ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ตามพิกัด ผลิตภัณฑ์ข้าม - คำจำกัดความ คุณสมบัติ สูตร ตัวอย่าง และวิธีแก้ปัญหา
ในบทนี้ เราจะดูการดำเนินการกับเวกเตอร์อีกสองรายการ: ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์และ ผลคูณของเวกเตอร์ (ลิงค์ทันทีสำหรับผู้ที่ต้องการมัน)- ไม่เป็นไร บางครั้งมันก็เกิดขึ้นเพื่อความสุขที่สมบูรณ์นอกเหนือจากนั้น ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์จำเป็นต้องมีมากขึ้นเรื่อยๆ นี่คือการเสพติดเวกเตอร์ อาจดูเหมือนว่าเรากำลังเข้าสู่ป่า เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์- นี่เป็นสิ่งที่ผิด ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงส่วนนี้ โดยทั่วไปแล้วจะมีไม้เพียงเล็กน้อย ยกเว้นบางทีอาจจะเพียงพอสำหรับพินอคคิโอ ในความเป็นจริงวัสดุนี้เป็นเรื่องธรรมดาและเรียบง่าย - แทบจะไม่ซับซ้อนไปกว่านี้อีกแล้ว ผลิตภัณฑ์ดอทจะมีงานทั่วไปน้อยลงด้วยซ้ำ สิ่งสำคัญในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ อย่างที่หลายคนเชื่อหรือเชื่ออยู่แล้ว ไม่ใช่การทำผิดพลาดในการคำนวณ ทำซ้ำเหมือนมนต์สะกดแล้วคุณจะมีความสุข =)
หากเวกเตอร์ส่องแสงอยู่ที่ไหนสักแห่งที่อยู่ห่างไกล เช่น ฟ้าแลบบนขอบฟ้า ก็ไม่สำคัญ ให้เริ่มด้วยบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองเพื่อฟื้นฟูหรือรับความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ ผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถทำความคุ้นเคยกับข้อมูลแบบคัดเลือกได้ ฉันพยายามรวบรวมตัวอย่างที่สมบูรณ์ที่สุดที่มักพบในงานภาคปฏิบัติ
อะไรจะทำให้คุณมีความสุขทันที? เมื่อตอนที่ฉันยังเป็นเด็ก ฉันสามารถโยนลูกบอลสองสามลูกได้ มันได้ผลดี ตอนนี้คุณไม่จำเป็นต้องเล่นปาหี่เลยเพราะเราจะพิจารณา เวกเตอร์เชิงพื้นที่เท่านั้นและเวกเตอร์แฟลตที่มีพิกัดสองพิกัดจะถูกละไว้ ทำไม นี่คือที่มาของการกระทำเหล่านี้ - เวกเตอร์และผลคูณผสมของเวกเตอร์ถูกกำหนดและทำงานในพื้นที่สามมิติ ง่ายกว่านี้แล้ว!
การดำเนินการนี้เกี่ยวข้องกับผลคูณสเกลาร์ด้วย เวกเตอร์สองตัว- ปล่อยให้สิ่งเหล่านี้เป็นตัวอักษรที่ไม่เน่าเปื่อย
การกระทำนั้นเอง แสดงโดยดังนี้: . มีตัวเลือกอื่นๆ แต่ฉันคุ้นเคยกับการแทนผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ด้วยวิธีนี้ในวงเล็บเหลี่ยมที่มีเครื่องหมายกากบาท
และทันที คำถาม: ถ้าเข้า. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เวกเตอร์สองตัวเกี่ยวข้องกัน และตรงนี้เวกเตอร์สองตัวก็คูณด้วย อะไรคือความแตกต่าง- ความแตกต่างที่ชัดเจนประการแรกคือในผลลัพธ์:
ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์คือ NUMBER:
ผลลัพธ์ของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คือ VECTOR: นั่นคือเราคูณเวกเตอร์แล้วได้เวกเตอร์อีกครั้ง สโมสรปิด. ที่จริงแล้วนี่คือที่มาของชื่อของการดำเนินการ ในวรรณกรรมด้านการศึกษาต่างๆ การกำหนดอาจแตกต่างกันไป ฉันจะใช้ตัวอักษร
คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม
อันดับแรกจะมีคำจำกัดความพร้อมรูปภาพแล้วแสดงความคิดเห็น
คำนิยาม: สินค้าเวกเตอร์ ไม่ใช่คอลลิเนียร์เวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับนี้เรียกว่าเวกเตอร์ ความยาวซึ่งเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์และได้รับการกำกับเพื่อให้พื้นฐานมีทิศทางที่ถูกต้อง:
เรามาแจกแจงคำจำกัดความทีละส่วน มีอะไรน่าสนใจมากมายที่นี่!
ดังนั้นจึงสามารถเน้นประเด็นสำคัญต่อไปนี้ได้:
1) เวกเตอร์ดั้งเดิม ระบุด้วยลูกศรสีแดง ตามคำจำกัดความ ไม่ใช่แนวตรง- จะเหมาะสมที่จะพิจารณากรณีของเวกเตอร์คอลลิเนียร์ในภายหลังเล็กน้อย
2) ถ่ายเวกเตอร์ ตามลำดับที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด: – "a" คูณด้วย "เป็น"ไม่ใช่ "เป็น" กับ "a" ผลลัพธ์ของการคูณเวกเตอร์คือ VECTOR ซึ่งระบุด้วยสีน้ำเงิน หากคูณเวกเตอร์ในลำดับย้อนกลับ เราจะได้เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม (สีราสเบอร์รี่) นั่นคือความเท่าเทียมกันเป็นจริง .
3) ตอนนี้เรามาทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กันดีกว่า นี่เป็นจุดสำคัญมาก! ความยาวของเวกเตอร์สีน้ำเงิน (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเวกเตอร์สีแดงเข้ม) มีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ ในรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นสีเทาดำ
บันทึก : การวาดภาพเป็นแผนผังและโดยธรรมชาติแล้วความยาวที่ระบุของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ให้เรานึกถึงสูตรเรขาคณิตสูตรหนึ่ง: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านที่อยู่ติดกันและไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านั้น- ดังนั้น จากสูตรข้างต้น สูตรคำนวณ LENGTH ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงใช้ได้:
ฉันขอย้ำว่าสูตรนี้เกี่ยวกับ LENGTH ของเวกเตอร์ และไม่เกี่ยวกับเวกเตอร์นั้นเอง ความหมายเชิงปฏิบัติคืออะไร? และความหมายก็คือในปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานมักพบผ่านแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
ขอให้เราได้สูตรสำคัญที่สอง เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เส้นประสีแดง) แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน ดังนั้นจึงสามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างบนเวกเตอร์ (การแรเงาสีแดง) ได้โดยใช้สูตร:
4) ไม่น้อย ข้อเท็จจริงที่สำคัญคือเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ นั่นก็คือ - แน่นอนว่า เวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกันข้าม (ลูกศรราสเบอร์รี่) ก็มีตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมเช่นกัน
5) เวกเตอร์ถูกกำหนดทิศทางเช่นนั้น พื้นฐานมี ขวาปฐมนิเทศ. ในบทเรียนเกี่ยวกับ การเปลี่ยนไปสู่พื้นฐานใหม่ฉันพูดรายละเอียดเพียงพอเกี่ยวกับ การวางแนวเครื่องบินและตอนนี้เราจะหาว่าการวางแนวของอวกาศคืออะไร ฉันจะอธิบายบนนิ้วของคุณ มือขวา - ประสานจิต นิ้วชี้ด้วยเวกเตอร์และ นิ้วกลางด้วยเวกเตอร์ นิ้วนางและนิ้วก้อยกดมันลงบนฝ่ามือของคุณ ส่งผลให้ นิ้วหัวแม่มือ– ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะค้นหาขึ้น นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้อง (นี่คืออันนี้ในรูป) ตอนนี้เปลี่ยนเวกเตอร์ ( นิ้วชี้และนิ้วกลาง) ในบางสถานที่ ผลก็คือ นิ้วหัวแม่มือจะหมุน และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะมองลงมาแล้ว นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้องเช่นกัน คุณอาจมีคำถาม: พื้นฐานใดที่ออกจากการปฐมนิเทศ? “กำหนด” ให้เป็นนิ้วเดียวกัน มือซ้ายเวกเตอร์ และรับพื้นฐานด้านซ้ายและการวางแนวด้านซ้ายของปริภูมิ (ในกรณีนี้นิ้วหัวแม่มือจะอยู่ในทิศทางของเวกเตอร์ด้านล่าง)- หากพูดเป็นรูปเป็นร่าง ฐานเหล่านี้จะ "บิด" หรือปรับทิศทางพื้นที่ไปในทิศทางที่ต่างกัน และแนวคิดนี้ไม่ควรถือเป็นสิ่งที่ลึกซึ้งหรือเป็นนามธรรม - ตัวอย่างเช่น การวางแนวของอวกาศเปลี่ยนไปด้วยกระจกธรรมดาที่สุด และหากคุณ "ดึงวัตถุที่สะท้อนออกจากกระจกมอง" มันก็จะ กรณีทั่วไปไม่สามารถรวมกับ "ต้นฉบับ" ได้ ยังไงก็ตาม ชูสามนิ้วขึ้นไปที่กระจกแล้ววิเคราะห์การสะท้อน ;-)
...ตอนนี้คุณรู้ดีแค่ไหนแล้ว ไปทางขวาและซ้ายฐานเพราะคำพูดของอาจารย์บางคนเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงการวางแนวนั้นน่ากลัว =)
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คอลลิเนียร์
มีการพูดคุยถึงคำจำกัดความโดยละเอียดแล้ว ยังคงต้องค้นหาว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน หากเวกเตอร์เป็นแบบแนวเส้นตรง ก็ให้วางพวกมันบนเส้นตรงเส้นเดียวและสี่เหลี่ยมด้านขนานของเราก็จะ "บวก" ให้เป็นเส้นตรงเส้นเดียวด้วย ดังที่นักคณิตศาสตร์กล่าวว่า เสื่อมโทรมสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากับศูนย์ ตามสูตรเดียวกัน - ไซน์ของศูนย์หรือ 180 องศาเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าพื้นที่เป็นศูนย์
ดังนั้น ถ้า แล้ว - พูดอย่างเคร่งครัด ผลคูณเวกเตอร์นั้นเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ แต่ในทางปฏิบัติมักถูกละเลยและเขียนไว้ว่ามันเท่ากับศูนย์
กรณีพิเศษคือผลคูณไขว้ของเวกเตอร์กับตัวมันเอง:
เมื่อใช้ผลคูณไขว้ คุณสามารถตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์สามมิติได้ และ งานที่ได้รับมอบหมายเราจะจัดเรียงมันด้วย
เพื่อแก้ปัญหา ตัวอย่างการปฏิบัติอาจจำเป็น ตารางตรีโกณมิติเพื่อหาค่าของไซน์จากมัน
มาจุดไฟกันเถอะ:
ตัวอย่างที่ 1
ก) จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ ถ้า
b) ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ ถ้า
สารละลาย: ไม่ นี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด ฉันจงใจทำให้ข้อมูลเริ่มต้นในส่วนคำสั่งเหมือนกัน เพราะการออกแบบโซลูชั่นจะแตกต่างออกไป!
ก) ตามเงื่อนไขคุณต้องค้นหา ความยาวเวกเตอร์ (ผลคูณข้าม) ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:
คำตอบ:
หากคุณถูกถามเกี่ยวกับความยาว ในคำตอบเราจะระบุมิติ - หน่วย
b) ตามเงื่อนไขคุณต้องค้นหา สี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นตัวเลขเท่ากับความยาวของผลคูณเวกเตอร์:
คำตอบ:
โปรดทราบว่าคำตอบไม่ได้พูดถึงผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เลย พื้นที่ของรูปดังนั้น มิติข้อมูลจึงเป็นหน่วยสี่เหลี่ยม
เรามักจะมองหาสิ่งที่เราต้องค้นหาตามเงื่อนไข และจากสิ่งนี้ เราจึงกำหนดสูตรขึ้นมา ชัดเจนคำตอบ. อาจดูเหมือนเป็นเรื่องจริง แต่มีครูที่จริงใจอยู่มากมายในหมู่พวกเขา และงานนี้มีโอกาสดีที่จะถูกส่งกลับเพื่อแก้ไข แม้ว่านี่จะไม่ใช่การพูดเล่นที่ลึกซึ้งนัก แต่หากคำตอบไม่ถูกต้อง เราก็จะรู้สึกว่าบุคคลนั้นไม่เข้าใจสิ่งง่ายๆ และ/หรือไม่เข้าใจแก่นแท้ของงาน ประเด็นนี้ควรได้รับการควบคุมเสมอเมื่อแก้ไขปัญหาใดๆ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นและในวิชาอื่นๆ ด้วย
ตัวอักษรตัวใหญ่ “en” หายไปไหน? โดยหลักการแล้ว มันอาจจะแนบมากับโซลูชันเพิ่มเติมได้ แต่เพื่อที่จะย่อรายการให้สั้นลง ฉันไม่ได้ทำเช่นนี้ ฉันหวังว่าทุกคนจะเข้าใจสิ่งนั้นและเป็นการกำหนดสิ่งเดียวกัน
ตัวอย่างยอดนิยมสำหรับโซลูชัน DIY:
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์ถ้า
สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านผลคูณเวกเตอร์มีระบุไว้ในความคิดเห็นต่อคำจำกัดความ คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน
ในทางปฏิบัติ งานนี้เป็นเรื่องธรรมดามาก โดยทั่วไปแล้ว รูปสามเหลี่ยมสามารถทรมานคุณได้
เพื่อแก้ไขปัญหาอื่น ๆ เราจะต้อง:
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์
เราได้พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แล้ว แต่ฉันจะรวมคุณสมบัติเหล่านี้ไว้ในรายการนี้
สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและตัวเลขที่กำหนดเอง คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง:
1) ในแหล่งข้อมูลอื่นๆ รายการนี้มักจะไม่ได้เน้นในคุณสมบัติ แต่มีความสำคัญมากในแง่การปฏิบัติ ดังนั้นปล่อยให้มันเป็นไป
2) – ทรัพย์สินดังกล่าวยังกล่าวถึงข้างต้นบางครั้งเรียกว่า ต่อต้านการเปลี่ยนแปลง- กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับของเวกเตอร์มีความสำคัญ
3) – เชื่อมโยงหรือ เชื่อมโยงกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ค่าคงที่สามารถเคลื่อนย้ายออกไปนอกผลคูณเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย จริงๆ แล้วพวกเขาควรทำอะไรที่นั่น?
4) – การจำหน่ายหรือ การกระจายกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ไม่มีปัญหาในการเปิดวงเล็บเช่นกัน
เพื่อสาธิต ลองดูตัวอย่างสั้นๆ:
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาว่า
สารละลาย:เงื่อนไขนี้จำเป็นต้องค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์อีกครั้ง มาวาดภาพจิ๋วของเรากันเถอะ:
(1) ตามกฎการเชื่อมโยง เราใช้ค่าคงที่อยู่นอกขอบเขตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์
(2) เราย้ายค่าคงที่ออกไปนอกโมดูล และโมดูลจะ "กิน" เครื่องหมายลบ ความยาวต้องไม่เป็นลบ
(3) ส่วนที่เหลือชัดเจน
คำตอบ:
ถึงเวลาเพิ่มฟืนลงในกองไฟแล้ว:
ตัวอย่างที่ 4
คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์ถ้า
สารละลาย: หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตร - สิ่งที่จับได้ก็คือเวกเตอร์ "tse" และ "de" นั้นถูกนำเสนอเป็นผลรวมของเวกเตอร์ อัลกอริทึมที่นี่เป็นมาตรฐานและค่อนข้างชวนให้นึกถึงตัวอย่างหมายเลข 3 และ 4 ของบทเรียน ผลคูณดอทของเวกเตอร์- เพื่อความชัดเจน เราจะแบ่งวิธีแก้ปัญหาออกเป็นสามขั้นตอน:
1) ในขั้นตอนแรก เราแสดงผลคูณเวกเตอร์ผ่านผลคูณเวกเตอร์ อันที่จริง ลองเขียนเวกเตอร์ในรูปของเวกเตอร์กัน- ยังไม่มีคำว่ายาว!
(1) แทนนิพจน์ของเวกเตอร์
(2) ใช้กฎการกระจาย เราจะเปิดวงเล็บตามกฎการคูณพหุนาม
(3) การใช้กฎเชื่อมโยง เราย้ายค่าคงที่ทั้งหมดไปไกลกว่าผลคูณเวกเตอร์ ด้วยประสบการณ์เพียงเล็กน้อยก็สามารถดำเนินการขั้นตอนที่ 2 และ 3 พร้อมๆ กันได้
(4) เทอมแรกและเทอมสุดท้ายมีค่าเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์) เนื่องจากคุณสมบัติที่ดี ในระยะที่สอง เราใช้คุณสมบัติของการต่อต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
(5) เรานำเสนอข้อกำหนดที่คล้ายกัน
เป็นผลให้เวกเตอร์กลายเป็นเวกเตอร์ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นจะต้องทำให้สำเร็จ:
2) ในขั้นตอนที่สอง เราจะหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ที่เราต้องการ การดำเนินการนี้คล้ายกับตัวอย่างที่ 3:
3) ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ต้องการ:
ขั้นที่ 2-3 ของการแก้ปัญหาสามารถเขียนเป็นบรรทัดเดียวได้
คำตอบ:
ปัญหาที่พิจารณาค่อนข้างบ่อยใน การทดสอบนี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาว่า
คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน มาดูกันว่าคุณใส่ใจแค่ไหนเมื่อศึกษาตัวอย่างก่อนหน้านี้ ;-)
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ในพิกัด
ระบุไว้ตามหลักออร์โธนอร์มอล แสดงโดยสูตร:สูตรนั้นง่ายมาก: ในบรรทัดบนสุดของดีเทอร์มิแนนต์เราเขียนเวกเตอร์พิกัดในบรรทัดที่สองและสามเรา "ใส่" พิกัดของเวกเตอร์แล้วใส่ ตามลำดับที่เข้มงวด– ขั้นแรกพิกัดของเวกเตอร์ “ve” ตามด้วยพิกัดของเวกเตอร์ “double-ve” หากจำเป็นต้องคูณเวกเตอร์ในลำดับอื่น ควรสลับแถว:
ตัวอย่างที่ 10
ตรวจสอบว่าเวกเตอร์อวกาศต่อไปนี้เป็นเส้นตรงหรือไม่:
ก)
ข)
สารละลาย: การตรวจสอบจะขึ้นอยู่กับข้อความใดข้อความหนึ่งในบทเรียนนี้: หากเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ผลคูณของเวกเตอร์จะเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์): .
ก) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
ดังนั้นเวกเตอร์จึงไม่อยู่ในแนวเดียวกัน
b) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
คำตอบ: ก) ไม่ใช่เส้นตรง b)
นี่อาจเป็นข้อมูลพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์
ส่วนนี้จะไม่ใหญ่มาก เนื่องจากมีปัญหาเล็กน้อยในการใช้ผลคูณของเวกเตอร์ผสม ในความเป็นจริงทุกอย่างจะขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิต และสูตรการทำงานสองสามสูตร
ผลคูณของเวกเตอร์คือผลคูณของเวกเตอร์สามตัว:
ดังนั้นพวกเขาจึงเข้าแถวเหมือนรถไฟและแทบรอไม่ไหวที่จะถูกระบุตัวตน
ประการแรก อีกครั้ง คำจำกัดความและรูปภาพ:
คำนิยาม: งานผสม ไม่ใช่ระนาบเวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับนี้, เรียกว่า ปริมาตรที่ขนานกันสร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้ โดยมีเครื่องหมาย “+” หากฐานถูกต้อง และเครื่องหมาย “–” หากเหลือฐาน
มาวาดรูปกันเถอะ เส้นที่เรามองไม่เห็นนั้นถูกวาดด้วยเส้นประ:
มาดำดิ่งสู่คำจำกัดความ:
2) ถ่ายเวกเตอร์ ในลำดับที่แน่นอนนั่นคือการจัดเรียงเวกเตอร์ในผลิตภัณฑ์ใหม่ตามที่คุณอาจเดาได้จะไม่เกิดขึ้นโดยไม่มีผลกระทบ
3) ก่อนที่จะแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิต ฉันจะทราบข้อเท็จจริงที่ชัดเจน: ผลคูณผสมของเวกเตอร์คือ NUMBER- ในวรรณกรรมด้านการศึกษาการออกแบบอาจแตกต่างกันเล็กน้อย ฉันคุ้นเคยกับการแสดงถึงผลิตภัณฑ์แบบผสม และผลลัพธ์ของการคำนวณด้วยตัวอักษร "pe"
ตามคำนิยาม ผลคูณที่ผสมคือปริมาตรของเส้นขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์ (รูปวาดด้วยเวกเตอร์สีแดงและเส้นสีดำ) นั่นคือจำนวนเท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่กำหนด
บันทึก : ภาพวาดเป็นแผนผัง
4) ไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องการวางแนวของพื้นฐานและพื้นที่อีกต่อไป ความหมายของส่วนสุดท้ายคือสามารถเพิ่มเครื่องหมายลบลงในโวลุ่มได้ ด้วยคำพูดง่ายๆผลิตภัณฑ์ผสมอาจเป็นค่าลบ:
โดยตรงจากคำจำกัดความเป็นไปตามสูตรในการคำนวณปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์
ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1ก่อนที่จะให้แนวคิดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ ให้เราหันมาที่คำถามเกี่ยวกับการวางแนวของเวกเตอร์ลำดับสามของ a →, b →, c → ในปริภูมิสามมิติ
ขั้นแรก ให้แยกเวกเตอร์ a → , b → , c → ออกจากจุดหนึ่ง การวางแนวของสาม a → , b → , c → สามารถเป็นได้ทั้งทางขวาหรือซ้าย ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ c → นั่นเอง ประเภทของทริปเปิ้ล a → , b → , c → จะถูกกำหนดจากทิศทางที่เวกเตอร์ a → ถึง b → จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ c → หมุนที่สั้นที่สุด
หากการหมุนทวนเข็มนาฬิกาสั้นที่สุดจะเรียกว่าสามเวกเตอร์ a → , b → , c → ขวาถ้าตามเข็มนาฬิกา – ซ้าย.
จากนั้น หาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัว a → และ b → จากนั้นให้เราพลอตเวกเตอร์ A B → = a → และ AC → = b → จากจุด A เรามาสร้างเวกเตอร์ A D → = c → ซึ่งตั้งฉากกับทั้ง A B → และ A C → พร้อมกัน ดังนั้น เมื่อสร้างเวกเตอร์ด้วยตัว A D → = c → เราสามารถทำได้สองวิธี โดยกำหนดให้เป็นทิศทางเดียวหรือตรงกันข้าม (ดูภาพประกอบ)
ตามที่เราพบ เวกเตอร์สามเท่าของลำดับ a → , b → , c → สามารถเป็นได้ทั้งทางขวาหรือทางซ้าย ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์
จากที่กล่าวมาข้างต้น เราสามารถแนะนำคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้ คำจำกัดความนี้กำหนดไว้สำหรับเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในปริภูมิสามมิติ
คำจำกัดความ 1
ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว a → และ b → เราจะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าวซึ่งกำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติดังนี้:
- ถ้าเวกเตอร์ a → และ b → เป็นเส้นตรง มันจะเป็นศูนย์
- มันจะตั้งฉากกับทั้งเวกเตอร์ a → และเวกเตอร์ b → เช่น ∠ ก → ค → = ∠ ข → ค → = π 2 ;
- ความยาวถูกกำหนดโดยสูตร: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
- สามเวกเตอร์ของ a → , b → , c → มีทิศทางเดียวกับใน ระบบนี้พิกัด
ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → มีเครื่องหมายดังนี้: a → × b →
พิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์
เนื่องจากเวกเตอร์ใดๆ มีพิกัดที่แน่นอนในระบบพิกัด เราจึงสามารถแนะนำคำจำกัดความที่สองของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้ ซึ่งจะช่วยให้เราค้นหาพิกัดของมันโดยใช้พิกัดที่กำหนดของเวกเตอร์ได้
คำจำกัดความ 2
ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว a → = (a x ; a y ; a z) และ b → = (b x ; b y ; b z) เรียกว่าเวกเตอร์ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → โดยที่ i → , j → , k → เป็นเวกเตอร์พิกัด
ผลคูณเวกเตอร์สามารถแสดงเป็นตัวดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสอันดับสาม โดยที่แถวแรกประกอบด้วยเวกเตอร์เวกเตอร์ i → , j → , k → แถวที่สองประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ a → และแถวที่สาม มีพิกัดของเวกเตอร์ b → ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด นี่คือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์มีลักษณะดังนี้: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
เมื่อขยายดีเทอร์มิแนนต์นี้เข้าไปในองค์ประกอบของแถวแรก เราจะได้ความเท่าเทียมกัน: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (มี b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ข้าม
เป็นที่ทราบกันดีว่าผลคูณเวกเตอร์ในพิกัดนั้นแสดงเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z จากนั้นบนพื้นฐาน คุณสมบัติของตัวกำหนดเมทริกซ์ต่อไปนี้จะปรากฏขึ้น คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:
- การต่อต้านการกลายพันธุ์ a → × b → = - b → × a → ;
- การกระจายตัว a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → หรือ a → × b (1) → + b (2) → = a → × ข (1) → + ก → × ข (2) → ;
- การเชื่อมโยง แล a → × b → = แลม → × b → หรือ a → × (แลม b →) = แลม → × b → โดยที่ แล คือจำนวนจริงใดๆ
คุณสมบัติเหล่านี้มีการพิสูจน์ง่ายๆ
ตามตัวอย่าง เราสามารถพิสูจน์คุณสมบัติต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้
หลักฐานการต่อต้านการเปลี่ยนแปลง
ตามคำนิยาม a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z และ b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z และถ้ามีการสลับเมทริกซ์สองแถว ค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ควรเปลี่ยนไปตรงกันข้าม ดังนั้น a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → ซึ่งและพิสูจน์ว่าผลคูณเวกเตอร์เป็นแบบต้านการเปลี่ยนแปลง
ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ - ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา
ในกรณีส่วนใหญ่ จะมีปัญหาสามประเภท
ในโจทย์ประเภทแรก มักจะให้ความยาวของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น และคุณจำเป็นต้องค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ ในกรณีนี้ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้ c → = a → · b → · sin ∠ a → , b →
ตัวอย่างที่ 1
จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → ถ้าคุณรู้ a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4
สารละลาย
โดยการหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → เราจะแก้ปัญหานี้: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .
คำตอบ: 15 2 2 .
ปัญหาประเภทที่สองมีความเกี่ยวข้องกับพิกัดของเวกเตอร์ โดยในนั้นคือผลคูณเวกเตอร์ ความยาวของมัน ฯลฯ ถูกค้นหาผ่านพิกัดที่ทราบของเวกเตอร์ที่กำหนด ก → = (ก x; ก ย; ก z) และ ข → = (ข x ; โดย ; ข z) .
สำหรับปัญหาประเภทนี้ คุณสามารถแก้ไขตัวเลือกงานได้มากมาย ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถระบุพิกัดของเวกเตอร์ a → และ b → ได้ แต่จะขยายเป็นเวกเตอร์พิกัดของแบบฟอร์มไม่ได้ b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → และ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → หรือเวกเตอร์ a → และ b → สามารถระบุได้ด้วยพิกัดจุดเริ่มต้น และจุดสิ้นสุด
ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 2
ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ให้เวกเตอร์สองตัว: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1) ค้นหาผลิตภัณฑ์ข้ามของพวกเขา
สารละลาย
ตามคำจำกัดความที่สอง เราจะพบผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวในพิกัดที่กำหนด: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · by - ay · bx) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
หากเราเขียนผลคูณเวกเตอร์ผ่านดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ แล้วคำตอบของตัวอย่างนี้จะเป็นแบบนี้: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 ผม → - 2 เจ → - 2 k → .
คำตอบ: ก → × b → = - 2 ผม → - 2 เจ → - 2 k → .
ตัวอย่างที่ 3
จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ i → - j → และ i → + j → + k → โดยที่ i →, j →, k → เป็นเวกเตอร์หน่วยของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม
สารละลาย
ก่อนอื่น เรามาค้นหาพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่กำหนด i → - j → × i → + j → + k → ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด
เป็นที่ทราบกันว่าเวกเตอร์ i → - j → และ i → + j → + k → มีพิกัด (1; - 1; 0) และ (1; 1; 1) ตามลำดับ ลองหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ จากนั้นเราจะได้ i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - เจ → + 2 k → .
ดังนั้น ผลคูณเวกเตอร์ i → - j → × i → + j → + k → มีพิกัด (- 1 ; - 1 ; 2) ในระบบพิกัดที่กำหนด
เราค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์โดยใช้สูตร (ดูหัวข้อการหาความยาวของเวกเตอร์): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.
คำตอบ: ผม → - เจ → × ผม → + เจ → + k → = 6 . -
ตัวอย่างที่ 4
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม พิกัดสามจุด A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) จะได้รับ จงหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ A B → และ A C → ในเวลาเดียวกัน
สารละลาย
เวกเตอร์ A B → และ AC → มีพิกัดต่อไปนี้ (- 1 ; 2 ; 2) และ (0 ; 4 ; 1) ตามลำดับ เมื่อพบผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ A B → และ A C → เห็นได้ชัดว่ามันเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากตามคำจำกัดความของทั้ง A B → และ A C → นั่นคือมันเป็นวิธีแก้ปัญหาของเรา ลองหามันมา A B → × AC → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .
คำตอบ: - 6 ผม → + เจ → - 4 k → . - หนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉาก
ปัญหาประเภทที่สามจะเน้นไปที่การใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ หลังจากสมัครแล้วเราจะได้แนวทางแก้ไขปัญหาที่กำหนด
ตัวอย่างที่ 5
เวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉากกัน และมีความยาวเท่ากับ 3 และ 4 ตามลำดับ จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · ก → × - 2 · ข → + - ข → × ก → + - ข → × - 2 · ข → .
สารละลาย
ด้วยคุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราสามารถเขียนได้ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 ก → × ก → + 3 ก → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →
ด้วยคุณสมบัติของการเชื่อมโยงเราจะนำค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขออกจากเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในนิพจน์สุดท้าย: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - ข → × - 2 · ข → = = 3 · ก → × ก → + 3 · (- 2) · ก → × ข → + (- 1) · ข → × ก → + (- 1) · (- 2) · ข → × ข → = = 3 ก → × ก → - 6 ก → × ข → - ข → × ก → + 2 ข → × ข →
ผลคูณเวกเตอร์ a → × a → และ b → × b → เท่ากับ 0 เนื่องจาก a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 และ b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0 จากนั้น 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → -
จากการต้านคอมมิวทิวิตี้ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ดังนี้ - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × ข → . -
เมื่อใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ เราจะได้ความเท่าเทียมกัน 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .
ตามเงื่อนไข เวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉากกัน นั่นคือมุมระหว่างพวกมันเท่ากับ π 2 ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่ค่าที่พบเป็นสูตรที่เหมาะสม: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · บาป (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · บาป π 2 = 60 .
คำตอบ: 3 ก → - ข → × ก → - 2 ข → = 60
ความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ตามคำจำกัดความ เท่ากับ a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → เนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว (จากหลักสูตรของโรงเรียน) ว่าพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของทั้งสองด้านคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านี้ ดังนั้นความยาวของผลคูณเวกเตอร์จึงเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน - สามเหลี่ยมสองเท่าคือผลคูณของด้านข้างในรูปแบบของเวกเตอร์ a → และ b → วางลงจากจุดหนึ่งโดยไซน์ของ มุมระหว่างพวกเขา บาป ∠ a →, b →
นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์
ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์
ในกลศาสตร์ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของฟิสิกส์ ต้องขอบคุณผลคูณเวกเตอร์ คุณสามารถกำหนดโมเมนต์ของแรงสัมพันธ์กับจุดในอวกาศได้
คำจำกัดความ 3
เมื่อถึงโมเมนต์ของแรง F → ที่ใช้กับจุด B สัมพันธ์กับจุด A เราจะเข้าใจผลคูณเวกเตอร์ต่อไปนี้ A B → × F →
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
คำนิยาม คอลเลกชันที่ได้รับคำสั่ง (x 1 , x 2 , ... , xn) n เรียกว่าตัวเลขจริง เวกเตอร์ n มิติและตัวเลข x i (i = ) - ส่วนประกอบหรือ พิกัด,
ตัวอย่าง. เช่น ถ้าโรงงานผลิตรถยนต์แห่งหนึ่งต้องผลิตรถยนต์จำนวน 50 คัน รถบรรทุก 100 คัน รถโดยสาร 10 คัน อะไหล่รถยนต์ 50 ชุด และสำหรับ 150 ชุด รถบรรทุกและรถโดยสารประจำทาง ดังนั้น โปรแกรมการผลิตของโรงงานนี้สามารถเขียนได้เป็นเวกเตอร์ (50, 100, 10, 50, 150) โดยมีองค์ประกอบ 5 ส่วน
สัญกรณ์ เวกเตอร์จะแสดงด้วยตัวหนา ตัวอักษรตัวพิมพ์เล็กหรือตัวอักษรที่มีแถบหรือลูกศรอยู่ด้านบน เช่น กหรือ- เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า เท่ากันถ้ามีจำนวนองค์ประกอบเท่ากันและมีส่วนประกอบเท่ากัน
ส่วนประกอบเวกเตอร์ไม่สามารถสลับได้ เช่น (3, 2, 5, 0, 1)และ (2, 3, 5, 0, 1) เวกเตอร์ที่แตกต่างกัน
การดำเนินการกับเวกเตอร์การทำงาน
x= (x 1 , x 2 , ... ,xn) ด้วยจำนวนจริงλ เรียกว่าเวกเตอร์λ x= (แลมป์ x 1, แลมบ์ 2, ..., แลมโบล)
จำนวนx= (x 1 , x 2 , ... ,xn) และ ย= (y 1 , y 2 , ... ,yn) เรียกว่าเวกเตอร์ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , xn + + yn)
พื้นที่เวกเตอร์เอ็น -ปริภูมิเวกเตอร์มิติ ร n ถูกกำหนดให้เป็นเซตของเวกเตอร์ n มิติทั้งหมด ซึ่งนิยามการดำเนินการคูณด้วยจำนวนจริงและการบวก
ภาพประกอบทางเศรษฐกิจ ภาพประกอบทางเศรษฐศาสตร์ของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ: พื้นที่ของสินค้า (สินค้า- ภายใต้ สินค้าเราจะเข้าใจถึงสินค้าหรือบริการบางอย่างที่ลดราคา ณ เวลาใดสถานที่หนึ่ง สมมติว่ามีสินค้าจำนวนจำกัดn; ปริมาณของผู้บริโภคแต่ละคนที่ซื้อนั้นมีลักษณะเป็นชุดสินค้า
x= (x 1 , x 2 , ..., xn)
โดยที่ x i หมายถึงจำนวนสินค้า i-th ที่ผู้บริโภคซื้อ เราจะถือว่าสินค้าทั้งหมดมีคุณสมบัติในการหารลงตัวได้ เพื่อให้สามารถซื้อสินค้าในปริมาณที่ไม่เป็นลบของสินค้าแต่ละรายการได้ จากนั้นเซตของสินค้าที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือเวกเตอร์ของปริภูมิสินค้า C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , xn) x ผม ≥ 0, ผม = )
ความเป็นอิสระเชิงเส้น ระบบ จ 1 , จ 2 , ... , จ m เวกเตอร์มิติเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีตัวเลขดังกล่าวแล 1 , แล 2 , ... , แลม ซึ่งอย่างน้อยหนึ่งตัวไม่เป็นศูนย์ เท่ากับว่ามีความเท่าเทียมกันแล 1 จ 1 + แล 2 จ 2 +... + แลม จม. = 0; มิฉะนั้นจะเรียกว่าระบบเวกเตอร์นี้ เป็นอิสระเชิงเส้นนั่นคือความเท่าเทียมกันที่ระบุเป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่ทั้งหมด - ความหมายทางเรขาคณิต การพึ่งพาเชิงเส้นเวกเตอร์ใน ร 3 ตีความเป็นส่วนที่กำหนด อธิบายทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 1 ระบบที่ประกอบด้วยเวกเตอร์หนึ่งตัวจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงก็ต่อเมื่อเวกเตอร์นี้เป็นศูนย์เท่านั้น
ทฤษฎีบท 2 เพื่อให้เวกเตอร์สองตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทั้งสองจะต้องอยู่ในแนวเดียวกัน (ขนานกัน)
ทฤษฎีบท 3 - เพื่อให้เวกเตอร์สามตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทั้งสามจะต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน (อยู่ในระนาบเดียวกัน)
เวกเตอร์สามเท่าซ้ายและขวา เวกเตอร์ที่ไม่ใช่โคพลานาร์สามเท่า ก ข คเรียกว่า ขวาถ้าผู้สังเกตจากแหล่งกำเนิดร่วมกันเลี่ยงส่วนปลายของเวกเตอร์ ก ข คตามลำดับที่กำหนดให้ปรากฏว่าเกิดขึ้นตามเข็มนาฬิกา มิฉะนั้น ก ข ค -เหลือสาม- เรียกว่าเวกเตอร์สามเท่าทางขวา (หรือซ้าย) เหมือนกัน มุ่งเน้น
พื้นฐานและพิกัด ทรอยก้า จ 1, จ 2 , จเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบ 3 ตัวใน ร 3 เรียกว่า พื้นฐานและเวกเตอร์นั้นเอง จ 1, จ 2 , จ 3 - ขั้นพื้นฐาน- เวกเตอร์ใดๆ กสามารถขยายเป็นเวกเตอร์พื้นฐานได้โดยเฉพาะ กล่าวคือ แสดงในรูปแบบ
ก= x 1 จ 1+x2 จ 2 + x3 จ 3, (1.1)
เรียกตัวเลข x 1 , x 2 , x 3 ในส่วนขยาย (1.1) พิกัดกในพื้นฐาน จ 1, จ 2 , จ 3 และถูกกำหนดไว้ ก(x1,x2,x3)
พื้นฐานออร์โธนอร์มอล ถ้าเป็นเวกเตอร์ จ 1, จ 2 , จ 3 นั้นตั้งฉากกันเป็นคู่และความยาวของแต่ละอันมีค่าเท่ากับ 1 แล้วจึงเรียกว่าฐาน ออร์โธนอร์มอลและพิกัด x 1 , x 2 , x 3 - สี่เหลี่ยมเวกเตอร์พื้นฐานของพื้นฐานออร์โธนอร์มอลจะถูกแสดงโดย ฉัน เจ เค
เราจะถือว่าสิ่งนั้นอยู่ในอวกาศ ร 3 เลือกระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนที่ถูกต้อง (0, ฉัน เจ เค}.
งานศิลปะของเว็กเตอร์ งานศิลปะของเว็กเตอร์ กเป็นเวกเตอร์ ขเรียกว่าเวกเตอร์ คซึ่งถูกกำหนดโดยเงื่อนไขสามประการต่อไปนี้:
1. ความยาวเวกเตอร์ คตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ กและ ขเช่น.
ค=
|ก||ข|บาป( ก^ข).
2. เวกเตอร์ คตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัว กและ ข.
3. เวกเตอร์ ก, ขและ คดำเนินการตามลำดับที่ระบุในรูปแบบสามที่ถูกต้อง
สำหรับผลิตภัณฑ์ข้าม คมีการแนะนำการกำหนด ค =[เกี่ยวกับ] หรือ
ค = ก
× ข.
ถ้าเป็นเวกเตอร์ กและ ขเป็นเส้นตรงแล้วบาป ( เอ^บี) = 0 และ [ เกี่ยวกับ] = 0 โดยเฉพาะ [ อ่า] = 0 ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์หน่วย: [ ฉัน]=เค [เจเค] = ฉัน, [คิ]=เจ.
ถ้าเป็นเวกเตอร์ กและ ขระบุไว้ในพื้นฐาน ฉัน เจ เคพิกัด ก(ก 1 , 2 , 3) ข(ข 1, ข 2, ข 3) จากนั้น
งานผสม. ถ้าผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว กและ ขคูณด้วยเวกเตอร์ที่สามแบบสเกลาร์ คจากนั้นจึงเรียกผลคูณของเวกเตอร์สามตัวดังกล่าว งานผสมและมีการระบุด้วยสัญลักษณ์ ก บีค
ถ้าเป็นเวกเตอร์ ก, ขและ คในพื้นฐาน ฉัน เจ เคกำหนดโดยพิกัดของพวกเขา
ก(ก 1 , 2 , 3) ข(ข 1, ข 2, ข 3), ค(ค 1, ค 2, ค 3) จากนั้น
.
ผลิตภัณฑ์ผสมมีการตีความทางเรขาคณิตอย่างง่าย - เป็นสเกลาร์ซึ่งมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ที่กำหนดสามตัว
หากเวกเตอร์ก่อตัวเป็นสามเท่าที่ถูกต้อง ผลคูณของพวกมันจะเป็นจำนวนบวกเท่ากับปริมาตรที่ระบุ ถ้าเป็นสาม ก ข ค -ซ้ายแล้ว เอ บี ซี<0 и V = - เอ บี ซีดังนั้น V =|กขค|.
พิกัดของเวกเตอร์ที่พบในปัญหาของบทแรกจะถือว่าให้สัมพันธ์กับพื้นฐานออร์โธนอร์มอลที่ถูกต้อง เวกเตอร์หน่วยโคทิศทางกับเวกเตอร์ เอ,ที่ระบุด้วยสัญลักษณ์ กโอ เครื่องหมาย ร=โอมเขียนแทนด้วยเวกเตอร์รัศมีของจุด M สัญลักษณ์ a, AB หรือ|a|, | เอบี|โมดูลของเวกเตอร์จะแสดงแทน กและ เอบี
ตัวอย่าง 1.2. ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ ก= 2ม+4nและ ข= ม-น, ที่ไหน มและ ไม่มีเวกเตอร์หน่วยและมุมระหว่าง มและ nเท่ากับ 120 โอ
สารละลาย- เรามี: cos φ = เกี่ยวกับ/ab เอบี =(2ม+4n) (ม-น) = 2ม 2 - 4n 2 +2นาที=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; ก = - ก 2 = (2ม+4n) (2ม+4n) =
= 4ม 2 +16นาที+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12 ซึ่งหมายถึง a = ข = - ข 2 =
= (ม-น)(ม-น) = ม 2 -2นาที+n 2 =
1-2(-0.5)+1 = 3 ซึ่งหมายถึง b = ในที่สุดเราก็ได้: cosφ = = -1/2, φ = 120 o
ตัวอย่างที่ 1.3รู้จักเวกเตอร์ เอบี(-3,-2.6) และ บี.ซี.(-2,4,4) คำนวณความยาวของ AD ระดับความสูงของรูปสามเหลี่ยม ABC
สารละลาย- แสดงถึงพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ด้วย S เราได้รับ:
S = 1/2 ปีก่อนคริสต์ศักราช แล้ว AD=2S/BC, BC= = = 6,
ส = 1/2| เอบี ×เอซี|.
เอซี=เอบี+บีซีซึ่งหมายถึงเวกเตอร์ เอ.ซี.มีพิกัด
.
.
ตัวอย่าง 1.4 - ให้เวกเตอร์สองตัวมา ก(11,10,2) และ ข(4,0,3) ค้นหาเวกเตอร์หน่วย คตั้งฉากกับเวกเตอร์ กและ ขและกำกับเพื่อให้เวกเตอร์สามลำดับได้รับคำสั่ง ก ข คถูกต้อง
สารละลาย.ให้เราแสดงพิกัดของเวกเตอร์ คด้วยความเคารพต่อสิทธิออร์โธนอร์มอลพื้นฐานที่กำหนดในรูปของ x, y, z
เพราะ ค ⊥ ก, ค ⊥ข, ที่ แคลิฟอร์เนีย= 0,ซีบี= 0 ตามเงื่อนไขของปัญหา กำหนดให้ c = 1 และ เอ บี ซี >0.
เรามีระบบสมการสำหรับ การหา x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0
จากสมการแรกและที่สองของระบบเราได้รับ z = -4/3 x, y = -5/6 x เมื่อแทน y และ z ลงในสมการที่สาม เราจะได้: x 2 = 36/125 ดังนั้น
x=±
- การใช้เงื่อนไข เอ บี ซี > 0 เราได้อสมการ
เมื่อคำนึงถึงนิพจน์สำหรับ z และ y เราจะเขียนผลลัพธ์ความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ: 625/6 x > 0 ซึ่งบอกเป็นนัยว่า x>0 ดังนั้น x = , y = - , z =- .
7.1. คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม
เวกเตอร์ a, b และ c ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบสามตัว ถ่ายตามลำดับที่ระบุ สร้างแฝดสามทางขวา ถ้าจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สาม c เห็นการหมุนที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์แรก a ถึงเวกเตอร์ b ที่สอง ทวนเข็มนาฬิกา และแฝดซ้ายถ้าตามเข็มนาฬิกา (ดูรูปที่ 16)
ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a และเวกเตอร์ b เรียกว่าเวกเตอร์ c ซึ่ง:
1. ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b เช่น c ^ a และ c ^ ข ;
2. มีความยาวเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ a และขเช่นเดียวกับด้านข้าง (ดูรูปที่ 17) เช่น
3. เวกเตอร์ a, b และ c ประกอบเป็นรูปสามเท่าของมือขวา
ผลคูณกากบาทเขียนแทน a x b หรือ [a,b] ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างเวกเตอร์หน่วยที่ฉันติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เจ และเค
(ดูรูปที่ 18):
ฉัน x เจ = k, เจ x k = ฉัน, k x i = เจให้เราพิสูจน์เป็นตัวอย่างว่า
ฉัน xj = k ^ 1) k ^ ฉัน, k
เจ ; 2) |k |=1 แต่ |ฉัน x เจ
- = |ฉัน | และ|เจ | บาป(90°)=1;
3) เวกเตอร์ ผม, เจ และ
สร้างสามด้านขวา (ดูรูปที่ 16)
7.2. คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ข้าม = -(1. เมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย เช่น).
และ xb =(b xa) (ดูรูปที่ 19)
เวกเตอร์ a xb และ b xa เป็นเส้นตรง มีโมดูลเดียวกัน (พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานยังคงไม่เปลี่ยนแปลง) แต่มีทิศทางตรงกันข้าม (สามเท่า a, b, xb และ a, b, b x a ในทิศทางตรงกันข้าม) ดังนั้น เอ๊กซ์บีขxa ข 2. ผลคูณเวกเตอร์มีคุณสมบัติการรวมโดยคำนึงถึงปัจจัยสเกลาร์ เช่น l (a xb) = (l a) x b = a x (l b) ขให้ l >0 เวกเตอร์ l (a xb) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b เวกเตอร์ ( เอ๊กซ์บีล เอ๊กซ์บีขวาน เอ๊กซ์บีขxa ขยังตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ
(เวกเตอร์ ก, เอ๊กซ์บีแต่นอนอยู่ในระนาบเดียวกัน) นี่หมายความว่าเวกเตอร์ เอ๊กซ์บี(กxb) และ ( เอ๊กซ์บี<0.
คอลลิเนียร์ เห็นได้ชัดว่าทิศทางของพวกเขาตรงกัน มีความยาวเท่ากัน: ขเป็นเส้นตรงก็ต่อเมื่อผลคูณเวกเตอร์ของพวกมันเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ นั่นคือ a ||b<=>และ xb = 0
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง i *i =j *j =k *k =0
4. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีคุณสมบัติการกระจาย:
(ก+ข) xc = ก xc + ข xs
เราจะยอมรับโดยไม่มีข้อพิสูจน์
7.3. การแสดงผลคูณไขว้ในแง่ของพิกัด
เราจะใช้ตารางผลคูณของเวกเตอร์ i ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างเวกเตอร์หน่วยที่ฉันติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์และเค:
ถ้าทิศทางของเส้นทางที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์แรกไปวินาทีตรงกับทิศทางของลูกศร ผลคูณจะเท่ากับเวกเตอร์ที่สาม หากไม่ตรงกัน เวกเตอร์ที่สามจะถูกใช้เครื่องหมายลบ
ให้เวกเตอร์สองตัว a =a x i +a y ได้รับ ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างเวกเตอร์หน่วยที่ฉันติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์+ก และและ ข = ข x ฉัน+บี ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างเวกเตอร์หน่วยที่ฉันติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์+บีซ และ- ลองหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เหล่านี้โดยการคูณมันเป็นพหุนาม (ตามคุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์):
สูตรผลลัพธ์สามารถเขียนได้สั้นยิ่งขึ้น:
เนื่องจากด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (7.1) สอดคล้องกับการขยายตัวของปัจจัยลำดับที่สามในแง่ขององค์ประกอบของแถวแรก ความเท่าเทียมกัน (7.2) นั้นง่ายต่อการจดจำ
7.4. การใช้งานบางส่วนของผลิตภัณฑ์ข้าม
การสร้างความสัมพันธ์เชิงเส้นของเวกเตอร์
การหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานและสามเหลี่ยม
ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ กและข |a xb | -|a | * |b |sin g เช่น S คู่ = |a x b | ดังนั้น D S =1/2|a x b |
การหาโมเมนต์แรงรอบจุดหนึ่ง
ให้ออกแรงที่จุด A เอฟ =เอบีและปล่อยให้ เกี่ยวกับ- บางจุดในอวกาศ (ดูรูปที่ 20)
เป็นที่ทราบกันดีจากฟิสิกส์ว่า ช่วงเวลาแห่งพลัง เอฟ สัมพันธ์กับประเด็น เกี่ยวกับเรียกว่าเวกเตอร์ เอ็มซึ่งผ่านจุดนั้นไป เกี่ยวกับและ:
1) ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ โอ้, ก, บี;
2) ตัวเลขเท่ากับผลคูณของแรงต่อแขน
3) สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้านขวาด้วยเวกเตอร์ OA และ A B
ดังนั้น M = OA x F
การหาความเร็วการหมุนเชิงเส้น
ความเร็ว โวลต์จุด M ของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม วรอบแกนคงที่ จะถูกกำหนดโดยสูตรของออยเลอร์ v =w xr โดยที่ r =OM โดยที่ O คือจุดคงที่ของแกน (ดูรูปที่ 21)
เวกเตอร์หน่วย- นี้ เวกเตอร์ค่าสัมบูรณ์ (โมดูลัส) ซึ่งเท่ากับความสามัคคี เพื่อแสดงถึงเวกเตอร์หน่วย เราจะใช้ตัวห้อย e กแล้วเวกเตอร์หน่วยของมันจะเป็นเวกเตอร์ กจ. เวกเตอร์หน่วยนี้มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์นั้นเอง กและโมดูลของมันมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ a e = 1
อย่างชัดเจน, ก= ก กอี (ก - โมดูลเวกเตอร์ ก)- สิ่งนี้ตามมาจากกฎที่ใช้ดำเนินการคูณสเกลาร์ด้วยเวกเตอร์
เวกเตอร์หน่วยมักเกี่ยวข้องกับแกนพิกัดของระบบพิกัด (โดยเฉพาะกับแกนของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน) แนวทางเหล่านี้ เวกเตอร์ตรงกับทิศทางของแกนที่สอดคล้องกัน และจุดกำเนิดของมันมักจะรวมกับจุดกำเนิดของระบบพิกัด
ฉันขอเตือนคุณว่า ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนในอวกาศ แกนสามแกนตั้งฉากซึ่งกันและกันซึ่งตัดกัน ณ จุดที่เรียกว่าจุดกำเนิดของพิกัด มักเรียกว่าแกนตั้งฉากกัน แกนพิกัดมักจะแสดงด้วยตัวอักษร X, Y, Z และเรียกว่าแกนแอบซิสซา แกนพิกัด และแกนประยุกต์ ตามลำดับ เดการ์ตเองใช้แกนเดียวเท่านั้นซึ่งมีการวางแผนแอบซิสซา ข้อดีการใช้งาน ระบบขวานเป็นของลูกศิษย์ของเขา เพราะฉะนั้น ประโยคนี้ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนผิดทางประวัติศาสตร์ คุยกันดีกว่า สี่เหลี่ยม ระบบพิกัดหรือ ระบบพิกัดตั้งฉาก- อย่างไรก็ตาม เราจะไม่เปลี่ยนประเพณี และในอนาคตเราจะถือว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียนและสี่เหลี่ยม (มุมฉาก) เป็นหนึ่งเดียวกัน
เวกเตอร์หน่วยกำกับตามแกน X จะแสดงแทน ฉัน, เวกเตอร์หน่วยกำกับตามแกน Y จะแสดงแทน เจ, ก เวกเตอร์หน่วยกำกับตามแกน Z จะแสดงไว้ เค- เวกเตอร์ ฉัน, เจ, เคถูกเรียกว่า ออร์ต(รูปที่ 12 ซ้าย) พวกเขามีโมดูลเดียวนั่นคือ
ผม = 1, เจ = 1, k = 1
ขวานและ เวกเตอร์หน่วย ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในบางกรณีอาจมีชื่อและชื่อเรียกต่างกัน ดังนั้นแกนแอบซิสซา X จึงเรียกว่าแกนแทนเจนต์ และเวกเตอร์หน่วยของมันถูกแทนด้วย τ (ตัวอักษรเทาตัวพิมพ์เล็กกรีก) แกนพิกัดคือแกนตั้งฉาก เวกเตอร์หน่วยของมันถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ nแกนประยุกต์คือแกนชีวปกติ โดยมีหน่วยเวกเตอร์แทนด้วย ข- ทำไมต้องเปลี่ยนชื่อถ้าสาระสำคัญยังคงเหมือนเดิม?
ความจริงก็คือตัวอย่างเช่นในกลศาสตร์เมื่อศึกษาการเคลื่อนที่ของร่างกายจะใช้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบ่อยมาก ดังนั้น หากระบบพิกัดนั้นอยู่กับที่ และการเปลี่ยนแปลงในพิกัดของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ถูกติดตามในระบบที่อยู่นิ่งนี้ โดยปกติแล้วแกนจะถูกกำหนดให้เป็น X, Y, Z และ เวกเตอร์หน่วยตามลำดับ ฉัน, เจ, เค.
แต่บ่อยครั้งที่วัตถุเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้งบางประเภท (เช่นในวงกลม) จะสะดวกกว่าที่จะพิจารณากระบวนการทางกลในระบบพิกัดที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับวัตถุนี้ สำหรับระบบพิกัดเคลื่อนที่นั้นจะใช้ชื่ออื่นของแกนและเวกเตอร์หน่วยของแกนเหล่านั้น มันเป็นอย่างที่มันเป็น ในกรณีนี้ แกน X จะถูกกำหนดทิศทางในแนวสัมผัสไปยังวิถีโคจร ณ จุดที่วัตถุนี้อยู่ในปัจจุบัน จากนั้นแกนนี้ไม่เรียกว่าแกน X อีกต่อไป แต่เป็นแกนแทนเจนต์ และเวกเตอร์หน่วยของมันไม่ได้ถูกกำหนดอีกต่อไป ฉัน, ก τ - แกน Y ถูกกำหนดทิศทางตามรัศมีความโค้งของวิถี (ในกรณีของการเคลื่อนที่เป็นวงกลม - ไปยังศูนย์กลางของวงกลม) และเนื่องจากรัศมีตั้งฉากกับแทนเจนต์ แกนจึงเรียกว่าแกนตั้งฉาก (ตั้งฉากและตั้งฉากเป็นสิ่งเดียวกัน) เวกเตอร์หน่วยของแกนนี้ไม่แสดงอีกต่อไป เจ, ก n- แกนที่สาม (เดิมคือ Z) ตั้งฉากกับสองแกนก่อนหน้า นี่คือสิ่งมีชีวิตที่มีออร์ธ ข(รูปที่ 12 ขวา). โดยวิธีการในกรณีนี้เช่นนี้ ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมมักเรียกว่า "ธรรมชาติ" หรือธรรมชาติ