ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาคราบที่เป็นเนื้อเดียวกัน ค้นหาคำตอบทั่วไปของระบบและ fsr

โซลูชั่น ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ ถ้าเป็นเวกเตอร์ = (α 1 , α 2 ,... ,α n) เป็นคำตอบของระบบ (15.14) สำหรับตัวเลขใดๆ เคเวกเตอร์ เค = (คาα 1 , คาเอ 2 ,..., กาน)จะเป็นทางออกให้กับระบบนี้ ถ้าคำตอบของระบบ (15.14) คือเวกเตอร์ = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ n) ตามด้วยจำนวนเงิน + จะเป็นทางออกให้กับระบบนี้ด้วย มันเป็นไปตามนั้น ผลรวมเชิงเส้นใดๆ ของคำตอบของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันก็เป็นคำตอบของระบบนี้เช่นกัน

ดังที่เราทราบจากข้อ 12.2 ทุกระบบแล้ว n-เวกเตอร์มิติประกอบด้วยมากกว่า nเวกเตอร์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ดังนั้นจากเซตของเวกเตอร์สารละลายของระบบเอกพันธ์ (15.14) เราสามารถเลือกพื้นฐานได้เช่น คำตอบเวกเตอร์ใดๆ ของระบบที่กำหนดจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของฐานนี้ พื้นฐานดังกล่าวเรียกว่า ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงเส้น- ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริงซึ่งเรานำเสนอโดยไม่มีการพิสูจน์

ทฤษฎีบท 4 หากอยู่ในอันดับ r ของระบบ สมการเอกพันธ์ (15.14) น้อยกว่าจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบ n ซึ่งก็คือระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาทุกระบบ (15.14) ประกอบด้วยโซลูชั่น n - r

ตอนนี้ให้เราระบุวิธีการค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา (FSS) ให้ระบบสมการเอกพันธ์ (15.14) มีอันดับ ร< п. ต่อไปนี้จากกฎของแครเมอร์ สิ่งไม่รู้พื้นฐานของระบบนี้ x 1 , x 2 , … เอ็กซ์อาร์แสดงเชิงเส้นตรงในรูปของตัวแปรอิสระ เอ็กซ์ อาร์ + 1 , xr + 2 , ..., เอ็กซ์พี:

ให้เราเลือกวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของระบบเอกพันธ์ (15.14) ตามหลักการต่อไปนี้ เพื่อหาคำตอบเวกเตอร์แรก 1 ที่เราตั้งไว้ เอ็กซ์ อาร์ + 1 = 1, เอ็กซ์ อาร์ + 2 = เอ็กซ์ อาร์ +3 = ... = เอ็กซ์เอ็น= 0 จากนั้นเราจะพบคำตอบที่สอง 2: เรายอมรับ เอ็กซ์อาร์+2 = 1 และที่เหลือ ร- ตั้งค่าตัวแปรอิสระ 1 ตัวให้เป็นศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจะกำหนดค่าหน่วยให้กับตัวแปรอิสระแต่ละตัวตามลำดับ โดยตั้งค่าส่วนที่เหลือให้เป็นศูนย์ ดังนั้นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาในรูปแบบเวกเตอร์โดยคำนึงถึงระบบแรก รตัวแปรพื้นฐาน (15.15) มีรูปแบบ

FSR (15.16) เป็นหนึ่งในชุดการแก้ปัญหาพื้นฐานของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน (15.14)

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาคำตอบและ FSR ของระบบสมการเอกพันธ์

สารละลาย. เราจะแก้ระบบนี้โดยใช้วิธีเกาส์เซียน เนื่องจากจำนวนสมการของระบบน้อยกว่าจำนวนไม่ทราบ เราจึงพิจารณา เอ็กซ์ 1 , x 2 , เอ็กซ์ 3 สิ่งไม่รู้พื้นฐาน และ x 4 , เอ็กซ์ 5 , x 6 - ตัวแปรอิสระ ลองเขียนเมทริกซ์แบบขยายของระบบและดำเนินการที่ประกอบขึ้นเป็นแนวทางโดยตรงของวิธีการ

เราจะยังคงขัดเกลาเทคโนโลยีของเราต่อไป การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นบน ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น.
จากย่อหน้าแรก เนื้อหาอาจดูน่าเบื่อและปานกลาง แต่ความประทับใจนี้กลับหลอกลวง นอกจากการพัฒนาเทคนิคทางเทคนิคเพิ่มเติมแล้วยังมีอีกมากมาย ข้อมูลใหม่ดังนั้นโปรดอย่าละเลยตัวอย่างในบทความนี้

ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์คืออะไร?

คำตอบนั้นบ่งบอกตัวมันเอง ระบบสมการเชิงเส้นจะเป็นเนื้อเดียวกันหากใช้เงื่อนไขอิสระ ทุกคนสมการของระบบเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่า ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันเสมอนั่นคือมันย่อมมีทางแก้เสมอ และก่อนอื่น สิ่งที่ดึงดูดสายตาของคุณคือสิ่งที่เรียกว่า เล็กน้อยสารละลาย - Trivial สำหรับผู้ที่ไม่เข้าใจความหมายของคำคุณศัพท์เลย หมายถึง ไม่โอ้อวด แน่นอนว่าไม่ใช่เชิงวิชาการ แต่เข้าใจได้ =) ...ทำไมต้องทำอะไรบ้าๆ บอๆ มาดูกันว่าระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาอื่นหรือไม่:

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย: เพื่อแก้ระบบเอกพันธ์จำเป็นต้องเขียน เมทริกซ์ระบบและด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้นทำให้เป็นรูปแบบขั้นตอน โปรดทราบว่าที่นี่ไม่จำเป็นต้องเขียนแถบแนวตั้งและคอลัมน์ศูนย์ของคำศัพท์อิสระ ท้ายที่สุดไม่ว่าคุณจะทำอะไรกับศูนย์ พวกมันก็จะยังคงเป็นศูนย์:

(1) บรรทัดแรกบวกกับบรรทัดที่สอง คูณด้วย –2 บรรทัดแรกบวกเข้ากับบรรทัดที่สาม คูณด้วย –3

(2) บรรทัดที่สองบวกเข้ากับบรรทัดที่สาม คูณด้วย –1

การหารบรรทัดที่สามด้วย 3 นั้นไม่สมเหตุสมผลนัก

อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นจะได้ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่เทียบเท่ากัน และการใช้วิธีผกผันของวิธีเกาส์เซียน ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบว่าโซลูชันมีลักษณะเฉพาะ

คำตอบ:

ให้เรากำหนดเกณฑ์ที่ชัดเจน: มีระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน เป็นเพียงวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย, ถ้า อันดับเมทริกซ์ของระบบ(ในกรณีนี้คือ 3) เท่ากับจำนวนตัวแปร (ในกรณีนี้คือ 3 ชิ้น)

มาอุ่นเครื่องและปรับวิทยุของเราให้เข้ากับคลื่นของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น:

ตัวอย่างที่ 2

แก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์

เพื่อรวมอัลกอริธึมในที่สุด มาวิเคราะห์งานสุดท้ายกัน:

ตัวอย่างที่ 7

แก้ระบบเอกพันธ์ เขียนคำตอบในรูปแบบเวกเตอร์

สารละลาย: ลองเขียนเมทริกซ์ของระบบแล้วใช้การแปลงเบื้องต้น ทำให้มันอยู่ในรูปแบบขั้นตอน:

(1) ป้ายบรรทัดแรกมีการเปลี่ยนแปลง ฉันดึงความสนใจไปที่เทคนิคที่พบหลายครั้งอีกครั้งซึ่งช่วยให้คุณดำเนินการต่อไปได้ง่ายขึ้นอย่างมาก

(1) เพิ่มบรรทัดแรกเข้ากับบรรทัดที่ 2 และ 3 บรรทัดแรกคูณด้วย 2 ถูกบวกเข้ากับบรรทัดที่ 4

(3) สามบรรทัดสุดท้ายเป็นสัดส่วน โดยลบสองบรรทัดออกแล้ว

เป็นผลให้ได้รับเมทริกซ์ขั้นตอนมาตรฐานและวิธีแก้ปัญหาดำเนินต่อไปตามแทร็กที่มีปุ่ม:

– ตัวแปรพื้นฐาน
– ตัวแปรอิสระ

ให้เราแสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระ จากสมการที่ 2:

– แทนลงในสมการที่ 1:

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

เนื่องจากในตัวอย่างที่พิจารณามีตัวแปรอิสระสามตัว ระบบพื้นฐานจึงมีเวกเตอร์สามตัว

ลองแทนค่าสามเท่าดู ลงในสารละลายทั่วไปและรับเวกเตอร์ที่มีพิกัดเป็นไปตามแต่ละสมการของระบบเอกพันธ์ และขอย้ำอีกครั้งว่าขอแนะนำอย่างยิ่งให้ตรวจสอบเวกเตอร์ที่ได้รับแต่ละรายการ - ใช้เวลาไม่นาน แต่จะปกป้องคุณจากข้อผิดพลาดอย่างสมบูรณ์

เพื่อคุณค่าสามประการ ค้นหาเวกเตอร์

และสุดท้ายสำหรับทั้งสามคน เราได้เวกเตอร์ที่สาม:

คำตอบ: , ที่ไหน

ผู้ที่ต้องการหลีกเลี่ยงค่าเศษส่วนสามารถพิจารณาแฝดและรับคำตอบในรูปแบบที่เทียบเท่า:

การพูดของเศษส่วน ลองดูเมทริกซ์ที่ได้รับจากปัญหา และให้เราถามตัวเองว่า: เป็นไปได้ไหมที่จะทำให้วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมง่ายขึ้น? ท้ายที่สุดแล้ว อันดับแรกเราแสดงตัวแปรพื้นฐานผ่านเศษส่วน จากนั้นจึงแสดงตัวแปรพื้นฐานผ่านเศษส่วน และฉันต้องบอกว่ากระบวนการนี้ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุดและไม่น่าพึงพอใจที่สุด

วิธีแก้ปัญหาที่สอง:

ความคิดคือการพยายาม เลือกตัวแปรพื้นฐานอื่นๆ- ลองดูที่เมทริกซ์แล้วสังเกตสองตัวในคอลัมน์ที่สาม แล้วทำไมไม่มีศูนย์ที่ด้านบนล่ะ? ลองทำการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นอีกครั้งหนึ่ง:

วิธีเกาส์เซียนมีข้อเสียหลายประการ: เป็นไปไม่ได้ที่จะทราบว่าระบบมีความสอดคล้องกันหรือไม่ จนกว่าจะดำเนินการเปลี่ยนแปลงที่จำเป็นในวิธีเกาส์เซียนทั้งหมด วิธีการของเกาส์ไม่เหมาะกับระบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวอักษร

ลองพิจารณาวิธีอื่นในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีการเหล่านี้ใช้แนวคิดเรื่องอันดับเมทริกซ์และลดคำตอบของระบบที่สอดคล้องกันให้เป็นคำตอบของระบบที่กฎของแครมเมอร์ใช้

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยใช้ระบบพื้นฐานของคำตอบของระบบเอกพันธ์รีดิวซ์และคำตอบเฉพาะของระบบที่ไม่เหมือนกัน

1. การสร้างเมทริกซ์ กและเมทริกซ์ระบบขยาย (1)

2. สำรวจระบบ (1) เพื่อการอยู่ร่วมกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหาอันดับของเมทริกซ์ กและ https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">) หากปรากฎว่า จากนั้นระบบ (1) เข้ากันไม่ได้ หากเราได้รับสิ่งนั้น แล้วระบบนี้ก็สอดคล้องกันและเราจะแก้ไขมัน (การศึกษาความเข้ากันได้จะขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี)

ก. เราพบ ร.

เพื่อค้นหา รเราจะพิจารณาลำดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ตามลำดับของลำดับที่หนึ่ง ที่สอง ฯลฯ ของเมทริกซ์ กและผู้เยาว์ที่อยู่รายล้อมพวกเขา

ม1=1≠0 (เรานำ 1 จากมุมซ้ายบนของเมทริกซ์ ก).

เราชายแดน ม1แถวที่สองและคอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์นี้ - เรายังคงชายแดน ม1บรรทัดที่สองและคอลัมน์ที่สาม..gif" width="37" height="20 src="> ตอนนี้เรากำหนดขอบเขตผู้เยาว์ที่ไม่เป็นศูนย์ M2'ลำดับที่สอง

เรามี: (เนื่องจากสองคอลัมน์แรกเหมือนกัน)

(เนื่องจากบรรทัดที่สองและสามเป็นสัดส่วน)

เราเห็นสิ่งนั้น rA=2, a เป็นฐานรองของเมทริกซ์ ก.

ข. เราพบ.

ค่อนข้างพื้นฐานเล็กน้อย M2'เมทริกซ์ กล้อมรอบด้วยคอลัมน์คำศัพท์อิสระและแถวทั้งหมด (เรามีเฉพาะแถวสุดท้าย)

- มันเป็นไปตามนั้น ม3''ยังคงเป็นรองพื้นฐานของเมทริกซ์https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

เพราะ M2'- ฐานรองของเมทริกซ์ กระบบ (2) แล้วระบบนี้จะเทียบเท่ากับระบบ (3) ประกอบด้วยสมการสองตัวแรกของระบบ (2) (สำหรับ M2'อยู่ในสองแถวแรกของเมทริกซ์ A)

(3)

เนื่องจากผู้เยาว์พื้นฐานhttps://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

ในระบบนี้มีสิ่งที่ไม่รู้จักฟรีสองตัว ( x2 และ x4 - นั่นเป็นเหตุผล เอฟเอสอาร์ ระบบ (4) ประกอบด้วยสองโซลูชั่น เพื่อค้นหาพวกมัน เราได้มอบหมายสิ่งที่ไม่รู้จักฟรีเข้ามา (4) ค่านิยมก่อน x2=1 , x4=0 และจากนั้น - x2=0 , x4=1 .

ที่ x2=1 , x4=0 เราได้รับ:

.

ระบบนี้มีอยู่แล้ว สิ่งเดียวเท่านั้น วิธีแก้ปัญหา (หาได้โดยใช้กฎของแครมเมอร์หรือวิธีอื่นใด) ลบอันแรกออกจากสมการที่สองเราจะได้:

วิธีแก้ปัญหาของเธอก็คือ x1= -1 , x3=0 - เมื่อพิจารณาถึงคุณค่าต่างๆ x2 และ x4 ซึ่งเราได้เพิ่มเข้าไป เราได้รับโซลูชันพื้นฐานชุดแรกของระบบ (2) : .

ตอนนี้เราเชื่อแล้ว (4) x2=0 , x4=1 - เราได้รับ:

.

เราแก้ระบบนี้โดยใช้ทฤษฎีบทของแครมเมอร์:

.

เราได้รับวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่สองของระบบ (2) : .

โซลูชั่น β1 , β2 และแต่งหน้า เอฟเอสอาร์ ระบบ (2) - จากนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะเป็นดังนี้

γ= ค1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

ที่นี่ ค1 , ค2 – ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

4. มาหาอันกัน ส่วนตัว สารละลาย ระบบที่แตกต่างกัน(1) - เช่นเดียวกับในวรรค 3 แทนระบบ (1) ลองพิจารณาระบบที่เทียบเท่ากัน (5) ประกอบด้วยสมการสองตัวแรกของระบบ (1) .

(5)

ให้เราย้ายสิ่งที่ไม่รู้ฟรีไปทางด้านขวา x2และ x4.

(6)

มาแจกสิ่งไม่รู้ฟรีกันเถอะ x2 และ x4 ค่าที่กำหนดเอง เช่น x2=2 , x4=1 และใส่มันเข้าไป (6) - มาวางระบบกันเถอะ

ระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ (เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ M2'0- เราได้รับการแก้ปัญหา (โดยใช้ทฤษฎีบทของแครเมอร์หรือวิธีเกาส์) x1=3 , x3=3 - เมื่อพิจารณาถึงคุณค่าของสิ่งไม่รู้ฟรี x2 และ x4 เราได้รับ วิธีแก้ปัญหาเฉพาะของระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน(1)α1=(3,2,3,1)

5. ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือจดมันลงไป วิธีแก้ปัญหาทั่วไป α ของระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน(1) : มันเท่ากับผลรวม โซลูชันส่วนตัวระบบนี้และ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบเนื้อเดียวกันที่ลดลง (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

ซึ่งหมายความว่า: (7)

6. การตรวจสอบ.เพื่อตรวจสอบว่าคุณได้แก้ไขระบบอย่างถูกต้องหรือไม่ (1) เราต้องการวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (7) เข้ามาแทนที่ (1) - หากแต่ละสมการกลายเป็นเอกลักษณ์ ( ค1 และ ค2 จะต้องถูกทำลาย) จึงจะพบวิธีแก้ปัญหาอย่างถูกต้อง

เราจะทดแทน (7) เช่นเฉพาะสมการสุดท้ายของระบบ (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

เราได้รับ: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

โดยที่ –1=–1 เราก็มีตัวตน เราทำสิ่งนี้กับสมการอื่นๆ ทั้งหมดของระบบ (1) .

ความคิดเห็นการตรวจสอบมักจะค่อนข้างยุ่งยาก สามารถแนะนำ "การตรวจสอบบางส่วน" ต่อไปนี้: ในโซลูชันทั่วไปของระบบ (1) กำหนดค่าบางอย่างให้กับค่าคงที่ตามอำเภอใจและแทนที่ผลลัพธ์บางส่วนที่ได้ลงในสมการที่ถูกละทิ้งเท่านั้น (เช่นในสมการเหล่านั้นจาก (1) ซึ่งไม่ได้รวมอยู่ใน (5) - หากคุณได้รับตัวตนแล้ว มีแนวโน้มมากขึ้น, โซลูชั่นระบบ (1) พบอย่างถูกต้อง (แต่การตรวจสอบดังกล่าวไม่ได้รับประกันความถูกต้องโดยสมบูรณ์!) เช่น ถ้าเข้า. (7) ใส่ C2=- 1 , C1=1แล้วเราจะได้: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0 เมื่อแทนสมการสุดท้ายของระบบ (1) เราจะได้: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 เช่น –1=–1 เราก็มีตัวตน

ตัวอย่างที่ 2หาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น (1) แสดงความไม่รู้พื้นฐานในแง่ของของฟรี

สารละลาย.เช่นเดียวกับใน ตัวอย่างที่ 1เขียนเมทริกซ์ กและ https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ของเมทริกซ์เหล่านี้ ตอนนี้เราเหลือเพียงสมการของระบบเหล่านั้นเท่านั้น (1) ซึ่งค่าสัมประสิทธิ์รวมอยู่ในค่ารองพื้นฐานนี้ (เช่น เรามีสมการสองสมการแรก) และพิจารณาระบบที่ประกอบด้วยสมการเหล่านั้น ซึ่งเทียบเท่ากับระบบ (1)

ให้เราถ่ายโอนสิ่งที่ไม่ทราบอิสระไปทางด้านขวามือของสมการเหล่านี้

ระบบ (9) เราแก้ด้วยวิธีเกาส์เซียน โดยพิจารณาทางด้านขวามือเป็นเงื่อนไขอิสระ

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

ตัวเลือกที่ 2

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

ตัวเลือกที่ 4

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

ตัวเลือกที่ 5

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

ตัวเลือกที่ 6

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

คำตอบของระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิต(SLAE) ถือเป็นหัวข้อที่สำคัญที่สุดในหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้นอย่างไม่ต้องสงสัย ปัญหาจำนวนมากจากคณิตศาสตร์ทุกแขนงมาถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ปัจจัยเหล่านี้อธิบายเหตุผลของบทความนี้ เนื้อหาของบทความได้รับการคัดเลือกและจัดโครงสร้างเพื่อให้คุณสามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือ

• หยิบ วิธีการที่เหมาะสมที่สุดคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นของคุณ
• ศึกษาทฤษฎีวิธีการที่เลือก
• แก้ระบบสมการเชิงเส้นของคุณโดยการพิจารณาคำตอบโดยละเอียดของตัวอย่างและปัญหาทั่วไป

คำอธิบายโดยย่อของเนื้อหาของบทความ

ขั้นแรก เราจะให้คำจำกัดความ แนวคิด และสัญลักษณ์ที่จำเป็นทั้งหมด

ต่อไป เราจะพิจารณาวิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ประการแรก เราจะเน้นที่วิธีแครมเมอร์ ประการที่สอง เราจะแสดงวิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการดังกล่าว ประการที่สาม เราจะวิเคราะห์วิธีเกาส์ (วิธี การกำจัดตามลำดับตัวแปรที่ไม่รู้จัก) เพื่อรวมทฤษฎีนี้เข้าด้วยกัน เราจะแก้ SLAE หลายรายการด้วยวิธีที่ต่างกันออกไปอย่างแน่นอน

หลังจากนี้ เราจะมาต่อกันที่การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น มุมมองทั่วไปโดยที่จำนวนสมการไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักหรือเมทริกซ์หลักของระบบเป็นเอกพจน์ ขอให้เรากำหนดทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี ซึ่งช่วยให้เราสามารถสร้างความเข้ากันได้ของ SLAE ได้ ให้เราวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของระบบ (หากเข้ากันได้) โดยใช้แนวคิดเรื่องพื้นฐานรองของเมทริกซ์ เราจะพิจารณาวิธีเกาส์ด้วยและอธิบายรายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง

เราจะอาศัยโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างแน่นอน ขอให้เราให้แนวคิดเกี่ยวกับระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา และแสดงให้เห็นว่าคำตอบทั่วไปของ SLAE เขียนโดยใช้เวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาอย่างไร เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น เรามาดูตัวอย่างกัน

โดยสรุป เราจะพิจารณาระบบสมการที่สามารถลดให้เป็นสมการเชิงเส้นได้ รวมถึงปัญหาต่างๆ ในการแก้ปัญหาที่ SLAE เกิดขึ้น

การนำทางหน้า

คำจำกัดความ แนวคิด การกำหนด

เราจะพิจารณาระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว (p สามารถเท่ากับ n) ของรูปแบบ

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก - ค่าสัมประสิทธิ์ (บางค่าจริงหรือ จำนวนเชิงซ้อน) - เงื่อนไขอิสระ (เช่น จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน)

SLAE รูปแบบการบันทึกนี้เรียกว่า ประสานงาน.

ใน รูปแบบเมทริกซ์การเขียนระบบสมการนี้มีรูปแบบ
ที่ไหน - เมทริกซ์หลักของระบบ - เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก - เมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ

หากเราเพิ่มเมทริกซ์-คอลัมน์ของเทอมอิสระให้กับเมทริกซ์ A เป็นคอลัมน์ที่ (n+1) เราจะได้สิ่งที่เรียกว่า เมทริกซ์ขยายระบบสมการเชิงเส้น โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์แบบขยายจะแสดงด้วยตัวอักษร T และคอลัมน์ของคำศัพท์อิสระจะถูกคั่นด้วยเส้นแนวตั้งจากคอลัมน์ที่เหลือนั่นคือ

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเรียกว่าชุดค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งเปลี่ยนสมการทั้งหมดของระบบให้เป็นอัตลักษณ์ สมการเมทริกซ์สำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปรที่ไม่รู้จักก็จะกลายเป็นตัวตนด้วย

หากระบบสมการมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ ระบบจะเรียกมันว่า ข้อต่อ.

ถ้าระบบสมการไม่มีคำตอบก็จะถูกเรียก ไม่ใช่ข้อต่อ.

ถ้า SLAE มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ก็จะถูกเรียก แน่ใจ- หากมีมากกว่าหนึ่งวิธี ดังนั้น – ไม่แน่นอน.

ถ้าเงื่อนไขอิสระของสมการทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นระบบจะถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกัน, มิฉะนั้น - ต่างกัน.

การแก้ระบบเบื้องต้นของสมการพีชคณิตเชิงเส้น

หากจำนวนสมการของระบบเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับศูนย์ SLAE ดังกล่าวจะถูกเรียก ระดับประถมศึกษา- ระบบสมการดังกล่าวมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว และในกรณีของระบบเอกพันธ์ ตัวแปรที่ไม่รู้จักทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

เราเริ่มศึกษา SLAE ดังกล่าวในโรงเรียนมัธยมปลาย เมื่อทำการแก้โจทย์ เราใช้สมการหนึ่ง แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวหนึ่งในรูปของตัวแปรอื่นๆ แล้วแทนที่มันลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงนำสมการถัดไป แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวถัดไปแล้วแทนที่เป็นสมการอื่น เป็นต้น หรือใช้วิธีการบวก กล่าวคือ เพิ่มสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักบางตัว เราจะไม่เจาะลึกวิธีการเหล่านี้โดยละเอียด เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วเป็นวิธีการปรับเปลี่ยนวิธีเกาส์

วิธีการหลักในการแก้ระบบเบื้องต้นของสมการเชิงเส้นคือวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ และวิธีเกาส์ มาจัดเรียงกันดีกว่า

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครเมอร์

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

โดยจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบ และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบแตกต่างจากศูนย์ กล่าวคือ

อนุญาต เป็นตัวกำหนดเมทริกซ์หลักของระบบ และ - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้รับจาก A โดยการแทนที่ ที่ 1, 2, …, นคอลัมน์ตามลำดับไปยังคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ:

ด้วยสัญลักษณ์นี้ ตัวแปรที่ไม่รู้จักจะถูกคำนวณโดยใช้สูตรของวิธี Cramer เช่น - นี่คือวิธีการหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์

ตัวอย่าง.

วิธีการของแครมเมอร์ .

สารละลาย.

เมทริกซ์หลักของระบบมีรูปแบบ - มาคำนวณดีเทอร์มิแนนต์กัน (หากจำเป็น ดูบทความ):

เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบจึงมีคำตอบเฉพาะที่สามารถพบได้โดยวิธีของแครมเมอร์

มาเขียนและคำนวณปัจจัยกำหนดที่จำเป็นกัน (เราได้รับดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์แรกในเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ ดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์ที่สองด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ และโดยการแทนที่คอลัมน์ที่สามของเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ) : :

การค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยใช้สูตร :

คำตอบ:

ข้อเสียเปรียบหลักของวิธีของแครมเมอร์ (หากเรียกได้ว่าเป็นข้อเสีย) คือความซับซ้อนในการคำนวณปัจจัยกำหนดเมื่อจำนวนสมการในระบบมากกว่าสาม

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์ (โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน)

ให้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นกำหนดไว้ในรูปแบบเมทริกซ์ โดยที่เมทริกซ์ A มีมิติ n คูณ n และดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือไม่เป็นศูนย์

เนื่องจาก ดังนั้นเมทริกซ์ A จึงกลับด้านได้ นั่นคือ มีเมทริกซ์ผกผัน หากเราคูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันทางซ้าย เราจะได้สูตรสำหรับค้นหาคอลัมน์เมทริกซ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก นี่คือวิธีที่เราได้คำตอบสำหรับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีเมทริกซ์.

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเมทริกซ์

สารละลาย.

ลองเขียนระบบสมการใหม่ในรูปแบบเมทริกซ์:

เพราะ

ดังนั้น SLAE สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเมทริกซ์ โดยการใช้ เมทริกซ์ผกผันวิธีแก้ไขของระบบนี้สามารถพบได้ดังนี้ .

มาสร้างเมทริกซ์ผกผันโดยใช้เมทริกซ์จากการบวกพีชคณิตขององค์ประกอบของเมทริกซ์ A (หากจำเป็น ดูบทความ):

ยังคงต้องคำนวณเมทริกซ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยการคูณเมทริกซ์ผกผัน ไปยังคอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกอิสระ (หากจำเป็น ดูบทความ):

คำตอบ:

หรือในรูปแบบอื่น x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1

ปัญหาหลักในการหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์คือความซับซ้อนในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน โดยเฉพาะเมทริกซ์จัตุรัสที่มีลำดับสูงกว่าอันดับสาม

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น n ตัวแปรที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักซึ่งแตกต่างจากศูนย์

สาระสำคัญของวิธีเกาส์ประกอบด้วยการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับ: ตัวแรก x 1 ถูกแยกออกจากสมการทั้งหมดของระบบ เริ่มจากตัวที่สอง จากนั้น x 2 ก็ถูกแยกออกจากสมการทั้งหมด เริ่มจากตัวที่สาม และต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งเหลือเพียงตัวแปรที่ไม่รู้จัก x n เท่านั้น สมการสุดท้าย กระบวนการเปลี่ยนสมการของระบบเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับนี้เรียกว่า วิธีเกาส์เซียนโดยตรง- หลังจากลากเส้นไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียนเสร็จแล้ว จะพบ x n จากสมการสุดท้าย โดยใช้ค่านี้จากสมการสุดท้าย จากนั้นจึงคำนวณ x n-1 และต่อๆ ไป จะได้ x 1 จากสมการแรก กระบวนการคำนวณตัวแปรที่ไม่รู้จักเมื่อย้ายจากสมการสุดท้ายของระบบไปยังสมการแรกเรียกว่า ผกผันของวิธีเกาส์เซียน.

ให้เราอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก

เราจะถือว่า เนื่องจากเราสามารถบรรลุสิ่งนี้ได้เสมอโดยการจัดเรียงสมการของระบบใหม่ ลองกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการทั้งหมดของระบบ โดยเริ่มจากตัวที่สอง ในการดำเนินการนี้ เราบวกสมการแรก คูณด้วย สมการแรก คูณด้วย สมการที่สาม บวกสมการแรก คูณด้วย และอื่นๆ เข้ากับสมการที่ n บวกสมการแรก คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ .

เราคงจะได้ผลลัพธ์เดียวกันถ้าเราแสดง x 1 ในรูปของตัวแปรที่ไม่รู้จักอื่นๆ ในสมการแรกของระบบ และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการอื่นๆ ทั้งหมด ดังนั้นตัวแปร x 1 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สอง

ต่อไปเราดำเนินการในลักษณะเดียวกัน แต่เพียงส่วนหนึ่งของระบบผลลัพธ์ซึ่งมีการทำเครื่องหมายไว้ในรูปเท่านั้น

ในการทำเช่นนี้ เราบวกสมการที่สองเข้ากับสมการที่สามของระบบ บวกสมการที่สองคูณด้วย เข้ากับสมการที่สี่ บวกสมการที่สอง คูณด้วย และต่อไปเรื่อยๆ เข้ากับสมการที่ n บวกสมการที่สอง คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ - ดังนั้นตัวแปร x 2 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สาม

ต่อไปเราดำเนินการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก x 3 และดำเนินการคล้ายกับส่วนของระบบที่ทำเครื่องหมายไว้ในรูป

ดังนั้นเราจึงดำเนินการก้าวหน้าโดยตรงของวิธีเกาส์เซียนต่อไปจนกระทั่งระบบเกิดรูปแบบ

จากนี้ไป เราจะเริ่มต้นการย้อนกลับของวิธีเกาส์เซียน: เราคำนวณ x n จากสมการสุดท้ายเป็น โดยใช้ค่าที่ได้รับของ x n เราจะหา x n-1 จากสมการสุดท้าย และต่อไป เราจะพบ x 1 จากสมการแรก .

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเกาส์

สารละลาย.

ให้เราแยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการที่สองและสามของระบบ ในการทำเช่นนี้ เราได้บวกส่วนที่สอดคล้องกันของสมการแรกเข้ากับทั้งสองด้านของสมการที่สองและสาม คูณด้วยและด้วย ตามลำดับ:

ตอนนี้เรากำจัด x 2 ออกจากสมการที่สามโดยบวกไปทางซ้ายของสมการและ ด้านขวาด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สอง คูณด้วย:

นี่เป็นการสิ้นสุดจังหวะไปข้างหน้าของวิธีเกาส์

จากสมการสุดท้ายของระบบสมการผลลัพธ์ที่เราพบ x 3:

จากสมการที่สองเราได้

จากสมการแรก เราจะพบตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่เหลืออยู่ และด้วยเหตุนี้จึงทำการย้อนกลับของวิธีเกาส์ให้สมบูรณ์

คำตอบ:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบทั่วไป

ใน กรณีทั่วไปจำนวนสมการของระบบ p ไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก n:

SLAE ดังกล่าวอาจไม่มีวิธีแก้ปัญหา มีวิธีแก้ไขปัญหาเดียว หรือมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน ข้อความนี้ยังใช้กับระบบสมการที่มีเมทริกซ์หลักเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเอกพจน์ด้วย

ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี

ก่อนที่จะหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น จำเป็นต้องสร้างความเข้ากันได้ของระบบก่อน คำตอบสำหรับคำถามเมื่อ SLAE เข้ากันได้และเมื่อใดที่ไม่สอดคล้องกันจะได้รับจาก ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี:
เพื่อให้ระบบสมการ p ที่ไม่ทราบค่า n (p สามารถเท่ากับ n) มีความสอดคล้องกัน จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบจะเป็น เท่ากับอันดับเมทริกซ์แบบขยายนั่นคือ Rank(A)=Rank(T)

ให้เราพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลีเพื่อกำหนดความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่าง.

ค้นหาว่าระบบสมการเชิงเส้นมีหรือไม่ โซลูชั่น

สารละลาย.

- เรามาใช้วิธีการแบ่งเขตผู้เยาว์กันดีกว่า ผู้เยาว์ลำดับที่สอง แตกต่างจากศูนย์ ลองดูผู้เยาว์ลำดับที่สามที่อยู่ติดกับ:

เนื่องจากผู้เยาว์ที่มีขอบเขตทั้งหมดของลำดับที่สามมีค่าเท่ากับศูนย์ อันดับของเมทริกซ์หลักจึงเท่ากับสอง

ในทางกลับกัน อันดับของเมทริกซ์ขยาย เท่ากับสาม เนื่องจากผู้เยาว์อยู่ในลำดับที่สาม

แตกต่างจากศูนย์

ดังนั้น, รัง(A) ดังนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี เราสามารถสรุปได้ว่าระบบสมการเชิงเส้นดั้งเดิมไม่สอดคล้องกัน

คำตอบ:

ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ดังนั้นเราจึงได้เรียนรู้ที่จะสร้างความไม่สอดคล้องกันของระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี

แต่จะหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ได้อย่างไรหากมีการสร้างความเข้ากันได้

ในการทำสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องมีแนวคิดเรื่องพื้นฐานรองของเมทริกซ์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับอันดับของเมทริกซ์

ส่วนน้อย ลำดับสูงสุดเรียกว่าเมทริกซ์ A แตกต่างจากศูนย์ ขั้นพื้นฐาน.

จากคำจำกัดความของฐานรอง จะตามมาว่าลำดับของมันเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ สำหรับเมทริกซ์ A ที่ไม่ใช่ศูนย์ อาจมีเมทริกซ์รองได้หลายตัวเสมอ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเมทริกซ์ .

ตัวรองอันดับสามทั้งหมดของเมทริกซ์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจากองค์ประกอบของแถวที่สามของเมทริกซ์นี้เป็นผลรวมขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่หนึ่งและแถวที่สอง

ผู้เยาว์ลำดับที่สองต่อไปนี้เป็นข้อมูลพื้นฐาน เนื่องจากไม่ใช่ศูนย์

ผู้เยาว์ ไม่ใช่พื้นฐาน เนื่องจากมีค่าเท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์

หากอันดับของเมทริกซ์ของลำดับ p คูณ n เท่ากับ r ดังนั้น องค์ประกอบแถว (และคอลัมน์) ทั้งหมดของเมทริกซ์ที่ไม่ได้สร้างพื้นฐานรองที่เลือกจะถูกแสดงเชิงเส้นตรงในแง่ขององค์ประกอบแถว (และคอลัมน์) ที่สอดคล้องกันที่สร้าง พื้นฐานรอง

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์บอกอะไรเรา

ตามทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี หากเราได้กำหนดความเข้ากันได้ของระบบแล้ว เราจะเลือกพื้นฐานรองใดๆ ของเมทริกซ์หลักของระบบ (ลำดับของมันเท่ากับ r) และแยกสมการทั้งหมดที่ทำ ไม่ถือเป็นเกณฑ์รองที่เลือก SLAE ที่ได้รับในลักษณะนี้จะเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม เนื่องจากสมการที่ถูกละทิ้งยังคงซ้ำซ้อน (ตามทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์ พวกมันคือผลรวมเชิงเส้นของสมการที่เหลือ)

เป็นผลให้หลังจากละทิ้งสมการที่ไม่จำเป็นของระบบไปแล้ว จะเป็นไปได้สองกรณี

ถ้าจำนวนสมการ r ในระบบผลลัพธ์เท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก มันจะแน่นอนและสามารถหาคำตอบได้เพียงวิธีเดียวโดยวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์

ตัวอย่าง.

.

สารละลาย.

อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบ มีค่าเท่ากับสอง เนื่องจากผู้เยาว์อยู่ในลำดับที่สอง แตกต่างจากศูนย์ อันดับเมทริกซ์แบบขยาย ก็เท่ากับสองเช่นกัน เนื่องจากรองอันดับสามเพียงอันดับสามเท่านั้นที่เป็นศูนย์

และผู้เยาว์ลำดับที่สองที่พิจารณาข้างต้นแตกต่างจากศูนย์ จากทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี เราสามารถยืนยันความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้นดั้งเดิมได้ เนื่องจากอันดับ(A)=อันดับ(T)=2

เราใช้พื้นฐานรอง - มันถูกสร้างขึ้นโดยค่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่หนึ่งและที่สอง:


สมการที่สามของระบบไม่ได้มีส่วนร่วมในการสร้างฐานรอง ดังนั้นเราจึงแยกมันออกจากระบบตามทฤษฎีบทอันดับของเมทริกซ์:


นี่คือวิธีที่เราได้รับระบบเบื้องต้นของสมการพีชคณิตเชิงเส้น เรามาแก้มันโดยใช้วิธีของ Cramer:


คำตอบ:

x 1 = 1, x 2 = 2

หากจำนวนสมการ r ใน SLAE ผลลัพธ์น้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ดังนั้นทางด้านซ้ายของสมการเราจะปล่อยเงื่อนไขที่เป็นฐานรองไว้และเราถ่ายโอนเงื่อนไขที่เหลือไปทางด้านขวาของ สมการของระบบที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

เรียกว่าตัวแปรที่ไม่รู้จัก (r ในจำนวนนั้น) ที่เหลืออยู่ทางด้านซ้ายของสมการ หลัก.

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก (มี n - r ชิ้น) ที่อยู่ทางด้านขวาเรียกว่า ฟรี.

ตอนนี้เราเชื่อว่าตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระสามารถรับค่าที่กำหนดเองได้ ในขณะที่ตัวแปรที่ไม่รู้จักหลัก r จะถูกแสดงผ่านตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระในลักษณะเฉพาะ นิพจน์เหล่านี้สามารถพบได้โดยการแก้ค่า SLAE ที่เป็นผลลัพธ์โดยใช้วิธี Cramer, วิธีเมทริกซ์ หรือวิธี Gauss

ลองดูด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น .

สารละลาย.

ลองหาอันดับของเมทริกซ์หลักของระบบกัน โดยวิธีการกั้นเขตผู้เยาว์ สมมติว่า 1 1 = 1 เป็นจำนวนรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับแรก มาเริ่มค้นหาผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่สองที่อยู่ติดกับผู้เยาว์นี้:


นี่คือวิธีที่เราพบค่ารองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สอง มาเริ่มค้นหารองลำดับที่สามที่ไม่เป็นศูนย์:


ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักคือสาม อันดับของเมทริกซ์แบบขยายก็เท่ากับสามเช่นกันนั่นคือระบบมีความสอดคล้องกัน

เรานำอันดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สามที่พบมาเป็นฐาน

เพื่อความชัดเจน เราจะแสดงองค์ประกอบที่เป็นพื้นฐานรอง:


เราทิ้งเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกับพื้นฐานรองไว้ทางด้านซ้ายของสมการระบบ และโอนส่วนที่เหลือที่มีเครื่องหมายตรงข้ามไปทางด้านขวา:


ให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 และ x 5 กันนั่นคือเรายอมรับ , ที่ไหนเป็นตัวเลขที่กำหนดเอง ในกรณีนี้ SLAE จะอยู่ในรูปแบบ


ให้เราแก้ระบบประถมศึกษาผลลัพธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์:


เพราะฉะนั้น, .

ในคำตอบของคุณ อย่าลืมระบุตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ

คำตอบ:

ตัวเลขที่กำหนดเองอยู่ที่ไหน

มาสรุปกัน

ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นทั่วไป ก่อนอื่นเราต้องพิจารณาความเข้ากันได้ของระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี หากอันดับของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายแล้วเราจะสรุปได้ว่าระบบเข้ากันไม่ได้

หากอันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยายเราจะเลือกฐานรองและละทิ้งสมการของระบบที่ไม่มีส่วนร่วมในการก่อตัวของฐานรองที่เลือก

ถ้าลำดับของฐานรองเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก SLAE ก็มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยวิธีการใดๆ ก็ตามที่เรารู้จัก

หากลำดับของฐานรองน้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักจากนั้นทางด้านซ้ายของสมการของระบบเราจะปล่อยเงื่อนไขไว้กับตัวแปรที่ไม่รู้จักหลักโอนเงื่อนไขที่เหลือไปทางด้านขวาและให้ค่าตามอำเภอใจ ตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ จากระบบผลลัพธ์ของสมการเชิงเส้น เราค้นหาตัวแปรหลักที่ไม่รู้จักโดยใช้วิธีแครเมอร์ วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์

วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นรูปแบบทั่วไป

วิธีเกาส์สามารถใช้เพื่อแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นใดๆ ก็ตาม โดยไม่ต้องทดสอบความสอดคล้องของระบบก่อน กระบวนการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับทำให้สามารถสรุปเกี่ยวกับทั้งความเข้ากันได้และความไม่เข้ากันของ SLAE และหากมีวิธีแก้ไข ก็จะทำให้สามารถค้นหาได้

จากมุมมองทางการคำนวณ ควรใช้วิธีเกาส์เซียนมากกว่า

ดูมัน คำอธิบายโดยละเอียดและวิเคราะห์ตัวอย่างในบทความเรื่องวิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบทั่วไป

การเขียนคำตอบทั่วไปของระบบพีชคณิตเชิงเส้นแบบเอกพันธ์และแบบไม่เอกพันธ์โดยใช้เวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของคำตอบ

ในส่วนนี้ เราจะพูดถึงระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันพร้อมกันซึ่งมีคำตอบจำนวนอนันต์

ให้เราจัดการกับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันก่อน

ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่ไม่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักคือชุดของคำตอบอิสระเชิงเส้น (n – r) ของระบบนี้ โดยที่ r คือลำดับของฐานรองของเมทริกซ์หลักของระบบ

ถ้าเราแสดงเป็นเส้นตรง โซลูชั่นอิสระ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน เช่น X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) เป็นเมทริกซ์เรียงเป็นแนวคอลัมน์ของมิติ n คูณ 1 ) จากนั้นจึงเป็นคำตอบทั่วไป สำหรับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันนี้จะแสดงเป็นการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาโดยพลการ ค่าสัมประสิทธิ์คงที่ C 1, C 2, ..., C (n-r) นั่นคือ .

คำว่าคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น (ออโรสเลา) หมายถึงอะไร

ความหมายนั้นง่าย: สูตรกำหนดทุกสิ่ง แนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้ SLAE ดั้งเดิมกล่าวอีกนัยหนึ่งว่ารับชุดค่าใด ๆ ของค่าคงที่ตามอำเภอใจ C 1, C 2, ..., C (n-r) โดยใช้สูตรเราจะได้หนึ่งในวิธีแก้ปัญหาของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม

ดังนั้น หากเราพบระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา เราก็สามารถกำหนดคำตอบทั้งหมดของ SLAE เอกพันธ์นี้ได้เป็น

ให้เราแสดงกระบวนการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน

เราเลือกฐานรองของระบบดั้งเดิมของสมการเชิงเส้น แยกสมการอื่นๆ ทั้งหมดออกจากระบบ และโอนพจน์ทั้งหมดที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระไปทางด้านขวามือของสมการของระบบที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม ลองให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรีเป็น 1,0,0,...,0 และคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลักโดยการแก้ระบบประถมศึกษาที่เป็นผลลัพธ์ของสมการเชิงเส้นในทางใดทางหนึ่ง เช่น โดยใช้วิธี Cramer ซึ่งจะส่งผลให้ X (1) - คำตอบแรกของระบบพื้นฐาน หากเราให้ค่าที่ไม่รู้จักฟรีแก่ค่า 0,1,0,0,…,0 และคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลัก เราจะได้ X (2) และอื่นๆ หากเรากำหนดค่า 0.0,…,0.1 ให้กับตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระและคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลัก เราจะได้ X (n-r) . ด้วยวิธีนี้ ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันจะถูกสร้างขึ้น และสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้ในรูปแบบ

สำหรับระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีการแก้ปัญหาทั่วไปจะแสดงอยู่ในรูปแบบ โดยที่ คือคำตอบทั่วไปของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกัน และเป็นคำตอบเฉพาะของ SLAE ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม ซึ่งเราได้รับจากการให้ค่าที่ไม่ทราบค่าอิสระ ​0,0,…,0 และการคำนวณค่าของไม่ทราบหลัก

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและคำตอบทั่วไปของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน .

สารละลาย.

อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายเสมอ เรามาค้นหาอันดับของเมทริกซ์หลักโดยใช้วิธีกำหนดขอบเขตรอง เนื่องจากไม่ใช่ศูนย์รองของลำดับแรก เราจะหาองค์ประกอบ 1 1 = 9 ของเมทริกซ์หลักของระบบ เรามาค้นหาขอบเขตรองที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่สองกันดีกว่า:

พบลำดับรองรองซึ่งแตกต่างจากศูนย์ มาดูผู้เยาว์ลำดับที่สามที่อยู่ติดกับมันเพื่อค้นหาสิ่งที่ไม่ใช่ศูนย์:

ผู้เยาว์ที่มีขอบลำดับที่สามทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักและเมทริกซ์ขยายจะเท่ากับสอง เอาล่ะ เพื่อความชัดเจน ให้เราสังเกตองค์ประกอบของระบบที่ประกอบขึ้นเป็น:

สมการที่สามของ SLAE ดั้งเดิมไม่ได้มีส่วนร่วมในการสร้างฐานรอง ดังนั้นจึงสามารถแยกออกได้:

เราทิ้งคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้หลักไว้ทางด้านขวาของสมการ และโอนคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้ฟรีไปทางด้านขวา:

ให้เราสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ดั้งเดิม ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของ SLAE นี้ประกอบด้วยสองวิธีแก้ปัญหา เนื่องจาก SLAE ดั้งเดิมมีตัวแปรที่ไม่รู้จักสี่ตัวแปร และลำดับของรองพื้นฐานจะเท่ากับสอง ในการค้นหา X (1) เราให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 = 1, x 4 = 0 จากนั้นเราจะค้นหาตัวแปรหลักจากระบบสมการ
.

สั่งได้นะคะ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดงานของคุณ!!!

เพื่อทำความเข้าใจว่ามันคืออะไร ระบบการตัดสินใจขั้นพื้นฐานคุณสามารถชมวิดีโอบทช่วยสอนสำหรับตัวอย่างเดียวกันนี้ได้โดยการคลิก ตอนนี้เรามาดูคำอธิบายที่แท้จริงของงานที่จำเป็นทั้งหมดกันดีกว่า ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของปัญหานี้ได้ละเอียดยิ่งขึ้น

จะหาระบบพื้นฐานของการแก้สมการเชิงเส้นได้อย่างไร?

ลองใช้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้:

เรามาหาวิธีแก้ไขปัญหานี้กัน ระบบเชิงเส้นสมการ เริ่มต้นด้วยพวกเรา คุณต้องเขียนเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบ

ลองแปลงเมทริกซ์นี้ให้เป็นรูปสามเหลี่ยมดูเราเขียนบรรทัดแรกใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง และองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ภายใต้ $a_(11)$ จะต้องทำให้เป็นศูนย์ หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(21)$ คุณต้องลบอันแรกออกจากบรรทัดที่สอง และเขียนผลต่างในบรรทัดที่สอง หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(31)$ คุณต้องลบอันแรกออกจากบรรทัดที่สามและเขียนผลต่างในบรรทัดที่สาม หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(41)$ คุณต้องลบค่าแรกคูณด้วย 2 ออกจากบรรทัดที่สี่ และเขียนผลต่างในบรรทัดที่สี่ หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(31)$ คุณต้องลบค่าแรกคูณด้วย 2 ออกจากบรรทัดที่ห้า และเขียนผลต่างในบรรทัดที่ห้า

เราเขียนบรรทัดแรกและบรรทัดที่สองใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง และองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ภายใต้ $a_(22)$ จะต้องทำให้เป็นศูนย์ หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(32)$ คุณต้องลบอันที่สองคูณด้วย 2 ออกจากบรรทัดที่สาม แล้วเขียนผลต่างในบรรทัดที่สาม หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(42)$ คุณต้องลบค่าที่สองคูณด้วย 2 ออกจากบรรทัดที่สี่ และเขียนผลต่างในบรรทัดที่สี่ หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(52)$ คุณต้องลบค่าที่สองคูณด้วย 3 ออกจากบรรทัดที่ห้า และเขียนผลต่างในบรรทัดที่ห้า

เราเห็นสิ่งนั้น สามบรรทัดสุดท้ายเหมือนกันดังนั้นหากคุณลบส่วนที่สามจากส่วนที่สี่และห้า ค่าเหล่านั้นจะกลายเป็นศูนย์

ตามเมทริกซ์นี้ เขียนลงไป ระบบใหม่สมการ.

เราจะเห็นว่าเรามีสมการอิสระเชิงเส้นเพียงสามสมการ และสมการไม่ทราบค่าห้ารายการ ดังนั้นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะประกอบด้วยเวกเตอร์สองตัว ดังนั้นพวกเรา เราต้องย้ายสิ่งไม่รู้สองตัวสุดท้ายไปทางขวา.

ตอนนี้เราเริ่มแสดงสิ่งแปลกปลอมที่อยู่ทางด้านซ้ายผ่านสิ่งแปลกปลอมที่อยู่ทางด้านขวา เราเริ่มต้นด้วยสมการสุดท้าย ขั้นแรกเราแทนค่า $x_3$ จากนั้นแทนผลลัพธ์ที่ได้ลงในสมการที่สองและแทนค่า $x_2$ และจากนั้นเข้าไปในสมการแรก และตรงนี้เราแทนค่า $x_1$ ดังนั้นเราจึงแสดงสิ่งแปลกปลอมทั้งหมดที่อยู่ทางด้านซ้ายผ่านสิ่งแปลกปลอมที่อยู่ทางด้านขวา

จากนั้น แทนที่จะเป็น $x_4$ และ $x_5$ เราสามารถแทนที่ตัวเลขใดๆ และหา $x_1$, $x_2$ และ $x_3$ ได้ ตัวเลขห้าตัวแต่ละตัวจะเป็นรากของระบบสมการดั้งเดิมของเรา เพื่อค้นหาเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในนั้น เอฟเอสอาร์เราจำเป็นต้องแทนที่ 1 แทนที่จะเป็น $x_4$ และแทนที่ 0 แทน $x_5$ แล้วหา $x_1$, $x_2$ และ $x_3$ จากนั้นในทางกลับกัน $x_4=0$ และ $x_5=1$