การใช้สมการแพร่หลายในชีวิตของเรา ใช้ในการคำนวณ การสร้างโครงสร้าง และแม้กระทั่งการกีฬา มนุษย์ใช้สมการในสมัยโบราณ และตั้งแต่นั้นมาการใช้สมการก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น เพื่อความชัดเจน เรามาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้กัน:

คำนวณ \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ถ้า \

ก่อนอื่น เรามาใส่ใจกับความจริงที่ว่าตัวเลขหนึ่งถูกนำเสนอในรูปแบบพีชคณิต และอีกจำนวนหนึ่งอยู่ในรูปตรีโกณมิติ จะต้องทำให้ง่ายขึ้นและนำมาสู่แบบฟอร์มต่อไปนี้

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

นิพจน์ \ บอกว่าก่อนอื่น เราต้องคูณและเพิ่มกำลัง 10 โดยใช้สูตร Moivre สูตรนี้จัดทำขึ้นสำหรับรูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

เราได้รับ:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

ตามกฎสำหรับการคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ เราทำดังต่อไปนี้:

ในกรณีของเรา:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ ปี่)(3).\]

เมื่อทำให้เศษส่วน \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] ถูกต้อง เราก็ได้ข้อสรุปว่าเราสามารถ "บิด" ได้ 4 รอบ \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

คำตอบ: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]สมการนี้ แก้ได้อีกทางหนึ่งคือเอาเลขตัวที่ 2 มาในรูปพีชคณิตแล้วคูณเข้ารูปแบบพีชคณิต

แปลงผลลัพธ์เป็นรูปแบบตรีโกณมิติแล้วใช้สูตรของ Moivre:

คุณสามารถแก้ระบบสมการได้ที่เว็บไซต์ของเรา https://site. โปรแกรมแก้โจทย์ออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณสามารถแก้สมการออนไลน์ที่ซับซ้อนได้ภายในเวลาไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงป้อนข้อมูลของคุณลงในตัวแก้ปัญหา คุณยังสามารถชมวิดีโอคำแนะนำและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณยังมีคำถาม คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม VKontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีช่วยเหลือคุณเสมอ

หน่วยงานรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา

สถาบันการศึกษาของรัฐ

การศึกษาวิชาชีพชั้นสูง

"มหาวิทยาลัยการสอนของรัฐ VORONEZH"

ภาควิชา AGLEBRA และเรขาคณิต

จำนวนเชิงซ้อน

(งานที่เลือก)

งานวุฒิการศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา

พิเศษ 050201.65 คณิตศาสตร์

(มีความพิเศษเพิ่มเติม 050202.65 วิทยาการคอมพิวเตอร์)

เสร็จสิ้นโดย: นักศึกษาชั้นปีที่ 5

กายภาพและคณิตศาสตร์

คณะ

หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์:

โวโรเนซ – 2008

1. บทนำ……………………………………………...…………..…

2. จำนวนเชิงซ้อน (ปัญหาที่เลือก)

2.1. จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต….……...……….….

2.2. การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน…………..…

2.3. รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

2.4. การประยุกต์ทฤษฎีจำนวนเชิงซ้อนกับการแก้สมการระดับที่ 3 และ 4 ……..……………………………………………………………

2.5. จำนวนเชิงซ้อนและพารามิเตอร์…………………………………...….

3. บทสรุป……………………………………………………………………

4. รายการอ้างอิง………………….………………......

1. บทนำ

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน มีการใช้ทฤษฎีจำนวนโดยใช้ตัวอย่างเซตของจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม ตรรกยะ ตรรกยะ เช่น บนเซตของจำนวนจริงซึ่งมีรูปภาพเต็มเส้นจำนวนทั้งหมด แต่แล้วในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 จำนวนจริงมีจำนวนไม่เพียงพอเมื่อแก้สมการกำลังสองด้วยการแบ่งแยกเชิงลบ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเติมเต็มสต็อกของจำนวนจริงด้วยความช่วยเหลือของจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง รากที่สองจากจำนวนลบก็สมเหตุสมผลแล้ว

การเลือกหัวข้อ "จำนวนเชิงซ้อน" เป็นหัวข้อของงานวุฒิการศึกษาสุดท้ายของฉันคือแนวคิดเรื่องจำนวนเชิงซ้อนจะขยายความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับระบบตัวเลขเกี่ยวกับการแก้ปัญหาในวงกว้างทั้งเนื้อหาเกี่ยวกับพีชคณิตและเรขาคณิตเกี่ยวกับการแก้ สมการพีชคณิตระดับใดก็ได้และเกี่ยวกับการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์

วิทยานิพนธ์นี้จะศึกษาวิธีแก้ปัญหา 82 ข้อ

ส่วนแรกของส่วนหลัก "จำนวนเชิงซ้อน" ประกอบด้วยวิธีแก้ไขปัญหา จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต การดำเนินการบวก ลบ คูณ หาร การดำเนินการผันสำหรับจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต กำลังของหน่วยจินตภาพ โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดไว้ และกฎในการแยกรากที่สองของ มีการระบุจำนวนเชิงซ้อนด้วย

ในส่วนที่สอง ปัญหาในการตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อนในรูปของจุดหรือเวกเตอร์ของระนาบเชิงซ้อนได้รับการแก้ไขแล้ว

ส่วนที่สามจะตรวจสอบการดำเนินการเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ สูตรที่ใช้คือ Moivre และการแยกรากของจำนวนเชิงซ้อน

ส่วนที่สี่อุทิศให้กับการแก้สมการขององศาที่ 3 และ 4

เมื่อแก้ไขปัญหาในส่วนสุดท้าย “จำนวนเชิงซ้อนและพารามิเตอร์” ข้อมูลที่ให้ไว้ในส่วนก่อนหน้าจะถูกใช้และรวมเข้าด้วยกัน ชุดปัญหาในบทนี้เน้นไปที่การกำหนดตระกูลของเส้นตรงในระนาบเชิงซ้อนที่กำหนดโดยสมการ (อสมการ) ด้วยพารามิเตอร์ ในส่วนหนึ่งของแบบฝึกหัด คุณต้องแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ (เหนือฟิลด์ C) มีงานที่ตัวแปรที่ซับซ้อนตรงตามเงื่อนไขหลายประการพร้อมกัน คุณสมบัติพิเศษของการแก้ปัญหาในส่วนนี้คือการลดปัญหาหลายอย่างในการแก้สมการ (อสมการ, ระบบ) ของระดับที่สอง, ไม่ลงตัว, ตรีโกณมิติพร้อมพารามิเตอร์

คุณลักษณะของการนำเสนอเนื้อหาในแต่ละส่วนคือการแนะนำเบื้องต้นของรากฐานทางทฤษฎีและต่อมาการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติในการแก้ปัญหา

ในตอนท้าย วิทยานิพนธ์มีการนำเสนอรายการวรรณกรรมที่ใช้แล้ว ส่วนใหญ่นำเสนอเนื้อหาทางทฤษฎีในรายละเอียดเพียงพอและในลักษณะที่เข้าถึงได้ พิจารณาวิธีแก้ไขปัญหาบางอย่างและให้ งานภาคปฏิบัติเพื่อการตัดสินใจที่เป็นอิสระ ความสนใจเป็นพิเศษฉันต้องการอ้างอิงถึงแหล่งข้อมูลเช่น:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. จำนวนเชิงซ้อนและการประยุกต์: หนังสือเรียน - วัสดุ อุปกรณ์ช่วยสอนนำเสนอในรูปแบบการบรรยายและแบบฝึกหัดภาคปฏิบัติ

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. ปัญหาและทฤษฎีบทเฉพาะของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา เลขคณิตและพีชคณิต หนังสือเล่มนี้ประกอบด้วยโจทย์ 320 ข้อที่เกี่ยวข้องกับพีชคณิต เลขคณิต และทฤษฎีจำนวน งานเหล่านี้แตกต่างอย่างมากจากงานมาตรฐานของโรงเรียน

2. จำนวนเชิงซ้อน (ปัญหาที่เลือก)

2.1. จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต

การแก้ปัญหาต่างๆ ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์นั้นอยู่ที่การแก้สมการพีชคณิต เช่น สมการของแบบฟอร์ม

,

โดยที่ a0, a1, …, an เป็นจำนวนจริง ดังนั้นการศึกษาสมการพีชคณิตจึงเป็นการศึกษาเรื่องหนึ่ง ประเด็นสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสองที่มีการแบ่งแยกเป็นลบไม่มีรากที่แท้จริง สมการที่ง่ายที่สุดคือสมการ

.

เพื่อให้สมการนี้มีคำตอบได้ จำเป็นต้องขยายเซตของจำนวนจริงโดยบวกรากของสมการลงไป

.

ให้เราแสดงถึงรากนี้ด้วย

- ดังนั้นตามคำนิยามหรือ

เพราะฉะนั้น,

- เรียกว่าหน่วยจินตภาพ ด้วยความช่วยเหลือและความช่วยเหลือของจำนวนจริงคู่หนึ่ง จึงมีการรวบรวมการแสดงออกของแบบฟอร์ม

ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนเนื่องจากมีทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

จำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นนิพจน์ของแบบฟอร์ม

และเป็นจำนวนจริงและเป็นสัญลักษณ์บางอย่างที่ตรงตามเงื่อนไข จำนวนนี้เรียกว่าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน และจำนวนนั้นเป็นส่วนจินตภาพ สัญลักษณ์ ใช้เพื่อแสดงถึงพวกเขา

จำนวนเชิงซ้อนของแบบฟอร์ม

เป็นจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงมีเซตของจำนวนจริง

จำนวนเชิงซ้อนของแบบฟอร์ม

เรียกว่าจินตภาพล้วนๆ จำนวนเชิงซ้อนสองตัวที่อยู่ในรูปแบบ และกล่าวได้ว่าเท่ากันหากส่วนจริงและจินตภาพของพวกมันเท่ากัน นั่นคือ ถ้าความเท่าเทียมกัน , .

สัญกรณ์พีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนช่วยให้ดำเนินการได้ตามกฎปกติของพีชคณิต

นิพจน์ สมการ และระบบสมการ
ด้วยจำนวนเชิงซ้อน

วันนี้ในชั้นเรียน เราจะฝึกการดำเนินการทั่วไปกับจำนวนเชิงซ้อน และยังเชี่ยวชาญเทคนิคการแก้นิพจน์ สมการ และระบบสมการที่มีตัวเลขเหล่านี้ด้วย เวิร์กชอปนี้เป็นบทเรียนต่อเนื่อง ดังนั้น หากคุณไม่เชี่ยวชาญหัวข้อนี้มากนัก โปรดไปที่ลิงก์ด้านบน สำหรับผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากขึ้นฉันขอแนะนำให้คุณอุ่นเครื่องทันที:

ตัวอย่างที่ 1

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ , ถ้า . นำเสนอผลลัพธ์ในรูปแบบตรีโกณมิติแล้วพล็อตบนระนาบเชิงซ้อน

สารละลาย: ดังนั้น คุณต้องแทนที่เศษส่วนที่ "แย่มาก" ดำเนินการลดความซับซ้อน และแปลงผลลัพธ์ จำนวนเชิงซ้อน วี แบบฟอร์มตรีโกณมิติ - แถมรูปวาดด้วย

วิธีที่ดีที่สุดในการตัดสินใจอย่างเป็นทางการคืออะไร? การจัดการกับนิพจน์พีชคณิตที่ "ซับซ้อน" ทีละขั้นตอนจะทำกำไรได้มากกว่า ประการแรกความสนใจจะฟุ้งซ่านน้อยลงและประการที่สองหากงานไม่ได้รับการยอมรับการค้นหาข้อผิดพลาดจะง่ายกว่ามาก

1) ก่อนอื่น มาลดรูปตัวเศษกันก่อน แทนค่าลงไป เปิดวงเล็บแล้วจัดทรงผม:

...ใช่แล้ว Quasimodo ดังกล่าวมาจากจำนวนเชิงซ้อน...

ฉันขอเตือนคุณว่าในระหว่างการแปลงมีการใช้สิ่งที่เรียบง่ายโดยสิ้นเชิง - กฎของการคูณพหุนามและความเท่าเทียมกันที่กลายเป็นเรื่องซ้ำซากไปแล้ว สิ่งสำคัญคือต้องระวังและไม่สับสนกับป้ายบอกทาง

2) ตอนนี้ตัวส่วนมา. ถ้า แล้ว:

สังเกตว่ามีการใช้การตีความที่ผิดปกติอะไรบ้าง สูตรผลรวมกำลังสอง - หรือคุณสามารถดำเนินการจัดเรียงใหม่ได้ที่นี่ สูตรย่อย ผลลัพธ์จะเหมือนเดิมตามธรรมชาติ

3) และสุดท้ายคือการแสดงออกทั้งหมด ถ้า แล้ว:

หากต้องการกำจัดเศษส่วน ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วยนิพจน์สังยุคของตัวส่วน ในเวลาเดียวกันเพื่อวัตถุประสงค์ในการสมัคร สูตรผลต่างกำลังสอง ต้องก่อน (และจำเป็นอยู่แล้ว!)วางส่วนจำนวนจริงที่เป็นลบไว้อันดับที่ 2:

และตอนนี้กฎสำคัญ:

เราไม่เร่งรีบ- จะดีกว่าถ้าเล่นอย่างปลอดภัยและก้าวไปอีกขั้น
ในนิพจน์ สมการ และระบบที่มีจำนวนเชิงซ้อน การคำนวณด้วยวาจาโดยเกรงใจ เต็มไปด้วยมากขึ้นกว่าเดิม!

มีการลดลงอย่างดีในขั้นตอนสุดท้ายและนั่นเป็นเพียงสัญญาณที่ดี

บันทึก : พูดอย่างเคร่งครัด ในที่นี้เกิดการหารจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน 50 (จำไว้ว่า) จนถึงตอนนี้ฉันนิ่งเงียบเกี่ยวกับความแตกต่างนี้และเราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง

เรามาแสดงความสำเร็จของเราด้วยจดหมายกันเถอะ

ให้เรานำเสนอผลลัพธ์ที่ได้ในรูปแบบตรีโกณมิติ โดยทั่วไปแล้ว คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องวาดรูป แต่เนื่องจากจำเป็น จึงมีเหตุผลมากกว่าที่จะทำตอนนี้:

ลองคำนวณโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน:

หากวาดบนสเกล 1 หน่วย = 1 ซม. (2 เซลล์สมุดบันทึก) จากนั้นสามารถตรวจสอบค่าที่ได้รับได้อย่างง่ายดายโดยใช้ไม้บรรทัดธรรมดา

มาหาข้อโต้แย้งกันเถอะ เนื่องจากหมายเลขนี้อยู่ในไตรมาสพิกัดที่ 2 ดังนั้น:

สามารถตรวจสอบมุมได้อย่างง่ายดายด้วยไม้โปรแทรกเตอร์ นี่คือข้อได้เปรียบที่ไม่ต้องสงสัยของการวาดภาพ

ดังนั้น: – จำนวนที่ต้องการในรูปแบบตรีโกณมิติ

มาตรวจสอบกัน:
ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการตรวจสอบ

สะดวกในการค้นหาค่าที่ไม่คุ้นเคยของไซน์และโคไซน์โดยใช้ ตารางตรีโกณมิติ .

คำตอบ:

ตัวอย่างที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 2

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ , ที่ไหน . วาดตัวเลขผลลัพธ์บนระนาบเชิงซ้อนแล้วเขียนในรูปแบบเลขชี้กำลัง

พยายามอย่าข้ามตัวอย่างบทช่วยสอน อาจดูเรียบง่าย แต่หากไม่ได้รับการฝึกอบรม การ “ลงไปในแอ่งน้ำ” ไม่ใช่เรื่องง่าย แต่ง่ายมาก ดังนั้นเราจึง "ลงมือทำ"

บ่อยครั้งที่ปัญหามีวิธีแก้ไขมากกว่าหนึ่งวิธี:

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณถ้า

สารละลาย: ก่อนอื่น มาดูสภาพดั้งเดิมกันก่อน - ตัวเลขหนึ่งแสดงเป็นพีชคณิตและอีกจำนวนหนึ่งอยู่ในรูปตรีโกณมิติและแม้แต่องศาด้วย มาเขียนใหม่ในรูปแบบที่คุ้นเคยกว่านี้ทันที: .

การคำนวณควรทำในรูปแบบใด? เห็นได้ชัดว่าสำนวนนี้เกี่ยวข้องกับการคูณครั้งแรกแล้วยกกำลัง 10 ต่อไป สูตรมูฟวร์ ซึ่งกำหนดไว้สำหรับรูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน การแปลงตัวเลขแรกจึงดูสมเหตุสมผลกว่า มาหาโมดูลและอาร์กิวเมนต์กัน:

เราใช้กฎสำหรับการคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ:
ถ้าอย่างนั้น

เมื่อเศษส่วนถูกต้อง เราก็สรุปได้ว่า "บิด" ได้ 4 รอบ (ยินดี):

วิธีแก้ปัญหาที่สองคือการแปลงเลขตัวที่ 2 ให้อยู่ในรูปพีชคณิต ทำการคูณในรูปแบบพีชคณิต แปลงผลลัพธ์เป็นรูปแบบตรีโกณมิติ และใช้สูตรของ Moivre

อย่างที่คุณเห็น มีการกระทำ "พิเศษ" อย่างหนึ่ง ผู้ที่ต้องการสามารถปฏิบัติตามการตัดสินใจและให้แน่ใจว่าผลลัพธ์จะเหมือนกัน

เงื่อนไขไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับรูปแบบของจำนวนเชิงซ้อนสุดท้าย ดังนั้น:

คำตอบ:

แต่ “เพื่อความสวยงาม” หรือตามความต้องการ ผลลัพธ์นั้นง่ายต่อการจินตนาการในรูปแบบพีชคณิต:

ด้วยตนเอง:

ตัวอย่างที่ 4

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ที่นี่เราต้องจำ การกระทำที่มีองศา แม้ว่าจะไม่มีกฎที่เป็นประโยชน์สักข้อในคู่มือ แต่ก็มีกฎดังนี้:

และหมายเหตุที่สำคัญอีกประการหนึ่ง: ตัวอย่างสามารถแก้ไขได้ในสองสไตล์ ตัวเลือกแรกคือการทำงานด้วย สองตัวเลขและการโอเคกับเศษส่วน ตัวเลือกที่สองคือการแสดงแต่ละตัวเลขเป็น ผลหารของตัวเลขสองตัว: และ กำจัดโครงสร้างสี่ชั้นออกไป - จากมุมมองที่เป็นทางการ ไม่สำคัญว่าคุณจะตัดสินใจอย่างไร แต่มีความแตกต่างที่สำคัญ! โปรดคิดให้รอบคอบเกี่ยวกับ:
เป็นจำนวนเชิงซ้อน
คือผลหารของจำนวนเชิงซ้อนสองตัว ( และ ) แต่ขึ้นอยู่กับบริบท คุณยังสามารถพูดได้ว่า: ตัวเลขที่แสดงเป็นผลหารของจำนวนเชิงซ้อนสองตัว

คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

นิพจน์นั้นดี แต่สมการจะดีกว่า:

สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน

แตกต่างอย่างไรกับ สมการ "สามัญ"- อัตราต่อรอง =)

จากความคิดเห็นข้างต้น เรามาเริ่มด้วยตัวอย่างนี้:

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการ

และคำนำทันทีว่า "ร้อนแรง": เริ่มแรก ด้านขวาสมการอยู่ในตำแหน่งเป็นผลหารของจำนวนเชิงซ้อนสองตัว ( และ 13) ดังนั้น การเขียนเงื่อนไขใหม่ด้วยตัวเลขจึงเป็นรูปแบบที่ไม่ดี (ถึงแม้สิ่งนี้จะไม่ทำให้เกิดข้อผิดพลาดก็ตาม)- อย่างไรก็ตามความแตกต่างนี้จะมองเห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้นในเศษส่วน - หากพูดกันโดยทั่วไปแล้วค่านี้จะถูกเข้าใจเป็นหลักว่า รากที่ซับซ้อน "เต็ม" ของสมการและไม่ใช่ตัวหารของตัวเลข และโดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่ใช่ส่วนหนึ่งของตัวเลข!

สารละลายโดยหลักการแล้วสามารถทำได้ทีละขั้นตอน แต่ในกรณีนี้ เกมไม่คุ้มกับเทียน งานเริ่มแรกคือการทำให้ทุกอย่างที่ไม่มี "z" ที่ไม่รู้จักง่ายขึ้น ส่งผลให้สมการลดลงเหลือเพียงรูปแบบ:

เราลดความซับซ้อนของเศษส่วนตรงกลางอย่างมั่นใจ:

เราโอนผลลัพธ์ไปทางด้านขวาและค้นหาความแตกต่าง:

บันทึก : และอีกครั้งฉันดึงความสนใจของคุณไปยังจุดที่มีความหมาย - ที่นี่เราไม่ได้ลบตัวเลขออกจากตัวเลข แต่นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม! ควรสังเกตว่าในความคืบหน้าของการแก้ปัญหานั้นไม่ได้รับอนุญาตให้ทำงานกับตัวเลข: อย่างไรก็ตาม ในตัวอย่างที่พิจารณาว่าสไตล์นี้เป็นอันตรายมากกว่ามีประโยชน์ =)

ตามกฎของสัดส่วน เราแสดง "zet":

ตอนนี้คุณสามารถหารและคูณด้วยคอนจูเกตได้อีกครั้ง แต่ตัวเลขที่คล้ายกันอย่างน่าสงสัยในตัวเศษและตัวส่วนบ่งบอกถึงการเคลื่อนไหวครั้งต่อไป:

คำตอบ:

ในการตรวจสอบ ให้แทนที่ค่าผลลัพธ์ทางด้านซ้ายของสมการดั้งเดิมและดำเนินการลดความซับซ้อน:

– ได้ด้านขวาของสมการดั้งเดิม จึงหารากได้ถูกต้อง

...เอาล่ะ ตอนนี้... ฉันจะหาสิ่งที่น่าสนใจกว่านี้มาให้คุณ... เอาล่ะ:

ตัวอย่างที่ 6

แก้สมการ

สมการนี้ลดเหลือรูปแบบ ซึ่งหมายความว่าเป็นเส้นตรง ฉันคิดว่าคำใบ้นั้นชัดเจน - ลงมือเลย!

แน่นอน... คุณจะอยู่ได้อย่างไรถ้าไม่มีเขา:

สมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน

ในชั้นเรียน จำนวนเชิงซ้อนสำหรับหุ่นจำลอง เราได้เรียนรู้ว่าสมการกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์จริงสามารถมีรากที่ซับซ้อนรวมกันได้ หลังจากนั้นจึงเกิดคำถามเชิงตรรกะ: เหตุใดในความเป็นจริงแล้ว สัมประสิทธิ์จึงไม่สามารถซับซ้อนได้ ผมขอกำหนด กรณีทั่วไป:

สมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนตามอำเภอใจ (1 หรือ 2 แห่งซึ่งหรือทั้งสามอย่างอาจมีผลบังคับใช้โดยเฉพาะ)มี สองและสองเท่านั้นรากที่ซับซ้อน (อาจเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่างที่ถูกต้อง)- ในขณะเดียวกันก็มีราก (ทั้งส่วนจินตภาพจริงและส่วนจินตภาพไม่เป็นศูนย์)อาจตรงกัน (เป็นทวีคูณ)

สมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนแก้ได้โดยใช้โครงร่างเดียวกันกับ สมการ "โรงเรียน" โดยมีเทคนิคการคำนวณที่แตกต่างกันบางประการ:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหารากของสมการกำลังสอง

สารละลาย: หน่วยจินตภาพมาก่อน และโดยหลักการแล้ว คุณสามารถกำจัดมันออกไปได้ (คูณทั้งสองข้างด้วย)อย่างไรก็ตาม ไม่มีความจำเป็นเป็นพิเศษสำหรับสิ่งนี้

เพื่อความสะดวกเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์:

อย่าเสีย "ลบ" ของสมาชิกฟรี! ...ทุกคนอาจไม่ชัดเจน - ฉันจะเขียนสมการใหม่ในรูปแบบมาตรฐาน :

มาคำนวณการแบ่งแยก:

และนี่คืออุปสรรคสำคัญ:

แอปพลิเคชัน สูตรทั่วไปการสกัดราก (ดูย่อหน้าสุดท้ายของบทความ จำนวนเชิงซ้อนสำหรับหุ่นจำลอง ) ซับซ้อนโดยความยากลำบากร้ายแรงที่เกี่ยวข้องกับอาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนราก (ดูด้วยตัวคุณเอง)- แต่มีอีกวิธีหนึ่งคือ "พีชคณิต"! เราจะค้นหารากในรูปแบบ:

ลองยกกำลังสองทั้งสองข้าง:

จำนวนเชิงซ้อนสองตัวจะเท่ากันถ้าส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากัน ดังนั้นเราจึงได้ระบบดังต่อไปนี้:

ระบบแก้ไขได้ง่ายขึ้นโดยการเลือก (วิธีที่ละเอียดยิ่งขึ้นคือการแสดงจากสมการที่ 2 - แทนที่สมการที่ 1 รับและแก้สมการกำลังสอง)- สมมติว่าผู้เขียนปัญหาไม่ใช่สัตว์ประหลาด เราจึงเสนอสมมติฐานว่า และ เป็นจำนวนเต็ม จากสมการที่ 1 ตามหลังว่า “x” โมดูโล่ มากกว่า "ย" นอกจากนี้ ผลิตภัณฑ์เชิงบวกยังบอกเราว่าสิ่งแปลกปลอมนั้นมีสัญญาณเหมือนกัน จากที่กล่าวมาข้างต้น และมุ่งเน้นไปที่สมการที่ 2 เราจะเขียนคู่ทั้งหมดที่ตรงกัน:

เห็นได้ชัดว่าสมการที่ 1 ของระบบเป็นไปตามสองคู่สุดท้าย ดังนั้น:

การตรวจสอบระหว่างกลางจะไม่เจ็บ:

ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องตรวจสอบ

คุณสามารถเลือกเป็นรูตที่ "ใช้งานได้" ใดๆความหมาย. เป็นที่ชัดเจนว่าควรใช้เวอร์ชันที่ไม่มี "ข้อเสีย" จะดีกว่า:

เราพบรากโดยไม่ลืมว่า:

คำตอบ:

ตรวจสอบว่ารากที่พบเป็นไปตามสมการหรือไม่ :

1) เรามาทดแทนกัน:

ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

2) เรามาทดแทนกัน:

ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

จึงพบวิธีแก้ปัญหาได้ถูกต้อง

จากปัญหาที่เราเพิ่งพูดคุยกัน:

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหารากของสมการ

ควรสังเกตว่ารากที่สองของ ซับซ้อนอย่างหมดจดตัวเลขสามารถแยกออกได้ง่ายโดยใช้สูตรทั่วไป , ที่ไหน ดังนั้นทั้งสองวิธีจึงแสดงไว้ในตัวอย่าง ข้อสังเกตที่เป็นประโยชน์ประการที่สองเกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าการดึงรากเบื้องต้นของค่าคงที่ไม่ได้ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นเลย

ตอนนี้คุณสามารถผ่อนคลายได้แล้ว - ในตัวอย่างนี้ คุณจะหลีกหนีจากความกลัวเล็กน้อย :)

ตัวอย่างที่ 9

แก้สมการและตรวจสอบ

แนวทางแก้ไขและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ย่อหน้าสุดท้ายของบทความอุทิศให้กับ

ระบบสมการที่มีจำนวนเชิงซ้อน

มาผ่อนคลายและ... อย่าเครียด =) ลองพิจารณากรณีที่ง่ายที่สุด - ระบบสองระบบ สมการเชิงเส้นมีสิ่งไม่รู้อยู่ ๒ อย่าง คือ

ตัวอย่างที่ 10

แก้ระบบสมการ นำเสนอคำตอบในรูปแบบพีชคณิตและเลขชี้กำลัง พรรณนารากในภาพวาด

สารละลาย: เงื่อนไขบ่งบอกว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ นั่นคือ เราต้องค้นหาตัวเลขสองตัวที่ตรงใจ ถึงทุกคนสมการของระบบ

ระบบสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธี "แบบเด็กๆ" จริงๆ (แสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่ง ) แต่ใช้งานได้สะดวกกว่ามาก สูตรของแครมเมอร์ - มาคำนวณกัน ปัจจัยหลักระบบ:

ซึ่งหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าควรสละเวลาเขียนขั้นตอนโดยละเอียดให้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้:

เราคูณทั้งเศษและส่วนด้วยหน่วยจินตภาพและรับรากที่ 1:

เช่นเดียวกัน:

ได้รับด้านขวามือที่สอดคล้องกัน ฯลฯ

มาวาดรูปกันเถอะ:

ลองแทนรากในรูปแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องค้นหาโมดูลและอาร์กิวเมนต์:

1) – ค่าอาร์กแทนเจนต์ของ "สอง" ถูกคำนวณว่า "ไม่ดี" ดังนั้นเราจึงปล่อยให้มันเป็นดังนี้:

ในการแก้ปัญหาจำนวนเชิงซ้อน คุณต้องเข้าใจคำจำกัดความพื้นฐานก่อน เป้าหมายหลักของบทความทบทวนนี้คือเพื่ออธิบายว่าจำนวนเชิงซ้อนคืออะไรและนำเสนอวิธีการแก้ไขปัญหาพื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนจึงเรียกว่าจำนวนในรูปแบบ z = ก + ไบ, ที่ไหน ก, ข- จำนวนจริงซึ่งเรียกว่าส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนตามลำดับและแสดงถึง ก = เรื่อง(z), b=ฉัน(z).
ฉันเรียกว่าหน่วยจินตภาพ ฉัน 2 = -1- โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนจริงใดๆ ถือว่าซับซ้อนได้: ก = ก + 0iโดยที่ a มีจริง ถ้า ก = 0และ ข ≠ 0แล้วจำนวนนั้นมักจะเรียกว่าจินตภาพล้วนๆ

ตอนนี้ เรามาแนะนำการดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนกันดีกว่า
พิจารณาจำนวนเชิงซ้อนสองตัว z 1 = ก 1 + ข 1 ผมและ z 2 = ก 2 + ข 2 ผม.

ลองพิจารณาดู z = ก + ไบ.

เซตของจำนวนเชิงซ้อนจะขยายเซตของจำนวนจริง ซึ่งจะขยายเซตของจำนวนตรรกยะ เป็นต้น ห่วงโซ่การลงทุนนี้สามารถเห็นได้ในรูป: N – ตัวเลขธรรมชาติ, Z – จำนวนเต็ม, Q – ตรรกยะ, R – จำนวนจริง, C – เชิงซ้อน

การแสดงจำนวนเชิงซ้อน

สัญกรณ์พีชคณิต

พิจารณาจำนวนเชิงซ้อน z = ก + ไบการเขียนจำนวนเชิงซ้อนรูปแบบนี้เรียกว่า พีชคณิต- เราได้พูดถึงรูปแบบการบันทึกนี้โดยละเอียดแล้วในส่วนที่แล้ว การวาดภาพด้วยภาพต่อไปนี้ใช้ค่อนข้างบ่อย

แบบฟอร์มตรีโกณมิติ

จากรูปจะเห็นได้ว่าตัวเลขนั้น z = ก + ไบสามารถเขียนได้แตกต่างกัน เห็นได้ชัดว่า ก = rcos(φ), ข = rsin(φ), r=|z|, เพราะฉะนั้น z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) เรียกว่า อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน การแทนจำนวนเชิงซ้อนนี้เรียกว่า แบบฟอร์มตรีโกณมิติ- รูปแบบตรีโกณมิติของสัญกรณ์บางครั้งก็สะดวกมาก ตัวอย่างเช่น สะดวกที่จะใช้มันเพื่อเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นจำนวนเต็มยกกำลัง กล่าวคือ ถ้า z = rcos(φ) + rsin(φ)i, ที่ z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)iสูตรนี้มีชื่อว่า สูตรมูฟวร์.

แบบฟอร์มสาธิต

ลองพิจารณาดู z = rcos(φ) + rsin(φ)i- จำนวนเชิงซ้อนในรูปตรีโกณมิติเขียนเป็นอีกรูปหนึ่ง z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = ใหม่ iφความเสมอภาคสุดท้ายตามมาจากสูตรของออยเลอร์ ดังนั้นเราจึงได้ เครื่องแบบใหม่สัญกรณ์จำนวนเชิงซ้อน: z = เรย์φซึ่งเรียกว่า บ่งชี้- สัญลักษณ์รูปแบบนี้ยังสะดวกมากในการบวกจำนวนเชิงซ้อนเป็นกำลัง: z n = r n e ในφ, ที่นี่ nไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม แต่สามารถเป็นจำนวนจริงใดก็ได้ สัญกรณ์รูปแบบนี้มักใช้ในการแก้ปัญหา

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตชั้นสูง

สมมติว่าเรามีสมการกำลังสอง x 2 + x + 1 = 0 แน่นอนว่าการแบ่งแยกสมการนี้เป็นลบและไม่มีรากที่แท้จริง แต่ปรากฎว่าสมการนี้มีรากที่ซับซ้อนต่างกันสองราก ดังนั้น ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตที่สูงกว่าระบุว่าพหุนามใดๆ ของดีกรี n มีรากที่ซับซ้อนอย่างน้อยหนึ่งอัน จากนี้ไปพบว่าพหุนามใดๆ ของดีกรี n มีรากที่ซับซ้อน n พอดี โดยคำนึงถึงความหลากหลายด้วย ทฤษฎีบทนี้เป็นผลลัพธ์ที่สำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์และมีการใช้กันอย่างแพร่หลาย ข้อพิสูจน์ง่ายๆ ของทฤษฎีบทนี้ก็คือ มีรากของระดับ n ของความสามัคคีที่แตกต่างกันทุกประการ

ประเภทงานหลัก

ในส่วนนี้จะครอบคลุมถึงประเภทหลักๆ งานง่ายๆไปจนถึงจำนวนเชิงซ้อน ตามอัตภาพ ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนสามารถแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ ได้ดังต่อไปนี้

• การดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายกับจำนวนเชิงซ้อน
• การค้นหารากของพหุนามในจำนวนเชิงซ้อน
• การยกจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นกำลัง
• การแยกรากออกจากจำนวนเชิงซ้อน
• การใช้จำนวนเชิงซ้อนเพื่อแก้ปัญหาอื่นๆ

ตอนนี้เรามาดูวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาเหล่านี้

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดที่มีจำนวนเชิงซ้อนจะดำเนินการตามกฎที่อธิบายไว้ในส่วนแรก แต่ถ้าจำนวนเชิงซ้อนแสดงในรูปแบบตรีโกณมิติหรือเลขชี้กำลัง ในกรณีนี้ คุณสามารถแปลงเป็นรูปแบบพีชคณิตและดำเนินการตามกฎที่ทราบได้

การค้นหารากของพหุนามมักจะมาจากการค้นหารากของสมการกำลังสอง สมมติว่าเรามีสมการกำลังสอง หากการแบ่งแยกของสมการไม่เป็นลบ รากของมันจะเป็นจำนวนจริงและสามารถพบได้ตามสูตรที่รู้จักกันดี หากการเลือกปฏิบัติเป็นลบนั่นคือ D = -1∙a 2, ที่ไหน กเป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง จากนั้นสามารถแสดงค่าจำแนกได้เป็น ด = (เอีย) 2, เพราะฉะนั้น √D = ผม|ก|จากนั้นคุณสามารถใช้สูตรที่ทราบอยู่แล้วในการหารากของสมการกำลังสองได้

ตัวอย่าง- กลับไปที่สิ่งที่กล่าวมาข้างต้น สมการกำลังสอง x 2 + x + 1 = 0 .
จำแนก - ง = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
ตอนนี้เราสามารถค้นหารากได้อย่างง่ายดาย:

การยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้หลายวิธี หากคุณต้องการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิตให้เป็นยกกำลังน้อย (2 หรือ 3) คุณสามารถทำได้โดยการคูณโดยตรง แต่ถ้ายกกำลังมากกว่า (ในปัญหา มักจะใหญ่กว่านี้มาก) คุณจำเป็นต้อง เขียนตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติหรือเลขชี้กำลังและใช้วิธีการที่ทราบอยู่แล้ว

ตัวอย่าง- พิจารณา z = 1 + i แล้วยกกำลังสิบ
ลองเขียน z ในรูปแบบเลขชี้กำลัง: z = √2 e iπ/4
แล้ว z 10 = (√2 อี iπ/4) 10 = 32 อี 10iπ/4.
กลับไปสู่รูปแบบพีชคณิต: z 10 = -32i

การแยกรากออกจากจำนวนเชิงซ้อนเป็นการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง ดังนั้นจึงดำเนินการในลักษณะเดียวกัน หากต้องการแยกราก มักใช้รูปแบบการเขียนเลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง- มาหารากของเอกภาพระดับ 3 ทั้งหมดกัน ในการทำเช่นนี้ เราจะค้นหารากทั้งหมดของสมการ z 3 = 1 เราจะค้นหารากในรูปแบบเลขชี้กำลัง
ลองแทนลงในสมการ: r 3 e 3iφ = 1 หรือ r 3 e 3iφ = e 0
ดังนั้น: r = 1, 3φ = 0 + 2πk ดังนั้น φ = 2πk/3
จะได้รากที่แตกต่างกันที่ φ = 0, 2π/3, 4π/3
ดังนั้น 1, e i2π/3, e i4π/3 จึงเป็นราก
หรือในรูปแบบพีชคณิต:

ปัญหาประเภทสุดท้ายประกอบด้วยปัญหาที่หลากหลายมากและไม่มีวิธีการทั่วไปในการแก้ไขปัญหาเหล่านั้น ลองยกตัวอย่างง่ายๆ ของงานดังกล่าว:

หาจำนวนเงิน บาป(x) + บาป(2x) + บาป(2x) + … + บาป(nx).

แม้ว่าการกำหนดปัญหานี้จะไม่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน แต่ก็สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายด้วยความช่วยเหลือ เพื่อแก้ปัญหานี้ จะใช้การนำเสนอต่อไปนี้:


ถ้าเราแทนค่านี้ลงในผลรวม ปัญหาก็จะลดลงจนกลายเป็นผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตตามปกติ

บทสรุป

จำนวนเชิงซ้อนมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์ บทความทบทวนนี้ตรวจสอบการดำเนินการพื้นฐานของจำนวนเชิงซ้อน อธิบายปัญหามาตรฐานหลายประเภท และอธิบายวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาโดยย่อ เพื่อศึกษาความสามารถของจำนวนเชิงซ้อนโดยละเอียดยิ่งขึ้น ใช้วรรณกรรมเฉพาะทาง

วรรณกรรม