โครงการเบอร์นูลลี ตัวอย่างการแก้ปัญหา

1

1. Bogolyubov A.N. คณิตศาสตร์. กลไก: คู่มือชีวประวัติ - เคียฟ: Naukova Dumka, 1983

2. Gulay T.A. , Dolgopolova A.F. , Litvin D.B. การวิเคราะห์และประเมินลำดับความสำคัญของส่วนต่างๆ ของสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโดยนักศึกษาสาขาวิชาเศรษฐศาสตร์เฉพาะทางของมหาวิทยาลัยเกษตรกรรม // Bulletin of the APK of Stavropol - 2556. - ครั้งที่ 1 (9). - ป.6-10.

3. ดอลโกโปโลวา เอ.เอฟ., กูเลย์ ที.เอ., ลิตวิน ดี.บี. โอกาสในการสมัคร วิธีการทางคณิตศาสตร์ในการวิจัยทางเศรษฐศาสตร์ // วิทยาศาสตร์การเกษตร ความคิดสร้างสรรค์ การเจริญเติบโต - 2556. - ส. 255-257.

ในวิชาคณิตศาสตร์มักมีปัญหาที่เกิดขึ้น จำนวนมากการทำซ้ำของเงื่อนไขการทดสอบหรือการทดลองเดียวกัน ผลลัพธ์ของการทดสอบแต่ละครั้งจะถือเป็นผลลัพธ์ที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากผลการทดสอบครั้งก่อน การพึ่งพาในผลลัพธ์ก็จะไม่ถูกสังเกตเช่นกัน จากผลการทดสอบ ความเป็นไปได้หลายประการของผลเบื้องต้นสามารถแยกแยะได้: การเกิดเหตุการณ์ (A) หรือการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่เสริม A

จากนั้นลองสมมติว่าความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ Р(А) เป็นปกติและเท่ากับ р (0<р<1).

ตัวอย่างของความท้าทายดังกล่าวอาจเป็นงานจำนวนมาก เช่น โยนเหรียญ ดึงลูกบอลขาวดำออกจากถุงสีเข้ม หรือการให้กำเนิดกระต่ายขาวดำ

การทดสอบดังกล่าวเรียกว่าการกำหนดค่าการทดสอบอิสระซ้ำๆ หรือแบบแผนเบอร์นูลลี

Jacob Bernoulli เกิดในครอบครัวเภสัชกร พ่อพยายามสอนลูกชายของเขาในเส้นทางทางการแพทย์ แต่ J. Bernoulli เริ่มสนใจคณิตศาสตร์ด้วยตัวเขาเอง และต่อมามันก็กลายเป็นอาชีพของเขา เขาเป็นเจ้าของถ้วยรางวัลมากมายจากผลงานในหัวข้อทฤษฎีความน่าจะเป็นและตัวเลข อนุกรมและแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ หลังจากศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นจากผลงานชิ้นหนึ่งของ Huygens เรื่อง "On Calculations in Gambling" ยาโคบเริ่มสนใจเรื่องนี้ ในหนังสือเล่มนี้ไม่มีแม้แต่คำจำกัดความที่ชัดเจนเกี่ยวกับแนวคิดของ "ความน่าจะเป็น" J. Bernoulli เป็นผู้แนะนำแนวคิดสมัยใหม่ส่วนใหญ่เกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นในวิชาคณิตศาสตร์ แบร์นูลลียังเป็นคนแรกที่แสดงกฎหมายจำนวนมากในเวอร์ชันของเขา ชื่อของยาโคบมาจากผลงาน ทฤษฎีบท และโครงร่างต่างๆ: "เบอร์นูลลี", "พหุนามเบอร์นูลลี", "สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี", "การแจกแจงแบบแบร์นูลลี" และ "สมการแบร์นูลลี"

กลับไปทำซ้ำกันเถอะ ดังที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น จากผลการทดสอบต่างๆ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองอย่าง: เหตุการณ์ A จะปรากฏขึ้น หรือตรงกันข้ามกับเหตุการณ์นี้ รูปแบบ Bernoulli นั้นหมายถึงการผลิตการทดลองฟรีทั่วไปจำนวนที่ n และในการทดลองแต่ละครั้งเหตุการณ์ A ที่เราต้องการอาจปรากฏขึ้น (ทราบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้: P (A) \u003d p), ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามกับเหตุการณ์ A ระบุด้วย q \u003d P ( A)=1-p จำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่เมื่อทดสอบจำนวนที่ไม่รู้จัก เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น k ครั้งพอดี

สิ่งสำคัญคือต้องจำเงื่อนไขหลักเมื่อแก้ปัญหาโดยใช้แผน Bernoulli คือความมั่นคง หากไม่มีมัน โครงการจะสูญเสียความหมายทั้งหมด

รูปแบบนี้สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาของความซับซ้อนในระดับต่าง ๆ ตั้งแต่แบบง่าย (เหรียญเดียวกัน) ไปจนถึงแบบซับซ้อน (ดอกเบี้ย) อย่างไรก็ตาม โครงการ Bernoulli มักใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการควบคุมคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ต่างๆ และความเชื่อมั่นในกลไกต่างๆ เพื่อแก้ปัญหาก่อนเริ่มงานต้องทราบเงื่อนไขและค่าทั้งหมดล่วงหน้า

ไม่ใช่ทุกปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ลดลงจนคงที่ภายใต้เงื่อนไข แม้ว่าเราจะนำลูกบอลขาวดำในถุงสีเข้มเป็นตัวอย่าง: เมื่อดึงลูกบอลหนึ่งลูก อัตราส่วนของจำนวนและสีของลูกบอลในถุงจะเปลี่ยนไป ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไป

อย่างไรก็ตาม หากเงื่อนไขของเราคงที่ เราก็สามารถระบุความน่าจะเป็นที่ต้องการจากเราว่าเหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น k ครั้งจากทั้งหมด n ครั้งได้อย่างแม่นยำ

ข้อเท็จจริงนี้รวบรวมโดย Jacob Bernoulli เป็นทฤษฎีบท ซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในชื่อของเขา "ทฤษฎีบทแบร์นูลลี" เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทหลักในทฤษฎีความน่าจะเป็น ตีพิมพ์ครั้งแรกในผลงานของ J. Bernoulli เรื่อง "The Art of Assumptions" ทฤษฎีบทนี้คืออะไร? “ถ้าความน่าจะเป็น p ของการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งคงที่ ดังนั้นความน่าจะเป็น Pk,n ที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น k ครั้งในการทดลอง n ครั้งที่ไม่ขึ้นต่อกันจะเท่ากับ: โดยที่ q=1-p ”

ในการพิสูจน์ประสิทธิภาพของสูตร สามารถมอบหมายงานได้

งาน #1:

ขวดแก้ว n ขวดต่อเดือนที่จัดเก็บ k แตก สุ่มเอากระป๋องเอ็ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่เหยือกเหล่านี้จะไม่แตก n=250, k=10, m=8, l=4

วิธีแก้ไข: เรามีแบบแผน Bernoulli ที่มีค่า:

p=10/250=0.04 (ความน่าจะเป็นที่แบงค์จะพัง);

n=8 (จำนวนการทดลอง);

k=8-4=4 (จำนวนกระปุกแตก).

เราใช้สูตรเบอร์นูลลี

ได้รับ:

คำตอบ: 0.0141

งาน #2:

ความน่าจะเป็นในการผลิตผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในการผลิตคือ 0.2 จงหาความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ 10 ชิ้นที่ผลิตในโรงงานผลิตแห่งนี้ ค่า k จะต้องอยู่ในสภาพดี เรียกใช้โซลูชันสำหรับ k = 0, 1, 10

เราสนใจเหตุการณ์ A - การผลิตชิ้นส่วนที่สามารถซ่อมบำรุงได้ ซึ่งจะเกิดขึ้นชั่วโมงละครั้งด้วยความน่าจะเป็น p=1-0.2=0.8 เราต้องหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ที่กำหนดจะเกิดขึ้น k ครั้ง เหตุการณ์ A ตรงข้ามกับเหตุการณ์ "ไม่ใช่ A" นั่นคือ การผลิตสินค้าที่ผิดพลาด

ดังนั้นเราจึงมี: n=10; พี = 0.8; คิว=0.2

ผลลัพธ์คือ เราพบความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ที่ผลิตขึ้น 10 รายการมีข้อบกพร่องทั้งหมด (k=0) ซึ่งผลิตภัณฑ์หนึ่งชิ้นอยู่ในสภาพดี (k=1) ซึ่งไม่มีข้อบกพร่องเลย (k=10) :

โดยสรุป ฉันต้องการทราบว่าในยุคปัจจุบัน นักวิทยาศาสตร์หลายคนพยายามพิสูจน์ว่า "สูตรแบร์นูลลี" ไม่เป็นไปตามกฎของธรรมชาติ และปัญหาสามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องนำไปใช้ แน่นอนว่าเป็นไปได้ ปัญหาส่วนใหญ่ในทฤษฎีความน่าจะเป็นสามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้สูตร Bernoulli สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนกับตัวเลขจำนวนมาก

ลิงค์บรรณานุกรม

Khomutova E.A. , Kalinichenko V.A. สูตรของ BERNULLI ในทฤษฎีความน่าจะเป็น // แถลงการณ์ทางวิทยาศาสตร์ของนักเรียนต่างชาติ - 2558. - ฉบับที่ 3-4.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (วันที่เข้าถึง: 03/12/2019) เราขอนำเสนอวารสารที่จัดพิมพ์โดยสำนักพิมพ์ "Academy of Natural History"

ในบทเรียนนี้ เราจะพบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระเมื่อการทดลองซ้ำ . การทดลองเรียกว่าเป็นอิสระหากความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งของการทดลองแต่ละครั้งไม่ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทดลองอื่นๆ . การทดสอบอิสระสามารถทำได้ทั้งภายใต้เงื่อนไขเดียวกันและภายใต้เงื่อนไขที่แตกต่างกัน ในกรณีแรก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองทั้งหมดจะเท่ากัน ในกรณีที่สอง จะแตกต่างกันไปในแต่ละการทดลอง

ตัวอย่างของการสอบซ่อมอิสระ :

• หนึ่งในโหนดอุปกรณ์หรือสองหรือสามโหนดจะล้มเหลว และความล้มเหลวของแต่ละโหนดไม่ได้ขึ้นอยู่กับโหนดอื่น ๆ และความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของโหนดหนึ่งจะคงที่ในการทดสอบทั้งหมด
• ชิ้นส่วนที่ผลิตภายใต้เงื่อนไขทางเทคโนโลยีที่คงที่ หรือสาม สี่ ห้าชิ้นส่วนจะกลายเป็นไม่ได้มาตรฐาน และส่วนหนึ่งอาจกลายเป็นไม่ได้มาตรฐานโดยไม่คำนึงถึงส่วนอื่น ๆ และความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนจะ กลายเป็นว่าไม่ได้มาตรฐานมีค่าคงที่ในการทดสอบทั้งหมด
• จากการยิงหลายครั้งบนเป้าหมาย หนึ่ง สามหรือสี่นัดเข้าเป้าโดยไม่คำนึงถึงผลลัพธ์ของการยิงอื่นๆ และความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายนั้นคงที่ในทุกการทดลอง
• เมื่อใส่เหรียญแล้ว เครื่องจะทำงานอย่างถูกต้องหนึ่ง สองครั้ง หรือหลายครั้ง โดยไม่คำนึงว่าการใส่เหรียญอื่นๆ จะเป็นอย่างไร และความน่าจะเป็นที่เครื่องจะทำงานอย่างถูกต้องนั้นคงที่ในทุกการทดลอง

เหตุการณ์เหล่านี้สามารถอธิบายได้ด้วยโครงร่างเดียว แต่ละเหตุการณ์เกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้งด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงหากทราบผลของการทดลองครั้งก่อน การทดสอบดังกล่าวเรียกว่าอิสระและเรียกว่าแบบแผน โครงการเบอร์นูลลี . สันนิษฐานว่าการทดสอบดังกล่าวสามารถทำซ้ำได้หลายครั้งตามที่ต้องการ

หากมีความน่าจะเป็น หน้าเหตุการณ์ กเป็นค่าคงที่ในแต่ละการทดลอง แล้วความน่าจะเป็นที่ใน นเหตุการณ์ทดสอบอิสระ กจะมา มครั้งที่ตั้งอยู่บน สูตรเบอร์นูลลี :

(ที่ไหน ถาม= 1 – หน้า- ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น)

มาตั้งค่างาน - เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ประเภทนี้เข้ามา นการทดลองอิสระจะมาถึง มครั้งหนึ่ง.

สูตรเบอร์นูลลี: ตัวอย่างของการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1จงหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วน 2 ส่วนที่ถูกสุ่มเลือกจาก 5 ส่วนจะเป็นมาตรฐาน ถ้าความน่าจะเป็นที่แต่ละส่วนจะเป็นมาตรฐานคือ 0.9

สารละลาย. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กประกอบด้วยความจริงที่ว่าส่วนที่สุ่มเป็นมาตรฐานคือ หน้า=0.9 และความน่าจะเป็นที่ไม่ได้มาตรฐานคือ ถาม=1–หน้า=0.1 . เหตุการณ์ที่ระบุในเงื่อนไขของปัญหา (เราระบุโดย ใน) จะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น สองส่วนแรกเป็นแบบมาตรฐาน และสามส่วนถัดไปไม่เป็นมาตรฐาน แต่เหตุการณ์ ในยังเกิดขึ้นหากชิ้นส่วนที่หนึ่งและสามเป็นมาตรฐานและส่วนที่เหลือไม่ได้มาตรฐาน หรือหากชิ้นส่วนที่สองและห้าเป็นมาตรฐานและส่วนที่เหลือไม่ได้มาตรฐาน มีความเป็นไปได้อื่น ๆ ที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น ใน. ใด ๆ ของพวกเขาโดดเด่นด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าจากห้าส่วนที่นำมาซึ่งสองซึ่งครอบครองสถานที่ใด ๆ จากห้าจะกลายเป็นมาตรฐาน ดังนั้น จำนวนความเป็นไปได้ที่แตกต่างกันสำหรับการเกิดเหตุการณ์ ในเท่ากับจำนวนความเป็นไปได้ในการวางชิ้นส่วนมาตรฐานสองชิ้นในห้าตำแหน่ง เช่น เท่ากับจำนวนการรวมกันของห้าองค์ประกอบคูณสอง และ

ความน่าจะเป็นของแต่ละความเป็นไปได้ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น มีค่าเท่ากับผลคูณของปัจจัย 5 ประการ ซึ่งสองตัวซึ่งสอดคล้องกับลักษณะของชิ้นส่วนมาตรฐานมีค่าเท่ากับ 0.9 และอีกสามตัวที่เหลือซึ่งสอดคล้องกับลักษณะที่ปรากฏของความไม่ - ส่วนมาตรฐานมีค่าเท่ากับ 0.1 เช่น ความน่าจะเป็นนี้คือ เนื่องจากความเป็นไปได้ทั้งสิบนี้เป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ตามทฤษฎีบทการบวก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ในซึ่งเราหมายถึง

ตัวอย่างที่ 2ความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรต้องการความสนใจจากพนักงานภายในหนึ่งชั่วโมงคือ 0.6 สมมติว่าความล้มเหลวของเครื่องจักรนั้นเป็นอิสระจากกัน ให้หาความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรเครื่องใดเครื่องหนึ่งในสี่เครื่องที่เขาให้บริการในระยะเวลาหนึ่งชั่วโมง

สารละลาย. โดยใช้ สูตรของแบร์นูลลีที่ น=4 , ม=1 , หน้า=0.6 และ ถาม=1–หน้า=0.4 เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 3สำหรับการทำงานปกติของอู่ซ่อมรถ ต้องมีรถอย่างน้อยแปดคันในสาย และมีสิบคัน ความน่าจะเป็นของการไม่ออกของรถแต่ละคันไปยังเส้นเท่ากับ 0.1 ค้นหาความน่าจะเป็นของการทำงานปกติของคลังในวันถัดไป

สารละลาย. Autobase จะทำงานได้ดี (เหตุการณ์ ฉ) ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่งหรือแปดจะเข้าบรรทัด (เหตุการณ์ ก) หรือเก้า (เหตุการณ์ ใน)หรืองานสิบคัน(งาน ค). ตามทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น

เราพบว่าแต่ละเทอม ตามสูตรเบอร์นูลลี. ที่นี่ น=10 , ม=8; 10 และ หน้า\u003d 1-0.1 \u003d 0.9 ตั้งแต่ หน้าน่าจะหมายถึงความน่าจะเป็นของรถที่เข้าเส้น แล้ว ถาม=0.1 . เป็นผลให้เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 4ปล่อยให้ความน่าจะเป็นที่ลูกค้าต้องการรองเท้าผู้ชายไซส์ 41 เป็น 0.25 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ซื้อจากหกรายอย่างน้อยสองคนต้องการรองเท้าขนาด 41

ให้ n การทดลองดำเนินการเกี่ยวกับเหตุการณ์ A ขอแนะนำเหตุการณ์ต่อไปนี้: Аk -- เหตุการณ์ А ถูกรับรู้ระหว่างการทดสอบ k-th, $ k=1,2,\dots , n$ จากนั้น $\bar(A)_(k) $ เป็นเหตุการณ์ที่ตรงกันข้าม (เหตุการณ์ A ไม่ได้เกิดขึ้นระหว่างการทดลองครั้งที่ k, $k=1,2,\dots , n$)

การทดลองแบบเพียร์และอิสระคืออะไร

คำนิยาม

การทดสอบจะเรียกว่าประเภทเดียวกันกับเหตุการณ์ A หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A1, A2, \dots , An$ เหมือนกัน: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ในการทดลองหนึ่งมีค่าคงที่ในทุกการทดลอง)

เห็นได้ชัดว่า ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้ามก็ตรงกันด้วย: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( ก) _(น))$.

คำนิยาม

การทดลองเรียกว่าเป็นอิสระจากเหตุการณ์ A หากเหตุการณ์ $A1, A2, \dots , An$ เป็นอิสระต่อกัน

ในกรณีนี้

ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกันจะถูกรักษาไว้เมื่อเหตุการณ์ใดๆ ของ Ak ถูกแทนที่ด้วย $\bar(A)_(k) $

ให้ชุดการทดลองอิสระที่คล้ายกัน n ชุดดำเนินการเกี่ยวกับเหตุการณ์ A เรามีสัญกรณ์: p - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ในการทดสอบครั้งเดียว q คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม ดังนั้น P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ สำหรับ k ใดๆ และ p+q=1

ความน่าจะเป็นที่ในการทดลอง n เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน k ครั้ง (0 ≤ k ≤ n) คำนวณโดยสูตร:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

ความเท่าเทียมกัน (1) เรียกว่าสูตรเบอร์นูลลี

ความน่าจะเป็นที่ชุดของการทดลองอิสระ n ครั้งของเหตุการณ์ประเภท A เดียวกันจะเกิดขึ้นอย่างน้อย k1 ครั้ง และมากที่สุด k2 ครั้ง คำนวณโดยสูตร:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

การใช้สูตร Bernoulli สำหรับค่า n จำนวนมากนำไปสู่การคำนวณที่ยุ่งยาก ดังนั้นในกรณีเหล่านี้ควรใช้สูตรอื่น - สูตรที่ไม่มีสัญลักษณ์

ลักษณะทั่วไปของโครงการ Bernoulli

พิจารณาภาพรวมของโครงการ Bernoulli หากเป็นชุดของการทดลองอิสระ n ครั้ง ซึ่งแต่ละการทดลองมี m ที่เข้ากันไม่ได้และผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ Ak ที่มีความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน Рk= рk(Аk) จากนั้นสูตรการแจกแจงแบบพหุนามจะใช้ได้:

ตัวอย่างที่ 1

ความน่าจะเป็นที่จะเป็นไข้หวัดระหว่างการแพร่ระบาดคือ 0.4 จงหาความน่าจะเป็นที่พนักงานในบริษัทจำนวน 6 คนจะล้มป่วย

1. พนักงาน 4 คน;
2. พนักงานไม่เกิน 4 คน

สารละลาย. 1) เห็นได้ชัดว่า เพื่อแก้ปัญหานี้ สูตร Bernoulli ใช้ได้ โดยที่ n=6; k=4; พี = 0.4; คิว=1-p=0.6. การใช้สูตร (1) เราจะได้: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \around 0.138$

ในการแก้ปัญหานี้ สามารถใช้สูตร (2) โดยที่ k1=0 และ k2=4 เรามี:

\[\begin(อาร์เรย์)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0.6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0.4^(2) \cdot 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0.4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ ประมาณ 0.959.) \end(อาร์เรย์)\]

ควรสังเกตว่างานนี้แก้ไขได้ง่ายกว่าโดยใช้เหตุการณ์ตรงข้าม - พนักงานมากกว่า 4 คนล้มป่วย จากนั้นโดยคำนึงถึงสูตร (7) เกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม เราได้รับ:

คำตอบ: $\ $0.959

ตัวอย่างที่ 2

โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 20 ลูกและสีดำ 10 ลูก นำลูกบอลออกมา 4 ลูก และแต่ละลูกที่ดึงออกมาจะถูกส่งกลับไปที่โกศก่อนที่จะดึงลูกถัดไปและลูกบอลในโกศจะผสมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสี่ลูกที่จับออกมาจะมีลูกบอลสีขาว 2 ลูกในรูปที่ 1

รูปภาพที่ 1

สารละลาย. ให้เหตุการณ์ A เป็นเช่นนั้น - ลูกบอลสีขาวถูกดึงออกมา จากนั้นความน่าจะเป็น $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

ตามสูตรแบร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $

คำตอบ: $\frac(8)(27) $.

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดความน่าจะเป็นที่ครอบครัวที่มีลูก 5 คนจะมีเด็กผู้หญิงไม่เกิน 3 คน ความน่าจะเป็นของการมีเด็กชายและเด็กหญิงจะถือว่าเท่ากัน

สารละลาย. ความน่าจะเป็นที่จะมีลูกสาว $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $- ความน่าจะเป็นที่จะมีลูกชาย ครอบครัวหนึ่งมีเด็กผู้หญิงไม่เกินสามคน ซึ่งหมายความว่ามีเด็กผู้หญิงเกิดมาหนึ่งคนหรือสองคนหรือสามคนหรือเด็กผู้ชายทุกคนในครอบครัว

หาความน่าจะเป็นที่ไม่มีเด็กผู้หญิงในครอบครัว มีเด็กผู้หญิงหนึ่งคน สองหรือสามคนเกิด: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

คำตอบ: $\frac(13)(16)$.

ตัวอย่างที่ 4

ผู้ยิงคนแรกที่มีนัดเดียวสามารถตีสิบอันดับแรกด้วยความน่าจะเป็น 0.6, เก้าคนด้วยความน่าจะเป็น 0.3 และแปดคนด้วยความน่าจะเป็น 0.1 ความน่าจะเป็นที่การยิง 10 ครั้ง เขาจะโดนสิบหกครั้ง เก้าสามครั้ง และแปดแปดครั้งเป็นเท่าใด

พิจารณาการแจกแจงแบบทวินาม คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน ฐานนิยม การใช้ฟังก์ชัน MS EXCEL BINOM.DIST() เราจะพล็อตฟังก์ชันการกระจายและกราฟความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ให้เราประเมินพารามิเตอร์การกระจาย p ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจง และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน พิจารณาการแจกแจงแบบเบอร์นูลลีด้วย

คำนิยาม. ปล่อยให้พวกเขาถูกจัดขึ้น นการทดสอบซึ่งแต่ละเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ 2 เหตุการณ์เท่านั้น: เหตุการณ์ "สำเร็จ" ด้วยความน่าจะเป็น หน้า หรือเหตุการณ์ "ล้มเหลว" ด้วยความน่าจะเป็น ถาม =1-p (ที่เรียกว่า โครงการเบอร์นูลลีแบร์นูลลีการทดลอง).

ความน่าจะเป็นที่จะได้รับอย่างแน่นอน x ความสำเร็จในสิ่งเหล่านี้ น การทดสอบเท่ากับ:

จำนวนความสำเร็จในกลุ่มตัวอย่าง x เป็นตัวแปรสุ่มที่มี การกระจายทวินาม(ภาษาอังกฤษ) ทวินามการกระจาย) หน้าและ น– เป็นพารามิเตอร์ของการแจกแจงนี้

จำได้ว่าเพื่อสมัคร แผนการของแบร์นูลลีและสอดคล้องกัน การกระจายทวินาม,ต้องตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

• การทดลองแต่ละครั้งต้องมีผลลัพธ์สองอย่างพอดี เรียกว่า "สำเร็จ" และ "ล้มเหลว" อย่างมีเงื่อนไข
• ผลการทดสอบแต่ละครั้งไม่ควรขึ้นอยู่กับผลการทดสอบก่อนหน้า (ความเป็นอิสระของการทดสอบ)
• โอกาสสำเร็จ หน้า ควรคงที่สำหรับการทดสอบทั้งหมด

การแจกแจงแบบทวินามใน MS EXCEL

ใน MS EXCEL เริ่มตั้งแต่เวอร์ชัน 2010 สำหรับ การกระจายทวินามมีฟังก์ชัน BINOM.DIST() ชื่อภาษาอังกฤษคือ BINOM.DIST() ซึ่งช่วยให้คุณคำนวณความน่าจะเป็นที่ตัวอย่างจะมีค่าพอดี เอ็กซ์"ความสำเร็จ" (เช่น ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น p(x) ดูสูตรด้านบน) และ ฟังก์ชันการกระจายแบบอินทิกรัล(ความน่าจะเป็นที่กลุ่มตัวอย่างจะมี xหรือ "ความสำเร็จ" น้อยกว่า รวมทั้ง 0)

ก่อน MS EXCEL 2010 EXCEL มีฟังก์ชัน BINOMDIST() ซึ่งช่วยให้คุณสามารถคำนวณ ฟังก์ชันการกระจายและ ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นพี(x). BINOMDIST() เหลืออยู่ใน MS EXCEL 2010 เพื่อความเข้ากันได้

ไฟล์ตัวอย่างประกอบด้วยกราฟ ความหนาแน่นของการกระจายความน่าจะเป็นและ .

การกระจายทวินามมีการกำหนด ข(น; หน้า) .

บันทึก: สำหรับอาคาร ฟังก์ชันการกระจายแบบอินทิกรัลประเภทแผนภูมิพอดี กำหนดการ, สำหรับ ความหนาแน่นของการกระจาย – ฮิสโตแกรมพร้อมการจัดกลุ่ม. สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการสร้างแผนภูมิ โปรดอ่านบทความ ประเภทหลักของแผนภูมิ

บันทึก: เพื่อความสะดวกในการเขียนสูตรในไฟล์ตัวอย่าง ชื่อสำหรับพารามิเตอร์ได้ถูกสร้างขึ้น การกระจายทวินาม: n และ p

ไฟล์ตัวอย่างแสดงการคำนวณความน่าจะเป็นต่างๆ โดยใช้ฟังก์ชัน MS EXCEL:

ดังที่เห็นในภาพด้านบน สันนิษฐานว่า:

• ประชากรที่ไม่สิ้นสุดที่สร้างตัวอย่างประกอบด้วยองค์ประกอบที่ดี 10% (หรือ 0.1) (พารามิเตอร์ หน้าอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันที่สาม =BINOM.DIST() )
• ในการคำนวณความน่าจะเป็นในตัวอย่าง 10 องค์ประกอบ (พารามิเตอร์ นอาร์กิวเมนต์ที่สองของฟังก์ชัน) จะมีองค์ประกอบที่ถูกต้อง 5 รายการ (อาร์กิวเมนต์แรก) คุณต้องเขียนสูตร: =BINOM.DIST(5, 10, 0.1, FALSE)
• องค์ประกอบสุดท้ายที่สี่ถูกตั้งค่า = FALSE เช่น ค่าฟังก์ชันจะถูกส่งกลับ ความหนาแน่นของการกระจาย.

ถ้าค่าของอาร์กิวเมนต์ที่สี่ = TRUE ฟังก์ชัน BINOM.DIST() จะคืนค่า ฟังก์ชันการกระจายแบบอินทิกรัลหรือเพียงแค่ ฟังก์ชันการกระจาย. ในกรณีนี้ คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่จำนวนของสินค้าที่ดีในตัวอย่างจะมาจากช่วงที่กำหนด ตัวอย่างเช่น 2 หรือน้อยกว่า (รวม 0)

ในการทำเช่นนี้คุณต้องเขียนสูตร:
= BINOM.DIST(2, 10, 0.1, TRUE)

บันทึก: สำหรับค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็มของ x, ตัวอย่างเช่น สูตรต่อไปนี้จะส่งกลับค่าเดียวกัน:
=BINOM.DIST( 2 ; 10; 0.1; จริง)
=BINOM.DIST( 2,9 ; 10; 0.1; จริง)

บันทึก: ในไฟล์ตัวอย่าง ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นและ ฟังก์ชันการกระจายคำนวณโดยใช้นิยามและฟังก์ชัน COMBIN()

ตัวบ่งชี้การกระจาย

ใน ไฟล์ตัวอย่างบนแผ่น ตัวอย่างมีสูตรสำหรับการคำนวณตัวบ่งชี้การกระจาย:

• =n*p;
• (ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานกำลังสอง) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

เราได้รับสูตร ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายทวินามโดยใช้ โครงการเบอร์นูลลี.

ตามนิยาม ตัวแปรสุ่ม X in โครงการเบอร์นูลลี(ตัวแปรสุ่มเบอร์นูลลี) ได้ ฟังก์ชันการกระจาย:

การกระจายนี้เรียกว่า การกระจายเบอร์นูลลี.

บันทึก: การกระจายเบอร์นูลลี- กรณีพิเศษ การกระจายทวินามด้วยพารามิเตอร์ n=1

ลองสร้าง 3 อาร์เรย์จาก 100 ตัวเลขที่มีความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จต่างกัน: 0.1; 0.5 และ 0.9 ในการทำเช่นนี้ในหน้าต่าง การสร้างตัวเลขสุ่มตั้งค่าพารามิเตอร์ต่อไปนี้สำหรับแต่ละความน่าจะเป็น p:

บันทึก: หากคุณตั้งค่าตัวเลือก การกระจายแบบสุ่ม (เมล็ดสุ่ม) จากนั้นคุณสามารถเลือกชุดตัวเลขที่สร้างขึ้นแบบสุ่ม ตัวอย่างเช่น โดยการตั้งค่าตัวเลือกนี้ =25 คุณสามารถสร้างชุดตัวเลขสุ่มเดียวกันบนคอมพิวเตอร์หลายเครื่อง (แน่นอนว่าพารามิเตอร์การกระจายอื่นๆ เหมือนกัน) ค่าตัวเลือกสามารถรับค่าจำนวนเต็มได้ตั้งแต่ 1 ถึง 32,767 ชื่อตัวเลือก การกระจายแบบสุ่มอาจทำให้สับสนได้ น่าจะแปลว่า กำหนดหมายเลขด้วยตัวเลขสุ่ม.

เป็นผลให้เราจะมี 3 คอลัมน์จาก 100 ตัวเลขซึ่งเราสามารถประเมินความน่าจะเป็นของความสำเร็จได้ หน้าตามสูตร: จำนวนความสำเร็จ/100(ซม. แผ่นไฟล์ตัวอย่าง การสร้าง Bernoulli).

บันทึก: สำหรับ การกระจายเบอร์นูลลีด้วย p=0.5 คุณสามารถใช้สูตร =RANDBETWEEN(0;1) ซึ่งสอดคล้องกับ

การสร้างตัวเลขสุ่ม การกระจายทวินาม

สมมติว่ามีสินค้าที่มีข้อบกพร่อง 7 รายการในตัวอย่าง ซึ่งหมายความว่า "มีโอกาสมาก" ที่สัดส่วนของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องจะเปลี่ยนไป หน้าซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของกระบวนการผลิตของเรา แม้ว่าสถานการณ์นี้จะ “เป็นไปได้มาก” แต่ก็มีความเป็นไปได้ (ความเสี่ยงอัลฟ่า ข้อผิดพลาดประเภท 1 “การแจ้งเตือนที่ผิดพลาด”) หน้ายังคงไม่เปลี่ยนแปลง และจำนวนผลิตภัณฑ์ที่บกพร่องที่เพิ่มขึ้นนั้นเกิดจากการสุ่มตัวอย่าง

ดังที่เห็นในรูปด้านล่าง 7 คือจำนวนของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องที่ยอมรับได้สำหรับกระบวนการโดยมีค่า p=0.21 เท่ากัน อัลฟ่า. สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าเมื่อเกินเกณฑ์ของสินค้าที่มีข้อบกพร่องในตัวอย่าง หน้า“อาจจะ” เพิ่มขึ้น วลี "มีแนวโน้มมากที่สุด" หมายความว่ามีโอกาสเพียง 10% (100%-90%) ที่ความเบี่ยงเบนของเปอร์เซ็นต์ของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องสูงกว่าเกณฑ์นั้นเกิดจากสาเหตุแบบสุ่มเท่านั้น

ดังนั้น จำนวนผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในตัวอย่างที่เกินเกณฑ์อาจเป็นสัญญาณว่ากระบวนการได้รับความเสียหายและเริ่มผลิต อเปอร์เซ็นต์ของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องสูงขึ้น

บันทึก: ก่อน MS EXCEL 2010 EXCEL มีฟังก์ชัน CRITBINOM() ซึ่งเทียบเท่ากับ BINOM.INV() CRITBINOM() เหลืออยู่ใน MS EXCEL 2010 และสูงกว่าเพื่อความเข้ากันได้

ความสัมพันธ์ของการแจกแจงแบบทวินามกับการแจกแจงแบบอื่น

ถ้าพารามิเตอร์ น การกระจายทวินามมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดและ หน้ามีแนวโน้มเป็น 0 ในกรณีนี้ การกระจายทวินามสามารถประมาณได้
เป็นไปได้ที่จะกำหนดเงื่อนไขเมื่อประมาณ การกระจายปัวซองใช้งานได้ดี:

• หน้า<0,1 (น้อย หน้าและอื่น ๆ นการประมาณยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น);
• หน้า>0,9 (พิจารณาว่า ถาม=1- หน้าการคำนวณในกรณีนี้จะต้องดำเนินการโดยใช้ ถาม(อ เอ็กซ์จำเป็นต้องเปลี่ยนด้วย น- x). ดังนั้นยิ่งน้อย ถามและอื่น ๆ นการประมาณยิ่งแม่นยำ)

ที่ 0.1<=p<=0,9 и n*p>10 การกระจายทวินามสามารถประมาณได้

ในทางกลับกัน การกระจายทวินามสามารถใช้เป็นการประมาณที่ดีเมื่อขนาดของประชากรคือ N การกระจายไฮเปอร์เรขาคณิตใหญ่กว่าขนาดตัวอย่าง n มาก (เช่น N>>n หรือ n/N<<1).

คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของการแจกแจงข้างต้นได้ในบทความ มีการให้ตัวอย่างการประมาณค่าไว้ที่นั่น และมีการอธิบายเงื่อนไขเมื่อเป็นไปได้และแม่นยำเพียงใด

คำแนะนำ: คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับการแจกจ่าย MS EXCEL อื่น ๆ ได้ในบทความ

การทดลอง n ครั้งดำเนินการตามโครงการ Bernoulli โดยมีความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จ p ให้ X เป็นจำนวนของความสำเร็จ ตัวแปรสุ่ม X มีช่วง (0,1,2,...,n) ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้สามารถหาได้จากสูตร: โดยที่ C m n คือจำนวนชุดค่าผสมตั้งแต่ n ถึง m
ชุดการกระจายมีรูปแบบ:

x	0	1	...	ม	น
หน้า	(1-พี) น	np(1-p) n-1	...	Cmnpm (1-p) n-m	พี เอ็น

กฎการกระจายนี้เรียกว่าทวินาม

การกำหนดบริการ. เครื่องคิดเลขออนไลน์ใช้ในการลงจุด อนุกรมการกระจายแบบทวินามและการคำนวณคุณลักษณะทั้งหมดของอนุกรม ได้แก่ การคาดคะเนทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน รายงานที่มีการตัดสินใจจัดทำขึ้นในรูปแบบ Word (ตัวอย่าง)

จำนวนการทดลอง: n= , ความน่าจะเป็น p =
ด้วยความน่าจะเป็น p เล็กน้อยและ n จำนวนมาก (np สูตรปัวซอง

คำแนะนำวิดีโอ

รูปแบบการทดสอบ Bernoulli

ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่มที่กระจายตามกฎทวินาม

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม X กระจายตามกฎทวินาม
ม[X]=np

การกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม X กระจายตามกฎทวินาม
D[X]=npq

ตัวอย่าง #1 ผลิตภัณฑ์อาจมีข้อบกพร่องโดยมีความเป็นไปได้ที่ p = 0.3 ต่อชิ้น มีการเลือกสามรายการจากแบทช์ X คือจำนวนชิ้นส่วนที่ชำรุดจากชิ้นส่วนที่เลือก ค้นหา (ป้อนคำตอบทั้งหมดในรูปแบบของเศษส่วนทศนิยม): a) ชุดการกระจาย X; b) ฟังก์ชันการกระจาย F(x) .
สารละลาย. ตัวแปรสุ่ม X มีช่วง (0,1,2,3)
มาหาชุดกระจาย X กันเถอะ
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0.3) 3 = 0.34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0.3) 3-1 = 0.44

พี 3 (3) = พี n = 0.3 3 = 0.027

x ฉัน	0	1	2	3
ปี่	0.34	0.44	0.19	0.027

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์พบได้จากสูตร M[X]= np = 3*0.3 = 0.9
การตรวจสอบ: m = ∑ x i p ผม
ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M[X].
ม[x] = 0*0.34 + 1*0.44 + 2*0.19 + 3*0.027 = 0.9
การกระจายพบได้จากสูตร D[X]=npq = 3*0.3*(1-0.3) = 0.63
การตรวจสอบ: d = ∑x 2 ผม p ผม - M[x] 2 .
การกระจาย D[X].
D[X] = 0 2 *0.34 + 1 2 *0.44 + 2 2 *0.19 + 3 2 *0.027 - 0.9 2 = 0.63
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ(x).

ฟังก์ชันการกระจาย F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3) = 1

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้งคือ 0.6 ทำการทดสอบ 5 ครั้ง เขียนกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X - จำนวนครั้งของเหตุการณ์
2. เขียนกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X ของจำนวนการยิงสี่ครั้ง หากความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8
3. โยนเหรียญ 7 ครั้ง ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของจำนวนการปรากฏของแขนเสื้อ หมายเหตุ: ที่นี่ความน่าจะเป็นของลักษณะของแขนเสื้อคือ p = 1/2 (เนื่องจากเหรียญมีสองด้าน)

ตัวอย่าง #2 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองครั้งเดียวคือ 0.6 ใช้ทฤษฎีบทของ Bernoulli กำหนดจำนวนการทดลองอิสระโดยเริ่มจากความน่าจะเป็นของการเบี่ยงเบนของความถี่ของเหตุการณ์จากความน่าจะเป็นในค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 0.1 , มากกว่า 0.97 . (คำตอบ: 801)

ตัวอย่าง #3 นักเรียนทำการทดสอบในชั้นเรียนวิทยาการคอมพิวเตอร์ งานประกอบด้วยสามงาน เพื่อให้ได้เกรดที่ดี คุณต้องหาคำตอบที่ถูกต้องสำหรับปัญหาอย่างน้อยสองข้อ แต่ละปัญหามี 5 คำตอบ ซึ่งมีเพียงคำตอบเดียวที่ถูกต้อง นักเรียนเลือกคำตอบโดยการสุ่ม ความน่าจะเป็นที่เขาจะได้เกรดดีเป็นเท่าไหร่?
สารละลาย. ความน่าจะเป็นที่จะตอบคำถามถูกต้อง: p=1/5=0.2; n=3.
ต้องป้อนข้อมูลเหล่านี้ลงในเครื่องคิดเลข ดูคำตอบ P(2)+P(3)

ตัวอย่าง #4 ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงยิงเข้าเป้าด้วยการยิงนัดเดียวคือ (m+n)/(m+n+2) n + 4 นัดถูกยิง จงหาความน่าจะเป็นที่จะพลาดไม่เกินสองครั้ง

บันทึก. ความน่าจะเป็นที่เขาจะพลาดไม่เกินสองครั้งรวมถึงเหตุการณ์ต่อไปนี้: ไม่พลาด P(4), พลาดครั้งเดียว P(3), พลาดสองครั้ง P(2)

ตัวอย่างหมายเลข 5 กำหนดการกระจายความน่าจะเป็นของจำนวนเครื่องบินที่ล้มเหลวหากเครื่องบิน 4 ลำบิน ความน่าจะเป็นของการทำงานที่ไม่ผิดพลาดของเครื่องบิน Р=0.99 จำนวนเครื่องบินที่ล้มเหลวในแต่ละเที่ยวจะกระจายตามกฎทวินาม