สูตรหารากของสมการกำลังสอง มีการพิจารณากรณีของรูทจริง หลายค่า และซับซ้อน การแยกตัวประกอบของกำลังสอง การตีความทางเรขาคณิต ตัวอย่างการหารากและการแยกตัวประกอบ

สูตรพื้นฐาน

พิจารณาสมการกำลังสอง:
(1) .
รากของสมการกำลังสอง(1) กำหนดโดยสูตร:
; .
สูตรเหล่านี้รวมกันได้ดังนี้:
.
เมื่อทราบรากของสมการกำลังสองแล้ว พหุนามของระดับที่สองสามารถแสดงเป็นผลคูณของปัจจัย (แยกตัวประกอบ):
.

นอกจากนี้ เราถือว่านั่นเป็นจำนวนจริง
พิจารณา จำแนกสมการกำลังสอง:
.
หากการจำแนกเป็นบวก สมการกำลังสอง (1) จะมีรากจริงสองรากที่แตกต่างกัน:
; .
จากนั้นการแยกตัวประกอบของกำลังสองที่มีรูปแบบ:
.
ถ้าตัวจำแนกเป็นศูนย์ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากที่แท้จริงหลายตัว (เท่ากัน) สองราก:
.
การแยกตัวประกอบ:
.
หากการจำแนกเป็นลบ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากผันที่ซับซ้อนสองราก:
;
.
นี่คือหน่วยจินตภาพ ;
และเป็นส่วนจริงและจินตนาการของราก:
; .
แล้ว

.

การตีความกราฟิก

ถ้าสร้าง กราฟฟังก์ชัน
,
ซึ่งเป็นพาราโบลา จากนั้น จุดตัดของกราฟกับแกนจะเป็นรากของสมการ
.
เมื่อ กราฟตัดแกน abscissa (แกน) ที่จุดสองจุด
เมื่อ กราฟแตะแกน x ที่จุดหนึ่ง
เมื่อ กราฟไม่ตัดแกน x

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของกราฟดังกล่าว

สูตรที่มีประโยชน์ที่เกี่ยวข้องกับสมการกำลังสอง

(ฉ.1) ;
(ฉ.2) ;
(ฉ.3) .

ที่มาของสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เราทำการแปลงและใช้สูตร (ฉ.1) และ (ฉ.3):




,
ที่ไหน
; .

ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับพหุนามของระดับที่สองในรูปแบบ:
.
จากนี้จะเห็นได้ว่าสมการ

ดำเนินการที่
และ .
นั่นคือ และเป็นรากของสมการกำลังสอง
.

ตัวอย่างการหารากของสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1

(1.1) .

การตัดสินใจ

.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการของเรา (1.1) เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
การค้นหาผู้จำแนก:
.
เนื่องจากดิสคริมิแนนต์เป็นค่าบวก สมการจึงมีรากจริงสองราก:
;
;
.

จากที่นี่ เราได้รับการสลายตัวของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสเป็นปัจจัย:

.

กราฟของฟังก์ชัน y = 2 x 2 + 7 x + 3ตัดแกน x สองจุด

มาพล็อตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นพาราโบลา มันข้ามแกน x (แกน) ที่สองจุด:
และ .
จุดเหล่านี้คือรากของสมการเดิม (1.1)

ตอบ

;
;
.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(2.1) .

การตัดสินใจ

เราเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการเดิม (2.1) เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
การค้นหาผู้จำแนก:
.
เนื่องจากตัวจำแนกเป็นศูนย์ สมการจึงมีรากทวีคูณ (เท่ากัน) สองตัว:
;
.

จากนั้นการแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติมีรูปแบบ:
.

กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 - 4 x + 4แตะแกน x ที่จุดหนึ่ง

มาพล็อตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นพาราโบลา มันแตะแกน x (แกน) ที่จุดหนึ่ง:
.
จุดนี้คือรากของสมการเดิม (2.1) เนื่องจากรากนี้แยกตัวประกอบสองครั้ง:
,
จากนั้นรูทดังกล่าวจะเรียกว่าทวีคูณ นั่นคือพวกเขาคิดว่ามีสองรากเท่ากัน:
.

ตอบ

;
.

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(3.1) .

การตัดสินใจ

เราเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป:
(1) .
ให้เราเขียนสมการเดิม (3.1) ใหม่:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับ (1) เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
การค้นหาผู้จำแนก:
.
การเลือกปฏิบัติเป็นค่าลบ, . ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง

คุณสามารถค้นหารากที่ซับซ้อน:
;
;
.

แล้ว


.

กราฟของฟังก์ชันไม่ตัดแกน x ไม่มีรากที่แท้จริง

มาพล็อตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นพาราโบลา ไม่ผ่าน abscissa (แกน) ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง

ตอบ

ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อน:
;
;
.

ฉันหวังว่าหลังจากศึกษาบทความนี้แล้ว คุณจะได้เรียนรู้วิธีการหารากของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์

ด้วยความช่วยเหลือของ discriminant จะมีการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์เท่านั้น เพื่อแก้สมการที่ไม่สมบูรณ์ สมการกำลังสองใช้วิธีการอื่นที่คุณจะพบในบทความ "การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์"

สมการกำลังสองใดที่เรียกว่าสมบูรณ์ มัน สมการในรูปแบบ ax 2 + b x + c = 0โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ a, b และ c ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ในการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ คุณต้องคำนวณ D

D \u003d b 2 - 4ac

เราจะเขียนคำตอบลงไป

ถ้าตัวจำแนกเป็นจำนวนลบ (D< 0),то корней нет.

หากการจำแนกเป็นศูนย์ ดังนั้น x \u003d (-b) / 2a เมื่อตัวจำแนกเป็นจำนวนบวก (D > 0)

จากนั้น x 1 = (-b - √D)/2a และ x 2 = (-b + √D)/2a

ตัวอย่างเช่น. แก้สมการ x 2– 4x + 4= 0

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

คำตอบ: 2.

แก้สมการ 2 x 2 + x + 3 = 0

ง \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

คำตอบ: ไม่มีราก.

แก้สมการ 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

คำตอบ: - 3.5; 1.

ลองจินตนาการถึงคำตอบของสมการกำลังสองสมบูรณ์ตามโครงร่างในรูปที่ 1

สูตรเหล่านี้สามารถใช้เพื่อแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ คุณเพียงแค่ต้องระมัดระวัง สมการถูกเขียนเป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐาน

ก x 2 + bx + คมิฉะนั้นคุณสามารถทำผิดพลาดได้ ตัวอย่างเช่น ในการเขียนสมการ x + 3 + 2x 2 = 0 คุณตัดสินใจผิดพลาดได้ว่า

a = 1, b = 3 และ c = 2 จากนั้น

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 แล้วสมการมีสองราก และนี่ไม่เป็นความจริง (ดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างที่ 2 ด้านบน)

ดังนั้น หากสมการไม่ได้เขียนเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน ขั้นแรกต้องเขียนสมการกำลังสองสมบูรณ์เป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน (อันดับแรกควรมีโมโนเมียลที่มีเลขชี้กำลังมากที่สุด นั่นคือ ก x 2 แล้วมีน้อย – bxแล้วระยะฟรี กับ.

เมื่อแก้สมการกำลังสองข้างต้นและสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์เลขคู่สำหรับเทอมที่สอง สามารถใช้สูตรอื่นๆ ได้เช่นกัน มาทำความรู้จักกับสูตรเหล่านี้กันเถอะ หากในสมการกำลังสองแบบเต็มที่มีพจน์ที่สอง ค่าสัมประสิทธิ์เป็นเลขคู่ (b = 2k) สมการนั้นสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรที่แสดงในแผนภาพของรูปที่ 2

สมการกำลังสองสมบูรณ์เรียกว่า ลดลง ถ้าสัมประสิทธิ์ที่ x 2 เท่ากับความสามัคคีและสมการจะอยู่ในรูปแบบ x 2 + พิกเซล + คิว = 0. สามารถแก้สมการดังกล่าวได้ หรือหาได้จากการหารค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการด้วยค่าสัมประสิทธิ์ กยืนอยู่ที่ x 2 .

รูปที่ 3 แสดงไดอะแกรมของคำตอบของกำลังสองที่ลดลง
สมการ พิจารณาตัวอย่างการใช้สูตรที่กล่าวถึงในบทความนี้

ตัวอย่าง. แก้สมการ

3x 2 + 6x - 6 = 0

ลองแก้สมการนี้โดยใช้สูตรที่แสดงในรูปที่ 1

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

คำตอบ: -1 - √3; –1 + √3

คุณจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ที่ x ในสมการนี้เป็นเลขคู่ นั่นคือ b \u003d 6 หรือ b \u003d 2k โดยที่ k \u003d 3 จากนั้นลองแก้สมการโดยใช้สูตรที่แสดงในแผนภาพ ง 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(ง 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

คำตอบ: -1 - √3; –1 + √3. สังเกตว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสมการกำลังสองนี้หารด้วย 3 แล้วหาร เราจะได้สมการกำลังสองที่ลดลง x 2 + 2x - 2 = 0 เราแก้สมการนี้โดยใช้สูตรสำหรับกำลังสองที่ลดลง
สมการรูปที่ 3

ง 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(ง 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

คำตอบ: -1 - √3; –1 + √3.

ดังที่เราเห็นเมื่อแก้สมการนี้โดย สูตรต่างๆเราได้คำตอบเดียวกัน ดังนั้น เมื่อเข้าใจสูตรที่แสดงในแผนภาพรูปที่ 1 เป็นอย่างดีแล้ว คุณจะสามารถแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์ใดๆ ได้ตลอดเวลา

ไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วนจำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ที่ สังคมสมัยใหม่ความสามารถในการดำเนินการกับสมการที่มีตัวแปรกำลังสองสามารถเป็นประโยชน์ในหลาย ๆ ด้านของกิจกรรมและใช้กันอย่างแพร่หลายในการปฏิบัติทางวิทยาศาสตร์และ การพัฒนาทางเทคนิค. สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้จากการออกแบบเรือเดินทะเลและแม่น้ำ เครื่องบิน และขีปนาวุธ ด้วยความช่วยเหลือของการคำนวณดังกล่าวจะกำหนดวิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุต่าง ๆ รวมถึงวัตถุอวกาศ ตัวอย่างที่มีคำตอบของสมการกำลังสองไม่ได้ใช้เฉพาะในการพยากรณ์ทางเศรษฐกิจ ในการออกแบบและก่อสร้างอาคารเท่านั้น แต่ยังใช้ในสถานการณ์ประจำวันที่ธรรมดาที่สุดอีกด้วย พวกเขาอาจจำเป็นใน ทริปเดินป่าที่กีฬา ในร้านค้าเมื่อซื้อของ และในสถานการณ์ทั่วไปอื่นๆ

ลองแบ่งนิพจน์เป็นปัจจัยองค์ประกอบ

ระดับของสมการถูกกำหนดโดยค่าสูงสุดของระดับของตัวแปรที่อยู่ในนิพจน์ที่กำหนด ถ้ามันเท่ากับ 2 สมการดังกล่าวจะเรียกว่าสมการกำลังสอง

หากเราพูดในภาษาของสูตร นิพจน์เหล่านี้ ไม่ว่าจะมีรูปลักษณ์อย่างไร ก็สามารถนำมาอยู่ในฟอร์มได้เสมอ เมื่อด้านซ้ายของนิพจน์ประกอบด้วยสามพจน์ ในหมู่พวกเขา: ax 2 (นั่นคือตัวแปรกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของมัน), bx (ไม่ทราบโดยไม่มีกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของมัน) และ c (องค์ประกอบอิสระนั่นคือตัวเลขธรรมดา) ทั้งหมดนี้มีค่าเท่ากับ 0 ทางด้านขวา ในกรณีที่พหุนามดังกล่าวไม่มีเงื่อนไขที่เป็นส่วนประกอบ ยกเว้น ax 2 จะเรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างการแก้ปัญหาดังกล่าวซึ่งหาค่าของตัวแปรได้ไม่ยากควรพิจารณาก่อน

ถ้านิพจน์ดูเหมือนมีสองพจน์ทางด้านขวาของนิพจน์ ถ้าให้เจาะจงยิ่งขึ้นคือ ax 2 และ bx การหาค่า x จะง่ายที่สุดโดยการใส่คร่อมตัวแปร ตอนนี้สมการของเราจะมีลักษณะดังนี้: x(ax+b) นอกจากนี้ จะเห็นได้ชัดว่า x=0 หรือปัญหาลดลงเพื่อค้นหาตัวแปรจากนิพจน์ต่อไปนี้: ax+b=0 สิ่งนี้ถูกกำหนดโดยหนึ่งในคุณสมบัติของการคูณ กฎบอกว่าผลคูณของปัจจัยสองตัวจะให้ผลลัพธ์เป็น 0 ก็ต่อเมื่อหนึ่งในนั้นมีค่าเป็นศูนย์

ตัวอย่าง

x=0 หรือ 8x - 3 = 0

เป็นผลให้เราได้สองรากของสมการ: 0 และ 0.375

สมการประเภทนี้สามารถอธิบายการเคลื่อนไหวของร่างกายภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วงซึ่งเริ่มเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งซึ่งเป็นจุดกำเนิด ที่นี่ สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ใช้รูปแบบต่อไปนี้: y = v 0 t + gt 2 /2 โดยการแทนค่าที่จำเป็น เทียบค่าด้านขวาเป็น 0 และค้นหาค่าที่ไม่ทราบค่าที่เป็นไปได้ คุณสามารถหาเวลาที่ผ่านไปตั้งแต่ตอนที่ร่างกายลอยขึ้นไปจนถึงตอนที่ร่างกายตกลงมา เช่นเดียวกับปริมาณอื่นๆ อีกมากมาย แต่เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง

แยกตัวประกอบนิพจน์

กฎที่อธิบายไว้ข้างต้นทำให้สามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้ในกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น พิจารณาตัวอย่างด้วยการแก้สมการกำลังสองประเภทนี้

X2 - 33x + 200 = 0

Trinomial สี่เหลี่ยมนี้เสร็จสมบูรณ์ ขั้นแรก เราเปลี่ยนนิพจน์และแยกย่อยมันเป็นปัจจัยต่างๆ มีสองตัว: (x-8) และ (x-25) = 0 ดังนั้น เราจึงมีราก 8 และ 25 สองราก

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ทำให้วิธีนี้สามารถค้นหาตัวแปรในนิพจน์ ไม่เพียงแต่ในลำดับที่สองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงลำดับที่สามและสี่ด้วย

ตัวอย่างเช่น: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0 เมื่อแยกตัวประกอบด้านขวาออกเป็นตัวประกอบที่มีตัวแปร จะมีสามตัว นั่นคือ (x + 1), (x-3) และ (x + 3).

เป็นผลให้เห็นได้ชัดว่า สมการที่กำหนดมีสามราก: -3; -1; 3.

แยกรากที่สอง

อีกกรณีหนึ่งของสมการอันดับสองที่ไม่สมบูรณ์คือนิพจน์ที่เขียนด้วยภาษาของตัวอักษรในลักษณะที่ ส่วนขวาถูกสร้างขึ้นจากส่วนประกอบ ax 2 และ c ที่นี่ เพื่อให้ได้ค่าของตัวแปร เทอมอิสระจะถูกโอนไปทางด้านขวา และหลังจากนั้น จากทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกัน รากที่สอง. ควรสังเกตว่าในกรณีนี้มักจะมีสองรากของสมการ ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือความเท่าเทียมกันที่ไม่มีคำว่า c เลย โดยที่ตัวแปรมีค่าเท่ากับศูนย์ เช่นเดียวกับรูปแบบต่างๆ ของนิพจน์เมื่อด้านขวากลายเป็นลบ ในกรณีหลังนี้ไม่มีทางแก้ไขได้เลย เนื่องจากการกระทำข้างต้นไม่สามารถดำเนินการกับรูทได้ ตัวอย่างการแก้ปัญหาสมการกำลังสองประเภทนี้ควรได้รับการพิจารณา

ในกรณีนี้ รากของสมการจะเป็นตัวเลข -4 และ 4

การคำนวณพื้นที่ของที่ดิน

ความจำเป็นในการคำนวณประเภทนี้ปรากฏในสมัยโบราณเนื่องจากการพัฒนาคณิตศาสตร์ในยุคที่ห่างไกลนั้นมีสาเหตุหลักมาจากความจำเป็นในการกำหนดพื้นที่และขอบเขตของที่ดินด้วยความแม่นยำมากที่สุด

เราควรพิจารณาตัวอย่างด้วยการแก้สมการกำลังสองที่รวบรวมบนพื้นฐานของปัญหาประเภทนี้

สมมติว่ามีที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีความยาวมากกว่าความกว้าง 16 เมตร คุณควรหาความยาว ความกว้าง และปริมณฑลของไซต์ หากทราบว่าพื้นที่ของไซต์คือ 612 ม. 2

ในตอนแรกเราจะสร้างสมการที่จำเป็น ให้ระบุความกว้างของส่วนเป็น x จากนั้นความยาวจะเป็น (x + 16) จากสิ่งที่เขียนว่าพื้นที่ถูกกำหนดโดยนิพจน์ x (x + 16) ซึ่งตามเงื่อนไขของปัญหาของเราคือ 612 ซึ่งหมายความว่า x (x + 16) \u003d 612

คำตอบของสมการกำลังสองสมบูรณ์และพจน์นี้เป็นเพียงนั้น ไม่สามารถทำได้ด้วยวิธีเดียวกัน ทำไม แม้ว่าทางด้านซ้ายของมันจะมีตัวประกอบสองตัว แต่ผลคูณของพวกมันไม่เท่ากับ 0 เลย ดังนั้นจึงใช้วิธีอื่นที่นี่

เลือกปฏิบัติ

ก่อนอื่นเราทำการเปลี่ยนแปลงที่จำเป็น รูปร่างนิพจน์นี้จะมีลักษณะดังนี้: x 2 + 16x - 612 = 0 หมายความว่าเราได้รับนิพจน์ในรูปแบบที่สอดคล้องกับมาตรฐานที่ระบุก่อนหน้านี้ โดยที่ a=1, b=16, c=-612

นี่อาจเป็นตัวอย่างของการแก้สมการกำลังสองผ่านตัวจำแนก นี่คือการคำนวณที่จำเป็นตามรูปแบบ: D = b 2 - 4ac ค่าเสริมนี้ไม่เพียงแต่ทำให้สามารถค้นหาค่าที่ต้องการในสมการอันดับสองเท่านั้น แต่ยังกำหนดจำนวนตัวเลือกที่เป็นไปได้อีกด้วย ในกรณี D>0 มีสองกรณี; สำหรับ D=0 มีหนึ่งรูท ในกรณีที่ ง<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

เกี่ยวกับรากและสูตร

ในกรณีของเรา ค่าจำแนกคือ: 256 - 4(-612) = 2704 แสดงว่าปัญหาของเรามีคำตอบแล้ว หากคุณทราบ การแก้สมการกำลังสองจะต้องดำเนินการต่อโดยใช้สูตรด้านล่าง ช่วยให้คุณสามารถคำนวณรากได้

ซึ่งหมายความว่าในกรณีที่นำเสนอ: x 1 =18, x 2 =-34 ตัวเลือกที่สองในภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกนี้ไม่สามารถแก้ปัญหาได้ เนื่องจากขนาดของแปลงที่ดินไม่สามารถวัดเป็นค่าลบได้ ซึ่งหมายความว่า x (นั่นคือความกว้างของแปลง) คือ 18 ม. จากที่นี่ เราคำนวณความยาว: 18+16=34 และเส้นรอบวง 2(34+ 18) = 104 (ม. 2)

ตัวอย่างและงาน

เราศึกษาสมการกำลังสองต่อไป ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดของหลาย ๆ ข้อจะได้รับด้านล่าง

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

ย้ายทุกอย่างไปทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน ทำการแปลง นั่นคือเราได้รูปแบบของสมการ ซึ่งมักจะเรียกว่าสมการมาตรฐาน และเทียบเป็นศูนย์

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

เมื่อเพิ่มสิ่งที่คล้ายกันแล้วเราจะพิจารณาการจำแนก: D \u003d 49 - 48 \u003d 1 ดังนั้นสมการของเราจะมีสองราก เราคำนวณตามสูตรข้างต้นซึ่งหมายความว่าอันแรกจะเท่ากับ 4/3 และ 1 อันที่สอง

2) ตอนนี้เราจะเปิดเผยปริศนาประเภทอื่น

มาดูกันว่ามีราก x 2 - 4x + 5 = 1 ตรงนี้ไหม? เพื่อให้ได้คำตอบที่ละเอียดถี่ถ้วน เรานำพหุนามไปยังรูปแบบที่คุ้นเคยและคำนวณการจำแนก ในตัวอย่างนี้ ไม่จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสอง เพราะสาระสำคัญของปัญหาไม่ได้อยู่ในสมการนี้เลย ในกรณีนี้ D \u003d 16 - 20 \u003d -4 ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากจริงๆ

ทฤษฎีบทของเวียตา

เป็นการสะดวกที่จะแก้สมการกำลังสองผ่านสูตรข้างต้นและตัวจำแนก เมื่อแยกค่ารากที่สองออกจากค่าของค่าหลัง แต่สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป อย่างไรก็ตาม มีหลายวิธีในการรับค่าของตัวแปรในกรณีนี้ ตัวอย่าง: การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ได้รับการตั้งชื่อตามชายคนหนึ่งที่อาศัยอยู่ในฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 16 และมีอาชีพที่ยอดเยี่ยมเนื่องจากความสามารถทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ในศาล ภาพเหมือนของเขาสามารถเห็นได้ในบทความ

รูปแบบที่ชาวฝรั่งเศสที่มีชื่อเสียงสังเกตเห็นมีดังนี้ เขาพิสูจน์ว่าผลรวมของรากของสมการเท่ากับ -p=b/a และผลคูณของสมการตรงกับ q=c/a

ทีนี้มาดูงานเฉพาะ

3x2 + 21x - 54 = 0

เพื่อความง่าย ลองแปลงนิพจน์:

x 2 + 7x - 18 = 0

เมื่อใช้ทฤษฎีบท Vieta จะได้ผลรวมของรากคือ -7 และผลคูณของรากคือ -18 จากที่นี่เราได้ว่ารากของสมการคือตัวเลข -9 และ 2 หลังจากทำการตรวจสอบแล้ว เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่าเหล่านี้ของตัวแปรนั้นเหมาะสมกับนิพจน์จริงๆ

กราฟและสมการของพาราโบลา

แนวคิดของฟังก์ชันกำลังสองและสมการกำลังสองมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ตัวอย่างนี้ได้รับก่อนหน้านี้แล้ว ทีนี้มาดูปริศนาทางคณิตศาสตร์ในรายละเอียดเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย สมการใดๆ ของประเภทที่อธิบายสามารถแสดงเป็นภาพได้ การพึ่งพากันซึ่งวาดในรูปของกราฟเรียกว่าพาราโบลา ประเภทต่าง ๆ ดังแสดงในรูปด้านล่าง

พาราโบลาใดๆ ก็มีจุดยอด นั่นคือจุดที่แตกแขนงออกมา ถ้า a>0 พวกมันจะไปสูงจนถึงอนันต์ และเมื่อ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

การแสดงฟังก์ชั่นที่มองเห็นได้ช่วยในการแก้สมการใด ๆ รวมถึงสมการกำลังสอง วิธีนี้เรียกว่ากราฟิก และค่าของตัวแปร x คือพิกัด abscissa ณ จุดที่เส้นกราฟตัดกับ 0x พิกัดของจุดยอดสามารถหาได้จากสูตรที่กำหนด x 0 = -b / 2a และเมื่อแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิมของฟังก์ชัน คุณจะพบ y 0 นั่นคือพิกัดที่สองของจุดยอดพาราโบลาที่เป็นของแกน y

จุดตัดของกิ่งของพาราโบลากับแกน abscissa

มีตัวอย่างมากมายเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสอง แต่ก็มีรูปแบบทั่วไปด้วย ลองพิจารณาพวกเขา เป็นที่ชัดเจนว่าจุดตัดของกราฟกับแกน 0x สำหรับ a>0 เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ y 0 รับค่าลบเท่านั้น และสำหรับก<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. มิฉะนั้น ง<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

จากกราฟของพาราโบลา คุณยังสามารถหารากได้อีกด้วย สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน นั่นคือ หากการแสดงภาพของฟังก์ชันกำลังสองไม่ง่ายนัก คุณสามารถจัดสมการด้านขวาของนิพจน์เป็น 0 และแก้สมการที่ได้ และเมื่อรู้จุดตัดกับแกน 0x แล้ว การลงจุดก็ง่ายขึ้น

จากประวัติศาสตร์

ด้วยความช่วยเหลือของสมการที่มีตัวแปรกำลังสอง ในสมัยก่อน ไม่เพียงแต่การคำนวณทางคณิตศาสตร์และกำหนดพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น คนสมัยก่อนต้องการการคำนวณเช่นนี้สำหรับการค้นพบครั้งยิ่งใหญ่ในด้านฟิสิกส์และดาราศาสตร์ ตลอดจนการพยากรณ์ทางโหราศาสตร์

ตามที่นักวิทยาศาสตร์สมัยใหม่แนะนำ ชาวเมืองบาบิโลนเป็นคนกลุ่มแรกที่แก้สมการกำลังสอง มันเกิดขึ้นสี่ศตวรรษก่อนการมาถึงของยุคของเรา แน่นอนว่าการคำนวณของพวกเขาแตกต่างจากที่ยอมรับในปัจจุบันโดยพื้นฐานและกลายเป็นแบบดั้งเดิมมากขึ้น ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ชาวเมโสโปเตเมียไม่มีความคิดเกี่ยวกับการมีอยู่ของจำนวนลบ พวกเขายังไม่คุ้นเคยกับรายละเอียดปลีกย่อยอื่น ๆ ของนักเรียนในยุคของเรา

บางทีอาจเร็วกว่านักวิทยาศาสตร์แห่งบาบิโลนเสียด้วยซ้ำ บัณฑิตจากอินเดีย บัวดายามา แก้ปัญหาสมการกำลังสอง เรื่องนี้เกิดขึ้นประมาณแปดศตวรรษก่อนการกำเนิดของยุคของพระคริสต์ จริงอยู่ที่สมการอันดับสองซึ่งเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้สมการ นอกจากเขาแล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวจีนยังสนใจคำถามที่คล้ายกันในสมัยก่อนอีกด้วย ในยุโรปสมการกำลังสองเริ่มได้รับการแก้ไขเมื่อต้นศตวรรษที่ 13 เท่านั้น แต่ต่อมานักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่เช่น Newton, Descartes และอื่น ๆ อีกมากมายได้นำไปใช้ในงานของพวกเขา

สมการกำลังสอง เลือกปฏิบัติ วิธีแก้ปัญหา, ตัวอย่าง.

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในภาคพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

ประเภทของสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองคืออะไร? มันดูเหมือนอะไร? ในระยะ สมการกำลังสองคำหลักคือ "สี่เหลี่ยม".หมายความว่าในสมการ อย่างจำเป็นต้องมี x กำลังสอง นอกจากนี้ในสมการอาจมี (หรือไม่มีก็ได้!) เพียงแค่ x (ในระดับแรก) และตัวเลขเท่านั้น (สมาชิกฟรี).และไม่ควรมี x ในระดับที่มากกว่าสอง

ในแง่คณิตศาสตร์ สมการกำลังสองคือสมการในรูปแบบ:

ที่นี่ ก ข และ ค- ตัวเลขบางอย่าง ข และ ค- อย่างใด แต่ ก- อะไรก็ได้ยกเว้นศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

ที่นี่ ก =1; ข = 3; ค = -4

ที่นี่ ก =2; ข = -0,5; ค = 2,2

ที่นี่ ก =-3; ข = 6; ค = -18

เข้าใจแล้ว...

ในสมการกำลังสองเหล่านี้ ทางด้านซ้ายมี ชุดเต็มสมาชิก. x กำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ ก, x ยกกำลังแรกด้วยสัมประสิทธิ์ ขและ สมาชิกฟรีของ

สมการกำลังสองดังกล่าวเรียกว่า เสร็จสิ้น.

เกิดอะไรขึ้นถ้า ข= 0 เราจะได้อะไร? เรามี X จะหายไปในระดับแรกสิ่งนี้เกิดจากการคูณด้วยศูนย์) ปรากฎว่า:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

เป็นต้น และถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งสอง ขและ คเท่ากับศูนย์ แล้วง่ายยิ่งขึ้นไปอีก:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

สมการดังกล่าวเรียกว่าสิ่งที่ขาดหายไป สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งค่อนข้างมีเหตุผล) โปรดทราบว่า x กำลังสองมีอยู่ในสมการทั้งหมด

โดยวิธีการว่าทำไม กไม่สามารถเป็นศูนย์? และคุณเปลี่ยนแทน กศูนย์) X ในตารางจะหายไป! สมการจะกลายเป็นเส้นตรง และมันทำแตกต่างกัน ...

นั่นคือประเภทหลักๆ ของสมการกำลังสองทั้งหมด สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

คำตอบของสมการกำลังสอง

คำตอบของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์

แก้สมการกำลังสองได้ง่าย ตามสูตรและกติกาง่ายๆชัดเจน. ในขั้นตอนแรกจำเป็นต้องนำสมการที่กำหนดมาสู่รูปแบบมาตรฐานเช่น เพื่อดู:

หากคุณได้รับสมการในรูปแบบนี้แล้วคุณไม่จำเป็นต้องทำขั้นตอนแรก) สิ่งสำคัญคือการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดอย่างถูกต้อง ก, ขและ ค.

สูตรการหารากของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูตเรียกว่า เลือกปฏิบัติ. แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับเขาด้านล่าง อย่างที่คุณเห็น ในการหา x เราใช้ เพียง a, b และ c. เหล่านั้น. ค่าสัมประสิทธิ์จากสมการกำลังสอง เพียงแทนค่าอย่างระมัดระวัง ก ข และ คลงในสูตรนี้แล้วนับ ทดแทน ด้วยสัญญาณของคุณ! ตัวอย่างเช่น ในสมการ:

ก =1; ข = 3; ค= -4. ที่นี่เราเขียน:

ตัวอย่างเกือบแก้ไข:

นี่คือคำตอบ

ทุกอย่างง่ายมาก และคุณคิดอย่างไร คุณไม่ผิด? ครับ ยังไง...

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับสัญลักษณ์ของค่าต่างๆ ก ข และ ค. หรือไม่ใช่ด้วยสัญญาณของพวกเขา (จะสับสนตรงไหน) แต่ด้วยการแทนที่ค่าลบลงในสูตรสำหรับคำนวณราก ที่นี่บันทึกรายละเอียดของสูตรพร้อมตัวเลขเฉพาะ หากมีปัญหาเกี่ยวกับการคำนวณ ทำมัน!

สมมติว่าเราต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ ก = -6; ข = -5; ค = -1

สมมติว่าคุณรู้ว่าคุณไม่ค่อยได้รับคำตอบในครั้งแรก

อย่าขี้เกียจ จะใช้เวลาเขียนบรรทัดพิเศษ 30 วินาที และจำนวนข้อผิดพลาด จะลดลงอย่างรวดเร็ว. ดังนั้นเราจึงเขียนรายละเอียดพร้อมวงเล็บและเครื่องหมายทั้งหมด:

ดูเหมือนจะยากอย่างไม่น่าเชื่อที่จะทาสีอย่างระมัดระวัง แต่ดูเหมือนเท่านั้น ลองมัน. ดีหรือเลือก แบบไหนดีกว่ากัน เร็ว หรือถูก? นอกจากนี้ ฉันจะทำให้คุณมีความสุข หลังจากนั้นไม่นานก็ไม่จำเป็นต้องทาสีทุกอย่างอย่างระมัดระวัง มันจะเปิดออกขวา โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณใช้เทคนิคที่ใช้ได้จริง ซึ่งอธิบายไว้ด้านล่าง ตัวอย่างที่ชั่วร้ายที่มี minuses มากมายจะแก้ไขได้อย่างง่ายดายและไม่มีข้อผิดพลาด!

แต่บ่อยครั้งที่สมการกำลังสองดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น:

รึเปล่าไม่รู้) ใช่! มัน สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์.

คำตอบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

นอกจากนี้ยังสามารถแก้ไขได้ด้วยสูตรทั่วไป คุณเพียงแค่ต้องคิดให้ถูกต้องว่าค่าเท่ากันคืออะไร ก ข และ ค.

ตระหนัก? ในตัวอย่างแรก ก = 1; ข = -4;ก ค? มันไม่มีเลย! ใช่ถูกต้องแล้ว ในทางคณิตศาสตร์หมายความว่า ค = 0 ! นั่นคือทั้งหมด แทนที่ศูนย์ในสูตรแทน ค,แล้วทุกอย่างจะเป็นไปตามใจเราเอง เช่นเดียวกับตัวอย่างที่สอง มีเพียงศูนย์เท่านั้นที่เราไม่มีที่นี่ กับ, ก ข !

แต่สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามารถแก้ไขได้ง่ายกว่ามาก โดยไม่มีสูตรสำเร็จ พิจารณาสมการแรกที่ไม่สมบูรณ์ ด้านซ้ายทำอะไรได้บ้าง? คุณสามารถนำ X ออกจากวงเล็บได้! เอาออกเถอะครับ

แล้วจากนี้ล่ะ? และความจริงที่ว่าผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อปัจจัยใดมีค่าเท่ากับศูนย์! ไม่เชื่อ? ถ้าอย่างนั้นก็หาตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวที่เมื่อคูณกันจะให้ศูนย์!
ไม่ทำงาน, ไม่เป็นผล? บางสิ่งบางอย่าง...
ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้อย่างมั่นใจว่า: x 1 = 0, x 2 = 4.

ทุกอย่าง. สิ่งเหล่านี้จะเป็นรากของสมการของเรา ทั้งสองพอดี เมื่อแทนค่าใดๆ ลงในสมการเดิม เราจะได้เอกลักษณ์ที่ถูกต้อง 0 = 0 อย่างที่คุณเห็น วิธีแก้นั้นง่ายกว่าสูตรทั่วไปมาก ฉันสังเกตว่า X ตัวใดจะเป็นตัวแรกและตัวไหนตัวที่สอง - มันไม่แยแสเลย ง่ายต่อการเขียนตามลำดับ x 1- แล้วแต่จำนวนใดจะน้อยกว่า x 2- สิ่งที่มากกว่า

สมการที่สองสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดาย เราเลื่อน 9 ไปทางด้านขวา เราได้รับ:

มันยังคงแยกรูทจาก 9 และนั่นแหล่ะ รับ:

สองรากด้วย . x 1 = -3, x 2 = 3.

นี่คือวิธีแก้ไขสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ทั้งหมด โดยนำ X ออกจากวงเล็บ หรือเพียงแค่ย้ายหมายเลขไปทางขวา แล้วตามด้วยการแตกราก
เป็นการยากที่จะสร้างความสับสนให้กับวิธีการเหล่านี้ เพียงเพราะในกรณีแรกคุณจะต้องแยกรูทออกจาก X ซึ่งไม่สามารถเข้าใจได้และในกรณีที่สองไม่มีอะไรจะลบออกจากวงเล็บ ...

เลือกปฏิบัติ สูตรจำแนก

คำวิเศษ เลือกปฏิบัติ ! นักเรียนมัธยมปลายที่หายากไม่เคยได้ยินคำนี้! วลีที่ว่า “ตัดสินใจผ่านการเลือกปฏิบัติ” นั้นทำให้มั่นใจและอุ่นใจ เพราะไม่ต้องรอเล่ห์เหลี่ยม! ใช้งานง่ายและไร้ปัญหา) ฉันขอเตือนคุณเกี่ยวกับสูตรทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหา ใดๆสมการกำลังสอง:

นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูทเรียกว่า discriminant การเลือกปฏิบัติมักจะแสดงด้วยตัวอักษร ง. สูตรจำแนก:

D = b 2 - 4ac

และความพิเศษของการแสดงออกนี้คืออะไร? ทำไมมันถึงสมควรได้รับชื่อพิเศษ? อะไร ความหมายของการเลือกปฏิบัติ?หลังจากนั้น -b,หรือ 2aในสูตรนี้พวกเขาไม่ได้ตั้งชื่อโดยเฉพาะ ... ตัวอักษรและตัวอักษร

ประเด็นคือสิ่งนี้ เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรนี้ เป็นไปได้ เพียงสามกรณี

1. ผู้จำแนกเป็นบวกซึ่งหมายความว่าคุณสามารถแยกรากออกมาได้ การถอนรากดีหรือไม่ดีเป็นอีกคำถามหนึ่ง เป็นสิ่งสำคัญที่ดึงออกมาในหลักการ แล้วสมการกำลังสองของคุณมีสองราก สองโซลูชั่นที่แตกต่างกัน

2. การจำแนกเป็นศูนย์ถ้าอย่างนั้นคุณมีทางออกหนึ่งข้อ เนื่องจากการบวกหรือลบศูนย์ในตัวเศษจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไร พูดอย่างเคร่งครัดนี่ไม่ใช่รากเดียว แต่ สองเหมือนกัน. แต่ในเวอร์ชันที่เรียบง่าย เป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึง ทางออกหนึ่ง

3. การเลือกปฏิบัติเป็นลบจำนวนลบไม่ใช้เครื่องหมายกรณฑ์ โอเค. ซึ่งหมายความว่าไม่มีทางแก้ไข

พูดตามตรง ด้วยวิธีแก้สมการกำลังสองอย่างง่าย แนวคิดของการจำแนกไม่จำเป็นจริงๆ เราแทนค่าสัมประสิทธิ์ในสูตรและพิจารณา ทุกอย่างปรากฏออกมาด้วยตัวเองและสองรากและหนึ่งไม่ใช่หนึ่งเดียว อย่างไรก็ตาม เมื่อแก้ไขงานที่ซับซ้อนมากขึ้นโดยไม่มีความรู้ ความหมายและสูตรจำแนกไม่พอ. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง - ในสมการที่มีพารามิเตอร์ สมการดังกล่าวเป็นสมการลอยตัวสำหรับ GIA และ Unified State Examination!)

ดังนั้น, วิธีแก้สมการกำลังสองผ่านการเลือกปฏิบัติที่คุณจำได้ หรือเรียนรู้ซึ่งก็ไม่เลวเช่นกัน) คุณรู้วิธีระบุอย่างถูกต้อง ก ข และ ค. คุณรู้ไหมว่าทำอย่างไร อย่างตั้งใจแทนที่ลงในสูตรรากและ อย่างตั้งใจนับผลลัพธ์ คุณเข้าใจหรือไม่ว่าคำสำคัญที่นี่คือ - ตั้งใจ?

ตอนนี้ให้จดบันทึกเทคนิคที่ใช้ได้จริงซึ่งช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก อันเกิดจากความไม่ตั้งใจ ... ซึ่งมันก็เจ็บปวดและดูถูก ...

การรับครั้งแรก . อย่าขี้เกียจก่อนที่จะแก้สมการกำลังสองเพื่อให้ได้รูปแบบมาตรฐาน สิ่งนี้หมายความว่า?
สมมติว่า หลังจากการแปลงใดๆ คุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่ารีบเร่งที่จะเขียนสูตรของราก! คุณเกือบจะผสมอัตราเดิมพัน ก ข และ คสร้างตัวอย่างที่ถูกต้อง ขั้นแรก x กำลังสอง จากนั้นไม่มีกำลังสอง จากนั้นจึงเป็นสมาชิกฟรี แบบนี้:

และอีกครั้งอย่ารีบเร่ง! ลบก่อน x กำลังสองอาจทำให้คุณหงุดหงิดมาก ลืมมันง่าย... กำจัดลบ ยังไง? ใช่ตามที่สอนในหัวข้อที่แล้ว! เราต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

และตอนนี้คุณสามารถจดสูตรสำหรับรากได้อย่างปลอดภัย คำนวณตัวจำแนกประเภท และทำตามตัวอย่างให้สมบูรณ์ ตัดสินใจด้วยตัวคุณเอง คุณควรจบลงด้วยรูท 2 และ -1

แผนกต้อนรับส่วนหน้าที่สอง ตรวจสอบรากของคุณ! ตามทฤษฎีบทของ Vieta ไม่ต้องกังวล ฉันจะอธิบายทุกอย่าง! กำลังตรวจสอบ สิ่งสุดท้ายสมการ เหล่านั้น. อันที่เราจดสูตรรากไว้ ถ้า (ตามตัวอย่างนี้) ค่าสัมประสิทธิ์ เอ = 1เช็ครากง่ายๆ. มันเพียงพอที่จะคูณพวกมัน คุณควรได้รับเงื่อนไขฟรีเช่น ในกรณีของเรา -2 ให้ความสนใจไม่ใช่ 2 แต่เป็น -2! สมาชิกฟรี ด้วยเครื่องหมายของคุณ . หากไม่ได้ผล แสดงว่าพวกเขาทำพลาดไปที่ไหนสักแห่งแล้ว มองหาข้อผิดพลาด

หากได้ผลคุณต้องพับราก การตรวจสอบครั้งสุดท้ายและครั้งสุดท้าย ควรเป็นอัตราส่วน ขกับ ตรงข้าม เข้าสู่ระบบ. ในกรณีของเรา -1+2 = +1 ค่าสัมประสิทธิ์ ขซึ่งอยู่หน้า x เท่ากับ -1 ดังนั้นทุกอย่างถูกต้อง!
น่าเสียดายที่มันง่ายมากสำหรับตัวอย่างที่ x กำลังสองบริสุทธิ์ด้วยสัมประสิทธิ์ เอ = 1แต่อย่างน้อยตรวจสอบในสมการดังกล่าว! ความผิดพลาดก็จะน้อยลง

แผนกต้อนรับที่สาม . หากสมการของคุณมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน ให้กำจัดเศษส่วนออก! คูณสมการด้วยตัวส่วนร่วมตามที่อธิบายไว้ในบทเรียน "จะแก้สมการได้อย่างไร การแปลงเอกลักษณ์" เมื่อทำงานกับเศษส่วน ข้อผิดพลาด ปีน ...

ยังไงก็ตาม ฉันสัญญากับตัวอย่างที่ชั่วร้ายพร้อมเครื่องหมายลบมากมายเพื่อทำให้ง่ายขึ้น โปรด! นี่คือ

เพื่อไม่ให้สับสนในการลบ เราคูณสมการด้วย -1 เราได้รับ:

นั่นคือทั้งหมด! การตัดสินใจเป็นเรื่องสนุก!

ดังนั้นเรามาสรุปหัวข้อกัน

เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. ก่อนแก้ เรานำสมการกำลังสองมาสร้างเป็นรูปแบบมาตรฐาน ขวา.

2. ถ้ามีค่าสัมประสิทธิ์เป็นลบอยู่หน้า x ในตาราง เราจะกำจัดมันโดยการคูณทั้งสมการด้วย -1

3. ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบที่เกี่ยวข้อง

4. ถ้า x กำลังสองบริสุทธิ์ ค่าสัมประสิทธิ์ของค่านั้นเท่ากับ 1 วิธีแก้ปัญหาสามารถตรวจสอบได้ง่ายด้วยทฤษฎีบทของ Vieta ทำมัน!

ตอนนี้คุณสามารถตัดสินใจได้)

แก้สมการ:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0.5

x - ตัวเลขใดๆ

x 1 = -3
x 2 = 3

ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

x 1 = 0.25
x 2 \u003d 0.5

ทุกอย่างลงตัวหรือไม่? ยอดเยี่ยม! สมการกำลังสองจะไม่ทำให้คุณปวดหัว สามคนแรกเปิดออก แต่ที่เหลือไม่ได้? แล้วปัญหาไม่ได้อยู่ในสมการกำลังสอง ปัญหาคือการแปลงสมการที่เหมือนกัน ลองดูที่ลิงค์ มันมีประโยชน์

ไม่ได้ผล? หรือมันไม่ได้ผลเลย? จากนั้นมาตรา 555 จะช่วยคุณได้ ตัวอย่างทั้งหมดนี้เรียงตามกระดูก กำลังแสดง หลักข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหา แน่นอนว่ามีการอธิบายถึงการประยุกต์ใช้การแปลงที่เหมือนกันในการแก้สมการต่างๆ ช่วยได้มาก!

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ระดับแรก

สมการกำลังสอง คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

ในคำว่า "สมการกำลังสอง" คำสำคัญคือ "กำลังสอง" ซึ่งหมายความว่าสมการจะต้องมีตัวแปร (X เหมือนกัน) อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และในขณะเดียวกันก็ไม่ควรมี X ในระดับที่สาม (หรือมากกว่า)

คำตอบของสมการจำนวนมากจะลดลงเป็นคำตอบของสมการกำลังสอง

มาเรียนรู้เพื่อหาว่าเรามีสมการกำลังสอง ไม่ใช่สมการอื่น

ตัวอย่างที่ 1

กำจัดตัวส่วนและคูณแต่ละเทอมของสมการด้วย

ลองย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายและจัดเรียงเงื่อนไขตามลำดับกำลังของ x จากมากไปน้อย

ตอนนี้เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าสมการนี้เป็นกำลังสอง!

ตัวอย่างที่ 2

คูณด้านซ้ายและด้านขวาด้วย:

สมการนี้แม้ว่าจะมีมาแต่เดิม แต่ก็ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส!

ตัวอย่างที่ 3

คูณทุกอย่างด้วย:

อย่างหวาดกลัว? องศาที่สี่และสอง ... อย่างไรก็ตาม หากเราแทนที่ เราจะเห็นว่าเรามีสมการกำลังสองอย่างง่าย:

ตัวอย่างที่ 4

ดูเหมือนจะเป็น แต่ลองมาดูกันดีกว่า ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

คุณเห็นไหมว่ามันหดลง - และตอนนี้มันเป็นสมการเชิงเส้นอย่างง่าย!

ตอนนี้ลองพิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสมการใดต่อไปนี้เป็นสมการกำลังสองและสมการใดที่ไม่ใช่:

ตัวอย่าง:

คำตอบ:

1. สี่เหลี่ยม;
2. สี่เหลี่ยม;
3. ไม่ใช่สี่เหลี่ยม
4. ไม่ใช่สี่เหลี่ยม
5. ไม่ใช่สี่เหลี่ยม
6. สี่เหลี่ยม;
7. ไม่ใช่สี่เหลี่ยม
8. สี่เหลี่ยม.

นักคณิตศาสตร์แบ่งสมการกำลังสองทั้งหมดตามเงื่อนไขออกเป็นประเภทต่อไปนี้:

• กรอกสมการกำลังสอง- สมการที่ค่าสัมประสิทธิ์และเทอมอิสระ c ไม่เท่ากับศูนย์ (ตามตัวอย่าง) นอกจากนี้ยังมีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ ที่ให้ไว้คือสมการที่ค่าสัมประสิทธิ์ (สมการจากตัวอย่างที่หนึ่งไม่เพียงแต่สมบูรณ์เท่านั้น แต่ยังลดลงด้วย!)

• สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์- สมการที่ค่าสัมประสิทธิ์และหรือเทอมอิสระ c เท่ากับศูนย์:

  ไม่สมบูรณ์เพราะขาดองค์ประกอบบางอย่างไป แต่สมการต้องมี x กำลังสองเสมอ!!! มิฉะนั้น มันจะไม่เป็นกำลังสองอีกต่อไป แต่เป็นสมการอื่น

ทำไมพวกเขาถึงมีการแบ่งเช่นนี้? ดูเหมือนว่ามี X กำลังสองและโอเค การแบ่งดังกล่าวเกิดจากวิธีการแก้ปัญหา ลองพิจารณาแต่ละข้อโดยละเอียด

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ขั้นแรก เรามาโฟกัสกันที่การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ซึ่งง่ายกว่ามาก!

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์เป็นประเภท:

1. ในสมการนี้ค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากัน
2. ในสมการนี้เทอมว่างเท่ากับ
3. ในสมการนี้ค่าสัมประสิทธิ์และระยะว่างเท่ากัน

1. ฉัน เนื่องจากเรารู้วิธีหารากที่สองแล้ว ลองแสดงจากสมการนี้

การแสดงออกสามารถเป็นได้ทั้งเชิงลบหรือเชิงบวก จำนวนกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เนื่องจากเมื่อคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนบวกเสมอ ดังนั้น ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ

และถ้าเราได้สองราก สูตรเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องจำ สิ่งสำคัญคือคุณควรรู้และจำไว้เสมอว่าไม่น้อย

มาลองแก้ตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 5:

แก้สมการ

ตอนนี้ยังคงแยกรากออกจากส่วนซ้ายและขวา ท้ายที่สุดคุณจำวิธีแยกรากได้หรือไม่?

ตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!!!

ตัวอย่างที่ 6:

แก้สมการ

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 7:

แก้สมการ

อุ๊ย! กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นค่าลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการนั้น

ไม่มีราก!

สำหรับสมการที่ไม่มีราก นักคณิตศาสตร์จึงสร้างไอคอนพิเศษขึ้นมา - (ชุดว่าง) และเขียนคำตอบได้ดังนี้

ตอบ:

ดังนั้น สมการกำลังสองนี้จึงมีสองราก ไม่มีข้อจำกัดที่นี่ เนื่องจากเราไม่ได้แตกราก
ตัวอย่างที่ 8:

แก้สมการ

ลองนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ:

ทางนี้,

สมการนี้มีสองราก

ตอบ:

ประเภทที่ง่ายที่สุดของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ (แม้ว่าพวกมันจะง่ายทั้งหมด จริงไหม?) แน่นอน สมการนี้มีรากเพียงตัวเดียวเสมอ:

ที่นี่เราจะทำโดยไม่มีตัวอย่าง

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

เราเตือนคุณว่าสมการกำลังสองสมบูรณ์คือสมการของสมการรูปแบบโดยที่

การแก้สมการกำลังสองแบบเต็มนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย (เพียงเล็กน้อย) มากกว่าที่กำหนด

จดจำ, สมการกำลังสองใด ๆ สามารถแก้ไขได้โดยใช้การจำแนก! แม้จะไม่สมบูรณ์

วิธีที่เหลือจะช่วยให้คุณทำได้เร็วขึ้น แต่ถ้าคุณมีปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสอง ให้เชี่ยวชาญวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวจำแนกก่อน

1. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ตัวจำแนก

การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้ง่ายมาก สิ่งสำคัญคือต้องจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร

ถ้าสมการนั้นมีรากควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนนี้ discriminant () บอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• ถ้าสูตรในขั้นตอนจะลดลงเป็น ดังนั้นสมการจะมีเพียงรากเท่านั้น
• หากเป็นเช่นนั้นเราจะไม่สามารถแยกรากของการเลือกปฏิบัติในขั้นตอน นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

กลับไปที่สมการของเราและดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 9:

แก้สมการ

ขั้นตอนที่ 1ข้าม.

ขั้นตอนที่ 2

การค้นหาผู้จำแนก:

สมการจึงมีสองราก

ขั้นตอนที่ 3

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 10:

แก้สมการ

สมการจะอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1ข้าม.

ขั้นตอนที่ 2

การค้นหาผู้จำแนก:

สมการจึงมีหนึ่งราก

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 11:

แก้สมการ

สมการจะอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1ข้าม.

ขั้นตอนที่ 2

การค้นหาผู้จำแนก:

ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่สามารถแยกรากออกจากการเลือกปฏิบัติได้ ไม่มีรากของสมการ

ตอนนี้เรารู้วิธีเขียนคำตอบอย่างถูกต้องแล้ว

ตอบ:ไม่มีราก

2. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบท Vieta

หากคุณจำได้มีสมการประเภทหนึ่งที่เรียกว่า ลดลง (เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับ):

สมการดังกล่าวแก้ได้ง่ายมากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

ผลรวมของราก ที่ให้ไว้สมการกำลังสองเท่ากัน และผลคูณของรากเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 12:

แก้สมการ

สมการนี้เหมาะสำหรับการแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เนื่องจาก .

ผลรวมของรากของสมการคือ เช่น เราได้สมการแรก:

และผลิตภัณฑ์คือ:

มาสร้างและแก้ไขระบบกัน:

• และ. ผลรวมคือ;
• และ. ผลรวมคือ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นทางออกของระบบ:

ตอบ: ; .

ตัวอย่างที่ 13:

แก้สมการ

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 14:

แก้สมการ

สมการลดลงซึ่งหมายความว่า:

ตอบ:

สมการกำลังสอง ระดับกลาง

สมการกำลังสองคืออะไร?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ตัวเลขบางจำนวน ยิ่งกว่านั้น

จำนวนที่เรียกว่าสูงสุดหรือ ค่าสัมประสิทธิ์แรกสมการกำลังสอง, - ค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง, - สมาชิกฟรี.

ทำไม เพราะหากสมการจะกลายเป็นเส้นตรงทันที เนื่องจาก จะหายไป.

ในกรณีนี้ และ สามารถเท่ากับศูนย์ได้ ในสมการอุจจาระนี้เรียกว่าไม่สมบูรณ์ ถ้าเงื่อนไขทั้งหมดอยู่ในสถานที่ นั่นคือสมการเสร็จสมบูรณ์

คำตอบของสมการกำลังสองประเภทต่างๆ

วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์:

ในการเริ่มต้นเราจะวิเคราะห์วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งง่ายกว่า

สมการประเภทต่อไปนี้สามารถแยกแยะได้:

I. ในสมการนี้ ค่าสัมประสิทธิ์และระยะว่างเท่ากัน

ครั้งที่สอง ในสมการนี้ค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากัน

สาม. ในสมการนี้เทอมว่างเท่ากับ

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของแต่ละประเภทย่อยเหล่านี้

แน่นอน สมการนี้มีรากเพียงตัวเดียวเสมอ:

จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เนื่องจากเมื่อคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนบวกเสมอ ดังนั้น:

ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ

ถ้าเรามีสองราก

สูตรเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องจำ สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือต้องไม่น้อย

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

ตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!

กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นค่าลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการนั้น

ไม่มีราก

หากต้องการเขียนสั้น ๆ ว่าปัญหาไม่มีทางแก้ไข เราใช้ไอคอนชุดว่าง

ตอบ:

ดังนั้น สมการนี้มีรากสองตัวคือ และ

ตอบ:

ลองนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ:

ผลคูณจะเท่ากับศูนย์หากปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสมการจะมีคำตอบเมื่อ:

ดังนั้น สมการกำลังสองนี้มีรากสองตัว: และ

ตัวอย่าง:

แก้สมการ

การตัดสินใจ:

เราแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการและค้นหาราก:

ตอบ:

วิธีการแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์:

1. เลือกปฏิบัติ

การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้เป็นเรื่องง่าย สิ่งสำคัญคือต้องจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร จำไว้ว่า สมการกำลังสองสามารถแก้ได้โดยใช้ตัวจำแนก! แม้จะไม่สมบูรณ์

คุณสังเกตเห็นรากของ discriminant ในสูตรรากหรือไม่? แต่ผู้จำแนกสามารถเป็นค่าลบได้ จะทำอย่างไร? เราต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนที่ 2 เครื่องมือจำแนกบอกจำนวนรากของสมการ

• ถ้าสมการนั้นมีราก:
• ถ้าสมการนั้นมีรูทเดียวกัน แต่อันที่จริงมีรูทเดียว:

  รากดังกล่าวเรียกว่ารากคู่

• หากไม่ได้แยกรากของการเลือกปฏิบัติออก นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

เหตุใดจำนวนรากจึงต่างกัน ให้เราหันไปหาความหมายทางเรขาคณิตของสมการกำลังสอง กราฟของฟังก์ชันเป็นรูปพาราโบลา:

ในกรณีเฉพาะ ซึ่งเป็นสมการกำลังสอง และนั่นหมายความว่ารากของสมการกำลังสองคือจุดตัดกับแกน x (แกน) พาราโบลาอาจไม่ข้ามแกนเลย หรืออาจตัดกันที่หนึ่ง (เมื่อยอดพาราโบลาอยู่บนแกน) หรือสองจุด

นอกจากนี้ค่าสัมประสิทธิ์ยังกำหนดทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา ถ้ากิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้นและถ้า - ให้ชี้ลง

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

ตอบ:

ตอบ: .

ตอบ:

ซึ่งหมายความว่าไม่มีทางแก้ไข

ตอบ: .

2. ทฤษฎีบทของ Vieta

การใช้ทฤษฎีบท Vieta นั้นง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องเลือกคู่ของตัวเลขที่ผลคูณเท่ากับพจน์อิสระของสมการ และผลรวมเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง โดยใช้เครื่องหมายตรงกันข้าม

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าทฤษฎีบทของ Vieta สามารถใช้ได้เท่านั้น กำหนดสมการกำลังสอง ()

ลองดูตัวอย่าง:

ตัวอย่าง #1:

แก้สมการ

การตัดสินใจ:

สมการนี้เหมาะสำหรับการแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เนื่องจาก . ค่าสัมประสิทธิ์อื่นๆ: ; .

ผลรวมของรากของสมการคือ:

และผลิตภัณฑ์คือ:

ลองเลือกคู่ของตัวเลขซึ่งผลคูณของจำนวนนั้นเท่ากัน และตรวจสอบว่าผลรวมของตัวเลขเท่ากันหรือไม่:

• และ. ผลรวมคือ;
• และ. ผลรวมคือ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นทางออกของระบบ:

ดังนั้น และ จึงเป็นรากเหง้าของสมการของเรา

ตอบ: ; .

ตัวอย่าง #2:

การตัดสินใจ:

เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ในผลิตภัณฑ์ จากนั้นตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:

และ: ให้ทั้งหมด

และ: ให้ทั้งหมด ในการรับมัน คุณเพียงแค่ต้องเปลี่ยนสัญญาณของรากที่ถูกกล่าวหา: และหลังจากนั้นก็ทำงาน

ตอบ:

ตัวอย่าง #3:

การตัดสินใจ:

เทอมอิสระของสมการเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็นจำนวนลบ สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อหนึ่งในรากเป็นลบและอีกรากหนึ่งเป็นบวก ผลรวมของรากคือ ความแตกต่างของโมดูล.

เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ในผลิตภัณฑ์และผลต่างที่เท่ากับ:

และ: ความแตกต่างคือ - ไม่เหมาะสม;

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - เหมาะสม มันยังคงเป็นเพียงการจำไว้ว่าหนึ่งในรากนั้นเป็นลบ เนื่องจากผลรวมจะต้องเท่ากัน ดังนั้นรากซึ่งมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าจึงต้องเป็นค่าลบ: . เราตรวจสอบ:

ตอบ:

ตัวอย่าง #4:

แก้สมการ

การตัดสินใจ:

สมการลดลงซึ่งหมายความว่า:

พจน์อิสระเป็นค่าลบ ดังนั้น ผลคูณของรากจึงเป็นค่าลบ และเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อรากของสมการหนึ่งเป็นลบและอีกรากหนึ่งเป็นบวก

เราเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลิตภัณฑ์เท่ากัน จากนั้นพิจารณาว่ารากใดควรมีเครื่องหมายลบ:

แน่นอน รากเท่านั้น และเหมาะสำหรับเงื่อนไขแรก:

ตอบ:

ตัวอย่าง #5:

แก้สมการ

การตัดสินใจ:

สมการลดลงซึ่งหมายความว่า:

ผลรวมของรากเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าอย่างน้อยหนึ่งรากเป็นลบ แต่เนื่องจากผลคูณเป็นบวก จึงหมายความว่ารากทั้งสองเป็นลบ

เราเลือกคู่ของตัวเลขดังกล่าว ซึ่งผลคูณจะเท่ากับ:

แน่นอนรากคือตัวเลขและ

ตอบ:

เห็นด้วยมันสะดวกมาก - ในการคิดค้นรากด้วยปากเปล่าแทนที่จะนับการเลือกปฏิบัติที่น่ารังเกียจนี้ พยายามใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ให้บ่อยที่สุด

แต่จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบท Vieta เพื่ออำนวยความสะดวกและรวดเร็วในการค้นหาราก เพื่อให้คุณใช้งานได้อย่างมีกำไร คุณต้องนำการดำเนินการไปสู่ระบบอัตโนมัติ และสำหรับสิ่งนี้ ให้แก้ตัวอย่างอีกห้าตัวอย่าง แต่อย่าโกง: คุณไม่สามารถใช้การเลือกปฏิบัติได้! ทฤษฎีบทของ Vieta เท่านั้น:

วิธีแก้ปัญหาสำหรับงานอิสระ:

งาน 1. ((x)^(2))-8x+12=0

ตามทฤษฎีบทของ Vieta:

ตามปกติ เราจะเริ่มการเลือกด้วยผลิตภัณฑ์:

ไม่เหมาะสมเนื่องจากจำนวน;

: จำนวนคือสิ่งที่คุณต้องการ

ตอบ: ; .

ภารกิจที่ 2

และอีกครั้ง ทฤษฎีบทเวียตาที่เราชื่นชอบ: ผลรวมควรออกมาดี แต่ผลคูณเท่ากัน

แต่เนื่องจากไม่ควร แต่เราเปลี่ยนสัญญาณของราก: และ (ทั้งหมด)

ตอบ: ; .

ภารกิจที่ 3

อืม... มันอยู่ที่ไหน?

จำเป็นต้องโอนเงื่อนไขทั้งหมดเป็นส่วนเดียว:

ผลรวมของรากจะเท่ากับผลคูณ

ใช่ หยุด! สมการไม่ได้รับ แต่ทฤษฎีบทของ Vieta ใช้ได้เฉพาะในสมการที่กำหนดเท่านั้น ก่อนอื่นคุณต้องนำสมการ หากคุณไม่สามารถพูดขึ้นมาได้ ให้วางความคิดนี้และแก้ปัญหาด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ) ฉันขอเตือนคุณว่าการนำสมการกำลังสองหมายถึงการทำให้สัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ:

ยอดเยี่ยม. จากนั้นผลรวมของรากจะเท่ากันและผลคูณ

ง่ายกว่าที่จะรับที่นี่: หลังจากทั้งหมด - จำนวนเฉพาะ (ขออภัยสำหรับการย้ำซ้ำ ๆ )

ตอบ: ; .

ภารกิจที่ 4

ระยะว่างเป็นลบ มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับมัน? และความจริงที่ว่ารากจะมีสัญญาณต่างกัน และตอนนี้ในระหว่างการเลือกเราไม่ได้ตรวจสอบผลรวมของราก แต่ความแตกต่างระหว่างโมดูลของพวกเขา: ความแตกต่างนี้เท่ากัน แต่เป็นผลคูณ

ดังนั้น รากจึงเท่ากัน และ แต่หนึ่งในนั้นมีค่าลบด้วย ทฤษฎีบทของ Vieta บอกเราว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือ ซึ่งหมายความว่ารากที่เล็กกว่าจะมีเครื่องหมายลบ: และตั้งแต่

ตอบ: ; .

ภารกิจที่ 5

ต้องทำอะไรก่อน ถูกต้อง ให้สมการ:

อีกครั้ง: เราเลือกปัจจัยของตัวเลขและความแตกต่างควรเท่ากับ:

รากมีค่าเท่ากัน และ แต่หนึ่งในนั้นเป็นลบ อย่างไหน? ผลรวมของพวกเขาจะต้องเท่ากันซึ่งหมายความว่าด้วยเครื่องหมายลบจะมีรากที่ใหญ่กว่า

ตอบ: ; .

ให้ฉันสรุป:

1. ทฤษฎีบทของ Vieta ใช้ในสมการกำลังสองที่กำหนดเท่านั้น
2. เมื่อใช้ทฤษฎีบท Vieta คุณสามารถค้นหารากโดยการเลือกโดยใช้ปากเปล่า
3. หากไม่ได้กำหนดสมการหรือไม่พบตัวประกอบที่เหมาะสมของพจน์อิสระ แสดงว่าไม่มีรากของจำนวนเต็ม และคุณต้องแก้ด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการจำแนก)

3. วิธีการเลือกตารางเต็ม

หากเงื่อนไขทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักแสดงเป็นเงื่อนไขจากสูตรการคูณแบบย่อ - กำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง - จากนั้นหลังจากการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร สมการสามารถแสดงเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภท

ตัวอย่างเช่น:

ตัวอย่างที่ 1:

แก้สมการ: .

การตัดสินใจ:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:

แก้สมการ: .

การตัดสินใจ:

ตอบ:

โดยทั่วไปการแปลงจะมีลักษณะดังนี้:

นี่หมายความว่า: .

มันไม่เตือนอะไรคุณเลยเหรอ? เป็นการเลือกปฏิบัติ! นั่นคือวิธีที่ได้สูตรจำแนกมา

สมการกำลังสอง สั้น ๆ เกี่ยวกับหลัก

สมการกำลังสองเป็นสมการของรูปแบบ ที่ไหนไม่ทราบ มีค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง เป็นระยะอิสระ

กรอกสมการกำลังสอง- สมการที่ค่าสัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์

ลดสมการกำลังสอง- สมการที่สัมประสิทธิ์ นั่นคือ: .

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์- สมการที่ค่าสัมประสิทธิ์และหรือเทอมอิสระ c เท่ากับศูนย์:

• ถ้าค่าสัมประสิทธิ์สมการจะมีรูปแบบ: ,
• ถ้าเทอมว่าง สมการจะมีรูปแบบ: ,
• ถ้า และ สมการมีรูปแบบ: .

1. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

1.1. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของแบบฟอร์ม โดยที่ :

1) แสดงสิ่งที่ไม่รู้จัก: ,

2) ตรวจสอบสัญลักษณ์ของนิพจน์:

• ถ้าสมการไม่มีคำตอบ
• ถ้าสมการมีสองราก

1.2. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของแบบฟอร์ม โดยที่ :

1) ลองแยกตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ: ,

2) ผลคูณจะเท่ากับศูนย์หากปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการจึงมีสองราก:

1.3. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของแบบฟอร์ม โดยที่:

สมการนี้มีรากเพียงตัวเดียวเสมอ:

2. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ของแบบฟอร์ม

2.1. การแก้ปัญหาโดยใช้การจำแนก

1) นำสมการมาอยู่ในรูปมาตรฐาน: ,

2) คำนวณการแยกแยะโดยใช้สูตร: ซึ่งระบุจำนวนรากของสมการ:

3) ค้นหารากของสมการ:

• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นไม่มีราก

2.2. การแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta

ผลบวกของรากของสมการกำลังสองที่ลดลง (สมการของรูปแบบ โดยที่) เท่ากัน และผลคูณของรากเท่ากัน นั่นคือ , ก.

2.3. โซลูชันกำลังสองเต็ม

หากสมการกำลังสองของแบบฟอร์มมีราก ก็สามารถเขียนได้ในรูปแบบ: .

หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางอย่างได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณก็อยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้เข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำว่า...มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือมันอาจไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

สำหรับการสอบผ่านเพื่อเข้าศึกษาต่อในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดสำหรับชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวใจคุณ แต่ฉันจะพูดอย่างหนึ่ง ...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะมีโอกาสมากมายที่เปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเอง...

อะไรที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่น ๆ ในการสอบและจะ ... มีความสุขมากขึ้นในท้ายที่สุด?

จับมือคุณแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบ คุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และหากคุณยังแก้ไขไม่ได้ (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่ก็แก้ไขไม่ทัน

ก็เหมือนกับการเล่นกีฬา คุณต้องเล่นซ้ำหลายๆ ครั้งจึงจะชนะได้อย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นพร้อมโซลูชันการวิเคราะห์โดยละเอียดและตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำอย่างแน่นอน

เพื่อที่จะได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุของหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ - 299 ถู
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทช่วยสอนทั้ง 99 บทความ - 499 ถู

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียน และสามารถเปิดงานทั้งหมดและข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

สรุปแล้ว...

ถ้าคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” และ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!