การเพิ่มประสิทธิภาพตามเงื่อนไข วิธีตัวคูณลากรองจ์

คำอธิบายของวิธีการ

ที่ไหน .

เหตุผล

เหตุผลต่อไปนี้สำหรับวิธีตัวคูณลากรองจ์ไม่ใช่ข้อพิสูจน์ที่เข้มงวด ประกอบด้วยการให้เหตุผลแบบฮิวริสติกที่ช่วยให้เข้าใจความหมายทางเรขาคณิตของวิธีการ

กรณีสองมิติ

เส้นระดับและเส้นโค้ง

ปล่อยให้ต้องหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันบางตัวของตัวแปรสองตัวภายใต้เงื่อนไขที่ระบุในสมการ - เราจะถือว่าฟังก์ชันทั้งหมดสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง และ สมการที่กำหนดกำหนดเส้นโค้งเรียบ สบนเครื่องบิน จากนั้นปัญหาจะลดลงจนกลายเป็นการหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน ฉบนทางโค้ง ส- เราก็จะถือว่าเช่นกัน สไม่ผ่านจุดที่มีการไล่ระดับ ฉเปลี่ยนเป็น 0

มาวาดเส้นระดับฟังก์ชันบนเครื่องบินกัน ฉ(นั่นคือเส้นโค้ง) จากการพิจารณาทางเรขาคณิต จะเห็นได้ชัดว่าจุดปลายสุดของฟังก์ชัน ฉบนทางโค้ง สมีเพียงจุดที่แทนเจนต์ถึงเท่านั้น สและเส้นระดับที่สอดคล้องกันตรงกัน แท้จริงแล้วหากโค้ง สข้ามเส้นระดับ ฉที่จุดใดจุดหนึ่งตามขวาง (นั่นคือ ที่มุมที่ไม่เป็นศูนย์) แล้วเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้ง สจากจุดหนึ่งเราสามารถไปถึงเส้นระดับที่สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้น ฉและน้อยลง ดังนั้นจุดดังกล่าวจึงไม่สามารถเป็นจุดสุดขั้วได้

ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดสุดโต่งในกรณีของเราคือความบังเอิญของเส้นสัมผัสกัน หากต้องการเขียนในรูปแบบการวิเคราะห์ โปรดทราบว่ามันเทียบเท่ากับความขนานของการไล่ระดับสีของฟังก์ชัน ฉและ ψ ที่จุดที่กำหนด เนื่องจากเวกเตอร์เกรเดียนต์ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของเส้นระดับ เงื่อนไขนี้แสดงในรูปแบบต่อไปนี้:

โดยที่ λ คือตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งเป็นตัวคูณลากรองจ์

ตอนนี้เรามาพิจารณากัน ฟังก์ชันลากรองจ์ขึ้นอยู่กับ และ แล:

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดสูงสุดคือความชันมีค่าเท่ากับศูนย์ ตามกฎของความแตกต่างจะเขียนไว้ในแบบฟอร์ม

เราได้รับระบบที่มีสมการสองสมการแรกเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่จำเป็น สุดขั้วในท้องถิ่น(1) และอันที่สาม - สู่สมการ - คุณสามารถค้นหาได้จากมัน ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากเป็นอย่างอื่น การไล่ระดับสีของฟังก์ชัน ฉหายไปตรงจุด ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานของเรา ควรสังเกตว่าจุดที่พบในลักษณะนี้อาจไม่ใช่จุดที่ต้องการของจุดสุดขั้วที่มีเงื่อนไข - เงื่อนไขที่พิจารณานั้นมีความจำเป็น แต่ไม่เพียงพอ การค้นหาปลายสุดแบบมีเงื่อนไขโดยใช้ฟังก์ชันเสริม ลและสร้างพื้นฐานของวิธีตัวคูณลากรองจ์ ซึ่งใช้กับกรณีที่ง่ายที่สุดของตัวแปรสองตัว ปรากฎว่าการให้เหตุผลข้างต้นสามารถสรุปได้ในกรณีของตัวแปรและสมการจำนวนเท่าใดก็ได้ที่ระบุเงื่อนไข

จากวิธีตัวคูณลากรองจ์ สามารถพิสูจน์เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับค่าสุดโต่งแบบมีเงื่อนไขได้ ซึ่งจำเป็นต้องมีการวิเคราะห์อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันลากรองจ์

แอปพลิเคชัน

• วิธีตัวคูณลากรองจ์ใช้เพื่อแก้ปัญหาไม่ได้ การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเกิดขึ้นได้หลายด้าน (เช่น ในด้านเศรษฐศาสตร์)
• วิธีการหลักในการแก้ปัญหาการปรับคุณภาพของการเข้ารหัสข้อมูลเสียงและวิดีโอให้เหมาะสมด้วยบิตเรตเฉลี่ยที่กำหนด (การเพิ่มประสิทธิภาพความผิดเพี้ยน - ภาษาอังกฤษ การเพิ่มประสิทธิภาพอัตราการบิดเบือน).

ดูเพิ่มเติม

ลิงค์

• โซริช วี.เอ.การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่ 1. - เอ็ด. ครั้งที่ 2 สาธุคุณ และเพิ่มเติม - อ.: ฟาซิส, 1997.

มูลนิธิวิกิมีเดีย

2010.

ดูว่า "ตัวคูณลากรองจ์" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:ตัวคูณลากรองจ์ - ปัจจัยเพิ่มเติมที่เปลี่ยนฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาสุดขีดของการโปรแกรมนูน (โดยเฉพาะการโปรแกรมเชิงเส้น) เมื่อแก้ไขโดยใช้วิธีคลาสสิกวิธีใดวิธีหนึ่ง วิธีแก้ไขตัวคูณ... ...

พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์-คณิตศาสตร์ตัวคูณลากรองจ์ - ปัจจัยเพิ่มเติมที่แปลงฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาการเขียนโปรแกรมนูนมาก (โดยเฉพาะการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น) เมื่อแก้ไขโดยใช้วิธีคลาสสิกวิธีใดวิธีหนึ่ง วิธีแก้ไขตัวคูณ (วิธีลากรองจ์).... ...

คู่มือนักแปลทางเทคนิค กลศาสตร์. 1) สมการลากรองจ์ประเภทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ทางกล ระบบซึ่งกำหนดไว้ในเส้นโครงบนแกนพิกัดสี่เหลี่ยมและมีสิ่งที่เรียกว่า ตัวคูณลากรองจ์ ได้รับโดย J. Lagrange ในปี พ.ศ. 2331 สำหรับระบบโฮโลโนมิก ... ...

สารานุกรมกายภาพ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญของกลศาสตร์ลำดับที่ 2 อธิบายการเคลื่อนที่ของกลไก ระบบภายใต้อิทธิพลของแรงที่ใช้กับพวกเขา ลู ก่อตั้งโดย J. Lag range ในสองรูปแบบ: L. u. ชนิดที่ 1 หรือสมการในพิกัดคาร์ทีเซียนกับ... ...

1) ในทางกลศาสตร์อุทกศาสตร์ สมการการเคลื่อนที่ของของไหล (ก๊าซ) ในตัวแปรลากรองจ์ซึ่งเป็นพิกัดของตัวกลาง รับภาษาฝรั่งเศสแล้ว นักวิทยาศาสตร์ J. Lagrange (ประมาณปี 1780) จาก L.u. กฎการเคลื่อนที่ของตัวกลางถูกกำหนดในรูปแบบของการพึ่งพา... ... กลศาสตร์. 1) สมการลากรองจ์ประเภทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ทางกล ระบบซึ่งกำหนดไว้ในเส้นโครงบนแกนพิกัดสี่เหลี่ยมและมีสิ่งที่เรียกว่า ตัวคูณลากรองจ์ ได้รับโดย J. Lagrange ในปี พ.ศ. 2331 สำหรับระบบโฮโลโนมิก ... ...

วิธีตัวคูณลากรองจ์ คือวิธีการหาค่าปลายสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน f(x) โดยที่เมื่อสัมพันธ์กับข้อจำกัด m ตัวแปร i จะแปรผันจาก 1 ถึง m สารบัญ 1 คำอธิบายวิธีการ ... Wikipedia

ฟังก์ชันที่ใช้ในการแก้ปัญหาปลายสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชันของตัวแปรและฟังก์ชันต่างๆ ด้วยความช่วยเหลือของ L.f. ถูกบันทึกไว้ เงื่อนไขที่จำเป็นการเพิ่มประสิทธิภาพในปัญหาภาวะสุดโต่งแบบมีเงื่อนไข ในกรณีนี้ไม่จำเป็นต้องแสดงเฉพาะตัวแปร... สมการเชิงอนุพันธ์สามัญของกลศาสตร์ลำดับที่ 2 อธิบายการเคลื่อนที่ของกลไก ระบบภายใต้อิทธิพลของแรงที่ใช้กับพวกเขา ลู ก่อตั้งโดย J. Lag range ในสองรูปแบบ: L. u. ชนิดที่ 1 หรือสมการในพิกัดคาร์ทีเซียนกับ... ...

วิธีการแก้ไขปัญหาปลายสุดแบบมีเงื่อนไข L.M.M. ประกอบด้วยการลดปัญหาเหล่านี้ให้เป็นปัญหาที่ปลายสุดที่ไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชันเสริมที่เรียกว่า ฟังก์ชันลากรองจ์ สำหรับโจทย์ปลายสุดของฟังก์ชัน f (x1, x2,..., xn) สำหรับ... ...

ตัวแปรด้วยความช่วยเหลือซึ่งสร้างฟังก์ชันลากรองจ์เมื่อศึกษาปัญหาบนสุดขั้วที่มีเงื่อนไข การใช้วิธีเชิงเส้นและฟังก์ชันลากรองจ์ช่วยให้เราได้รับเงื่อนไขการปรับให้เหมาะสมที่จำเป็นในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับภาวะสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขในลักษณะที่สม่ำเสมอ... สมการเชิงอนุพันธ์สามัญของกลศาสตร์ลำดับที่ 2 อธิบายการเคลื่อนที่ของกลไก ระบบภายใต้อิทธิพลของแรงที่ใช้กับพวกเขา ลู ก่อตั้งโดย J. Lag range ในสองรูปแบบ: L. u. ชนิดที่ 1 หรือสมการในพิกัดคาร์ทีเซียนกับ... ...

1) ในกลศาสตร์อุทกศาสตร์ สมการการเคลื่อนที่ของตัวกลางของไหล เขียนด้วยตัวแปรลากรองจ์ ซึ่งเป็นพิกัดของอนุภาคของตัวกลาง จาก L.u. กฎการเคลื่อนที่ของอนุภาคของตัวกลางถูกกำหนดในรูปแบบของการพึ่งพาพิกัดตรงเวลาและจากพวกมัน... ... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก:
(1) .
มีสามวิธีในการแก้สมการนี้:

• วิธีการแปรผันของค่าคงที่ (ลากรองจ์)

ลองพิจารณาแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งโดยใช้วิธีลากรองจ์

วิธีการแปรผันของค่าคงที่ (ลากรองจ์)

ในการแปรผันของวิธีคงที่ เราจะแก้สมการในสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรก เราทำให้สมการดั้งเดิมง่ายขึ้นและแก้สมการเอกพันธ์ ในขั้นตอนที่สอง เราจะแทนที่ค่าคงที่ของการรวมที่ได้รับในขั้นตอนแรกของการแก้ปัญหาด้วยฟังก์ชัน จากนั้นเราหาคำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิม

พิจารณาสมการ:
(1)

ขั้นตอนที่ 1 การแก้สมการเอกพันธ์

กำลังมองหาวิธีแก้ปัญหา สมการเอกพันธ์:

นี่คือสมการที่แยกออกจากกัน

เราแยกตัวแปร - คูณด้วย dx หารด้วย y:

มาบูรณาการกัน:

อินทิกรัลเหนือ y - ตาราง:

แล้ว

มาเพิ่มศักยภาพกันเถอะ:

ลองแทนที่ค่าคงที่ e C ด้วย C แล้วลบเครื่องหมายโมดูลัสซึ่งลงมาเพื่อคูณด้วยค่าคงที่ ±1ซึ่งเราจะรวมไว้ใน C:

ขั้นตอนที่ 2 แทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชัน

ทีนี้ลองแทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชัน x:
ซี → คุณ (เอ็กซ์)
นั่นคือเราจะหาคำตอบของสมการดั้งเดิม (1) ในรูปแบบ:
(2)
การหาอนุพันธ์

ตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
.
ตามกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์:

.
แทนลงในสมการเดิม (1) :
(1) ;

.
สมาชิกสองคนลดลง:
;
.
มาบูรณาการกัน:
.
เข้ามาแทน. (2) :
.
ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้คำตอบทั่วไปสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง:
.

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งโดยวิธีลากรองจ์

แก้สมการ

สารละลาย

เราแก้สมการเอกพันธ์:

เราแยกตัวแปร:

คูณด้วย:

มาบูรณาการกัน:

อินทิกรัลแบบตาราง:

มาเพิ่มศักยภาพกันเถอะ:

ลองแทนที่ค่าคงที่ e C ด้วย C และลบเครื่องหมายมอดุลัสออก:

จากที่นี่:

ลองแทนที่ค่าคงที่ C ด้วยฟังก์ชันของ x:
ซี → คุณ (เอ็กซ์)

ค้นหาอนุพันธ์:
.
แทนลงในสมการดั้งเดิม:
;
;
หรือ:
;
.
มาบูรณาการกัน:
;
การแก้สมการ:
.

วิธีตัวคูณลากรองจ์

วิธีตัวคูณ Lagrange เป็นหนึ่งในวิธีที่ช่วยให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นได้

การเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นเป็นสาขาหนึ่งของการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาวิธีการแก้ปัญหาขั้นสุดด้วยฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่ไม่เชิงเส้นและขอบเขตของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ที่กำหนดโดยข้อจำกัดที่ไม่เชิงเส้น ในทางเศรษฐศาสตร์สิ่งนี้สอดคล้องกับความจริงที่ว่าผลลัพธ์ (ประสิทธิภาพ) เพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างไม่เป็นสัดส่วนกับการเปลี่ยนแปลงขนาดการใช้ทรัพยากร (หรือที่เหมือนกันคือขนาดการผลิต): ตัวอย่างเช่นเนื่องจากการแบ่งต้นทุนการผลิตใน รัฐวิสาหกิจเข้าสู่ตัวแปรและกึ่งคงที่ เนื่องจากความต้องการสินค้าอิ่มตัวเมื่อแต่ละหน่วยต่อมาขายยากกว่าหน่วยก่อนหน้าเป็นต้น

ปัญหาการเขียนโปรแกรมไม่เชิงเส้นเป็นปัญหาในการค้นหาฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่เหมาะสมที่สุด

F(x 1 ,…xn) เอฟ (x) → สูงสุด

เมื่อตรงตามเงื่อนไข

ก.เจ (x 1 ,…xn)≥0, ก (x) ≤ ข , x ≥ 0

ที่ไหน x-เวกเตอร์ของตัวแปรที่ต้องการ

เอฟ (x) -ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์;

ก (x) - ฟังก์ชั่นข้อ จำกัด (หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง)

ข - เวกเตอร์ของค่าคงที่ข้อจำกัด

วิธีแก้ไขปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น (ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดทั่วโลก) อาจอยู่ในขอบเขตหรือภายในชุดที่ยอมรับได้

ต่างจากปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ในปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น ค่าที่เหมาะสมที่สุดไม่จำเป็นต้องอยู่บนขอบเขตของขอบเขตที่กำหนดโดยข้อจำกัด กล่าวอีกนัยหนึ่งงานคือการเลือกค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรภายใต้ระบบข้อ จำกัด ในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันซึ่งบรรลุค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) ของฟังก์ชันที่กำหนด ในกรณีนี้ จะไม่มีการระบุรูปแบบของฟังก์ชันวัตถุประสงค์หรือความไม่เท่าเทียมกัน อาจจะมี กรณีที่แตกต่างกัน: ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ไม่เป็นเชิงเส้น และข้อจำกัดเป็นแบบเชิงเส้น ฟังก์ชันวัตถุประสงค์เป็นแบบเชิงเส้น และข้อจำกัด (อย่างน้อยหนึ่งรายการ) ไม่เป็นเชิงเส้น ทั้งฟังก์ชันวัตถุประสงค์และข้อจำกัดไม่เป็นเชิงเส้น

ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นพบได้ในสาขาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ วิศวกรรมศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ คณิตศาสตร์ ความสัมพันธ์ทางธุรกิจ และรัฐบาล

ตัวอย่างเช่น การเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นเกี่ยวข้องกับปัญหาเศรษฐกิจขั้นพื้นฐาน ดังนั้น ในปัญหาของการจัดสรรทรัพยากรที่จำกัด ไม่ว่าจะเป็นประสิทธิภาพ หรือหากผู้บริโภคกำลังศึกษาอยู่ การบริโภคก็จะเพิ่มขึ้นสูงสุดเมื่อมีข้อจำกัดที่แสดงถึงเงื่อนไขของการขาดแคลนทรัพยากร ในสูตรทั่วไปดังกล่าว สูตรทางคณิตศาสตร์ของปัญหาอาจเป็นไปไม่ได้ แต่ในการใช้งานเฉพาะ รูปแบบเชิงปริมาณของฟังก์ชันทั้งหมดสามารถกำหนดได้โดยตรง ตัวอย่างเช่น องค์กรอุตสาหกรรมผลิตผลิตภัณฑ์พลาสติก ประสิทธิภาพการผลิตที่นี่วัดจากกำไร และข้อจำกัดจะถูกตีความว่าเป็นแรงงานที่มีอยู่ พื้นที่การผลิต ผลผลิตของอุปกรณ์ ฯลฯ

วิธีการประหยัดต้นทุนยังเหมาะกับแผนการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นอีกด้วย วิธีการนี้ได้รับการพัฒนาเพื่อใช้ในการตัดสินใจในภาครัฐ หน้าที่ทั่วไปของประสิทธิภาพคือสวัสดิการ ที่นี่ ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นสองประการเกิดขึ้น ปัญหาแรกคือการเพิ่มผลกระทบสูงสุดด้วยต้นทุนที่จำกัด ปัญหาที่สองคือการลดต้นทุนให้เหลือน้อยที่สุด โดยมีเงื่อนไขว่าผลกระทบนั้นอยู่เหนือระดับขั้นต่ำที่แน่นอน ปัญหานี้มักจะถูกสร้างแบบจำลองอย่างดีโดยใช้การเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น

ผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นมีประโยชน์ในการตัดสินใจของรัฐบาล แน่นอนว่าวิธีแก้ปัญหาที่ได้นั้นเป็นสิ่งที่แนะนำ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบสมมติฐานและความถูกต้องของปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นก่อนตัดสินใจขั้นสุดท้าย

ปัญหาที่ไม่เชิงเส้นนั้นซับซ้อน มักจะทำให้ง่ายขึ้นโดยนำไปสู่ปัญหาเชิงเส้น ในการทำเช่นนี้ สันนิษฐานตามอัตภาพว่าในพื้นที่เฉพาะ ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์จะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามสัดส่วนการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรอิสระ แนวทางนี้เรียกว่าวิธีการประมาณเชิงเส้นแบบเป็นชิ้น ๆ อย่างไรก็ตาม ใช้ได้กับปัญหาไม่เชิงเส้นบางประเภทเท่านั้น

ปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นภายใต้เงื่อนไขบางประการได้รับการแก้ไขโดยใช้ฟังก์ชันลากรองจ์ โดยการค้นหาจุดอาน ก็จะพบวิธีแก้ไขปัญหา ในบรรดาอัลกอริธึมการคำนวณ N.P. ครอบครองสถานที่ขนาดใหญ่ วิธีการไล่ระดับ- ไม่มีวิธีการที่เป็นสากลสำหรับปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นและดูเหมือนจะไม่มีเลย เนื่องจากมีความหลากหลายมาก ปัญหาแบบหลายขั้วนั้นแก้ไขได้ยากเป็นพิเศษ

วิธีหนึ่งที่ช่วยให้คุณลดปัญหาการเขียนโปรแกรมไม่เชิงเส้นในการแก้ระบบสมการได้คือวิธีลากรองจ์ของตัวคูณไม่แน่นอน

การใช้วิธีตัวคูณลากรองจ์ เงื่อนไขที่จำเป็นได้รับการกำหนดขึ้นเพื่อให้สามารถระบุจุดที่ดีที่สุดในปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดที่มีข้อจำกัดด้านความเท่าเทียมกันได้ ในกรณีนี้ ปัญหาที่มีข้อจำกัดจะถูกแปลงเป็นปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดแบบไม่มีเงื่อนไขที่เทียบเท่ากัน ซึ่งเกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักบางตัวที่เรียกว่าตัวคูณลากรองจ์

วิธีตัวคูณลากรองจ์ประกอบด้วยการลดปัญหาบนสุดขั้วแบบมีเงื่อนไข ไปจนถึงปัญหาบนสุดขั้วแบบไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชันเสริม - ที่เรียกว่า ฟังก์ชันลากรองจ์

สำหรับปัญหาปลายสุดของฟังก์ชัน ฉ(x 1, x 2,..., xn) ภายใต้เงื่อนไข (สมการจำกัด) φ ฉัน(x 1 , x 2 , ..., xn) = 0, ฉัน= 1, 2,..., มฟังก์ชันลากรองจ์มีรูปแบบ

L(x 1, x 2… x n, แลมบ์ดา 1, แลมบ์ 2, …เลม)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m แลมบ์ i φ i (x 1, x 2… x n)

ตัวคูณ แล 1 , แล 2 , ..., แลมเรียกว่า ตัวคูณลากรองจ์

หากมีค่า x 1 , x 2 , ..., xn , แลมบ์ดา 1 , แลมบ์ 2 , ..., แลมม์สาระสำคัญของการแก้สมการที่กำหนดจุดคงที่ของฟังก์ชันลากรองจ์กล่าวคือสำหรับฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้คือคำตอบของระบบสมการ

จากนั้น ภายใต้สมมติฐานทั่วไป x 1 , x 2 , ..., x n ให้ฟังก์ชัน f สุดขั้ว

พิจารณาปัญหาในการลดฟังก์ชันของตัวแปร n ตัวให้เหลือน้อยที่สุดภายใต้ข้อจำกัดเดียวในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน:

ย่อ f(x 1, x 2… x n) (1)

ภายใต้ข้อจำกัด h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

ตามวิธีการตัวคูณ Lagrange ปัญหานี้จะถูกแปลงเป็นปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่สุดที่ไม่มีข้อจำกัดต่อไปนี้:

ย่อ L(x, แลมบ์ดา) = f (x) - แลมบ์ h (x) (3)

โดยที่ฟังก์ชัน L(x; λ) เรียกว่าฟังก์ชันลากรองจ์

λ เป็นค่าคงที่ที่ไม่รู้จัก ซึ่งเรียกว่าตัวคูณลากรองจ์ ไม่มีข้อกำหนดสำหรับสัญลักษณ์ของ แล

ปล่อยให้ค่าต่ำสุดที่ไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชัน L(x, แล) เทียบกับ x สามารถทำได้ที่จุด x=x 0 และ x 0 เป็นไปตามสมการ h 1 (x 0)=0 . จากนั้นอย่างที่มองเห็นได้ง่าย x 0 ย่อเล็กสุด (1) โดยคำนึงถึง (2) เนื่องจากสำหรับค่าทั้งหมดของ x ที่น่าพอใจ (2) h 1 (x)=0 และ L(x, แลมบ์ดา)=นาที ฉ(x)

แน่นอนว่าจำเป็นต้องเลือกค่า แลมบ์ดา=แล 0 เพื่อให้พิกัดของจุดต่ำสุดที่ไม่มีเงื่อนไข x 0 เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน (2) ซึ่งสามารถทำได้หากพิจารณา แล เป็นตัวแปร ให้ค้นหาฟังก์ชันขั้นต่ำที่ไม่มีเงื่อนไข (3) ในรูปแบบของฟังก์ชัน แล แล้วเลือกค่า แล ที่ตรงตามความต้องการความเท่าเทียมกัน (2) เรามาอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงกัน

ย่อ f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

ภายใต้ข้อจำกัด h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

ปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่ไม่มีข้อจำกัดที่สอดคล้องกันถูกเขียนดังนี้:

ย่อ L(x, แลมบ์ดา)=x 1 2 +x 2 2 -แลม(2x 1 +x 2 -2)

สารละลาย. เราได้สมดุลสององค์ประกอบของการไล่ระดับสี L เป็นศูนย์

→ x 1 0 = แล

→ x 2 0 = แล/2

เพื่อตรวจสอบว่าจุดคงที่ x° สอดคล้องกับค่าต่ำสุดหรือไม่ เราจะคำนวณองค์ประกอบของเมทริกซ์ Hessian ของฟังก์ชัน L(x;u) ซึ่งถือเป็นฟังก์ชันของ x

ซึ่งกลายเป็นว่าเป็นบวกแน่นอน

ซึ่งหมายความว่า L(x,u) เป็นฟังก์ชันนูนของ x ดังนั้นพิกัด x 1 0 = แล, x 2 0 = แล/2 จะกำหนดจุดต่ำสุดโดยรวม ค่าที่เหมาะสมที่สุดγ พบได้โดยการแทนค่า x 1 0 และ x 2 0 ลงในสมการ 2x 1 + x 2 =2 โดยที่ 2λ+แล/2=2 หรือ แล 0 =4/5 ดังนั้น ค่าต่ำสุดแบบมีเงื่อนไขจะได้ที่ x 1 0 =4/5 และ x 2 0 =2/5 และเท่ากับค่าต่ำสุด f(x) = 4/5

เมื่อแก้ไขปัญหาจากตัวอย่าง เราถือว่า L(x; λ) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว x 1 และ x 2 และนอกจากนี้ ยังถือว่าค่าของพารามิเตอร์ แล ถูกเลือกเพื่อให้เป็นไปตามข้อจำกัด ถ้าจะแก้ระบบ

เจ=1,2,3,…,น

ไม่สามารถรับ lam ในรูปแบบของฟังก์ชันที่ชัดเจนได้ จากนั้นหาค่าของ x และ lam ได้โดยการแก้ระบบต่อไปนี้ซึ่งประกอบด้วยสมการ n+1 โดยไม่ทราบค่า n+1:

J=1,2,3,…,n., ชม. 1 (x)=0

เพื่อตามหาทุกคน แนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้ระบบนี้สามารถใช้วิธีการค้นหาด้วยตัวเลข (เช่น วิธีของนิวตัน) สำหรับแต่ละคำตอบ () เราควรคำนวณองค์ประกอบของเมทริกซ์ Hessian ของฟังก์ชัน L ซึ่งถือเป็นฟังก์ชันของ x และค้นหาว่าเมทริกซ์นี้เป็นค่าที่แน่นอนเชิงบวก (ค่าต่ำสุดเฉพาะที่) หรือค่าลบที่แน่นอน (ค่าสูงสุดเฉพาะที่ ).

วิธีตัวคูณลากรองจ์สามารถขยายออกไปในกรณีที่ปัญหามีข้อจำกัดหลายประการในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน พิจารณาปัญหาทั่วไปที่ต้องการ

ย่อขนาด f(x) ให้เล็กสุด

ภายใต้ข้อจำกัด h k =0, k=1, 2, ..., K.

ฟังก์ชัน Lagrange มีรูปแบบดังต่อไปนี้:

ที่นี่ แล 1 , แล 2 , ..., แลม- ตัวคูณ Lagrange เช่น พารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักซึ่งจำเป็นต้องกำหนดค่า เมื่อเทียบอนุพันธ์ย่อยของ L เทียบกับ x ถึงศูนย์ เราจะได้ระบบสมการ n ที่ไม่ทราบค่า n ต่อไปนี้:

หากเป็นการยากที่จะหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบข้างต้นในรูปแบบของฟังก์ชันของเวกเตอร์ แลม คุณสามารถขยายระบบโดยรวมข้อ จำกัด ในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน

การแก้ระบบแบบขยายซึ่งประกอบด้วยสมการ n + K โดยไม่ทราบค่า n + K จะกำหนดจุดที่นิ่งของฟังก์ชัน L จากนั้นจึงใช้ขั้นตอนการตรวจสอบค่าต่ำสุดหรือสูงสุดซึ่งดำเนินการบนพื้นฐานของการคำนวณ องค์ประกอบของเมทริกซ์ Hessian ของฟังก์ชัน L ซึ่งถือเป็นฟังก์ชันของ x คล้ายกับที่เคยทำในกรณีที่เกิดปัญหากับข้อจำกัดเดียว สำหรับปัญหาบางอย่าง ระบบสมการ n+K แบบขยายที่ไม่ทราบค่า n+K อาจไม่มีวิธีแก้ปัญหา และวิธีการตัวคูณลากรองจ์กลับกลายเป็นว่าใช้ไม่ได้ อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่างานดังกล่าวค่อนข้างหายากในทางปฏิบัติ

ขอให้เราพิจารณากรณีพิเศษของปัญหาทั่วไปของการโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น โดยสมมติว่าระบบข้อจำกัดมีเพียงสมการเท่านั้น ไม่มีเงื่อนไขสำหรับการไม่ปฏิเสธของตัวแปร และ และ และ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องพร้อมกับอนุพันธ์ย่อยของตัวแปรเหล่านั้น ดังนั้นโดยการแก้ระบบสมการ (7) เราจะได้คะแนนทั้งหมดที่ฟังก์ชัน (6) สามารถมีค่าสุดขั้วได้

อัลกอริทึมสำหรับวิธีตัวคูณลากรองจ์

1. เขียนฟังก์ชันลากรองจ์

2. ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันลากรองจ์เทียบกับตัวแปร x J ,λ i และจัดให้เป็นศูนย์

3. เราแก้ระบบสมการ (7) ค้นหาจุดที่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาสามารถมีจุดสุดยอดได้

4. ในบรรดาจุดที่สงสัยว่าเป็นจุดสุดโต่ง เราจะพบจุดที่ถึงจุดสุดโต่งแล้วคำนวณค่าของฟังก์ชัน (6) ที่จุดเหล่านี้

ตัวอย่าง.

ข้อมูลเริ่มต้น:ตามแผนการผลิตบริษัทจำเป็นต้องผลิตสินค้าจำนวน 180 รายการ ผลิตภัณฑ์เหล่านี้สามารถผลิตได้สองวิธีทางเทคโนโลยี เมื่อผลิตผลิตภัณฑ์ x 1 โดยใช้วิธีที่ 1 ต้นทุนคือ 4x 1 +x 1 2 รูเบิล และเมื่อผลิตผลิตภัณฑ์ x 2 โดยใช้วิธีที่ 2 จะเท่ากับ 8x 2 +x 2 2 รูเบิล กำหนดจำนวนผลิตภัณฑ์ที่ควรผลิตในแต่ละวิธีเพื่อให้ต้นทุนการผลิตมีน้อยที่สุด

ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาที่ระบุมีรูปแบบ
® นาทีภายใต้เงื่อนไข x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0
1. เขียนฟังก์ชันลากรองจ์
.
2. เราคำนวณอนุพันธ์บางส่วนด้วยความเคารพต่อ x 1, x 2, λ และจัดให้เป็นศูนย์:

3. เมื่อแก้ระบบสมการผลลัพธ์ เราจะพบว่า x 1 =91,x 2 =89

4. เมื่อทำการแทนที่ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ x 2 =180-x 1 เราจะได้ฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง นั่นคือ f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2

เราคำนวณหรือ 4x 1 -364=0 ,

โดยที่เรามี x 1 * =91, x 2 * =89

คำตอบ: จำนวนผลิตภัณฑ์ที่ผลิตโดยวิธีแรกคือ x 1 =91 โดยวิธีที่สอง x 2 =89 ในขณะที่ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์เท่ากับ 17,278 รูเบิล

วิธีการกำหนดจุดสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขเริ่มต้นด้วยการสร้างฟังก์ชันลากรองจ์เสริมซึ่งในพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้จะถึงค่าสูงสุดสำหรับค่าตัวแปรเดียวกัน x 1 , x 2 , ..., x n ซึ่งเหมือนกับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ z - ปล่อยให้ปัญหาในการกำหนดปลายสุดตามเงื่อนไขของฟังก์ชันได้รับการแก้ไข ซ = ฉ(X) ภายใต้ข้อจำกัด φ ฉัน ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, ฉัน = 1, 2, ..., ม , ม < n

ลองเขียนฟังก์ชันกัน

ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันลากรองจ์. เอ็กซ์ , - ปัจจัยคงที่ ( ตัวคูณลากรองจ์- โปรดทราบว่าสามารถให้ตัวคูณลากรองจ์ได้ ความรู้สึกทางเศรษฐกิจ- ถ้า ฉ(x 1 , x 2 , ..., x n ) - รายได้สอดคล้องกับแผน X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) และฟังก์ชัน φ ฉัน (x 1 , x 2 , ..., x n ) - ต้นทุนของทรัพยากร i-th ที่สอดคล้องกับแผนนี้ เอ็กซ์ คือราคา (ประมาณการ) ของทรัพยากร i-th ซึ่งแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงในค่าสุดขีดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงขนาดของทรัพยากร i-th (การประมาณส่วนเพิ่ม) แอล(เอ็กซ์) - การทำงาน n+ม ตัวแปร (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) - การหาจุดคงที่ของฟังก์ชันนี้นำไปสู่การแก้ระบบสมการ

มันง่ายที่จะเห็นว่า - ดังนั้นภารกิจในการค้นหาปลายสุดตามเงื่อนไขของฟังก์ชัน ซ = ฉ(X) ลดเพื่อค้นหาส่วนปลายสุดของฟังก์ชัน แอล(เอ็กซ์) - หากพบจุดที่คงที่ คำถามของการมีอยู่ของสุดขีดในกรณีที่ง่ายที่สุดจะได้รับการแก้ไขตามเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขีด - ศึกษาสัญลักษณ์ของส่วนต่างที่สอง ง 2 แอล(เอ็กซ์) ที่จุดคงที่ โดยมีเงื่อนไขว่าตัวแปรเพิ่มขึ้นทีละขั้น ∆x ฉัน - เชื่อมต่อกันด้วยความสัมพันธ์

ได้มาจากการหาความแตกต่างของสมการคัปปลิ้ง

การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้นในสองสิ่งที่ไม่ทราบโดยใช้เครื่องมือค้นหาคำตอบ

การตั้งค่า การหาทางแก้ไขช่วยให้คุณค้นหาคำตอบของระบบสมการไม่เชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าสองตัว:

ที่ไหน
- ฟังก์ชันไม่เชิงเส้นของตัวแปร x และ ย ,
- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

เป็นที่รู้กันว่าคู่รัก ( x , ย ) เป็นวิธีแก้ระบบสมการ (10) ก็ต่อเมื่อมันเป็นคำตอบของสมการต่อไปนี้ที่ไม่ทราบค่าสองตัว:

กับในทางกลับกัน ผลเฉลยของระบบ (10) คือจุดตัดกันของเส้นโค้งสองเส้น: ฉ ] (x, ย) = ค และ ฉ 2 (x, y) = ค 2 บนเครื่องบิน เอ็กซ์โอย.

สิ่งนี้นำไปสู่วิธีการค้นหารากของระบบ สมการไม่เชิงเส้น:

กำหนด (อย่างน้อยโดยประมาณ) ช่วงเวลาของการมีอยู่ของระบบสมการ (10) หรือสมการ (11) ที่นี่มีความจำเป็นต้องคำนึงถึงประเภทของสมการที่รวมอยู่ในระบบขอบเขตของคำจำกัดความของสมการแต่ละสมการ ฯลฯ บางครั้งจะใช้การเลือกการประมาณเริ่มต้นของการแก้ปัญหา

ตารางการแก้สมการ (11) สำหรับตัวแปร x และ y ในช่วงเวลาที่เลือก หรือสร้างกราฟของฟังก์ชัน ฉ 1 (x, ย) = ซีและ ฉ 2 (x,y) = ค 2 (ระบบ(10))

จำกัดรากของระบบสมการ - ค้นหาค่าต่ำสุดหลายค่าจากตารางที่จัดตารางรากของสมการ (11) หรือกำหนดจุดตัดของเส้นโค้งที่รวมอยู่ในระบบ (10)

4. ค้นหารากของระบบสมการ (10) โดยใช้ Add-in การหาทางแก้ไข

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = ฉ(ที)

ประกอบด้วยการแทนที่ค่าคงที่ตามอำเภอใจ ck ในคำตอบทั่วไป

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

ซีเอ็นเอ็น(t)

สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

ไปยังฟังก์ชันเสริม ck(t) ซึ่งมีอนุพันธ์เป็นไปตามระบบพีชคณิตเชิงเส้น

ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ (1) คือ Wronskian ของฟังก์ชัน z1,z2,...,zn ซึ่งทำให้มั่นใจถึงความสามารถในการละลายที่เป็นเอกลักษณ์เฉพาะของฟังก์ชัน

ถ้า เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ , พิจารณาที่ค่าคงที่ของค่าคงที่การรวมเข้าด้วยกัน จากนั้นฟังก์ชัน

เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์ดั้งเดิม บูรณาการ สมการที่ไม่เหมือนกันเมื่อมีคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน จึงลดลงเป็นการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

วิธีลากรองจ์ (วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ)

วิธีการหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ โดยรู้คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์โดยไม่ต้องหาคำตอบเฉพาะเจาะจง

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

โดยที่ y = y(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) เป็นที่รู้จัก ต่อเนื่อง เป็นจริง: 1) n มีอยู่ในเชิงเส้นตรง การตัดสินใจที่เป็นอิสระสมการ y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) สำหรับค่าใด ๆ ของค่าคงที่ c1, c2, ..., cn, ฟังก์ชัน y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) คือ การแก้สมการ 3) สำหรับค่าเริ่มต้นใด ๆ x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 มีค่า c*1, c*n, ..., c*n เพื่อให้วิธีแก้ปัญหา y *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น y*(x0)=y0, (y*)"( x0) สำหรับ x = x0 =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1

นิพจน์ y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) เรียกว่า การตัดสินใจทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n

เซตของคำตอบอิสระเชิงเส้น n ของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n y1(x), y2(x), ..., yn(x) เรียกว่าระบบพื้นฐานของการแก้สมการ

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นด้วย ค่าสัมประสิทธิ์คงที่มีอัลกอริธึมง่ายๆ สำหรับการสร้างระบบการแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน เราจะหาคำตอบของสมการในรูปแบบ y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0 เช่น ตัวเลข l คือราก สมการลักษณะเฉพาะ ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0 ทางด้านซ้ายของสมการคุณลักษณะเรียกว่าพหุนามคุณลักษณะของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + อัน-1l + อัน ดังนั้นปัญหาของการแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n ด้วยสัมประสิทธิ์คงที่จึงลดลงเป็นการแก้สมการพีชคณิต

หากสมการคุณลักษณะมี n รากจริงที่แตกต่างกัน l1№ l2 № ... ln ln ดังนั้นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะประกอบด้วยฟังก์ชัน y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx) และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์คือ: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx)

ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีรากจริงอย่างง่าย

หากรากที่แท้จริงของสมการคุณลักษณะใด ๆ ซ้ำ r ครั้ง (r-หลายราก) ดังนั้นในระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะมี r ฟังก์ชันที่สอดคล้องกับมัน ถ้า lk=lk+1 = ... = lk+r-1 แล้วเข้า ระบบพื้นฐานการแก้สมการประกอบด้วยฟังก์ชัน r: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r- 1( x) =xr-1 ประสบการณ์(lnx)

ตัวอย่างที่ 2 ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีที่มีรากจริงหลายรายการ

ถ้าสมการคุณลักษณะมีรากที่ซับซ้อน แล้วคู่รากเชิงซ้อนอย่างง่าย (ที่มีหลายหลาก 1) แต่ละคู่ lk,k+1=ak ± ibk ในระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะสอดคล้องกับคู่ของฟังก์ชัน yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)บาป(bkx)

ตัวอย่างที่ 4 ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของรากที่ซับซ้อนอย่างง่าย รากจินตภาพ

หากคู่รากเชิงซ้อนมีหลายหลาก r ดังนั้นคู่ดังกล่าว lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk ในระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะสอดคล้องกับฟังก์ชัน exp(akx)cos( bkx), exp(akx )บาป(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)บาป(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)บาป(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)บาป(bkx)

ตัวอย่างที่ 5 ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีของรากที่ซับซ้อนหลายรายการ

ดังนั้น หากต้องการหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ เราควรเขียนสมการคุณลักษณะลงไป ค้นหารากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะ l1, l2, ... , ln; เขียนระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา y1(x), y2(x), ..., yn(x); เขียนนิพจน์สำหรับคำตอบทั่วไป y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ในการแก้ปัญหา Cauchy คุณต้องแทนที่นิพจน์สำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไปเป็นเงื่อนไขเริ่มต้นและกำหนดค่าของค่าคงที่ c1,..., cn ซึ่งเป็นคำตอบของระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิต c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x)

โดยที่ y = y(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) เป็นที่รู้จัก, ต่อเนื่อง, ถูกต้อง: 1 ) ถ้า y1(x) และ y2(x) เป็นคำตอบของสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ฟังก์ชัน y(x) = y1(x) - y2(x) จะเป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน 2) ถ้า y1(x) เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ และ y2(x) เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน ดังนั้นฟังก์ชัน y(x) = y1(x) + y2(x) จึงเป็นคำตอบของ สมการไม่เอกพันธ์ 3) ถ้า y1(x), y2(x), ..., yn(x) เป็นคำตอบอิสระเชิงเส้นของสมการเอกพันธ์ และ ych(x) - การตัดสินใจโดยพลการสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันดังนั้นสำหรับค่าเริ่มต้นใด ๆ x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 มีค่าอยู่ c*1, c*n, ..., c*n เช่นนั้น วิธีแก้ y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น y*(x0)=y0 , ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1

นิพจน์ y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) เรียกว่าคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกันของลำดับที่ n

เพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยสัมประสิทธิ์คงที่ทางด้านขวามือของรูปแบบ: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx) โดยที่ Pk(x), Qm(x) เป็นพหุนาม ขององศา k และ m จึงมีอัลกอริทึมอย่างง่ายสำหรับการสร้างคำตอบเฉพาะที่เรียกว่าวิธีการเลือก

วิธีการเลือกหรือวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ระบุรายละเอียดมีดังต่อไปนี้ วิธีแก้สมการที่ต้องการจะเขียนอยู่ในรูปแบบ: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs โดยที่ Pr(x), Qr(x ) เป็นพหุนามที่มีระดับ r = สูงสุด(k, m) โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0 ตัวประกอบ xs เรียกว่า ตัวประกอบเรโซแนนซ์ เสียงสะท้อนเกิดขึ้นในกรณีที่ในบรรดารากของสมการลักษณะเฉพาะนั้นมีราก l =a ± ib ของการคูณ s เหล่านั้น. หากในบรรดารากของสมการคุณลักษณะของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันนั้นมีสิ่งหนึ่งที่ส่วนที่แท้จริงของมันเกิดขึ้นพร้อมกับสัมประสิทธิ์ในรูปเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลังและส่วนจินตภาพเกิดขึ้นพร้อมกับสัมประสิทธิ์ในการโต้แย้งของฟังก์ชันตรีโกณมิติทางด้านขวา ด้านข้างของสมการ และจำนวนหลายหลากของรูตนี้คือ s ดังนั้นคำตอบเฉพาะที่ต้องการจะมีปัจจัยพ้องเสียง xs หากไม่มีเหตุบังเอิญ (s=0) แสดงว่าไม่มีปัจจัยสะท้อน

เมื่อแทนนิพจน์สำหรับคำตอบเฉพาะทางด้านซ้ายของสมการ เราจะได้พหุนามทั่วไปที่มีรูปแบบเดียวกับพหุนามทางด้านขวาของสมการ ซึ่งไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์

พหุนามทั่วไปสองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของตัวประกอบที่อยู่ในรูปแบบ xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) ที่มีกำลัง t เท่ากัน เมื่อเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของปัจจัยดังกล่าว เราจะได้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น 2(r+1) สำหรับผู้ที่ไม่ทราบค่า 2(r+1) แสดงให้เห็นว่าระบบดังกล่าวมีความสอดคล้องและมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว