ภารกิจที่ 2

1. สร้างเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่ ตรวจสอบความเป็นหลายโคลิเนียริตี้ ปรับการเลือกปัจจัยในแบบจำลอง

2. สร้างสมการ การถดถอยพหุคูณในรูปแบบเส้นตรงด้วยปัจจัยที่เลือก

3. อัตรา นัยสำคัญทางสถิติสมการถดถอยและพารามิเตอร์โดยใช้เกณฑ์ของฟิชเชอร์และนักเรียน

4. สร้างสมการถดถอยด้วยปัจจัยที่มีนัยสำคัญทางสถิติ ประเมินคุณภาพของสมการถดถอยโดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์ของการกำหนด R 2 . ประเมินความถูกต้องของแบบจำลองที่สร้างขึ้น

5. ประมาณการการคาดการณ์สำหรับปริมาณผลผลิต หากค่าพยากรณ์ของปัจจัยต่างๆ คือ 75% ของค่าสูงสุด

เงื่อนไขงาน (ตัวเลือก 21)

ตามข้อมูลที่แสดงในตารางที่ 1 (n = 17) เราศึกษาการพึ่งพาปริมาณผลผลิต Y (ล้านรูเบิล) กับปัจจัยต่อไปนี้ (ตัวแปร):

X 1 - จำนวนบุคลากรด้านอุตสาหกรรมและการผลิต คน

X 2 - ต้นทุนเฉลี่ยต่อปีของสินทรัพย์ถาวร ล้านรูเบิล

X 3 - ค่าเสื่อมราคาของสินทรัพย์ถาวร%

X 4 - กำลังไฟฟ้า, กิโลวัตต์ชั่วโมง

X 5 - อุปกรณ์ทางเทคนิคของคนงานหนึ่งคน ล้านรูเบิล

X 6 - การผลิตผลิตภัณฑ์ที่ขายได้ต่อคนงานถู

ตารางที่ 1. ข้อมูลการผลิต

№	วาย	x1	x2	x3	x4	x5	x6
				39,5	4,9	3,2
				46,4	60,5	20,4
				43,7	24,9	9,5
				35,7	50,4	34,7
				41,8	5,1	17,9
				49,8	35,9	12,1
				44,1	48,1	18,9
				48,1	69,5	12,2
				47,6	31,9	8,1
				58,6	139,4	29,7
				70,4	16,9	5,3
				37,5	17,8	5,6
				62,0	27,6	12,3
				34,4	13,9	3,2
				35,4	37,3	19,0
				40,8	55,3	19,3
				48,1	35,1	12,4

สร้างเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่ ตรวจสอบความเป็นหลายโคลิเนียริตี้ ปรับการเลือกปัจจัยในแบบจำลอง

ตารางที่ 2 นำเสนอ เมทริกซ์ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่ สำหรับตัวแปรทั้งหมดที่เกี่ยวข้องในการพิจารณา เมทริกซ์ที่ได้จากการใช้เครื่องมือ ความสัมพันธ์จากแพ็คเกจ การวิเคราะห์ข้อมูลวี เอ็กเซล

ตารางที่ 2 เมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่

	วาย	X1	เอ็กซ์ทู	X3	X4	X5	X6
วาย
X1	0,995634
เอ็กซ์ทู	0,996949	0,994947
X3	-0,25446	-0,27074	-0,26264
X4	0,12291	0,07251	0,107572	0,248622
X5	0,222946	0,166919	0,219914	-0,07573	0,671386
X6	0,067685	-0,00273	0,041955	-0,28755	0,366382	0,600899

การวิเคราะห์ด้วยภาพของเมทริกซ์ช่วยให้คุณสร้าง:

1) ที่มีความสัมพันธ์แบบคู่ค่อนข้างสูงกับตัวแปร X1, X2 (>0,5) และต่ำด้วยตัวแปร X3, X4, X5, X6 (<0,5);

2) ตัวแปรการวิเคราะห์ X1, X2 แสดงความสัมพันธ์แบบคู่ที่ค่อนข้างสูง ซึ่งจำเป็นต้องตรวจสอบปัจจัยสำหรับการมีอยู่ของ multicollinearity ระหว่างตัวแปรเหล่านี้ ยิ่งไปกว่านั้น หนึ่งในเงื่อนไขของโมเดลการถดถอยแบบคลาสสิคคือการสันนิษฐานความเป็นอิสระของตัวแปรอธิบาย

เราดำเนินการเพื่อระบุความเป็นหลายกลุ่มเชิงเส้นของปัจจัย การทดสอบฟาร์ราร์-กลูเบอร์ ตามปัจจัย X1, X2, X3,X4,X5,X6.

การตรวจสอบการทดสอบฟาร์ราร์-กลูเบอร์สำหรับปัจจัยเชิงเส้นหลายระดับประกอบด้วยหลายขั้นตอน

1) การตรวจสอบความเป็นหลายกลุ่มของตัวแปรอาร์เรย์ทั้งหมด .

หนึ่งในเงื่อนไขของแบบจำลองการถดถอยแบบคลาสสิกคือการสันนิษฐานว่าตัวแปรอธิบายเป็นอิสระต่อกัน ในการระบุความเป็นหลายกลุ่มเชิงเส้นระหว่างปัจจัย เมทริกซ์ของความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัย R คำนวณโดยใช้ Data Analysis Package (ตารางที่ 3)

ตารางที่ 3. เมทริกซ์สหสัมพันธ์ระหว่างปัจจัย R

	X1	เอ็กซ์ทู	X3	X4	X5	X6
X1		0,994947	-0,27074	0,07251	0,166919	-0,00273
เอ็กซ์ทู	0,994947		-0,26264	0,107572	0,219914	0,041955
X3	-0,27074	-0,26264		0,248622	-0,07573	-0,28755
X4	0,07251	0,107572	0,248622		0,671386	0,366382
X5	0,166919	0,219914	-0,07573	0,671386		0,600899
X6	-0,00273	0,041955	-0,28755	0,366382	0,600899

มีความสัมพันธ์อย่างมากระหว่างปัจจัย X1 และ X2, X5 และ X4, X6 และ X5 (>0.5)

determinant det (R) = 0.001488 คำนวณโดยใช้ฟังก์ชัน MOPRED ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ R มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ซึ่งช่วยให้เราตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับความเป็นหลายกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของปัจจัยต่างๆ ได้

2) ตรวจสอบ multicollinearity ของแต่ละตัวแปรกับตัวแปรอื่น ๆ :

คำนวณเมทริกซ์ผกผัน R -1 โดยใช้ฟังก์ชัน MINF ของ Excel (ตารางที่ 4):

ตารางที่ 4 เมทริกซ์ผกผันอาร์-1

	X1	เอ็กซ์ทู	X3	X4	X5	X6
X1	150,1209	-149,95	3,415228	-1,70527	6,775768	4,236465
เอ็กซ์ทู	-149,95	150,9583	-3,00988	1,591549	-7,10952	-3,91954
X3	3,415228	-3,00988	1,541199	-0,76909	0,325241	0,665121
X4	-1,70527	1,591549	-0,76909	2,218969	-1,4854	-0,213
X5	6,775768	-7,10952	0,325241	-1,4854	2,943718	-0,81434
X6	4,236465	-3,91954	0,665121	-0,213	-0,81434	1,934647

· การคำนวณเกณฑ์ F ซึ่งองค์ประกอบแนวทแยงของเมทริกซ์อยู่ที่ไหน n=17, k = 6 (ตารางที่ 5)

ตารางที่ 5. ค่าเกณฑ์ F

F1 (Х1)	F2 (Х2)	เอฟ3 (X3)	เอฟโฟร์ (X4)	F5 (x5)	เอฟ6 (X6)
89,29396	89,79536	0,324071	0,729921	1,163903	0,559669

ค่าที่แท้จริงของเกณฑ์ F จะถูกเปรียบเทียบกับค่าตาราง ตาราง F = 3.21(FDISP(0.05;6;10)) กับ n1= 6 และ n2 = n - k – 1=17-6-1=10 องศาอิสระและระดับนัยสำคัญ α=0.05 โดยที่ k คือจำนวนตัวประกอบ

· ค่าของเกณฑ์ F สำหรับปัจจัย X1 และ X2 มีค่ามากกว่าค่าในตาราง ซึ่งบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของ multicollinearity ระหว่างปัจจัยเหล่านี้ แฟกเตอร์ X3 มีผลน้อยที่สุดต่อมัลติโคลิเนียริตี้โดยรวมของแฟกเตอร์

3) การตรวจสอบ Multicollinearity สำหรับตัวแปรแต่ละคู่

คำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์บางส่วนโดยใช้สูตร ซึ่งองค์ประกอบของเมทริกซ์อยู่ที่ไหน (ตารางที่ 6)

ตารางที่ 6 เมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์บางส่วน

	X1	เอ็กซ์ทู	X3	X4	X5	X6
X1
เอ็กซ์ทู	0,996086
X3	-0,22453	0,197329
X4	0,093432	-0,08696	0,415882
X5	-0,32232	0,337259	-0,1527	0,581191
X6	-0,24859	0,229354	-0,38519	0,102801	0,341239

· การคำนวณ ที- เกณฑ์ตามสูตร (ตารางที่ 7)

n - จำนวนข้อมูล = 17

K - จำนวนปัจจัย = 6

ตาราง 7.t-test สำหรับค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์บางส่วน

	X1	เอ็กซ์ทู	X3	X4	X5	X6
X1
เอ็กซ์ทู	35,6355
X3	-0,72862	0,636526
X4	0,296756	-0,27604	1,446126
X5	-1,07674	1,13288	-0,4886	2,258495
X6	-0,81158	0,745143	-1,31991	0,326817	1,147999

ตาราง \u003d STUDRIVE (0.05; 10) \u003d 2.23

ค่าที่แท้จริงของเกณฑ์ t จะถูกเปรียบเทียบกับค่าตารางที่ระดับความอิสระ n-k-1 = 17-6-1=10 และระดับนัยสำคัญ α=0.05;

t21 > ตาราง

t54 > ตาราง

ตารางที่ 6 และ 7 แสดงว่าปัจจัยสองคู่ X1 และ X2, X4 และ X5 มีความสัมพันธ์บางส่วนที่มีนัยสำคัญทางสถิติสูง นั่นคือ พวกมันเป็นมัลติคอลลิเนียร์ เพื่อกำจัด multicollinearity สามารถกำจัดหนึ่งในตัวแปรของ collinear pair ได้ ในคู่ของ X1 และ X2 เราออกจาก X2 ในคู่ของ X4 และ X5 เราออกจาก X5

ดังนั้นจากการตรวจสอบการทดสอบ Farrar-Glouber ปัจจัยต่อไปนี้จึงยังคงอยู่: X2, X3, X5, X6

เมื่อเสร็จสิ้นขั้นตอนการวิเคราะห์สหสัมพันธ์แล้ว ขอแนะนำให้ดูความสัมพันธ์บางส่วนของปัจจัยที่เลือกกับผลลัพธ์ วาย

มาสร้างเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่ตามข้อมูลในตารางที่ 8

ตารางที่ 8. ข้อมูลเอาต์พุตพร้อมปัจจัยที่เลือก X2, X3, X5, X6

จำนวนการสังเกต	วาย	x2	x3	x5	x6
			39,5	3,2
			46,4	20,4
			43,7	9,5
			35,7	34,7
			41,8	17,9
			49,8	12,1
			44,1	18,9
			48,1	12,2
			47,6	8,1
			58,6	29,7
			70,4	5,3
			37,5	5,6
				12,3
			34,4	3,2
			35,4
			40,8	19,3
			48,1	12,4

คอลัมน์สุดท้ายของตารางที่ 9 แสดงค่า t-test สำหรับคอลัมน์ Y

ตารางที่ 9 เมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์ของความสัมพันธ์บางส่วนกับผลลัพธ์ วาย

	วาย	เอ็กซ์ทู	X3	X5	X6	t เกณฑ์ (t แท็บ (0.05; 11) = 2.200985
วาย		0,996949	-0,25446	0,222946	0,067685
เอ็กซ์ทู	0,996949		-0,26264	0,219914	0,041955	44,31676
X3	-0,25446	-0,26264		-0,07573	-0,28755	0,916144
X5	0,222946	0,219914	-0,07573		0,600899	-0,88721
X6	0,067685	0,041955	-0,28755	0,600899		1,645749

ตารางที่ 9 แสดงว่าตัวแปร วายมีความสัมพันธ์บางส่วนที่มีนัยสำคัญทางสถิติสูงและในเวลาเดียวกันกับ ปัจจัย X2

เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่

	วาย	X1	เอ็กซ์ทู	X3	X4	X5
วาย
X1	0,732705
เอ็กซ์ทู	0,785156	0,706287
X3	0,179211	-0,29849	0,208514
X4	0,667343	0,924333	0,70069	0,299583
X5	0,709204	0,940488	0,691809	0,326602	0,992945

โหนดของเมทริกซ์มีค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่ที่แสดงลักษณะความใกล้ชิดของความสัมพันธ์ระหว่างลักษณะของปัจจัย จากการวิเคราะห์ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ เราสังเกตว่ายิ่งค่าสัมบูรณ์ของค่าสัมบูรณ์ยิ่งมาก สัญญาณปัจจัยที่สอดคล้องกันจะส่งผลต่อค่าสัมประสิทธิ์มากขึ้นเท่านั้น การวิเคราะห์เมทริกซ์ผลลัพธ์นั้นดำเนินการในสองขั้นตอน:

1. ถ้าคอลัมน์แรกของเมทริกซ์มีค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ที่ /r /< 0,5, то соответствующие признаки из модели исключаются. В данном случае в первом столбце матрицы коэффициентов корреляции исключается фактор или коэффициент роста уровня инфляции. Данный фактор оказывает меньшее влияние на результативный признак, нежели оставшиеся четыре признака.

2. การวิเคราะห์ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์คู่ของลักษณะปัจจัยซึ่งกันและกัน (r XiXj) การระบุลักษณะความสัมพันธ์ที่แน่นแฟ้นจำเป็นต้องประเมินความเป็นอิสระจากกันเนื่องจากสิ่งนี้ เงื่อนไขที่จำเป็นเพื่อเพิ่มเติม การวิเคราะห์การถดถอย. เนื่องจากไม่มีสัญญาณที่เป็นอิสระอย่างแท้จริงในระบบเศรษฐกิจ จึงจำเป็นต้องเลือกสัญญาณที่เป็นอิสระมากที่สุดหากเป็นไปได้ สัญญาณปัจจัยที่สัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิดเรียกว่ามัลติโคลิเนียร์ การรวมคุณสมบัติแบบหลายคอลลิเนียร์ไว้ในแบบจำลองทำให้เป็นไปไม่ได้ การตีความทางเศรษฐกิจแบบจำลองถดถอย เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงในปัจจัยหนึ่งทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในปัจจัยที่เกี่ยวข้อง ซึ่งอาจนำไปสู่ ​​"ความแตกแยก" ของแบบจำลองโดยรวม

เกณฑ์สำหรับปัจจัยหลายกลุ่มมีดังนี้:

/r XiXj / > 0.8

ในเมทริกซ์ผลลัพธ์ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่ เกณฑ์นี้เป็นไปตามตัวบ่งชี้สองตัวที่อยู่ตรงจุดตัดของแถว และ . ในแต่ละคู่ของคุณสมบัติเหล่านี้ ควรเหลือไว้หนึ่งตัวในโมเดล ซึ่งควรมีผลกระทบมากกว่ากับคุณสมบัติที่เป็นผลลัพธ์ เป็นผลให้ปัจจัย และ ถูกแยกออกจากแบบจำลอง อัตราการเติบโตของต้นทุนขายและอัตราการเติบโตของปริมาณการใช้งาน

ดังนั้นเราจึงแนะนำปัจจัย X1 และ X2 ในแบบจำลองการถดถอย

ถัดไป ดำเนินการวิเคราะห์การถดถอย (บริการ การวิเคราะห์ข้อมูล การถดถอย) รวบรวมตารางข้อมูลเริ่มต้นอีกครั้งด้วยปัจจัย X1 และ X2 การถดถอยโดยรวมใช้เพื่อวิเคราะห์ผลกระทบต่อตัวแปรตามแยกต่างหากของค่าของตัวแปรอิสระ (ปัจจัย) และอนุญาตให้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างคุณสมบัติในรูปแบบของการพึ่งพาการทำงานบางอย่างที่เรียกว่าสมการถดถอยหรือสหสัมพันธ์ แบบจำลองการถดถอย

จากผลการวิเคราะห์การถดถอย เราได้รับผลลัพธ์ของการคำนวณการถดถอยหลายตัวแปร ลองวิเคราะห์ผลลัพธ์ที่ได้รับ

ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยทั้งหมดมีนัยสำคัญตามการทดสอบของนักเรียน ค่าสัมประสิทธิ์ ความสัมพันธ์ที่หลากหลาย R เท่ากับ 0.925 กำลังสองของค่านี้ (ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด) หมายความว่าการเปลี่ยนแปลงของลักษณะผลลัพธ์โดยเฉลี่ย 85.5% อธิบายได้จากการเปลี่ยนแปลงของลักษณะปัจจัยที่รวมอยู่ในแบบจำลอง ค่าสัมประสิทธิ์ของปัจจัยกำหนดลักษณะความหนาแน่นของความสัมพันธ์ระหว่างชุดของลักษณะปัจจัยและตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพ ยิ่งค่า R-squared เข้าใกล้ 1 มากเท่าไหร่ ความสัมพันธ์ก็ยิ่งแน่นแฟ้นมากขึ้นเท่านั้น ในกรณีของเรา ตัวบ่งชี้ที่เท่ากับ 0.855 บ่งชี้ถึงการเลือกปัจจัยที่ถูกต้องและการมีอยู่ของความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยและตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพ

แบบจำลองที่พิจารณานั้นเพียงพอ เนื่องจากค่าที่คำนวณได้ของเกณฑ์ F ของ Fisher นั้นสูงกว่าค่าแบบตารางอย่างมีนัยสำคัญ (F obl = 52.401; F tabl = 1.53)

ผลลัพธ์ทั่วไปของการวิเคราะห์การถดถอยสหสัมพันธ์ที่ดำเนินการคือ หลายสมการการถดถอยที่มีลักษณะดังนี้:

สมการการถดถอยที่เป็นผลลัพธ์ตรงตามวัตถุประสงค์ของการวิเคราะห์สหสัมพันธ์และการวิเคราะห์การถดถอย และเป็นแบบจำลองเชิงเส้นของการพึ่งพากำไรในงบดุลของบริษัทจากปัจจัยสองประการ ได้แก่ อัตราการเติบโตของผลิตภาพแรงงานและค่าสัมประสิทธิ์ของทรัพย์สินทางอุตสาหกรรม

จากแบบจำลองที่ได้รับ เราสามารถสรุปได้ว่าเมื่อระดับผลิตภาพแรงงานเพิ่มขึ้น 1% เมื่อเทียบกับช่วงก่อนหน้า กำไรในงบดุลจะเพิ่มขึ้น 0.95 จุดเปอร์เซ็นต์ การเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์ของทรัพย์สินทางอุตสาหกรรม 1% จะทำให้ตัวบ่งชี้ที่มีประสิทธิภาพเพิ่มขึ้น 27.9 เปอร์เซ็นต์ ดังนั้นอิทธิพลที่โดดเด่นต่อการเติบโตของกำไรในงบดุลคือการเพิ่มมูลค่าของทรัพย์สินทางอุตสาหกรรม (การปรับปรุงและการเติบโตของสินทรัพย์ถาวรขององค์กร)

ตามแบบจำลองการถดถอยพหุคูณ การคาดการณ์แบบหลายปัจจัยของคุณลักษณะที่มีประสิทธิผลจะดำเนินการ ให้ทราบว่า X1 = 3.0 และ X3 = 0.7 ลองแทนค่าของเครื่องหมายตัวประกอบลงในแบบจำลอง เราจะได้ Cm = 0.95 * 3.0 + 27.9 * 0.7 - 19.4 = 2.98 ดังนั้น ด้วยการเพิ่มผลิตภาพแรงงานและความทันสมัยของสินทรัพย์ถาวรในองค์กร กำไรงบดุลในไตรมาสที่ 1 ของปี 2548 สัมพันธ์กับ ช่วงก่อนหน้า(ไตรมาสที่ 4 ปี 2547) จะเพิ่มขึ้น 2.98%

ในการกำหนดระดับการพึ่งพาระหว่างตัวบ่งชี้หลายตัว จะใช้ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์หลายค่า จากนั้นจะสรุปเป็นตารางแยกต่างหากซึ่งเรียกว่าเมทริกซ์สหสัมพันธ์ ชื่อของแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ดังกล่าวคือชื่อของพารามิเตอร์ที่มีการพึ่งพาซึ่งกันและกัน ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันจะอยู่ที่จุดตัดของแถวและคอลัมน์ มาดูกันว่าคุณสามารถคำนวณที่คล้ายกันโดยใช้เครื่องมือ Excel ได้อย่างไร

เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดระดับความสัมพันธ์ระหว่างตัวบ่งชี้ต่างๆ ดังต่อไปนี้ ขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์:

• 0 - 0.3 - ไม่มีการเชื่อมต่อ
• 0.3 - 0.5 - การเชื่อมต่อที่อ่อนแอ
• 0.5 - 0.7 - การเชื่อมต่อเฉลี่ย
• 0.7 - 0.9 - สูง
• 0.9 - 1 - แข็งแกร่งมาก

หากค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เป็นลบ แสดงว่าความสัมพันธ์ของพารามิเตอร์นั้นผกผัน

ในการรวบรวมเมทริกซ์สหสัมพันธ์ใน Excel จะใช้เครื่องมือหนึ่งชิ้นซึ่งรวมอยู่ในแพ็คเกจ "การวิเคราะห์ข้อมูล". นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า - "ความสัมพันธ์". มาดูกันว่าจะใช้คำนวณคะแนนสหสัมพันธ์หลายค่าได้อย่างไร

ขั้นตอนที่ 1: เปิดใช้งานชุดการวิเคราะห์

จะต้องบอกทันทีว่าแพ็คเกจเริ่มต้น "การวิเคราะห์ข้อมูล"พิการ. ดังนั้นก่อนที่จะดำเนินการตามขั้นตอนการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์โดยตรง คุณต้องเปิดใช้งานก่อน น่าเสียดายที่ไม่ใช่ผู้ใช้ทุกคนที่รู้วิธีการทำเช่นนี้ ดังนั้นเราจะให้ความสำคัญกับเรื่องนี้

หลังจากการดำเนินการที่ระบุ แพ็คเกจเครื่องมือ "การวิเคราะห์ข้อมูล"จะเปิดใช้งาน

ขั้นตอนที่ 2: การคำนวณค่าสัมประสิทธิ์

ตอนนี้คุณสามารถดำเนินการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์พหุคูณได้โดยตรง ลองใช้ตัวอย่างตารางตัวบ่งชี้ผลิตภาพแรงงาน อัตราส่วนทุนต่อแรงงาน และอัตราส่วนกำลังต่อน้ำหนักที่องค์กรต่างๆ เพื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์พหุคูณของปัจจัยเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างด้านล่าง

ขั้นตอนที่ 3: การวิเคราะห์ผลลัพธ์

ตอนนี้เรามาดูวิธีทำความเข้าใจผลลัพธ์ที่เราได้รับในกระบวนการประมวลผลข้อมูลด้วยเครื่องมือ "ความสัมพันธ์"วี โปรแกรมเอ็กเซล.

ดังที่เราเห็นได้จากตาราง ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของอัตราส่วนทุนต่อแรงงาน (คอลัมน์ 2) และอัตราส่วนกำลังต่อน้ำหนัก ( คอลัมน์ 1) เท่ากับ 0.92 ซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์ที่แน่นแฟ้นมาก ระหว่างผลิตภาพแรงงาน ( คอลัมน์ 3) และอัตราส่วนกำลังต่อน้ำหนัก ( คอลัมน์ 1) ตัวบ่งชี้นี้เท่ากับ 0.72 ซึ่งเป็นระดับสูงของการพึ่งพา ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างผลิตภาพแรงงาน ( คอลัมน์ 3) และอัตราส่วนทุนต่อแรงงาน ( คอลัมน์ 2) เท่ากับ 0.88 ซึ่งสอดคล้องกับระดับการพึ่งพาอาศัยกันในระดับสูง ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่าความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยที่ศึกษาทั้งหมดสามารถตรวจสอบได้ค่อนข้างแข็งแกร่ง

อย่างที่คุณเห็นแพ็คเกจ "การวิเคราะห์ข้อมูล"ใน Excel เป็นเครื่องมือที่สะดวกและค่อนข้างใช้งานง่ายสำหรับการหาค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์พหุคูณ นอกจากนี้ยังสามารถใช้ในการคำนวณความสัมพันธ์ปกติระหว่างสองปัจจัย

ข้อมูลทางเศรษฐกิจเป็นลักษณะเชิงปริมาณของวัตถุหรือกระบวนการทางเศรษฐกิจใดๆ พวกมันก่อตัวขึ้นภายใต้อิทธิพลของปัจจัยหลายอย่าง ไม่ใช่ทั้งหมดที่มีอยู่ การควบคุมภายนอก. ปัจจัยที่ไม่สามารถควบคุมได้ ค่าสุ่มจากค่าบางชุดและกำหนดความสุ่มของข้อมูลที่กำหนด ภารกิจหลักประการหนึ่งในการวิจัยทางเศรษฐศาสตร์คือ การวิเคราะห์การพึ่งพาระหว่างตัวแปร

เมื่อพิจารณาถึงการขึ้นต่อกันระหว่างคุณลักษณะต่างๆ จำเป็นต้องแยกแยะความแตกต่างของความสัมพันธ์ทั้งสองประเภทก่อน:

• การทำงาน -มีลักษณะที่สอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์ระหว่างการเปลี่ยนแปลงในแอตทริบิวต์ของปัจจัยและการเปลี่ยนแปลงในค่าผลลัพธ์: แต่ละค่าของปัจจัยแอตทริบิวต์สอดคล้องกับค่าที่กำหนดไว้อย่างดีของแอตทริบิวต์ที่มีประสิทธิภาพความสัมพันธ์ประเภทนี้แสดงเป็นความสัมพันธ์แบบสูตร การพึ่งพาการทำงานสามารถเชื่อมโยงลักษณะที่เป็นผลลัพธ์กับลักษณะปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งอย่าง ได้เลยค่า ค่าจ้างค่าจ้างตามเวลาขึ้นอยู่กับจำนวนชั่วโมงทำงาน
• ความสัมพันธ์- ไม่มีความสอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์ระหว่างการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณทั้งสอง อิทธิพลของปัจจัยแต่ละอย่างจะแสดงออกมาโดยเฉลี่ยเท่านั้น โดยมีการสังเกตจำนวนมากของข้อมูลจริง ผลกระทบพร้อมกันในลักษณะที่ศึกษา จำนวนมากปัจจัยต่าง ๆ นำไปสู่ ค่าเดียวกันของแอตทริบิวต์แฟกเตอร์สอดคล้องกับการแจกแจงค่าทั้งหมดของแอตทริบิวต์ผลลัพธ์เนื่องจากในแต่ละกรณี สัญญาณจากปัจจัยอื่นๆ สามารถเปลี่ยนความแรงและทิศทางของผลกระทบได้

ควรระลึกไว้เสมอว่าหากมีความสัมพันธ์เชิงหน้าที่ระหว่างสัญญาณ เป็นไปได้ที่จะทราบค่าของสัญญาณปัจจัยเพื่อระบุอย่างแม่นยำ มูลค่าของผลลัพธ์ในที่ที่มีการพึ่งพาอาศัยกันเท่านั้น แนวโน้มการเปลี่ยนแปลงของคุณลักษณะที่มีประสิทธิภาพเมื่อเปลี่ยนค่าของเครื่องหมายตัวประกอบ

ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณ จำแนกตามทิศทาง รูปแบบ จำนวนปัจจัย:

• ต่อการเชื่อมต่อแบ่งออกเป็น ตรงและ ย้อนกลับ.ด้วยการเชื่อมต่อโดยตรง ทิศทางของการเปลี่ยนแปลงในแอตทริบิวต์ที่มีประสิทธิผลจะสอดคล้องกับทิศทางของการเปลี่ยนแปลงในปัจจัยเครื่องหมาย ด้วยข้อมูลป้อนกลับ ทิศทางของการเปลี่ยนแปลงในฟีเจอร์ที่มีผลจะตรงข้ามกับทิศทางของการเปลี่ยนแปลงในฟีเจอร์-แฟกเตอร์ ตัวอย่างเช่นยิ่งคุณสมบัติของคนงานสูงเท่าใดระดับการผลิตของแรงงานก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น (ความสัมพันธ์โดยตรง) ยิ่งผลิตภาพแรงงานสูงเท่าใด ต้นทุนต่อหน่วยการผลิตก็จะยิ่งต่ำลงเท่านั้น ( ข้อเสนอแนะ);
• แจ้ง(ประเภทของฟังก์ชัน) การเชื่อมต่อแบ่งออกเป็น เชิงเส้น(เส้นตรง) และ ไม่ใช่เชิงเส้น(เส้นโค้ง). ความสัมพันธ์เชิงเส้นจะแสดงเป็นเส้นตรง ความสัมพันธ์ที่ไม่ใช่เชิงเส้น - เป็นเส้นโค้ง (พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา ฯลฯ) ด้วยความสัมพันธ์เชิงเส้นกับการเพิ่มค่าของแอตทริบิวต์แฟกเตอร์ ค่าของแอตทริบิวต์ผลลัพธ์จะเพิ่มขึ้น (ลดลง) อย่างสม่ำเสมอ
• ตามจำนวนของปัจจัยที่กระทำกับสัญญาณที่มีประสิทธิภาพการสื่อสารแบ่งออกเป็น ปัจจัยเดียว(จับคู่) และ หลายปัจจัย

การศึกษาการพึ่งพาอาศัยกันของความผันแปรของสัญญะต่อสภาวะแวดล้อมเป็นเนื้อหาของทฤษฎีสหสัมพันธ์

เมื่อทำการวิเคราะห์สหสัมพันธ์ จะถือว่าข้อมูลทั้งชุดเป็นชุดของตัวแปร (ปัจจัย) ซึ่งแต่ละชุดประกอบด้วย พีข้อสังเกต

เมื่อศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างสองปัจจัยมักจะแสดงแทน X=(x หน้า x 2,...,x หน้า)และ Y= (y ( , y 2 ,... , y และ).

ความแปรปรวนร่วม -มันเป็นสถิติ การวัดปฏิสัมพันธ์สองตัวแปร ตัวอย่างเช่น ความแปรปรวนร่วมของผลตอบแทนที่เป็นบวกของสอง กระดาษที่มีค่าแสดงให้เห็นว่าอัตราผลตอบแทนของหลักทรัพย์เหล่านี้มีแนวโน้มที่จะเปลี่ยนแปลงไปในทิศทางเดียว

ความแปรปรวนร่วมระหว่างสองตัวแปร เอ็กซ์และ วายคำนวณได้ดังนี้

ค่าที่แท้จริงของตัวแปรอยู่ที่ไหน

เอ็กซ์และ G;

ถ้าตัวแปรสุ่ม ฮี วายเป็นอิสระต่อกัน ความแปรปรวนร่วมทางทฤษฎีเป็นศูนย์

ความแปรปรวนร่วมขึ้นอยู่กับหน่วยที่วัดตัวแปร ฮี่ๆ Y เป็นปริมาณที่ไม่ปกติ ดังนั้นในการวัด กองกำลังสื่อสารระหว่างสองตัวแปร จะใช้สถิติอื่นที่เรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

สำหรับสองตัวแปร เอ็กซ์และ ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์คู่ Y

กำหนดไว้ดังนี้

ที่ไหน SSy-ค่าประมาณความแปรปรวน ฮี วายลักษณะประมาณการเหล่านี้ ระดับการกระจายตัวค่า x ( , x 2 , ..., x n (y 1 , y 2 , y n)ประมาณค่าเฉลี่ยของคุณ x (ยตามลำดับ) หรือ ความแปรปรวน(ความแปรปรวน) ของตัวแปรเหล่านี้ในชุดของการสังเกต

การกระจายตัว(ค่าประมาณความแปรปรวน) ถูกกำหนดโดยสูตร

ใน กรณีทั่วไปเพื่อให้ได้ค่าประมาณของความแปรปรวนที่เป็นกลาง ผลรวมของกำลังสองควรหารด้วยจำนวนองศาอิสระของการประมาณ (เป็นต้น),ที่ไหน พี -ขนาดตัวอย่าง, ร -จำนวนลิงก์ที่กำหนดในตัวอย่าง เนื่องจากมีการใช้ตัวอย่างเพื่อหาค่าเฉลี่ยไปแล้วหนึ่งครั้ง x,จำนวนพันธบัตรที่ซ้อนทับในกรณีนี้จะเท่ากับหนึ่ง (พี = 1) และจำนวนองศาอิสระของการประมาณ (เช่น จำนวนองค์ประกอบตัวอย่างอิสระ) เท่ากับ (พ - 1).

การวัดระดับการแพร่กระจายในค่าของตัวแปรในหน่วยเดียวกับที่วัดตัวแปรนั้นเป็นธรรมชาติกว่า ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขโดยตัวบ่งชี้ที่เรียกว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) หรือ มาตรฐานบกพร่องตัวแปร เอ็กซ์(ตัวแปร ย)และกำหนดโดยอัตราส่วน

เงื่อนไขในตัวเศษของสูตร (3.2.1) แสดงปฏิสัมพันธ์ของตัวแปรสองตัวและกำหนดสัญญาณของความสัมพันธ์ (บวกหรือลบ) ตัวอย่างเช่น ถ้ามีความสัมพันธ์เชิงบวกอย่างมากระหว่างตัวแปร (เพิ่มขึ้นในตัวแปรหนึ่งเมื่อตัวแปรอื่นเพิ่มขึ้น) แต่ละเทอมจะเป็นจำนวนบวก ในทำนองเดียวกัน หากมีความสัมพันธ์เชิงลบอย่างมากระหว่างตัวแปร พจน์ทั้งหมดในตัวเศษจะเป็นจำนวนลบ ส่งผลให้ค่าสหสัมพันธ์เป็นลบ

ตัวส่วนของนิพจน์สำหรับค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของคู่ [ดู สูตร (3.2.2)] เพียงแค่ทำให้ตัวเศษเป็นปกติในลักษณะที่สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์กลายเป็นตัวเลขที่ตีความได้ง่ายซึ่งไม่มีมิติและรับค่าจาก -1 ถึง +1

ตัวเศษของนิพจน์สำหรับค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ ซึ่งตีความได้ยากเนื่องจากหน่วยผิดปกติคือ ความแปรปรวนร่วม XYแม้ว่าบางครั้งจะใช้เป็นลักษณะอิสระ (ตัวอย่างเช่นในทฤษฎีการเงินเพื่ออธิบายการเปลี่ยนแปลงร่วมกันของราคาหุ้นในการแลกเปลี่ยนสองแห่ง) สะดวกกว่าที่จะใช้ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ ความสัมพันธ์และความแปรปรวนร่วมแสดงโดยพื้นฐานแล้วเป็นข้อมูลเดียวกัน แต่ความสัมพันธ์นำเสนอข้อมูลนี้ในรูปแบบที่สะดวกกว่า

สำหรับ การประเมินเชิงคุณภาพค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ ใช้มาตราส่วนต่างๆ ที่ใช้กันมากที่สุดคือ มาตราส่วนแชดด็อก ขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ ความสัมพันธ์สามารถมีค่าประมาณอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้:

• 0.1-0.3 - อ่อนแอ
• 0.3-0.5 - สังเกตได้;
• 0.5-0.7 - ปานกลาง
• 0.7-0.9 - สูง
• 0.9-1.0 - สูงมาก

การประเมินระดับความใกล้ชิดของการเชื่อมต่อโดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์นั้นดำเนินการตามกฎบนพื้นฐานของข้อมูลที่ จำกัด มากหรือน้อยเกี่ยวกับปรากฏการณ์ภายใต้การศึกษา ในเรื่องนี้จำเป็นต้องประเมินความสำคัญ ค่าสัมประสิทธิ์เชิงเส้นความสัมพันธ์ซึ่งทำให้สามารถขยายข้อสรุปจากผลลัพธ์ของกลุ่มตัวอย่างไปยังประชากรทั่วไป

การประเมินนัยสำคัญของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์สำหรับตัวอย่างขนาดเล็กดำเนินการโดยใช้แบบทดสอบ 7 ของนักเรียน ในกรณีนี้ ค่าจริง (ที่สังเกตได้) ของเกณฑ์นี้จะถูกกำหนดโดยสูตร

ค่า / obs ที่คำนวณโดยใช้สูตรนี้จะเปรียบเทียบกับค่าวิกฤตของเกณฑ์θซึ่งนำมาจากตารางค่าของ / -test ของนักเรียน (ดูภาคผนวก 2) โดยคำนึงถึงระดับนัยสำคัญที่กำหนด σ และจำนวนองศาอิสระ (ป - 2).

หาก 7 obs > 7 tab ค่าที่ได้รับของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์จะถือว่ามีนัยสำคัญ (เช่น สมมติฐานว่างที่ยืนยันว่าค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เท่ากับศูนย์ถูกปฏิเสธ) ดังนั้นจึงสรุปได้ว่ามีความสัมพันธ์ทางสถิติที่ใกล้ชิดระหว่างตัวแปรที่ศึกษา

ถ้าค่า y xใกล้ศูนย์ ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอ่อนแอ หากความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่ม:

• เป็นบวก จากนั้นเมื่อตัวแปรสุ่มหนึ่งเพิ่มขึ้น อีกตัวแปรหนึ่งมีแนวโน้มที่จะเพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ย
• เป็นค่าลบ จากนั้นเมื่อตัวแปรสุ่มหนึ่งเพิ่มขึ้น อีกตัวแปรหนึ่งมีแนวโน้มที่จะลดลงโดยเฉลี่ย เครื่องมือกราฟิกที่สะดวกสำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลที่จับคู่คือ พล็อตกระจายซึ่งแสดงถึงการสังเกตแต่ละครั้งในพื้นที่สองมิติที่สอดคล้องกับสองปัจจัย แผนภาพกระจายซึ่งแสดงชุดค่าของคุณสมบัติสองอย่างเรียกอีกอย่างว่า เขตข้อมูลความสัมพันธ์แต่ละจุดของไดอะแกรมนี้มีพิกัด x (. และ วาย กเมื่อความแข็งแกร่งของความสัมพันธ์เชิงเส้นเพิ่มขึ้น จุดบนกราฟจะอยู่ใกล้เส้นตรงมากขึ้น และขนาด ชจะยิ่งแนบแน่นเป็นปึกแผ่น

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่ใช้เพื่อวัดความแข็งแกร่งของความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างคู่คุณลักษณะต่างๆ จากชุดของพวกมัน รับชุดคุณสมบัติต่างๆ เมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่

ให้ชุดข้อมูลทั้งหมดประกอบด้วยตัวแปร Y==(ที่ ร ปี 2 , ..., ป)และ ตตัวแปร (ปัจจัย) x,ซึ่งแต่ละรายการประกอบด้วย พีข้อสังเกต ค่าตัวแปร วายและ x,ที่มีอยู่ในประชากรที่สังเกตได้จะถูกบันทึกไว้ในตาราง (ตารางที่ 3.2.1)

ตารางที่ 3.2.1

ตัวแปร ตัวเลข ข้อสังเกต
					เอ็กซ์ t3
					Х tp

คำนวณจากข้อมูลที่มีอยู่ในตารางนี้ เมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์คู่ Rมันสมมาตรกับเส้นทแยงมุมหลัก:

การวิเคราะห์เมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่ถูกนำมาใช้ในการสร้างแบบจำลองการถดถอยพหุคูณ

เมทริกซ์สหสัมพันธ์หนึ่งรายการไม่สามารถอธิบายการพึ่งพาระหว่างปริมาณได้อย่างสมบูรณ์ ด้วยเหตุนี้ในหลายมิติ การวิเคราะห์ความสัมพันธ์มีการพิจารณาสองงาน:

• 1. การกำหนดความหนาแน่นของความสัมพันธ์ของตัวแปรสุ่มหนึ่งตัวกับผลรวมของตัวแปรอื่น ๆ ที่รวมอยู่ในการวิเคราะห์
• 2. กำหนดความหนาแน่นของความสัมพันธ์ระหว่างสองปริมาณในขณะที่กำหนดหรือไม่รวมอิทธิพลของปริมาณอื่น ๆ

ปัญหาเหล่านี้ได้รับการแก้ไขตามลำดับด้วยความช่วยเหลือของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์พหุคูณและบางส่วน

การแก้ปัญหาแรก (การกำหนดความใกล้ชิดของการเชื่อมต่อของตัวแปรสุ่มหนึ่งตัวกับชุดของตัวแปรอื่น ๆ ที่รวมอยู่ในการวิเคราะห์) ดำเนินการโดยใช้ ตัวอย่างค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์พหุคูณตามสูตร

ที่ไหน R- ร[ซม. สูตร (3.2.6)]; Rjj-ส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบในเมทริกซ์เดียวกัน ร.

กำลังสองของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์พหุคูณ สชญ2 เจ _j เจ+แอล มเรียกว่า เลือกค่าสัมประสิทธิ์พหุคูณของการกำหนด; มันแสดงให้เห็นสัดส่วนของการแปรผัน (การกระจายแบบสุ่ม) ของปริมาณที่ศึกษา เอ็กซ์เจอธิบายการเปลี่ยนแปลงของส่วนที่เหลือ ตัวแปรสุ่ม X ( , X 2 ,..., X t

ค่าสัมประสิทธิ์ของสหสัมพันธ์พหุคูณและการกำหนดเป็นค่าบวกโดยรับค่าในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 เมื่อค่าสัมประสิทธิ์เข้าใกล้ ร 2 เป็นอันหนึ่งอันเดียวกัน เราสามารถสรุปได้ว่าความสัมพันธ์ของตัวแปรสุ่มนั้นใกล้เคียงกัน แต่ไม่เกี่ยวกับทิศทางของมัน ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์พหุคูณจะเพิ่มขึ้นได้ก็ต่อเมื่อมีการรวมตัวแปรเพิ่มเติมในโมเดล และจะไม่เพิ่มขึ้นหากไม่รวมคุณสมบัติใดๆ ที่มี

การตรวจสอบความสำคัญของค่าสัมประสิทธิ์ของการกำหนดนั้นดำเนินการโดยการเปรียบเทียบค่าที่คำนวณได้ของ /'-เกณฑ์ของฟิชเชอร์

ด้วยตาราง ฉรับ ค่าแบบตารางของเกณฑ์ (ดูภาคผนวก 1) กำหนดโดยระดับความสำคัญ a และระดับความเป็นอิสระที่กำหนด v l \u003d mnv 2 \u003d n-m-lค่าสัมประสิทธิ์ R2จะแตกต่างจากศูนย์อย่างมีนัยสำคัญหากอสมการ

หากพิจารณาจากตัวแปรสุ่ม มีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของคู่จะได้รับผลกระทบบางส่วนจากอิทธิพลของปริมาณอื่นๆ ในเรื่องนี้จำเป็นต้องศึกษาความสัมพันธ์บางส่วนระหว่างตัวแปรโดยไม่รวมอิทธิพลของตัวแปรสุ่มอื่น ๆ (หนึ่งตัวหรือมากกว่า)

ตัวอย่างค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์บางส่วนถูกกำหนดโดยสูตร

ที่ไหน Rjk , Rjj , Rkk -การเพิ่มพีชคณิตให้กับองค์ประกอบเมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน ร[ซม. สูตร (3.2.6)].

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์บางส่วน เช่นเดียวกับ ค่าสัมประสิทธิ์คู่ความสัมพันธ์ แปรผันตั้งแต่ -1 ถึง +1

นิพจน์ (3.2.9) ภายใต้เงื่อนไข เสื้อ = 3 จะมีลักษณะอย่างไร

เรียกค่าสัมประสิทธิ์ r 12(3) ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่าง x (และ x 2 สำหรับค่าคงที่ x yมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับดัชนีหลัก 1, 2 ดัชนีรอง 3 หมายถึงตัวแปรคงที่

ตัวอย่าง 3.2.1 การคำนวณค่าสัมประสิทธิ์คู่

สหสัมพันธ์พหุคูณและบางส่วน

ในตาราง 3.2.2 ให้ข้อมูลเกี่ยวกับยอดขายและค่าโฆษณาของบริษัทหนึ่ง ตลอดจนดัชนีการใช้จ่ายของผู้บริโภคสำหรับปีปัจจุบัน

• 1. สร้าง scatterplot (ฟิลด์สหสัมพันธ์) สำหรับตัวแปร "ปริมาณการขาย" และ "ดัชนีการใช้จ่ายของผู้บริโภค"
• 2. กำหนดระดับของอิทธิพลของดัชนีการใช้จ่ายของผู้บริโภคต่อปริมาณการขาย (คำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของคู่)
• 3. ประเมินความสำคัญของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์คู่ที่คำนวณได้
• 4. สร้างเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่สำหรับตัวแปรสามตัว
• 5. หาค่าประมาณของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์พหุคูณ
• 6. ค้นหาค่าประมาณของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์บางส่วน

1. ในตัวอย่างของเรา แผนภาพกระจายมีรูปแบบที่แสดงในรูปที่ 3.2.1. การยืดตัวของ point cloud ใน scatterplot ตามเส้นตรงเอียงทำให้เราสามารถตั้งสมมติฐานได้ว่ามีแนวโน้มวัตถุประสงค์สำหรับความสัมพันธ์เชิงเส้นโดยตรงระหว่างค่าของตัวแปร เอ็กซ์ 2 วาย(ปริมาณการขาย).

ข้าว. 3.2.1.

2. การคำนวณระดับกลางเมื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร เอ็กซ์ 2(ดัชนีการใช้จ่ายของผู้บริโภค) และ วาย(ปริมาณการขาย) แสดงไว้ในตาราง 3.2.3.

ค่าเฉลี่ยตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ 2และ วายซึ่งเป็นตัวบ่งชี้ที่ง่ายที่สุดที่แสดงลักษณะของลำดับ jCj x 2,..., x 16 และ y v y 2 ,..., y 16 เราคำนวณตามสูตรต่อไปนี้:

ปริมาณการขาย Y, พันรูเบิล		ดัชนี บริโภค เทลสกี้ ค่าใช้จ่าย	ปริมาณการขาย Y, พันรูเบิล		ดัชนี บริโภค เทลสกี้ ค่าใช้จ่าย

ตารางที่ 3.2.3

				ล:, - เอ็กซ์	(และ - ย)(x, - x)	(x, - x)2	(ย, - - ย) 2

การกระจายตัวกำหนดลักษณะระดับของการแพร่กระจายของค่า x v x 2 , x :

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่าง 3.2.1 ใน Excel

ในการคำนวณความสัมพันธ์โดยใช้ Excel คุณสามารถใช้ฟังก์ชัน =correl() เป็นการระบุแอดเดรสของตัวเลขสองคอลัมน์ดังแสดงในรูป 3.2.2. คำตอบอยู่ใน D8 และเท่ากับ 0.816

ข้าว. 3.2.2.

(หมายเหตุ: อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน คอร์เรลต้องเป็นตัวเลขหรือชื่อ อาร์เรย์หรือการอ้างอิงที่มีตัวเลข หากอาร์กิวเมนต์ซึ่งเป็นอาร์เรย์หรือลิงก์ประกอบด้วยข้อความ บูลีน หรือเซลล์ว่าง ค่าเหล่านั้นจะถูกละเว้น อย่างไรก็ตามเซลล์ที่มีค่า Null จะถูกนับ

ถ้าเป็นอาร์เรย์! และ array2 มีจำนวนจุดข้อมูลต่างกัน จากนั้นจึงเป็นฟังก์ชัน correl ส่งกลับค่าความผิดพลาด #n/a

ถ้า array1 หรือ array2 ว่าง หรือถ้า o ( ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ของค่าของพวกเขาเท่ากับศูนย์แล้วฟังก์ชัน correl ส่งกลับค่าความผิดพลาด #div/0 !.)

นอกจากนี้ยังสามารถรับค่าวิกฤตของ /-สถิตินักเรียนได้โดยใช้ฟังก์ชัน steudrasprobr 1 แพ็คเกจ Excel เป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน คุณต้องระบุจำนวนองศาอิสระเท่ากับ พี- 2 (ในตัวอย่างของเรา 16 - 2= 14) และระดับนัยสำคัญ a (ในตัวอย่างของเรา a = 0.1) (รูปที่ 3.2.3) ถ้า มูลค่าที่แท้จริง//-statistics, โมดูโลที่ถ่ายมา และอื่นๆ วิกฤต,จากนั้นด้วยความน่าจะเป็น (1 - a) ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์จะแตกต่างจากศูนย์อย่างมีนัยสำคัญ

ข้าว. 3.2.3. ค่าวิกฤตของ /-statistic คือ 1.7613

Excel มีชุดเครื่องมือวิเคราะห์ข้อมูล (ที่เรียกว่าแพ็คเกจการวิเคราะห์) ที่ออกแบบมาเพื่อแก้ปัญหาทางสถิติต่างๆ ในการคำนวณเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่ รใช้เครื่องมือสหสัมพันธ์ (รูปที่ 3.2.4) และตั้งค่าพารามิเตอร์การวิเคราะห์ในกล่องโต้ตอบที่เกี่ยวข้อง คำตอบจะอยู่ในแผ่นงานใหม่ (รูปที่ 3.2.5)

1 ใน Excel 2010 ชื่อฟังก์ชัน steudrasprobr เปลี่ยนเป็น steu-

DENT.ORD.2X.

ข้าว. 3.2.4.

ข้าว. 3.2.5.

• นักสถิติชาวอังกฤษ F. Galton (1822-1911) และ K. Pearson (1857-1936) ถือเป็นผู้ก่อตั้งทฤษฎีความสัมพันธ์ คำว่า "สหสัมพันธ์" ยืมมาจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และแปลว่า "ความสัมพันธ์ การติดต่อ" แนวคิดของความสัมพันธ์ในฐานะการพึ่งพาซึ่งกันและกันระหว่างตัวแปรสุ่มนั้นอยู่ภายใต้ทฤษฎีสหสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์และสถิติ

สำหรับดินแดนของ Southern Federal District ของสหพันธรัฐรัสเซีย ข้อมูลได้รับในปี 2554

ดินแดนของเขตการปกครองของรัฐบาลกลาง	ผลิตภัณฑ์มวลรวมของภูมิภาค, พันล้านรูเบิล, Y	การลงทุนในทุนคงที่ พันล้านรูเบิล X1
1. ตัวแทน แอดเยีย
2. ตัวแทน ดาเกสถาน
3. ตัวแทน อินกูเชเทีย
4. สาธารณรัฐ Kabardino-Balkarian
5. ตัวแทน คัลมีเคีย
6. สาธารณรัฐ Karachay-Cherkess
7. ตัวแทน ออสเซเทียเหนือ- อลันย่า
8. ภูมิภาคครัสโนดาร์)
9. ดินแดน Stavropol
10. ภูมิภาค Astrakhan
11. ภูมิภาคโวลโกกราด
12. ภูมิภาครอสตอฟ

• 1. คำนวณเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่ ประเมินนัยสำคัญทางสถิติของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์
• 2. สร้างฟิลด์ความสัมพันธ์ของคุณลักษณะที่เป็นผลลัพธ์และปัจจัยที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดที่สุด
• 3. คำนวณพารามิเตอร์ของการถดถอยคู่เชิงเส้นสำหรับแต่ละปัจจัย X..
• 4. ประเมินคุณภาพของแต่ละแบบจำลองผ่านค่าสัมประสิทธิ์ของการกำหนด ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเฉลี่ย และการทดสอบ Fisher's F-test เลือกรุ่นที่ดีที่สุด

จะเป็น 80% ของมูลค่าสูงสุด นำเสนอแบบกราฟิก: ค่าจริงและแบบจำลอง จุดคาดการณ์

• 6. ใช้การถดถอยพหุคูณแบบขั้นตอน (วิธีการยกเว้นหรือวิธีการรวม) สร้างแบบจำลองการก่อตัวของราคาอพาร์ทเมนท์เนื่องจากปัจจัยสำคัญ ให้การตีความทางเศรษฐกิจของค่าสัมประสิทธิ์ของแบบจำลองการถดถอย
• 7. ประเมินคุณภาพของแบบจำลองที่สร้างขึ้น คุณภาพของโมเดลดีขึ้นเมื่อเทียบกับโมเดลปัจจัยเดียวหรือไม่? ให้ประเมินอิทธิพลของปัจจัยที่มีนัยสำคัญต่อผลลัพธ์โดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นใน - และ -? ค่าสัมประสิทธิ์

เมื่อแก้ปัญหานี้ การคำนวณและการสร้างกราฟและไดอะแกรมจะดำเนินการโดยใช้การตั้งค่า การวิเคราะห์ Excelข้อมูล.

1. คำนวณเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่และประเมินนัยสำคัญทางสถิติของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

ในกล่องโต้ตอบ ความสัมพันธ์ ในฟิลด์ ช่วงเวลาป้อนข้อมูล ให้ป้อนช่วงของเซลล์ที่มีข้อมูลต้นฉบับ เนื่องจากเราเลือกส่วนหัวของคอลัมน์ด้วย เราจึงเลือกช่องกาเครื่องหมายป้ายกำกับในแถวแรก

เราได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

ตารางที่ 1.1 เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่

การวิเคราะห์เมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่แสดงให้เห็นว่าตัวแปรตาม Y เช่น ผลิตภัณฑ์มวลรวมในภูมิภาค มีความสัมพันธ์ใกล้ชิดกับ X1 (การลงทุนในทุนคงที่) ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เท่ากับ 0.936 ซึ่งหมายความว่าตัวแปรตาม Y (ผลิตภัณฑ์มวลรวมของภูมิภาค) คือ 93.6% ขึ้นอยู่กับ X1 (การลงทุนในสินทรัพย์ถาวร)

นัยสำคัญทางสถิติของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์จะถูกกำหนดโดยใช้แบบทดสอบของนักเรียน ค่าตารางจะถูกเปรียบเทียบกับค่าที่คำนวณได้

ลองคำนวณค่าตารางโดยใช้ฟังก์ชัน STUDRIST

ตารางเสื้อ = 0.129 ที่ ระดับความเชื่อมั่นเท่ากับ 0.9 และองศาอิสระ (n-2)

ปัจจัย X1 มีนัยสำคัญทางสถิติ

2. มาสร้างฟิลด์ความสัมพันธ์ของคุณลักษณะที่มีประสิทธิภาพ (ผลิตภัณฑ์มวลรวมของภูมิภาค) และปัจจัยที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดที่สุด (การลงทุนในทุนคงที่)

ในการทำเช่นนี้ เราจะใช้เครื่องมือสำหรับสร้างแผนภาพกระจายใน Excel

เป็นผลให้เราได้รับฟิลด์ความสัมพันธ์ของราคาของผลิตภัณฑ์มวลรวมในภูมิภาค พันล้านรูเบิล และการลงทุนในทุนคงที่ พันล้านรูเบิล (รูปที่ 1.1.)

รูปที่ 1.1

3. คำนวณพารามิเตอร์ของการถดถอยคู่เชิงเส้นสำหรับแต่ละปัจจัย X

ในการคำนวณค่าพารามิเตอร์ของการถดถอยแบบคู่เชิงเส้น เราจะใช้เครื่องมือการถดถอยที่รวมอยู่ในการตั้งค่าการวิเคราะห์ข้อมูล

ในกล่องโต้ตอบ การถดถอย ในฟิลด์ ช่วงเวลาป้อนข้อมูล Y ให้ป้อนที่อยู่ของช่วงของเซลล์ที่แสดงถึงตัวแปรตาม ในสนาม

ช่วงเวลาอินพุต X เราป้อนที่อยู่ของช่วงที่มีค่าของตัวแปรอิสระ ลองคำนวณพารามิเตอร์การถดถอยแบบคู่สำหรับปัจจัย X

สำหรับ X1 ได้รับข้อมูลต่อไปนี้ แสดงในตาราง 1.2:

ตารางที่ 1.2

สมการถดถอยสำหรับการพึ่งพาราคาของผลิตภัณฑ์มวลรวมในภูมิภาคจากการลงทุนในทุนคงที่มีรูปแบบ:

4. มาประเมินคุณภาพของแต่ละรุ่นผ่านค่าสัมประสิทธิ์ของการพิจารณา ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเฉลี่ย และเกณฑ์ F ของ Fisher มาดูกันว่ารุ่นไหนดีที่สุด

ค่าสัมประสิทธิ์ของการกำหนด, ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเฉลี่ย, เราได้รับจากการคำนวณที่ดำเนินการในวรรค 3 ข้อมูลที่ได้รับแสดงในตารางต่อไปนี้:

ข้อมูลสำหรับ X1:

ตารางที่ 1.3a

ตารางที่ 1.4b

A) ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดกำหนดสัดส่วนของการแปรผันของแอตทริบิวต์ Y ที่นำมาพิจารณาในแบบจำลองและเกิดจากอิทธิพลของปัจจัย X ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดยิ่งมากความสัมพันธ์ยิ่งใกล้ชิด ระหว่างแอตทริบิวต์ในการสร้าง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์.

ใน Excel R-square จะแสดงแทน

ตามเกณฑ์นี้ แบบจำลองของสมการถดถอยสำหรับการพึ่งพาราคาของผลิตภัณฑ์มวลรวมในภูมิภาคจากการลงทุนในสินทรัพย์ถาวร (X1) นั้นเพียงพอที่สุด

B) คำนวณข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเฉลี่ยโดยใช้สูตร:

โดยที่ตัวเศษคือผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองของค่าที่คำนวณได้จากค่าจริง ในตาราง จะอยู่ในคอลัมน์ SS แถวส่วนที่เหลือ

เราคำนวณค่าเฉลี่ยของราคาอพาร์ทเมนต์ใน Excel โดยใช้ฟังก์ชัน AVERAGE = 24.18182 พันล้านรูเบิล

เมื่อทำการคำนวณทางเศรษฐกิจ แบบจำลองจะถือว่ามีความแม่นยำเพียงพอหาก หมายถึงข้อผิดพลาดค่าประมาณน้อยกว่า 5% แบบจำลองจะถือว่ายอมรับได้หากข้อผิดพลาดในการประมาณเฉลี่ยน้อยกว่า 15%

ตามเกณฑ์นี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เพียงพอที่สุดสำหรับสมการถดถอยของการพึ่งพาราคาของผลิตภัณฑ์มวลรวมในภูมิภาคจากการลงทุนในสินทรัพย์ถาวร (X1)

C) การทดสอบ F ใช้เพื่อทดสอบความสำคัญของแบบจำลองการถดถอย สำหรับสิ่งนี้ การเปรียบเทียบค่าวิกฤต (ตาราง) ของการทดสอบ F ของฟิชเชอร์

ค่าที่คำนวณได้จากตาราง 1.4b (ระบุด้วยตัวอักษร F)

ค่าตารางของการทดสอบ Fisher's F คำนวณใน Excel โดยใช้ฟังก์ชัน FDISP เราใช้ความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.05 ได้รับ: = 4.75

ค่าที่คำนวณได้ของการทดสอบ Fisher's F สำหรับแต่ละปัจจัยเทียบได้กับค่าตาราง:

71.02 > = 4.75 แบบจำลองเพียงพอตามเกณฑ์นี้

หลังจากวิเคราะห์ข้อมูลสำหรับเกณฑ์ทั้งสามแล้ว เราสามารถสรุปได้ว่าสิ่งที่ดีที่สุดคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นสำหรับปัจจัยผลิตภัณฑ์มวลรวมของภูมิภาค ซึ่งอธิบายโดยสมการเชิงเส้น

5. สำหรับรูปแบบที่เลือกของการพึ่งพาราคาของผลิตภัณฑ์มวลรวมของภูมิภาค

เราจะทำนายค่าเฉลี่ยของตัวบ่งชี้ที่ระดับนัยสำคัญหากค่าที่ทำนายของปัจจัยคือ 80% ของค่าสูงสุด ลองแสดงแบบกราฟิก: ค่าจริงและแบบจำลอง จุดคาดการณ์

คำนวณค่าคาดการณ์ของ X ตามเงื่อนไข จะเป็น 80% ของค่าสูงสุด

คำนวณ X max ใน Excel โดยใช้ฟังก์ชัน MAX

0,8 *52,8 = 42,24

เพื่อให้ได้ค่าประมาณเชิงทำนายของตัวแปรตาม เราแทนค่าที่ได้รับของตัวแปรอิสระลงในสมการเชิงเส้น:

5.07 + 2.14 * 42.24 \u003d 304.55 พันล้านรูเบิล

ให้เรากำหนดช่วงความเชื่อมั่นของการพยากรณ์ซึ่งจะมีขอบเขตดังต่อไปนี้:

การคำนวณ ช่วงความมั่นใจสำหรับค่าที่คาดการณ์ไว้ เราจะคำนวณค่าเบี่ยงเบนจากเส้นการถดถอย

สำหรับแบบจำลองการถดถอยแบบจับคู่ ค่าเบี่ยงเบนจะถูกคำนวณ:

เหล่านั้น. ความหมาย มาตรฐานบกพร่องจากตาราง 1.5ก.

(เนื่องจากจำนวนองศาอิสระเท่ากับหนึ่ง ตัวส่วนจะเท่ากับ n-2) การทำนายการถดถอยแบบคู่สัมพันธ์

ในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เราใช้ ฟังก์ชันเอกเซล STUDRASPOBR เราใช้ความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.1 จำนวนองศาอิสระคือ 38

เราคำนวณค่าโดยใช้ Excel เราได้ 12294

มากำหนดขอบเขตบนและล่างของช่วงเวลากัน

• 304,55+27,472= 332,022
• 304,55-27,472= 277,078

ดังนั้น ค่าพยากรณ์ = 304.55 พันดอลลาร์ จะอยู่ระหว่างขีดจำกัดล่าง ซึ่งเท่ากับ 277.078 พันดอลลาร์ และวงเงินสูงสุดเท่ากับ 332.022 พันล้านรูเบิล ถู.

ค่าจริงและแบบจำลอง จุดที่คาดการณ์จะแสดงเป็นกราฟิกในรูปที่ 1.2

รูปที่ 1.2

6. ใช้การถดถอยพหุคูณแบบขั้นตอน (วิธีการยกเว้น) เราจะสร้างแบบจำลองสำหรับการก่อตัวของราคาของผลิตภัณฑ์มวลรวมของภูมิภาคเนื่องจากปัจจัยสำคัญ

ในการสร้างการถดถอยพหุ เราจะใช้ฟังก์ชันการถดถอยของ Excel รวมถึงปัจจัยทั้งหมดที่อยู่ในนั้น เป็นผลให้เราได้รับตารางผลลัพธ์ซึ่งเราต้องการการทดสอบของนักเรียน

ตารางที่ 1.8ก

ตารางที่ 1.8b

ตารางที่ 1.8c.

เราได้รูปแบบมุมมอง:

เพราะว่า< (4,75 < 71,024), уравнение регрессии следует признать адекватным.

ลองเลือกค่าโมดูโลที่เล็กที่สุดของการทดสอบของนักเรียนซึ่งเท่ากับ 8.427 เปรียบเทียบกับค่าตารางที่เราคำนวณใน Excel ใช้ระดับนัยสำคัญเท่ากับ 0.10 จำนวนองศาอิสระ n-m-1=12- 4=8: =1.8595

ตั้งแต่ 8.427>1.8595 โมเดลควรได้รับการยอมรับว่าเพียงพอ

7. ในการประเมินปัจจัยสำคัญของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับ เราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของความยืดหยุ่นและ - ค่าสัมประสิทธิ์

ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นแสดงจำนวนเปอร์เซ็นต์ที่เครื่องหมายผลลัพธ์จะเปลี่ยนไปเมื่อเครื่องหมายปัจจัยเปลี่ยนแปลง 1%:

E X4 \u003d 2.137 * (10.69 / 24.182) \u003d 0.94%

นั่นคือเมื่อเพิ่มการลงทุนในทุนคงที่ 1% ต้นทุนจะเพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ย 0.94%

ค่าสัมประสิทธิ์แสดงตามส่วนใดของค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่าเฉลี่ยของตัวแปรตามจะเปลี่ยนแปลงโดยมีการเปลี่ยนแปลงตัวแปรอิสระโดยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหนึ่งค่า

2,137* (14.736/33,632) = 0,936.

ข้อมูลส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนำมาจากตารางที่ได้รับโดยใช้เครื่องมือสถิติเชิงพรรณนา

ตารางที่ 1.11 สถิติเชิงพรรณนา (Y)

ตารางที่ 1.12 สถิติเชิงพรรณนา (X4)

ค่าสัมประสิทธิ์กำหนดส่วนแบ่งของอิทธิพลของปัจจัยในอิทธิพลทั้งหมดของปัจจัยทั้งหมด:

ในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่ เราจะคำนวณเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบคู่ใน Excel โดยใช้เครื่องมือสหสัมพันธ์ของการตั้งค่าการวิเคราะห์ข้อมูล

ตารางที่ 1.14

(0,93633*0,93626) / 0,87 = 1,00.

สรุป: จากการคำนวณที่ได้รับ เราสามารถสรุปได้ว่าแอตทริบิวต์ที่มีประสิทธิภาพ Y (ผลิตภัณฑ์มวลรวมของภูมิภาค) ขึ้นอยู่กับปัจจัย X1 (การลงทุนในสินทรัพย์ถาวร) เป็นอย่างมาก (100%)

บรรณานุกรม

• 1. Magnus Ya.R. , Katyshev P.K. , Peresetsky A.A. เศรษฐมิติ. หลักสูตรเริ่มต้น. กวดวิชา. แก้ไขครั้งที่ 2 - ม.: Delo, 1998. - หน้า 69 - 74.
• 2. อบรมเชิงปฏิบัติการเศรษฐมิติ: ตำรา / I.I. เอลิเซวา เอส.วี. Kurysheva, N.M. Gordeenko และอื่น ๆ 2545. - หน้า 49 - 105.
• 3. Dougerty K. บทนำเกี่ยวกับเศรษฐมิติ: ต่อ. จากอังกฤษ. - ม.: INFRA-M, 1999. - XIV, p. 262 - 285.
• 4. Aivyzyan S.A., Mikhtiryan V.S. คณิตศาสตร์ประยุกต์และรากฐานของเศรษฐมิติ -1998. หน้า 115-147.
• 5. Kremer N.Sh., Putko ปริญญาตรี เศรษฐมิติ. -2550. ตั้งแต่ 175-251.