ส x =(1.11)

เราจะพิจารณาปัญหาสำคัญเพิ่มเติมในการศึกษาตัวแปรสุ่มที่สังเกตได้ ให้มีตัวอย่างบ้าง (เราจะแทนมัน ส) ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์- จำเป็นต้องประมาณค่าที่ไม่รู้จักจากตัวอย่างที่มีอยู่ ม.เอ็กซ์และ .

ทฤษฎีการประมาณค่าพารามิเตอร์ต่างๆ มีบทบาทสำคัญในสถิติทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นให้เราพิจารณาปัญหาทั่วไปก่อน ปล่อยให้จำเป็นต้องประมาณค่าพารามิเตอร์บางอย่าง กตามตัวอย่าง ส- การประเมินแต่ละครั้งดังกล่าว ก*คือฟังก์ชันบางอย่าง ก*=ก*(ส)จากค่าตัวอย่าง ค่าตัวอย่างเป็นแบบสุ่มดังนั้นจึงเป็นการประมาณค่าเอง ก*เป็นตัวแปรสุ่ม สามารถสร้างการประมาณค่าต่างๆ (เช่น ฟังก์ชัน) ได้มากมาย ก*แต่ในขณะเดียวกัน ก็ยังเป็นที่พึงปรารถนาที่จะมีการประเมินที่ "ดี" หรือ "ดีที่สุด" ในแง่หนึ่ง โดยทั่วไปข้อกำหนดตามธรรมชาติสามประการต่อไปนี้จะกำหนดไว้ในการประเมิน

1. ไม่ถูกแทนที่ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการประเมิน ก*ต้องเท่ากับค่าที่แน่นอนของพารามิเตอร์: ม = ก- กล่าวอีกนัยหนึ่งคือคะแนน ก*ไม่ควรจะมีข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ

2. ความมั่งคั่งด้วยขนาดตัวอย่างที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด การประมาณการ ก*ควรมาบรรจบกันเป็นค่าที่แน่นอน กล่าวคือ เมื่อจำนวนการสังเกตเพิ่มขึ้น ความคลาดเคลื่อนในการประมาณค่าจะมีแนวโน้มเป็นศูนย์

3. ประสิทธิภาพระดับ ก*กล่าวกันว่ามีประสิทธิภาพหากเป็นกลางและมีความแปรปรวนของข้อผิดพลาดน้อยที่สุด ในกรณีนี้ การกระจายประมาณการมีน้อยมาก ก*สัมพันธ์กับมูลค่าที่แน่นอนและการประมาณค่านั้น “แม่นยำที่สุด” ในแง่หนึ่ง

น่าเสียดายที่ไม่สามารถสร้างการประเมินที่ตรงตามข้อกำหนดทั้งสามพร้อมกันได้เสมอไป

ในการประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ มักใช้การประมาณค่า

= , (1.12)

นั่นคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง ถ้าเป็นตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์มีจำกัด ม.เอ็กซ์และ สเอ็กซ์แล้วค่าประมาณ (1.12) ไม่มีอคติและสม่ำเสมอ การประมาณการนี้มีผลใช้บังคับ เช่น ถ้า เอ็กซ์มี การกระจายตัวตามปกติ(รูปที่ 1.4 ภาคผนวก 1) สำหรับการแจกแจงแบบอื่นอาจไม่ได้ผล ตัวอย่างเช่น ในกรณีของการกระจายแบบสม่ำเสมอ (รูปที่ 1.1 ภาคผนวก 1) การประมาณการที่เป็นกลางและสม่ำเสมอจะเป็น

(1.13)

ในเวลาเดียวกัน ค่าประมาณ (1.13) สำหรับการแจกแจงแบบปกติจะไม่สอดคล้องกันและไม่มีประสิทธิผล และจะแย่ลงไปอีกเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น

ดังนั้นสำหรับการแจกแจงแต่ละประเภทของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์คุณควรใช้การประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของคุณ อย่างไรก็ตาม ในสถานการณ์ของเรา ประเภทของการกระจายสามารถทราบได้เพียงเบื้องต้นเท่านั้น ดังนั้นเราจะใช้การประมาณค่า (1.12) ซึ่งค่อนข้างง่ายและมีคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดคือความเป็นกลางและความสม่ำเสมอ

ในการประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับกลุ่มตัวอย่างที่จัดกลุ่ม จะใช้สูตรต่อไปนี้:

= , (1.14)

ซึ่งได้จากอันที่แล้วถ้าเราพิจารณาทุกอย่างแล้ว ฉันค่าตัวอย่างรวมอยู่ใน ฉัน-ช่วงที่เท่ากับตัวแทน ฉันช่วงเวลานี้ การประมาณการนี้จะหยาบกว่าโดยธรรมชาติ แต่ต้องใช้การคำนวณน้อยกว่ามาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีตัวอย่างขนาดใหญ่

การประมาณการที่ใช้กันมากที่สุดในการประมาณค่าความแปรปรวนคือ:

= , (1.15)

การประมาณนี้ไม่มีอคติและใช้ได้กับตัวแปรสุ่มใดๆ เอ็กซ์ซึ่งมีโมเมนต์จำกัดจนถึงลำดับที่สี่

ในกรณีของกลุ่มตัวอย่าง การประมาณการที่ใช้คือ:

= (1.16)

ตามกฎแล้วการประมาณค่า (1.14) และ (1.16) นั้นมีอคติและไม่สามารถป้องกันได้ เนื่องจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และขีดจำกัดของการมาบรรจบกันนั้นแตกต่างกัน ม.เอ็กซ์และเนื่องจากการทดแทนค่าตัวอย่างทั้งหมดรวมอยู่ด้วย ฉันช่วงเวลาที่ -th ต่อตัวแทนช่วงเวลา ฉัน.

โปรดทราบว่าสำหรับขนาดใหญ่ เอ็น,ค่าสัมประสิทธิ์ ไม่มี/(ไม่มี – 1)ในนิพจน์ (1.15) และ (1.16) ใกล้เคียงกับเอกภาพจึงละเว้นได้

การประมาณช่วง

ปล่อยให้ค่าที่แน่นอนของพารามิเตอร์บางตัวเป็น กและพบประมาณการณ์ว่า เช่น)ตามตัวอย่าง ส- การประเมิน ก*สอดคล้องกับจุดบนแกนตัวเลข (รูปที่ 1.5) ดังนั้นจึงเรียกว่าการประมาณนี้ จุด- การประมาณการทั้งหมดที่กล่าวถึงในย่อหน้าก่อนหน้านี้เป็นการประมาณการแบบจุด เกือบทุกครั้งเพราะความบังเอิญ

ก* ¹ กและเราก็หวังได้เพียงประเด็นนั้น ก*อยู่ที่ไหนสักแห่งในบริเวณใกล้เคียง ก- แต่ใกล้แค่ไหน? การประมาณการจุดอื่น ๆ จะมีข้อเสียเปรียบเหมือนกัน - ขาดการวัดความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์

รูปที่.1.5. การประมาณจุดพารามิเตอร์.

เฉพาะเจาะจงมากขึ้นในเรื่องนี้คือ การประมาณช่วงเวลา- คะแนนช่วงเวลาแสดงถึงช่วงเวลา ฉัน ข = (ก , ข)ซึ่งพบค่าที่แน่นอนของพารามิเตอร์โดยประมาณด้วยความน่าจะเป็นที่กำหนด ข- ช่วงเวลา ไอบีเรียกว่า ช่วงความมั่นใจและความน่าจะเป็น ขเรียกว่า ความน่าจะเป็นของความมั่นใจและถือได้ว่าเป็น ความน่าเชื่อถือของการประเมิน.

ช่วงความเชื่อมั่นขึ้นอยู่กับตัวอย่างที่มีอยู่ สเป็นการสุ่มในแง่ที่ว่าขอบเขตของมันสุ่ม เช่น)และ ข(ส)ซึ่งเราจะคำนวณจากตัวอย่าง (สุ่ม) นั่นเป็นเหตุผล ขมีความเป็นไปได้ที่ช่วงสุ่ม ไอบีจะครอบคลุมจุดที่ไม่สุ่ม ก- ในรูป 1.6. ช่วงเวลา ไอบีครอบคลุมประเด็น ก, ก ฉัน*- เลขที่. ดังนั้นจึงไม่ถูกต้องทั้งหมดที่จะพูดเช่นนั้น ก "ตก" เข้ามาเป็นระยะ

ถ้า ความน่าจะเป็นของความมั่นใจ ขใหญ่ (เช่น ข = 0.999) จากนั้นจะเป็นค่าที่แน่นอนเกือบทุกครั้ง กอยู่ในช่วงที่สร้างขึ้น

รูปที่ 1.6. ช่วงความเชื่อมั่นของพารามิเตอร์ กสำหรับตัวอย่างที่แตกต่างกัน

ลองพิจารณาวิธีการสร้างช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์,ขึ้นอยู่กับ ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง.

ปล่อยให้ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ทราบ ม.เอ็กซ์และ ความแปรปรวนที่ทราบ- จากนั้น โดยอาศัยทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ:

= , (1.17)

ผลลัพธ์ n การทดสอบอิสระปริมาณ เอ็กซ์เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายตัวมาก nใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ย ม.เอ็กซ์และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ดังนั้นตัวแปรสุ่ม

(1.18)

มีการกระจายความน่าจะเป็นที่สามารถพิจารณาได้ มาตรฐานปกติด้วยความหนาแน่นของการกระจายตัว เจ(ที)กราฟที่แสดงในรูปที่ 1.7 (เช่นเดียวกับในรูปที่ 1.4 ภาคผนวก 1)

รูปที่ 1.7. การแจกแจงความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ที.

ให้ความน่าจะเป็นของความมั่นใจ ขและ ทีข -จำนวนที่เป็นไปตามสมการ

ข = Ф 0 (t ข) – Ф 0 (-t ข) = 2 Ф 0 (t ข)(1.19)

ที่ไหน - ฟังก์ชันลาปลาซ- แล้วความน่าจะเป็นที่จะตกอยู่ในช่วง (-t ข , เสื้อ ข)จะเท่ากับส่วนที่แรเงาในรูปที่ 1.7 พื้นที่ และโดยอาศัยนิพจน์ (1.19) เท่ากับ ข- เพราะฉะนั้น

ข = P(-tข< < t b) = P( –tb< m x < + เสื้อ ข ) =

= ป( –tb< m x < + ที ข ) .(1.20)

ดังนั้น เพื่อเป็นช่วงความมั่นใจ เราจึงใช้ช่วงดังกล่าวได้

ฉัน ข = ( – ทีบี ; + TB ) , (1.21)

เนื่องจากนิพจน์ (1.20) หมายความว่าไม่ทราบค่าที่แน่นอน ม.เอ็กซ์อยู่ใน ไอบีด้วยความน่าจะเป็นของความมั่นใจที่กำหนด ข- เพื่อสร้าง ไอบีจำเป็นตามที่ระบุไว้ ขหา ทีบีจากสมการ (1.19) ลองให้ค่าบางอย่าง ทีบีจำเป็นในอนาคต :

เสื้อ 0.9 = 1.645; เสื้อ 0.95 = 1.96; เสื้อ 0.99 = 2.58; เสื้อ 0.999 = 3.3.

เมื่อหานิพจน์ (1.21) จะถือว่าทราบค่าที่แน่นอนของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สเอ็กซ์- อย่างไรก็ตามก็ไม่เป็นที่รู้จักเสมอไป ให้เราใช้การประมาณค่าของเขา (1.15) และรับ:

ฉัน ข = ( – ทีบี ; +TB). (1.22)

ดังนั้น การประมาณค่าและได้รับจากกลุ่มตัวอย่างที่จัดกลุ่มจะให้สูตรสำหรับช่วงความเชื่อมั่นต่อไปนี้:

ฉัน ข = ( – ทีบี ; +TB). (1.23)

ปล่อยให้ตัวอย่างสุ่มถูกสร้างขึ้นโดยตัวแปรสุ่มที่สังเกตได้ ξ ซึ่งเป็นค่าคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ ซึ่งไม่เป็นที่รู้จัก เสนอให้ใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างเป็นค่าประมาณสำหรับคุณลักษณะเหล่านี้

และความแปรปรวนตัวอย่าง

. (3.14)

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของการประมาณค่าความคาดหวังและการกระจายทางคณิตศาสตร์

1. คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง:

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยตัวอย่างจึงเป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงสำหรับ

2. จำไว้ว่าผลลัพธ์ การสังเกตเป็นตัวแปรสุ่มอิสระซึ่งแต่ละตัวมีกฎการแจกแจงเดียวกันกับค่าซึ่งหมายถึง , - เราจะถือว่าความแปรปรวนมีขอบเขตจำกัด จากนั้น ตามทฤษฎีบทของ Chebyshev เกี่ยวกับกฎของจำนวนมาก สำหรับ ε > 0 ใดๆ จะมีความเท่าเทียมกัน ,

ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้: - (3.16) เมื่อเปรียบเทียบ (3.16) กับคำจำกัดความของคุณสมบัติความสอดคล้อง (3.11) เราจะเห็นว่าการประมาณค่านั้นเป็นค่าประมาณที่สอดคล้องกันของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

3. ค้นหาความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง:

. (3.17)

ดังนั้น ความแปรปรวนของการประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จึงลดลงในสัดส่วนผกผันกับขนาดตัวอย่าง

สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้ามีการแจกแจงตัวแปรสุ่ม ξ ตามปกติ ค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะเป็นค่าประมาณที่มีประสิทธิผลของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ กล่าวคือ ความแปรปรวนจะเกิดขึ้น ค่าที่น้อยที่สุดเปรียบเทียบกับการประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อื่นๆ สำหรับกฎหมายการจำหน่ายอื่นๆ ξ อาจไม่เป็นเช่นนั้น

ความแปรปรวนตัวอย่างเป็นการประมาณค่าความแปรปรวนแบบเอนเอียง เนื่องจาก . (3.18)

แท้จริงแล้วเราพบโดยใช้คุณสมบัติของความคาดหวังและสูตรทางคณิตศาสตร์ (3.17)

.

เพื่อให้ได้ค่าประมาณความแปรปรวนที่เป็นกลาง ต้องแก้ไขค่าประมาณ (3.14) นั่นคือคูณด้วย จากนั้นเราจะได้ความแปรปรวนตัวอย่างที่ไม่เอนเอียง

. (3.19)

โปรดทราบว่าสูตร (3.14) และ (3.19) แตกต่างกันเฉพาะในตัวส่วนเท่านั้น และสำหรับค่าขนาดใหญ่ ตัวอย่างและความแปรปรวนที่เป็นกลางจะแตกต่างกันเล็กน้อย อย่างไรก็ตาม ด้วยขนาดตัวอย่างที่น้อย ควรใช้ความสัมพันธ์ (3.19)

ในการประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม จะใช้สิ่งที่เรียกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน "แก้ไขแล้ว" ซึ่งเท่ากับ รากที่สองจากความแปรปรวนที่เป็นกลาง:

การประมาณช่วง

ในสถิติ มีสองวิธีในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของการแจกแจงที่ไม่รู้จัก: จุดและช่วง ตามการประมาณจุดซึ่งกล่าวไว้ในหัวข้อที่แล้ว จะมีการระบุเฉพาะจุดที่อยู่รอบๆ ของพารามิเตอร์ที่ประมาณไว้เท่านั้น อย่างไรก็ตาม เป็นที่พึงปรารถนาที่จะรู้ว่าแท้จริงแล้วพารามิเตอร์นี้อาจมาจากการประมาณค่าที่เป็นไปได้ในการสังเกตชุดต่างๆ มากเพียงใด

คำตอบสำหรับคำถามนี้ - เป็นการประมาณ - กำหนดโดยวิธีอื่นในการประมาณค่าพารามิเตอร์ - ช่วงเวลา ตามวิธีการประมาณค่านี้ พบว่าช่วงที่มีความน่าจะเป็นใกล้เคียงกับค่าหนึ่ง จะครอบคลุมค่าตัวเลขที่ไม่รู้จักของพารามิเตอร์

แนวคิดของการประมาณค่าช่วงเวลา

การประมาณจุด เป็นตัวแปรสุ่มและสำหรับการใช้งานตัวอย่างที่เป็นไปได้จะใช้ค่าประมาณเท่ากับค่าจริงของพารามิเตอร์เท่านั้น ยิ่งความแตกต่างน้อยลง การประมาณค่าก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้น ดังนั้นจำนวนบวกซึ่ง ระบุลักษณะความแม่นยำของการประมาณค่าและเรียกว่า ข้อผิดพลาดในการประมาณค่า (หรือข้อผิดพลาดเล็กน้อย)

ความน่าจะเป็นของความมั่นใจ(หรือความน่าเชื่อถือ)เรียกว่าความน่าจะเป็น β โดยตระหนักถึงความไม่เท่าเทียมกัน , เช่น.

. (3.20)

ทดแทนความไม่เท่าเทียมกัน ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า , หรือ เราได้รับ

ช่วงเวลา ครอบคลุมถึงความน่าจะเป็น β , , เรียกพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก ช่วงความมั่นใจ (หรือการประมาณช่วง)ความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นที่สอดคล้องกัน β .

ตัวแปรสุ่มไม่ได้เป็นเพียงค่าประมาณเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อผิดพลาดด้วย ค่าของมันขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็น β และตามกฎแล้วจากตัวอย่าง ดังนั้นช่วงความเชื่อมั่นจึงเป็นแบบสุ่มและควรอ่านนิพจน์ (3.21) ดังนี้ “ช่วงจะครอบคลุมพารามิเตอร์ด้วยความน่าจะเป็น β ” และไม่ใช่เช่นนี้: “ พารามิเตอร์จะตกอยู่ในช่วงเวลาที่มีความน่าจะเป็น β ”.

ความหมายของช่วงความเชื่อมั่นคือเมื่อทำซ้ำปริมาตรตัวอย่างหลายครั้งในสัดส่วนสัมพัทธ์ของกรณีเท่ากับ β ช่วงความเชื่อมั่นที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่น β ครอบคลุมค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์ที่ประมาณไว้ ดังนั้นความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่น β ลักษณะ ความน่าเชื่อถือการประเมินความมั่นใจ: ยิ่งมากขึ้น β ยิ่งมีแนวโน้มมากขึ้นที่การนำช่วงความเชื่อมั่นไปใช้จะมีพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก

การประมาณค่าความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์

เราเริ่มคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องพารามิเตอร์การแจกแจงในทฤษฎีความน่าจะเป็น ตัวอย่างเช่น ในกฎการแจกแจงแบบปกติ ที่ระบุโดยฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

ทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ ก– ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และ ก– ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ในการแจกแจงปัวซอง พารามิเตอร์คือตัวเลข ก = อดีต

คำนิยาม. การประมาณการทางสถิติของพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักของการแจกแจงทางทฤษฎีคือค่าโดยประมาณ ขึ้นอยู่กับข้อมูลตัวอย่าง(x 1, x 2, x 3,..., เอ็กซ์เค; หมายเลข 1, หมายเลข 2, หมายเลข 3,..., ไม่เป็นไร)นั่นคือฟังก์ชันบางอย่างของปริมาณเหล่านี้

ที่นี่ x 1, x 2, x 3,..., เอ็กซ์เค– ค่าลักษณะเฉพาะ หมายเลข 1, หมายเลข 2, หมายเลข 3,..., ไม่เป็นไร– ความถี่ที่สอดคล้องกัน การประมาณการทางสถิติเป็นตัวแปรสุ่ม

ให้เราแสดงโดย θ เป็นพารามิเตอร์โดยประมาณและผ่าน θ * - ของเขา การประเมินทางสถิติ- ขนาด | θ *–θ - เรียกว่า ความแม่นยำในการประเมินยิ่งน้อย | θ *–θ | ยิ่งดี ยิ่งมีการกำหนดพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักให้แม่นยำยิ่งขึ้น

เพื่อทำคะแนน θ * มีความสำคัญในทางปฏิบัติ ไม่ควรมีข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบและในขณะเดียวกันก็มีการกระจายตัวน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ นอกจากนี้ เมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น ความน่าจะเป็นของการเบี่ยงเบนเล็กน้อยโดยพลการ | θ *–θ - ควรอยู่ใกล้ 1

ให้เรากำหนดคำจำกัดความต่อไปนี้

1. การประมาณค่าพารามิเตอร์เรียกว่าไม่เอนเอียงหากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ M(θ *) เท่ากับพารามิเตอร์โดยประมาณ θ, เช่น.

ม(θ *) = θ, (1)

และถูกแทนที่ถ้า

ม(θ *) ≠ θ, (2)

2. การประมาณค่า θ* มีความสอดคล้องกันหากมีค่าใดๆ δ > 0

(3)

ความเท่าเทียมกัน (3) อ่านได้ดังนี้: การประมาณค่า θ * มาบรรจบกันด้วยความน่าจะเป็น θ .

3. การประมาณค่า θ* เรียกว่ามีประสิทธิผล หากค่า n ที่กำหนดมีความแปรปรวนน้อยที่สุด

ทฤษฎีบท 1ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง X B เป็นการประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่เป็นกลางและสม่ำเสมอ

การพิสูจน์. ให้ตัวอย่างเป็นตัวแทน นั่นคือ องค์ประกอบทั้งหมด ประชากรมีโอกาสเหมือนกันที่จะรวมไว้ในตัวอย่าง ค่าลักษณะเฉพาะ x 1, x 2, x 3,..., xnสามารถถือเป็นตัวแปรสุ่มอิสระได้ X 1, X 2, X 3, ..., Xnมีการแจกแจงและลักษณะตัวเลขที่เหมือนกัน รวมถึงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่เท่ากันด้วย เอ,

เนื่องจากแต่ละปริมาณ X 1, X 2, X 3, ..., X หน้ามีการกระจายตัวที่ตรงกับการกระจายตัวของประชากรแล้ว ม(เอ็กซ์)= ก.นั่นเป็นเหตุผล

ด้วยเหตุนี้จึงเป็นการประมาณการที่สอดคล้องกัน ม(เอ็กซ์).

การใช้กฎการวิจัยสำหรับสุดขั้ว สามารถพิสูจน์ได้ว่านี่เป็นการประมาณการที่มีประสิทธิผลเช่นกัน ม(เอ็กซ์).

ความจำเป็นในการประมาณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จากผลการทดสอบจะปรากฏในปัญหาเมื่อผลลัพธ์ของการทดลองถูกอธิบายด้วยตัวแปรสุ่ม และความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนี้ถูกใช้เป็นตัวบ่งชี้คุณภาพของวัตถุที่กำลังศึกษา ตัวอย่างเช่น เพื่อเป็นตัวบ่งชี้ความน่าเชื่อถือ การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับเวลาของการทำงานที่ปราศจากความล้มเหลวของระบบสามารถทำได้ และเมื่อประเมินประสิทธิภาพการผลิต การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ของจำนวนผลิตภัณฑ์ที่ใช้งานได้ เป็นต้น

ปัญหาในการประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มีสูตรดังนี้ ให้เราสมมติว่าเพื่อกำหนดค่าที่ไม่รู้จักของตัวแปรสุ่ม X มันควรจะทำให้ n เป็นอิสระและปราศจากการวัดข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ เอ็กซ์ กับ เอ็กซ์ 2 ,..., เอ็กซ์พีคุณต้องเลือกค่าประมาณที่ดีที่สุดของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

การประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ดีที่สุดและพบบ่อยที่สุดในทางปฏิบัติคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลการทดสอบ

เรียกอีกอย่างว่า เชิงสถิติหรือ ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

ให้เราแสดงประมาณการว่า เสื้อเป็นไปตามข้อกำหนดทั้งหมดสำหรับการประเมินพารามิเตอร์ใดๆ

1. จากนิพจน์ (5.10) เป็นไปตามนั้น

นั่นคือการประเมิน เสื้อ "x- การประมาณการที่เป็นกลาง

2. ตามทฤษฎีบทของเชบีเชฟ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลการทดสอบมาบรรจบกันในความน่าจะเป็นกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เช่น

ดังนั้น ค่าประมาณ (5.10) จึงเป็นค่าประมาณความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกัน

3. ความแปรปรวนของการประมาณค่า เสื้อเท่ากัน

เมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น n จะลดลงโดยไม่มีขีดจำกัด ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าหากตัวแปรสุ่ม X อยู่ภายใต้กฎการแจกแจงแบบปกติ ดังนั้นสำหรับค่าใดๆ nการกระจายตัว (5.11) จะมีน้อยที่สุดและประมาณการได้ เสื้อ- การประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อย่างมีประสิทธิผล การทราบความแปรปรวนของการประมาณการทำให้สามารถตัดสินเกี่ยวกับความแม่นยำในการกำหนดค่าที่ไม่ทราบของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์โดยใช้การประมาณนี้

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะใช้เป็นค่าประมาณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ หากผลการวัดมีความแม่นยำเท่ากัน (ความแปรปรวน D, ฉัน = 1, 2, ..., nเหมือนกันทุกมิติ) อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติเราต้องจัดการกับปัญหาที่ผลการวัดไม่เท่ากัน (เช่น ในระหว่างการทดสอบ การวัดจะทำโดยใช้เครื่องมือที่แตกต่างกัน) ในกรณีนี้ การประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะมีรูปแบบ

ที่ไหน - น้ำหนักของมิติที่ z

ในสูตร (5.12) ผลลัพธ์ของการวัดแต่ละครั้งจะรวมเข้ากับน้ำหนักของมันเอง กับ.. ดังนั้น การประเมินผลการวัด เสื้อเรียกว่า ถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก

แสดงให้เห็นว่าการประมาณค่า (5.12) เป็นการประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่เป็นกลาง สม่ำเสมอ และมีประสิทธิภาพ ความแปรปรวนขั้นต่ำของการประมาณการกำหนดโดย

เมื่อทำการทดลองกับแบบจำลองบนคอมพิวเตอร์ ปัญหาที่คล้ายกันเกิดขึ้นเมื่อพบการประมาณค่าจากผลการทดสอบหลายชุดและจำนวนการทดสอบในแต่ละชุดแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น มีการทดสอบสองชุดโดยใช้ปริมาตร หมายเลข 1และ p 2 ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการประมาณการที่ได้รับ ตซีและ เสื้อ x_เพื่อที่จะเพิ่มความแม่นยำและความน่าเชื่อถือในการพิจารณาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ผลลัพธ์ของชุดการทดสอบเหล่านี้จึงถูกนำมารวมกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้นิพจน์ (5.12)

เมื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ C แทนที่จะใช้ความแปรปรวน D การประมาณค่าที่ได้จากผลการทดสอบในแต่ละชุดจะถูกทดแทน

วิธีการที่คล้ายกันนี้ใช้ในการกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มโดยพิจารณาจากผลลัพธ์ของชุดการทดสอบ

ในการประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม X นอกเหนือจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างแล้ว ยังสามารถใช้สถิติอื่นๆ ได้อีกด้วย สมาชิกมักถูกใช้เพื่อจุดประสงค์เหล่านี้ ซีรีย์การเปลี่ยนแปลงกล่าวคือสถิติลำดับบนพื้นฐานของการประมาณการ

ตอบสนองความต้องการหลัก ได้แก่ ความสม่ำเสมอและความเป็นกลาง

ให้เราสมมติว่าชุดรูปแบบประกอบด้วย n = 2kสมาชิก จากนั้นค่าเฉลี่ยใดๆ ก็สามารถนำมาเป็นค่าประมาณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้:

ในเวลาเดียวกัน ถึง-eเฉลี่ย

ไม่มีอะไรมากไปกว่าค่ามัธยฐานทางสถิติของการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X เนื่องจากมีความเท่าเทียมกันอย่างเห็นได้ชัด

ข้อดีของค่ามัธยฐานทางสถิติคือ ปราศจากอิทธิพลของผลลัพธ์จากการสังเกตที่ผิดปกติ ซึ่งหลีกเลี่ยงไม่ได้เมื่อใช้ค่าเฉลี่ยแรก ซึ่งก็คือค่าเฉลี่ยของอนุกรมการเปลี่ยนแปลงจำนวนน้อยที่สุดและมากที่สุด

สำหรับขนาดตัวอย่างที่แปลก n = 2k- ค่ามัธยฐานทางสถิติ 1 อันเป็นองค์ประกอบตรงกลาง เช่น ถึงสมาชิกคนที่หนึ่งของซีรีส์รูปแบบต่างๆ ฉัน = xk

มีการแจกแจงที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่ใช่การประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่มีประสิทธิผล เช่น การแจกแจงแบบลาปลาซ แสดงให้เห็นว่าสำหรับการแจกแจงแบบลาปลาซ การประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่มีประสิทธิผลคือค่ามัธยฐานของกลุ่มตัวอย่าง

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าหากตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงแบบปกติ ดังนั้นด้วยขนาดตัวอย่างที่ใหญ่เพียงพอ กฎการกระจายของค่ามัธยฐานทางสถิติจะใกล้เคียงกับปกติโดยมีลักษณะเป็นตัวเลข

จากการเปรียบเทียบสูตร (5.11) และ (5.14) พบว่าการกระจายตัวของค่ามัธยฐานทางสถิติมีค่ามากกว่าการกระจายตัวของค่าเฉลี่ยเลขคณิตถึง 1.57 เท่า ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตซึ่งเป็นค่าประมาณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จึงมีประสิทธิภาพมากกว่าค่ามัธยฐานทางสถิติหลายเท่า อย่างไรก็ตาม เนื่องจากความง่ายในการคำนวณและไม่ไวต่อผลการตรวจวัดที่ผิดปกติ ("การปนเปื้อน" ของตัวอย่าง) ในทางปฏิบัติ ค่ามัธยฐานทางสถิติจึงถูกนำมาใช้เป็นค่าประมาณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ควรสังเกตว่าสำหรับการแจกแจงแบบสมมาตรอย่างต่อเนื่อง ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์และค่ามัธยฐานจะเท่ากัน ดังนั้น ค่ามัธยฐานทางสถิติสามารถใช้เป็นค่าประมาณที่ดีของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้ก็ต่อเมื่อการแจกแจงของตัวแปรสุ่มเป็นแบบสมมาตรเท่านั้น

สำหรับการแจกแจงแบบไม่สมมาตร ให้ใช้ค่ามัธยฐานทางสถิติ ฉันมีอคติอย่างมีนัยสำคัญเมื่อเทียบกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นจึงไม่เหมาะสมสำหรับการประเมิน