ค้นหาความแปรปรวนทั้งหมด ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใน MS EXCEL

27.09.2019 | อาหารและเครื่องดื่ม

การกระจายในสถิติพบเป็นค่าแต่ละค่าของคุณสมบัติในตารางของ ขึ้นอยู่กับข้อมูลเริ่มต้น ซึ่งจะถูกกำหนดโดยสูตรความแปรปรวนอย่างง่ายและถ่วงน้ำหนัก:

1. (สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม) คำนวณโดยสูตร:

2. ความแปรปรวนแบบถ่วงน้ำหนัก (สำหรับชุดรูปแบบต่างๆ):

โดยที่ n คือความถี่ (ปัจจัยความสามารถในการทำซ้ำ X)

ตัวอย่างการหาค่าความแปรปรวน

หน้านี้อธิบายตัวอย่างมาตรฐานของการค้นหาความแปรปรวน คุณยังสามารถดูงานอื่นๆ เพื่อค้นหาความแปรปรวนได้

ตัวอย่างที่ 1 เรามีข้อมูลต่อไปนี้สำหรับกลุ่มนักเรียนที่ติดต่อทางจดหมาย 20 คน จำเป็นต้องสร้าง ซีรีย์ช่วงเวลาการกระจายคุณลักษณะ คำนวณค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะ และศึกษาความแปรปรวน

มาสร้างการแบ่งกลุ่มตามช่วงเวลากัน กำหนดช่วงของช่วงเวลาตามสูตร:

โดยที่ X max คือค่าสูงสุดของคุณลักษณะการจัดกลุ่ม
X min คือค่าต่ำสุดของคุณสมบัติการจัดกลุ่ม
n คือจำนวนช่วงเวลา:

เรายอมรับ n=5 ขั้นตอนคือ: h \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6.6

มาทำการแบ่งกลุ่มเป็นช่วงๆ กันเถอะ

สำหรับการคำนวณเพิ่มเติม เราจะสร้างตารางเสริม:

X'i อยู่ตรงกลางของช่วงเวลา (เช่น ตรงกลางของช่วง 159 - 165.6 = 162.3)

การเติบโตเฉลี่ยของนักเรียนถูกกำหนดโดยสูตรค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเลขคณิต:

เราพิจารณาการกระจายตามสูตร:

สูตรความแปรปรวนสามารถแปลงได้ดังนี้:

จากสูตรนี้เป็นไปตามนั้น ความแปรปรวนคือ ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกำลังสองของตัวเลือกและกำลังสองและค่าเฉลี่ย

การกระจายตัวใน ชุดการเปลี่ยนแปลง กับ ในช่วงเวลาเท่ากันโดยวิธีการของโมเมนต์สามารถคำนวณได้ด้วยวิธีต่อไปนี้โดยใช้คุณสมบัติที่สองของการกระจาย (การหารตัวเลือกทั้งหมดด้วยค่าของช่วงเวลา) นิยามของความแปรปรวนคำนวณโดยวิธีของช่วงเวลาตามสูตรต่อไปนี้ใช้เวลาน้อยลง:

โดยที่ i คือค่าของช่วงเวลา
A - ศูนย์เงื่อนไขซึ่งสะดวกในการใช้ช่วงกลางของช่วงเวลาที่มีความถี่สูงสุด
m1 คือกำลังสองของโมเมนต์ลำดับที่หนึ่ง
m2 - ช่วงเวลาของลำดับที่สอง

(หากแอตทริบิวต์เปลี่ยนแปลงในประชากรทางสถิติในลักษณะที่มีตัวเลือกพิเศษร่วมกันเพียงสองตัวเลือก ความแปรปรวนดังกล่าวเรียกว่า ทางเลือก) สามารถคำนวณได้โดยสูตร:

แทนที่ด้วยสูตรการกระจายนี้ q = 1- p เราได้รับ:

ประเภทของการกระจาย

ความแปรปรวนทั้งหมดวัดความผันแปรของคุณลักษณะของประชากรทั้งหมดโดยรวมภายใต้อิทธิพลของปัจจัยทั้งหมดที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงนี้ มันเท่ากับค่าเฉลี่ยกำลังสองของความเบี่ยงเบนของแต่ละค่าของแอตทริบิวต์ x จากค่าเฉลี่ยทั้งหมด x และสามารถกำหนดเป็นความแปรปรวนอย่างง่ายหรือความแปรปรวนถ่วงน้ำหนัก

ระบุลักษณะการแปรผันแบบสุ่ม เช่น ส่วนหนึ่งของการแปรผันซึ่งเป็นผลมาจากอิทธิพลของปัจจัยที่ไม่ได้นับและไม่ได้ขึ้นอยู่กับปัจจัยเครื่องหมายที่อยู่ภายใต้การจัดกลุ่ม ความแปรปรวนนี้เท่ากับค่าเฉลี่ยกำลังสองของความเบี่ยงเบนของค่าแต่ละค่าของแอตทริบิวต์ภายในกลุ่ม X จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่ม และสามารถคำนวณเป็นความแปรปรวนอย่างง่ายหรือความแปรปรวนถ่วงน้ำหนัก

ทางนี้, การวัดความแปรปรวนภายในกลุ่มการเปลี่ยนแปลงของลักษณะภายในกลุ่มและถูกกำหนดโดยสูตร:

โดยที่ xi - ค่าเฉลี่ยของกลุ่ม
ni คือจำนวนหน่วยในกลุ่ม

ตัวอย่างเช่น, ความแปรปรวนภายในกลุ่มที่ต้องกำหนดในงานศึกษาอิทธิพลของคุณสมบัติของคนงานต่อระดับผลิตภาพแรงงานในร้านแสดงความแตกต่างของผลผลิตในแต่ละกลุ่มที่เกิดจากปัจจัยที่เป็นไปได้ทั้งหมด ( เงื่อนไขทางเทคนิคอุปกรณ์ ความพร้อมใช้งานของเครื่องมือและวัสดุ อายุของคนงาน ความเข้มข้นของแรงงาน ฯลฯ) ยกเว้นความแตกต่างในประเภทคุณสมบัติ (ภายในกลุ่ม คนงานทั้งหมดมีคุณสมบัติเหมือนกัน)

ค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนภายในกลุ่มสะท้อนถึงการสุ่ม นั่นคือ ส่วนหนึ่งของความแปรปรวนที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมด ยกเว้นปัจจัยการจัดกลุ่ม คำนวณโดยสูตร:

มันแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงอย่างเป็นระบบของลักษณะผลลัพธ์ ซึ่งเป็นผลมาจากอิทธิพลของปัจจัยลักษณะที่อยู่ภายใต้การจัดกลุ่ม มันเท่ากับค่าเฉลี่ยกำลังสองของความเบี่ยงเบนของค่าเฉลี่ยกลุ่มจากค่าเฉลี่ยโดยรวม ความแปรปรวนระหว่างกลุ่มคำนวณโดยสูตร:

กฎการบวกผลต่างในสถิติ

ตาม กฎการบวกผลต่าง ความแปรปรวนทั้งหมดเท่ากับผลรวมของค่าเฉลี่ยของการกระจายภายในกลุ่มและระหว่างกลุ่ม:

ความหมายของกฎนี้คือความแปรปรวนทั้งหมดที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยอื่นทั้งหมด และความแปรปรวนที่เกิดขึ้นเนื่องจากปัจจัยการจัดกลุ่ม

เมื่อใช้สูตรสำหรับการเพิ่มความแปรปรวน เราสามารถกำหนดได้ด้วยสอง ความแปรปรวนที่ทราบไม่ทราบที่สามเช่นเดียวกับการตัดสินความแข็งแกร่งของอิทธิพลของคุณลักษณะการจัดกลุ่ม

คุณสมบัติการกระจายตัว

1. หากค่าทั้งหมดของแอตทริบิวต์ลดลง (เพิ่มขึ้น) ด้วยค่าคงที่เดียวกัน ความแปรปรวนจะไม่เปลี่ยนแปลงจากนี้
2. หากค่าทั้งหมดของแอตทริบิวต์ลดลง (เพิ่มขึ้น) ด้วยจำนวนครั้งที่เท่ากัน n ความแปรปรวนจะลดลง (เพิ่มขึ้น) ตาม n^2 เท่า

ในทางกลับกัน if ไม่ใช่ a.e เชิงลบ ฟังก์ชั่นดังกล่าว จากนั้นจะมีการวัดความน่าจะเป็นอย่างต่อเนื่องอย่างแน่นอน นั่นคือความหนาแน่นของมัน

การเปลี่ยนแปลงการวัดในปริพันธ์ Lebesgue:

โดยที่ฟังก์ชัน Borel ใด ๆ ที่สามารถรวมเข้ากับการวัดความน่าจะเป็นได้

การกระจาย ชนิดและคุณสมบัติของการกระจายตัว แนวคิดของการกระจายตัว

การกระจายในสถิติพบเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของแต่ละค่าของลักษณะกำลังสองจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต ขึ้นอยู่กับข้อมูลเริ่มต้น ซึ่งจะถูกกำหนดโดยสูตรความแปรปรวนอย่างง่ายและถ่วงน้ำหนัก:

1. ความแปรปรวนอย่างง่าย(สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม) คำนวณโดยสูตร:

2. ความแปรปรวนแบบถ่วงน้ำหนัก (สำหรับชุดรูปแบบต่างๆ):

โดยที่ n - ความถี่ (ปัจจัยการทำซ้ำ X)

ตัวอย่างการหาค่าความแปรปรวน

ตัวอย่างที่ 1 การหาค่ากลุ่ม ค่าเฉลี่ยของกลุ่ม ค่าระหว่างกลุ่ม และความแปรปรวนทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 2 การหาค่าความแปรปรวนและค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันในตารางการจัดกลุ่ม

ตัวอย่างที่ 3 การหาค่าความแปรปรวนในอนุกรมแบบไม่ต่อเนื่อง

ตัวอย่างที่ 4 เรามีข้อมูลต่อไปนี้สำหรับกลุ่มนักเรียนที่ติดต่อทางไปรษณีย์ 20 คน จำเป็นต้องสร้างอนุกรมช่วงเวลาของการแจกแจงคุณลักษณะ คำนวณค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะ และศึกษาความแปรปรวน

มาสร้างการแบ่งกลุ่มตามช่วงเวลากัน กำหนดช่วงของช่วงเวลาตามสูตร:

โดยที่ X max คือค่าสูงสุดของคุณลักษณะการจัดกลุ่ม X min คือค่าต่ำสุดของคุณสมบัติการจัดกลุ่ม n คือจำนวนช่วงเวลา:

เรายอมรับ n=5 ขั้นตอนคือ: h \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6.6

มาทำการแบ่งกลุ่มเป็นช่วงๆ กันเถอะ

สำหรับการคำนวณเพิ่มเติม เราจะสร้างตารางเสริม:

X "i - กึ่งกลางของช่วงเวลา (ตัวอย่างเช่น กึ่งกลางของช่วงเวลา 159 - 165.6 \u003d 162.3)

เราพิจารณาการกระจายตามสูตร:

สูตรสามารถแปลงได้ดังนี้:

จากสูตรนี้เป็นไปตามนั้น ความแปรปรวนคือ ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกำลังสองของตัวเลือกและกำลังสองและค่าเฉลี่ย

ความแปรปรวนในชุดความแปรผันด้วยช่วงเวลาเท่ากันตามวิธีการของโมเมนต์สามารถคำนวณได้ด้วยวิธีต่อไปนี้โดยใช้คุณสมบัติการกระจายตัวที่สอง (หารตัวเลือกทั้งหมดด้วยค่าของช่วงเวลา) นิยามของความแปรปรวนคำนวณโดยวิธีของช่วงเวลาตามสูตรต่อไปนี้ใช้เวลาน้อยลง:

โดยที่ i คือค่าของช่วงเวลา A - ศูนย์เงื่อนไขซึ่งสะดวกในการใช้ช่วงกลางของช่วงเวลาที่มีความถี่สูงสุด m1 คือกำลังสองของโมเมนต์ลำดับที่หนึ่ง m2 - ช่วงเวลาของลำดับที่สอง

ความแปรปรวนของคุณลักษณะ (หากแอตทริบิวต์เปลี่ยนแปลงในประชากรทางสถิติในลักษณะที่มีตัวเลือกพิเศษร่วมกันเพียงสองตัวเลือก ความแปรปรวนดังกล่าวเรียกว่า ทางเลือก) สามารถคำนวณได้โดยสูตร:

แทนที่ด้วยสูตรการกระจายนี้ q = 1- p เราได้รับ:

ประเภทของการกระจาย

ความแปรปรวนภายในกลุ่ม ระบุลักษณะการแปรผันแบบสุ่ม เช่น ส่วนหนึ่งของการแปรผันซึ่งเป็นผลมาจากอิทธิพลของปัจจัยที่ไม่ได้นับและไม่ได้ขึ้นอยู่กับปัจจัยเครื่องหมายที่อยู่ภายใต้การจัดกลุ่ม ความแปรปรวนนี้เท่ากับค่าเฉลี่ยกำลังสองของความเบี่ยงเบนของค่าแต่ละค่าของแอตทริบิวต์ภายในกลุ่ม X จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่ม และสามารถคำนวณเป็นความแปรปรวนอย่างง่ายหรือความแปรปรวนถ่วงน้ำหนัก

โดยที่ xi - ค่าเฉลี่ยของกลุ่ม ni คือจำนวนหน่วยในกลุ่ม

ตัวอย่างเช่น ความแปรปรวนภายในกลุ่มที่ต้องพิจารณาในงานศึกษาผลกระทบของคุณสมบัติของคนงานต่อระดับผลิตภาพแรงงานในร้าน แสดงให้เห็นถึงความผันแปรของผลผลิตในแต่ละกลุ่มที่เกิดจากปัจจัยที่เป็นไปได้ทั้งหมด (เงื่อนไขทางเทคนิคของอุปกรณ์ ความพร้อมของเครื่องมือและวัสดุ อายุของคนงาน ความเข้มข้นของแรงงาน ฯลฯ) ยกเว้นความแตกต่างในประเภทคุณสมบัติ (ภายในกลุ่ม คนงานทั้งหมดมีคุณสมบัติเหมือนกัน)

ค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนภายในกลุ่มสะท้อนถึงการแปรผันแบบสุ่ม นั่นคือ ส่วนหนึ่งของความแปรปรวนที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมด ยกเว้นปัจจัยการจัดกลุ่ม คำนวณโดยสูตร:

ความแปรปรวนระหว่างกลุ่มแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงอย่างเป็นระบบของลักษณะผลลัพธ์ ซึ่งเกิดจากอิทธิพลของปัจจัยลักษณะที่อยู่ภายใต้การจัดกลุ่ม มันเท่ากับค่าเฉลี่ยกำลังสองของความเบี่ยงเบนของค่าเฉลี่ยกลุ่มจากค่าเฉลี่ยโดยรวม ความแปรปรวนระหว่างกลุ่มคำนวณโดยสูตร:

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาพิเศษของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโดยนักศึกษาสถาบันอุดมศึกษาเท่านั้น คุณชอบการคำนวณและสูตรหรือไม่? คุณไม่กลัวโอกาสในการทำความคุ้นเคยกับการแจกแจงแบบปกติ เอนโทรปีทั้งมวล ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และความแปรปรวนแบบไม่ต่อเนื่อง ตัวแปรสุ่ม? จากนั้นหัวข้อนี้จะเป็นที่สนใจของคุณอย่างมาก มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานที่สำคัญที่สุดบางประการของวิทยาศาสตร์ในส่วนนี้

มาจำพื้นฐานกันเถอะ

แม้ว่าคุณจะจำแนวคิดง่ายๆ ของทฤษฎีความน่าจะเป็นได้ แต่อย่าละเลยย่อหน้าแรกของบทความ ความจริงก็คือหากไม่มีความเข้าใจพื้นฐานที่ชัดเจน คุณจะไม่สามารถทำงานกับสูตรที่กล่าวถึงด้านล่างนี้ได้

ดังนั้นจึงมีเหตุการณ์สุ่มการทดลองบางอย่าง จากผลของการกระทำ เราจะได้รับผลลัพธ์หลายอย่าง - บางรายการพบบ่อยกว่า และบางรายการพบน้อยกว่า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่ได้รับจริงของประเภทหนึ่งต่อ จำนวนทั้งหมดเป็นไปได้. เพียงรู้คำจำกัดความดั้งเดิมของแนวคิดนี้ คุณก็สามารถเริ่มศึกษาได้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

เฉลี่ย

ย้อนกลับไปที่โรงเรียน ในบทเรียนคณิตศาสตร์ คุณเริ่มทำงานกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต แนวคิดนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีความน่าจะเป็น ดังนั้นจึงไม่สามารถละเลยได้ สิ่งสำคัญสำหรับเรา ช่วงเวลานี้คือเราจะพบมันในสูตรสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

เรามีลำดับของตัวเลขและต้องการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต สิ่งที่เราต้องทำคือรวมทุกอย่างที่มีและหารด้วยจำนวนองค์ประกอบในลำดับ ให้เรามีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ผลรวมขององค์ประกอบจะเป็น 45 และเราจะหารค่านี้ด้วย 9 คำตอบ: - 5

การกระจายตัว

การพูด ภาษาวิทยาศาสตร์ความแปรปรวนคือกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของค่าคุณลักษณะที่ได้รับจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต หนึ่งเขียนแทนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ D สิ่งที่จำเป็นในการคำนวณ? สำหรับแต่ละองค์ประกอบของลำดับ เราจะคำนวณความแตกต่างระหว่างจำนวนที่มีกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตและยกกำลังสอง จะมีค่ามากที่สุดเท่าที่จะมีได้สำหรับเหตุการณ์ที่เรากำลังพิจารณา ต่อไป เราจะสรุปทุกอย่างที่ได้รับและหารด้วยจำนวนองค์ประกอบในลำดับ หากเรามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 5 รายการ ให้หารด้วย 5

ความแปรปรวนยังมีคุณสมบัติที่คุณต้องจำเพื่อใช้ในการแก้ปัญหา ตัวอย่างเช่น ถ้าตัวแปรสุ่มเพิ่มขึ้น X เท่า ความแปรปรวนจะเพิ่มขึ้น X คูณกำลังสอง (เช่น X*X) มันไม่เคยน้อยกว่าศูนย์และไม่ขึ้นอยู่กับค่าการขยับด้วยค่าที่เท่ากันขึ้นหรือลง นอกจากนี้สำหรับ การทดสอบอิสระความแปรปรวนของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน

ตอนนี้เราต้องพิจารณาตัวอย่างความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน

สมมติว่าเราทำการทดสอบ 21 รายการและได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน 7 รายการ เราสังเกตแต่ละคนตามลำดับ 1,2,2,3,4,4 และ 5 ครั้ง ความแปรปรวนจะเป็นอย่างไร

ขั้นแรก เราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต: แน่นอนว่าผลรวมขององค์ประกอบคือ 21 เราหารด้วย 7 แล้วได้ 3 ตอนนี้เราลบ 3 ออกจากแต่ละหมายเลขในลำดับเดิม ยกกำลังสองแต่ละค่า และเพิ่มผลลัพธ์เข้าด้วยกัน . ปรากฎว่า 12 ตอนนี้ยังคงให้เราหารจำนวนด้วยจำนวนองค์ประกอบและดูเหมือนว่านั่นคือทั้งหมด แต่มีที่จับ! ลองหารือกัน

ขึ้นอยู่กับจำนวนการทดลอง

ปรากฎว่าเมื่อคำนวณความแปรปรวน ตัวส่วนสามารถเป็นหนึ่งในสองจำนวน: N หรือ N-1 โดยที่ N คือจำนวนของการทดลองที่ดำเนินการหรือจำนวนขององค์ประกอบในลำดับ (ซึ่งก็คือสิ่งเดียวกันโดยพื้นฐานแล้ว) มันขึ้นอยู่กับอะไร?

หากจำนวนการทดสอบวัดเป็นร้อยเราต้องใส่ N ในส่วน หากเป็นหน่วยให้ N-1 นักวิทยาศาสตร์ตัดสินใจที่จะวาดเส้นขอบเป็นสัญลักษณ์: วันนี้มันวิ่งไปตามหมายเลข 30 หากเราทำการทดลองน้อยกว่า 30 ครั้งเราจะแบ่งจำนวนด้วย N-1 และถ้ามากกว่านั้นด้วย N

งาน

กลับไปที่ตัวอย่างการแก้ปัญหาความแปรปรวนและความคาดหวัง เราได้เลขกลางเป็น 12 ซึ่งต้องหารด้วย N หรือ N-1 เนื่องจากเราทำการทดลอง 21 ครั้ง ซึ่งน้อยกว่า 30 ครั้ง เราจะเลือกตัวเลือกที่สอง คำตอบคือ ความแปรปรวนคือ 12 / 2 = 2

มูลค่าที่คาดหวัง

มาดูแนวคิดที่สองซึ่งเราต้องพิจารณาในบทความนี้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นผลมาจากการบวกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคูณด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าค่าที่ได้รับรวมถึงผลลัพธ์ของการคำนวณความแปรปรวนจะได้รับเพียงครั้งเดียวสำหรับ งานทั้งหมดไม่ว่าจะพิจารณากี่ผลลัพธ์ก็ตาม

สูตรการคาดหวังทางคณิตศาสตร์ค่อนข้างง่าย: เรานำผลลัพธ์มาคูณกับความน่าจะเป็น เพิ่มผลลัพธ์ที่สองและสามที่เหมือนกัน ฯลฯ ทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดนี้ง่ายต่อการคำนวณ ตัวอย่างเช่น ผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเท่ากับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวม เช่นเดียวกับการทำงาน ไม่ใช่ทุกปริมาณในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่อนุญาตให้ดำเนินการอย่างง่ายเช่นนี้ได้ มาทำงานและคำนวณค่าของสองแนวคิดที่เราศึกษาพร้อมกัน นอกจากนี้เรายังถูกรบกวนด้วยทฤษฎี - ถึงเวลาฝึกฝนแล้ว

อีกหนึ่งตัวอย่าง

เราทำการทดลอง 50 ครั้งและได้ผลลัพธ์ 10 ประเภท - ตัวเลข 0 ถึง 9 - ปรากฏเป็นเปอร์เซ็นต์ที่แตกต่างกัน เหล่านี้คือตามลำดับ: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18% จำได้ว่าเพื่อให้ได้ความน่าจะเป็นคุณต้องหารค่าเปอร์เซ็นต์ด้วย 100 ดังนั้นเราจึงได้ 0.02 0.1 เป็นต้น ให้เรานำเสนอตัวอย่างของการแก้ปัญหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

เราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยใช้สูตรที่เราจำได้จากโรงเรียนประถม: 50/10 = 5

ทีนี้ลองแปลความน่าจะเป็นเป็นจำนวนผลลัพธ์ "เป็นชิ้นๆ" เพื่อให้นับได้สะดวกยิ่งขึ้น เราได้ 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 และ 9 ลบค่าเฉลี่ยเลขคณิตออกจากแต่ละค่าที่ได้ หลังจากนั้นเราจะยกกำลังสองของผลลัพธ์ที่ได้ ดูวิธีการทำเช่นนี้กับองค์ประกอบแรกเป็นตัวอย่าง: 1 - 5 = (-4) เพิ่มเติม: (-4) * (-4) = 16 สำหรับค่าอื่นๆ ให้ดำเนินการด้วยตนเอง หากคุณทำทุกอย่างถูกต้อง หลังจากบวกทุกอย่างแล้ว คุณจะได้ 90

ลองคำนวณความแปรปรวนและค่าเฉลี่ยต่อโดยการหาร 90 ด้วย N ทำไมเราถึงเลือก N ไม่ใช่ N-1 ถูกต้อง เนื่องจากจำนวนการทดลองที่ทำเกิน 30 ครั้ง ดังนั้น: 90/10 = 9 เราได้การกระจายตัว หากคุณได้หมายเลขอื่น อย่าเพิ่งหมดหวัง เป็นไปได้มากว่าคุณทำข้อผิดพลาดซ้ำ ๆ ในการคำนวณ ตรวจสอบสิ่งที่คุณเขียนอีกครั้ง และแน่นอนว่าทุกอย่างจะเข้าที่

สุดท้าย เรามานึกถึงสูตรการคาดหวังทางคณิตศาสตร์กัน เราจะไม่ให้การคำนวณทั้งหมด เราจะเขียนเฉพาะคำตอบที่คุณสามารถตรวจสอบได้หลังจากทำตามขั้นตอนที่จำเป็นทั้งหมดแล้ว ค่าที่คาดหวังจะเป็น 5.48 เราจำเฉพาะวิธีดำเนินการโดยใช้ตัวอย่างขององค์ประกอบแรก: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... และอื่น ๆ อย่างที่คุณเห็น เราแค่คูณค่าของผลลัพธ์ตามความน่าจะเป็น

การเบี่ยงเบน

อีกแนวคิดหนึ่งที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการกระจายตัวและการคาดคะเนทางคณิตศาสตร์คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน มันถูกทำเครื่องหมายอย่างใดอย่างหนึ่ง ด้วยตัวอักษรละติน sd หรือตัวพิมพ์เล็กภาษากรีก "sigma" แนวคิดนี้แสดงให้เห็นว่าโดยเฉลี่ยแล้วค่าเบี่ยงเบนไปจากคุณลักษณะกลางอย่างไร คุณต้องคำนวณเพื่อหาค่าของมัน รากที่สองจากการกระจายตัว

ถ้าคุณสร้างกราฟ การแจกแจงแบบปกติและต้องการดูค่าเบี่ยงเบนกำลังสองโดยตรง สามารถทำได้หลายขั้นตอน นำภาพครึ่งหนึ่งไปทางซ้ายหรือขวาของโหมด (ค่ากลาง) วาดเส้นตั้งฉากกับแกนนอนเพื่อให้พื้นที่ของตัวเลขที่ได้เท่ากัน ค่าของส่วนระหว่างกึ่งกลางของการกระจายและการฉายภาพที่เกิดขึ้นบนแกนนอนจะเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ซอฟต์แวร์

ดังที่เห็นได้จากคำอธิบายของสูตรและตัวอย่างที่นำเสนอ การคำนวณความแปรปรวนและการคาดคะเนทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ขั้นตอนที่ง่ายที่สุดจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ เพื่อไม่ให้เป็นการเสียเวลาก็ควรใช้โปรแกรมที่ใช้ในระดับสูง สถาบันการศึกษา- เรียกว่า "ร" มีฟังก์ชันที่ช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าสำหรับแนวคิดต่างๆ จากสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น

ตัวอย่างเช่น คุณกำหนดเวกเตอร์ของค่า สิ่งนี้ทำได้ดังนี้: เวกเตอร์<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

ในที่สุด

การกระจายตัวและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นทำให้ยากที่จะคำนวณอะไรในอนาคต ในหลักสูตรหลักของการบรรยายในมหาวิทยาลัยถือว่าอยู่ในช่วงเดือนแรกของการเรียนวิชานี้ เป็นเพราะขาดความเข้าใจในแนวคิดง่ายๆ เหล่านี้และไม่สามารถคำนวณได้ ทำให้นักเรียนจำนวนมากเริ่มตามหลังโปรแกรมทันทีและต่อมาได้เกรดไม่ดีเมื่อสิ้นสุดเซสชัน ซึ่งทำให้พวกเขาไม่ได้รับทุนการศึกษา

ฝึกฝนอย่างน้อยหนึ่งสัปดาห์เป็นเวลาครึ่งชั่วโมงต่อวัน แก้งานที่คล้ายกับที่นำเสนอในบทความนี้ จากนั้นในการทดสอบทฤษฎีความน่าจะเป็น คุณจะรับมือกับตัวอย่างต่างๆ ได้โดยไม่ต้องใช้คำแนะนำและสูตรโกง

ในหลายกรณี จำเป็นต้องแนะนำคุณลักษณะเชิงตัวเลขอื่นเพื่อวัดระดับ การแพร่กระจาย, การแพร่กระจายของค่านำมาเป็นตัวแปรสุ่ม ξ รอบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมัน

คำนิยาม.ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม ξ เรียกว่าหมายเลข

ง= ม(ξ-M ξ) 2 . (1)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การกระจาย คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเบี่ยงเบนกำลังสองของค่าของตัวแปรสุ่มจากค่าเฉลี่ย

เรียกว่า ตารางเบี่ยงเบน

ปริมาณ ξ .

หากความแปรปรวนแสดงลักษณะขนาดเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสอง ξ จาก Mξ, จำนวนนั้นสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นลักษณะเฉลี่ยบางประการของการเบี่ยงเบนนั้นเอง ปริมาณ | อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น ξ-Mξ |.

คำจำกัดความ (1) หมายถึงคุณสมบัติสองประการต่อไปนี้ของการกระจายตัว

1. การกระจายของค่าคงที่เป็นศูนย์ สิ่งนี้ค่อนข้างสอดคล้องกับความหมายที่มองเห็นได้ของการกระจายตัวในฐานะ "การวัดการแพร่กระจาย"

จริงๆ ถ้า

ξ \u003d Cแล้ว Mξ = Cและนั่นหมายความว่า Dξ = M(ค-ค) 2 = ม 0 = 0.

2. เมื่อคูณตัวแปรสุ่ม ξ ด้วยจำนวนคงที่ C ความแปรปรวนจะคูณด้วย C 2

D(Cξ) = ค 2 Dξ . (3)

จริงๆ

D(Cξ) = M(ค

= เอ็ม(ค .

3. มีสูตรคำนวณความแปรปรวนดังต่อไปนี้:

. (4)

การพิสูจน์สูตรนี้เป็นไปตามคุณสมบัติของการคาดคะเนทางคณิตศาสตร์

เรามี:

4. ถ้ามีค่า ξ 1 และ ξ 2 เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นความแปรปรวนของผลรวมของพวกมันจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของพวกมัน:

การพิสูจน์ . สำหรับการพิสูจน์ เราใช้คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ปล่อย Mξ 1 = ม 1 , Mξ 2 = ม 2 แล้ว.

พิสูจน์สูตร (5) แล้ว

เนื่องจากความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มตามนิยามแล้ว ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่า ( ξ-ม) 2 ที่ไหน ม = Mξ ,จากนั้นในการคำนวณความแปรปรวน คุณสามารถใช้สูตรที่ได้รับในส่วนที่ 7 บทที่ II

ดังนั้นหาก ξ มี DSV พร้อมกฎหมายการกระจาย