เรียกว่าค่าที่เหมาะสมที่สุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ การแก้ปัญหาการหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์
งานห้องปฏิบัติการครั้งที่ 1 การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น
วัตถุประสงค์ของการทำงานเพิ่มทักษะในการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้วิธีกราฟิก Simplex และ Excel
ปัญหาของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นคือการศึกษาวิธีการหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันเชิงเส้นโดยมีข้อจำกัดเชิงเส้น ฟังก์ชันวัตถุประสงค์คือฟังก์ชันที่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ชุดของค่าของตัวแปรที่ได้รับค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเรียกว่าโซลูชันที่ดีที่สุด (แผนที่เหมาะสมที่สุด) ชุดค่าอื่น ๆ ที่เป็นไปตามข้อ จำกัด เรียกว่าโซลูชันที่ยอมรับได้ (แผนที่ยอมรับได้)
วิธีการแก้ปัญหาเรขาคณิต ฉันลองดูปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้ตัวอย่าง
ตัวอย่าง- ค้นหาค่าสูงสุด ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ล=2x 1 +2x 2 ภายใต้ข้อจำกัดที่กำหนด
สารละลาย.ให้เราสร้างโดเมนคำตอบของระบบข้อจำกัด โดยเปลี่ยนสัญญาณอสมการเป็นสัญญาณความเท่ากันทุกประการ:
ล 1: 3x 1 -2x 2 +6=0,
ล 2: 3x 1 +x 2 -3=0,
ล 3:x 1 -3=0.
ดีกับ
2 0 1 3 เอ็กซ์ 1
(ล 1) (ล 3)
ตรง ล 1 แบ่งเครื่องบิน เอ็กซ์เกี่ยวกับ ที่ออกเป็นสองระนาบครึ่งซึ่งคุณจะต้องเลือกอันที่ตรงกับความไม่เท่าเทียมกันแรกในระบบ (3) เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ลองใช้ t เกี่ยวกับ(0; 0) และแทนที่มันลงในอสมการ หากเป็นจริงคุณจะต้องแรเงาครึ่งระนาบจากเส้นตรงซึ่งเป็นที่ตั้งของสิ่งที่เรียกว่า เกี่ยวกับ(0; 0) ทำเช่นเดียวกันกับเส้นตรง ล 2 และ ล 3. ขอบเขตของการแก้อสมการ (3) คือรูปหลายเหลี่ยม เอบีซีดี- สำหรับแต่ละจุดบนระนาบฟังก์ชัน ลใช้ค่าคงที่ ล=ล 1. เซตของจุดปัจจุบันทั้งหมดเป็นเส้นตรง ล=ค 1 x 1 +ค 2 x 2 (ในกรณีของเรา ล=2x 1 +2x 2) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ กับ(กับ 1 ;กับ 2) (กับ(2; 2)) มาจากจุดกำเนิด หากเส้นนี้เคลื่อนไปในทิศทางบวกของเวกเตอร์ กับแล้วฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ลจะเพิ่มขึ้น ไม่อย่างนั้นก็จะลดลง ดังนั้นในกรณีของเรา เส้นตรงที่ทางออกจากรูปหลายเหลี่ยม เอบีซีดีการตัดสินใจจะต้องผ่านสิ่งที่เรียกว่า ใน(3; 7.5) และดังนั้นจึงรวม ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ใช้ค่าสูงสุด เช่น ลสูงสุด =2ּ3+2ּ7.5=21 ในทำนองเดียวกัน มีการพิจารณาว่าค่าต่ำสุดที่ฟังก์ชันรับคือ ดี(1; 0) และ ลนาที = 2 ּ 1 + 2 ּ 0 = 2
อัลกอริธึมของวิธีซิมเพล็กซ์สำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นมีดังนี้
1. ปัญหาทั่วไปของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นลดลงเหลือเพียงปัญหา Canonical (ข้อจำกัดมีเครื่องหมายเท่ากัน) โดยการแนะนำตัวแปรเสริมให้มากที่สุดเท่าที่มีความไม่เท่าเทียมกันในระบบข้อจำกัด
2. ฟังก์ชั่นเป้าหมายแสดงผ่านตัวแปรพื้นฐานและตัวแปรเสริม
3. ตาราง simplex แรกถูกคอมไพล์ ตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับระบบข้อ จำกัด ที่ได้รับอนุญาตจะถูกเขียนลงในพื้นฐาน (วิธีที่ดีที่สุดคือใช้ตัวแปรเสริมเป็นพื้นฐาน) แถวแรกของตารางจะแสดงรายการตัวแปรทั้งหมดและมีคอลัมน์สำหรับเงื่อนไขอิสระ ค่าสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันเป้าหมายที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามจะถูกเขียนไว้ในแถวสุดท้ายของตาราง
4. ตารางซิมเพล็กซ์แต่ละตารางให้คำตอบสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น: ตัวแปรอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวแปรพื้นฐานมีค่าเท่ากับเทอมอิสระ ตามลำดับ
5. เกณฑ์การปรับให้เหมาะสมคือการไม่มีองค์ประกอบเชิงลบในแถวสุดท้ายของตารางสำหรับการแก้ปัญหาสูงสุดและองค์ประกอบเชิงบวกสำหรับขั้นต่ำ
6. เพื่อปรับปรุงโซลูชัน จำเป็นต้องย้ายจากตารางซิมเพล็กซ์หนึ่งไปยังอีกตารางหนึ่ง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาคอลัมน์หลักในตารางก่อนหน้าที่สอดคล้องกับองค์ประกอบลบที่เล็กที่สุดในแถวสุดท้ายของตารางในปัญหาสูงสุดและค่าสัมประสิทธิ์บวกที่ใหญ่ที่สุดในปัญหาขั้นต่ำ จากนั้นจะพบแถวสำคัญที่สอดคล้องกับอัตราส่วนขั้นต่ำของเงื่อนไขอิสระกับองค์ประกอบเชิงบวกที่สอดคล้องกันของคอลัมน์หลัก ที่จุดตัดของคอลัมน์หลักและแถวหลักคือองค์ประกอบหลัก
7. เราเริ่มกรอกตารางซิมเพล็กซ์ต่อไปนี้โดยกรอกพื้นฐาน: ตัวแปรที่สอดคล้องกับแถวคีย์นั้นได้มาจากพื้นฐานและแทนที่ตัวแปรที่สอดคล้องกับคอลัมน์คีย์ องค์ประกอบของสตริงคีย์เดิมได้มาจากการแบ่งองค์ประกอบเดิมด้วยคีย์หนึ่ง องค์ประกอบของคอลัมน์คีย์เดิมจะกลายเป็นศูนย์ ยกเว้นองค์ประกอบคีย์ซึ่งเป็นหนึ่ง องค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดคำนวณโดยใช้กฎสี่เหลี่ยมผืนผ้า:
8. การแปลงตารางซิมเพล็กซ์จะดำเนินการจนกว่าจะได้แผนงานที่เหมาะสมที่สุด
ตัวอย่าง- ค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน 
ถ้าเป็นตัวแปร 
เป็นไปตามระบบข้อจำกัด:
สารละลาย. 1. แนะนำตัวแปรใหม่ 
ด้วยความช่วยเหลือที่เราแปลงความไม่เท่าเทียมกันของระบบให้เป็นสมการ:
เราเปลี่ยนเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์หรือเขียนในรูปแบบ 
- เรากรอกตารางซิมเพล็กซ์แรกในเส้นศูนย์ที่เราเขียน เอ็กซ์ 1 ,เอ็กซ์ 2 และ 
(อัตราต่อรองฟรี) ในคอลัมน์ศูนย์ - เอ็กซ์ 3 ,เอ็กซ์ 4 ,เอ็กซ์ 5 และ เอฟ- เรากรอกตารางนี้โดยใช้ระบบสมการผลลัพธ์และฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่แปลงแล้ว
|
|
|
|
|
|
| |||
|
| |||
|
| |||
|
|
เราตรวจสอบเกณฑ์การปรับให้เหมาะสมเพื่อค้นหาค่าสูงสุด: ในบรรทัดสุดท้าย ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดจะต้องเป็นค่าบวก ไม่เป็นไปตามเกณฑ์นี้ ดังนั้นเราจึงดำเนินการรวบรวมตารางที่สองต่อไป
2. ค้นหาองค์ประกอบการแก้ปัญหาของตารางแรกดังนี้ ในบรรดาองค์ประกอบของแถวสุดท้าย เราเลือกค่าสัมประสิทธิ์ลบที่ใหญ่ที่สุดในขนาด (นี่คือ -3) และนำคอลัมน์ที่สองมาแก้ไข หากค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของคอลัมน์ไม่เป็นบวก แสดงว่า 
.
ในการกำหนดแถวการหาค่า เราจะแบ่งค่าสัมประสิทธิ์อิสระออกเป็นองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของคอลัมน์การหาค่า และเลือกอัตราส่วนขั้นต่ำ ในขณะที่เราไม่นำค่าสัมประสิทธิ์ติดลบ เรามี 
บรรทัดที่สองได้รับอนุญาต จุดตัดของแถวและคอลัมน์การแก้ไขจะให้องค์ประกอบการแก้ไข - นี่คือ 3
3. กรอกตารางซิมเพล็กซ์ที่สอง ตัวแปรที่จุดตัดที่เราได้รับองค์ประกอบการแก้ไขจะถูกสลับเช่น 
และ 
- เราแทนที่องค์ประกอบการแก้ไขด้วยการผกผันนั่นคือ บน. องค์ประกอบของแถวและคอลัมน์การแก้ไข (ยกเว้นองค์ประกอบการแก้ไข) จะถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบการแก้ไข ในกรณีนี้ เราจะเปลี่ยนเครื่องหมายของค่าสัมประสิทธิ์ของคอลัมน์ความละเอียด
องค์ประกอบที่เหลือของตารางที่สองได้มาโดยใช้กฎสี่เหลี่ยมจากองค์ประกอบของตารางแรก เพื่อให้เซลล์ถูกเติมเต็มและเซลล์ที่มีองค์ประกอบการแยกส่วน เราสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้า จากนั้น จากองค์ประกอบที่จะเติมเซลล์ เราจะลบผลคูณขององค์ประกอบของอีกสองจุดยอดที่เหลือ หารด้วยองค์ประกอบที่แยกส่วน มาแสดงการคำนวณโดยใช้กฎนี้เพื่อกรอกแถวแรกของตารางที่สอง:
.
เรากรอกตารางตามกฎเหล่านี้ต่อไปจนกว่าจะถึงเกณฑ์ เรามีโต๊ะอีกสองโต๊ะสำหรับงานของเรา
|
เอ็กซ์ 1 |
เอ็กซ์ 4 |
เอ็กซ์ 3 |
เอ็กซ์ 2 | ||||||
|
เอ็กซ์ 3 |
เอ็กซ์ 1 |
| |||||||
|
เอ็กซ์ 2 |
|
เอ็กซ์ 2 |
|
|
|
||||
|
เอ็กซ์ 5 |
|
เอ็กซ์ 5 |
| ||||||
|
|
4. ผลลัพธ์ของการดำเนินการอัลกอริทึมนี้เขียนดังนี้ ในตารางสุดท้าย คือองค์ประกอบที่จุดตัดของแถว 
และคอลัมน์ ขให้ค่าสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ในกรณีของเรา 
- ค่าของตัวแปรแถวเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์อิสระ สำหรับปัญหาของเราเรามี 
.
มีวิธีอื่นในการรวบรวมและกรอกตารางซิมเพล็กซ์ ตัวอย่างเช่น สำหรับระยะที่ 1 ตัวแปรและสัมประสิทธิ์อิสระทั้งหมดจะถูกบันทึกไว้ในเส้นศูนย์ของตาราง หลังจากค้นหาองค์ประกอบการแก้ปัญหาโดยใช้กฎเดียวกันในตารางต่อไปนี้ เราจะแทนที่ตัวแปรในคอลัมน์ศูนย์ แต่ไม่ใช่ในแถว เราแบ่งองค์ประกอบทั้งหมดของบรรทัดอนุญาตด้วยองค์ประกอบอนุญาตและเขียนลงในตารางใหม่ สำหรับองค์ประกอบที่เหลือของคอลัมน์ความละเอียดให้เขียนเป็นศูนย์ ต่อไปเราจะดำเนินการตามอัลกอริทึมที่ระบุโดยคำนึงถึงกฎเหล่านี้
เมื่อแก้ไขปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเป็นอย่างน้อย ค่าสัมประสิทธิ์บวกที่ใหญ่ที่สุดจะถูกเลือกในบรรทัดสุดท้าย และอัลกอริทึมที่ระบุจะถูกดำเนินการจนกว่าจะไม่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงบวกในบรรทัดสุดท้าย
การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้ Excel ดำเนินการดังนี้
เพื่อแก้ไขปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ให้ใช้ Add-in การค้นหาโซลูชัน ขั้นแรก คุณต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่ามี Add-in นี้อยู่บนแท็บข้อมูลในกลุ่มการวิเคราะห์ (สำหรับปี 2003 โปรดดูเครื่องมือ) ถ้าคำสั่งค้นหาโซลูชันหรือกลุ่มการวิเคราะห์หายไป คุณต้องดาวน์โหลด Add-in นี้
โดยคลิกไฟล์ Microsoft Office (2010) จากนั้นคลิกปุ่มตัวเลือก Excel ในหน้าต่างตัวเลือกของ Excel ที่ปรากฏขึ้น ให้เลือกกล่อง Add-in ทางด้านซ้าย ที่ด้านขวาของหน้าต่างควรตั้งค่าฟิลด์ควบคุมเป็น Excel Add-in คลิกปุ่ม "ไป" ซึ่งอยู่ถัดจากฟิลด์นี้ ในหน้าต่าง Add-Ins ให้เลือกช่องทำเครื่องหมายถัดจาก ค้นหาวิธีแก้ไข แล้วคลิก ตกลง จากนั้นคุณสามารถทำงานกับโปรแกรมเสริม Search for Solutions ที่ติดตั้งไว้ได้
ก่อนที่จะเรียก Search for a Solution คุณต้องเตรียมข้อมูลสำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (จากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์) บนเวิร์กชีต:
1) กำหนดเซลล์ที่จะวางผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาในบรรทัดแรกที่เราป้อนตัวแปรและฟังก์ชันวัตถุประสงค์ เราไม่ได้กรอกบรรทัดที่สอง (เซลล์ที่เปลี่ยนแปลงได้) ในเซลล์เหล่านี้ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด ป้อนข้อมูลสำหรับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในบรรทัดถัดไป และระบบข้อจำกัด (สัมประสิทธิ์สำหรับไม่ทราบ) ในบรรทัดถัดไป ด้านขวามีการแนะนำข้อ จำกัด (สัมประสิทธิ์อิสระ) โดยปล่อยให้เซลล์ว่างหลังจากบันทึกค่าสัมประสิทธิ์ของระบบข้อ จำกัด
2) แนะนำการพึ่งพาเซลล์ตัวแปรสำหรับฟังก์ชันวัตถุประสงค์และการพึ่งพาเซลล์ตัวแปรสำหรับส่วนด้านซ้ายของระบบข้อจำกัดในเซลล์อิสระที่เหลือ หากต้องการแนะนำสูตรการขึ้นต่อกัน จะสะดวกในการใช้ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ SUMPRODUCT
ถัดไป คุณต้องใช้ Add-on ค้นหาโซลูชัน บนแท็บ ข้อมูล ในกลุ่ม การวิเคราะห์ เลือก ค้นหาโซลูชัน กล่องโต้ตอบ Search for Solution จะปรากฏขึ้น ซึ่งจะต้องดำเนินการดังนี้:
1) ระบุเซลล์ที่มีฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในฟิลด์ "เพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชันวัตถุประสงค์" (เซลล์นี้ต้องมีสูตรสำหรับฟังก์ชันวัตถุประสงค์) เลือกตัวเลือกสำหรับการปรับค่าของเซลล์เป้าหมายให้เหมาะสม (ขยายใหญ่สุด, ย่อเล็กสุด):
2) ในฟิลด์ "การเปลี่ยนเซลล์ตัวแปร" ให้ป้อนเซลล์ที่จะเปลี่ยนแปลง ในช่องถัดไป "ตามข้อจำกัด" ให้ป้อนข้อจำกัดที่ระบุโดยใช้ปุ่ม "เพิ่ม" ในหน้าต่างที่ปรากฏขึ้น ให้ป้อนเซลล์ที่มีสูตรของระบบข้อจำกัด เลือกเครื่องหมายข้อจำกัดและค่าข้อจำกัด (สัมประสิทธิ์อิสระ):
3) ทำเครื่องหมายที่ช่อง "ทำให้ตัวแปรที่ไม่มีข้อจำกัดไม่เป็นค่าลบ" เลือกวิธีการแก้ปัญหา “การค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาเชิงเส้นโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์” หลังจากคลิกปุ่ม "ค้นหาวิธีแก้ไข" กระบวนการแก้ไขปัญหาจะเริ่มต้นขึ้น ด้วยเหตุนี้กล่องโต้ตอบ "ผลลัพธ์การค้นหาโซลูชัน" และตารางต้นฉบับที่มีเซลล์ที่เติมสำหรับค่าตัวแปรและค่าที่เหมาะสมที่สุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะปรากฏขึ้น
ตัวอย่าง.แก้ปัญหาโดยใช้ Excel Solution Add-in ซึ่งเป็นปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น: ค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน 
ภายใต้ข้อจำกัด
,
;
,
.
สารละลาย.เพื่อแก้ปัญหาของเรา เรามาดำเนินการอัลกอริทึมที่ระบุบนแผ่นงาน Excel ป้อนข้อมูลเริ่มต้นในรูปแบบตาราง
เราแนะนำการขึ้นต่อกันสำหรับฟังก์ชันวัตถุประสงค์และระบบข้อจำกัด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใส่สูตร =SUMPRODUCT(A2:B2;A3:B3) ในเซลล์ C2 ในเซลล์ C4 และ C5 ตามลำดับ สูตรคือ: =SUMPRODUCT(A2:B2,A4:B4) และ =SUMPRODUCT(A2:B2,A5:B5) เป็นผลให้เราได้โต๊ะ
เรียกใช้คำสั่ง "ค้นหาโซลูชัน" และกรอกหน้าต่างค้นหาโซลูชันที่ปรากฏขึ้นดังนี้ ในฟิลด์ "เพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชันวัตถุประสงค์" ให้ป้อนเซลล์ C2 เลือกการปรับให้เหมาะสมของค่าเซลล์เป้าหมาย "สูงสุด"
ในช่อง "การเปลี่ยนเซลล์ตัวแปร" ให้ป้อนเซลล์ที่เปลี่ยนแปลง A2:B2 ในช่อง "ตามข้อจำกัด" ให้ป้อนข้อจำกัดที่ระบุโดยใช้ปุ่ม "เพิ่ม" การอ้างอิงไปยังเซลล์ $C$4:$C$5 การอ้างอิงถึงข้อจำกัด =$D$4:$D$5 ระหว่างเซลล์เหล่านั้น<= затем кнопку «ОК».
ทำเครื่องหมายที่ช่อง "ทำให้ตัวแปรที่ไม่มีข้อจำกัดไม่เป็นค่าลบ" เลือกวิธีการแก้ปัญหา “การค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาเชิงเส้นโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์”
การคลิกปุ่ม "ค้นหาวิธีแก้ไข" จะเริ่มกระบวนการแก้ไขปัญหา ด้วยเหตุนี้กล่องโต้ตอบ "ผลลัพธ์การค้นหาโซลูชัน" และตารางต้นฉบับที่มีเซลล์ที่เติมสำหรับค่าตัวแปรและค่าที่เหมาะสมที่สุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะปรากฏขึ้น
ในกล่องโต้ตอบ "ผลลัพธ์การค้นหาโซลูชัน" ให้บันทึกผลลัพธ์ x1=0.75, x2=0.75, F=1.5 - เท่ากับค่าสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์
งานสำหรับงานอิสระ
ภารกิจที่ 1การใช้วิธีกราฟิก Simplex และเครื่องมือ Excel ค้นหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน เอฟ(x) ภายใต้ระบบข้อจำกัดที่กำหนด
1. เอฟ(x)=10x 1 +5x 2 2. เอฟ(x)=3x 1 -2x 2
3. เอฟ(x)=3x 1 +5x 2 4. เอฟ(x)=3x 1 +3x 2
5. เอฟ(x)=4x 1 -3x 2 6. เอฟ(x)=2x 1 -x 2
7. เอฟ(x)=-2x 1 +4x 2 8. เอฟ(x)=4x 1 -3x 2
9. เอฟ(x)=5x 1 +10x 2 10. เอฟ(x)=2x 1 +x 2
11. เอฟ(x)=x 1 +x 2 12. เอฟ(x)=3x 1 +x 2
13. เอฟ(x)=4x 1 +5x 2 14. เอฟ(x)=3x 1 +2x 2
15. เอฟ(x)=-x 1 -x 2 16. เอฟ(x)=-3x 1 -5x 2
17. เอฟ(x)=2x 1 +3x 2 18. เอฟ(x)=4x 1 +3x 2
19. เอฟ(x)=-3x 1 -2x 2 20. เอฟ(x)=-3x 1 +4x 2
21. เอฟ(x)=5x 1 -2x 2 22. เอฟ(x)=-2x 1 +3x 3
23. เอฟ(x)=2x 1 +3x 2 24. เอฟ(x)=4x 1 +3x 2
25. เอฟ(x)=-3x 1 -2x 2 26. เอฟ(x)=-3x 1 +4x 2
27. เอฟ(x)=-2x 1 +4x 2 28. เอฟ(x)=4x 1 -3x 2
29. เอฟ(x)=-x 1 -x 2 30. เอฟ(x)=-3x 1 -5x 2
คำถามทดสอบ
1. ปัญหาอะไรที่เรียกว่าปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น?
2. ยกตัวอย่างปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น
3. ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแก้ไขโดยใช้วิธีกราฟิกได้อย่างไร
4. อธิบายอัลกอริทึมของวิธีซิมเพล็กซ์สำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น
5. อธิบายอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้ Excel
หากมีปัจจัยจำกัดเพียงปัจจัยเดียว (เช่น เครื่องจักรที่หายาก) คุณสามารถค้นหาวิธีแก้ปัญหาได้โดยใช้สูตรง่ายๆ (ดูลิงก์ที่จุดเริ่มต้นของบทความ) หากมีปัจจัยจำกัดหลายประการ จะใช้วิธีการตั้งโปรแกรมเชิงเส้น
การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเป็นชื่อที่ตั้งให้กับเครื่องมือที่ใช้ในวิทยาการจัดการ วิธีการนี้แก้ปัญหาการจัดสรรทรัพยากรที่ขาดแคลนระหว่างกิจกรรมที่แข่งขันกันเพื่อเพิ่มหรือลดค่าตัวเลขบางอย่าง เช่น ส่วนต่างส่วนต่างหรือค่าใช้จ่าย ในธุรกิจสามารถนำมาใช้ในด้านต่างๆ เช่น การวางแผนการผลิตเพื่อเพิ่มผลกำไร การเลือกส่วนประกอบเพื่อลดต้นทุน การเลือกพอร์ตการลงทุนเพื่อเพิ่มผลตอบแทนสูงสุด การเพิ่มประสิทธิภาพการขนส่งสินค้าเพื่อลดระยะทาง การจัดสรรบุคลากรเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพการดำเนินงานสูงสุด และการจัดตารางเวลางานใน เพื่อประหยัดเวลา
ดาวน์โหลดบันทึกในรูปแบบ รูปภาพในรูปแบบ
การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาที่กำลังพิจารณา หลังจากนั้นคุณจะพบวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิก (จะกล่าวถึงด้านล่าง) โดยใช้ Excel (จะกล่าวถึงแยกต่างหาก) หรือโปรแกรมคอมพิวเตอร์เฉพาะทาง
บางที การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อาจเป็นส่วนที่ยากที่สุดของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น โดยต้องมีการแปลปัญหาภายใต้การพิจารณาให้เป็นระบบของตัวแปร สมการ และอสมการ ซึ่งเป็นกระบวนการที่ท้ายที่สุดขึ้นอยู่กับทักษะ ประสบการณ์ ความสามารถ และสัญชาตญาณของ ผู้สร้างโมเดล
ลองพิจารณาตัวอย่างการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น
Nikolai Kuznetsov บริหารโรงงานเครื่องจักรกลขนาดเล็ก ในเดือนหน้าเขาวางแผนที่จะผลิตผลิตภัณฑ์สองรายการ (A และ B) ซึ่งมีกำไรส่วนเพิ่มเฉพาะเจาะจงอยู่ที่ 2,500 และ 3,500 รูเบิล ตามลำดับ
ผลิตภัณฑ์ทั้งสองต้องใช้เครื่องจักร วัตถุดิบ และค่าแรงในการผลิต (รูปที่ 1) แต่ละหน่วยของผลิตภัณฑ์ A ต้องใช้เวลาในการตัดเฉือน 3 ชั่วโมง วัตถุดิบ 16 หน่วย และแรงงาน 6 หน่วยในการผลิต ข้อกำหนดหน่วยที่สอดคล้องกันสำหรับผลิตภัณฑ์ B คือ 10, 4 และ 6 Nicholas คาดการณ์ว่าในเดือนหน้าเขาจะสามารถจัดหาการตัดเฉือน 330 ชั่วโมง วัตถุดิบ 400 หน่วย และแรงงาน 240 หน่วย เทคโนโลยีของกระบวนการผลิตต้องผลิตผลิตภัณฑ์ B อย่างน้อย 12 หน่วยในเดือนใดก็ตาม
ข้าว. 1. การใช้และการจัดหาทรัพยากร
Nikolai ต้องการสร้างแบบจำลองเพื่อกำหนดจำนวนหน่วยของผลิตภัณฑ์ A และ B ที่เขาต้องผลิตในเดือนหน้าเพื่อเพิ่มส่วนต่างกำไรสูงสุด
แบบจำลองเชิงเส้นสามารถสร้างได้ภายในสี่ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1: การกำหนดตัวแปร
มีตัวแปรเป้าหมาย (เรียกว่า Z) ที่ต้องได้รับการปรับให้เหมาะสม นั่นคือ ขยายให้ใหญ่สุดหรือย่อให้เล็กสุด (เช่น กำไร รายได้ หรือค่าใช้จ่าย) Nikolay พยายามเพิ่มส่วนต่างส่วนต่างให้สูงสุด ดังนั้นตัวแปรเป้าหมาย:
Z = กำไรส่วนเพิ่มทั้งหมด (เป็นรูเบิล) ที่ได้รับในเดือนหน้าอันเป็นผลมาจากการผลิตผลิตภัณฑ์ A และ B
มีตัวแปรที่ไม่รู้จักที่ไม่รู้จักจำนวนหนึ่ง (ลองแทนพวกมัน x 1, x 2, x 3 เป็นต้น) ซึ่งจะต้องกำหนดค่าเพื่อให้ได้ค่าที่เหมาะสมที่สุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ซึ่งในกรณีของเราคือ กำไรส่วนเพิ่มทั้งหมด ส่วนต่างส่วนต่างนี้ขึ้นอยู่กับปริมาณของผลิตภัณฑ์ A และ B ที่ผลิตได้ จำเป็นต้องคำนวณค่าของปริมาณเหล่านี้ ดังนั้นจึงแสดงถึงตัวแปรที่ต้องการในแบบจำลอง ดังนั้นเรามาแสดงว่า:
x 1 = จำนวนหน่วยของผลิตภัณฑ์ A ที่ผลิตในเดือนถัดไป
x 2 = จำนวนหน่วยของผลิตภัณฑ์ B ที่ผลิตในเดือนถัดไป
การกำหนดตัวแปรทั้งหมดให้ชัดเจนเป็นสิ่งสำคัญมาก ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับหน่วยการวัดและช่วงเวลาที่ตัวแปรอ้างอิง
เวที. 2. การสร้างฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์
ฟังก์ชันวัตถุประสงค์คือสมการเชิงเส้นที่ต้องขยายให้ใหญ่สุดหรือย่อให้เล็กสุด ประกอบด้วยตัวแปรเป้าหมายที่แสดงโดยใช้ตัวแปรเป้าหมาย นั่นคือ Z แสดงในรูปของ x 1, x 2 ... ในรูปแบบของสมการเชิงเส้น
ในตัวอย่างของเรา แต่ละผลิตภัณฑ์ที่ผลิต A นำมาซึ่ง 2,500 รูเบิล กำไรส่วนเพิ่ม และเมื่อผลิต x 1 หน่วยของผลิตภัณฑ์ A กำไรส่วนเพิ่มจะเป็น 2,500 * x 1 ในทำนองเดียวกัน กำไรส่วนเพิ่มจากการผลิตผลิตภัณฑ์ B x 2 หน่วยจะเท่ากับ 3,500 * x 2 ดังนั้น กำไรส่วนเพิ่มทั้งหมดที่ได้รับในเดือนหน้าโดยการผลิต x 1 หน่วยของผลิตภัณฑ์ A และ x 2 หน่วยของผลิตภัณฑ์ B นั่นคือตัวแปรเป้าหมาย Z จะเป็น:
ซี = 2500 * x 1 + 3500 * x 2
Nikolay มุ่งมั่นที่จะเพิ่มตัวบ่งชี้นี้ให้สูงสุด ดังนั้น ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในแบบจำลองของเราคือ:
เพิ่ม Z สูงสุด = 2500 * x 1 + 3500 * x 2
เวที. 3. กำหนดข้อจำกัด
ข้อจำกัดคือระบบสมการเชิงเส้นและ/หรืออสมการที่จำกัดค่าของตัวแปรที่ต้องการ โดยสะท้อนถึงความพร้อมของทรัพยากร ปัจจัยทางเทคโนโลยี เงื่อนไขทางการตลาด และข้อกำหนดอื่นๆ ทางคณิตศาสตร์ ข้อจำกัดมีได้สามประเภท: "น้อยกว่าหรือเท่ากับ", "มากกว่าหรือเท่ากับ", "เท่ากันอย่างเคร่งครัด"
ในตัวอย่างของเรา การผลิตผลิตภัณฑ์ A และ B ต้องใช้เวลาในการตัดเฉือน วัตถุดิบ และแรงงาน และความพร้อมใช้งานของทรัพยากรเหล่านี้มีจำกัด ปริมาณการผลิตของผลิตภัณฑ์ทั้งสองนี้ (นั่นคือค่า x 1 x 2) จึงถูกจำกัดด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าปริมาณทรัพยากรที่จำเป็นในกระบวนการผลิตต้องไม่เกินปริมาณที่มีอยู่ ลองพิจารณาสถานการณ์ด้วยเวลาในการประมวลผลของเครื่องจักร การผลิตผลิตภัณฑ์ A แต่ละหน่วยต้องใช้เวลาในการตัดเฉือนสามชั่วโมงและหากมีการผลิต x 1 หน่วยก็จะใช้เวลา 3 * x 1 ชั่วโมงของทรัพยากรนี้ ผลิตภัณฑ์ B แต่ละหน่วยต้องใช้เวลาในการผลิต 10 ชั่วโมง ดังนั้น หากมีการผลิตผลิตภัณฑ์ x 2 รายการ ก็จะต้องใช้เวลา 10 * x 2 ชั่วโมง ดังนั้น จำนวนเวลาเครื่องจักรทั้งหมดที่ใช้ในการผลิต x 1 หน่วยของผลิตภัณฑ์ A และ x 2 หน่วยของผลิตภัณฑ์ B คือ 3 * x 1 + 10 * x 2 เวลารวมของเครื่องนี้ต้องไม่เกิน 330 ชั่วโมง ในทางคณิตศาสตร์สิ่งนี้เขียนได้ดังนี้:
3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330
ข้อควรพิจารณาที่คล้ายกันนี้ใช้กับวัตถุดิบและแรงงาน ซึ่งช่วยให้เราสามารถเขียนข้อจำกัดเพิ่มเติมอีกสองข้อ:
16 * x 1 + 4 * x 2 ≤ 400
6 * x 1 + 6 * x 2 ≤ 240
ท้ายที่สุด ควรสังเกตว่ามีเงื่อนไขที่ต้องผลิตผลิตภัณฑ์ B อย่างน้อย 12 หน่วย:
ขั้นตอนที่ 4 การเขียนเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบ
ตัวแปรที่ต้องการไม่สามารถเป็นตัวเลขติดลบได้ ซึ่งจะต้องเขียนในรูปแบบของอสมการ x 1 ≥ 0 และ x 2 ≥ 0 ในตัวอย่างของเรา เงื่อนไขที่สองซ้ำซ้อน เนื่องจากถูกกำหนดไว้สูงกว่านั้น x 2 ต้องไม่น้อยกว่า 12 .
โมเดลการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นที่สมบูรณ์สำหรับปัญหาการผลิตของนิโคไลสามารถเขียนได้เป็น:
ขยายใหญ่สุด: Z = 2500 * x 1 + 3500 * x 2
โดยมีเงื่อนไขว่า: 3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330
16 * x 1 + 4 * x 2 ≤ 400
6 * x 1 + 6 * x 2 ≤ 240
ลองพิจารณาวิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น
วิธีนี้เหมาะสำหรับปัญหาที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักสองตัวเท่านั้น แบบจำลองที่สร้างขึ้นข้างต้นจะถูกนำมาใช้เพื่อสาธิตวิธีการ
แกนบนกราฟแสดงถึงตัวแปรที่สนใจสองตัว (รูปที่ 2) ไม่สำคัญว่าตัวแปรตัวใดจะถูกพล็อตตามแกนใด สิ่งสำคัญคือต้องเลือกมาตราส่วนที่จะทำให้คุณสามารถสร้างไดอะแกรมภาพได้ในที่สุด เนื่องจากตัวแปรทั้งสองต้องไม่เป็นลบ จึงวาดได้เฉพาะควอแดรนท์ที่ 1 เท่านั้น
ข้าว. 2. แกนกราฟการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น
ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาข้อจำกัดแรก: 3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330 อสมการนี้อธิบายพื้นที่ด้านล่างเส้น: 3 * x 1 + 10 * x 2 = 330 เส้นนี้ตัดแกน x 1 ที่ x 2 = 0 นั่นคือสมการมีลักษณะดังนี้: 3 * x 1 + 10 * 0 = 330 และวิธีแก้ปัญหา: x 1 = 330/3 = 110
ในทำนองเดียวกัน เราคำนวณจุดตัดกันด้วยแกน x1 และ x2 สำหรับเงื่อนไขข้อจำกัดทั้งหมด:
| ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ | ขีดจำกัดของค่าที่ยอมรับได้ | จุดตัดกับแกน x 1 | จุดตัดกับแกน x 2 |
| 3 * x 1 + 10 * x 2 ≤ 330 | 3 * x 1 + 10 * x 2 = 330 | x 1 = 110; x 2 = 0 | x 1 = 0; x 2 = 33 |
| 16 * x 1 + 4 * x 2 ≤ 400 | 16 * x 1 + 4 * x 2 = 400 | x 1 = 25; x 2 = 0 | x 1 = 0; x 2 = 100 |
| 6 * x 1 + 6 * x 2 ≤ 240 | 6 * x 1 + 6 * x 2 = 240 | x 1 = 40; x 2 = 0 | x 1 = 0; x 2 = 40 |
| x 2 ≥ 12 | x 2 = 12 | ไม่ข้าม; วิ่งขนานกับแกน x 1 | x 1 = 0; x 2 = 12 |
ข้อจำกัดแรกจะแสดงในรูปกราฟิก 3.
ข้าว. 3. การสร้างขอบเขตของแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้สำหรับข้อจำกัดแรก
จุดใดๆ ภายในสามเหลี่ยมที่เลือกหรือบนขอบเขตของมันจะเป็นไปตามข้อจำกัดนี้ จุดดังกล่าวเรียกว่าถูกต้อง และจุดที่อยู่นอกรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าไม่ถูกต้อง
เราก็แสดงข้อจำกัดที่เหลือบนกราฟเช่นเดียวกัน (รูปที่ 4) ค่า x 1 และ x 2 บนหรือภายในขอบเขตที่แรเงา ABCDE จะเป็นไปตามข้อจำกัดของโมเดลทั้งหมด ภูมิภาคนี้เรียกว่าภูมิภาคแห่งการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้
ข้าว. 4. ขอบเขตของแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้สำหรับแบบจำลองโดยรวม
ตอนนี้ในพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้มีความจำเป็นต้องกำหนดค่า x 1 และ x 2 ที่ขยาย Z ให้สูงสุด เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ในสมการฟังก์ชันวัตถุประสงค์:
ซี = 2500 * x 1 + 3500 * x 2
หาร (หรือคูณ) ค่าสัมประสิทธิ์ก่อน x 1 และ x 2 ด้วยจำนวนเดียวกัน เพื่อให้ค่าผลลัพธ์ตกอยู่ในช่วงที่สะท้อนบนกราฟ ในกรณีของเรา ช่วงนี้คือตั้งแต่ 0 ถึง 120 ดังนั้นอัตราต่อรองสามารถหารด้วย 100 (หรือ 50):
ซี = 25x 1 + 35x 2
จากนั้นกำหนดค่า Z ให้เท่ากับผลคูณของสัมประสิทธิ์ก่อน x 1 และ x 2 (25 * 35 = 875):
875 = 25x 1 + 35x 2
และสุดท้าย หาจุดตัดของเส้นตรงที่มีแกน x 1 และ x 2:
ลองพล็อตสมการเป้าหมายนี้บนกราฟที่คล้ายกับข้อจำกัด (รูปที่ 5):
ข้าว. 5. การใช้ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (เส้นประสีดำ) กับขอบเขตของแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้
ค่า Z คงที่ตลอดเส้นฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ในการค้นหาค่า x 1 และ x 2 ที่เพิ่ม Z ให้สูงสุด คุณจะต้องย้ายเส้นของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ไปยังจุดภายในขอบเขตของขอบเขตของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้แบบขนานซึ่งอยู่ที่ระยะทางสูงสุดจากเส้นเดิม ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ขึ้นและไปทางขวานั่นคือถึงจุด C (รูปที่ 6)
ข้าว. 6. เส้นของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ถึงค่าสูงสุดภายในขอบเขตของแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้ (ที่จุด C)
เราสามารถสรุปได้ว่าทางออกที่ดีที่สุดจะอยู่ที่จุดใดจุดหนึ่งของจุดตัดสินใจ อันไหนจะขึ้นอยู่กับความชันของฟังก์ชันวัตถุประสงค์และปัญหาที่เรากำลังแก้ไข: การขยายใหญ่สุดหรือการย่อเล็กสุด ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องพล็อตฟังก์ชันวัตถุประสงค์ - สิ่งที่จำเป็นคือการกำหนดค่าของ x 1 และ x 2 ที่จุดสุดขั้วแต่ละจุดโดยการอ่านจากแผนภาพหรือโดยการแก้สมการคู่ที่เหมาะสม จากนั้นค่าที่พบของ x 1 และ x 2 จะถูกแทนที่ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์เพื่อคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของ Z ทางออกที่ดีที่สุดคือค่าที่ได้รับค่าสูงสุดของ Z เมื่อแก้ไขปัญหาการขยายสูงสุดและค่าต่ำสุดเมื่อแก้ไข ปัญหาการย่อให้เล็กสุด
ตัวอย่างเช่นให้เรากำหนดค่าของ x 1 และ x 2 ที่จุด C โปรดทราบว่าจุด C อยู่ที่จุดตัดของเส้น: 3x 1 + 10x 2 = 330 และ 6x 1 + 6x 2 = 240 การแก้ระบบสมการนี้ให้: x 1 = 10, x 2 = 30 ผลการคำนวณสำหรับจุดยอดทั้งหมดของขอบเขตของคำตอบที่เป็นไปได้แสดงไว้ในตาราง:
| จุด | มูลค่า x 1 | มูลค่า x2 | ซี = 2500x 1 + 3500x 2 |
| ก | 22 | 12 | 97 000 |
| ใน | 20 | 20 | 120 000 |
| กับ | 10 | 30 | 130 000 |
| ดี | 0 | 33 | 115 500 |
| อี | 0 | 12 | 42 000 |
ดังนั้น Nikolai Kuznets จะต้องวางแผนสำหรับการผลิตผลิตภัณฑ์ A 10 รายการ A และ B 30 รายการในเดือนหน้าซึ่งจะทำให้เขาได้รับกำไรส่วนเพิ่ม 130,000 รูเบิล
โดยสรุป สาระสำคัญของวิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นสามารถระบุได้ดังต่อไปนี้:
- วาดสองแกนบนกราฟ แทนพารามิเตอร์ทั้งสองของการแก้ปัญหา วาดเฉพาะจตุภาคที่ 1 เท่านั้น
- กำหนดพิกัดของจุดตัดของเงื่อนไขขอบเขตทั้งหมดด้วยแกนโดยแทนที่ค่า x 1 = 0 และ x 2 = 0 สลับกันในสมการของเงื่อนไขขอบเขต
- พล็อตเส้นจำกัดของโมเดลบนกราฟ
- กำหนดขอบเขตบนกราฟ (เรียกว่าขอบเขตการตัดสินใจที่เป็นไปได้) ที่ตรงตามข้อจำกัดทั้งหมด หากไม่มีภูมิภาคดังกล่าว แสดงว่าโมเดลไม่มีวิธีแก้ไข
- กำหนดค่าของตัวแปรที่ต้องการ ณ จุดสูงสุดของพื้นที่การตัดสินใจ และในแต่ละกรณีให้คำนวณค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปรเป้าหมาย Z
- สำหรับปัญหาการขยายใหญ่สุด วิธีแก้คือจุดที่ Z มีค่าน้อยที่สุด
หัวข้อ: การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น
งาน 2.ก. การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นโดยวิธีกราฟิก
ความสนใจ!
นี่คือรุ่นทดลองของงานหมายเลข 2073 ราคาของต้นฉบับคือ 200 รูเบิล ออกแบบในไมโครซอฟต์เวิร์ด
การชำระเงิน. รายชื่อผู้ติดต่อ
ตัวเลือก 7. ค้นหาค่าสูงสุดและต่ำสุดฟังก์ชันเชิงเส้น Ф = 2x 1 - 2 x 2มีข้อจำกัด: x 1 + x 2 ≥ 4;
- x 1 + 2 x 2 ≤ 2;
x 1 + 2 x 2 ≤ 10;
x ผม ≥ 0, ผม = 1.2
สารละลาย:
โดยการแทนที่เครื่องหมายอสมการอย่างมีเงื่อนไขด้วยเครื่องหมายความเท่าเทียมกันเราจะได้ระบบสมการ x1 + x2 = 4;
- x1 + 2 x2 = 2;
x1 + 2 x2 = 10
ให้เราสร้างเส้นตรงโดยใช้สมการเหล่านี้ จากนั้นตามสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกัน เราเลือกครึ่งระนาบและรับส่วนที่เหมือนกัน - พื้นที่ของคำตอบที่ยอมรับได้ของ ODR - MNPQ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
ค่าฟังก์ชันขั้นต่ำ
tions - ณ จุด M(2; 2)
Ф นาที = 2·2 - 2·2 = 0
ถึงค่าสูงสุดที่จุด N (10; 0)
Ф สูงสุด = 2·10 - 2·0 = 20
ตัวเลือก 8 ค้นหาค่าสูงสุดและต่ำสุด
ฟังก์ชันเชิงเส้น Ф = x 1 + x 2
มีข้อจำกัด: x 1 - 4 x 2 - 4 ≤ 0;
3 x 1 - x 2 ≥ 0;
x 1 + x 2 - 4 ≥ 0;
x ผม ≥ 0, ผม = 1.2
สารละลาย:
โดยการแทนที่เครื่องหมายอสมการอย่างมีเงื่อนไขด้วยเครื่องหมายความเท่าเทียมกันเราจะได้ระบบสมการ x1 - 4 x2 = 4 ;
3 x1 - x2 = 0;
ให้เราสร้างเส้นตรงโดยใช้สมการเหล่านี้ จากนั้นตามสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกัน เราเลือกครึ่งระนาบและรับส่วนที่เหมือนกัน - พื้นที่ของคำตอบที่ยอมรับได้ของ ODR - MNPQ รูปหลายเหลี่ยมไม่จำกัด
ค่าฟังก์ชันขั้นต่ำ
tions – บน NP โดยตรง เป็นต้น
ที่จุด P(4; 0)
Ф นาที = 4 + 0 = 4
ODR ไม่ได้ถูกจำกัดจากด้านบน ดังนั้น Ф max = + ∞
ตัวเลือก 10 ค้นหาค่าสูงสุดและต่ำสุด
ฟังก์ชันเชิงเส้น Ф = 2 x 1 - 3 x 2
มีข้อจำกัด: x 1 + 3 x 2 ≤ 18;
2 x 1 + x 2 ≤ 16;
x 2 ≤ 5;
x ผม ≥ 0, ผม = 1.2
โดยการแทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายความเท่าเทียมกันอย่างมีเงื่อนไขเราจะได้ระบบสมการ
x 1 + 3 x 2 = 18 (1);
2 x 1 + x 2 = 16 (2);
3 x 1 = 21 (4)
เรามาสร้างเส้นตรงโดยใช้สมการเหล่านี้ จากนั้นตามสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกัน เลือกครึ่งระนาบและรับส่วนที่เหมือนกัน - พื้นที่ของคำตอบที่ยอมรับได้ของ ODR - รูปหลายเหลี่ยม MNPQRS
มาสร้างเวกเตอร์ Г(2; -3) แล้ววาดผ่านจุดกำเนิดของพิกัดกัน เส้นระดับ- ตรง.
เราเลื่อนเส้นระดับไปในทิศทางค่าของ Ф จะเพิ่มขึ้น ที่จุด S(7; 0) ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ถึงค่าสูงสุด Ф สูงสุด =2·7–3·0= = 14 เราเลื่อนเส้นระดับไปในทิศทาง ค่าของ Ф จะลดลง ค่าต่ำสุดของฟังก์ชันอยู่ที่จุด N(0; 5)
Ф นาที = 2·0 – 3·5 = –15
งาน 2.B. การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น
วิธีวิเคราะห์เชิงเริมซ์
ตัวเลือก 7. ลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้เหลือน้อยที่สุด Ф = x 1 - x 2 + x 3 + x 4 + x 5 - x 6
มีข้อจำกัด: x 1 + x 4 +6 x 6 = 9,
3 x 1 + x 2 – 4 x 3 + 2 x 6 = 2,
x 1 + 2 x 3 + x 5 + 2 x 6 = 6
สารละลาย:
จำนวนสิ่งที่ไม่ทราบ n=6 จำนวนสมการ m=3 ดังนั้น r = n-m = 3 ค่าที่ไม่รู้จักสามารถนำไปใช้ได้ฟรี ลองเลือก x 1, x 3 และ x 6
เราแสดงตัวแปรพื้นฐาน x 2 , x 4 และ x 5 ในรูปของตัวแปรอิสระและลดระบบให้เป็นหน่วย
x 2 = 2 – 3 x 1 + 4 x 3 – 2 x 6
x 4 = 9 – x 1 – 6 x 6 (*)
x 5 = 6 – x 1 – 2 x 3 – 2 x 6
ฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะมีลักษณะดังนี้:
Ф = x 1 - 2 + 3 x 1 - 4 x 3 + 2 x 6 + x 3 + 9 – x 1 – 6 x 6 +6 – x 1 – 2 x 3 – 2 x 6 – x 6 =
13 + 2 x 1 – 5 x 3 – 7 x 6
ลองใส่ x 1 = x 3 = x 6 = 0 และตัวแปรพื้นฐานจะใช้ค่า x 2 = 2; x 4 = 9; x 5 = 6 นั่นคือวิธีแก้ปัญหาแรกที่เป็นไปได้ (0; 2; 0; 9; 6; 0) ฟังก์ชันวัตถุประสงค์Ф 1 = 13
ตัวแปร x 3 และ x 6 จะรวมอยู่ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ลบ ดังนั้นเมื่อค่าเพิ่มขึ้น ค่าของ Ф จะลดลง ลองใช้ x 6 เป็นตัวอย่าง. จากสมการที่ 1 ของระบบ (*) เป็นที่ชัดเจนว่าการเพิ่มค่า x 6 เป็นไปได้สูงสุด x 6 = 1 (ในขณะที่ x 2 ³ 0) ในกรณีนี้ x 1 และ x 3 ยังคงเท่ากับศูนย์ ตอนนี้เราใช้ x 4, x 5, x 6 เป็นตัวแปรพื้นฐาน และ x 1, x 2, x 3 เป็นตัวแปรอิสระ ให้เราแสดงตัวแปรพื้นฐานใหม่ในแง่ของตัวแปรอิสระใหม่ เราได้รับ
x 6 = 1 – 3/2 x 1 – 1/2 x 2 + 2 x 3
x 4 = 3 + 8 x 1 + 3 x 2 – 12 x 3
x 5 = 4 + 2 x 1 + x 2 – 6 x 3
Ф = 6 + 25/2 x 1 + 7/2 x 2 – 19 x 3
ลองกำหนดค่าศูนย์ให้กับตัวแปรอิสระนั่นคือ x 1 = x 2 = x 3 = 0 ในขณะที่ x 6 = 1, x 4 = 3, x 5 = 4 นั่นคือวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ที่สาม (0 ; 0; 0; 3; 1) ในกรณีนี้Ф 3 = 6
ตัวแปร x 3 รวมอยู่ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ลบ ดังนั้นการเพิ่ม x 3 เทียบกับค่าศูนย์จะทำให้ค่า F ลดลง จากสมการที่ 2 ชัดเจนว่า x 3 สามารถเพิ่มเป็น 1/4 ได้ จากสมการที่ 3 - ถึง 2/3 . สมการที่สองมีความสำคัญมากกว่า ให้เราแปลงตัวแปร x 3 เป็นจำนวนพื้นฐาน และ x 4 เป็นจำนวนอิสระ
ตอนนี้เราใช้ x 1, x 2 และ x 4 เป็นตัวแปรอิสระใหม่ ให้เราแสดงตัวแปรพื้นฐานใหม่ผ่านพวกเขา x 3, x 5, x 6 มาวางระบบกันเถอะ
x 3 = 1/4 + 2/3 x 1 + 1/4 x 2 – 1/12 x 4
x 5 = 5/2 – 2 x 1 – 1/2 x 2 + 1/2 x 4
x 6 = 3/2 – 1/6 x 1 – 1/6 x 4
ฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะอยู่ในรูปแบบ
Ф = 5/4 - 1/6 x 1 - 5/4 x 2 + 19/12 x 4
ตัวแปร x 1 และ x 2 รวมอยู่ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ลบ ดังนั้นเมื่อค่าเพิ่มขึ้น ค่าของ Ф จะลดลง ลองยกตัวอย่าง x 2 กัน จากสมการที่ 2 ของระบบเป็นที่ชัดเจนว่าการเพิ่มค่า x 2 เป็นไปได้สูงสุด x 2 = 5 (ในขณะที่ x 5 ³ 0) ในกรณีนี้ x 1 และ x 4 ยังคงเป็นศูนย์ ค่าของตัวแปรอื่นจะเท่ากับ x 3 = 3/2; x 5 = 0, x 6 = 3/2 นั่นคือวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ข้อที่สี่ (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2) ในกรณีนี้Ф 4 = 5/4
ตอนนี้เราใช้ x 1, x 4 และ x 5 เป็นตัวแปรอิสระใหม่ ให้เราแสดงตัวแปรพื้นฐานใหม่ผ่านพวกเขา x 2, x 3, x 6 มาวางระบบกันเถอะ
x 2 = 5 – 4 x 1 + x 4 – 2 x 5
x 3 = 3/2 – 1/3 x 1 + 1/6 x 4 – 1/2 x 5
x 6 = 3/2 – 1/6 x 1 – 1/6 x 4
ฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะอยู่ในรูปแบบ
Ф = - 5 + 29/6 x 1 + 1/3 x 4 + 5/2 x 5
ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรทั้งสองในนิพจน์สำหรับ Ф นั้นเป็นค่าบวก ดังนั้นการลดค่าของ Ф เพิ่มเติมจึงเป็นไปไม่ได้
นั่นคือค่าต่ำสุดของФ min = - 5 ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สุดท้าย (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2) เหมาะสมที่สุด
ตัวเลือก 8 เพิ่มฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้สูงสุด Ф = 4 x 5 + 2 x 6
มีข้อจำกัด: x 1 + x 5 + x 6 = 12;
x 2 + 5 x 5 - x 6 = 30;
x 3 + x 5 - 2 x 6 = 6;
2 x 4 + 3 x 5 - 2 x 6 = 18;
สารละลาย:
จำนวนสมการคือ 4 จำนวนไม่ทราบคือ 6 ดังนั้น r = n – m = 6 – 4 = สามารถเลือกตัวแปร 2 ตัวเป็นตัวแปรอิสระ โดยมี 4 ตัวแปรเป็นตัวแปรพื้นฐาน เราเลือก x 5 และ x 6 เป็นค่าฟรี และ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 เป็นค่าพื้นฐาน ให้เราแสดงตัวแปรพื้นฐานในรูปของตัวแปรอิสระและลดระบบสมการให้เป็นหน่วยพื้นฐาน
x 1 = 12 - x 5 - x 6 ;
x 2 = 30 - 5 x 5 + x 6 ;
x 3 = 6 - x 5 + 2 x 6 ;
x 4 = 9 - 3/2 x 5 + x 6;
เราเขียนฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในรูปแบบФ = 4 x 5 + 2 x 6 มากำหนดค่าศูนย์ให้กับตัวแปรอิสระ x 5 = x 6 = 0 ในกรณีนี้ตัวแปรพื้นฐานจะใช้ค่า x 1 = 12, x 2 = 30, x 3 = 6, x 4 = 9 นั่นคือเราได้รับวิธีแก้ปัญหาแรกที่เป็นไปได้ (12, 30 , 6, 9, 0,) และ Ф 1 = 0
ตัวแปรอิสระทั้งสองเข้าสู่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์โดยมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงบวกนั่นคือ F เพิ่มขึ้นได้อีก ตัวอย่างเช่น ให้เราแปลง x 6 เป็นจำนวนพื้นฐาน จากสมการ (1) ชัดเจนว่า x 1 = 0 ที่ x 5 = 12 ใน (2) ÷ (4) x 6 รวมอยู่กับสัมประสิทธิ์บวก มาดูพื้นฐานใหม่กัน: ตัวแปรพื้นฐาน - x 6, x 2, x 3, x 4, ฟรี - x 1, x 5 มาแสดงตัวแปรพื้นฐานใหม่ในแง่ของอิสระใหม่กัน
x 6 = 12 - x 1 - x 5;
x 2 = 42 - x 1 - 6 x 5;
x 3 = 30 - 2 x 1 - 3 x 5 ;
x 4 = 21 - x 1 - 5/2 x 5 ;
ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์จะอยู่ในรูปแบบ Ф = 24 - 2 x 1 + 2 x 5 ;
ลองกำหนดค่าศูนย์ให้กับตัวแปรอิสระ x 1 = x 5 = 0 ในกรณีนี้ตัวแปรพื้นฐานจะใช้ค่า x 6 = 12, x 2 = 42, x 3 = 30, x 4 = 21 นั่นคือเราได้รับวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ที่สอง (0, 42 , 30, 21, 0, 12) และ Ф 2 = 24
ฟังก์ชันเป้าหมาย x 5 รวมอยู่ด้วยค่าสัมประสิทธิ์เชิงบวกนั่นคือสามารถเพิ่ม F ได้อีก มาดูพื้นฐานใหม่กัน: ตัวแปรพื้นฐาน - x 6, x 5, x 3, x 4, ฟรี - x 1 , x 2 มาแสดงตัวแปรพื้นฐานใหม่ผ่าน new free กันดีกว่า
x 6 = 5 - 5/6 x 1 + 1/6 x 2;
x 5 = 7 - 1/6 x 1 - 1/6 x 2 ;
x 3 = 9 - 3/2 x 1 + 1/2 x 2 ;
x 4 = 7/2 - 7/12 x 1 + 5/12 x 5 ;
ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์จะอยู่ในรูปแบบ Ф = 38 – 7/2 x 1 – 1/3 x 2 ;
ลองกำหนดค่าศูนย์ให้กับตัวแปรอิสระ x 1 = x 2 = 0 ในกรณีนี้ตัวแปรพื้นฐานจะใช้ค่า x 6 = 5, x 5 = 7, x 3 = 9, x 4 = 7 /2 นั่นคือเราได้รับวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ที่สาม X 3 = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) และ Ф 3 = 38
ตัวแปรทั้งสองเข้าสู่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ลบ กล่าวคือ การเพิ่มขึ้นอีกใน Ф นั้นเป็นไปไม่ได้
ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สุดท้ายจึงเหมาะสมที่สุด นั่นคือ X opt = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) และ Ф max = 38
ตัวเลือก 10 เพิ่มฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้สูงสุด Ф = x 2 + x 3
มีข้อจำกัด: x 1 - x 2 + x 3 = 1,
x 2 - 2 x 3 + x 4 = 2.
สารละลาย:
ระบบสมการ-ข้อจำกัดมีความสอดคล้องกัน เนื่องจากอันดับของเมทริกซ์ของระบบสมการและเมทริกซ์ขยายจะเท่ากันและเท่ากับ 2 ด้วยเหตุนี้ ตัวแปรสองตัวจึงสามารถถือเป็นค่าอิสระได้ ส่วนอีกสองตัวคือตัวแปรพื้นฐาน แสดงเป็นเส้นตรงในรูปของอิสระสองตัว
สมมติว่า x 2 และ x 3 เป็นตัวแปรอิสระ จากนั้นตัวแปรพื้นฐานจะเป็น x 1 และ x 2 ซึ่งเราจะแสดงในรูปของอิสระ
x 1 = 1 + x 2 - x 3 ; -
x 4 = 2 - x 2 + 2 x 3 ;
ฟังก์ชันวัตถุประสงค์แสดงแล้วในรูปของ x 2 และ x 3 นั่นคือ Ф = x 2 + x 3
สำหรับ x 2 =0 และ x 3 =0 ตัวแปรพื้นฐานจะเท่ากับ x 1 = 1, x 4 = 2
เรามีวิธีแก้ปัญหาแรกที่เป็นไปได้ X 1 = (1, 0, 0, 2) โดยที่ Ф 1 = 0
การเพิ่มขึ้นของ Ф สามารถทำได้โดยการเพิ่ม เช่น ค่า x 3 ซึ่งรวมอยู่ในนิพจน์สำหรับ Ф โดยมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงบวก (x 2 ยังคงเท่ากับศูนย์) สมการแรกของระบบ (*) แสดงว่า x 3 สามารถเพิ่มขึ้นเป็น 1 (จากเงื่อนไข x 1 ³0) นั่นคือสมการนี้กำหนดข้อจำกัดในการเพิ่มค่า x 3 กำลังแก้สมการแรกของระบบ (*) จากสมการนี้ เราย้ายไปยังฐานใหม่ โดยสลับ x 1 และ x 3 ตอนนี้ตัวแปรพื้นฐานจะเป็น x 3 และ x 4 และตัวแปรอิสระจะเป็น x 1 และ x 2 ตอนนี้ให้เราเขียน x 3 และ x 4 ในรูปของ x 1 และ x 2
เราได้รับ: x 3 = 1 - x 1 + x 2 ; -
x 4 = 4 - 2 x 1 + x 2 ;
Ф = x 2 + 1 - x 1 + x 2 = 1 - x 1 + 2 x 2
เมื่อเท่ากับตัวแปรอิสระให้เป็นศูนย์เราจะได้โซลูชันพื้นฐานที่ยอมรับได้ตัวที่สอง X 2 = (0; 0; 1; 4) ซึ่งФ 2 = 1
การเพิ่มขึ้นของ Ф สามารถทำได้โดยการเพิ่ม x2 การเพิ่มขึ้น x 2 ซึ่งตัดสินโดยระบบสมการสุดท้าย (**) ไม่จำกัด ดังนั้น Ф จะใช้ค่าบวกที่มากขึ้นเรื่อยๆ ซึ่งก็คือ Ф สูงสุด = + ¥
ดังนั้นฟังก์ชันวัตถุประสงค์ Ф ไม่ได้ถูกจำกัดจากด้านบน ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด
งาน 2.D. เขียนปัญหาคู่กับปัญหาที่กำหนด
งานเดิม
ตัวเลือก 7 เพิ่มฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้สูงสุด Ф = 2× x 1 - x 4
มีข้อจำกัด: x 1 + x 2 = 20,
x 2 + 2× x 4 ≥ 5,
x 1 + x 2 + x 3 ≤ 8,
x ผม ≥ 0 (ผม = 1, 2, 3, 4)
สารละลาย:
ขอให้เรานำระบบข้อจำกัดมาไว้ในรูปแบบเดียว เช่น รูปแบบบัญญัติ โดยการนำตัวแปรเพิ่มเติมเข้าไปในสมการที่ 2 และ 3
x 1 + x 2 = 20,
x 2 + 2 × x 4 – x 5 = 5,
- x 1 + x 2 + x 3 + x 6 = 8
เราได้รับปัญหาไม่สมมาตรประเภท 2 ปัญหาคู่จะมีลักษณะดังนี้:
ลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้เหลือน้อยที่สุด F = 20 × ย 1 + 5 × ย2+8 × คุณ 3
ที่ปี 1 - ปี 3 ≥ 2,
ปี 1 + ปี 2 + ปี 3 ≥ 0,
คุณ 3 ≥ 0,
2× คุณ 2 ≥ 1,
ย2 ≥ 0,
คุณ 3 ≥ 0.
ตัวเลือก 8 เพิ่มฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ให้สูงสุด Ф = x 2 - x 4 - 3× x5
มีข้อจำกัด: x 1 + 2× x 2 - x 4 + x 5 = 1,
— 4 × x 2 + x 3 + 2× x 4 - x 5 = 2,
3 × x 2 + x 5 + x 6 = 5,
x ฉัน ≥ 0, (ฉัน = 1, 6)
สารละลาย:
เรามีปัญหาการขยายใหญ่สุดเบื้องต้นด้วยระบบข้อจำกัดในรูปแบบของสมการ นั่นคือ ปัญหาคู่หนึ่งมีประเภทที่ไม่สมมาตร 2 ประเภท ซึ่งเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ซึ่งอยู่ในรูปแบบเมทริกซ์มีรูปแบบ:
ปัญหาเดิม: ปัญหาคู่:
ฉ = ค × X สูงสุด F = B ต × ยี่มิน
ที่ A × X = B ที่ A T × ใช่ ≥ ซี ต
ในปัญหาเดิม แถวเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรในฟังก์ชันวัตถุประสงค์มีรูปแบบ C = (0; 1; 0; -1; -3; 0)
เมทริกซ์คอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระและเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรในระบบข้อจำกัดมีรูปแบบ
บี = 2, เอ = 0 - 4 1 2 -1 0
ลองหาเมทริกซ์ที่ถูกย้ายของค่าสัมประสิทธิ์ เมทริกซ์แถวของค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ และเมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ
0 1 0 0 โวลต์ T = (1; 2; 5)
ที่ T = -1 2 0 CT = -1
ปัญหาคู่จะถูกเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:
ค้นหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ F = y 1 + 2 × ย2+5 × คุณ 3
ภายใต้ข้อจำกัด y 1 ≥ 0,
2× ย 1 - 4 × ย2+3 × ปี 3 ≥ 1,
- ย 1 + 2 × ปี 2 ≥ -1,
ปี 1 - ปี 2 + ปี 3 ≥ -3,
ตัวเลือก 10. ย่อฟังก์ชันให้เล็กสุด Ф = x 1 + x 2 + x 3
โดยมีข้อจำกัด: 3× x 1 + 9× x 2 + 7× x 3 ≥ 2,
6 × x 1 + 4 x 2 + 5× x 3 ≥ 3,
8 × x 1 + 2 x 2 + 4× x 3 ≥ 4,
สารละลาย:
เรามีปัญหาการลดขนาดเบื้องต้นด้วยระบบข้อจำกัดในรูปแบบของอสมการ นั่นคือ ปัญหาคู่หนึ่งมีรูปแบบสมมาตรประเภทที่ 3 ซึ่งเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีรูปแบบเมทริกซ์ในรูปแบบ:
ปัญหาเดิม ปัญหาคู่
ฉ = ค × X นาที F = B ต × ใช่สูงสุด
ที่ A × เอ็กซ์ ≥ บี ที่ เอ ที × ย ≤ เอส ที
X ≥ 0 และ ≥ 0
ในปัญหาเดิม เมทริกซ์แถวของสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ เมทริกซ์-คอลัมน์ของเทอมอิสระ และเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรในระบบข้อจำกัดมีรูปแบบ
C = (1; 1; 1), B = 3, A = 6 4 5
ลองหาเมทริกซ์ของปัญหาคู่กัน
บี ที = (2; 3; 4) ซี ที = 3 เอ ที = 9 4 2
ปัญหาคู่ถูกกำหนดดังนี้:
เพิ่มฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้สูงสุด F = 2y 1 + 3y 2 + 4y 3
ภายใต้ข้อจำกัด 3 × ย 1 + 6 × ย2+8 × ปี 3 ≤ 1,
9× ย 1 + 4 × ย2+2 × ปี 3 ≤ 1,
7× ย 1 + 5 × ย2+4 × ปี 3 ≤ 1,
ใช่ ฉัน ≥ 0 (i = 1, 2, 3)
งาน 2.ค. การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้ตารางซิมเพล็กซ์
ตัวเลือก 7 เพิ่มฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้สูงสุด Ф = 2 x 1 - x 2 + 3 x 3 + 2 x 4
มีข้อจำกัด: 2 x 1 + 3 x 2 - x 3 + 2 x 4 ≤ 4,
x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 - 3 x 4 ≥ 1,
4 x 1 + 10 x 2 +3 x 3 + x 4 ≤ 8
สารละลาย:
ขอให้เรานำระบบข้อจำกัดมาสู่รูปแบบที่เป็นที่ยอมรับ
2 x 1 + 3 x 2 – x 3 + 2 x 4 + z 1 = 4, (1)
x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 - 3 x 4 - z 2 = 1, (2)
4 x 1 + 10 x 2 +3 x 3 + x 4 + z 3 = 8 (3)
เรามีระบบ 3 สมการที่มี 7 ไม่ทราบ ให้เราเลือกตัวแปร 3 ตัว x 1 , z 1 , z 3 เป็นตัวแปรพื้นฐาน x 2 , x 3 , x 4 , z 2 เป็นตัวแปรอิสระและแสดงตัวแปรพื้นฐานผ่านพวกมัน
จาก (2) เรามี x 1 = 1 + 2 x 2 - 5 x 3 + 3 x 4 + x 6
แทนเข้าไปใน (1) และ (3) เราก็จะได้
x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 - 3 x 4 - z 2 = 1,
ซี 1 + 7 x 2 - 11 x 3 + 8 x 4 + 2 ซี 2 = 2,
ซี 3 + 18 x 2 - 17 x 3 + 13 x 4 + 4 ซี 2 = 4,
Ф - 3 x 2 + 7 x 3 - 8 x 4 - 2 z 2 = 2
มาสร้างตารางซิมเพล็กซ์กันดีกว่า
ฉันทำซ้ำตารางที่ 1
| ขั้นพื้นฐาน เครื่องปรับอากาศ | เสรีภาพ. เครื่องปรับอากาศ | |||||||||
| x1 | 1 | 1 | — 2 | 5 | — 3 | 0 | — 1 | 0 | 3/8 | |
| ซี 1 | 2 | 0 | 7 | -11 | 1 | 2 | 0 | 1/ 4 | 1/8 | |
| ซี 3 | 4 | 0 | 18 | -17 | 13 | 0 | 4 | 1 | 4/13 | 13/8 |
| เอฟ | 2 | 0 | — 3 | 7 | — 8 | 0 | — 2 | 0 | 1 |
X 1 = (1; 0; 0; 0; 2; 0; 4) Ф 1 = 2
การวนซ้ำครั้งที่สอง ตารางที่ 2
| x1 | 14/8 | 1 | 5/8 | 7/8 | 0 | 3/8 | -2/8 | 0 | 2 | — 1 |
| x4 | 1/ 4 | 0 | 7/8 | -11/8 | 1 | 1/8 | 2/8 | 0 | 11/7 | |
| ซี 3 | 6/8 | 0 | 53/8 | 0 | -13/8 | 6/8 | 1 | 6/7 | 8/7 | |
| เอฟ | 4 | 0 | 4 | — 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | 32/7 |
X 2 = (14/8; 0; 0; 1/4; 0; 0; 4) Ф 2 = 4
การวนซ้ำ III ตารางที่ 3
| x1 | 1 | 1 | — 6 | 0 | 0 | -1 | — 1 | 1/2 | ||
| x4 | 10/ 7 | 0 | 79/7 | 0 | 1 | -17/7 | 10/7 | 11/7 | 11/7 | |
| x3 | 6/7 | 0 | 53/7 | 1 | 0 | -13/7 | 6/7 | 8/7 | 13/14 | |
| เอฟ | 52/7 | 0 | 240/7 | 0 | 0 | -45/7 | 24/7 | 32/7 | 45/14 |
X 3 = (1; 0; 6/7; 10/7; 0; 0; 0) ฉ 3 = 52/7.
การทำซ้ำ IV ตารางที่ 4
| ซี 1 | 1/ 2 | 1/2 | — 3 | 0 | 0 | 1 | -1/2 | -1/2 | ||
| x4 | 37/ 14 | 17/14 | 56/14 | 0 | 1 | 0 | 3/14 | 5/14 | ||
| x3 | 25/14 | 13/14 | 28/14 | 1 | 0 | 0 | -1/14 | 3/14 | ||
| เอฟ | 149/14 | 45/14 | 15 | 0 | 0 | 0 | 3/14 | 19/14 |
เอ็กซ์ 4 = (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0) ฟ 4 = 149/14
ไม่มีตัวเลขติดลบในบรรทัดดัชนีของตารางสุดท้ายนั่นคือในนิพจน์สำหรับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ทั้งหมด Г i< 0. Имеем случай I, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным.
คำตอบ: Ф m ขวาน = 149/14,
ทางออกที่ดีที่สุด (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0)
ตัวเลือก 8. ลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้เหลือน้อยที่สุด Ф = 5 x 1 - x 3
ภายใต้ข้อจำกัด: x 1 + x 2 + 2 x 3 - x 4 = 3,
x 2 + 2 x 4 = 1,
สารละลาย:
จำนวนตัวแปรคือ 4 อันดับของเมทริกซ์คือ 2 ดังนั้นจำนวนตัวแปรอิสระคือ r = 4 - 2 = 2 จำนวนตัวแปรพื้นฐานก็คือ 2 เช่นกัน ให้เราเอา x 3, x 4 เป็น ตัวแปรอิสระ แสดงตัวแปรพื้นฐาน x 1, x 2 ในรูปของอิสระ และให้เราลดระบบให้เป็นหน่วยพื้นฐาน:
x 2 = 1 - 2 x 4,
x 1 = 3 - x 2 - 2 x 3 + x 4 = 3 - 1 + 2 x 4 - 2 x 3 + x 4 = 2 - 2 x 3 + 3 x 4
Ф = 5 x 1 - x 3 = 5 (2 - 2 x 3 + 3 x 4) - x 3 = 10 - 10 x 3 + 15 x 4 - x 3 = 10 - 11 x 3 + 15 x 4
ให้เราเขียนระบบสมการและฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับตารางซิมเพล็กซ์นั่นคือ x 2 + 2 x 4 = 1
x 1 +2 x 3 - 3 x 4 = 2
เอฟ + 11 x 3 - 15 x 4 = 10
มาจัดโต๊ะกันเถอะ
ฉันทำซ้ำตารางที่ 1
| ขั้นพื้นฐาน เครื่องปรับอากาศ | เสรีภาพ. เครื่องปรับอากาศ | ||||||
| เอ็กซ์ 1 | 2 | 1 | 0 | — 3 | 1/2 | ||
| เอ็กซ์ 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 2 | ||
| เอฟ | 10 | 0 | 0 | 11 | — 15 | — 11/2 |
X 1 = (2; 1; 0; 0) Ф 1 = 10
การวนซ้ำครั้งที่สอง ตารางที่ 2
| เอ็กซ์ 3 | 1 | 1/2 | 0 | 1 | -3/2 | 3/4 | |
| เอ็กซ์ 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1/2 | ||
| เอฟ | — 1 | — 11/2 | 0 | 0 | 3/2 | — 3/4 |
X 2 = (0; 1; 1; 0) Ф 2 = -1
การวนซ้ำ III ตารางที่ 3
| เอ็กซ์ 3 | 7/4 | 1/2 | 3/4 | 1 | 0 | ||
| เอ็กซ์ 4 | 1/2 | 0 | 1/2 | 0 | 1 | ||
| เอฟ | — 7/4 | — 11/2 | — 3/4 | 0 | 0 |
X 3 = (0; 0; 7/4; 1/2) F 3 = -7/4
ไม่มีตัวเลขบวกในแถวดัชนีของตารางสุดท้าย นั่นคือในนิพจน์สำหรับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ทั้งหมด Г i > 0 เรามีกรณีที่ I ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานสุดท้ายจึงเหมาะสมที่สุด
คำตอบ: Ф min = -7/4, ทางออกที่ดีที่สุด (0; 0; 7/4; 1/2)
********************
ตัวเลือก 10. ลดขนาดฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้เหลือน้อยที่สุด Ф = x 1 + x 2
ภายใต้ข้อจำกัด: x 1 –2 x 3 + x 4 = 2,
x 2 – x 3 + 2 x 4 = 1,
สารละลาย:
จำนวนตัวแปรคือ 5 อันดับของเมทริกซ์คือ 3 ดังนั้นจำนวนตัวแปรอิสระคือ r = 6-3 = 2 ลองใช้ x 3 และ x 4 เป็นตัวแปรอิสระและ x 1 , x 2 , x 5 เป็นค่าพื้นฐาน สมการทั้งหมดของระบบได้ลดลงเป็นหน่วยพื้นฐานแล้ว (ตัวแปรพื้นฐานแสดงในรูปของอิสระ) แต่เขียนในรูปแบบที่ไม่สะดวกสำหรับการใช้ตารางซิมเพล็กซ์ ให้เราเขียนระบบสมการในรูปแบบ
x 1 - 2 x 3 + x 4 = 2
x 2 - x 3 +2 x 4 = 1
x 5 + x 3 – x 4 . = 5
เราแสดงฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในรูปของตัวแปรอิสระและเขียนในรูปแบบФ - 3 x 3 +3 x 4 = 3
มาจัดโต๊ะกันเถอะ
ฉันทำซ้ำตารางที่ 1
| ขั้นพื้นฐาน เครื่องปรับอากาศ | เสรีภาพ. เครื่องปรับอากาศ | |||||||
| x1 | 2 | 1 | 0 | -2 | 1 | 0 | 2 | -1/2 |
| x2 | 1 | 0 | 1 | -1 | 0 | 1/2 | 1/2 | |
| x5 | 5 | 0 | 0 | 1 | -1 | 1 | 1/2 | |
| เอฟ | 3 | 0 | 0 | -3 | 3 | 0 | -3/2 |
X 1 = (2; 3; 0; 0; 5) ฉ 1 = 3
ตารางที่ 2
| x1 | 3/2 | 1 | -1/2 | -3/2 | 0 | 0 | ||
| x4 | 1/2 | 0 | 1/2 | -1/2 | 1 | 0 | ||
| x5 | 11/2 | 0 | 1/2 | 1/2 | 0 | 1 | ||
| เอฟ | 3/2 | 0 | -3/2 | -3/2 | 0 | 0 |
X 2 = (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2) F 2 = 3/2
ไม่มีจำนวนบวกในแถวดัชนีของตารางสุดท้าย กล่าวคือ ในนิพจน์สำหรับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ทั้งหมด Gi > 0 เรามีกรณีที่ 1 ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานสุดท้ายจึงเหมาะสมที่สุด
คำตอบ: Ф min = 3/2, ทางออกที่ดีที่สุด (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2)
ค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์โดยใช้วิธีกราฟิก
ฉ= 2x 1 + 3x 2 ® สูงสุด
โดยมีข้อจำกัด
สารละลายโดยใช้ตาราง Excel
ก่อนอื่นมาสร้างมันบนกระดาษกันก่อน โซลูชัน Excelระบบความไม่เท่าเทียมกัน
ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันประการแรก
เรามาสร้างเส้นแบ่งเขตโดยใช้จุดสองจุดกัน เราแสดงถึงเส้นตรง (L1) (หรือ Row1) พิกัด เอ็กซ์ 2 เราคำนวณโดยใช้สูตร:
หากต้องการสร้าง ให้เลือกแผนภูมิกระจาย
การเลือกข้อมูลสำหรับโดยตรง
เปลี่ยนชื่อบรรทัด:
การเลือกเค้าโครงแผนภูมิ เปลี่ยนชื่อแกนพิกัด:
เส้นตรง (L1) บนกราฟ:
การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวดสามารถพบได้โดยใช้จุดทดสอบเดียวที่ไม่อยู่ในเส้น (L1) เช่น การใช้จุด (0; 0)П(L1)
0 + 3×0< 18 или 0 < 18 .
อสมการเป็นจริง ดังนั้น คำตอบสำหรับอสมการ (1) จะเป็นระนาบครึ่งระนาบซึ่งมีจุดทดสอบอยู่ (ในรูปด้านล่าง เส้น L1)
จากนั้นเราก็แก้อสมการ (2)
มาสร้างเส้นแบ่งเขต 2 โดยใช้จุดสองจุดกัน เราแสดงเส้นตรงด้วย (L2)
เส้นตรง (L2) บนกราฟ:
วิธีแก้อสมการเข้มงวด 2 สามารถพบได้โดยใช้จุดทดสอบเดียวที่ไม่อยู่ในเส้น (L2) เช่น การใช้จุด (0; 0)П(L2)
เมื่อแทนที่พิกัดของจุด (0; 0) เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกัน
2×0 + 0< 16 или 0 < 16 .
อสมการเป็นจริง ดังนั้น คำตอบสำหรับอสมการ (2) จะเป็นระนาบครึ่งหนึ่งซึ่งมีจุดทดลองอยู่ (ในรูปด้านล่างเส้น L2)
จากนั้นเราก็แก้อสมการ (3)
เรามาสร้างเส้นแบ่งเขตโดยใช้จุดสองจุดกัน เราแสดงถึงเส้นตรง (L3)
เส้นตรง (L3) บนกราฟ:
วิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด 2 สามารถพบได้โดยใช้จุดทดสอบเดียวที่ไม่อยู่ในเส้น (L3) เช่น การใช้จุด (0; 0)П(L3)
เมื่อแทนที่พิกัดของจุด (0; 0) เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกัน
ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง ดังนั้น คำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน (3) จะเป็นระนาบครึ่งระนาบซึ่งมีจุดทดสอบอยู่ (ในรูปด้านล่างเส้น L3)
จากนั้นเราก็แก้อสมการ (4)
เรามาสร้างเส้นแบ่งเขตโดยใช้จุดสองจุดกัน เราแสดงถึงเส้นตรง (L4)
เพิ่มข้อมูลลงในแผ่นงาน Excel
เส้นตรง (L4) บนกราฟ:
การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมที่เข้มงวด 3 เอ็กซ์ 1 < 21 можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L4). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L4).
เมื่อแทนที่พิกัดของจุด (0; 0) เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกัน
ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง ดังนั้น คำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน (4) จะเป็นระนาบครึ่งหนึ่งซึ่งมีจุดทดสอบอยู่ (ในรูปด้านซ้ายของเส้น L4)
โดยการแก้อสมการสองประการ (5) และ (6)
เป็นไตรมาสที่ 1 ล้อมรอบด้วยเส้นพิกัดและ
ระบบความไม่เท่าเทียมกันได้รับการแก้ไขแล้ว วิธีแก้ระบบอสมการ (1) – (6) ในตัวอย่างนี้คือรูปหลายเหลี่ยมนูนที่มุมซ้ายล่างของรูป ซึ่งล้อมรอบด้วยเส้น L1, L2, L3, L4 และเส้นพิกัด และ คุณสามารถตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้เลือกรูปหลายเหลี่ยมอย่างถูกต้องโดยการแทนที่จุดทดสอบ เช่น (1; 1) ลงในแต่ละอสมการของระบบดั้งเดิม เมื่อแทนจุด (1; 1) เราพบว่าความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด รวมถึงข้อจำกัดตามธรรมชาตินั้นเป็นเรื่องจริง
ให้เราพิจารณาฟังก์ชันวัตถุประสงค์
ฉ= 2x 1 + 3x 2 .
มาสร้างเส้นระดับสำหรับค่าฟังก์ชันกัน ฟ=0และ ฟ=12(ค่าตัวเลขจะถูกเลือกโดยพลการ) เพิ่มข้อมูลลงในแผ่นงาน Excel
เส้นระดับบนแผนภูมิ:
มาสร้างเวกเตอร์ทิศทาง (หรือการไล่ระดับสี) (2; 3) กัน พิกัดเวกเตอร์ตรงกับค่าสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ เอฟ.
การแนะนำ
ระยะปัจจุบันของการพัฒนามนุษย์มีความโดดเด่นด้วยความจริงที่ว่ายุคแห่งพลังงานกำลังถูกแทนที่ด้วยยุคของวิทยาการคอมพิวเตอร์ มีการแนะนำเทคโนโลยีใหม่อย่างเข้มข้นในทุกกิจกรรมของมนุษย์ ลุกขึ้น ปัญหาที่แท้จริงเปลี่ยนเป็น สังคมสารสนเทศซึ่งการพัฒนาการศึกษาควรให้ความสำคัญเป็นอันดับแรก โครงสร้างความรู้ในสังคมก็เปลี่ยนแปลงไปเช่นกัน ความรู้พื้นฐานที่มีส่วนช่วยในการพัฒนาความคิดสร้างสรรค์ของแต่ละบุคคลกำลังมีความสำคัญมากขึ้นสำหรับการใช้ชีวิตจริง ความสร้างสรรค์ของความรู้ที่ได้รับและความสามารถในการจัดโครงสร้างให้สอดคล้องกับเป้าหมายก็มีความสำคัญเช่นกัน แหล่งข้อมูลใหม่ของสังคมเกิดขึ้นบนพื้นฐานของความรู้ การก่อตัวและการได้มาซึ่งความรู้ใหม่ควรตั้งอยู่บนพื้นฐานของวิธีการที่เข้มงวดของแนวทางระบบ ซึ่งภายในแนวทางแบบจำลองนั้นครอบครองสถานที่พิเศษ ความเป็นไปได้ของแนวทางการสร้างแบบจำลองนั้นมีความหลากหลายอย่างมาก ทั้งในแง่ของแบบจำลองที่เป็นทางการที่ใช้ และวิธีการนำวิธีการสร้างแบบจำลองไปใช้ การสร้างแบบจำลองทางกายภาพช่วยให้ได้รับผลลัพธ์ที่เชื่อถือได้สำหรับระบบที่ค่อนข้างเรียบง่าย
ปัจจุบันเป็นไปไม่ได้ที่จะตั้งชื่อกิจกรรมของมนุษย์ซึ่งจะไม่ใช้วิธีการสร้างแบบจำลองในระดับใดระดับหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับการจัดการระบบต่างๆ โดยที่กระบวนการหลักคือการตัดสินใจตามข้อมูลที่ได้รับ
1. คำชี้แจงของปัญหา
ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ขั้นต่ำ
แก้ปัญหาการหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์สำหรับระบบข้อจำกัดที่ระบุโดยรูปหลายเหลี่ยมของโซลูชันตามตัวเลือกหมายเลข 16 ของงาน รูปหลายเหลี่ยมของโซลูชันแสดงในรูปที่ 1:
รูปที่ 1 - รูปหลายเหลี่ยมของวิธีแก้ไขปัญหา
ระบบข้อจำกัดและฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหามีดังต่อไปนี้:
จำเป็นต้องแก้ไขปัญหาโดยใช้วิธีการต่อไปนี้:
วิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหา LP
วิธีพีชคณิตในการแก้ปัญหา LP
วิธี Simplex สำหรับการแก้ปัญหา LP
วิธีการหาแนวทางแก้ไขปัญหา LP ที่ยอมรับได้
การแก้ปัญหา dual LP
วิธีแบรนช์และวิธีการผูกมัดสำหรับการแก้ปัญหาจำนวนเต็ม LP
วิธีโกโมริสำหรับการแก้ปัญหาจำนวนเต็ม LP
วิธี Balazs สำหรับการแก้ปัญหา Boolean LP
เปรียบเทียบผลลัพธ์การแก้ปัญหาจากวิธีการต่างๆ และสรุปผลที่เหมาะสมเกี่ยวกับงาน
2. โซลูชันกราฟิกปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น
วิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นใช้ในกรณีที่จำนวนที่ไม่รู้จักไม่เกินสาม สะดวกสำหรับ การวิจัยเชิงคุณภาพคุณสมบัติของสารละลายและใช้ร่วมกับวิธีอื่น (พีชคณิต สาขาและขอบเขต เป็นต้น) แนวคิดของวิธีนี้ขึ้นอยู่กับวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น
ข้าว. 2 วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของปัญหา LP
จุดต่ำสุด
สมการของเส้นที่ผ่านจุดสองจุด A1 และ A2:
เอบี: (0;1); (3;3)
ปะทะ: (3;3); (4;1)
ซีดี: (4;1); (3;0)
อีเอ: (1;0); (0;1)
CF: (0;1); (5;2)
โดยมีข้อจำกัด:
การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้วิธีพีชคณิตซิมเพล็กซ์
การใช้วิธีพีชคณิตในการแก้ปัญหาจำเป็นต้องมีการนำเสนอปัญหา LP โดยทั่วไป ระบบข้อจำกัดเดิมที่ระบุไว้ในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันจะถูกแปลงเป็นสัญกรณ์มาตรฐานเมื่อมีการระบุข้อจำกัดในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน การแปลงระบบข้อจำกัดให้เป็นรูปแบบมาตรฐานมีขั้นตอนต่อไปนี้:
แปลงอสมการเพื่อให้มีตัวแปรและเงื่อนไขอิสระทางด้านซ้าย และ 0 ทางด้านขวา เช่น เพื่อให้ด้านซ้ายมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
แนะนำตัวแปรเพิ่มเติม จำนวนซึ่งเท่ากับจำนวนความไม่เท่าเทียมกันในระบบข้อจำกัด
ด้วยการแนะนำข้อจำกัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความไม่เป็นลบของตัวแปรที่เพิ่มเข้าไป ให้แทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายความเท่าเทียมกันที่เข้มงวด
เมื่อแก้ไขปัญหา LP วิธีพีชคณิตมีการเพิ่มเงื่อนไข: ฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะต้องมีแนวโน้มน้อยที่สุด ถ้า เงื่อนไขนี้หากไม่พอใจ จำเป็นต้องแปลงฟังก์ชันวัตถุประสงค์ตามนั้น (คูณด้วย -1) และแก้ไขปัญหาการย่อขนาด หลังจากพบวิธีแก้ปัญหาแล้ว ให้แทนที่ค่าของตัวแปรลงในฟังก์ชันดั้งเดิมแล้วคำนวณค่าของมัน
การแก้ปัญหาโดยใช้วิธีพีชคณิตถือว่าเหมาะสมที่สุดเมื่อค่าของตัวแปรพื้นฐานทั้งหมดไม่เป็นลบและค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรอิสระในสมการฟังก์ชันวัตถุประสงค์ก็ไม่เป็นลบเช่นกัน หากไม่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ จำเป็นต้องเปลี่ยนระบบความไม่เท่าเทียมกัน โดยแสดงตัวแปรบางตัวในแง่ของตัวแปรอื่นๆ (การเปลี่ยนตัวแปรอิสระและตัวแปรพื้นฐาน) เพื่อให้บรรลุผลตามข้อจำกัดข้างต้น ค่าของตัวแปรอิสระทั้งหมดถือว่าเท่ากับศูนย์
วิธีพีชคณิตในการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเป็นวิธีหนึ่งที่สำคัญที่สุด วิธีการที่มีประสิทธิภาพเมื่อแก้ไขปัญหาเล็กๆ น้อยๆ ด้วยตนเอง เพราะ ไม่ต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์จำนวนมาก การใช้งานเครื่องของวิธีนี้มีความซับซ้อนมากกว่าตัวอย่างเช่นสำหรับวิธี simplex เนื่องจาก อัลกอริธึมการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีพีชคณิตนั้นเป็นการแก้ปัญหาในระดับหนึ่งและประสิทธิผลของการแก้ปัญหาส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับประสบการณ์ส่วนตัว
ตัวแปรอิสระ
เซนต์เลน - เพิ่มเติม ชุด
ตรงตามเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบ ดังนั้นจึงพบวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด
3. การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้ตารางซิมเพล็กซ์
วิธีแก้ปัญหา: ลองนำปัญหามาสู่รูปแบบมาตรฐานสำหรับการแก้ปัญหาโดยใช้ตารางซิมเพล็กซ์
ให้เราลดสมการทั้งหมดของระบบให้อยู่ในรูปแบบ:
เราสร้างตารางซิมเพล็กซ์:
ที่มุมบนของแต่ละเซลล์ของตารางเราป้อนค่าสัมประสิทธิ์จากระบบสมการ
เราเลือกองค์ประกอบบวกสูงสุดในแถว F ยกเว้นว่านี่จะเป็นคอลัมน์ทั่วไป
เพื่อที่จะค้นหาองค์ประกอบทั่วไป เราจึงสร้างความสัมพันธ์สำหรับองค์ประกอบเชิงบวกทั้งหมด 3/3; 9/1;- อัตราส่วนขั้นต่ำในบรรทัด x3 ดังนั้น - สตริงทั่วไปและ =3 - องค์ประกอบทั่วไป
เราพบว่า =1/=1/3 เรานำมันไปที่มุมล่างของเซลล์ซึ่งเป็นที่ตั้งขององค์ประกอบทั่วไป
ในมุมล่างที่ว่างเปล่าทั้งหมดของเส้นทั่วไป เราจะป้อนข้อมูลผลคูณของค่าที่มุมบนของเซลล์ด้วย
เลือกมุมด้านบนของเส้นทั่วไป
ในมุมล่างทั้งหมดของคอลัมน์ทั่วไป เราจะใส่ผลคูณของค่าที่มุมด้านบนด้วย - และเลือกค่าผลลัพธ์
เซลล์ที่เหลือของตารางจะถูกกรอกเป็นผลคูณขององค์ประกอบที่เลือกที่เกี่ยวข้อง
จากนั้นเราสร้างตารางใหม่ซึ่งมีการสลับการกำหนดเซลล์ขององค์ประกอบของคอลัมน์และแถวทั่วไป (x2 และ x3)
ค่าที่เคยอยู่ที่มุมล่างจะถูกเขียนไว้ที่มุมด้านบนของแถวและคอลัมน์ทั่วไปเดิม
ผลรวมของค่าของมุมบนและล่างของเซลล์เหล่านี้ในตารางก่อนหน้าจะถูกเขียนไว้ที่มุมบนของเซลล์ที่เหลือ
4. การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นโดยการหาวิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้
ให้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นได้รับ:
เราสามารถสรุปได้ว่าทุกอย่าง ไม่เช่นนั้นเราจะคูณสมการที่เกี่ยวข้องด้วย -1
เราแนะนำตัวแปรเสริม:
เรายังแนะนำฟังก์ชันเสริมอีกด้วย
เราจะย่อระบบให้เหลือน้อยที่สุดภายใต้ข้อจำกัด (2) และเงื่อนไข
กฎสำหรับการค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่อนุญาต: ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้สำหรับระบบ (1) เราจะย่อรูปแบบ (3) ให้เหลือน้อยที่สุดภายใต้ข้อจำกัด (2) โดยถือว่า xj เป็นสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างอิสระ และใช้ xj เป็นพื้นฐาน
เมื่อแก้ไขปัญหาโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์ อาจเกิดขึ้นได้สองกรณี:
นาที f=0 แล้ว i ทั้งหมดจะต้องเท่ากับศูนย์ และค่าผลลัพธ์ของ xj จะถือเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้สำหรับระบบ (1)
นาที f>0 เช่น ระบบเดิมไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้
ระบบต้นทาง:
มีการใช้เงื่อนไขของปัญหาจากหัวข้อที่แล้ว
ขอแนะนำตัวแปรเพิ่มเติม:
พบวิธีแก้ไขที่ยอมรับได้สำหรับปัญหาเดิม: x1 = 3, x2 = 3, F = -12 จากแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้ เราจะค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาเดิมโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์ ในการทำเช่นนี้ เราจะสร้างตารางซิมเพล็กซ์ใหม่จากตารางที่ได้รับด้านบน โดยลบแถวและแถวที่มีฟังก์ชันเป้าหมายของปัญหาเสริมออก:
จากการวิเคราะห์ตารางซิมเพล็กซ์ที่สร้างขึ้น เราจะพบว่าได้ค้นพบวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาเดิมแล้ว (องค์ประกอบในแถวที่สอดคล้องกับฟังก์ชันวัตถุประสงค์นั้นเป็นค่าลบ) ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ที่พบเมื่อแก้ไขปัญหาเสริมจึงเกิดขึ้นพร้อมกับวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาเดิม:
6. ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นคู่
ระบบข้อจำกัดดั้งเดิมและฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาแสดงอยู่ในภาพด้านล่าง
โดยมีข้อจำกัด:
วิธีแก้ไข: เรามานำระบบข้อจำกัดมาเป็นรูปแบบมาตรฐานกันดีกว่า:
ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับปัญหานี้จะมีรูปแบบ:
การแก้ปัญหาแบบคู่จะดำเนินการโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์อย่างง่าย
ให้เราแปลงฟังก์ชันวัตถุประสงค์เพื่อแก้ไขปัญหาการย่อเล็กสุด และเขียนระบบข้อจำกัดในรูปแบบมาตรฐานสำหรับการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์
y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)
y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)
Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??นาที
ให้เราสร้างตารางซิมเพล็กซ์เริ่มต้นสำหรับการแก้ปัญหา dual LP
ขั้นตอนที่สองของวิธีซิมเพล็กซ์
ดังนั้น ในขั้นตอนที่สามของวิธีซิมเพล็กซ์ พบวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการย่อขนาดด้วยผลลัพธ์ต่อไปนี้: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12 เพื่อที่จะหาค่าของ ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ของปัญหาคู่เราแทนที่ค่าที่พบของตัวแปรพื้นฐานและตัวแปรอิสระเป็นฟังก์ชันการขยายใหญ่สุด:
Фสูงสุด = - Фนาที = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12
เนื่องจากค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาโดยตรงและปัญหาคู่เกิดขึ้นพร้อมกัน วิธีแก้ปัญหาของปัญหาโดยตรงจึงพบได้และมีค่าเท่ากับ 12
เอฟมิน = Фสูงสุด = -12
7. การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มโดยใช้วิธีสาขาและขอบเขต
ให้เราแปลงปัญหาเดิมในลักษณะที่เงื่อนไขจำนวนเต็มไม่เป็นที่พอใจเมื่อแก้ไขโดยใช้วิธีการทั่วไป
รูปหลายเหลี่ยมเริ่มต้นของวิธีแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็ม
สำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่แปลงแล้วของโซลูชันที่เราสร้างขึ้น ระบบใหม่ข้อ จำกัด
ให้เราเขียนระบบข้อจำกัดในรูปแบบของความเท่าเทียมกันที่จะแก้ไขโดยใช้วิธีพีชคณิต
จากผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา พบแผนการที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหา: x1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4 วิธีแก้ไขปัญหานี้ไม่ตรงตามเงื่อนไขจำนวนเต็มที่กำหนดไว้ในปัญหา ลองแบ่งรูปหลายเหลี่ยมของคำตอบเดิมออกเป็นสองส่วน โดยไม่รวมพื้นที่ 3 ไว้ แก้ไขรูปหลายเหลี่ยมการแก้ปัญหา มาสร้างระบบข้อจำกัดใหม่สำหรับพื้นที่ผลลัพธ์ของรูปหลายเหลี่ยมของโซลูชันกันดีกว่า พื้นที่ด้านซ้ายเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (สี่เหลี่ยมคางหมู) ระบบข้อจำกัดสำหรับพื้นที่ด้านซ้ายของรูปหลายเหลี่ยมของโซลูชันแสดงไว้ด้านล่าง ระบบจำกัดพื้นที่ด้านซ้าย พื้นที่ด้านขวาแสดงถึงจุด C ระบบข้อจำกัดสำหรับภูมิภาคการตัดสินใจที่ถูกต้องมีดังต่อไปนี้ ระบบข้อจำกัดใหม่แสดงถึงปัญหาเสริมสองประการที่ต้องแก้ไขโดยแยกจากกัน มาแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็มสำหรับพื้นที่ด้านซ้ายของรูปหลายเหลี่ยมเฉลยกัน จากผลของการแก้ปัญหาพบแผนการที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหา: x1 = 3, x2 = 3, F = -12 แผนนี้เป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่าตัวแปรในปัญหาเป็นจำนวนเต็มและสามารถยอมรับได้ว่าเป็นแผนอ้างอิงที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มดั้งเดิม ไม่มีประโยชน์ในการแก้ปัญหาสำหรับขอบเขตการแก้ปัญหาที่ถูกต้อง รูปด้านล่างแสดงความคืบหน้าของการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มในรูปแบบของต้นไม้ ความก้าวหน้าของการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มโดยใช้วิธีโกโมริ ในการใช้งานจริงจำนวนมาก ปัญหาการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็มโดยให้ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นและรูปแบบเชิงเส้นเป็นที่สนใจอย่างมาก จำเป็นต้องค้นหาคำตอบจำนวนเต็มให้กับระบบ (1) ซึ่งจะย่อฟังก์ชันวัตถุประสงค์ F ให้เหลือน้อยที่สุด และสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม Gomori เสนอวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็ม แนวคิดของวิธีนี้คือการใช้วิธีการโปรแกรมเชิงเส้นแบบต่อเนื่องโดยเฉพาะวิธีซิมเพล็กซ์ 1) การใช้วิธีซิมเพล็กซ์จะกำหนดวิธีแก้ไขปัญหา (1), (2) ซึ่งข้อกำหนดสำหรับการแก้ปัญหาจำนวนเต็มจะถูกลบออก หากคำตอบกลายเป็นจำนวนเต็มก็จะพบวิธีแก้ไขปัญหาจำนวนเต็มที่ต้องการด้วย 2) มิฉะนั้นหากพิกัดบางตัวไม่ใช่จำนวนเต็ม ผลการแก้ปัญหาจะถูกตรวจสอบความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของวิธีแก้ปัญหาจำนวนเต็ม (การมีอยู่ของจุดจำนวนเต็มในรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ยอมรับได้): หากในแถวใดๆ ที่มีเทอมอิสระที่เป็นเศษส่วน สัมประสิทธิ์อื่นๆ ทั้งหมดกลายเป็นจำนวนเต็ม แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็มหรือจุดในรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ยอมรับได้ และปัญหาการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็มก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหา มิฉะนั้น จะมีการใช้ข้อจำกัดเชิงเส้นเพิ่มเติม ซึ่งจะตัดส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ยอมรับได้ซึ่งไม่น่าจะเป็นไปได้สำหรับการค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็ม 3) หากต้องการสร้างข้อจำกัดเชิงเส้นเพิ่มเติม ให้เลือกแถวที่ l ที่มีเทอมอิสระที่เป็นเศษส่วน และเขียนข้อจำกัดเพิ่มเติม โดยที่ และ เป็นส่วนเศษส่วนของสัมประสิทธิ์และอิสระตามลำดับ สมาชิก. ให้เราแนะนำตัวแปรเสริมเข้าไปในข้อจำกัด (3): ให้เรากำหนดค่าสัมประสิทธิ์และรวมไว้ในข้อ จำกัด (4): โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดจากด้านล่างสำหรับ และ ตามลำดับ Gomori พิสูจน์ว่าขั้นตอนที่คล้ายกันในจำนวนจำกัดนำไปสู่ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นซึ่งคำตอบเป็นจำนวนเต็มและเป็นขั้นตอนที่ต้องการ วิธีแก้ไข: เรามานำระบบข้อจำกัดเชิงเส้นและฟังก์ชันเป้าหมายมาสู่รูปแบบมาตรฐาน: ขอให้เราหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดสำหรับระบบข้อจำกัดเชิงเส้น โดยละทิ้งเงื่อนไขจำนวนเต็มชั่วคราว เราใช้วิธีซิมเพล็กซ์สำหรับสิ่งนี้ ด้านล่างตามลำดับในตารางจะมีการนำเสนอวิธีแก้ไขปัญหาดั้งเดิมและการแปลงตารางดั้งเดิมจะได้รับเพื่อให้ได้วิธีแก้ไขปัญหาที่ดีที่สุด: การแก้ปัญหา Boolean LP โดยใช้วิธี Balazs สร้างเวอร์ชันของคุณเองสำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มด้วยตัวแปรบูลีน โดยคำนึงถึงกฎต่อไปนี้: ปัญหาใช้ตัวแปรอย่างน้อย 5 ตัว ข้อจำกัดอย่างน้อย 4 ตัว ค่าสัมประสิทธิ์ของข้อจำกัดและฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะถูกเลือกโดยพลการ แต่ในเช่นนั้น วิธีที่ระบบข้อจำกัดเข้ากันได้ ภารกิจคือการแก้ปัญหา LCLP ด้วยตัวแปรบูลีนโดยใช้อัลกอริธึม Balazs และกำหนดการลดความซับซ้อนของการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีค้นหาแบบละเอียดถี่ถ้วน การดำเนินการตามข้อจำกัด ค่าเอฟ ข้อจำกัดในการกรอง: การกำหนดการลดความพยายามในการคำนวณ วิธีแก้ไขปัญหาโดยใช้วิธีค้นหาแบบละเอียดคือ 6*25=192 นิพจน์ที่คำนวณได้ วิธีแก้ไขปัญหาโดยใช้วิธี Balazs คือ 3*6+(25-3)=47 นิพจน์ที่คำนวณได้ การลดความซับซ้อนของการคำนวณโดยรวมที่เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีค้นหาแบบละเอียดคือ: บทสรุป กระบวนการออกแบบระบบสารสนเทศที่ใช้เทคโนโลยีสารสนเทศใหม่ได้รับการปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง วิศวกรระบบให้ความสำคัญกับระบบที่ซับซ้อนมากขึ้น ทำให้ยากต่อการใช้แบบจำลองทางกายภาพ และเพิ่มความสำคัญของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการจำลองระบบด้วยเครื่องจักร การจำลองเครื่องจักรได้กลายเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการศึกษาและออกแบบระบบที่ซับซ้อน ความเกี่ยวข้องของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องเนื่องจากความยืดหยุ่น ความเพียงพอต่อกระบวนการจริง และต้นทุนการใช้งานที่ต่ำบนพื้นฐานของพีซีสมัยใหม่ มีโอกาสมากขึ้นเรื่อย ๆ ให้กับผู้ใช้ เช่น ผู้เชี่ยวชาญด้านการสร้างแบบจำลองระบบโดยใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ การใช้การสร้างแบบจำลองมีประสิทธิภาพโดยเฉพาะอย่างยิ่งในระยะเริ่มต้นของการออกแบบระบบอัตโนมัติ เมื่อต้นทุนของการตัดสินใจที่ผิดพลาดมีความสำคัญที่สุด เครื่องมือคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ทำให้สามารถเพิ่มความซับซ้อนของแบบจำลองที่ใช้ในการศึกษาระบบได้อย่างมาก เป็นไปได้ที่จะสร้างแบบจำลองแบบรวม การวิเคราะห์ และการจำลองที่คำนึงถึงปัจจัยต่างๆ ทั้งหมดที่เกิดขึ้นในระบบจริง เช่น การใช้แบบจำลองที่เพียงพอต่อปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่ วรรณกรรม: 1. Lyashchenko I.N. การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น / I.N. Lyashchenko, E.A. Karagodova, N.V. Chernikova, N.Z. - K.: “โรงเรียนมัธยม”, 2518, 372 หน้า 2. คำแนะนำด้านระเบียบวิธีสำหรับการสำเร็จโครงการหลักสูตรในสาขาวิชา "คณิตศาสตร์ประยุกต์" สำหรับนักเรียนประเภทพิเศษ "ระบบคอมพิวเตอร์และเครือข่าย" ของรูปแบบการศึกษาเต็มเวลาและนอกเวลา / เรียบเรียงโดย: I.A. Balakireva, A.V. สำนักพิมพ์ SevNTU , 2546. - 15 น. 3. แนวทางการศึกษาสาขาวิชา “คณิตศาสตร์ประยุกต์” หัวข้อ “วิธีการค้นหาทั่วโลกและการย่อเล็กสุดหนึ่งมิติ” / คอมพ์ A.V. Skatkov, I.A. Balakireva, L.A. Litvinova - เซวาสโทพอล: สำนักพิมพ์ SevGTU, 2000. - 31 น. 4. แนวทางการศึกษาวินัย "คณิตศาสตร์ประยุกต์" สำหรับนักเรียนสาขา "ระบบคอมพิวเตอร์และเครือข่าย" พิเศษ "การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็ม" สำหรับการศึกษาเต็มเวลาและนอกเวลา / เรียบเรียงโดย: I.A. Balakireva, A.V : สำนักพิมพ์ของ SevNTU, 2000. - 13 น. 5. อาคูลิช อิ.ล. การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ในตัวอย่างนี้และปัญหา: 6. หนังสือเรียน เบี้ยเลี้ยงสำหรับนักศึกษาเศรษฐศาสตร์ ผู้เชี่ยวชาญ. มหาวิทยาลัย.-ม.: สูงกว่า. โรงเรียน พ.ศ. 2529-319 น. ป่วย 7. แอนโดรนอฟ เอส.เอ. วิธีการออกแบบที่เหมาะสมที่สุด: ข้อความบรรยาย / SPbSUAP เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2544 169 หน้า: ป่วย อัลกอริธึมสำหรับการแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นใน Excel ค้นหาผลกำไรและแผนการผลิตที่เหมาะสมที่สุด งานหลักสูตรเพิ่มเมื่อ 21/03/2555 การแก้ปัญหาด้านกราฟิก การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การกำหนดค่าสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ วิธีแก้ปัญหาโดยวิธีซิมเพล็กซ์ที่มีพื้นฐานเทียมของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบบัญญัติ การตรวจสอบความเหมาะสมของโซลูชัน ทดสอบเพิ่มเมื่อ 04/05/2016 พื้นฐานทางทฤษฎีของการโปรแกรมเชิงเส้น ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น วิธีการแก้ การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุด การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นดัชนีเดียว คำชี้แจงปัญหาและการป้อนข้อมูล ขั้นตอนการสร้างโมเดลและการแก้ปัญหา งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 12/09/2008 การก่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การเลือก เหตุผล และคำอธิบายวิธีการแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรงโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์ โดยใช้ตารางซิมเพล็กซ์ การรวบรวมและการแก้ปัญหาแบบคู่ การวิเคราะห์ความไวของแบบจำลอง งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 31/10/2014 การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อให้ได้ผลกำไรสูงสุดสำหรับองค์กร การแก้ปัญหาแบบกราฟิก การแก้ปัญหาโดยใช้โปรแกรมเสริม SOLVER การวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงปริมาณสำรองทรัพยากร การกำหนดขีดจำกัดในการเปลี่ยนแปลงค่าสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 12/17/2014 การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น วิธีกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น การกำหนดทางเศรษฐศาสตร์ของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น การก่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ งานหลักสูตรเพิ่มเมื่อ 10/13/2551 การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นด้วยวิธีกราฟิก ตรวจสอบใน MS Excel การวิเคราะห์โครงสร้างภายในของการแก้ปัญหาในโปรแกรม การเพิ่มประสิทธิภาพแผนการผลิต การแก้ปัญหาโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์ ระบบคิวหลายช่อง ทดสอบเพิ่มเมื่อ 05/02/2555 การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์ การแจ้งปัญหา การสร้างแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ การแก้ปัญหาการขนส่งโดยใช้วิธีการที่เป็นไปได้: การสร้างแผนอ้างอิงเริ่มต้น การกำหนดค่าที่เหมาะสมที่สุด ทดสอบเพิ่มเมื่อ 04/11/2555 คำชี้แจงปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น การกำหนดจุดคงที่และประเภทของจุดนั้น การสร้างเส้นระดับ กราฟสามมิติของฟังก์ชันวัตถุประสงค์และข้อจำกัด วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกและการวิเคราะห์ คู่มือการใช้งานและแผนภาพอัลกอริทึม งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 12/17/2012 การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น วิธี Simplex โดยใช้ตาราง Simplex การสร้างแบบจำลองและการแก้ปัญหา LP บนคอมพิวเตอร์ การตีความทางเศรษฐศาสตร์ของแนวทางแก้ไขปัญหาที่เหมาะสมที่สุด การกำหนดทางคณิตศาสตร์ของปัญหาการขนส่ง
เอกสารที่คล้ายกัน
