คำแนะนำ

หากสมการแสดงเป็น: dy/dx = q(x)/n(y) ให้อ้างอิงถึงหมวดหมู่ของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรแยกกัน สามารถแก้ไขได้โดยเขียนเงื่อนไขเป็นดิฟเฟอเรนเชียลดังนี้ n(y)dy = q(x)dx จากนั้นรวมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน ในบางกรณี คำตอบจะเขียนในรูปของปริพันธ์ที่นำมาจากฟังก์ชันที่รู้จัก ตัวอย่างเช่น ในกรณีของ dy/dx = x/y เราจะได้ q(x) = x, n(y) = y เขียนเป็น ydy = xdx และอินทิเกรต คุณควรจะได้ y^2 = x^2 + c

เป็นเชิงเส้น สมการแอตทริบิวต์สมการ "ครั้งแรก" ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักซึ่งมีอนุพันธ์รวมอยู่ในสมการดังกล่าวในระดับแรกเท่านั้น เชิงเส้นมีรูปแบบ dy/dx + f(x) = j(x) โดยที่ f(x) และ g(x) เป็นฟังก์ชันขึ้นอยู่กับ x วิธีการแก้ปัญหาเขียนโดยใช้ปริพันธ์ที่นำมาจากฟังก์ชันที่รู้จัก

โปรดทราบว่าหลาย สมการเชิงอนุพันธ์- นี่คือสมการอันดับสอง (ที่มีอนุพันธ์อันดับสอง) ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เขียนเป็นสมการทั่วไป: md 2x / dt 2 = -kx สมการดังกล่าวมีคำตอบบางส่วน สมการของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นตัวอย่างของบางสิ่งที่สำคัญมาก: สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

หากในเงื่อนไขของปัญหามีเพียงข้อเดียว สมการเชิงเส้นซึ่งหมายความว่าคุณได้รับเงื่อนไขเพิ่มเติมซึ่งคุณสามารถหาทางออกได้ อ่านปัญหาอย่างละเอียดเพื่อค้นหาเงื่อนไขเหล่านี้ ถ้า ตัวแปร x และ y คือระยะทาง ความเร็ว น้ำหนัก คุณสามารถกำหนดขีดจำกัด x≥0 และ y≥0 ได้ตามต้องการ เป็นไปได้ทีเดียวที่ x หรือ y ซ่อนจำนวนของ , แอปเปิ้ล ฯลฯ – จากนั้นค่าจะเป็นได้เท่านั้น ถ้า x คืออายุของลูกชาย แสดงว่าเขาไม่สามารถแก่กว่าพ่อได้ ดังนั้นให้ระบุสิ่งนี้ในเงื่อนไขของโจทย์

แหล่งที่มา:

• วิธีแก้สมการตัวแปรเดียว

งานสำหรับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลเป็นองค์ประกอบสำคัญของการรวมทฤษฎีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วน คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นเรียนในมหาวิทยาลัย ความแตกต่าง สมการได้รับการแก้ไขโดยวิธีการบูรณาการ

คำแนะนำ

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ตรวจสอบคุณสมบัติ ในทางกลับกัน การรวมฟังก์ชันช่วยให้เป็นไปตามคุณสมบัติที่กำหนด เช่น อนุพันธ์หรือดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันไปหามันเอง นี่คือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์

ใดๆ คืออัตราส่วนระหว่างค่าที่ไม่รู้จักกับข้อมูลที่ทราบ ในกรณีของสมการเชิงอนุพันธ์ ฟังก์ชันจะเล่นบทบาทของสิ่งที่ไม่รู้ และบทบาทของปริมาณที่ทราบจะเล่นโดยอนุพันธ์ของมัน นอกจากนี้ อัตราส่วนอาจมีตัวแปรอิสระ: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0 โดยที่ x คือค่าที่ไม่รู้จัก ตัวแปร, y (x) คือฟังก์ชันที่จะกำหนด, ลำดับของสมการคือลำดับสูงสุดของอนุพันธ์ (n)

สมการดังกล่าวเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ หากมีตัวแปรอิสระหลายตัวในความสัมพันธ์และอนุพันธ์ย่อย (ดิฟเฟอเรนเชียล) ของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรเหล่านี้ สมการจะเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอนุพันธ์ย่อยและมีรูปแบบ: x∂z/∂y - ∂z/∂ x = 0 โดยที่ z(x, y) คือฟังก์ชันที่ต้องการ

ดังนั้น เพื่อที่จะเรียนรู้วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ คุณต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้ เช่น แก้ปัญหาความแตกต่างผกผัน ตัวอย่างเช่น แก้สมการอันดับหนึ่ง y’ = -y/x

วิธีแก้ไข แทนที่ y' ด้วย dy/dx: dy/dx = -y/x

นำสมการไปอยู่ในรูปแบบที่สะดวกในการบูรณาการ ในการทำเช่นนี้ ให้คูณทั้งสองข้างด้วย dx แล้วหารด้วย y:dy/y = -dx/x

รวม: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - บันทึก |x| +ค.

วิธีแก้ปัญหานี้เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไป C เป็นค่าคงที่ซึ่งชุดของค่ากำหนดชุดของคำตอบของสมการ สำหรับค่าเฉพาะใดๆ ของ C คำตอบจะไม่ซ้ำกัน คำตอบดังกล่าวเป็นคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบของสมการส่วนใหญ่ที่สูงขึ้น องศาไม่มีสูตรที่ชัดเจนเหมือนการหารากของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สมการ. อย่างไรก็ตาม มีวิธีการลดค่าหลายวิธีที่ช่วยให้คุณสามารถแปลงสมการที่มีระดับสูงกว่าเป็นรูปแบบที่มองเห็นได้มากขึ้น

คำแนะนำ

วิธีการทั่วไปในการแก้สมการของระดับที่สูงขึ้นคือการขยายตัว วิธีนี้เป็นการผสมผสานระหว่างการเลือกรากจำนวนเต็ม ตัวหารของพจน์อิสระ และการหารพหุนามทั่วไปที่ตามมาในรูปแบบ (x - x0)

ตัวอย่างเช่น แก้สมการ x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0 เฉลย สมาชิกอิสระของพหุนามนี้คือ -3 ดังนั้น ตัวหารที่เป็นจำนวนเต็มสามารถเป็น ±1 และ ±3 แทนค่าลงในสมการทีละตัว แล้วดูว่าคุณได้รับเอกลักษณ์หรือไม่: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0

รากที่สอง x = -1 หารด้วยนิพจน์ (x + 1) เขียนสมการผลลัพธ์ (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0 องศาลดลงเหลือที่สอง ดังนั้น สมการจึงสามารถมีรากได้อีกสองราก หากต้องการค้นหา ให้แก้สมการกำลังสอง: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

ค่าจำแนกเป็นค่าลบ ซึ่งหมายความว่าสมการไม่มีรากที่แท้จริงอีกต่อไป ค้นหารากที่ซับซ้อนของสมการ: x = (-2 + i √11)/2 และ x = (-2 – i √11)/2

อีกวิธีหนึ่งในการแก้สมการที่มีดีกรีสูงกว่าคือการเปลี่ยนตัวแปรให้เป็นกำลังสอง วิธีการนี้ใช้เมื่อกำลังทั้งหมดของสมการเท่ากัน เช่น x^4 - 13 x² + 36 = 0

หารากของสมการเดิม: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2

เคล็ดลับ 10: วิธีกำหนดสมการรีดอกซ์

ปฏิกิริยาเคมีเป็นกระบวนการของการเปลี่ยนแปลงของสารที่เกิดขึ้นจากการเปลี่ยนแปลงองค์ประกอบ สารเหล่านั้นที่เข้าสู่ปฏิกิริยาเรียกว่าสารตั้งต้นและสารที่เกิดขึ้นจากกระบวนการนี้เรียกว่าผลิตภัณฑ์ มันเกิดขึ้นในระหว่างปฏิกิริยาเคมี องค์ประกอบที่ประกอบเป็นวัสดุตั้งต้นจะเปลี่ยนสถานะออกซิเดชัน นั่นคือพวกเขาสามารถรับอิเล็กตรอนของคนอื่นและให้อิเล็กตรอนของตัวเองได้ ในทั้งสองกรณี ค่าใช้จ่ายจะเปลี่ยนไป ปฏิกิริยาดังกล่าวเรียกว่าปฏิกิริยารีดอกซ์

สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการที่มีฟังก์ชันและอนุพันธ์ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป ในปัญหาเชิงปฏิบัติส่วนใหญ่ ฟังก์ชันคือ ปริมาณทางกายภาพอนุพันธ์จะสอดคล้องกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณเหล่านี้ และสมการจะกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างพวกมัน

บทความนี้กล่าวถึงวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญบางประเภท ซึ่งวิธีแก้สามารถเขียนได้ในรูป ฟังก์ชันพื้นฐานนั่นคือ ฟังก์ชันพหุนาม เอกซ์โปเนนเชียล ลอการิทึม และตรีโกณมิติ ตลอดจนฟังก์ชันผกผัน พบสมการเหล่านี้มากมายใน ชีวิตจริงแม้ว่าสมการเชิงอนุพันธ์อื่น ๆ ส่วนใหญ่จะไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเหล่านี้ และสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อื่น ๆ นั้น คำตอบจะถูกเขียนเป็นฟังก์ชันพิเศษหรืออนุกรมกำลัง หรือหาได้ด้วยวิธีตัวเลข

เพื่อให้เข้าใจบทความนี้ คุณจำเป็นต้องรู้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล รวมทั้งมีความเข้าใจเกี่ยวกับอนุพันธ์บางส่วน นอกจากนี้ ยังแนะนำให้รู้พื้นฐานของพีชคณิตเชิงเส้นเมื่อนำไปใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง แม้ว่าความรู้เรื่องแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลจะเพียงพอที่จะแก้ปัญหาได้

ข้อมูลเบื้องต้น

• สมการเชิงอนุพันธ์มีการจำแนกประเภทที่กว้างขวาง บทความนี้พูดถึง สมการเชิงอนุพันธ์สามัญนั่นคือ เกี่ยวกับสมการที่มีฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัวและอนุพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญนั้นง่ายต่อการเข้าใจและแก้ไขมากกว่า สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยซึ่งรวมถึงฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว บทความนี้ไม่ได้พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เนื่องจากวิธีการแก้สมการเหล่านี้มักถูกกำหนดโดยรูปแบบเฉพาะของมัน
  • ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• คำสั่งสมการเชิงอนุพันธ์ถูกกำหนดโดยลำดับของอนุพันธ์สูงสุดที่รวมอยู่ในสมการนี้ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญตัวแรกข้างต้นเป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ส่วนสมการที่สองเป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง ระดับของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่ากำลังสูงสุดซึ่งหนึ่งในเงื่อนไขของสมการนี้ถูกยกขึ้น
  • ตัวอย่างเช่น สมการด้านล่างคืออันดับสามและกำลังสอง
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ ขวา)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• สมการเชิงอนุพันธ์คือ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นถ้าฟังก์ชันและอนุพันธ์ทั้งหมดอยู่ในยกกำลังหนึ่ง มิฉะนั้นสมการคือ สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เชิงเส้น. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นมีความโดดเด่นตรงที่การผสมเชิงเส้นสามารถทำได้จากผลเฉลย ซึ่งจะเป็นคำตอบด้วย สมการที่กำหนด.
  • ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น
  • ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่ใช่เชิงเส้น สมการแรกไม่เป็นเชิงเส้นเนื่องจากเทอมไซน์
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• การตัดสินใจร่วมกันสมการเชิงอนุพันธ์สามัญไม่ซ้ำกัน ได้แก่ ค่าคงที่ของการรวมโดยพลการ. ในกรณีส่วนใหญ่ จำนวนของค่าคงที่ตามอำเภอใจจะเท่ากับลำดับของสมการ ในทางปฏิบัติค่าคงที่เหล่านี้ถูกกำหนดโดยการกำหนด เงื่อนไขเริ่มต้นนั่นคือโดยค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันที่ x = 0. (\displaystyle x=0.)จำนวนของเงื่อนไขเริ่มต้นที่จำเป็นในการค้นหา การตัดสินใจส่วนตัวสมการอนุพันธ์ ในกรณีส่วนใหญ่จะเท่ากับลำดับของสมการนี้ด้วย
  • ตัวอย่างเช่น บทความนี้จะดูที่การแก้สมการด้านล่าง นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง ของเขา การตัดสินใจร่วมกันมีค่าคงที่โดยพลการสองตัว ในการค้นหาค่าคงที่เหล่านี้จำเป็นต้องทราบเงื่อนไขเริ่มต้นที่ x (0) (\displaystyle x(0))และ x' (0) . (\displaystyle x"(0))โดยปกติแล้วเงื่อนไขเริ่มต้นจะได้รับที่จุด x = 0 , (\displaystyle x=0,)แม้ว่าจะไม่จำเป็นก็ตาม บทความนี้จะพิจารณาวิธีค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1

สมการอันดับหนึ่ง

เมื่อใช้บริการนี้ ข้อมูลบางอย่างอาจถูกถ่ายโอนไปยัง YouTube

1. สมการเชิงเส้นของลำดับที่หนึ่งส่วนนี้กล่าวถึงวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่งโดยทั่วไปและกรณีพิเศษ เมื่อบางพจน์มีค่าเท่ากับศูนย์ ลองแกล้งทำเป็นว่า y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))และ q (x) (\displaystyle q(x))เป็นฟังก์ชัน x . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0 (\displaystyle p(x)=0.)ตามหนึ่งในทฤษฎีบทหลักของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ อินทิกรัลของอนุพันธ์ของฟังก์ชันก็เป็นฟังก์ชันเช่นกัน ดังนั้นจึงเพียงพอแล้วที่จะรวมสมการเพื่อหาคำตอบ อย่างไรก็ตามควรสังเกตว่าเมื่อคำนวณ อินทิกรัลไม่ จำกัดค่าคงที่โดยพลการปรากฏขึ้น

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0 (\displaystyle q(x)=0.)เราใช้วิธีการ การแยกตัวแปร. ในกรณีนี้ ตัวแปรต่างๆ จะถูกถ่ายโอนไปยังด้านต่างๆ ของสมการ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถถ่ายโอนสมาชิกทั้งหมดจาก y (\displaystyle y)เป็นหนึ่งเดียวและสมาชิกทุกคนด้วย x (\displaystyle x)ไปอีกด้านหนึ่งของสมการ ย้ายสมาชิกได้ด้วย d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)และ d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y)ซึ่งรวมอยู่ในนิพจน์ของอนุพันธ์ อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นเพียง เครื่องหมายซึ่งสะดวกต่อการแยกแยะ ฟังก์ชันที่ซับซ้อน. การอภิปรายคำศัพท์เหล่านี้ซึ่งเรียกว่า ความแตกต่างอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความนี้

   • ก่อนอื่น คุณต้องย้ายตัวแปรไปฝั่งตรงข้ามของเครื่องหมายเท่ากับ
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • เราอินทิเกรตทั้งสองด้านของสมการ หลังจากการอินทิเกรต ค่าคงที่ตามอำเภอใจจะปรากฏขึ้นทั้งสองด้าน ซึ่งสามารถถ่ายโอนไปทางด้านขวาของสมการได้
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • ตัวอย่าง 1.1.ในขั้นตอนที่แล้วเราใช้กฎ e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))และแทนที่ e C (\displaystyle e^(C))บน ซี (\displaystyle C)เพราะมันเป็นค่าคงที่ของการรวมโดยพลการ
     • d y d x − 2 y บาป ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = บาป ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(ชิด)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)เพื่อหาทางออกทั่วไป เราได้แนะนำ ปัจจัยบูรณาการเป็นหน้าที่ของ x (\displaystyle x)เพื่อลดด้านซ้ายเป็นอนุพันธ์ร่วมและแก้สมการ

   • คูณทั้งสองข้างด้วย μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • ในการลดด้านซ้ายให้เป็นอนุพันธ์ร่วม ต้องทำการแปลงต่อไปนี้:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายหมายความว่า d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). นี่เป็นปัจจัยการอินทิเกรตที่เพียงพอต่อการแก้สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่ง ตอนนี้เราสามารถหาสูตรสำหรับการแก้สมการนี้ด้วยความเคารพ µ , (\displaystyle \mu ,)แม้ว่าสำหรับการฝึกอบรมจะมีประโยชน์ในการคำนวณขั้นกลางทั้งหมด
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • ตัวอย่าง 1.2ในตัวอย่างนี้ เราจะพิจารณาวิธีหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln เสื้อ)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(ชิด)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(ชิด)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   การแก้สมการเชิงเส้นของลำดับที่หนึ่ง (บันทึกโดย Intuit - National Open University)

2. สมการอันดับหนึ่งแบบไม่เชิงเส้น. ในส่วนนี้จะพิจารณาวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่ง แม้ว่าจะไม่มีวิธีทั่วไปในการแก้สมการดังกล่าว แต่บางวิธีก็สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการด้านล่าง

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y))ถ้าฟังก์ชั่น f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))สามารถแบ่งฟังก์ชันออกเป็นตัวแปรเดียวได้ เช่น สมการ สมการเชิงอนุพันธ์ที่แยกได้. ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้วิธีการข้างต้น:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) ) x)
   • ตัวอย่าง 1.3
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ เริ่มต้น(ชิด)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(ชิด)))

   D y d x = g (x , y) ชั่วโมง (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)ลองแกล้งทำเป็นว่า g (x , y) (\displaystyle g(x, y))และ ชั่วโมง (x , y) (\displaystyle h(x, y))เป็นฟังก์ชัน x (\displaystyle x)และ ย . (\displaystyle ย.)แล้ว สมการอนุพันธ์เอกพันธ์เป็นสมการที่ g (\displaystyle g)และ ชั่วโมง (\displaystyle h)เป็น ฟังก์ชั่นที่เป็นเนื้อเดียวกันระดับเดียวกัน นั่นคือฟังก์ชั่นต้องเป็นไปตามเงื่อนไข g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)ที่ไหน k (\displaystyle k)เรียกว่าระดับความเป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ใดๆ สามารถกำหนดได้โดยสมการ การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร (v = y / x (\displaystyle v=y/x)หรือ v = x / y (\displaystyle v=x/y)) เพื่อแปลงเป็นสมการที่มีตัวแปรแยกกัน

   • ตัวอย่าง 1.4คำอธิบายความเป็นเนื้อเดียวกันข้างต้นอาจดูคลุมเครือ ลองดูแนวคิดนี้พร้อมตัวอย่าง
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(ย^(2)x)))
     • ในการเริ่มต้น ควรสังเกตว่าสมการนี้ไม่เป็นเชิงเส้นเมื่อเทียบกับ ย . (\displaystyle ย.)นอกจากนี้เรายังเห็นว่าในกรณีนี้เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกตัวแปร อย่างไรก็ตาม สมการเชิงอนุพันธ์นี้เป็นเอกพันธ์ เนื่องจากทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นเนื้อเดียวกันที่มีกำลัง 3 ดังนั้น เราสามารถเปลี่ยนตัวแปรได้ วี=y/x (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (ง) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)เป็นผลให้เรามีสมการสำหรับ v (\displaystyle v)ด้วยตัวแปรร่วม
     • v (x) = − 3 บันทึก ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n))นี้ สมการเชิงอนุพันธ์ของเบอร์นูลลี- สมการไม่เชิงเส้นชนิดพิเศษของระดับแรกซึ่งสามารถเขียนคำตอบได้โดยใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน

   • คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • เราใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อนทางด้านซ้ายและแปลงสมการเป็นสมการเชิงเส้นด้วยความเคารพ y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)ซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการข้างต้น
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0 (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (ง) )x))=0.)นี้ สมการใน ความแตกต่างทั้งหมด . มีความจำเป็นต้องค้นหาสิ่งที่เรียกว่า ฟังก์ชันที่มีศักยภาพ φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),)ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข d φ d x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • สำหรับการดำเนินการ เงื่อนไขที่กำหนดจำเป็นต้องมี อนุพันธ์ทั้งหมด. อนุพันธ์รวมคำนึงถึงการพึ่งพาตัวแปรอื่นๆ ในการคำนวณอนุพันธ์ทั้งหมด φ (\displaystyle \varphi )โดย x , (\displaystyle x,)เราคิดว่า y (\displaystyle y)อาจขึ้นอยู่กับ x . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • เงื่อนไขการเปรียบเทียบทำให้เรา M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))และ N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).)นี่เป็นผลลัพธ์ทั่วไปสำหรับสมการที่มีตัวแปรหลายตัว โดยที่อนุพันธ์ผสมของฟังก์ชันเรียบมีค่าเท่ากัน บางครั้งก็เรียกกรณีนี้ว่า ทฤษฎีบทของ Clairaut. ในกรณีนี้ สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการของผลต่างทั้งหมด หากเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • วิธีการแก้สมการในอนุพันธ์ทั้งหมดนั้นคล้ายกับการหาฟังก์ชันที่มีศักยภาพในการแสดงอนุพันธ์หลายตัว ซึ่งเราจะหารือกันสั้นๆ ก่อนอื่นเรารวมเข้าด้วยกัน เอ็ม (\displaystyle M)โดย x . (\displaystyle x.)เพราะว่า เอ็ม (\displaystyle M)เป็นฟังก์ชันและ x (\displaystyle x), และ y , (\displaystyle y,)เมื่ออินทิเกรตเราจะได้ฟังก์ชันที่ไม่สมบูรณ์ φ , (\displaystyle \varphi ,)มีป้ายกำกับว่า φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). ผลลัพธ์ยังรวมถึงการขึ้นอยู่กับ y (\displaystyle y)ค่าคงที่ของการผสมผสาน
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • หลังจากนั้นจะได้รับ ค (y) (\displaystyle ค(y))คุณสามารถหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันที่เป็นผลลัพธ์ด้วยความเคารพ y , (\displaystyle y,)เทียบผลลัพธ์ N (x , y) (\displaystyle N(x, y))และบูรณาการ เราสามารถรวมเข้าด้วยกันก่อน N (\displaystyle N)แล้วหาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x (\displaystyle x)ซึ่งจะทำให้เราพบฟังก์ชันตามอำเภอใจ ง(x). (\displaystyle d(x))ทั้งสองวิธีมีความเหมาะสม และโดยปกติแล้วจะเลือกฟังก์ชันที่ง่ายกว่าสำหรับการผสานรวม
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ บางส่วน (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • ตัวอย่าง 1.5คุณสามารถหาอนุพันธ์ย่อยและตรวจสอบว่าสมการด้านล่างเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ทั้งหมด
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(ชิด)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(ชิด)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • ถ้าสมการเชิงอนุพันธ์ไม่ใช่สมการเชิงอนุพันธ์ทั้งหมด ในบางกรณี คุณสามารถหาตัวประกอบการอินทิเกรตที่จะช่วยให้คุณแปลงมันเป็นสมการเชิงอนุพันธ์รวมได้ อย่างไรก็ตามสมการดังกล่าวไม่ค่อยได้ใช้ในทางปฏิบัติและแม้ว่าปัจจัยการรวม มีอยู่, พบว่ามันเกิดขึ้น ไม่ใช่เรื่องง่ายจึงไม่พิจารณาสมการเหล่านี้ในบทความนี้

ส่วนที่ 2

สมการอันดับสอง

1. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่สมการเหล่านี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ ดังนั้นคำตอบของสมการจึงมีความสำคัญยิ่ง ในกรณีนี้ เราไม่ได้พูดถึงฟังก์ชันเอกพันธ์แต่เกี่ยวกับข้อเท็จจริงที่ว่ามี 0 ทางด้านขวาของสมการ ในหัวข้อถัดไป เราจะแสดงวิธีการที่สอดคล้องกัน ต่างกันสมการเชิงอนุพันธ์. ด้านล่าง ก (\displaystyle ก)และ ข (\displaystyle ข)เป็นค่าคงที่

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   สมการลักษณะเฉพาะ. สมการเชิงอนุพันธ์นี้มีความโดดเด่นตรงที่สามารถแก้ไขได้ง่ายมากหากคุณให้ความสนใจกับคุณสมบัติของสมการเชิงอนุพันธ์ จะเห็นได้จากสมการว่า y (\displaystyle y)และอนุพันธ์ของมันนั้นแปรผันตามสัดส่วนกัน จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ซึ่งพิจารณาในหัวข้อสมการอันดับหนึ่ง เรารู้ว่าเฉพาะฟังก์ชันเลขชี้กำลังเท่านั้นที่มีคุณสมบัตินี้ ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะหยิบยก แอนซาตซ์(การเดาที่มีการศึกษา) เกี่ยวกับคำตอบของสมการที่กำหนดจะเป็นอย่างไร

   • คำตอบจะอยู่ในรูปของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล e rx , (\displaystyle e^(rx),)ที่ไหน r (\displaystyle r)เป็นค่าคงตัวที่ต้องหาค่า แทนฟังก์ชันนี้ลงในสมการแล้วจะได้นิพจน์ต่อไปนี้
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • สมการนี้บ่งชี้ว่าผลคูณของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและพหุนามต้องเป็นศูนย์ เป็นที่ทราบกันว่าเลขชี้กำลังไม่สามารถเท่ากับศูนย์สำหรับค่าระดับใดๆ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าพหุนามมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงลดปัญหาในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ให้เป็นปัญหาที่ง่ายกว่ามากในการแก้สมการพีชคณิต ซึ่งเรียกว่าสมการคุณลักษณะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • เรามีสองราก เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธ์นี้เป็นเชิงเส้น คำตอบทั่วไปจึงเป็นผลรวมเชิงเส้นของคำตอบบางส่วน เนื่องจากนี่คือสมการอันดับสอง เราจึงรู้ว่านี่คือ จริงหรือวิธีแก้ปัญหาทั่วไป และไม่มีอย่างอื่น เหตุผลที่เข้มงวดมากขึ้นสำหรับสิ่งนี้อยู่ในทฤษฎีบทเกี่ยวกับการดำรงอยู่และเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหา ซึ่งสามารถพบได้ในตำราเรียน
   • วิธีที่มีประโยชน์ในการตรวจสอบว่าสองคำตอบเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่คือการคำนวณ วรอนสเคียน. วรอนสเคียน W (\displaystyle W)- นี่คือปัจจัยของเมทริกซ์ในคอลัมน์ที่มีฟังก์ชันและอนุพันธ์ที่ต่อเนื่องกัน ทฤษฎีบทพีชคณิตเชิงเส้นระบุว่าฟังก์ชันใน Wronskian นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหาก Wronskian มีค่าเท่ากับศูนย์ ในส่วนนี้ เราสามารถทดสอบว่าคำตอบสองข้อเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ โดยตรวจสอบให้แน่ใจว่า Wronskian ไม่ใช่ศูนย์ Wronskian มีความสำคัญในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่โดยวิธีการแปรผันของพารามิเตอร์
     • ว = | y 1 y 2 y 1 ′y 2′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • ในแง่ของพีชคณิตเชิงเส้น เซตของคำตอบทั้งหมดของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดจะสร้างสเปซเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ ในพื้นที่นี้คุณสามารถเลือกพื้นฐานจาก อิสระเชิงเส้นการตัดสินใจของกันและกัน สิ่งนี้เป็นไปได้เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชัน y (x) (\displaystyle y(x))ถูกต้อง ตัวดำเนินการเชิงเส้น. อนุพันธ์ เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น เนื่องจากมันแปลงพื้นที่ของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ให้เป็นช่องว่างของฟังก์ชันทั้งหมด สมการเรียกว่าเอกพันธ์ในกรณีที่สำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นบางตัว แอล (\displaystyle L)จำเป็นต้องหาคำตอบของสมการ L [ y ] = 0 (\displaystyle L[y]=0.)

   ลองดูที่บางส่วน ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม. กรณีของสมการหลายรากของสมการคุณลักษณะจะได้รับการพิจารณาในภายหลังในส่วนการลดลำดับ

   ถ้าราก r ± (\displaystyle r_(\pm ))เป็นจำนวนจริงต่างกัน สมการเชิงอนุพันธ์มีคำตอบดังนี้

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   สองรากที่ซับซ้อนมันเป็นไปตามทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตว่าคำตอบของสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากที่เป็นจริงหรือสร้างคู่คอนจูเกต ดังนั้นหาก จำนวนเชิงซ้อน r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )เป็นรากของสมการคุณลักษณะแล้ว r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )เป็นรากของสมการนี้ด้วย ดังนั้น การแก้ปัญหาสามารถเขียนได้ในรูป c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)อย่างไรก็ตาม นี่เป็นจำนวนเชิงซ้อนและไม่พึงปรารถนาในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

   • คุณสามารถใช้แทน สูตรออยเลอร์ ei x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x)ซึ่งช่วยให้คุณเขียนคำตอบในรูปแบบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ เบต้า x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • ตอนนี้คุณสามารถแทนค่าคงที่ ค 1 + ค 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))เขียนลงไป ค 1 (\displaystyle c_(1))และการแสดงออก ฉัน (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))แทนที่ด้วย ค 2 . (\displaystyle c_(2))หลังจากนั้นเราจะได้วิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \เบต้า x))
   • มีอีกวิธีหนึ่งที่จะเขียนวิธีแก้ปัญหาในรูปของแอมพลิจูดและเฟส ซึ่งเหมาะกับปัญหาทางกายภาพมากกว่า
   • ตัวอย่าง 2.1ให้เราหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ด้านล่างด้วยเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด สำหรับสิ่งนี้จำเป็นต้องใช้วิธีแก้ปัญหาที่ได้รับ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของมันและแทนที่ลงในเงื่อนไขเริ่มต้น ซึ่งจะทำให้เราสามารถกำหนดค่าคงที่ตามอำเภอใจได้
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )ฉัน)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(ชิด)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่ n ด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่ (บันทึกโดย Intuit - National Open University)

2. ลำดับการปรับลดการลดลำดับเป็นวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เมื่อทราบวิธีแก้ปัญหาอิสระเชิงเส้น วิธีนี้ประกอบด้วยการลดลำดับของสมการทีละหนึ่ง ซึ่งช่วยให้สามารถแก้ไขสมการได้โดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า ให้ทราบวิธีแก้ปัญหา แนวคิดหลักของการลดลำดับคือการหาทางออกในรูปแบบด้านล่างซึ่งจำเป็นต้องกำหนดฟังก์ชัน v (x) (\displaystyle v(x))แทนลงในสมการเชิงอนุพันธ์แล้วหา วี(x). (\displaystyle v(x))ลองพิจารณาว่าการลดลำดับสามารถใช้แก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่และค่ารากหลายตัวได้อย่างไร

   
   

   หลายรากสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ จำไว้ว่าสมการอันดับสองต้องมีคำตอบอิสระเชิงเส้นสองตัว ถ้า สมการคุณลักษณะมีหลายราก มีวิธีแก้ปัญหามากมาย ไม่สร้างช่องว่างเนื่องจากโซลูชันเหล่านี้ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ในกรณีนี้ ต้องใช้การลดลำดับเพื่อหาวิธีแก้ปัญหาอิสระเชิงเส้นที่สอง

   • ให้สมการคุณลักษณะมีหลายราก r (\displaystyle r). เราถือว่าโซลูชันที่สองสามารถเขียนเป็น y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x))แล้วแทนค่าลงในสมการเชิงอนุพันธ์ ในกรณีนี้ คำศัพท์ส่วนใหญ่ ยกเว้นคำศัพท์ที่มีอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน v , (\displaystyle v,)จะลดลง
     • v″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • ตัวอย่าง 2.2.กำหนดสมการต่อไปนี้ซึ่งมีรากหลายตัว r = − 4. (\displaystyle r=-4.)เมื่อแทนที่แล้วข้อกำหนดส่วนใหญ่จะถูกยกเลิก
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y″ = v″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(ชิด)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(ชิด)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(ชิด )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(ชิด)))
   • เช่นเดียวกับ ansatz ของเราสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ในกรณีนี้ อนุพันธ์อันดับสองเท่านั้นที่สามารถมีค่าเท่ากับศูนย์ได้ รวมสองครั้ง และได้รับนิพจน์ที่ต้องการสำหรับ v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • จากนั้นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ ถ้าสมการคุณลักษณะมีหลายราก สามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้ เพื่อความสะดวกสามารถจดจำได้ว่าจะได้รับ ความเป็นอิสระเชิงเส้นแค่คูณพจน์ที่สองด้วย x (\displaystyle x). ชุดของคำตอบนี้เป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นเราจึงพบคำตอบทั้งหมดของสมการนี้
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)การลดคำสั่งซื้อมีผลใช้บังคับหากทราบวิธีแก้ปัญหา y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x))ซึ่งสามารถพบได้หรือระบุในคำชี้แจงปัญหา

   • เรากำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบ y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))แล้วเสียบลงในสมการนี้:
     • v″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • เพราะว่า y 1 (\displaystyle y_(1))เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ ทุกเงื่อนไขที่มี v (\displaystyle v)กำลังหดตัว เป็นผลให้มันยังคงอยู่ สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่ง. เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้เราเปลี่ยนตัวแปร w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = ประสบการณ์ ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • หากสามารถคำนวณปริพันธ์ได้ เราจะได้คำตอบทั่วไปที่เป็นการรวมกันของฟังก์ชันพื้นฐาน มิฉะนั้นการแก้ปัญหาสามารถอยู่ในรูปแบบที่สมบูรณ์ได้

3. สมการคอชี-ออยเลอร์สมการ Cauchy-Euler เป็นตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่มี ตัวแปรค่าสัมประสิทธิ์ซึ่งมีคำตอบที่แน่นอน สมการนี้ใช้ในทางปฏิบัติ เช่น ในการแก้สมการลาปลาซในพิกัดทรงกลม

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   สมการลักษณะเฉพาะ.อย่างที่คุณเห็น ในสมการเชิงอนุพันธ์นี้ แต่ละพจน์ประกอบด้วยตัวประกอบกำลัง ซึ่งระดับของสมการเชิงอนุพันธ์จะเท่ากับลำดับของอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้อง

   • ดังนั้นคุณสามารถลองค้นหาวิธีแก้ปัญหาในแบบฟอร์ม y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)จะกำหนดที่ไหน n (\displaystyle n)เช่นเดียวกับที่เรากำลังมองหาคำตอบในรูปของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ หลังจากสร้างความแตกต่างและการทดแทน เราได้รับ
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • ในการใช้สมการคุณลักษณะ เราต้องถือว่า x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). จุด x = 0 (\displaystyle x=0)เรียกว่า จุดเอกพจน์ปกติสมการเชิงอนุพันธ์. จุดดังกล่าวมีความสำคัญเมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้อนุกรมกำลัง สมการนี้มีรากศัพท์สองราก ซึ่งอาจแตกต่างกันและเป็นของจริง หลายรูปหรือเชิงซ้อน
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   สองรากที่แท้จริงที่แตกต่างกันถ้าราก n ± (\displaystyle n_(\pm ))เป็นจริงและแตกต่างกัน ดังนั้นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์จะมีรูปแบบดังนี้

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 xn − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   สองรากที่ซับซ้อนถ้าสมการคุณลักษณะมีราก n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i)การแก้ปัญหาเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน

   • ในการแปลงคำตอบให้เป็นฟังก์ชันจริง เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร x = et , (\displaystyle x=e^(t),)นั่นคือ t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)และใช้สูตรออยเลอร์ การกระทำที่คล้ายกันได้ดำเนินการก่อนหน้านี้เมื่อกำหนดค่าคงที่โดยพลการ
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta)))
   • จากนั้นสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้เป็น
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   หลายรากเพื่อให้ได้โซลูชันอิสระเชิงเส้นที่สอง จำเป็นต้องลดลำดับอีกครั้ง

   • ใช้การคำนวณค่อนข้างน้อย แต่หลักการเหมือนกัน: เราแทนที่ y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))ลงในสมการที่มีคำตอบแรก y 1 (\displaystyle y_(1)). หลังจากการลดลงจะได้สมการต่อไปนี้:
     • v″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • นี่คือสมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งเทียบกับ วี' (x) . (\displaystyle v"(x))วิธีแก้ไขของเขาคือ v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)ดังนั้น สามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาได้ในรูปต่อไปนี้ จำได้ง่ายทีเดียว - เพื่อให้ได้อันที่สองแบบเชิงเส้น การตัดสินใจที่เป็นอิสระเพียงแค่ต้องการสมาชิกพิเศษด้วย ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นไม่เท่ากันที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่สมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันมีรูปแบบ L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)ที่ไหน f (x) (\displaystyle f(x))- เรียกว่า สมาชิกฟรี. ตามทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ คำตอบทั่วไปของสมการนี้คือการวางซ้อน การตัดสินใจส่วนตัว y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))และ วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติม y ค (x) . (\displaystyle y_(c)(x))อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ โซลูชันเฉพาะไม่ได้หมายถึงโซลูชันที่กำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น แต่เป็นโซลูชันที่เกิดจากการมีอยู่ของความไม่สม่ำเสมอ (สมาชิกอิสระ) โซลูชันเสริมคือคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันซึ่ง f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0.)วิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือการซ้อนทับของโซลูชันทั้งสองนี้เนื่องจาก L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x))และตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา L [ yc ] = 0 , (\displaystyle L=0,)การซ้อนทับดังกล่าวเป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   วิธีการของค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนจะใช้ในกรณีที่เทอมอิสระเป็นการผสมระหว่างเอกซ์โปเนนเชียล ตรีโกณมิติ ไฮเพอร์โบลิก หรือ ฟังก์ชั่นพลังงาน. เฉพาะฟังก์ชันเหล่านี้เท่านั้นที่รับประกันว่ามีอนุพันธ์อิสระเชิงเส้นจำนวนจำกัด ในส่วนนี้ เราจะหาคำตอบของสมการโดยเฉพาะ

   • เทียบเงื่อนไขใน f (x) (\displaystyle f(x))โดยมีเงื่อนไขในการละเว้นปัจจัยคงที่ เป็นไปได้สามกรณี
     • ไม่มีสมาชิกที่เหมือนกันในกรณีนี้ วิธีแก้ปัญหาเฉพาะ y p (\displaystyle y_(p))จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของพจน์จาก y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) ประกอบด้วยสมาชิก x n (\displaystyle x^(n)) และเป็นสมาชิกจาก y ค , (\displaystyle y_(c),) ที่ไหน n (\displaystyle n) เป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก และเทอมนี้สอดคล้องกับรากเดียวของสมการคุณลักษณะในกรณีนี้ y p (\displaystyle y_(p))จะประกอบด้วยการรวมฟังก์ชัน x n + 1 ชั่วโมง (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)อนุพันธ์อิสระเชิงเส้นของมัน เช่นเดียวกับเงื่อนไขอื่นๆ f (x) (\displaystyle f(x))และอนุพันธ์อิสระเชิงเส้น
     • f (x) (\displaystyle f(x)) ประกอบด้วยสมาชิก ชั่วโมง (x) , (\displaystyle h(x),) ซึ่งเป็นผลงาน x n (\displaystyle x^(n)) และเป็นสมาชิกจาก y ค , (\displaystyle y_(c),) ที่ไหน n (\displaystyle n) มีค่าเท่ากับ 0 หรือจำนวนเต็มบวก และพจน์นี้สอดคล้องกับ หลายรายการรากของสมการคุณลักษณะในกรณีนี้ y p (\displaystyle y_(p))เป็นการรวมฟังก์ชันเชิงเส้น x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(ที่ไหน s (\displaystyle s)- หลายหลากของราก) และอนุพันธ์อิสระเชิงเส้น เช่นเดียวกับสมาชิกอื่น ๆ ของฟังก์ชัน f (x) (\displaystyle f(x))และอนุพันธ์อิสระเชิงเส้นของมัน
   • มาจดกันเถอะ y p (\displaystyle y_(p))เป็นผลรวมเชิงเส้นของเงื่อนไขข้างต้น เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้อยู่ในชุดค่าผสมเชิงเส้น วิธีนี้จึงเรียกว่า "วิธีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน" ต่อการปรากฏตัวของสิ่งที่มีอยู่ใน y c (\displaystyle y_(c))สมาชิกของพวกเขาสามารถถูกยกเลิกได้เนื่องจากมีค่าคงที่โดยพลการใน วาย ค. (\displaystyle y_(ค))หลังจากนั้นเราก็เปลี่ยน y p (\displaystyle y_(p))ลงในสมการและเทียบค่าพจน์ที่เหมือนกัน
   • เรากำหนดค่าสัมประสิทธิ์ ในขั้นตอนนี้ระบบ สมการพีชคณิตซึ่งมักจะสามารถแก้ไขได้โดยไม่มีปัญหาใดๆ การแก้ปัญหาของระบบนี้ทำให้สามารถรับ y p (\displaystyle y_(p))และแก้สมการ
   • ตัวอย่าง 2.3พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เอกพันธ์ซึ่งเทอมอิสระประกอบด้วยอนุพันธ์อิสระเชิงเส้นจำนวนจำกัด วิธีแก้ปัญหาเฉพาะของสมการดังกล่าวสามารถหาได้โดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(ชิด)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(ชิด)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ สิ้นสุด(กรณี)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   วิธีลากรองจ์วิธีลากรองจ์หรือวิธีการแปรผันของค่าคงที่โดยพลการ เป็นวิธีการทั่วไปสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เอกพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่เทอมอิสระไม่มีอนุพันธ์อิสระเชิงเส้นจำนวนจำกัด ตัวอย่างเช่นกับสมาชิกฟรี ผิวสีแทน ⁡ x (\displaystyle \สีแทน x)หรือ x − n (\displaystyle x^(-n))เพื่อหาทางออกโดยเฉพาะจำเป็นต้องใช้วิธีลากรองจ์ วิธีลากรองจ์ยังสามารถใช้เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ตัวแปรได้ แม้ว่าในกรณีนี้ ยกเว้นสมการคอชี-ออยเลอร์ วิธีนี้จะใช้น้อยกว่า เนื่องจากโดยปกติแล้ววิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมจะไม่แสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน

   • สมมติว่าโซลูชันมีรูปแบบต่อไปนี้ อนุพันธ์จะได้รับในบรรทัดที่สอง
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • เนื่องจากโซลูชันที่นำเสนอประกอบด้วย สองปริมาณที่ไม่ทราบจำเป็นต้องกำหนด เพิ่มเติมเงื่อนไข. เราเลือกเงื่อนไขเพิ่มเติมในรูปแบบต่อไปนี้:
     • v 1 ′y 1 + v 2 ′y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • ตอนนี้เราจะได้สมการที่สอง หลังจากเปลี่ยนและแจกจ่ายสมาชิกใหม่แล้ว คุณสามารถจัดกลุ่มสมาชิกด้วย v 1 (\displaystyle v_(1))และสมาชิกจาก v 2 (\displaystyle v_(2)). ข้อกำหนดเหล่านี้ถูกยกเลิกเนื่องจาก y 1 (\displaystyle y_(1))และ y 2 (\displaystyle y_(2))เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน เป็นผลให้เราได้รับระบบสมการต่อไปนี้
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(ชิด)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(ชิด)))
   • ระบบนี้สามารถแปลงเป็น สมการเมทริกซ์ใจดี A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ) )วิธีแก้ปัญหาคือ x = ก − 1 ข . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ))สำหรับเมทริกซ์ 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) เมทริกซ์ผกผันหาได้จากการหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ การเรียงสับเปลี่ยนองค์ประกอบในแนวทแยง และการเปลี่ยนเครื่องหมายขององค์ประกอบนอกแนวทแยง ในความเป็นจริงปัจจัยของเมทริกซ์นี้คือ Wronskian
     • (v 1 ′v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ สิ้นสุด(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • สำนวนสำหรับ v 1 (\displaystyle v_(1))และ v 2 (\displaystyle v_(2))อยู่ด้านล่าง เช่นเดียวกับวิธีการลดลำดับ ในกรณีนี้ ค่าคงที่ตามอำเภอใจจะปรากฏขึ้นระหว่างการรวม ซึ่งรวมถึงวิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมในคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (ง) )x)
   
   การบรรยายของ National Open University Intuit เรื่อง "สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n พร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่"

ใช้งานได้จริง

สมการเชิงอนุพันธ์สร้างความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันกับอนุพันธ์อย่างน้อยหนึ่งตัว เนื่องจากการเชื่อมต่อดังกล่าวเป็นเรื่องธรรมดามาก จึงพบสมการเชิงอนุพันธ์ แอพพลิเคชั่นกว้างในอาณาจักรต่างๆ มากมาย และเนื่องจากเราอาศัยอยู่ในสี่มิติ สมการเหล่านี้จึงมักเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ใน ส่วนตัวอนุพันธ์ ส่วนนี้จะกล่าวถึงสมการที่สำคัญที่สุดของประเภทนี้

• การเติบโตแบบทวีคูณและการสลายตัวการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี. ดอกเบี้ยทบต้น. ความเร็ว ปฏิกริยาเคมี. ความเข้มข้นของยาในเลือด การเติบโตของประชากรไม่จำกัด กฎของนิวตัน-ริชมันน์ ใน โลกแห่งความจริงมีหลายระบบที่อัตราการเติบโตหรือการสลายตัว ณ เวลาใดเวลาหนึ่งเป็นสัดส่วนกับจำนวน ช่วงเวลานี้เวลาหรือสามารถประมาณได้ดีโดยแบบจำลอง ที่เป็นเช่นนี้เพราะคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล เป็นหนึ่งในฟังก์ชันที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อื่นๆ ในเพิ่มเติม กรณีทั่วไปด้วยการควบคุมการเติบโตของประชากร ระบบอาจรวมข้อกำหนดเพิ่มเติมที่จำกัดการเติบโต ในสมการด้านล่าง ค่าคงที่ k (\displaystyle k)สามารถมากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์ก็ได้
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกทั้งในกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัม ออสซิลเลเตอร์แบบฮาร์มอนิกเป็นระบบทางกายภาพที่สำคัญที่สุดระบบหนึ่งเนื่องจากความเรียบง่ายและการใช้งานที่หลากหลายสำหรับการประมาณระบบที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น ลูกตุ้มธรรมดา ในกลศาสตร์คลาสสิก การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกได้รับการอธิบายโดยสมการที่เกี่ยวข้องกับตำแหน่งของจุดวัสดุกับความเร่งผ่านกฎของฮุค ในกรณีนี้ ยังสามารถคำนึงถึงแรงหน่วงและแรงขับได้อีกด้วย ในนิพจน์ด้านล่าง x ˙ (\displaystyle (\จุด (x)))- อนุพันธ์ของเวลา x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )เป็นพารามิเตอร์ที่อธิบายถึงแรงหน่วง ω 0 (\displaystyle \โอเมก้า _(0))- ความถี่เชิงมุมของระบบ F (t) (\displaystyle F(t))เป็นแรงผลักดันที่ขึ้นอยู่กับเวลา ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ยังมีอยู่ในวงจรออสซิลเลเตอร์แม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งสามารถนำไปใช้งานได้อย่างแม่นยำมากกว่าในระบบเชิงกล
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(เสื้อ))
• สมการเบสเซิล.สมการเชิงอนุพันธ์เบสเซลถูกนำมาใช้ในหลายสาขาของฟิสิกส์ รวมทั้งการแก้สมการคลื่น สมการลาปลาซ และสมการชโรดิงเงอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสภาวะที่มีสมมาตรทรงกระบอกหรือทรงกลม สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์แปรผันนี้ไม่ใช่สมการคอชี-ออยเลอร์ ดังนั้นคำตอบของสมการนี้จึงไม่สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันมูลฐานได้ คำตอบของสมการ Bessel คือฟังก์ชัน Bessel ซึ่งได้รับการศึกษาเป็นอย่างดีเนื่องจากมีการใช้งานในหลายพื้นที่ ในนิพจน์ด้านล่าง α (\displaystyle \alpha )เป็นค่าคงที่ที่ตรงกัน คำสั่งฟังก์ชั่นเบสเซิล
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) ย=0)
• สมการของแม็กซ์เวลล์นอกจากแรง Lorentz แล้ว สมการของ Maxwell ยังสร้างพื้นฐานของอิเล็กโทรไดนามิกส์แบบดั้งเดิมอีกด้วย นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยสี่สมการสำหรับไฟฟ้า E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ) )t))และแม่เหล็ก B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))เขตข้อมูล ในนิพจน์ด้านล่าง ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ) )t))- ความหนาแน่นของประจุ J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) )t))คือความหนาแน่นกระแส และ ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))และ μ 0 (\displaystyle \mu _(0))คือค่าคงที่ทางไฟฟ้าและแม่เหล็กตามลำดับ
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(ชิด)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(ชิด)))
• สมการชโรดิงเงอร์ในกลศาสตร์ควอนตัม สมการชโรดิงเงอร์เป็นสมการพื้นฐานของการเคลื่อนที่ที่อธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคตามการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันคลื่น Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))กับเวลา. สมการของการเคลื่อนที่อธิบายได้จากพฤติกรรม แฮมิลตัน H ^ (\displaystyle (\หมวก(H))) - ผู้ประกอบการซึ่งอธิบายพลังงานของระบบ หนึ่งในตัวอย่างที่รู้จักกันดีของสมการชเรอดิงเงอร์ในวิชาฟิสิกส์คือสมการของอนุภาคที่ไม่สัมพัทธภาพหนึ่งอนุภาค ซึ่งอยู่ภายใต้ศักย์ไฟฟ้า V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) )t)). หลายระบบอธิบายด้วยสมการชโรดิงเงอร์ที่ขึ้นอยู่กับเวลา โดยมีสมการอยู่ทางด้านซ้าย E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,)ที่ไหน อี (\displaystyle E)เป็นพลังงานของอนุภาค ในนิพจน์ด้านล่าง ℏ (\displaystyle \hbar )คือค่าคงที่ของพลังค์ที่ลดลง
  • ฉัน ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • ฉัน ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• สมการคลื่นเป็นไปไม่ได้ที่จะจินตนาการถึงฟิสิกส์และเทคโนโลยีที่ไม่มีคลื่น มันมีอยู่ในระบบทุกประเภท โดยทั่วไปแล้ว คลื่นจะถูกอธิบายด้วยสมการด้านล่าง ซึ่งใน u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ) )t))เป็นฟังก์ชันที่ต้องการ และ ค (\displaystyle ค)- ค่าคงที่ที่กำหนดโดยการทดลอง d'Alembert เป็นคนแรกที่ค้นพบว่าสำหรับกรณีมิติเดียว คำตอบของสมการคลื่นคือ ใดๆฟังก์ชันที่มีการโต้แย้ง x − c t (\displaystyle x-ct)ซึ่งอธิบายคลื่นตามอำเภอใจที่แพร่กระจายไปทางขวา วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีหนึ่งมิติคือการรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันนี้กับฟังก์ชันที่สองที่มีอาร์กิวเมนต์ x + c t (\displaystyle x+ct)ซึ่งอธิบายคลื่นที่แพร่กระจายไปทางซ้าย วิธีแก้ปัญหานี้แสดงในบรรทัดที่สอง
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• สมการนาเวียร์-สโต๊คสมการ Navier-Stokes อธิบายการเคลื่อนที่ของของไหล เนื่องจากของไหลมีอยู่ในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีแทบทุกสาขา สมการเหล่านี้จึงมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการพยากรณ์อากาศ การออกแบบเครื่องบิน กระแสน้ำในมหาสมุทร และการใช้งานอื่นๆ อีกมากมาย สมการ Navier-Stokes เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ไม่ใช่เชิงเส้น และในกรณีส่วนใหญ่เป็นการยากที่จะแก้สมการเหล่านี้ เนื่องจากความไม่เป็นเชิงเส้นนำไปสู่ความปั่นป่วน และเพื่อให้ได้คำตอบที่เสถียรโดยวิธีเชิงตัวเลข การแบ่งพาร์ติชันออกเป็นขนาดเล็กมาก เซลล์เป็นสิ่งที่จำเป็น ซึ่งต้องการพลังในการคำนวณอย่างมาก สำหรับวัตถุประสงค์เชิงปฏิบัติในด้านอุทกพลศาสตร์ วิธีการต่างๆ เช่น การเฉลี่ยเวลาจะถูกนำมาใช้เพื่อจำลองการไหลแบบปั่นป่วน ความท้าทายคือคำถามพื้นฐาน เช่น การมีอยู่และเอกลักษณ์ของคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ไม่ใช่เชิงเส้น และการพิสูจน์การมีอยู่และเอกลักษณ์ของคำตอบสำหรับสมการเนเวียร์-สโตกส์ในสามมิติ ปัญหาทางคณิตศาสตร์สหัสวรรษ. ด้านล่างนี้คือสมการการไหลของของไหลอัดตัวไม่ได้และสมการความต่อเนื่อง
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• สมการเชิงอนุพันธ์จำนวนมากไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการข้างต้น โดยเฉพาะสมการที่กล่าวถึงในส่วนสุดท้าย สิ่งนี้ใช้เมื่อสมการมีค่าสัมประสิทธิ์ผันแปรและไม่ใช่สมการคอชี-ออยเลอร์ หรือเมื่อสมการไม่เป็นเชิงเส้น ยกเว้นในกรณีที่พบได้ไม่บ่อยนัก อย่างไรก็ตาม วิธีการข้างต้นช่วยให้คุณสามารถแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่สำคัญจำนวนมากที่มักพบในสาขาวิทยาศาสตร์ต่างๆ
• ซึ่งแตกต่างจากการหาอนุพันธ์ซึ่งช่วยให้คุณหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ได้ อินทิกรัลของนิพจน์จำนวนมากไม่สามารถแสดงได้ในฟังก์ชันมูลฐาน ดังนั้นอย่าเสียเวลาลองคำนวณอินทิกรัลในจุดที่เป็นไปไม่ได้ ดูที่ตารางปริพันธ์ หากคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ไม่สามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันมูลฐานได้ บางครั้งอาจแสดงในรูปของอินทิกรัลได้ และในกรณีนี้ ไม่สำคัญว่าอินทิกรัลนี้สามารถคำนวณเชิงวิเคราะห์ได้หรือไม่

คำเตือน

• รูปร่างสมการเชิงอนุพันธ์อาจทำให้เข้าใจผิดได้ ตัวอย่างเช่น ด้านล่างนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งสองสมการ สมการแรกสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ในบทความนี้ เมื่อมองแวบแรก การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย y (\displaystyle y)บน y 2 (\displaystyle y^(2))ในสมการที่สองทำให้ไม่เป็นเชิงเส้นและแก้ได้ยากมาก
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

1. สมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งมีรูปแบบ

ถ้าสมการนี้สามารถแก้ได้ด้วยความเคารพ ta ก็สามารถเขียนได้เป็น

ในกรณีนี้ เราบอกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ถูกแก้ด้วยอนุพันธ์ สำหรับสมการดังกล่าว ทฤษฎีบทต่อไปนี้ใช้ได้ ซึ่งเรียกว่าทฤษฎีบทว่าด้วยการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีบท. ถ้าอยู่ในสมการ

ฟังก์ชันและอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเทียบกับ y มีความต่อเนื่องในโดเมน D บนระนาบที่มีจุดอยู่ จากนั้นมีคำตอบเฉพาะสำหรับสมการนี้

ตามเงื่อนไขที่

ทฤษฎีบทนี้จะได้รับการพิสูจน์ใน§ 27 Ch. เจ้าพระยา

ความหมายทางเรขาคณิตของทฤษฎีบทคือ มีอยู่จริง และยิ่งกว่านั้น ฟังก์ชันพิเศษที่กราฟผ่านจุด

จากทฤษฎีบทระบุว่าสมการมีจำนวนคำตอบที่แตกต่างกันเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด (เช่น คำตอบที่กราฟผ่านจุดหนึ่ง คำตอบอื่นที่กราฟผ่านจุดหนึ่ง เป็นต้น ถ้าจุดเหล่านี้อยู่ในขอบเขตเท่านั้น

เงื่อนไขที่เมื่อฟังก์ชัน y ต้องเท่ากับจำนวนที่กำหนดเรียกว่าเงื่อนไขเริ่มต้น มักเขียนเป็น

นิยาม 1. คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งคือฟังก์ชัน

ซึ่งขึ้นอยู่กับค่าคงที่ C โดยพลการหนึ่งค่าและเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

a) มันเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับค่าเฉพาะใดๆ ของค่าคงที่ C;

b) ไม่ว่าเงื่อนไขเริ่มต้นจะเป็นอย่างไร คุณสามารถหาค่าที่ฟังก์ชันเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนดได้ สันนิษฐานว่าค่าเป็นของภูมิภาคของการแปรผันของตัวแปร x และ y ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทการดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหา

2. ในกระบวนการค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ เรามักจะพบความสัมพันธ์ของรูปแบบ

ไม่อนุญาตในส่วนที่เกี่ยวกับ การแก้ไขความสัมพันธ์นี้ด้วยความเคารพ y เราได้วิธีแก้ปัญหาทั่วไป อย่างไรก็ตาม เป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะแสดง y จากความสัมพันธ์ (2) ในฟังก์ชันพื้นฐาน ในกรณีดังกล่าว การแก้ปัญหาทั่วไปจะปล่อยให้เป็นนัย ความเท่าเทียมกันของรูปแบบที่ระบุคำตอบทั่วไปโดยปริยายเรียกว่าอินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

คำจำกัดความ 2. คำตอบเฉพาะคือฟังก์ชันใดๆ ที่ได้รับจากการแก้ปัญหาทั่วไปหากค่าหนึ่งถูกกำหนดไว้ในค่าคงที่สุดท้ายโดยพลการ C อัตราส่วนนี้เรียกว่าอินทิกรัลย่อยของสมการ

ตัวอย่างที่ 1 สำหรับสมการอันดับหนึ่ง

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะเป็นกลุ่มของฟังก์ชันซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยการแทนที่อย่างง่ายในสมการ

ให้เราหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นต่อไปนี้: สำหรับการแทนค่าเหล่านี้ลงในสูตร เราจะได้หรือ ดังนั้นโซลูชันเฉพาะที่จำเป็นจะเป็นฟังก์ชัน

จากมุมมองทางเรขาคณิต อินทิกรัลทั่วไปคือกลุ่มของเส้นโค้งบน ระนาบพิกัดขึ้นอยู่กับค่าคงที่ C หนึ่งค่าโดยพลการ

เส้นโค้งเหล่านี้เรียกว่าเส้นโค้งอินทิกรัลของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด อินทิกรัลบางส่วนสอดคล้องกับเส้นโค้งหนึ่งของตระกูลนี้ที่ผ่านจุดที่กำหนดของระนาบ

ดังนั้น ในตัวอย่างสุดท้าย อินทิกรัลทั่วไปจะแสดงทางเรขาคณิตโดยกลุ่มไฮเปอร์โบลา และอินทิกรัลบางส่วนที่กำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้นที่ระบุ จะถูกแทนด้วยหนึ่งในไฮเปอร์โบลาที่ผ่านจุด 251 แสดงเส้นโค้งของครอบครัวที่สอดคล้องกับค่าพารามิเตอร์บางค่า: เป็นต้น

เพื่อให้เหตุผลชัดเจนยิ่งขึ้น จากนี้ไปเราจะเรียกคำตอบของสมการว่าไม่เพียงแต่ฟังก์ชันที่เป็นไปตามสมการเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเส้นโค้งอินทิกรัลที่สอดคล้องกันด้วย ในการเชื่อมต่อนี้ เราจะพูดถึงวิธีแก้ปัญหาที่ผ่านจุด .

ความคิดเห็น สมการนี้ไม่มีคำตอบที่ผ่านจุดที่อยู่บนแกนของรูปที่ 251) เพราะ ส่วนขวาสมการสำหรับไม่ได้กำหนดไว้ ดังนั้นจึงไม่ต่อเนื่องกัน

การแก้สมการอนุพันธ์หมายความว่า:

ก) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปหรืออินทิกรัลทั่วไป (หากไม่ได้กำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น) หรือ

b) หาคำตอบเฉพาะของสมการที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด (ถ้ามี)

3. ให้เราตีความทางเรขาคณิตของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง

ให้สมการเชิงอนุพันธ์ที่แก้ไขด้วยอนุพันธ์:

และปล่อยให้เป็นคำตอบทั่วไปของสมการนี้ โซลูชันทั่วไปนี้กำหนดกลุ่มของเส้นโค้งอินทิกรัลในระนาบ

สมการ (D) สำหรับแต่ละจุด M ที่มีพิกัด x และ y กำหนดค่าของอนุพันธ์ เช่น ความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งอินทิกรัลที่ผ่านจุดนี้ ดังนั้น สมการเชิงอนุพันธ์ (D) จึงให้ชุดของทิศทาง หรือตามที่พวกเขากล่าวว่า กำหนดสนามของทิศทางบนระนาบ

ดังนั้นจากมุมมองทางเรขาคณิต ปัญหาของการรวมสมการเชิงอนุพันธ์คือการหาเส้นโค้งที่มีทิศทางสัมผัสกันตรงกับทิศทางของสนามที่จุดที่สอดคล้องกัน

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ (1) ตำแหน่งของจุดที่ความสัมพันธ์มีอยู่เรียกว่า isocline ของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด

ที่ ค่าที่แตกต่างกัน k เราได้ไอโซไซไลน์ที่แตกต่างกัน สมการของไอโซไลน์ที่สอดคล้องกับค่าของ k จะเป็นอย่างชัดเจน: โดยการสร้างตระกูลของไอโซไลน์ เราสามารถสร้างตระกูลของเส้นโค้งอินทิกรัลได้โดยประมาณ ว่ากันว่าเมื่อรู้ไอโซไซไลน์แล้ว เราสามารถระบุตำแหน่งของเส้นโค้งอินทิกรัลบนระนาบในเชิงคุณภาพได้

มักจะเป็นเพียงการกล่าวถึง สมการเชิงอนุพันธ์ทำให้นักเรียนไม่สบายใจ ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? บ่อยที่สุดเนื่องจากเมื่อศึกษาพื้นฐานของเนื้อหาช่องว่างในความรู้เกิดขึ้นเนื่องจากการศึกษาเพิ่มเติมของ difurs กลายเป็นเพียงการทรมาน ไม่มีอะไรชัดเจนว่าต้องทำอย่างไร จะตัดสินใจได้อย่างไรว่าจะเริ่มต้นอย่างไร

อย่างไรก็ตาม เราจะพยายามแสดงให้คุณเห็นว่าความแตกต่างนั้นไม่ยากอย่างที่คิด

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์

จากโรงเรียน เรารู้สมการที่ง่ายที่สุดซึ่งเราต้องค้นหา x ที่ไม่รู้จัก ในความเป็นจริง สมการเชิงอนุพันธ์แตกต่างจากพวกเขาเพียงเล็กน้อย - แทนที่จะเป็นตัวแปร เอ็กซ์ พวกเขาต้องหาฟังก์ชัน วาย(x) ซึ่งจะเปลี่ยนสมการเป็นตัวตน

ง สมการเชิงอนุพันธ์มีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างยิ่ง นี่ไม่ใช่คณิตศาสตร์นามธรรมที่ไม่เกี่ยวข้องกับโลกรอบตัวเรา ด้วยความช่วยเหลือของสมการเชิงอนุพันธ์ มีการอธิบายกระบวนการทางธรรมชาติที่แท้จริงมากมาย ตัวอย่างเช่น การสั่นของสายอักขระ การเคลื่อนที่ของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ในโจทย์กลศาสตร์ ค้นหาความเร็วและความเร่งของวัตถุ อีกด้วย ดุมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านชีววิทยา เคมี เศรษฐศาสตร์ และวิทยาศาสตร์อื่นๆ อีกมากมาย

สมการเชิงอนุพันธ์ (ดุ) คือสมการที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y(x) ตัวฟังก์ชันเอง ตัวแปรอิสระ และพารามิเตอร์อื่นๆ ในชุดค่าผสมต่างๆ

สมการเชิงอนุพันธ์มีหลายประเภท ได้แก่ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ เชิงเส้นและไม่เป็นเชิงเส้น เอกพันธ์และไม่เป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่งและสูงกว่า สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย และอื่นๆ

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์คือฟังก์ชันที่เปลี่ยนให้เป็นตัวตน มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไปและเฉพาะสำหรับการควบคุมระยะไกล

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์คือชุดคำตอบทั่วไปที่ทำให้สมการกลายเป็นเอกลักษณ์ คำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์คือคำตอบที่ตรงใจ เงื่อนไขเพิ่มเติมกำหนดไว้ในเบื้องต้น

ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ถูกกำหนด ลำดับสูงสุดอนุพันธ์รวมอยู่ในนั้น

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเป็นสมการที่มีตัวแปรอิสระหนึ่งตัว

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ง่ายที่สุดของลำดับที่หนึ่ง ดูเหมือนว่า:

สมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยการอินทิเกรตด้านขวา

ตัวอย่างของสมการดังกล่าว:

สมการตัวแปรที่แยกจากกัน

ใน ปริทัศน์สมการประเภทนี้มีลักษณะดังนี้:

นี่คือตัวอย่าง:

ในการแก้สมการคุณต้องแยกตัวแปรออกจากกันโดยนำมันมาในรูปแบบ:

หลังจากนั้นก็ยังคงรวมทั้งสองส่วนและหาทางออก

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่ง

สมการดังกล่าวอยู่ในรูปแบบ:

โดยที่ p(x) และ q(x) คือฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรอิสระ และ y=y(x) คือฟังก์ชันที่ต้องการ นี่คือตัวอย่างของสมการดังกล่าว:

การแก้สมการส่วนใหญ่มักใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่โดยพลการหรือแสดงฟังก์ชันที่ต้องการเป็นผลคูณของฟังก์ชันอื่นอีกสองฟังก์ชัน y(x)=u(x)v(x)

ในการแก้สมการดังกล่าวจำเป็นต้องมีการเตรียมการบางอย่างและจะค่อนข้างยากที่จะใช้ "ความตั้งใจ"

ตัวอย่างการแก้ DE ด้วยตัวแปรที่แยกจากกันได้

ดังนั้นเราจึงพิจารณาประเภทการควบคุมระยะไกลที่ง่ายที่สุด ทีนี้ลองมาดูหนึ่งในนั้น ให้มันเป็นสมการที่มีตัวแปรแยกกัน

ก่อนอื่น เราเขียนอนุพันธ์ในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น:

จากนั้นเราจะแยกตัวแปรนั่นคือในส่วนหนึ่งของสมการเราจะรวบรวม "เกม" ทั้งหมดและในส่วนอื่น - "xes":

ตอนนี้ยังคงรวมทั้งสองส่วน:

เรารวมและรับคำตอบทั่วไปของสมการนี้:

แน่นอน การแก้สมการเชิงอนุพันธ์เป็นศิลปะชนิดหนึ่ง คุณต้องสามารถเข้าใจว่าสมการประเภทใดเป็นของสมการ และเรียนรู้ที่จะดูว่าการแปลงใดที่คุณต้องทำกับสมการนั้นเพื่อนำสมการไปใช้ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง ไม่ต้องพูดถึงความสามารถในการแยกความแตกต่างและอินทิเกรต และต้องใช้การฝึกฝน (เหมือนทุกๆ อย่าง) จึงจะประสบความสำเร็จในการแก้ DE และถ้าในขณะนี้คุณไม่มีเวลาคิดออกว่าสมการเชิงอนุพันธ์แก้ไขอย่างไร หรือปัญหา Cauchy เพิ่มขึ้นเหมือนกระดูกในคอของคุณหรือคุณไม่รู้ โปรดติดต่อผู้เขียนของเรา ในเวลาอันสั้นเราจะจัดเตรียมให้คุณพร้อมและ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดเพื่อทำความเข้าใจรายละเอียดที่คุณสะดวกในเวลาใดก็ได้ ในระหว่างนี้ เราขอแนะนำให้ดูวิดีโอในหัวข้อ "วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์":

คำสั่งแรก ซึ่งมีรูปแบบมาตรฐาน $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ โดยที่ $P\left(x\right)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เรียกว่าเอกพันธ์เชิงเส้น ชื่อ "เชิงเส้น" อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก $y$ และอนุพันธ์ตัวแรกของมัน $y"$ เข้าสู่สมการเชิงเส้น นั่นคือ ในระดับแรก ชื่อ "เอกพันธ์" อธิบายได้จากความจริงที่ว่าศูนย์อยู่ทางด้านขวาของสมการ

สมการเชิงอนุพันธ์ดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยวิธีการแยกตัวแปร ลองแสดงในรูปแบบวิธีการมาตรฐาน: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$ โดยที่ $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\right) $ และ $f_(2) \left(y\right)=y$

ให้เราคำนวณอินทิกรัล $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $

คำนวณอินทิกรัล $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right| $ .

เราเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปเป็น $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_(1) \right|$ โดยที่ $\ln \ left |C_(1) \right|$ เป็นค่าคงที่โดยพลการ ซึ่งอยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการแปลงต่อไป

มาทำการแปลงกันเถอะ:

\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_(1) \right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac(\left|y\right|)(\left|C_(1) \right|) =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]

เมื่อใช้นิยามของลอการิทึม เราจะได้รับ: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ . ความเท่าเทียมกันนี้จะเทียบเท่ากับ $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $

การแทนที่ค่าคงที่โดยพลการ $C=\pm C_(1) $ เราได้คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

การแก้สมการ $f_(2) \left(y\right)=y=0$ เราจะพบคำตอบพิเศษ ด้วยการตรวจสอบง่ายๆ เราแน่ใจว่าฟังก์ชัน $y=0$ เป็นคำตอบพิเศษของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด

อย่างไรก็ตาม สามารถหาวิธีแก้ปัญหาเดียวกันได้จากวิธีแก้ปัญหาทั่วไป $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ โดยตั้งค่า $C=0$ ในนั้น

ดังนั้นผลลัพธ์สุดท้ายคือ: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $

วิธีการทั่วไปสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่งสามารถแสดงเป็นอัลกอริทึมต่อไปนี้:

1. ในการแก้สมการนี้ อันดับแรกจะต้องแสดงในรูปแบบมาตรฐานของเมธอด $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ หากไม่สามารถทำได้ สมการเชิงอนุพันธ์นี้จะต้องแก้โดย อีกวิธีหนึ่ง
2. คำนวณอินทิกรัล $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $
3. เราเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปเป็น $y=C\cdot e^(-I) $ และถ้าจำเป็น ให้ทำการแปลงแบบง่าย

ภารกิจที่ 1

ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$

เรามีเชิงเส้น สมการที่เป็นเนื้อเดียวกันลำดับแรกในรูปแบบมาตรฐาน โดยที่ $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $

คำนวณอินทิกรัล $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่ง

คำนิยาม

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่สามารถแสดงในรูปแบบมาตรฐาน $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ โดยที่ $P\left(x\right) $ และ $ Q\left(x\right)$ -- รู้จักฟังก์ชันต่อเนื่อง เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ชื่อ "เอกพันธ์" อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าด้านขวาของสมการเชิงอนุพันธ์ไม่ใช่ศูนย์

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเชิงซ้อนเชิงซ้อนหนึ่งสมการสามารถลดลงเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ง่ายกว่าสองสมการ ในการทำเช่นนี้ ฟังก์ชัน $y$ ที่ต้องการควรถูกแทนที่ด้วยผลคูณของฟังก์ชันเสริมสองฟังก์ชัน $u$ และ $v$ นั่นคือ ใส่ $y=u\cdot v$

เราแยกแยะการแทนที่ที่ยอมรับ: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $ เราแทนนิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการเชิงอนุพันธ์นี้: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ left(x\right)$ หรือ $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ right] =Q\left(x\right)$

โปรดทราบว่าหากยอมรับ $y=u\cdot v$ คุณจะสามารถเลือกฟังก์ชันเสริมอย่างใดอย่างหนึ่งโดยพลการให้เป็นส่วนหนึ่งของผลิตภัณฑ์ $u\cdot v$ เราเลือกฟังก์ชันเสริม $v$ เพื่อให้นิพจน์ในวงเล็บเหลี่ยมหายไป ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะแก้สมการเชิงอนุพันธ์ $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ ด้วยความเคารพต่อฟังก์ชัน $v$ และเลือกเฉพาะที่ง่ายที่สุด วิธีการแก้ปัญหา $v=v\left(x \right)$ ไม่ใช่ศูนย์ สมการเชิงอนุพันธ์นี้เป็นเอกพันธ์เชิงเส้นและแก้ไขได้ด้วยวิธีการข้างต้น

เราแทนคำตอบที่ได้ $v=v\left(x\right)$ ลงในสมการเชิงอนุพันธ์นี้ โดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าตอนนี้นิพจน์ในวงเล็บเหลี่ยมมีค่าเท่ากับศูนย์ และเราได้สมการเชิงอนุพันธ์อีกหนึ่งสมการ แต่ตอนนี้ ตามฟังก์ชันเสริม $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$ สมการเชิงอนุพันธ์นี้สามารถแสดงเป็น $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $ หลังจากนั้นจะเห็นได้ชัดว่ายอมรับ การรวมโดยตรง สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์นี้ จำเป็นต้องหาคำตอบทั่วไปในรูปแบบ $u=u\left(x,\; C\right)$

ตอนนี้เราสามารถหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่งในรูปแบบ $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$

วิธีการทั่วไปสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่งสามารถแสดงเป็นอัลกอริทึมต่อไปนี้:

1. ในการแก้สมการนี้ อันดับแรกจะต้องแสดงในรูปแบบมาตรฐานของเมธอด $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ หากไม่สามารถทำได้ สมการเชิงอนุพันธ์นี้ต้องแก้ด้วยวิธีอื่น
2. คำนวณอินทิกรัล $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $ เขียนวิธีแก้ปัญหาเฉพาะเป็น $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $, ดำเนินการแปลงที่ง่ายขึ้นและเลือกตัวแปรที่ง่ายที่สุดที่ไม่ใช่ศูนย์สำหรับ $v\left(x\right)$
3. เราคำนวณอินทิกรัล $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $ หลังจากนั้นเราเขียนนิพจน์เป็น $u\left (x, C\right)=I_(2) +C$
4. เราเขียนคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นในรูปแบบ $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ และถ้าจำเป็น ให้ทำการแปลงแบบง่าย

ภารกิจที่ 2

ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$

เรามีเชิงเส้น สมการเอกพันธ์ของลำดับแรกในรูปแบบมาตรฐาน โดยที่ $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ และ $Q\left(x\right)=3\cdot x$

คำนวณอินทิกรัล $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

เราเขียนวิธีแก้ปัญหาเฉพาะเป็น $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ และทำการแปลงอย่างง่าย: $v\left(x\right)=e^(\ln \left|x \ ขวา|)$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$ เราเลือกสำหรับ $v\left(x\right)$ ตัวแปรที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ง่ายที่สุด: $v\left(x\right)=x$

คำนวณอินทิกรัล $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x) \ cdot dx=3\cdot x $

เราเขียนนิพจน์ $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$

สุดท้าย เราเขียนคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นในรูปแบบ $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ นั่นคือ $y=\left(3\ cdot x+C \right)\cdot x$