กฎการกระจายปัวซง แลมบ์ดาคืออะไร การกระจายปัวซอง

$X$ มีการแจกแจงแบบปัวซงพร้อมพารามิเตอร์ $\lambda$ ($\lambda$$>$0) หากค่านี้รับค่าจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $k=0, 1, 2,\dots$ ด้วยความน่าจะเป็น $pk$ =$\frac (\แลมบ์ดา ^(:) )(: \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено !} นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสและนักฟิสิกส์ ซิเมียน เดนิส ปัวซองในปี พ.ศ. 2380)

การกระจายปัวซองเรียกอีกอย่างว่ากฎของเหตุการณ์ที่หายากเพราะความน่าจะเป็น pk ให้การกระจายจำนวนโดยประมาณของเหตุการณ์บางอย่าง เหตุการณ์ที่หายากที่ ปริมาณมากการทดสอบอิสระ ในกรณีนี้ เราถือว่า $\lambda =n \cdot р$ โดยที่ $n$ คือจำนวนการทดลองแบบ Bernoulli ส่วน $р$ คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้ง

ความถูกต้องของการใช้กฎของปัวซองแทนการแจกแจงแบบทวินามสำหรับการทดสอบจำนวนมากได้มาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1

ทฤษฎีบทของปัวซอง

ถ้าในรูปแบบแบร์นูลลี n$\rightarrow$$\infty$, p$\rightarrow$0 ดังนั้น $n \cdot p$$\rightarrow$$\lambda$ (เป็นจำนวนจำกัด) แล้ว

$!_(n)^(k) p^(k) (1-p)^(n-k) \to \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } $ при любых $k=0, 1, 2,... $!}

ไม่มีหลักฐาน

หมายเหตุ 1

สูตรปัวซองมีความแม่นยำมากขึ้นสำหรับ $p$ จำนวนน้อยและจำนวนมาก $n$ และ $n \cdot p $

ความคาดหวังตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปัวซองพร้อมพารามิเตอร์ $\lambda$:

$М(Н)$=$\sum \limits _(k=0)^(\infty )k\cdot \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = $$\lambda$.!}

การกระจายตัวตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปัวซองพร้อมพารามิเตอร์ $\lambda$:

$D(X)$=$\แลมบ์ดา$

การประยุกต์สูตรปัวซองในการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

ความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องซึ่งปรากฏขึ้นในระหว่างการผลิตจำนวนมากคือ $0.002$ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชุดผลิตภัณฑ์มูลค่า 1,500 ดอลลาร์จะมีสินค้าชำรุดไม่เกิน 3 ชิ้น ค้นหาจำนวนเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่อง

• ให้ $A$ เป็นจำนวนสินค้าที่มีข้อบกพร่องในชุดผลิตภัณฑ์ $1,500$ จากนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการคือความน่าจะเป็นที่ $A$ $\leq$ $3$ ในปัญหานี้ เรามีโครงการ Bernoulli โดยมี $n=1500$ และ $p=0.002$ หากต้องการใช้ทฤษฎีบทของปัวซอง ให้ตั้ง $\lambda=1500 \cdot 0.002=3$ แล้วความน่าจะเป็นที่ต้องการ

\

• จำนวนผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องโดยเฉลี่ยคือ $M(A)$=$\lambda$=3

ตัวอย่างที่ 2

แผงสวิตช์ของสถาบันให้บริการสมาชิก $100$ ความน่าจะเป็นที่สมาชิกจะโทรภายใน $1$ นาทีคือ $0.01$ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะไม่มีใครโทรภายใน $1$ นาที

ให้ $A$ เป็นจำนวนผู้โทรไปที่สวิตช์บอร์ดในช่วง $1$ นาที ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือความน่าจะเป็นที่ $A=0$ ในปัญหานี้ สามารถใช้รูปแบบ Bernoulli ที่มี $n=100$, $p=0.01$ ได้ หากต้องการใช้ทฤษฎีบทของปัวซอง เราได้กำหนดไว้

$\แลมบ์ดา=100 \cdot 0.01=1$.

แล้วความน่าจะเป็นที่ต้องการ

$P = e^-1$ $\ประมาณ0.37$.

ตัวอย่างที่ 3

โรงงานส่งสินค้ามูลค่า 500 ดอลลาร์ไปยังฐาน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความเสียหายต่อผลิตภัณฑ์ระหว่างการขนส่งคือ $0.002$ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะเกิดความเสียหายระหว่างทาง

1. ผลิตภัณฑ์สามรายการเท่านั้น
2. น้อยกว่าสามผลิตภัณฑ์

เมื่อพิจารณาถึงหมายเหตุของสูตรปัวซอง เนื่องจากความน่าจะเป็นที่ $p=0.002$ ของความเสียหายต่อผลิตภัณฑ์นั้นมีน้อย และจำนวนผลิตภัณฑ์ $n=500$ นั้นมีมาก และ $a=n\cdot p=1

ในการแก้ปัญหาที่สอง ให้ใช้สูตร โดยที่ $k1=0$ และ $k2=2$ เรามี:

\

ตัวอย่างที่ 4

หนังสือเรียนนี้ตีพิมพ์ด้วยยอดจำหน่าย 100,000 ดอลลาร์ ความน่าจะเป็นที่หนังสือเรียนเล่มหนึ่งถูกผูกไว้ไม่ถูกต้องคือ $0.0001$ ความน่าจะเป็นที่การจำหน่ายจะมีหนังสือชำรุดมูลค่า $5$ เป็นเท่าใด

ตามเงื่อนไขของปัญหา $n = 100000$, $p = 0.0001$

เหตุการณ์ “จากหนังสือ $n$ หนังสือ $m$ ถูกเย็บอย่างไม่ถูกต้อง” โดยที่ $m = 0,1,2, \dots ,100000$ มีความเป็นอิสระ เนื่องจากตัวเลข $n$ มีมากและความน่าจะเป็นที่ $p$ มีน้อย ความน่าจะเป็น $P_n (m)$ จึงสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรปัวซอง: $P_n$(m)$\approx \frac((\lambda )^ m\cdot e^ (-\แลมบ์ดา ))(ม$ , где $\lambda = np$.!}

ในปัญหาที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

$\แลมบ์ดา = 100,000 \cdot 0.0001 = $10

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการ $P_(100000)$(5) จึงถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:

$P_(100000)$ (5)$\ประมาณ \frac(e^(-10)\cdot (10)^5)(5\approx $ ${10}^5$ $\frac{0,000045}{120}$ = $0,0375$.!}

คำตอบ: $0.0375$.

ตัวอย่างที่ 5

โรงงานได้ส่งสินค้าคุณภาพดีมูลค่า 5,000 ดอลลาร์ไปที่ฐาน ความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์จะเสียหายระหว่างการขนส่งคือ 0.0002$ ค้นหาความน่าจะเป็นที่สินค้าที่ใช้ไม่ได้ 3 ชิ้นจะมาถึงฐาน

ตามเงื่อนไข $n=5000$; $พี = 0.0002$; $k = 3$. มาหา $\lambda$:

$\แลมบ์ดา = n \cdot p = 5,000 \cdot 0.0002 = 1$

ความน่าจะเป็นที่ต้องการตามสูตรปัวซองเท่ากับ:

ตัวอย่างที่ 6

ความน่าจะเป็นที่ผู้ใช้บริการรายหนึ่งจะโทรหาชุมสายโทรศัพท์ภายในหนึ่งชั่วโมงคือ 0.01 ภายในหนึ่งชั่วโมง สมาชิก 200 คนโทรมา ค้นหาความน่าจะเป็นที่สมาชิก 3 รายจะโทรมาภายในหนึ่งชั่วโมง

เมื่อพิจารณาถึงสภาพของปัญหาแล้วเราจะเห็นว่า:

มาหา $\lambda $ สำหรับสูตรปัวซอง:

\[\แลมบ์ดา =np=200\cdot 0.01=2.\]

แทนค่าลงในสูตรปัวซองและรับค่า:

ตัวอย่างที่ 7

มีนักศึกษาที่คณะจำนวน 500 คน ความน่าจะเป็นที่วันที่ 1 กันยายน เป็นวันเกิดของนักเรียน 2 คนพร้อมๆ กันเป็นเท่าใด

เรามี $n=500$; $p=1/365 \ประมาณ 0.0027$, $q=0.9973$. เนื่องจากจำนวนการทดสอบมีมาก และความน่าจะเป็นในการดำเนินการมีน้อยมากและ $npq=1.35\

โดยที่ แล เท่ากับจำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเหมือนกัน การทดสอบอิสระ, เช่น. แล = n × p โดยที่ p คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองหนึ่งครั้ง e = 2.71828

ชุดการแจกจ่ายกฎหมายปัวซองมีรูปแบบ:

วัตถุประสงค์ของการบริการ- เครื่องคิดเลขออนไลน์ใช้ในการสร้างการแจกแจงแบบปัวซองและคำนวณคุณลักษณะทั้งหมดของอนุกรม ได้แก่ ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน รายงานพร้อมการตัดสินใจจัดทำขึ้นในรูปแบบ Word

จำนวนการทดสอบ: n= , ความน่าจะเป็น p =
คำนวณความน่าจะเป็นสำหรับ:ม =
จะมา ครั้งหนึ่ง
น้อย ครั้งหนึ่ง
ไม่น้อย ครั้งหนึ่ง
มากกว่า ครั้งหนึ่ง
ไม่มีอีกแล้ว ครั้งหนึ่ง
ไม่น้อย และไม่มีอีกแล้ว ครั้งหนึ่ง
จะเกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

ในกรณีที่ n มีขนาดใหญ่และ แล = p n > 10 สูตรปัวซงจะให้ค่าประมาณคร่าวๆ และใช้ทฤษฎีบทท้องถิ่นและทฤษฎีบทของมอยวร์-ลาปลาซในการคำนวณ P n (m)

ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม X

ความคาดหวังการกระจายปัวซอง
ม[X] = แล

ความแปรปรวนของการแจกแจงปัวซอง
D[X] = แลมบ์

ตัวอย่างหมายเลข 1 เมล็ดมีวัชพืช 0.1% ความน่าจะเป็นที่จะพบเมล็ดวัชพืช 5 เมล็ดหากคุณสุ่มเลือก 2,000 เมล็ดเป็นเท่าใด
สารละลาย.
ความน่าจะเป็น p มีน้อย แต่จำนวน n มีมาก np = 2 P(5) = แลมบ์ 5 อี -5 /5! = 0.03609
ความคาดหวัง: ม[X] = แล = 2
การกระจายตัว: D[X] = แล = 2

ตัวอย่างหมายเลข 2 ในบรรดาเมล็ดข้าวไรย์มีเมล็ดวัชพืช 0.4% ร่างกฎหมายการกระจายสำหรับจำนวนวัชพืชเมื่อสุ่มเลือก 5,000 เมล็ด หา ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้
สารละลาย. ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์: M[X] = แลม = 0.004*5000 = 20 การกระจายตัว: D[X] = แล = 20
กฎหมายการกระจายสินค้า:

เอ็กซ์	0	1	2	…	ม	…
ป	อี -20	20e -20	200e -20	…	20 ม. อี -20 /ม.!	…

ตัวอย่างหมายเลข 3 ที่การแลกเปลี่ยนโทรศัพท์ การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องเกิดขึ้นโดยมีความน่าจะเป็น 1/200 ค้นหาความน่าจะเป็นที่การเชื่อมต่อ 200 ครั้งต่อไปนี้จะเกิดขึ้น:
ก) การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องหนึ่งครั้ง
b) การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องน้อยกว่าสามครั้ง;
c) การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องมากกว่าสองครั้ง
สารละลาย.ตามเงื่อนไขของปัญหา ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่ำ ดังนั้นเราจึงใช้สูตรปัวซง (15)
a) ให้ไว้: n = 200, p = 1/200, k = 1 มาหา P 200 (1) กัน
เราได้รับ: - จากนั้น P 200 (1) µ e -1 µ 0.3679
b) ให้ไว้: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
เรามี: a = 1

c) ให้ไว้: n = 200, p = 1/200, k > 2 มาหา P 200 (k > 2) กัน
ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ง่ายกว่า: ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม เนื่องจากในกรณีนี้ คุณจะต้องคำนวณเทอมน้อยลง โดยคำนึงถึงกรณีก่อนหน้านี้เรามี

พิจารณากรณีที่ n มีขนาดใหญ่เพียงพอและ p มีขนาดเล็กเพียงพอ ลองใส่ np = a โดยที่ a คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่ต้องการถูกกำหนดโดยสูตรปัวซอง:

ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์ k รายการในช่วงเวลา t สามารถพบได้โดยใช้สูตรปัวซอง:
โดยที่ λ คือความเข้มข้นของโฟลว์ของเหตุการณ์ นั่นคือจำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ที่ปรากฏต่อหน่วยเวลา

ตัวอย่างหมายเลข 4 ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนจะชำรุดคือ 0.005 มีการตรวจสอบชิ้นส่วน 400 ชิ้น จัดทำสูตรคำนวณความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนชำรุดมากกว่า 3 ชิ้น

ตัวอย่างหมายเลข 5 ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่ชำรุดจะปรากฏขึ้นในระหว่างการผลิตจำนวนมากคือ p กำหนดความน่าจะเป็นที่ชุดของส่วน N ประกอบด้วย ก) สามส่วนอย่างแน่นอน; b) ชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่องไม่เกินสามชิ้น
พี=0.001; ยังไม่มีข้อความ = 4500
สารละลาย.
ความน่าจะเป็น p มีน้อย แต่จำนวน n มีมาก เอ็นพี = 4.5< 10. Значит ตัวแปรสุ่ม X – กระจายตามการแจกแจงแบบปัวซอง มาออกกฎหมายกันเถอะ
ตัวแปรสุ่ม X มีช่วงค่าต่างๆ (0,1,2,...,m) ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

มาดูซีรีย์การแจกแจงของ X กัน
ที่นี่ แล = np = 4500*0.001 = 4.5
P(0) = อี - แล = อี -4.5 = 0.01111
P(1) = เล - แล = 4.5e -4.5 = 0.04999

ความน่าจะเป็นที่ชุดของส่วน N จะมีสามส่วนพอดีจะเท่ากับ:

จากนั้น ความน่าจะเป็นที่ชุดของชิ้นส่วน N จะมีชิ้นส่วนที่ชำรุดไม่เกินสามชิ้น:
ป(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

ตัวอย่างหมายเลข 6 การแลกเปลี่ยนโทรศัพท์อัตโนมัติจะรับสาย N โดยเฉลี่ยต่อชั่วโมง กำหนดความน่าจะเป็นที่เธอจะรับสายภายในหนึ่งนาที: ก) สายเรียกเข้าสองครั้งพอดี; b) มากกว่าสองครั้ง
น=18
สารละลาย.
ในหนึ่งนาที การแลกเปลี่ยนโทรศัพท์อัตโนมัติจะได้รับโดยเฉลี่ย แล = 18/60 นาที = 0.3
สมมติว่าสุ่มจำนวน X ของสายที่ได้รับที่ PBX ในหนึ่งนาที
ปฏิบัติตามกฎของปัวซองโดยใช้สูตรเราจะพบความน่าจะเป็นที่ต้องการ

มาดูซีรีย์การแจกแจงของ X กัน
ที่นี่ แล = 0.3
P(0) = อี - แล = อี -0.3 = 0.7408
P(1) = เล - แล = 0.3e -0.3 = 0.2222

ความน่าจะเป็นที่เธอจะได้รับสายสองครั้งในเวลาหนึ่งนาทีคือ:
พี(2) = 0.03334
ความน่าจะเป็นที่เธอจะได้รับสายมากกว่าสองครั้งในหนึ่งนาทีคือ:
P(x>2) = 1 – 0.7408 – 0.2222 – 0.03334 = 0.00366

ตัวอย่างหมายเลข 7 พิจารณาสององค์ประกอบที่ทำงานแยกจากกัน ระยะเวลาของการดำเนินการที่ปราศจากความล้มเหลวมีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลด้วยพารามิเตอร์ แลมบ์ดา = 0.02 สำหรับองค์ประกอบแรก และ แลมบ์ = 0.05 สำหรับองค์ประกอบที่สอง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ใน 10 ชั่วโมง: ก) ทั้งสององค์ประกอบจะทำงานได้โดยไม่มีข้อผิดพลาด; b) เฉพาะความน่าจะเป็นที่องค์ประกอบหมายเลข 1 จะไม่ล้มเหลวใน 10 ชั่วโมง:
การตัดสินใจ.
P 1 (0) = อี - แลม1*t = อี -0.02*10 = 0.8187

ความน่าจะเป็นที่องค์ประกอบหมายเลข 2 จะไม่ล้มเหลวใน 10 ชั่วโมง:
P 2 (0) = อี -แลม2*t = อี -0.05*10 = 0.6065

ก) องค์ประกอบทั้งสองจะทำงานได้อย่างไม่มีที่ติ
พี(2) = พี 1 (0)*พี 2 (0) = 0.8187*0.6065 = 0.4966
b) มีเพียงองค์ประกอบเดียวเท่านั้นที่จะล้มเหลว
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187) *0.6065 = 0.4321

ตัวอย่างหมายเลข 7 การผลิตก่อให้เกิดข้อบกพร่อง 1% ความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ 1,100 รายการเพื่อการวิจัย และไม่เกิน 17 รายการจะถูกปฏิเสธเป็นเท่าใด
บันทึก: เนื่องจากที่นี่ n*p =1100*0.01=11 > 10 จึงจำเป็นต้องใช้

ทันทีที่คำขอเริ่มเข้ามา: “ปัวซองอยู่ไหน? ปัญหาในการใช้สูตรปัวซองอยู่ที่ไหน? ฯลฯ- ผมจะเริ่มต้นด้วย ของใช้ส่วนตัวการกระจายปัวซอง - เนื่องจากความต้องการวัสดุสูง

งานนี้คุ้นเคยอย่างเจ็บปวด:

และงานสองงานถัดไปนั้นแตกต่างโดยพื้นฐานจากงานก่อนหน้า:

ตัวอย่างที่ 4

ตัวแปรสุ่มจะขึ้นอยู่กับกฎของปัวซองด้วยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มที่กำหนดจะมีค่าน้อยกว่าที่คาดไว้ทางคณิตศาสตร์

ความแตกต่างก็คือว่าตรงนี้เรากำลังพูดถึงการกระจายตัวแบบปัวซงเป๊ะๆ

สารละลาย: ตัวแปรสุ่มรับค่า ด้วยความน่าจะเป็น:

ตามเงื่อนไข , และที่นี่ทุกอย่างเรียบง่าย: เหตุการณ์ประกอบด้วยสามเหตุการณ์ ผลลัพธ์ที่ไม่สอดคล้องกัน:

ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะได้ค่าน้อยกว่าที่คาดไว้ทางคณิตศาสตร์

คำตอบ:

งานทำความเข้าใจที่คล้ายกัน:

ตัวอย่างที่ 5

ตัวแปรสุ่มจะขึ้นอยู่กับกฎของปัวซองด้วยความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มที่กำหนดจะได้ค่าบวก

คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

นอกจาก กำลังใกล้เข้ามาการแจกแจงแบบทวินาม(ตัวอย่างที่ 1-3) พบการแจกแจงแบบปัวซอง ประยุกต์กว้างวี ทฤษฎีการเข้าคิวสำหรับลักษณะความน่าจะเป็น ง่ายที่สุดกระแสของเหตุการณ์ ฉันจะพยายามกระชับ:

ให้บางระบบรับคำขอ (โทรศัพท์ ลูกค้าที่เข้ามา ฯลฯ) กระแสของแอพพลิเคชั่นเรียกว่า ง่ายที่สุดถ้ามันเป็นไปตามเงื่อนไข ความนิ่ง, ไม่มีผลที่ตามมาและ ความธรรมดา- ความคงตัวหมายถึงความรุนแรงของการร้องขอ คงที่และไม่ขึ้นอยู่กับเวลาของวัน วันในสัปดาห์ หรือกรอบเวลาอื่นๆ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มี "ชั่วโมงเร่งด่วน" และไม่มี "ชั่วโมงแห่งความตาย" การไม่มีผลที่ตามมาหมายความว่าความน่าจะเป็นของแอปพลิเคชันใหม่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ "ยุคก่อนประวัติศาสตร์" กล่าวคือ ไม่มีสิ่งที่เรียกว่า "คุณยายคนหนึ่งบอก" และคนอื่น ๆ ก็ "วิ่งหนี" (หรือในทางกลับกันก็วิ่งหนี) และสุดท้าย คุณสมบัติของความธรรมดาก็มีลักษณะเฉพาะด้วยข้อเท็จจริงที่ว่า เล็กพอระยะเวลา แทบจะเป็นไปไม่ได้เลย การปรากฏตัวของแอปพลิเคชันสองรายการขึ้นไป “ หญิงชราสองคนที่ประตู?” - ไม่ ขอโทษนะ

ดังนั้นให้บางระบบได้รับแอพพลิเคชั่นที่ง่ายที่สุด ด้วยความเข้มข้นปานกลางการใช้งานต่อนาที (ต่อชั่วโมง ต่อวัน หรือในช่วงเวลาใดก็ได้) แล้วความน่าจะเป็นนั้น ในช่วงระยะเวลาหนึ่งระบบจะได้รับคำขออย่างแน่นอนเท่ากับ:

ตัวอย่างที่ 6

การโทรไปยังศูนย์จัดส่งรถแท็กซี่เป็นการโทรแบบปัวซองแบบง่ายๆ โดยมีความเข้มข้นการโทรเฉลี่ย 30 ครั้งต่อชั่วโมง ค้นหาความน่าจะเป็นที่: ก) ใน 1 นาที จะได้รับสาย 2-3 สาย b) จะมีสายเข้าอย่างน้อยหนึ่งครั้งภายในห้านาที

สารละลาย: เราใช้สูตรปัวซอง:

ก) โดยคำนึงถึงความคงที่ของการไหล เราคำนวณจำนวนการโทรโดยเฉลี่ยต่อ 1 นาที:
โทร - โดยเฉลี่ยในหนึ่งนาที

ตามทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:
– ความน่าจะเป็นที่ภายใน 1 นาที ห้องควบคุมจะได้รับสาย 2-3 สาย

b) คำนวณจำนวนการโทรโดยเฉลี่ยต่อห้านาที:

ขอให้เราระลึกถึงสถานการณ์ที่เรียกว่าโครงการเบอร์นูลลีอีกครั้ง: n การทดลองอิสระ ซึ่งแต่ละการทดลองมีเหตุการณ์บางอย่าง กสามารถปรากฏได้ด้วยความน่าจะเป็นเดียวกัน ร- จากนั้นจึงพิจารณาความน่าจะเป็นว่าในสิ่งเหล่านี้ nเหตุการณ์การทดสอบ กจะปรากฏอย่างแน่นอน เคครั้ง (ความน่าจะเป็นนี้แสดงไว้ ป n (เค) ) สามารถคำนวณได้แม่นยำโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี โดยที่ ถาม=1− พี- อย่างไรก็ตามด้วยการทดสอบจำนวนมาก nการคำนวณโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลีกลายไม่สะดวกอย่างมาก เนื่องจากนำไปสู่การดำเนินการที่มีจำนวนมากมาก เพราะฉะนั้น (ถ้าจำได้. − ครั้งหนึ่งเคยกล่าวถึงเมื่อศึกษาโครงร่างและสูตรของเบอร์นูลลีเมื่อศึกษาส่วนแรกของทฤษฎีความน่าจะเป็น "เหตุการณ์สุ่ม") ขนาดใหญ่ nมีการเสนอสูตรที่สะดวกกว่ามาก (แม้ว่าจะเป็นโดยประมาณ) ซึ่งยิ่งมีความแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น n(สูตรปัวซอง สูตรท้องถิ่นและสูตรมอยฟวร์-ลาปลาซ) หากอยู่ในโครงการแบร์นูลลีจำนวนการทดลอง nสูงและมีความน่าจะเป็น รการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ กมีขนาดเล็กในการทดสอบแต่ละครั้ง ดังนั้น สูตรปัวซองที่กล่าวมาจึงให้ค่าประมาณที่ดี
โดยที่พารามิเตอร์ ก =n∙ พี- สูตรนี้นำไปสู่การแจกแจงปัวซอง เรามาให้คำจำกัดความที่ชัดเจนกันดีกว่า

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์มี การกระจายปัวซองถ้ามันต้องใช้ค่า 0, 1, 2, ... ด้วยความน่าจะเป็น ร 0 ,หน้า 1 , ... ซึ่งคำนวณโดยสูตร

และหมายเลข กเป็นพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบปัวซอง โปรดทราบว่าค่าที่เป็นไปได้ของ r.v. เอ็กซ์มากมายนับไม่ถ้วน − ทั้งหมดนี้เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น d.s.v เอ็กซ์โดยการกระจายปัวซองมีกฎหมายการกระจายดังนี้

เมื่อคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ตามคำจำกัดความสำหรับ d.s.v. ด้วยกฎการกระจายที่ทราบ) ตอนนี้จะต้องนับไม่ใช่ผลรวมจำกัด แต่เป็นผลรวมของอนุกรมอนันต์ที่สอดคล้องกัน (เนื่องจากตารางกฎการกระจายมีหลายคอลัมน์ไม่สิ้นสุด ). หากเราคำนวณผลรวมของอนุกรมเหล่านี้จะปรากฎว่าทั้งความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์โดยมีการแจกแจงแบบปัวซองเกิดขึ้นพร้อมกับพารามิเตอร์ กของการกระจายนี้:

,
.

มาหาแฟชั่นกัน ง(เอ็กซ์) ปัวซองแจกแจงตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์- ให้เราใช้เทคนิคเดียวกับที่ใช้ในการคำนวณโหมดของตัวแปรสุ่มแบบกระจายทวินาม ตามคำนิยามของแฟชั่น ง(เอ็กซ์)= เคถ้ามีความน่าจะเป็น
ยิ่งใหญ่ที่สุดในบรรดาความน่าจะเป็นทั้งหมด ร 0 ,หน้า 1 , ... - มาหาเลขแบบนี้กัน เค (นี่คือจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ) ด้วยสิ่งนี้ เคความน่าจะเป็น พี เคจะต้องไม่น้อยกว่าความน่าจะเป็นใกล้เคียง: พี เค −1 ≤ พี เค ≤ พี เค +1 - เมื่อแทนสูตรที่สอดคล้องกันสำหรับแต่ละความน่าจะเป็น เราจะได้ตัวเลขนั้น เคจะต้องเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า:

.

หากเราเขียนสูตรสำหรับแฟคทอเรียลและดำเนินการแปลงอย่างง่าย เราจะพบว่าอสมการด้านซ้ายให้ เค≤ กและทางขวา เค≥ ก −1- ดังนั้นจำนวน เคตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า ก −1 ≤เค≤ ก, เช่น. อยู่ในส่วน [ ก −1, ก- เนื่องจากความยาวของส่วนนี้เท่ากับอย่างเห็นได้ชัด 1 จากนั้นอาจมีจำนวนเต็มหนึ่งหรือสองจำนวนก็ได้ ถ้าเป็นจำนวน กทั้งหมด จากนั้นในส่วน [ ก −1, ก] มีเลขจำนวนเต็ม 2 ตัวอยู่ที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ ถ้าเป็นจำนวน กไม่ใช่จำนวนเต็ม จึงมีเพียงจำนวนเต็มเพียงตัวเดียวในส่วนนี้

ดังนั้นหากเป็นจำนวน กจำนวนเต็ม จากนั้นโหมดของปัวซองจะกระจายตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์รับ 2 ค่าที่อยู่ติดกัน: ง(เอ็กซ์)=a−1และ ง(เอ็กซ์)=ก- ถ้าเป็นจำนวน กไม่ใช่ทั้งหมด แฟชั่นก็มี หนึ่งค่า ง(เอ็กซ์)= เค, ที่ไหน เค เป็นจำนวนเต็มเพียงตัวเดียวที่ตอบสนองอสมการได้ ก −1 ≤เค≤ ก, เช่น. ง(เอ็กซ์)= [ก] .

ตัวอย่าง- โรงงานได้ส่งสินค้าจำนวน 5,000 รายการไปที่ฐาน ความน่าจะเป็นที่สินค้าจะเสียหายระหว่างการขนส่งคือ 0.0002 ความน่าจะเป็นที่สินค้า 18 ชิ้นจะเสียหายเป็นเท่าใด? สินค้าเสียหายมีมูลค่าเฉลี่ยเท่าไร? จำนวนสิ่งของที่น่าจะเสียหายมากที่สุดคือเท่าใด และความน่าจะเป็นของสิ่งของนั้นคือเท่าใด

ที่สุด กรณีทั่วไปการแจกแจงความน่าจะเป็นประเภทต่างๆ คือการแจกแจงแบบทวินาม ให้เราใช้ความสามารถรอบด้านเพื่อกำหนดประเภทการแจกแจงเฉพาะที่พบบ่อยที่สุดที่พบในทางปฏิบัติ

การแจกแจงแบบทวินาม

ให้มีเหตุการณ์ A. ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นจะเท่ากับ พีความน่าจะเป็นที่จะไม่เกิดเหตุการณ์ A คือ 1 พีบางครั้งก็ถูกกำหนดให้เป็น ถาม- อนุญาต nจำนวนการทดสอบ มความถี่ของการเกิดเหตุการณ์ A ในสิ่งเหล่านี้ nการทดสอบ

เป็นที่ทราบกันดีว่าความน่าจะเป็นโดยรวมของชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ:

1 = พี n + n · พี n 1 (1 พี) + ค n n 2 · พี n 2 (1 พี) 2 + + ค n ม · พี ม· (1 พี) n – ม+ + (1 พี) n .

พี nความน่าจะเป็นที่ใน nnครั้งหนึ่ง; n · พี n 1 (1 พี) ความน่าจะเป็นที่ใน nn 1) ครั้งเดียวและจะไม่เกิดขึ้น 1 ครั้ง; ค n n 2 · พี n 2 (1 พี) 2 ความน่าจะเป็นที่ใน nการทดสอบ เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น ( n 2) ครั้ง และจะไม่เกิดขึ้น 2 ครั้ง; ป ม = ค n ม · พี ม· (1 พี) n – ม ความน่าจะเป็นที่ใน nการทดสอบ เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น มจะไม่เกิดขึ้น ( n – ม) ครั้งหนึ่ง; (1 พี) nความน่าจะเป็นที่ใน nในการทดลอง เหตุการณ์ A จะไม่เกิดขึ้นแม้แต่ครั้งเดียว จำนวนชุดค่าผสมของ nโดย ม .

ความคาดหวัง มการแจกแจงแบบทวินามเท่ากับ:

ม = n · พี ,

ที่ไหน nจำนวนการทดสอบ พีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ :

σ = ตร.ม.( n · พี· (1 พี)) .

ตัวอย่างที่ 1 คำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์มีความน่าจะเป็น พี= 0.5 นิ้ว n= การทดลอง 10 ครั้งจะเกิดขึ้น ม= 1 ครั้ง เรามี: ค 10 1 = 10 และเพิ่มเติม: ป 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.0098- ดังที่เราเห็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นค่อนข้างต่ำ สิ่งนี้อธิบายได้ประการแรก โดยข้อเท็จจริงที่ยังไม่ชัดเจนว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นหรือไม่ เนื่องจากความน่าจะเป็นคือ 0.5 และโอกาสที่นี่คือ “50 ถึง 50” และประการที่สอง จะต้องคำนวณว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นหนึ่งครั้ง (ไม่มากและไม่น้อย) จากสิบครั้งพอดี

ตัวอย่างที่ 2 คำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์มีความน่าจะเป็น พี= 0.5 นิ้ว n= การทดลอง 10 ครั้งจะเกิดขึ้น ม= 2 ครั้ง เรามี: ค 10 2 = 45 และเพิ่มเติม: ป 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.044- โอกาสที่เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นก็เพิ่มขึ้น!

ตัวอย่างที่ 3 มาเพิ่มโอกาสที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นกันเถอะ มาทำให้มีโอกาสมากขึ้นกันเถอะ คำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์มีความน่าจะเป็น พี= 0.8 นิ้ว n= การทดลอง 10 ครั้งจะเกิดขึ้น ม= 1 ครั้ง เรามี: ค 10 1 = 10 และเพิ่มเติม: ป 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.000004- ความน่าจะเป็นน้อยกว่าตัวอย่างแรก! คำตอบเมื่อมองแวบแรกอาจดูแปลก แต่เนื่องจากเหตุการณ์นี้มีความน่าจะเป็นค่อนข้างสูง จึงไม่น่าจะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว มีแนวโน้มว่าจะเกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้ง แท้จริงแล้วการนับ ป 0 , ป 1 , ป 2 , ป 3, , ป 10 (ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น n= 10 การทดลองจะเกิดขึ้น 0, 1, 2, 3, , 10 ครั้ง) เราจะเห็น:

ค 10 0 = 1 , ค 10 1 = 10 , ค 10 2 = 45 , ค 10 3 = 120 , ค 10 4 = 210 , ค 10 5 = 252 ,
ค 10 6 = 210 , ค 10 7 = 120 , ค 10 8 = 45 , ค 10 9 = 10 , ค 10 10 = 1 ;

ป 0 = 1 0.8 0 (1 0.8) 10 0 = 1 1 0.2 10 = 0.0000…;
ป 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.0000…;
ป 2 = 45 0.8 2 (1 0.8) 10 2 = 45 0.8 2 0.2 8 = 0.0000…;
ป 3 = 120 0.8 3 (1 0.8) 10 3 = 120 0.8 3 0.2 7 = 0.0008…;
ป 4 = 210 0.8 4 (1 0.8) 10 4 = 210 0.8 4 0.2 6 = 0.0055…;
ป 5 = 252 0.8 5 (1 0.8) 10 5 = 252 0.8 5 0.2 5 = 0.0264…;
ป 6 = 210 0.8 6 (1 0.8) 10 6 = 210 0.8 6 0.2 4 = 0.0881…;
ป 7 = 120 0.8 7 (1 0.8) 10 7 = 120 0.8 7 0.2 3 = 0.2013…;
ป 8 = 45 0.8 8 (1 0.8) 10 8 = 45 0.8 8 0.2 2 = 0.3020…(ความน่าจะเป็นสูงสุด!);
ป 9 = 10 0.8 9 (1 0.8) 10 9 = 10 0.8 9 0.2 1 = 0.2684…;
ป 10 = 1 0.8 10 (1 0.8) 10 10 = 1 0.8 10 0.2 0 = 0.1074…

แน่นอน ป 0 + ป 1 + ป 2 + ป 3 + ป 4 + ป 5 + ป 6 + ป 7 + ป 8 + ป 9 + ป 10 = 1 .

การกระจายแบบปกติ

หากเราพรรณนาถึงปริมาณ ป 0 , ป 1 , ป 2 , ป 3, , ป 10 ซึ่งเราคำนวณในตัวอย่างที่ 3 บนกราฟ ปรากฎว่าการแจกแจงของพวกมันมีรูปแบบใกล้เคียงกับกฎการแจกแจงแบบปกติ (ดูรูปที่ 27.1) (ดูบทบรรยายที่ 25 การสร้างแบบจำลองตัวแปรสุ่มแบบแจกแจงแบบปกติ)

ข้าว. 27.1. ประเภทของการแจกแจงแบบทวินาม
ความน่าจะเป็นสำหรับ m ที่แตกต่างกันที่ p = 0.8, n = 10

กฎทวินามจะกลายเป็นปกติหากความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นและการไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ A มีค่าเท่ากันโดยประมาณ นั่นคือ เราสามารถเขียนตามเงื่อนไขได้: พีอยู่ที่ (1 พี) - ตัวอย่างเช่น เอาล่ะ n= 10 และ พี= 0.5 (นั่นคือ พี= 1 พี = 0.5 ).

เราจะประสบปัญหาดังกล่าวอย่างมีความหมาย เช่น หากเราต้องการคำนวณตามทฤษฎีว่าจะมีเด็กผู้ชายกี่คนและเด็กผู้หญิงกี่คนจากเด็ก 10 คนที่เกิดในโรงพยาบาลคลอดบุตรในวันเดียวกัน ถ้าให้เจาะจงกว่านั้น เราจะไม่นับเด็กผู้ชายและเด็กผู้หญิง แต่จะนับความน่าจะเป็นที่จะเกิดเฉพาะเด็กผู้ชายเท่านั้น เด็กชาย 1 คนและเด็กหญิง 9 คนจะเกิด เด็กชาย 2 คนและเด็กหญิง 8 คนจะเกิด และอื่นๆ ให้เราสมมุติให้เข้าใจง่ายว่าความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กผู้ชายและเด็กผู้หญิงเท่ากันและเท่ากับ 0.5 (แต่จริงๆ แล้ว ไม่เป็นเช่นนั้น โปรดดูหลักสูตร “การสร้างแบบจำลองระบบปัญญาประดิษฐ์”)

เห็นได้ชัดว่าการกระจายตัวจะสมมาตร เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชาย 3 คนและเด็กหญิง 7 คน เท่ากับความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชาย 7 คนและเด็กหญิง 3 คน โอกาสเกิดสูงสุดคือเด็กชาย 5 คนและเด็กหญิง 5 คน ความน่าจะเป็นนี้เท่ากับ 0.25 แต่ค่าสัมบูรณ์ไม่ได้มากขนาดนั้น นอกจากนี้ ความน่าจะเป็นที่เด็กผู้ชาย 10 หรือ 9 คนจะเกิดในคราวเดียวยังน้อยกว่าความน่าจะเป็นที่เด็กผู้ชาย 5 ± 1 คนจะเกิดในเด็ก 10 คนมาก การแจกแจงแบบทวินามจะช่วยเราคำนวณได้ ดังนั้น.

ค 10 0 = 1 , ค 10 1 = 10 , ค 10 2 = 45 , ค 10 3 = 120 , ค 10 4 = 210 , ค 10 5 = 252 ,
ค 10 6 = 210 , ค 10 7 = 120 , ค 10 8 = 45 , ค 10 9 = 10 , ค 10 10 = 1 ;

ป 0 = 1 0.5 0 (1 0.5) 10 0 = 1 1 0.5 10 = 0.000977…;
ป 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.009766…;
ป 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.043945…;
ป 3 = 120 0.5 3 (1 0.5) 10 3 = 120 0.5 10 = 0.117188…;
ป 4 = 210 0.5 4 (1 0.5) 10 4 = 210 0.5 10 = 0.205078…;
ป 5 = 252 0.5 5 (1 0.5) 10 5 = 252 0.5 10 = 0.246094…;
ป 6 = 210 0.5 6 (1 0.5) 10 6 = 210 0.5 10 = 0.205078…;
ป 7 = 120 0.5 7 (1 0.5) 10 7 = 120 0.5 10 = 0.117188…;
ป 8 = 45 0.5 8 (1 0.5) 10 8 = 45 0.5 10 = 0.043945…;
ป 9 = 10 0.5 9 (1 0.5) 10 9 = 10 0.5 10 = 0.009766…;
ป 10 = 1 0.5 10 (1 0.5) 10 10 = 1 0.5 10 = 0.000977…

แน่นอน ป 0 + ป 1 + ป 2 + ป 3 + ป 4 + ป 5 + ป 6 + ป 7 + ป 8 + ป 9 + ป 10 = 1 .

ให้เราแสดงปริมาณบนกราฟ ป 0 , ป 1 , ป 2 , ป 3, , ป 10 (ดูรูปที่ 27.2)

ข้าว. 27.2. กราฟของการแจกแจงแบบทวินามพร้อมพารามิเตอร์
p = 0.5 และ n = 10 ทำให้เข้าใกล้กฎปกติมากขึ้น

ดังนั้นภายใต้เงื่อนไข ม ≈ n/2 และ พีอยู่ที่ 1 พีหรือ พีเท่ากับ 0.5 แทนที่จะใช้การกระจายแบบทวินาม คุณสามารถใช้แบบปกติได้ สำหรับค่าที่มาก nกราฟเลื่อนไปทางขวาและแบนมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนเพิ่มขึ้นตามการเพิ่มขึ้น n : ม = n · พี , ดี = n · พี· (1 พี) .

อนึ่ง, กฎหมายทวินามมีแนวโน้มเป็นปกติและเพิ่มขึ้น nซึ่งค่อนข้างเป็นธรรมชาติตามทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง (ดูการบรรยายที่ 34 การบันทึกและการประมวลผลผลลัพธ์ทางสถิติ)

ตอนนี้ให้พิจารณาว่ากฎทวินามเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในกรณีที่เมื่อใด พี ≠ ถามนั่นคือ พี> 0 . ในกรณีนี้ ไม่สามารถใช้สมมติฐานของการแจกแจงแบบปกติได้ และการแจกแจงแบบทวินามจะกลายเป็นการแจกแจงแบบปัวซง

การกระจายปัวซอง

การแจกแจงแบบปัวซองเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแบบทวินาม (ด้วย n>> 0 และที่ พี>0 (เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นไม่บ่อย))

จากคณิตศาสตร์รู้จักสูตรที่ช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าของสมาชิกใดๆ ของการแจกแจงแบบทวินามโดยประมาณได้:

ที่ไหน ก = n · พี พารามิเตอร์ปัวซอง (ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์) และความแปรปรวนเท่ากับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ให้เรานำเสนอการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงนี้ กฎหมายการกระจายแบบทวินาม

ป ม = ค n ม · พี ม· (1 พี) n – ม

สามารถเขียนได้ถ้าคุณใส่ พี = ก/n ในรูปแบบ

เพราะ พีมีขนาดเล็กมากจึงควรคำนึงถึงเฉพาะตัวเลขเท่านั้น มเล็กเมื่อเทียบกับ n- งาน

ใกล้ความสามัคคีมาก เช่นเดียวกับขนาด

ขนาด

ใกล้มาก จ – ก- จากที่นี่เราจะได้สูตร:

ตัวอย่าง. ในกล่องประกอบด้วย n= 100 ชิ้น ทั้งคุณภาพสูงและชำรุด ความน่าจะเป็นที่จะได้รับสินค้ามีตำหนิคือ พี= 0.01 . สมมติว่าเรานำสินค้าออกมาตรวจสอบว่ามีตำหนิหรือไม่แล้วใส่กลับเข้าไป จากการทำเช่นนี้ ปรากฎว่าจากผลิตภัณฑ์ 100 รายการที่เราลองใช้ มี 2 รายการที่มีข้อบกพร่อง ความน่าจะเป็นของสิ่งนี้คืออะไร?

โดย การแจกแจงแบบทวินามเราได้รับ:

จากการแจกแจงปัวซองเราได้รับ:

อย่างที่คุณเห็นค่าต่างๆ ใกล้เคียงกัน ดังนั้นในกรณีของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นไม่บ่อยนัก การใช้กฎของปัวซองจึงค่อนข้างเป็นที่ยอมรับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อต้องใช้ความพยายามในการคำนวณน้อยกว่า

ให้เราแสดงรูปกฎของปัวซองเป็นภาพกราฟิก ลองใช้พารามิเตอร์เป็นตัวอย่าง พี = 0.05 , n= 10 . แล้ว:

ค 10 0 = 1 , ค 10 1 = 10 , ค 10 2 = 45 , ค 10 3 = 120 , ค 10 4 = 210 , ค 10 5 = 252 ,
ค 10 6 = 210 , ค 10 7 = 120 , ค 10 8 = 45 , ค 10 9 = 10 , ค 10 10 = 1 ;

ป 0 = 1 0.05 0 (1 0.05) 10 0 = 1 1 0.95 10 = 0.5987…;
ป 1 = 10 0.05 1 (1 0.05) 10 1 = 10 0.05 1 0.95 9 = 0.3151…;
ป 2 = 45 0.05 2 (1 0.05) 10 2 = 45 0.05 2 0.95 8 = 0.0746…;
ป 3 = 120 0.05 3 (1 0.05) 10 3 = 120 0.05 3 0.95 7 = 0.0105…;
ป 4 = 210 0.05 4 (1 0.05) 10 4 = 210 0.05 4 0.95 6 = 0.00096…;
ป 5 = 252 0.05 5 (1 0.05) 10 5 = 252 0.05 5 0.95 5 = 0.00006…;
ป 6 = 210 0.05 6 (1 0.05) 10 6 = 210 0.05 6 0.95 4 = 0.0000…;
ป 7 = 120 0.05 7 (1 0.05) 10 7 = 120 0.05 7 0.95 3 = 0.0000…;
ป 8 = 45 0.05 8 (1 0.05) 10 8 = 45 0.05 8 0.95 2 = 0.0000…;
ป 9 = 10 0.05 9 (1 0.05) 10 9 = 10 0.05 9 0.95 1 = 0.0000…;
ป 10 = 1 0.05 10 (1 0.05) 10 10 = 1 0.05 10 0.95 0 = 0.0000…

แน่นอน ป 0 + ป 1 + ป 2 + ป 3 + ป 4 + ป 5 + ป 6 + ป 7 + ป 8 + ป 9 + ป 10 = 1 .

ข้าว. 27.3. แผนการกระจายปัวซองที่ p = 0.05 และ n = 10

ที่ n> ∞ การแจกแจงแบบปัวซองกลายเป็นกฎปกติ ตามทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง (ดู