริกซ์ตามอำเภอใจ การเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ไม่มีความหมายทางเรขาคณิตที่แสดงออกมาอย่างชัดเจน ดังนั้นเพื่อที่จะนำการทำแผนที่นี้ไปใช้นั่นคือเพื่อค้นหาองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่สอดคล้องกันตามคำอธิบายทางเรขาคณิตที่กำหนดจึงจำเป็นต้องใช้เทคนิคพิเศษ โดยทั่วไปแล้ว การสร้างเมทริกซ์นี้ตามความซับซ้อนของปัญหาที่กำลังพิจารณาและกรณีพิเศษที่อธิบายไว้ข้างต้นจะแบ่งออกเป็นหลายขั้นตอน

ในแต่ละขั้นตอนจะมีการค้นหาเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับกรณี A, B, C หรือ D ข้างต้นอย่างใดอย่างหนึ่งซึ่งมีคุณสมบัติทางเรขาคณิตที่กำหนดไว้อย่างดี

ให้เราเขียนเมทริกซ์ลำดับที่สามที่สอดคล้องกันลงไป

ก. เมทริกซ์การหมุน

B. เมทริกซ์การขยาย

B. เมทริกซ์การสะท้อน

D. ถ่ายโอนเมทริกซ์ (การแปล)

ลองพิจารณาตัวอย่างของการแปลงความสัมพันธ์ของระนาบ

ที่จริงแล้วการพิจารณา

สร้างเมทริกซ์การหมุนรอบจุด A (a,ตัวอย่างที่ 1ข ) เป็นมุม

(รูปที่ 9)ถ่ายโอนไปยังเวกเตอร์ – A (-a, -b) เพื่อจัดตำแหน่งศูนย์กลางการหมุนให้ตรงกับที่มาของพิกัด

หมุนตามมุม 

ขั้นตอนที่ 1ขั้นตอนที่ 2

หมุนตามมุม 

เมทริกซ์ของการแปลงที่สอดคล้องกันขั้นตอนที่ 3 ถ่ายโอนไปยังเวกเตอร์ A(a,เพื่อคืนจุดศูนย์กลางการหมุนไปยังตำแหน่งก่อนหน้า

หมุนตามมุม 

ลองคูณเมทริกซ์ตามลำดับเดียวกับที่เขียนไว้:

เป็นผลให้เราพบว่าการแปลงที่ต้องการ (ในรูปแบบเมทริกซ์) จะมีลักษณะดังนี้:

องค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์ (โดยเฉพาะในแถวสุดท้าย) ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะจดจำ ในเวลาเดียวกัน เมทริกซ์คูณทั้งสามแต่ละตัวสามารถสร้างขึ้นได้อย่างง่ายดายจากคำอธิบายทางเรขาคณิตของการแมปที่สอดคล้องกัน

ข)

สร้างเมทริกซ์ยืดด้วยค่าสัมประสิทธิ์การยืด ตัวอย่างที่ 3 ตามแนวแกนกำหนดและมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด A(a, b)

(รูปที่ 9)ถ่ายโอนไปยังเวกเตอร์ -A(-a, -b) เพื่อจัดแนวศูนย์กลางการยืดให้ตรงกับที่มาของพิกัด

หมุนตามมุม 

ขั้นตอนที่ 1การยืดตามแนวแกนพิกัดด้วยสัมประสิทธิ์  และ  ตามลำดับ เมทริกซ์การแปลงจะมีรูปแบบ

เมทริกซ์ของการแปลงที่สอดคล้องกันถ่ายโอนไปยังเวกเตอร์ A(a, b) เพื่อคืนจุดศูนย์กลางของความตึงเครียดกลับสู่ตำแหน่งเดิม เมทริกซ์ของการแปลงที่สอดคล้องกัน –

การคูณเมทริกซ์ในลำดับเดียวกัน

ตามแนวแกน x และ

(hx, hy, h), ชั่วโมง  0,

การใช้เหตุผลในทำนองเดียวกัน นั่นคือ แบ่งการแปลงที่เสนอออกเป็นขั้นที่เมทริกซ์รองรับในที่สุดเราก็จะได้มันมา เราสามารถสร้างเมทริกซ์ของการแปลงความสัมพันธ์ใดๆ ได้จากคำอธิบายทางเรขาคณิตของมัน

การเปลี่ยนแปลงจะดำเนินการโดยการบวก และการขยายขนาดและการหมุนจะดำเนินการโดยการคูณ

การแปลงสเกล (การขยายตัว) สัมพันธ์กับต้นกำเนิดมีรูปแบบดังนี้

หรือในรูปแบบเมทริกซ์:

ที่ไหน ดีเอ็กซ์,ดียคือปัจจัยการปรับขนาดตามแนวแกน และ

- เมทริกซ์สเกล

เมื่อ D > 1 การขยายตัวจะเกิดขึ้น เมื่อ 0<=D<1- сжатие

การเปลี่ยนแปลงการหมุน สัมพันธ์กับแหล่งกำเนิดมีรูปแบบดังนี้

หรือในรูปแบบเมทริกซ์:

โดยที่ φ คือมุมการหมุน และ

- เมทริกซ์การหมุน

ความคิดเห็น:คอลัมน์และแถวของเมทริกซ์การหมุนเป็นเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากซึ่งกันและกัน ที่จริงแล้ว กำลังสองของความยาวของเวกเตอร์แถวมีค่าเท่ากับ 1:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 และ (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

และผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์แถวคือ

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0

เนื่องจากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ก · บี = |ก| ·| บี- ·cosψ โดยที่ | ก- - ความยาวเวกเตอร์ ก, |บี- - ความยาวเวกเตอร์ บีและ ψ เป็นมุมบวกที่เล็กที่สุดระหว่างพวกมัน จากนั้นจากความเท่าเทียมกัน 0 ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์สองแถวที่มีความยาว 1 จะตามมาว่ามุมระหว่างพวกมันคือ 90 °

ให้เราได้รับเส้นตรงที่ระบุโดยสมการเชิงเส้นและจุดที่ระบุโดยพิกัดของมัน (x0, y0) และไม่นอนอยู่บนเส้นนี้ จำเป็นต้องค้นหาจุดที่จะสมมาตรกับจุดที่กำหนดเกี่ยวกับเส้นตรงที่กำหนดนั่นคือจะตรงกับจุดนั้นหากระนาบจิตใจงอครึ่งหนึ่งตามเส้นตรงนี้

คำแนะนำ

1. เป็นที่ชัดเจนว่าทั้งสองจุด - ที่กำหนดและที่ต้องการ - ต้องอยู่ในบรรทัดเดียวกันและเส้นนี้จะต้องตั้งฉากกับจุดที่กำหนด ดังนั้น ส่วนแรกของปัญหาคือการค้นหาสมการของเส้นตรงที่จะตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดและในขณะเดียวกันก็ผ่านจุดที่กำหนด

2. เส้นตรงสามารถระบุได้สองวิธี สมการมาตรฐานของเส้นตรงมีลักษณะดังนี้: Ax + By + C = 0 โดยที่ A, B และ C เป็นค่าคงที่ คุณยังสามารถกำหนดเส้นตรงโดยใช้ฟังก์ชันเชิงเส้นได้: y = kx + b โดยที่ k คือเลขชี้กำลังเชิงมุม b คือการกระจัด ทั้งสองวิธีนี้ใช้แทนกันได้ และคุณสามารถย้ายจากกันไปยังอีกวิธีหนึ่งได้ ถ้า Ax + By + C = 0 ดังนั้น y = – (Ax + C)/B กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในฟังก์ชันเชิงเส้น y = kx + b เลขชี้กำลังเชิงมุม k = -A/B และการกระจัด b = -C/B สำหรับงานที่ทำอยู่ จะสะดวกกว่าในการให้เหตุผลตามสมการมาตรฐานของเส้นตรง

3. ถ้าเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกัน และสมการของเส้นแรกคือ Ax + By + C = 0 ดังนั้นสมการของเส้นที่ 2 ควรมีลักษณะดังนี้ Bx – Ay + D = 0 โดยที่ D เป็นค่าคงที่ ในการตรวจจับค่าที่แน่นอนของ D จำเป็นต้องทราบเพิ่มเติมว่าเส้นตั้งฉากผ่านจุดใด ในกรณีนี้ นี่คือจุด (x0, y0) ดังนั้น D จะต้องเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน: Bx0 – Ay0 + D = 0 นั่นคือ D = Ay0 – Bx0

4. หลังจากค้นพบเส้นตั้งฉากแล้วจำเป็นต้องคำนวณพิกัดของจุดตัดกับพิกัดที่กำหนด ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้น: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0 วิธีแก้จะให้ตัวเลข (x1, y1) ซึ่งทำหน้าที่เป็นพิกัดของ จุดตัดของเส้น

5. จุดที่ต้องการจะต้องอยู่บนเส้นที่ตรวจพบ และระยะห่างถึงจุดตัดจะต้องเท่ากับระยะทางจากจุดตัดไปยังจุด (x0, y0) พิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุด (x0, y0) จึงสามารถหาได้โดยการแก้ระบบสมการ: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2)

6. แต่คุณสามารถทำได้ง่ายกว่านี้ ถ้าจุด (x0, y0) และ (x, y) อยู่ห่างจากจุด (x1, y1) เท่ากัน และจุดทั้งสามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน แล้ว: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 ดังนั้น x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0 โดยการแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสมการที่สองของระบบแรกและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบให้แน่ใจว่าด้านขวาจะเหมือนกับด้านซ้าย นอกจากนี้ ไม่มีประโยชน์ที่จะพิจารณาสมการแรกอีกต่อไป เนื่องจากเป็นที่ทราบกันว่าจุด (x0, y0) และ (x1, y1) เป็นที่น่าพอใจ และจุด (x, y) เห็นได้ชัดว่าอยู่ในเส้นเดียวกัน .

ภารกิจคือการหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับเส้นตรง - ฉันแนะนำให้ทำตามขั้นตอนด้วยตัวเอง แต่ฉันจะร่างอัลกอริทึมการแก้ปัญหาด้วยผลลัพธ์ขั้นกลาง:

1) ค้นหาเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง

2) ค้นหาจุดตัดของเส้น: .

การกระทำทั้งสองจะกล่าวถึงโดยละเอียดในบทเรียนนี้

3) จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน เรารู้พิกัดของตรงกลางและปลายด้านหนึ่ง โดย สูตรสำหรับพิกัดจุดกึ่งกลางของส่วนเราพบ

เป็นความคิดที่ดีที่จะตรวจสอบว่าระยะทางเป็น 2.2 หน่วยด้วย

ความยากลำบากอาจเกิดขึ้นที่นี่ในการคำนวณ แต่เครื่องคิดเลขขนาดเล็กเป็นตัวช่วยที่ดีเยี่ยมในหอคอย ทำให้คุณสามารถคำนวณเศษส่วนธรรมดาได้ ฉันเคยแนะนำคุณหลายครั้งแล้วและจะแนะนำคุณอีกครั้ง

จะหาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้นได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้น

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งให้คุณตัดสินใจด้วยตัวเอง ฉันจะให้คำแนะนำเล็กน้อยแก่คุณ: มีหลายวิธีในการแก้ปัญหานี้อย่างไม่สิ้นสุด การซักถามในตอนท้ายของบทเรียน แต่ควรลองเดาด้วยตัวเองดีกว่า ฉันคิดว่าความฉลาดของคุณได้รับการพัฒนาอย่างดี

มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

ทุกมุมเป็นวงกบ:


ในเรขาคณิต มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะถือเป็นมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจะตามมาโดยอัตโนมัติเพื่อไม่ให้มุมป้าน ในรูป มุมที่ระบุโดยส่วนโค้งสีแดงไม่ถือเป็นมุมระหว่างเส้นตัดกัน และเพื่อนบ้าน "สีเขียว" ของเขาหรือ มุ่งเน้นตรงกันข้ามมุม "ราสเบอร์รี่"

ถ้าเส้นตั้งฉาก มุมทั้ง 4 มุมก็สามารถถือเป็นมุมระหว่างมุมเหล่านั้นได้

มุมต่างกันอย่างไร? ปฐมนิเทศ. ประการแรก ทิศทางของการ "เลื่อน" มุมนั้นมีความสำคัญขั้นพื้นฐาน ประการที่สอง มุมที่เป็นลบจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายลบ เช่น ถ้า

ทำไมฉันถึงบอกคุณเรื่องนี้? ดูเหมือนว่าเราจะผ่านแนวคิดเรื่องมุมตามปกติได้ ความจริงก็คือสูตรที่ใช้หามุมสามารถให้ผลลัพธ์เชิงลบได้ง่าย และสิ่งนี้ไม่ควรทำให้คุณประหลาดใจ มุมที่มีเครื่องหมายลบก็ไม่ได้แย่ไปกว่านั้น และมีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก ในภาพวาด สำหรับมุมลบ ต้องแน่ใจว่าได้ระบุทิศทางด้วยลูกศร (ตามเข็มนาฬิกา)

จะหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?มีสองสูตรการทำงาน:

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหามุมระหว่างเส้น

สารละลายและ วิธีที่หนึ่ง

ลองพิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป:

ถ้าตรง ไม่ตั้งฉาก, ที่ มุ่งเน้นมุมระหว่างมุมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

ให้เราใส่ใจกับตัวส่วนอย่างใกล้ชิด - ตรงนี้เอง ผลิตภัณฑ์ดอทกำกับเวกเตอร์ของเส้นตรง:

ถ้า แล้วตัวหารของสูตรจะกลายเป็นศูนย์ และเวกเตอร์จะตั้งฉากและเส้นจะตั้งฉาก นั่นคือสาเหตุว่าทำไมจึงมีข้อสงวนเกี่ยวกับความไม่ตั้งฉากของเส้นตรงในสูตร

จากที่กล่าวมาข้างต้น จะสะดวกในการจัดทำโซลูชันอย่างเป็นทางการในสองขั้นตอน:

1) ลองคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

2) ค้นหามุมระหว่างเส้นตรงโดยใช้สูตร:

การใช้ฟังก์ชันผกผันทำให้ง่ายต่อการค้นหามุม ในกรณีนี้ เราใช้ความคี่ของอาร์กแทนเจนต์ (ดู กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น):

คำตอบ:

ในคำตอบ เราระบุค่าที่แน่นอน รวมถึงค่าโดยประมาณ (ควรเป็นทั้งองศาและเรเดียน) โดยคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข

ลบ ลบ ไม่ใช่เรื่องใหญ่อะไร นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:

ไม่น่าแปลกใจที่มุมกลายเป็นลบเพราะในคำชี้แจงปัญหาตัวเลขแรกเป็นเส้นตรงและการ "คลายเกลียว" ของมุมเริ่มต้นด้วยอย่างแม่นยำ

หากคุณต้องการได้มุมบวกจริงๆ คุณต้องสลับเส้น นั่นคือ นำสัมประสิทธิ์จากสมการที่สอง และหาสัมประสิทธิ์จากสมการแรก ในระยะสั้นคุณต้องเริ่มต้นด้วยโดยตรง .

ฉันจะไม่ซ่อนมัน ฉันเลือกเส้นตรงด้วยตัวเองตามลำดับเพื่อให้มุมกลายเป็นบวก สวยกว่าแต่ไม่มีอะไรมากกว่านั้น

หากต้องการตรวจสอบสารละลาย คุณสามารถใช้ไม้โปรแทรกเตอร์และวัดมุมได้

วิธีที่สอง

ถ้าเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการที่มีความชันและ ไม่ตั้งฉาก, ที่ มุ่งเน้นมุมระหว่างพวกเขาสามารถพบได้โดยใช้สูตร:

สภาพของการตั้งฉากของเส้นแสดงด้วยความเท่าเทียมกันซึ่งตามความสัมพันธ์ที่มีประโยชน์มากระหว่างค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตั้งฉาก: ซึ่งใช้ในปัญหาบางอย่าง

อัลกอริธึมการแก้ปัญหาคล้ายกับย่อหน้าก่อนหน้า แต่ก่อนอื่น มาเขียนเส้นตรงของเราใหม่ในรูปแบบที่ต้องการ:

ดังนั้นความลาดชันคือ:

1) ตรวจสอบว่าเส้นตั้งฉากกันหรือไม่:
ซึ่งหมายความว่าเส้นไม่ตั้งฉาก

2) ใช้สูตร:

คำตอบ:

วิธีที่สองมีความเหมาะสมที่จะใช้เมื่อเริ่มแรกระบุสมการของเส้นตรงด้วยสัมประสิทธิ์เชิงมุม ควรสังเกตว่าหากมีเส้นตรงอย่างน้อยหนึ่งเส้นขนานกับแกนกำหนด สูตรจะไม่สามารถใช้ได้เลย เนื่องจากสำหรับเส้นตรงดังกล่าว ความชันไม่ได้ถูกกำหนดไว้ (ดูบทความ สมการของเส้นตรงบนระนาบ).

มีวิธีแก้ไขที่สาม แนวคิดคือการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นโดยใช้สูตรที่กล่าวถึงในบทเรียน ผลคูณดอทของเวกเตอร์:

ในที่นี้เราไม่ได้พูดถึงมุมเชิงมุมอีกต่อไป แต่ "แค่เกี่ยวกับมุมหนึ่ง" นั่นคือผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกอย่างแน่นอน ประเด็นก็คือคุณอาจได้มุมป้าน (ไม่ใช่มุมที่คุณต้องการ) ในกรณีนี้ คุณจะต้องจองว่ามุมระหว่างเส้นตรงเป็นมุมที่เล็กกว่า และลบอาร์คโคไซน์ผลลัพธ์จากเรเดียน “pi” (180 องศา)

ผู้ที่ปรารถนาสามารถแก้ปัญหาได้ด้วยวิธีที่สาม แต่ฉันยังคงแนะนำให้ยึดติดกับแนวทางแรกด้วยมุมที่มุ่งเน้นด้วยเหตุผลที่ทำให้แพร่หลาย

ตัวอย่างที่ 11

หามุมระหว่างเส้น.

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ลองแก้ปัญหาด้วยสองวิธี

เทพนิยายก็ดับไประหว่างทาง... เพราะไม่มี Kashchei ผู้เป็นอมตะ นั่นก็คือฉัน และฉันก็ไม่ได้อารมณ์ร้อนเป็นพิเศษ พูดตามตรงฉันคิดว่าบทความนี้จะยาวกว่านี้มาก แต่ฉันยังคงนำหมวกและแว่นตาที่เพิ่งได้มาไปว่ายน้ำในทะเลสาบเดือนกันยายน บรรเทาความเหนื่อยล้าและพลังงานด้านลบได้อย่างสมบูรณ์แบบ

แล้วพบกันใหม่!

และจำไว้ว่า Baba Yaga ยังไม่ถูกยกเลิก =)

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3:สารละลาย : ลองหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง :

เรามาเขียนสมการของเส้นตรงที่ต้องการโดยใช้จุดกัน และเวกเตอร์ทิศทาง - เนื่องจากพิกัดหนึ่งของเวกเตอร์ทิศทางเป็นศูนย์ ดังนั้น สมการ มาเขียนมันใหม่ในรูปแบบ:

คำตอบ :

ตัวอย่างที่ 5:สารละลาย :
1) สมการของเส้น มารวมกันเป็นสองประเด็น :

2) สมการของเส้น มารวมกันเป็นสองประเด็น :

3) ค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปร ไม่สมส่วน: ซึ่งหมายความว่าเส้นตัดกัน
4) ค้นหาจุด :


บันทึก : โดยที่สมการแรกของระบบคูณด้วย 5 จากนั้นสมการที่ 2 ลบทีละเทอมจากสมการที่ 1
คำตอบ :

โอ๊ะโอ๊ะโอ... ก็ยากนะ เหมือนอ่านประโยคให้ตัวเองฟัง =) อย่างไรก็ตาม ความผ่อนคลายจะช่วยได้ทีหลัง โดยเฉพาะวันนี้ที่ซื้ออุปกรณ์เสริมที่เหมาะสมมา เรามาต่อกันที่ส่วนแรกกันดีกว่า ฉันหวังว่าในตอนท้ายของบทความ ฉันจะคงอารมณ์ร่าเริงไว้ได้

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้น

นี่เป็นกรณีที่ผู้ฟังร้องเพลงพร้อมคอรัส เส้นตรงสองเส้นก็ได้:

1) การแข่งขัน;

2) ขนาน: ;

3) หรือตัดกันที่จุดเดียว: .

ช่วยเหลือหุ่น : โปรดจำไว้ว่าเครื่องหมายทางแยกทางคณิตศาสตร์จะปรากฎบ่อยมาก สัญกรณ์หมายความว่าเส้นตัดกับเส้นตรงจุด

จะทราบตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้นได้อย่างไร?

เริ่มจากกรณีแรกกันก่อน:

เส้นสองเส้นตรงกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนเท่านั้นนั่นคือมีจำนวน "แลมบ์ดา" ที่ทำให้ความเท่าเทียมกันมีความพึงพอใจ

ลองพิจารณาเส้นตรงและสร้างสมการสามสมการจากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน: . จากแต่ละสมการจึงเป็นไปตามนั้น เส้นเหล่านี้จึงตรงกัน

แท้จริงแล้วถ้าสัมประสิทธิ์ของสมการทั้งหมด คูณด้วย –1 (เครื่องหมายเปลี่ยน) และค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ ตัดด้วย 2 คุณจะได้สมการเดียวกัน: .

กรณีที่สอง เมื่อเส้นขนานกัน:

เส้นสองเส้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเป็นสัดส่วน: , แต่.

เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาเส้นตรงสองเส้น เราตรวจสอบสัดส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปร:

อย่างไรก็ตาม มันค่อนข้างชัดเจนว่า

และกรณีที่สาม เมื่อเส้นตัดกัน:

เส้นตรงสองเส้นตัดกันหากค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่เป็นสัดส่วนนั่นคือไม่มีค่าของ "แลมบ์ดา" ที่จะพึงพอใจกับความเท่าเทียมกัน

ดังนั้น สำหรับเส้นตรง เราจะสร้างระบบ:

จากสมการแรกเป็นไปตามนั้น และจากสมการที่สอง: ซึ่งหมายถึง ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจึงไม่เป็นสัดส่วน

สรุป: เส้นตัดกัน

ในปัญหาเชิงปฏิบัติ คุณสามารถใช้โครงร่างการแก้ปัญหาที่เพิ่งกล่าวถึงได้ อย่างไรก็ตาม มันชวนให้นึกถึงอัลกอริธึมในการตรวจสอบเวกเตอร์สำหรับคอลลิเนียริตีซึ่งเราดูในชั้นเรียนเป็นอย่างมาก แนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้น (ใน) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์- แต่มีบรรจุภัณฑ์ที่มีอารยะมากกว่า:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น:

สารละลายจากการศึกษาเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง:

ก) จากสมการเราพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้น: .

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกันและมีเส้นตัดกัน

เผื่อว่าฉันจะวางก้อนหินที่มีป้ายไว้ตรงทางแยก:

ที่เหลือก็กระโดดข้ามหินแล้วเดินตามต่อไป ตรงไปที่ Kashchei the Immortal =)

b) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

เส้นตรงมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นทั้งสองขนานกันหรือบังเอิญกัน ไม่จำเป็นต้องนับดีเทอร์มีแนนต์ตรงนี้

เห็นได้ชัดว่าค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งไม่รู้นั้นเป็นสัดส่วน และ

มาดูกันว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่:

ดังนั้น,

c) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้:
ดังนั้น เวกเตอร์ทิศทางจึงเป็นเส้นตรง เส้นขนานหรือบังเอิญ

ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน “แลมบ์ดา” มองเห็นได้ง่ายโดยตรงจากอัตราส่วนของเวกเตอร์ทิศทางคอลลิเนียร์ อย่างไรก็ตาม สามารถพบได้จากค่าสัมประสิทธิ์ของสมการด้วย: .

ทีนี้ลองดูว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่ เงื่อนไขฟรีทั้งสองเงื่อนไขเป็นศูนย์ ดังนั้น:

ค่าผลลัพธ์จะเป็นไปตามสมการนี้ (โดยทั่วไปแล้วตัวเลขใดๆ ก็เป็นไปตามนั้น)

เส้นจึงตรงกัน

คำตอบ:

ในไม่ช้าคุณจะได้เรียนรู้ (หรือได้เรียนรู้แล้ว) เพื่อแก้ไขปัญหาที่พูดคุยกันด้วยวาจาอย่างแท้จริงในเวลาไม่กี่วินาที ในเรื่องนี้ฉันไม่เห็นประเด็นใด ๆ ที่จะเสนอวิธีแก้ปัญหาแบบอิสระ เป็นการดีกว่าที่จะวางอิฐที่สำคัญอีกก้อนในรากฐานทางเรขาคณิต:

จะสร้างเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

ด้วยความไม่รู้ถึงงานที่ง่ายที่สุดนี้ Nightingale the Robber จึงลงโทษอย่างรุนแรง

ตัวอย่างที่ 2

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการของเส้นขนานที่ผ่านจุดนั้น

สารละลาย: เรามาแสดงบรรทัดที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษรกัน สภาพพูดเกี่ยวกับเธออย่างไร? เส้นตรงผ่านจุดนั้น และถ้าเส้นขนานกันก็ชัดเจนว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง “tse” ก็เหมาะสำหรับการสร้างเส้นตรง “de” เช่นกัน

เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:

คำตอบ:

เรขาคณิตของตัวอย่างดูเรียบง่าย:

การทดสอบเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1) เราตรวจสอบว่าเส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน (หากสมการของเส้นไม่ได้ถูกทำให้ง่ายขึ้นอย่างถูกต้อง เวกเตอร์ก็จะอยู่ในแนวเดียวกัน)

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่

ในกรณีส่วนใหญ่ การทดสอบเชิงวิเคราะห์สามารถดำเนินการได้อย่างง่ายดายด้วยวาจา ดูสมการทั้งสองนี้ แล้วหลายๆ คนจะระบุความขนานของเส้นได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องวาดใดๆ

ตัวอย่างโซลูชันอิสระในปัจจุบันจะเป็นแบบสร้างสรรค์ เพราะคุณยังคงต้องแข่งขันกับบาบายากาและเธอก็เป็นคนรักปริศนาทุกประเภท

ข)

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดขนานกับเส้นถ้า

มีวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลและไม่สมเหตุสมผล วิธีที่สั้นที่สุดคือตอนท้ายบทเรียน

เราทำงานเล็กน้อยกับเส้นคู่ขนานและจะกลับมาหาพวกเขาในภายหลัง กรณีของเส้นที่ตรงกันนั้นไม่ค่อยน่าสนใจ ดังนั้นลองพิจารณาปัญหาที่คุณคุ้นเคยมากจากหลักสูตรของโรงเรียน:

จะหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?

ถ้าตรง ตัดกันที่จุด แล้วพิกัดของมันคือคำตอบ ระบบสมการเชิงเส้น

จะหาจุดตัดของเส้นได้อย่างไร? แก้ระบบ.

เอาล่ะ ความหมายทางเรขาคณิตของระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว- นี่คือเส้นสองเส้นที่ตัดกัน (บ่อยที่สุด) บนเครื่องบิน

ตัวอย่างที่ 4

หาจุดตัดกันของเส้น

สารละลาย: มีสองวิธีในการแก้ปัญหา - แบบกราฟิกและการวิเคราะห์

วิธีกราฟิกคือเพียงวาดเส้นที่กำหนดแล้วค้นหาจุดตัดโดยตรงจากภาพวาด:

นี่คือประเด็นของเรา: . ในการตรวจสอบ คุณควรแทนที่พิกัดของมันลงในแต่ละสมการของเส้นตรง โดยพิกัดเหล่านั้นควรจะพอดีทั้งตรงนั้นและตรงนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุดคือคำตอบของระบบ โดยพื้นฐานแล้ว เราพิจารณาโซลูชันแบบกราฟิก ระบบสมการเชิงเส้นด้วยสองสมการ สองสิ่งที่ไม่รู้

แน่นอนว่าวิธีการแบบกราฟิกนั้นไม่เลว แต่ก็มีข้อเสียที่เห็นได้ชัดเจน ไม่ ประเด็นไม่ใช่ว่านักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัดสินใจเช่นนี้ ประเด็นคือ ต้องใช้เวลาในการสร้างภาพวาดที่ถูกต้องและแม่นยำ นอกจากนี้ เส้นตรงบางเส้นยังสร้างได้ไม่ง่ายนัก และจุดตัดกันเองก็อาจอยู่ที่ไหนสักแห่งในอาณาจักรที่ 30 นอกแผ่นสมุดบันทึก

ดังนั้นจึงเป็นการสมควรมากกว่าที่จะค้นหาจุดตัดโดยใช้วิธีวิเคราะห์ มาแก้ระบบกัน:

ในการแก้ระบบได้ใช้วิธีการบวกสมการแบบเทอมต่อเทอม เพื่อพัฒนาทักษะที่เกี่ยวข้อง ให้เรียนบทเรียน จะแก้ระบบสมการได้อย่างไร?

คำตอบ:

การตรวจสอบนั้นไม่สำคัญ - พิกัดของจุดตัดจะต้องเป็นไปตามสมการแต่ละระบบ

ตัวอย่างที่ 5

หาจุดตัดกันของเส้นตรงถ้ามันตัดกัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง สะดวกในการแบ่งงานออกเป็นหลายขั้นตอน การวิเคราะห์สภาพแสดงให้เห็นว่ามีความจำเป็น:
1) เขียนสมการของเส้นตรง
2) สร้างสมการของเส้นตรง
3) ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น
4) ถ้าเส้นตัดกัน ให้หาจุดตัดกัน

การพัฒนาอัลกอริธึมการดำเนินการเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนมาก และฉันจะเน้นไปที่เรื่องนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก

เฉลยและคำตอบทั้งหมดในตอนท้ายของบทเรียน:

ไม่มีรองเท้าคู่ใดขาดเลยก่อนที่เราจะเริ่มบทเรียนส่วนที่สอง:

เส้นตั้งฉาก. ระยะทางจากจุดถึงเส้น
มุมระหว่างเส้นตรง

เริ่มจากงานทั่วไปและสำคัญมากกันก่อน ในส่วนแรก เราได้เรียนรู้วิธีสร้างเส้นตรงขนานกับอันนี้ และตอนนี้กระท่อมบนขาไก่จะหมุน 90 องศา:

จะสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 6

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการตั้งฉากกับเส้นที่ผ่านจุด

สารละลาย: โดยเงื่อนไขเป็นที่รู้กันว่า คงจะดีถ้าหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากเส้นตั้งฉากกัน เคล็ดลับง่ายๆ ก็คือ:

จากสมการเรา "ลบ" เวกเตอร์ปกติ: ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

ลองเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง:

คำตอบ:

มาขยายร่างเรขาคณิตกัน:

อืม... ฟ้าสีส้ม ทะเลสีส้ม อูฐสีส้ม

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ของโซลูชัน:

1) เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ และด้วยความช่วยเหลือ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เรามาถึงข้อสรุปว่าเส้นตั้งฉากกันจริงๆ: .

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้เวกเตอร์ปกติได้ ง่ายกว่านี้อีก

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่ .

การทดสอบนี้ทำได้ง่ายด้วยวาจา

ตัวอย่างที่ 7

หาจุดตัดของเส้นตั้งฉากถ้าทราบสมการ และช่วงเวลา

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ปัญหามีหลายการกระทำ ดังนั้นจึงสะดวกในการกำหนดวิธีแก้ปัญหาทีละจุด

การเดินทางที่น่าตื่นเต้นของเราดำเนินต่อไป:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด

เรามีแม่น้ำสายตรงอยู่ตรงหน้า และหน้าที่ของเราคือไปให้ถึงแม่น้ำด้วยเส้นทางที่สั้นที่สุด ไม่มีอุปสรรคใดๆ และเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดคือการเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉาก นั่นคือระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของส่วนตั้งฉาก

ระยะทางในเรขาคณิตมักเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีก "rho" ตัวอย่างเช่น: - ระยะทางจากจุด "em" ถึงเส้นตรง "de"

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด แสดงโดยสูตร

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

สารละลาย: สิ่งที่คุณต้องทำคือแทนที่ตัวเลขลงในสูตรอย่างระมัดระวังแล้วดำเนินการคำนวณ:

คำตอบ:

มาวาดรูปกันเถอะ:

ระยะทางที่พบจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงคือความยาวของส่วนสีแดงพอดี หากคุณวาดภาพบนกระดาษตาหมากรุกในระดับ 1 หน่วย = 1 ซม. (2 เซลล์) จากนั้นสามารถวัดระยะทางด้วยไม้บรรทัดธรรมดา

ลองพิจารณางานอื่นโดยใช้รูปวาดเดียวกัน:

ภารกิจคือการหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับเส้นตรง - ฉันแนะนำให้ทำตามขั้นตอนด้วยตัวเอง แต่ฉันจะร่างอัลกอริทึมการแก้ปัญหาด้วยผลลัพธ์ระดับกลาง:

1) ค้นหาเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง

2) ค้นหาจุดตัดของเส้น: .

การกระทำทั้งสองจะกล่าวถึงโดยละเอียดในบทเรียนนี้

3) จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน เรารู้พิกัดของตรงกลางและปลายด้านหนึ่ง โดย สูตรสำหรับพิกัดจุดกึ่งกลางของส่วนเราพบ

เป็นความคิดที่ดีที่จะตรวจสอบว่าระยะทางเป็น 2.2 หน่วยด้วย

ความยากลำบากอาจเกิดขึ้นที่นี่ในการคำนวณ แต่เครื่องคิดเลขขนาดเล็กเป็นตัวช่วยที่ดีเยี่ยมในหอคอย ทำให้คุณสามารถคำนวณเศษส่วนธรรมดาได้ ฉันเคยแนะนำคุณหลายครั้งแล้วและจะแนะนำคุณอีกครั้ง

จะหาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้นได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้น

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งให้คุณตัดสินใจด้วยตัวเอง ฉันจะให้คำแนะนำเล็กน้อยแก่คุณ: มีหลายวิธีในการแก้ปัญหานี้อย่างไม่สิ้นสุด การซักถามในตอนท้ายของบทเรียน แต่ควรลองเดาด้วยตัวเองดีกว่า ฉันคิดว่าความฉลาดของคุณได้รับการพัฒนาอย่างดี

มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

ทุกมุมเป็นวงกบ:


ในเรขาคณิต มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะถือเป็นมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจะตามมาโดยอัตโนมัติเพื่อไม่ให้มุมป้าน ในรูป มุมที่ระบุโดยส่วนโค้งสีแดงไม่ถือเป็นมุมระหว่างเส้นตัดกัน และเพื่อนบ้าน "สีเขียว" ของเขาหรือ มุ่งเน้นตรงกันข้ามมุม "ราสเบอร์รี่"

ถ้าเส้นตั้งฉาก มุมทั้ง 4 มุมก็สามารถถือเป็นมุมระหว่างมุมเหล่านั้นได้

มุมต่างกันอย่างไร? ปฐมนิเทศ. ประการแรก ทิศทางของการ "เลื่อน" มุมนั้นมีความสำคัญขั้นพื้นฐาน ประการที่สอง มุมที่เป็นลบจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายลบ เช่น ถ้า

ทำไมฉันถึงบอกคุณเรื่องนี้? ดูเหมือนว่าเราจะผ่านแนวคิดเรื่องมุมตามปกติได้ ความจริงก็คือสูตรที่ใช้หามุมสามารถให้ผลลัพธ์เชิงลบได้ง่าย และสิ่งนี้ไม่ควรทำให้คุณประหลาดใจ มุมที่มีเครื่องหมายลบก็ไม่ได้แย่ไปกว่านั้น และมีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก ในภาพวาด สำหรับมุมลบ ต้องแน่ใจว่าได้ระบุทิศทางด้วยลูกศร (ตามเข็มนาฬิกา)

จะหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?มีสองสูตรการทำงาน:

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหามุมระหว่างเส้น

สารละลายและ วิธีที่หนึ่ง

ลองพิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป:

ถ้าตรง ไม่ตั้งฉาก, ที่ มุ่งเน้นมุมระหว่างมุมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

ให้เราใส่ใจกับตัวส่วนอย่างใกล้ชิด - ตรงนี้เอง ผลิตภัณฑ์ดอทกำกับเวกเตอร์ของเส้นตรง:

ถ้า แล้วตัวหารของสูตรจะกลายเป็นศูนย์ และเวกเตอร์จะตั้งฉากและเส้นจะตั้งฉาก นั่นคือสาเหตุว่าทำไมจึงมีข้อสงวนเกี่ยวกับความไม่ตั้งฉากของเส้นตรงในสูตร

จากที่กล่าวมาข้างต้น จะสะดวกในการจัดทำโซลูชันอย่างเป็นทางการในสองขั้นตอน:

1) ลองคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
ซึ่งหมายความว่าเส้นไม่ตั้งฉาก

2) ค้นหามุมระหว่างเส้นตรงโดยใช้สูตร:

การใช้ฟังก์ชันผกผันทำให้ง่ายต่อการค้นหามุม ในกรณีนี้ เราใช้ความคี่ของอาร์กแทนเจนต์ (ดู กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น):

คำตอบ:

ในคำตอบ เราระบุค่าที่แน่นอน รวมถึงค่าโดยประมาณ (ควรเป็นทั้งองศาและเรเดียน) โดยคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข

ลบ ลบ ไม่ใช่เรื่องใหญ่อะไร นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:

ไม่น่าแปลกใจที่มุมกลายเป็นทิศทางเชิงลบเพราะในคำชี้แจงปัญหาตัวเลขแรกเป็นเส้นตรงและการ "คลายเกลียว" ของมุมเริ่มต้นด้วยอย่างแม่นยำ

หากคุณต้องการได้มุมบวกจริงๆ คุณต้องสลับเส้น นั่นคือ นำสัมประสิทธิ์จากสมการที่สอง และหาสัมประสิทธิ์จากสมการแรก ในระยะสั้นคุณต้องเริ่มต้นด้วยโดยตรง .