วิธีเมทริกซ์ออนไลน์ การแก้เมทริกซ์
สมการโดยทั่วไปสมการพีชคณิตเชิงเส้นและระบบของสมการตลอดจนวิธีการแก้สมการนั้นครอบครองสถานที่พิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ทั้งทางทฤษฎีและประยุกต์
เนื่องจากปัญหาทางกายภาพ เศรษฐกิจ เทคนิค และแม้แต่การสอนส่วนใหญ่สามารถอธิบายและแก้ไขได้โดยใช้สมการและระบบที่หลากหลาย ล่าสุดได้รับความนิยมเป็นพิเศษในหมู่นักวิจัย นักวิทยาศาสตร์ และผู้ปฏิบัติงาน การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในเกือบทุกสาขาวิชาซึ่งอธิบายได้ด้วยข้อได้เปรียบที่ชัดเจนเหนือวิธีการอื่นที่เป็นที่รู้จักและพิสูจน์แล้วในการศึกษาวัตถุที่มีลักษณะต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบที่ซับซ้อนที่เรียกว่า มีคำจำกัดความที่แตกต่างกันมากมายของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่นักวิทยาศาสตร์ให้ไว้ เวลาที่ต่างกันแต่ในความเห็นของเรา สิ่งที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดคือข้อความต่อไปนี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นความคิดที่แสดงออกมาด้วยสมการ ดังนั้นความสามารถในการเขียนและแก้สมการและระบบของสมการจึงเป็นคุณลักษณะสำคัญของผู้เชี่ยวชาญสมัยใหม่
ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีที่ใช้กันมากที่สุดคือวิธีแครมเมอร์ วิธีจอร์แดน-เกาส์ และวิธีการเมทริกซ์
วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์ - วิธีการแก้ปัญหาที่ใช้ เมทริกซ์ผกผันระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์
หากเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับค่าที่ไม่รู้จัก xi ในเมทริกซ์ A รวบรวมค่าที่ไม่รู้จักในคอลัมน์เวกเตอร์ X และเงื่อนไขอิสระในคอลัมน์เวกเตอร์ B จากนั้นระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถเขียนได้เป็น ดังต่อไปนี้ สมการเมทริกซ์ A · X = B ซึ่งมีคำตอบเฉพาะเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A ไม่เท่ากับศูนย์เท่านั้น ในกรณีนี้ สามารถหาคำตอบของระบบสมการได้ดังนี้ เอ็กซ์ = ก-1 · บี, ที่ไหน ก-1 คือเมทริกซ์ผกผัน
วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์มีดังนี้
ให้ระบบได้รับ สมการเชิงเส้นกับ nไม่ทราบ:
สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบเมทริกซ์: ขวาน = บี, ที่ไหน ก- เมทริกซ์หลักของระบบ บีและ เอ็กซ์- คอลัมน์ข้อกำหนดและแนวทางแก้ไขฟรีของระบบตามลำดับ:
ลองคูณสมการเมทริกซ์นี้จากทางซ้ายด้วย ก-1 - เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ ก: ก -1 (ขวาน) = ก -1 บี
เพราะ ก -1 ก = อีเราได้รับ เอ็กซ์= ก -1 บี. ด้านขวาของสมการนี้จะให้คอลัมน์คำตอบแก่ระบบเดิม ไม่มีเงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้วิธีนี้ (รวมถึงการมีอยู่ของวิธีแก้ปัญหาโดยทั่วไป) ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนสมการเท่ากับจำนวนไม่ทราบ) คือความไม่เสื่อมของเมทริกซ์ ก- เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งนี้คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ไม่เท่ากับศูนย์ ก:det ก≠ 0.
สำหรับระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน นั่นคือ เมื่อเวกเตอร์ บี = 0 แท้จริงแล้วมีกฎตรงกันข้าม: ระบบ ขวาน = 0 มีวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ไม่สำคัญ (นั่นคือ ไม่ใช่ศูนย์) เฉพาะในกรณีที่ det ก= 0 การเชื่อมโยงระหว่างคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันดังกล่าวเรียกว่าทางเลือกเฟรดโฮล์ม
ตัวอย่าง การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกัน.
ให้เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ไม่เท่ากับศูนย์
ขั้นตอนต่อไปคือการคำนวณการเสริมพีชคณิตสำหรับองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบ พวกมันจำเป็นจะต้องค้นหาเมทริกซ์ผกผัน
- คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A
- ผ่านการบวกพีชคณิตจะพบเมทริกซ์ผกผัน A -1
- เทมเพลตโซลูชันถูกสร้างขึ้นใน Excel
คำแนะนำ. หากต้องการหาคำตอบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน คุณต้องระบุขนาดของเมทริกซ์ ถัดไป ในกล่องโต้ตอบใหม่ กรอกเมทริกซ์ A และเวกเตอร์ของผลลัพธ์ B
ดูเพิ่มเติมที่ การแก้สมการเมทริกซ์อัลกอริธึมโซลูชัน
- คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A ถ้าดีเทอร์มีแนนต์เป็นศูนย์ แสดงว่าคำตอบหมดไปแล้ว ระบบมีโซลูชั่นจำนวนอนันต์
- เมื่อดีเทอร์มิแนนต์แตกต่างจากศูนย์ จะพบเมทริกซ์ผกผัน A -1 ผ่านการบวกพีชคณิต
- เวกเตอร์ของคำตอบ X =(x 1, x 2, ..., x n) ได้จากการคูณเมทริกซ์ผกผันด้วยเวกเตอร์ผลลัพธ์ B
การบวกพีชคณิต
| เอ 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| เอ 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| เอ 1.3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| เอ 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| เอ 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| เอ 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| เอ 3.1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
XT = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
การตรวจสอบ:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
ในส่วนแรก เราดูเนื้อหาทางทฤษฎีบางอย่าง วิธีการแทนที่ ตลอดจนวิธีการบวกสมการของระบบทีละเทอม ฉันแนะนำให้ทุกคนที่เข้าถึงไซต์ผ่านหน้านี้เพื่ออ่านส่วนแรก บางทีผู้เยี่ยมชมบางคนอาจพบว่าเนื้อหาง่ายเกินไป แต่ในกระบวนการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ฉันได้แสดงความคิดเห็นและข้อสรุปที่สำคัญมากหลายประการเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไป.
ตอนนี้เราจะวิเคราะห์กฎของ Cramer รวมถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน (วิธีเมทริกซ์) เนื้อหาทั้งหมดนำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียด และชัดเจน ผู้อ่านเกือบทั้งหมดจะสามารถเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการข้างต้น
อันดับแรก เราจะมาดูรายละเอียดกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในค่าไม่ทราบค่าสองตัว เพื่ออะไร? - หลังจากนั้น ระบบที่ง่ายที่สุดแก้ได้ด้วยวิธีโรงเรียน วิธีบวกแบบทีละภาค!
ความจริงก็คือแม้ว่าบางครั้งงานดังกล่าวจะเกิดขึ้น - เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวโดยใช้สูตรของแครมเมอร์ ประการที่สอง ตัวอย่างที่ง่ายกว่าจะช่วยให้คุณเข้าใจวิธีใช้กฎของแครมเมอร์สำหรับกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น นั่นคือระบบสมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า
นอกจากนี้ยังมีระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวซึ่งแนะนำให้แก้โดยใช้กฎของแครมเมอร์!
พิจารณาระบบสมการ
ในขั้นตอนแรกเราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งเรียกว่า ปัจจัยกำหนดหลักของระบบ.
วิธีเกาส์
ถ้า ดังนั้นระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสองตัว:
และ
ในทางปฏิบัติ สามารถระบุคุณสมบัติข้างต้นได้เช่นกัน อักษรละติน.
เราค้นหารากของสมการโดยใช้สูตร:
,
ตัวอย่างที่ 7
แก้ระบบสมการเชิงเส้น 
สารละลาย: เราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของสมการค่อนข้างมากทางด้านขวาจะมี ทศนิยมด้วยลูกน้ำ ลูกน้ำเป็นแขกที่ค่อนข้างหายาก งานภาคปฏิบัติในทางคณิตศาสตร์ ผมเอาระบบนี้มาจากปัญหาทางเศรษฐมิติ
จะแก้ไขระบบดังกล่าวได้อย่างไร? คุณสามารถลองแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่งได้ แต่ในกรณีนี้ คุณอาจจะจบลงด้วยเศษส่วนแฟนซีที่แย่มากซึ่งใช้งานไม่สะดวกอย่างยิ่ง และการออกแบบโซลูชันจะดูแย่มาก คุณสามารถคูณสมการที่สองด้วย 6 และลบเทอมต่อเทอม แต่เศษส่วนเดียวกันก็จะเกิดขึ้นที่นี่เช่นกัน
จะทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ สูตรของ Cramer เข้ามาช่วยเหลือ
;
;
คำตอบ: ,
รากทั้งสองมีหางที่ไม่มีที่สิ้นสุดและพบได้โดยประมาณ ซึ่งค่อนข้างยอมรับได้ (และแม้แต่เรื่องธรรมดาด้วยซ้ำ) สำหรับปัญหาทางเศรษฐมิติ
ไม่จำเป็นต้องแสดงความคิดเห็นที่นี่เนื่องจากงานได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตรสำเร็จรูปอย่างไรก็ตามมีข้อแม้อยู่ประการหนึ่ง เมื่อใช้วิธีนี้ บังคับส่วนของการออกแบบงานคือส่วนต่อไปนี้: “นั่นหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร”- มิฉะนั้น ผู้ตรวจสอบอาจลงโทษคุณสำหรับการไม่เคารพทฤษฎีบทของแครเมอร์
การตรวจสอบซึ่งสามารถทำได้สะดวกบนเครื่องคิดเลขจะไม่ฟุ่มเฟือย: เราแทนที่ค่าโดยประมาณทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ ด้วยเหตุนี้ หากมีข้อผิดพลาดเล็กน้อย คุณควรได้ตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวา
ตัวอย่างที่ 8
แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนเกินสามัญ ทำการตรวจสอบ
นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบท้ายบทเรียน)
มาดูกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่ากัน: 
เราค้นหาปัจจัยหลักของระบบ: 
ถ้า แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุดหรือไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ในกรณีนี้ กฎของแครเมอร์จะไม่ช่วย คุณต้องใช้วิธีเกาส์
ถ้า จากนั้นระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสามตัว: 
, 
, 
และสุดท้าย คำตอบก็คำนวณโดยใช้สูตร: 
อย่างที่คุณเห็นโดยพื้นฐานแล้วกรณี "สามต่อสาม" นั้นไม่แตกต่างจากกรณี "สองต่อสอง" คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระตามลำดับ "เดิน" จากซ้ายไปขวาตามคอลัมน์ของปัจจัยหลัก
ตัวอย่างที่ 9
แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์ 
สารละลาย: มาแก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์กันดีกว่า 
ซึ่งหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว
คำตอบ: 
.
ที่จริงแล้วไม่มีอะไรพิเศษที่จะแสดงความคิดเห็นที่นี่อีกครั้งเนื่องจากการแก้ปัญหาเป็นไปตามสูตรสำเร็จรูป แต่มีความคิดเห็นสองสามอย่าง
มันเกิดขึ้นว่าจากการคำนวณจะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ "ไม่ดี" เช่น: .
ฉันขอแนะนำอัลกอริทึม "การรักษา" ต่อไปนี้ หากคุณไม่มีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ทำดังนี้:
1) อาจมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ ทันทีที่คุณเจอเศษส่วนที่ “แย่” คุณต้องตรวจสอบทันที เขียนเงื่อนไขใหม่ถูกต้องหรือไม่?- หากเงื่อนไขถูกเขียนใหม่โดยไม่มีข้อผิดพลาด คุณจะต้องคำนวณปัจจัยกำหนดใหม่โดยใช้การขยายในแถวอื่น (คอลัมน์)
2) หากไม่มีการระบุข้อผิดพลาดจากการตรวจสอบ เป็นไปได้มากว่ามีการพิมพ์ผิดในเงื่อนไขของงาน ในกรณีนี้ ทำงานอย่างใจเย็นและระมัดระวังจนจบงานและจากนั้น อย่าลืมตรวจสอบและเราเก็บคลีนชีตหลังการตัดสิน แน่นอนว่าการตรวจสอบคำตอบที่เป็นเศษส่วนนั้นเป็นงานที่ไม่น่าพอใจ แต่มันจะเป็นข้อโต้แย้งที่น่ากังวลสำหรับครูที่ชอบให้คะแนนลบสำหรับเรื่องไร้สาระเช่น วิธีจัดการกับเศษส่วนอธิบายไว้โดยละเอียดในคำตอบของตัวอย่างที่ 8
หากคุณมีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ใช้โปรแกรมอัตโนมัติเพื่อตรวจสอบ ซึ่งสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีตั้งแต่ต้นบทเรียน อย่างไรก็ตาม การใช้โปรแกรมทันทีจะทำกำไรได้มากที่สุด (ก่อนที่จะเริ่มวิธีแก้ปัญหา) คุณจะเห็นขั้นตอนกลางที่คุณทำผิดพลาดทันที! เครื่องคิดเลขเดียวกันจะคำนวณวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยอัตโนมัติโดยใช้วิธีเมทริกซ์
หมายเหตุที่สอง ในบางครั้งจะมีระบบในสมการที่ตัวแปรบางตัวหายไป เช่น 
ในสมการแรกไม่มีตัวแปร สมการที่สองไม่มีตัวแปร ในกรณีเช่นนี้ การเขียนปัจจัยหลักอย่างถูกต้องและระมัดระวังเป็นสิ่งสำคัญมาก: 
– เลขศูนย์จะถูกวางไว้แทนที่ตัวแปรที่หายไป
อย่างไรก็ตาม มีเหตุผลที่จะเปิดปัจจัยที่มีศูนย์ตามแถว (คอลัมน์) ซึ่งมีศูนย์อยู่เนื่องจากมีการคำนวณน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด
ตัวอย่างที่ 10
แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์ 
นี่เป็นตัวอย่างสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ (ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบท้ายบทเรียน)
ในกรณีของระบบสมการ 4 สมการที่มี 4 ไม่ทราบ สูตรของแครเมอร์ก็เขียนตามหลักการที่คล้ายคลึงกัน คุณสามารถดูตัวอย่างสดได้ในบทเรียนคุณสมบัติของปัจจัยกำหนด การลดลำดับของดีเทอร์มิแนนต์ - ดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 4 ห้าตัวค่อนข้างแก้ไขได้ แม้ว่างานจะชวนให้นึกถึงรองเท้าของศาสตราจารย์บนหน้าอกของนักเรียนที่โชคดีอยู่แล้ว
การแก้ระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน
วิธีเมทริกซ์ผกผันถือเป็นกรณีพิเศษ สมการเมทริกซ์(ดูตัวอย่างหมายเลข 3 ของบทเรียนที่ระบุ)
หากต้องการศึกษาส่วนนี้ คุณจะต้องสามารถขยายดีเทอร์มิแนนต์ ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ และทำการคูณเมทริกซ์ได้ ลิงก์ที่เกี่ยวข้องจะมีให้ตามความคืบหน้าของคำอธิบาย
ตัวอย่างที่ 11
แก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ 
สารละลาย: ลองเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์:
, ที่ไหน 
โปรดดูระบบสมการและเมทริกซ์ ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจหลักการที่เราเขียนองค์ประกอบลงในเมทริกซ์ ความคิดเห็นเดียว: หากตัวแปรบางตัวหายไปจากสมการ จะต้องวางศูนย์ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันในเมทริกซ์
เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร:
โดยที่ คือเมทริกซ์ขนย้ายของการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์
ก่อนอื่น มาดูปัจจัยกำหนดกันก่อน:
ที่นี่ดีเทอร์มิแนนต์จะขยายอยู่ในบรรทัดแรก
ความสนใจ! ถ้า แสดงว่าเมทริกซ์ผกผันไม่มีอยู่ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ ในกรณีนี้ ระบบจะแก้ไขโดยวิธีกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบ (วิธี Gauss)
ตอนนี้เราต้องคำนวณตัวรอง 9 ตัวแล้วเขียนลงในเมทริกซ์ตัวรอง 
อ้างอิง:การทราบความหมายของตัวห้อยคู่ในพีชคณิตเชิงเส้นมีประโยชน์ ตัวเลขตัวแรกคือจำนวนบรรทัดที่องค์ประกอบนั้นตั้งอยู่ หลักที่สองคือจำนวนคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบอยู่: 
นั่นคือ ตัวห้อยคู่บ่งชี้ว่าองค์ประกอบอยู่ในแถวแรก คอลัมน์ที่สาม และตัวอย่าง องค์ประกอบอยู่ใน 3 แถว 2 คอลัมน์
(บางครั้งวิธีนี้เรียกอีกอย่างว่าวิธีเมทริกซ์หรือวิธีเมทริกซ์ผกผัน) จำเป็นต้องทำความคุ้นเคยเบื้องต้นกับแนวคิด เช่น รูปแบบเมทริกซ์ของสัญกรณ์ SLAE วิธีเมทริกซ์ผกผันมีไว้สำหรับแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ระบบแตกต่างจากศูนย์ โดยธรรมชาติแล้ว จะถือว่าเมทริกซ์ของระบบเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (แนวคิดเรื่องดีเทอร์มิแนนต์มีเฉพาะสำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น) สาระสำคัญของวิธีเมทริกซ์ผกผันสามารถแสดงได้สามจุด:
- เขียนเมทริกซ์สามตัวลงไป: เมทริกซ์ระบบ $A$, เมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก $X$, เมทริกซ์ของเงื่อนไขอิสระ $B$
- ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน $A^(-1)$
- ใช้ความเท่าเทียมกัน $X=A^(-1)\cdot B$ หาคำตอบของ SLAE ที่กำหนด
SLAE ใดๆ สามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์เป็น $A\cdot X=B$ โดยที่ $A$ คือเมทริกซ์ของระบบ $B$ คือเมทริกซ์ของเงื่อนไขอิสระ $X$ คือเมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่ทราบ ปล่อยให้เมทริกซ์ $A^(-1)$ มีอยู่ ลองคูณทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกัน $A\cdot X=B$ ด้วยเมทริกซ์ $A^(-1)$ ทางด้านซ้าย:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
เนื่องจาก $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์) ความเท่าเทียมกันที่เขียนด้านบนจึงกลายเป็น:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
เนื่องจาก $E\cdot X=X$ ดังนั้น:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
ตัวอย่างหมายเลข 1
แก้ SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน
$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right) -
ลองหาเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ระบบกัน เช่น ลองคำนวณ $A^(-1)$ กัน ในตัวอย่างหมายเลข 2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . -
ทีนี้ลองแทนเมทริกซ์ทั้งสาม ($X$, $A^(-1)$, $B$) ลงในความเท่าเทียมกัน $X=A^(-1)\cdot B$ จากนั้นเราก็ทำการคูณเมทริกซ์
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right) -
ดังนั้นเราจึงได้ความเท่าเทียมกัน $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( อาร์เรย์ )\right)$ จากความเท่าเทียมกันนี้ เราได้: $x_1=-3$, $x_2=2$
คำตอบ: $x_1=-3$, $x_2=2$.
ตัวอย่างหมายเลข 2
แก้ SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ โดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน
ให้เราเขียนเมทริกซ์ของระบบ $A$, เมทริกซ์ของเงื่อนไขอิสระ $B$ และเมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก $X$
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right) -
ตอนนี้ถึงคราวที่ต้องค้นหาเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ระบบ เช่น หา $A^(-1)$ ในตัวอย่างที่ 3 บนหน้าที่ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน พบเมทริกซ์ผกผันแล้ว ลองใช้ผลลัพธ์ที่เสร็จสิ้นแล้วเขียน $A^(-1)$:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(อาร์เรย์)\right) -
ทีนี้ลองแทนเมทริกซ์ทั้งสาม ($X$, $A^(-1)$, $B$) ลงในความเท่าเทียมกัน $X=A^(-1)\cdot B$ จากนั้นทำการคูณเมทริกซ์ทางด้านขวา ของความเท่าเทียมกันนี้
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(อาร์เรย์) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$
ดังนั้นเราจึงได้ความเท่าเทียมกัน $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(อาร์เรย์)\right)$. จากความเท่าเทียมกันนี้ เราได้: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$
นี่เป็นแนวคิดที่สรุปการดำเนินการที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ดำเนินการกับเมทริกซ์ เมทริกซ์ทางคณิตศาสตร์ - ตารางองค์ประกอบ เกี่ยวกับโต๊ะไหน มเส้นและ nคอลัมน์นี้เมทริกซ์นี้เรียกว่ามีมิติ มบน n.
มุมมองทั่วไปของเมทริกซ์:
สำหรับ โซลูชันเมทริกซ์จำเป็นต้องเข้าใจว่าเมทริกซ์คืออะไรและรู้พารามิเตอร์หลักของมัน องค์ประกอบหลักของเมทริกซ์:
- เส้นทแยงมุมหลักประกอบด้วยองค์ประกอบต่างๆ 11, 22…..น.
- เส้นทแยงมุมด้านข้างประกอบด้วยองค์ประกอบ 1n , 2n-1 .....m1.
เมทริกซ์ประเภทหลัก:
- Square คือเมทริกซ์โดยที่จำนวนแถว = จำนวนคอลัมน์ ( ม.=น).
- ศูนย์ - โดยที่องค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมด = 0
- เมทริกซ์ที่ถูกย้าย - เมทริกซ์ ในซึ่งได้มาจากเมทริกซ์ดั้งเดิม กโดยการแทนที่แถวด้วยคอลัมน์
- ความสามัคคี - องค์ประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมหลัก = 1 องค์ประกอบอื่น ๆ ทั้งหมด = 0
- เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์ที่เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ดั้งเดิมจะทำให้เกิดเมทริกซ์เอกลักษณ์
เมทริกซ์สามารถมีความสมมาตรโดยคำนึงถึงเส้นทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุมรอง นั่นคือถ้า 12 = 21, 13 = 31, …. 23 = 32 …. m-1n = mn-1จากนั้นเมทริกซ์จะสมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลัก เฉพาะเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้นที่สามารถสมมาตรได้
วิธีการแก้เมทริกซ์
เกือบทุกอย่าง วิธีการแก้เมทริกซ์ประกอบด้วยการหาปัจจัยกำหนด n- ลำดับที่และส่วนใหญ่จะค่อนข้างยุ่งยาก ในการค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับที่ 2 และ 3 มีวิธีอื่นที่มีเหตุผลมากกว่า
การค้นหาปัจจัยกำหนดลำดับที่ 2
เพื่อคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ กลำดับที่ 2 จำเป็นต้องลบผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมรองออกจากผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก:
วิธีการหาปัจจัยกำหนดลำดับที่ 3
ด้านล่างนี้เป็นกฎสำหรับการค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 3
กฎรูปสามเหลี่ยมแบบง่ายเป็นหนึ่งใน วิธีการแก้เมทริกซ์สามารถอธิบายได้ดังนี้:
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลคูณขององค์ประกอบในดีเทอร์มิแนนต์แรกที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรงจะมีเครื่องหมาย "+" นอกจากนี้สำหรับปัจจัยที่ 2 ผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้องจะมีเครื่องหมาย "-" นั่นคือตามรูปแบบต่อไปนี้:
ที่ การแก้เมทริกซ์โดยใช้กฎของซาร์รัสทางด้านขวาของดีเทอร์มิแนนต์ ให้เพิ่ม 2 คอลัมน์แรกและผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้องบนเส้นทแยงมุมหลักและบนเส้นทแยงมุมที่ขนานกับมันจะมีเครื่องหมาย "+" และผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิและเส้นทแยงมุมที่ขนานกันโดยมีเครื่องหมาย "-":
การแยกย่อยดีเทอร์มิแนนต์ในแถวหรือคอลัมน์เมื่อแก้เมทริกซ์
ดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถวของดีเทอร์มิแนนต์และการเสริมพีชคณิต โดยปกติแล้วแถว/คอลัมน์ที่มีเลขศูนย์จะถูกเลือก แถวหรือคอลัมน์ที่มีการสลายตัวจะถูกระบุด้วยลูกศร
การลดดีเทอร์มิแนนต์ให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมเมื่อแก้เมทริกซ์
ที่ การแก้เมทริกซ์วิธีการลดดีเทอร์มิแนนต์ให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยม มันทำงานดังนี้: การใช้การแปลงที่ง่ายที่สุดในแถวหรือคอลัมน์ ดีเทอร์มิแนนต์จะกลายเป็นรูปสามเหลี่ยม จากนั้นค่าของมันตามคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับผลคูณ ขององค์ประกอบที่อยู่ในเส้นทแยงมุมหลัก
ทฤษฎีบทของลาปลาซสำหรับการแก้เมทริกซ์
เมื่อแก้เมทริกซ์โดยใช้ทฤษฎีบทของลาปลาซ คุณจำเป็นต้องรู้ทฤษฎีบทนั้นด้วย ทฤษฎีบทของลาปลาซ: อนุญาต Δ - นี่คือปัจจัยกำหนด n-ลำดับที่ เราเลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง เคแถว (หรือคอลัมน์) ที่ให้ไว้ เค≤ n - 1- ในกรณีนี้คือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของผู้เยาว์ทั้งหมด เค-ลำดับที่บรรจุอยู่ในรายการที่เลือก เคแถว (คอลัมน์) โดยการเสริมพีชคณิตจะเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์
การแก้เมทริกซ์ผกผัน
ลำดับของการกระทำสำหรับ คำตอบเมทริกซ์ผกผัน:
- ดูว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือไม่ เมทริกซ์ที่กำหนด- หากคำตอบเป็นลบ จะเห็นได้ชัดว่าไม่มีเมทริกซ์ผกผันสำหรับคำตอบนั้น
- เราคำนวณการเสริมพีชคณิต
- เราสร้างเมทริกซ์แบบยูเนี่ยน (ร่วมกัน, ที่อยู่ติดกัน) ค.
- เราเขียนเมทริกซ์ผกผันจากการบวกพีชคณิต: องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน คหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เริ่มต้น เมทริกซ์สุดท้ายจะเป็นเมทริกซ์ผกผันที่ต้องการซึ่งสัมพันธ์กับเมทริกซ์ที่กำหนด
- เราตรวจสอบงานที่ทำ: คูณเมทริกซ์เริ่มต้นและเมทริกซ์ผลลัพธ์ ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์
การแก้ระบบเมทริกซ์
สำหรับ โซลูชั่นของระบบเมทริกซ์วิธีเกาส์เซียนมักใช้กันมากที่สุด
วิธีเกาส์เป็นวิธีการมาตรฐานสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) และประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าตัวแปรถูกกำจัดตามลำดับ กล่าวคือ ด้วยความช่วยเหลือของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น ระบบสมการจึงถูกนำไปยังระบบสมมูลสามเหลี่ยม รูปแบบและจากนั้นตามลำดับโดยเริ่มจากหลัง (ตามตัวเลข) ค้นหาแต่ละองค์ประกอบของระบบ
วิธีเกาส์เป็นเครื่องมือที่หลากหลายและดีที่สุดสำหรับการค้นหาโซลูชันเมทริกซ์ ถ้าระบบมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุดหรือระบบเข้ากันไม่ได้ ระบบจะไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎของแครมเมอร์และวิธีการเมทริกซ์
วิธีเกาส์ยังหมายความถึงโดยตรง (การลดเมทริกซ์ขยายให้อยู่ในรูปแบบขั้นตอน เช่น การหาค่าศูนย์ใต้เส้นทแยงมุมหลัก) และการย้อนกลับ (การรับค่าศูนย์เหนือเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ขยาย) การเคลื่อนไปข้างหน้าคือวิธีเกาส์ การเคลื่อนถอยหลังคือวิธีเกาส์-จอร์แดน วิธีเกาส์-จอร์แดนแตกต่างจากวิธีเกาส์เฉพาะในลำดับการกำจัดตัวแปรเท่านั้น
