นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสแก้ปัญหาการเรียงระนาบ ตัวอย่างปัญหาที่แก้ไม่ได้ เช่น ปัญหาการปูกระเบื้อง ปัญหากิจกรรมนอกหลักสูตร

ที่หรือที่ว่างหลังสะพาน

สำหรับนักเรียนของฉัน ฉันได้เสนอวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาการปูกระเบื้องระนาบแบบไม่เว้นระยะด้วยตัวเลขที่มีรูปร่างเหมือนกัน ฉันทำการศึกษาโดยนักวิทยาศาสตร์สองคนจากมหาวิทยาลัยดุ๊ก (สหรัฐอเมริกา) และฉันชอบตัวเลือกของกระเบื้องโมเสกแบบไม่มีคาบที่ครอบคลุมระนาบทั้งหมด โดยใช้กระเบื้องที่มีรูปทรงเดียวกัน

เป็นครั้งแรกที่ชุดกระเบื้องประกอบด้วย 2,0426 ชิ้น ซึ่ง Robert Berger นำเสนอในปี 1966 หลังจากนั้นไม่นาน เขาก็ลดจำนวนลงเหลือ 104 ชิ้น ในช่วงทศวรรษที่ 70 ของศตวรรษที่ 20 เพนโรสนำเสนอวิธีแก้ปัญหาด้วยโมเสกของเขาและใช้ตัวเลข 2 ตัวที่แตกต่างกัน ฉันพบวิธีแก้ปัญหาที่น่าสนใจจาก Dmitry Safin ซึ่งใช้รูปเดียวสำหรับกระเบื้องโมเสคของเขา - รูปหกเหลี่ยมปกติ เมื่อวางกระเบื้องดังกล่าวไม่ควรขัดจังหวะเส้นสีดำและธงที่จุดยอดของรูปหกเหลี่ยมซึ่งอยู่ห่างออกไป เท่ากับความยาวด้านหนึ่งของกระเบื้อง (มีลูกศรอยู่ในรูป) ควรมองไปในทิศทางเดียว มีการใช้สีที่แตกต่างกันสองสีที่นี่: สีที่สองได้จากการสะท้อนสีแรกเกี่ยวกับเส้นแนวตั้ง อย่างไรก็ตาม คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้ตัวเลือกการระบายสีที่สองหากกระเบื้องเป็นแบบสามมิติ การเรียงระนาบด้วยชิ้นส่วนดังกล่าว (แสดงในหนึ่งในรูปภาพด้านล่าง) เพื่อความสะดวกในการนำเสนอ ธงเหล่านั้นบนรูปหกเหลี่ยมที่มองไปทางซ้ายจะถูกแทนที่ด้วยเส้นสีม่วงที่นี่ และธงประเภทอื่นจะเป็นสีแดง

นอกจากนี้ ยังมีตัวอย่างกระเบื้องที่ให้เทสเซลเลชันแบบไม่เป็นระยะเมื่อพิจารณาเฉพาะรูปร่างเท่านั้น ในกรณีนี้ ไม่จำเป็นต้องสร้างกฎการเชื่อมต่อที่เกี่ยวข้องกับการระบายสี ในเวอร์ชัน 2 มิติ ไทล์ดังกล่าวประกอบด้วยพื้นที่แยกหลายส่วน แต่ในเวอร์ชัน 3 มิติ ชิ้นส่วนทั้งหมดจะเชื่อมต่อกัน

จากนั้นฉันดูวิธีการปูกระเบื้องที่น่าสนใจอีกวิธีหนึ่งโดยนักคณิตศาสตร์จากออสเตรเลีย โดย John Taylor และ Joshua Sokolar พวกเขาสามารถแก้ปัญหาที่เรียกว่ากระเบื้องเดียว หนึ่งในตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือการปูกระเบื้องหกเหลี่ยมเมื่อระนาบเช่นรังผึ้งประกอบด้วยรูปหกเหลี่ยมที่เชื่อมต่อกันตามด้านข้าง ในกรณีหกเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของเซลล์ข้างเคียงที่มีหกมุม ในระหว่างการทำงานใหม่นี้ นักคณิตศาสตร์แก้ปัญหาโครงสร้างของการปูกระเบื้องแบบไม่มีคาบด้วยกระเบื้องเพียงแผ่นเดียว โมเดลเซลล์ที่ได้คือรูปหกเหลี่ยม แต่เนื่องจากการลงสีแบบพิเศษ การเรียงกระเบื้องจึงไม่เป็นระยะ นอกจากปัญหาสองมิติแล้ว นักคณิตศาสตร์ยังนำเสนอผลลัพธ์สามมิติแบบอะนาล็อกด้วย

นอกเหนือจากการใช้งานจริงแล้ว ทฤษฎีการปูกระเบื้องยังเป็นแรงบันดาลใจให้กับศิลปินอีกด้วย ตัวอย่างเช่น Maurits Escher (ศิลปินจากเนเธอร์แลนด์) สร้างภาพวาดทั้งหมดโดยใช้การเรียงกระเบื้องที่ผิดปกติ หัวใจของภาพวาด "Eight Heads" ของเขาคือการปูกระเบื้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ศิลปินคนนี้ได้วาดภาพ รูปทรงเรขาคณิตซึ่งคุณสามารถติดตามการใช้เทสเซลเลชันของตัวเลขและไม่ใช่เพียงตัวเลขเดียว แต่ยังมีอีกหลายรายการ นักเรียนชื่นชมเสน่ห์ของการปูกระเบื้องด้วยตัวเลขต่าง ๆ นำภาพวาดของศิลปินมาให้เลือกมากมายพยายามทำงานที่ได้รับมอบหมายในรูปแบบของภาพวาด

ด้านล่างนี้คือภาพวาดต่างๆ ในหัวข้อที่กำหนด

จากประวัติศาสตร์

ควาซิคริสตัล - ร่างกายที่มั่นคงโดดเด่นด้วยความสมมาตรในแบบคลาสสิก และการปรากฏตัวของ . ครอบครองพร้อมกับภาพที่ไม่ต่อเนื่องกัน

Quasicrystals ถูกพบเป็นครั้งแรกในการทดลองที่ Al 6 Mn ที่เย็นตัวลงอย่างรวดเร็วซึ่งดำเนินการซึ่งเขาได้รับรางวัล โลหะผสมกึ่งผลึกชนิดแรกที่เขาค้นพบเรียกว่า "เชชต์มาไนต์" ( เชชต์มาไนต์). บทความของ Shekhtman ไม่ได้รับการยอมรับให้ตีพิมพ์ถึงสองครั้ง และในที่สุดก็ได้รับการตีพิมพ์ในรูปแบบย่อโดยความร่วมมือกับผู้เชี่ยวชาญที่มีชื่อเสียง I. Blech, D. Gratias และ J. Kahn ซึ่งได้รับความสนใจจากเขา รูปแบบการเลี้ยวเบนที่เกิดขึ้นมียอดแหลม () ทั่วไป แต่ในเวลาเดียวกันโดยทั่วไปมีจุด icosahedron นั่นคือโดยเฉพาะอย่างยิ่งมีแกนสมมาตรลำดับที่ห้าซึ่งเป็นไปไม่ได้ในสามมิติเป็นระยะ ตาข่าย การทดลองเกี่ยวกับการเลี้ยวเบนในขั้นต้นทำให้สามารถอธิบายปรากฏการณ์ที่ผิดปกติได้โดยการเลี้ยวเบนของผลึกแฝดหลายอันที่หลอมรวมกันเป็นเกรนที่มีสมมาตรแบบ icosahedral อย่างไรก็ตาม ในไม่ช้าการทดลองที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นก็พิสูจน์ได้ว่าความสมมาตรของผลึกควอซิคริสตัลมีอยู่ในทุกระดับ สูงสุด และสสารที่ผิดปกตินั้นเป็นโครงสร้างใหม่สำหรับการจัดระเบียบของสสารอย่างแท้จริง

ต่อมาปรากฎว่านักฟิสิกส์พบผลึกควอซิคริสตัลมานานก่อนที่จะมีการค้นพบอย่างเป็นทางการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อทำการศึกษาที่ได้จากธัญพืชในโลหะผสมเป็นเวลาหลายปี อย่างไรก็ตาม ในเวลานั้น ผลึกควอซิคริสตัล icosahedral ถูกระบุอย่างผิดพลาดว่าเป็นผลึกลูกบาศก์ขนาดใหญ่ การคาดการณ์เกี่ยวกับการดำรงอยู่ของโครงสร้างในควาซิคริสตัลถูกจัดทำขึ้นในและมากิ

ในปัจจุบัน เป็นที่ทราบกันดีว่าควอซิคริสตัลหลายร้อยชนิดที่มีจุดสมมาตรของไอโคซาฮีดรอน เช่นเดียวกับสิบ แปด และสิบเหลี่ยม

แบบจำลองอะตอมของควอซิกคริสตัล Al-Pd-Mn

โครงสร้าง

ควอซิคริสตัลที่กำหนดและเสถียรเอนโทรปี

มีสองสมมติฐานเกี่ยวกับสาเหตุที่ควาซิคริสตัลเป็นเฟส (เมตา-) ที่เสถียร ตามสมมติฐานข้อหนึ่ง ความเสถียรเกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าพลังงานภายในของผลึกควอซิคริสตัลมีน้อยมากเมื่อเทียบกับเฟสอื่นๆ ด้วยเหตุนี้ ควอซิคริสตัลจึงต้องเสถียรแม้ที่อุณหภูมิศูนย์สัมบูรณ์ ด้วยวิธีการนี้ การพูดถึงตำแหน่งบางอย่างของอะตอมในโครงสร้างกึ่งผลึกในอุดมคตินั้นสมเหตุสมผล กล่าวคือ เรากำลังจัดการกับกึ่งผลึกเชิงกำหนด สมมติฐานอีกข้อสันนิษฐานว่ามีส่วนร่วมกำหนด ไปสู่ความมั่นคง ควอซิคริสตัลที่เสถียรแบบเอนโทรปีนั้นไม่เสถียรโดยพื้นฐานที่อุณหภูมิต่ำ ตอนนี้ไม่มีเหตุผลที่จะเชื่อว่าควาซิคริสตัลจริงจะเสถียรเนื่องจากเอนโทรปีเท่านั้น

คำอธิบายหลายมิติ

คำอธิบายเชิงกำหนดของโครงสร้างของควอซิคริสตัลจำเป็นต้องระบุตำแหน่งของแต่ละอะตอม และแบบจำลองที่สอดคล้องกันของโครงสร้างจะต้องจำลองรูปแบบการเลี้ยวเบนที่สังเกตได้จากการทดลอง วิธีการอธิบายโครงสร้างดังกล่าวที่ยอมรับโดยทั่วไปใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสมมาตรแบบจุด ซึ่งห้ามสำหรับโครงตาข่ายคริสตัลในปริภูมิสามมิติ สามารถอนุญาตในปริภูมิที่มีมิติ D สูงกว่า ตามแบบจำลองโครงสร้างดังกล่าว อะตอมในควอซิกคริสตัลคือ ตั้งอยู่ที่จุดตัดของพื้นที่ย่อยสามมิติ (สมมาตร) RD (เรียกว่าพื้นที่ย่อยทางกายภาพ) โดยมีท่อร่วมที่อยู่เป็นระยะโดยมีขอบเขตของมิติ D-3 ตามขวางไปยังพื้นที่ย่อยทางกายภาพ

"กฎการชุมนุม"

คำอธิบายหลายมิติไม่ตอบคำถามว่าท้องถิ่นเป็นอย่างไรสามารถทำให้ควาซิคริสตัลเสถียรได้ Quasicrystals มีโครงสร้างที่ขัดแย้งกันจากมุมมองของผลึกศาสตร์แบบดั้งเดิม ซึ่งคาดการณ์ได้จากการพิจารณาทางทฤษฎี () ทฤษฎีการปูกระเบื้องของ Penrose ทำให้สามารถย้ายออกจากแนวคิดปกติเกี่ยวกับกลุ่มผลึกศาสตร์ของ Fedorov (ขึ้นอยู่กับการเติมช่องว่างเป็นระยะ)

โลหะวิทยา

การได้มาซึ่งควาซิคริสตัลถูกขัดขวางโดยข้อเท็จจริงที่ว่าพวกมันทั้งหมดสามารถแพร่กระจายได้หรือเกิดขึ้นจากการหลอมเหลวซึ่งมีองค์ประกอบแตกต่างจากองค์ประกอบของเฟสของแข็ง().

เป็นธรรมชาติ

พบหินที่มีผลึก Fe-Cu-Al-quasicrystal ตามธรรมชาติเมื่อ พ.ศ. 2522 อย่างไรก็ตามในปี 2552 นักวิทยาศาสตร์ได้กำหนดข้อเท็จจริงนี้ ในปี 2011 พวกเขาตีพิมพ์บทความที่กล่าวว่าคริสตัลกึ่งนี้มีต้นกำเนิดจากนอกโลก ในช่วงฤดูร้อนปี 2554 ระหว่างการเดินทางไปรัสเซีย นักแร่วิทยาได้พบตัวอย่างใหม่ของผลึกธรรมชาติ

คุณสมบัติ

ในขั้นต้น ผู้ทดลองพยายามเข้าไปใน "ช่องว่างอุณหภูมิ" ที่แคบมาก และได้รับวัสดุกึ่งผลึกที่มีคุณสมบัติใหม่ที่ผิดปกติ อย่างไรก็ตาม ภายหลังพบผลึกควอซิคริสตัลใน Al-Cu-Li และระบบอื่นๆ ซึ่งสามารถคงตัวได้ถึงและเติบโตเกือบเท่ากับ ผลึกธรรมดา

ในควาซิคริสตัล ตรงกันข้ามกับ จะมีขนาดใหญ่ผิดปกติที่อุณหภูมิต่ำ และจะลดลงเมื่ออุณหภูมิเพิ่มขึ้น ในควอซิกคริสตัลแบบชั้นตามแกน ความต้านทานไฟฟ้าจะทำงานเหมือนในโลหะปกติ และในควอซิกคริสตัลไลน์ในชั้นต่างๆ ในลักษณะที่อธิบายไว้ข้างต้น

คุณสมบัติทางแม่เหล็กกึ่งผลึกส่วนใหญ่ - อย่างไรก็ตาม โลหะผสมที่มี -

ผลึกควอซิคริสตัลใกล้เคียงกับคุณสมบัติยืดหยุ่นของสารอสัณฐานมากกว่าผลึก มีค่าต่ำกว่าเมื่อเทียบกับคริสตัล อย่างไรก็ตาม ผลึกเสมือนมีขนาดเล็กกว่าผลึกที่มีองค์ประกอบคล้ายคลึงกัน และมีแนวโน้มที่จะมีบทบาทในโลหะผสม

QUASICRYSTAL

การบรรจุอะตอมแบบพิเศษในวัตถุที่เป็นของแข็งซึ่งมีลักษณะสมมาตรแบบ icosahedral (เช่นมีแกนลำดับที่ 5) ลำดับการวางแนวระยะยาวและไม่มีสมมาตรการแปลที่มีอยู่ในสามัญสถานะผลึก ควาซิคริสตัลอิม มีการค้นพบการบรรจุอะตอมในโลหะผสม Al ที่เย็นลงอย่างรวดเร็ว 6 Mn (1984) จากนั้นพบในระบบ Al-Fe, Ni-Ti เป็นต้นสามัญ มีคาบสามมิติในการจัดเรียงอะตอม ซึ่งไม่รวมความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของแกนสมมาตรลำดับที่ 5 ในสถานะอสัณฐาน (คล้ายแก้ว) การจัดกลุ่มอะตอมในท้องถิ่นที่มีสมมาตรแบบ icosahedral นั้นเป็นไปได้ แต่ในปริมาตรทั้งหมดของร่างกายอสัณฐานนั้นไม่มีการเรียงลำดับระยะยาวในการจัดเรียงอะตอม ทั้งแบบแปลหรือแบบทิศทาง พ.ถือได้ว่าเป็นคนกลาง. ประเภทของการเรียงลำดับอะตอมระหว่างผลึกแท้และคล้ายแก้ว แบบจำลองสองมิติของ K. คือแพ็ค ("ปาร์เก้") ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมที่ปลายยอด 360 ° / 5 = 72 °โดยมีแกนสมมาตรของลำดับที่ 5: ในกรณีนี้ช่องว่างจะเต็มไปด้วยอื่น ๆ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมที่ปลายยอด 360 ° / 10 = 36 ° (รูปแบบเพนโรส รูปที่ . 1); ชุดของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเหล่านี้ให้ทศนิยมเท่ากัน การวางแนวเชิงมุมขององค์ประกอบทั้งหมดของไม้ปาร์เก้ซ้ำแล้วซ้ำอีกทั่วทั้งระนาบ นี่คือคำสั่งการวางแนวระยะยาว แต่ไม่มีคำสั่งระยะยาวแบบแปลที่แท้จริง (แม้ว่าจะมีระยะโดยประมาณในบางทิศทาง)

ข้าว. 1 . 2D แบบอย่าง ควอซิคริสตัล ( เน้น สิบเหลี่ยม).

ข้าว . 2. องค์ประกอบของโครงสร้างของควอซิคริสตัลของห้าเตตระเฮดรา: ชิ้นส่วนของ icosahedron (a), 32 - VertexTriacontahedron(6 ).

การบรรจุอะตอมในปริภูมิสามมิติพ. สามารถอธิบายในรูปของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีแกนลำดับที่ 5 หรือชิ้นส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าว บนมะเดื่อ 2, a แสดงลักษณะของ K ชิ้นส่วนไอโคซาฮีดรอน

(12 - จุดสุดยอด - ยี่สิบด้านมีสมมาตรจุด 53m) ประกอบด้วย 5 เตตระเฮดรา เพื่อให้จุดยอด 6 อะตอมและจุดศูนย์กลางอยู่ติดกัน รัศมีของอะตอมกลางจะต้องค่อนข้างเล็กกว่ารัศมีของอะตอมทุติยภูมิ เช่น ใน Al 6 Mn รัศมีอะตอมคือ Mn - 0, 130 nm, Al - 0, 143 nm เศษโครงสร้างอะตอมของเค นอกจากนี้ยังสามารถมีอะนาล็อกสามมิติของรูปแบบ Penrose - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบบเฉียบพลันและป้านที่มีมุมยอด 63, 43 °และ 116, 57 °ซึ่งคุณสามารถเพิ่มรูปทรงหลายเหลี่ยม - triacontahedron ที่มีสมมาตร 53m ซึ่งมี 32 จุดยอด ( รูปที่. 2 , 6 ). ในการบรรจุอะตอมในพ. อาจสังเกตได้การรบกวนคล้ายกับการเคลื่อนที่ (เปรียบเทียบ ข้อบกพร่อง ). ถึง . พิมพ์ Al 6 Mn ได้ ถือเป็นขั้นตอน metastable อย่างไรก็ตามมีโครงสร้าง K โลหะผสมประเภท Al-Li-Cu-Mn ที่ได้จากการหลอมให้เย็นลงอย่างช้าๆ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าอยู่ในสภาวะสมดุล ในปัจจุบัน เวลาพัฒนาทางกายภาพ ทฤษฎี ควอซิคริสตัลไลน์. รัฐ .

มันง่ายที่จะปูระนาบด้วยไม้ปาร์เก้จากสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมหรือหกเหลี่ยมปกติ (ด้านล่าง ปูกระเบื้องเราเข้าใจถึงการซ้อนกันซึ่งจุดยอดของแต่ละรูปจะถูกนำไปใช้กับจุดยอดของตัวเลขข้างเคียงเท่านั้น และไม่มีสถานการณ์ใดที่จุดยอดติดกับด้านข้าง) ตัวอย่างของการปูกระเบื้องดังกล่าวแสดงในรูปที่ 1.

ข้าว. 1.การปูกระเบื้องระนาบ: ฉัน - สามเหลี่ยมด้านเท่า ii - สี่เหลี่ยม สาม - รูปหกเหลี่ยมปกติ

ไม่มีข้ออื่นถูกต้อง น-gons ครอบคลุมระนาบโดยไม่มีช่องว่างและการทับซ้อนกันจะไม่ทำงาน นี่คือวิธีการอธิบาย ดังที่คุณทราบ ผลรวมของมุมภายในใดๆ น-gon เท่ากับ ( น– 2) 180°. เนื่องจากมุมทั้งหมดถูกต้อง น-เหลี่ยมเท่ากัน แล้วองศาของแต่ละมุมเท่ากับ หากระนาบสามารถเรียงต่อกันด้วยตัวเลขดังกล่าว จุดยอดแต่ละจุดจะมาบรรจบกัน เครูปหลายเหลี่ยม (สำหรับบางคน เค). ผลรวมของมุมที่จุดยอดนี้จะต้องเท่ากับ 360° ดังนั้น หลังจากการแปลงง่ายๆ ไม่กี่ขั้นตอน ความเท่าเทียมกันนี้จะกลายเป็น: แต่อย่างที่ง่ายต่อการตรวจสอบ สมการสุดท้ายมีคำตอบเพียงสามคู่ หากเราคิดเช่นนั้น นและ เคจำนวนเต็ม: เค = 3, น = 6; เค = 4, น= 4 หรือ เค = 6, น= 3. คู่ของตัวเลขเหล่านี้ตรงกับที่แสดงในรูป 1 ปูกระเบื้อง.

และรูปหลายเหลี่ยมอื่นใดที่สามารถใช้เรียงต่อกันระนาบโดยไม่มีช่องว่างและการทับซ้อนกัน

งาน

ก) พิสูจน์ว่ารูปสามเหลี่ยมใด ๆ สามารถเรียงต่อกันเป็นระนาบได้

b) พิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมใดๆ (ทั้งนูนและไม่นูน) เรียงระนาบได้

ค) ยกตัวอย่างรูปห้าเหลี่ยมที่สามารถใช้ต่อระนาบได้

ง) ยกตัวอย่างรูปหกเหลี่ยมที่ไม่สามารถต่อระนาบได้

จ) ยกตัวอย่าง น-gon สำหรับใด ๆ น> 6 ซึ่งสามารถใช้ปูกระเบื้องระนาบได้

คำแนะนำ

1) ในย่อหน้า a) c) e) คุณสามารถลองทำ "แถบ" จากตัวเลขเดียวกันซึ่งจะทำให้ง่ายต่อการปูระนาบทั้งหมด

จุด b): พับรูปหกเหลี่ยมจากรูปสี่เหลี่ยมสองรูปที่เหมือนกัน โดยที่ด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ มันค่อนข้างง่ายอยู่แล้วที่จะเรียงระนาบด้วยรูปหกเหลี่ยมดังกล่าว

ข้อ d): ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของมุมที่จุดยอดแต่ละจุดจะต้องเป็น 360°

2) ในจุด e) คุณสามารถลองทำอย่างอื่นได้: เปลี่ยนตัวเลขที่มีอยู่เล็กน้อยเพื่อให้ได้การเรียงกระเบื้องใหม่

สารละลาย

ตัวอย่างคำตอบแสดงในรูป

ก):

ข้าว. 2

ข):

ข้าว. 3

c) ห้าเหลี่ยมในรูปทรงของบ้านเหมาะสม:

ข้าว. 4

d) เป็นไปไม่ได้ที่จะเรียงกระเบื้องระนาบด้วยรูปหกเหลี่ยมดังกล่าว: ไม่มีส่วนใดของรูปหกเหลี่ยมดังกล่าวที่จะพอดีกับมุม "ตัดออก" มองเห็นได้ชัดเจนในเซลล์:

ข้าว. 5

คุณสามารถสร้างรูปหกเหลี่ยมอื่น ๆ อีกมากมายที่ไม่สามารถเรียงต่อกันเป็นระนาบได้

e) นี่คือตัวอย่างของรูปสิบเหลี่ยมที่สามารถใช้ในการเรียงระนาบ วิธีการปูกระเบื้องนี้ได้มาจากการดัดแปลงโครงตาข่ายแบบปกติ (ดูรูปที่ 1, iiจากสภาพ):

ข้าว. 6

ปัญหาของการเรียงระนาบด้วยตัวเลขที่เหมือนกันโดยไม่มีช่องว่างหรือการทับซ้อนกันเป็นที่ทราบกันมาตั้งแต่สมัยโบราณ หนึ่งในกรณีเฉพาะคือคำถามที่ว่าไม้ปาร์เก้สามารถทำอะไรได้บ้าง (นั่นคือการปูกระเบื้องของระนาบ รูปหลายเหลี่ยมปกติและไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน) และโดยเฉพาะอย่างยิ่งปาร์เกต์ทั่วไป ไม้ปาร์เก้ปกติมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ด้วยความช่วยเหลือของการแปลแบบขนาน (เปลี่ยนโดยไม่มีการหมุน) ซึ่งแปลไม้ปาร์เก้เป็นตัวมันเอง คุณสามารถรวมโหนดที่เลือกไว้ล่วงหน้ากับโหนดอื่น ๆ ของไม้ปาร์เก้ได้ บนมะเดื่อ เงื่อนไข 1 แสดงให้เห็นเพียงไม้ปาร์เก้ที่ถูกต้อง

ข้าว. 9.ถนนยักษ์ (ไอร์แลนด์เหนือ) ภาพจาก en.wikipedia.org

ภาพรวมของปัญหาของเรา - การเรียงตัวของพื้นที่ - เป็นสาขาที่สำคัญของผลึกศาสตร์สมัยใหม่ซึ่งมีบทบาทสำคัญในออปติคัลแบบบูรณาการและฟิสิกส์ของเลเซอร์

จนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ มีเพียงเทสเซลเลชั่นเป็นระยะๆ อย่างไรก็ตาม ในปี 1974 Roger Penrose นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ

ข้าว. สิบเอ็ดเอ็ม. เค. เอสเชอร์, สัตว์เลื้อยคลาน, 2489 ( ซ้าย) และ "ผีเสื้อ", 2493

ปาร์เกต์และกระเบื้องโมเสคยังพบได้ใน ศิลปกรรม. บางทีที่มีชื่อเสียงที่สุดคือผลงานของ Dutchman M.K.เอสเชอร์ (M. C. Escher).

เหตุใดบุคคลจึงมีอวัยวะบางส่วน - จับคู่ (เช่น ปอด ไต) ในขณะที่อวัยวะอื่น - ในสำเนาเดียว

โซดาไฟคือพื้นผิวแสงและเส้นโค้งที่แพร่หลายซึ่งเกิดขึ้นเมื่อแสงสะท้อนและหักเห โซดาไฟสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเส้นหรือพื้นผิวซึ่งมีความเข้มข้นของแสง

ชาบัท จี.บี.

ตอนนี้เรารู้เกี่ยวกับโครงสร้างของเอกภพมากพอๆ กับที่คนโบราณรู้เกี่ยวกับพื้นผิวโลก อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น เรารู้ว่าส่วนเล็กๆ ของเอกภพที่เราสำรวจได้นั้นถูกจัดเรียงในลักษณะเดียวกับส่วนเล็กๆ ของปริภูมิสามมิติแบบยุคลิด กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราอาศัยอยู่บนความหลากหลายสามมิติ (3-manifold)

วิคเตอร์ ลาฟรุส

คนแยกแยะวัตถุรอบตัวเขาตามรูปร่าง ความสนใจในรูปแบบของวัตถุอาจถูกกำหนดโดยความจำเป็นของชีวิต หรืออาจเกิดจากความสวยงามของรูปแบบก็ได้ รูปทรงซึ่งอิงจากการผสมผสานระหว่างความสมมาตรและส่วนสีทอง ก่อให้เกิดการรับรู้ทางสายตาที่ดีที่สุดและรูปลักษณ์ที่สวยงามและกลมกลืน ทั้งหมดประกอบด้วยชิ้นส่วนเสมอ ชิ้นส่วนที่มีขนาดต่างกันมีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันและโดยรวม หลักการของส่วนสีทองคือการแสดงออกสูงสุดของความสมบูรณ์แบบทางโครงสร้างและการใช้งานของส่วนทั้งหมดและส่วนต่างๆ ในศิลปะ วิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และธรรมชาติ

สารคดี "มิติ" คือคณิตศาสตร์สองชั่วโมงที่ค่อยๆ พาคุณเข้าสู่มิติที่สี่

เซอร์เกย์ สตาฟีเยฟ

งานที่ต้องใช้ความรู้มากที่สุดของคนโบราณคือการวางแนวในอวกาศและเวลา รวมถึงสิ่งนี้ตั้งแต่ไหนแต่ไร มนุษย์ได้สร้างโครงสร้างหินขนาดใหญ่จำนวนมาก - ครอมเลค, โดรโมส, โลมาและเมนฮีร์ มีการคิดค้นอุปกรณ์ที่ชาญฉลาดอย่างไม่น่าเชื่อซึ่งทำให้สามารถนับเวลาเป็นนาทีที่ใกล้ที่สุดหรือดูทิศทางโดยคลาดเคลื่อนไม่เกินครึ่งองศา เราจะแสดงให้เห็นว่าในทุกทวีป ผู้คนสร้างกับดักสำหรับแสงอาทิตย์ สร้างวัดราวกับว่า "โหน" บนทิศทางที่มีนัยสำคัญทางโหราศาสตร์ ขุดอุโมงค์เอียงเพื่อสังเกตการณ์ดวงดาวในเวลากลางวัน หรือสร้างเสาโอเบลิสก์ของโนมอน ตัวอย่างเช่นบรรพบุรุษที่อยู่ห่างไกลของเราอย่างไม่น่าเชื่อสามารถติดตามได้ไม่เพียง แต่เงาของดวงอาทิตย์หรือดวงจันทร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงเงาของดาวศุกร์ด้วย

การคิดในสิ่งที่คิดไม่ถึงและยืนยันว่ายังเป็นไปได้นั้นเป็นปรากฏการณ์ของเรขาคณิต

อ.อเล็กซานดรอฟ

ระดับ: 8-9

เป้าหมาย:

• การสร้างและพัฒนาความคิดของนักเรียนเกี่ยวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์ใหม่และแนวคิดทางคณิตศาสตร์
• การพัฒนาความสนใจเชิงสร้างสรรค์ในวิชาคณิตศาสตร์
• ขยายขอบเขตทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน
• การศึกษาความเมตตากรุณาและการช่วยเหลือซึ่งกันและกันเมื่อทำงานร่วมกัน

งานของกิจกรรมนอกหลักสูตร:

• การประยุกต์ใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ในการศึกษาวัตถุทางคณิตศาสตร์ใหม่
• การพัฒนาทักษะการคิดเชิงตรรกะและการวิจัย
• ทำความคุ้นเคยกับการประยุกต์ใช้ความรู้ที่ได้รับใหม่ในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่
• ถามคำถามเพื่อศึกษาหัวข้อต่อไป

การตระเตรียม:ทำงานเป็นกลุ่ม แต่ละกลุ่มเตรียมแบบจำลองของรูปหลายเหลี่ยมปกติ รวมทั้งสำเนาของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมตามอำเภอใจ

รูปแบบการจัดงานของนักเรียน:หน้าผาก, กลุ่ม.

รูปแบบการจัดระเบียบผลงานของครู:นำ, จัดระเบียบ, ประสานงาน.

ข้อมูลจำเพาะ:ห้องมัลติมีเดีย

อุปกรณ์ที่ใช้:คอมพิวเตอร์ เครื่องฉาย จอภาพ สื่อซีดี

การนำเสนอ "ไม้ปาร์เก้ - ปูกระเบื้องระนาบด้วยรูปหลายเหลี่ยม".

ความก้าวหน้าของหลักสูตร

ไม้ปาร์เก้ดึงดูดความสนใจของผู้คนมาตั้งแต่สมัยโบราณ ใช้ปูพื้น บุผนังห้อง ตกแต่งด้านหน้าอาคาร และใช้ในงานศิลปหัตถกรรม
แม้ว่าการศึกษาเรื่องไม้ปาร์เก้จะไม่รวมอยู่ในหลักสูตรของโรงเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ แต่ความสนใจในหัวข้อนี้เกิดขึ้นหลังจากแก้ปัญหาง่ายๆ ในโรงเรียน: "พิสูจน์ว่าเป็นไปได้ที่จะสร้างไม้ปาร์เก้ให้ครอบคลุมส่วนใดส่วนหนึ่งของระนาบจากกระเบื้องที่เหมือนกันซึ่งมี รูปร่างสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว" และรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ ที่สามารถจัดเรียงระนาบได้คืออะไร?

ปาร์เก้ที่ถูกต้อง

ไม้ปาร์เก้การเรียงระนาบด้วยรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าระนาบทั้งหมดถูกปกคลุมด้วยรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้ และรูปหลายเหลี่ยมสองรูปใดๆ ก็มีด้านร่วมกัน หรือมีจุดยอดร่วมกัน หรือไม่มีจุดร่วม

ไม้ปาร์เก้ ก็เรียก ถูกต้องถ้ามันประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เท่ากัน
ตัวอย่างของปาร์เกต์ทั่วไปเป็นที่รู้กันดีอยู่แล้วในหมู่พีทาโกรัส พวกเขาให้การเติมระนาบ: สี่เหลี่ยม, สามเหลี่ยมด้านเท่า, หกเหลี่ยมปกติ

งานสำหรับนักเรียน:ทำไม้ปาร์เก้ปกติจากรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีอยู่

ให้เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีรูปหลายเหลี่ยมไม้ปาร์เก้แบบปกติอื่นๆ และที่นี่เราต้องการสูตรสำหรับผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยม หากไม้ปาร์เก้ประกอบด้วย น-gons แล้ว k = 360°/ ก น รูปหลายเหลี่ยมที่ไหน ก น – มุมที่ถูกต้อง น-กอน มันง่ายที่จะหาสิ่งนั้น ก 3 = 60°, ก 4 = 90°, ก 5 = 108°, ก 6 = 120° และ 120°<ก น < 180° при พี > 7. ดังนั้น 360° จึงหารลงตัวได้ ก น ก็ต่อเมื่อ พี = 3; 4; 6.
น่าสนใจ ในบรรดาสามเหลี่ยมปกติ สี่เหลี่ยมจัตุรัสและหกเหลี่ยมปกติ กำหนดเส้นรอบวง พื้นที่ที่ใหญ่ที่สุดมีรูปหกเหลี่ยม สถานการณ์นี้นำไปสู่ความจริงที่ว่ารังผึ้งมีรูปร่างเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติเนื่องจากผึ้งสร้างรังผึ้งโดยสัญชาตญาณพยายามทำให้มันมีความจุมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในขณะที่ใช้ขี้ผึ้งให้น้อยที่สุด

ไม้ปาร์เก้กึ่งธรรมดา.

ให้เราขยายวิธีการเขียนปาร์เกต์จากรูปหลายเหลี่ยมปกติ โดยอนุญาตให้ใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้านต่างกัน แต่ในลักษณะที่รูปหลายเหลี่ยมปกติรอบๆ จุดยอดแต่ละจุดจะเรียงตามลำดับเดียวกัน ปาร์เกต์ดังกล่าวเรียกว่า กึ่งถูกต้อง.

การมอบหมายงานสำหรับนักเรียน: จากรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีอยู่ให้ทำปาร์เก้กึ่งปกติ

หากต้องการทราบจำนวนของไม้ปาร์เก้กึ่งปกติจำเป็นต้องวิเคราะห์กรณีที่เป็นไปได้ของการจัดเรียงรูปหลายเหลี่ยมปกติรอบจุดยอดทั่วไป สำหรับสิ่งนี้เราแสดงโดย ก 1 ก 2 ... คือมุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจุดยอดร่วมกัน จัดเรียงตามลำดับจากน้อยไปหามาก ก 1 < a 2 < … โปรดทราบว่าผลรวมของมุมดังกล่าวทั้งหมดควรเท่ากับ 360° เรามาสร้างตารางที่มีชุดของมุมที่เป็นไปได้และระบุไม้ปาร์เก้ที่สอดคล้องกัน
ดังนั้นจึงมีทั้งหมด 11 ปาร์เกต์ปกติและกึ่งธรรมดา

พลานิกอน

ให้เราพิจารณาลักษณะทั่วไปอื่น - ไม้ปาร์เก้ที่ทำจากสำเนาของรูปหลายเหลี่ยมโดยพลการ "ตามใบหน้า" ปกติ (นั่นคือซึ่งเปลี่ยนกระเบื้องใด ๆ ให้เป็นกระเบื้องอื่น ๆ ) รูปหลายเหลี่ยมที่สามารถเป็นกระเบื้องในปาร์เก้เหล่านี้เรียกว่า พลานิกอน.
เป็นที่ชัดเจนว่าระนาบสามารถวางโดยสำเนาของสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ แต่ก็ไม่ชัดเจนน้อยกว่าว่ารูปสี่เหลี่ยมโดยพลการคือระนาบ เช่นเดียวกับรูปหกเหลี่ยมใดๆ ที่มีด้านตรงข้ามเท่ากันและขนานกัน

การมอบหมายงานสำหรับนักเรียน: จากสำเนาของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมโดยพลการที่มีอยู่ให้ทำปาร์เก้

ไม้ปาร์เก้ทั้งหมดที่พิจารณาข้างต้นเป็นระยะ ๆ เช่นในแต่ละอันสามารถแยกออก (และในหลาย ๆ ทาง) ภูมิภาคที่ประกอบด้วยกระเบื้องหลายแผ่นซึ่งไม้ปาร์เก้ทั้งหมดได้มาจากการเลื่อนแบบขนาน
ความสนใจของนักวิทยาศาสตร์ในการก่อสร้างดังกล่าวอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าการปูกระเบื้องเป็นระยะ ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการปูกระเบื้องในอวกาศ แบบจำลองโครงสร้างผลึก

คำถามสำหรับอนาคต:มีการปูกระเบื้องแบบไม่เว้นระยะหรือไม่?

แทนที่จะเป็นข้อสรุป

สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือการสร้างไม้ปาร์เก้ของคุณเอง - เติมระนาบด้วยตัวเลขที่เหมือนกัน (องค์ประกอบไม้ปาร์เก้) โดยใช้ตัวอย่างเช่น สมมาตรตามแนวแกน และการแปลแบบขนาน สิ่งสำคัญคือการก่อสร้างขึ้นอยู่กับรูปหลายเหลี่ยมเท่ากับองค์ประกอบไม้ปาร์เก้

การบ้าน.เขียนไม้ปาร์เก้ที่คุณชื่นชอบด้วยวิธีใดก็ได้: จากกระดาษสีไปจนถึงเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

บรรณานุกรม:

1. Atanasyan L.S.และอื่น ๆ เรขาคณิต 7-9 - ม.: การศึกษา, 2010
2. Atanasyan L.S.ฯลฯ เรขาคณิต: เพิ่ม บทที่ไปโรงเรียน หนังสือเรียน เกรด 8: Proc เงินช่วยเหลือสำหรับนักเรียนโรงเรียน และคลิ ด้วยความลึก ศึกษา คณิตศาสตร์. – ม.: การตรัสรู้, 2539.
3. Atanasyan L.S.ฯลฯ เรขาคณิต: เพิ่ม บทที่ไปโรงเรียน หนังสือเรียน เกรด 9: Proc เงินช่วยเหลือสำหรับนักเรียนโรงเรียน และคลิ ด้วยความลึก ศึกษา คณิตศาสตร์. – ม.: การตรัสรู้, 2540.
4. Kolmogorov A.N.ไม้ปาร์เก้จากรูปหลายเหลี่ยมปกติ//Kvant, 1970, No. 3
5. Smirnov V.A.คอมพิวเตอร์ช่วยเรขาคณิต // คณิตศาสตร์: แอปพลิเคชั่นการศึกษาและระเบียบวิธีรายสัปดาห์ เป็นแก๊ส "แรกกันยายน" - 2546 ฉบับที่ 21
6. Sovertkov P.I.และอื่นๆ. ปาร์เกต์รูปทรงเรขาคณิตบนหน้าจอคอมพิวเตอร์//วิทยาการคอมพิวเตอร์และการศึกษา, 2543, ฉบับที่ 9.
7. สารานุกรมสำหรับเด็ก ต.11 คณิต / หัวหน้าเอ็ด นพ. อัคเซโนวา – ม.: Avanta+, 2008.

ในการสำรวจและอธิบายปริมาตร ผู้คนใช้วิธีการฉายวัตถุที่มีปริมาตรไปบนระนาบ ดูเหมือนว่า:

เมื่อรู้ว่าการฉายภาพมีลักษณะอย่างไร คุณสามารถจดจำ สำรวจ สร้างวัตถุสามมิติที่แท้จริงได้

นี่คือวิธีการวิจัยทั่วไปในผลึกศาสตร์คลาสสิก ขั้นแรก นักวิจัยศึกษาการฉายภาพหรือระนาบเดียว "เชื่อมโยง" กับองค์ประกอบที่คำนวณได้แน่นเหมือนไม้ปาร์เกต์ และในขณะเดียวกันก็ศึกษาความสมมาตรและลักษณะอื่นๆ ในระนาบกระเบื้อง

จากนั้นปริมาตรสามมิติทั้งหมดจะเต็มไปด้วยระนาบเหล่านี้ เช่นเดียวกับหนังสือบรรจุกล่องบรรจุลูกบาศก์ วิธีนี้เรียกว่าวิธีการปูกระเบื้อง

ความสนใจในการปูกระเบื้องเกิดขึ้นจากการสร้างโมเสก เครื่องประดับ และรูปแบบอื่นๆ ตามรูปทรงโพลีเฮดราปกติ: สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และหกเหลี่ยม

ไม่เคยเป็นไปได้ที่จะเรียงระนาบจากห้าเหลี่ยมหรือห้าเหลี่ยมปกติ มันทำให้เกิดช่องว่าง - ช่องว่างที่ไม่เต็ม ดังนั้นในผลึกศาสตร์แบบคลาสสิก สมมาตรห้าเหลี่ยมจึงยังถูกพิจารณาว่าเป็นสิ่งต้องห้าม

และในที่สุดก็พบวิธีดังกล่าว

ในปี พ.ศ. 2519 โรเจอร์ เพนโรส นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ซึ่งทำงานอย่างแข็งขันในสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป และทฤษฎีควอนตัม ได้ให้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับ "กระเบื้องโมเสคเพนโรส" ซึ่งตั้งชื่อตามเขา

มันทำให้เป็นไปได้ด้วยความช่วยเหลือของกระเบื้องเพียงสองแผ่นที่มีรูปแบบเรียบง่ายมาก เพื่อปูระนาบที่ไม่มีที่สิ้นสุดด้วยรูปแบบที่ไม่ซ้ำ

เพื่อให้เข้าใจสาระสำคัญทางคณิตศาสตร์ของ "เพชรเพนโรส" เรามาดูรูปดาวห้าแฉกกัน

ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด "กระเบื้องเพนโรส" คือชุดของรูปทรงเพชรสองแบบ แบบหนึ่งมีมุมภายใน 36° อีกแบบหนึ่งมีมุมภายใน 72° แต่ละรูปประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมสองรูปซึ่งเติมรูปแบบรูปดาวห้าแฉกที่สอดคล้องกัน

อัตราส่วนขององค์ประกอบของรูปดาวห้าแฉกสะท้อนถึงอัตราส่วนทองคำของฟีโบนัชชีอย่างสมบูรณ์ พื้นฐานของมันคือจำนวนอตรรกยะ = 1.6180339…

แนวคิดของ Penrose ในการเติมระนาบให้หนาแน่นด้วยความช่วยเหลือของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน "สีทอง" ถูกเปลี่ยนเป็นพื้นที่สามมิติ

ในกรณีนี้ บทบาทของ "รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเพนโรส" ในโครงสร้างเชิงพื้นที่ใหม่สามารถแสดงโดย icosahedrons และ dodecahedrons

เป็นการค้นพบที่สวยงาม เป็นเพียงหนึ่งในหลายๆ แนวคิดของจิตใจที่สดใสและหวงแหนของโรเจอร์ เพนโรส ผู้ชื่นชอบความขัดแย้งเชิงพื้นที่ นี่คือความเข้าใจอันไร้ที่ติของเขาเกี่ยวกับอัตราส่วนทองคำของฟีโบนัชชี ซึ่งทำให้งานวิจัยของเขาเข้าใกล้งานศิลปะมากขึ้น

และนี่เป็นพื้นฐานสำหรับการวิจัยเพิ่มเติมและการค้นพบควาซิคริสตัลในห้องปฏิบัติการเคมี และความเข้าใจใหม่ที่สร้างสรรค์ยิ่งขึ้นเกี่ยวกับปริภูมิสามมิติ ทั้งสำหรับวิทยาศาสตร์และศิลปะ

หนึ่งในตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดของการวิจัยเชิงสร้างสรรค์ที่ดึงดูดความสนใจของฉันคือ Matiushka Teija Kraszek ศิลปินหนุ่มชาวสโลวีเนีย

เธอสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรีสาขาจิตรกรรมจาก College of Visual Arts (ลูบลิยานา ประเทศสโลวีเนีย) ผลงานทางทฤษฎีและภาคปฏิบัติของเธอมุ่งเน้นไปที่ความสมมาตรซึ่งเป็นแนวคิดที่เชื่อมโยงระหว่างศิลปะและวิทยาศาสตร์

งานศิลปะของเธอได้รับการจัดแสดงในนิทรรศการระดับนานาชาติหลายครั้งและตีพิมพ์ในนิตยสารต่างประเทศ .

ม. Kraszek ที่นิทรรศการของเขา 'Kaleidoscopic Fragrances', Ljubljana, 2005

งานศิลปะของ Matyushka Teija Kraszek มีความเกี่ยวข้องกับความสมมาตรประเภทต่างๆ, กระเบื้อง Penrose และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, ควอซิคริสตัล, ส่วนสีทองที่เป็นองค์ประกอบหลักของความสมมาตร, ตัวเลขฟีโบนัชชี ฯลฯ

ด้วยความช่วยเหลือของภาพสะท้อน จินตนาการ และสัญชาตญาณ เธอพยายามที่จะรับความสัมพันธ์ใหม่ โครงสร้างระดับใหม่ ระเบียบใหม่และแตกต่างในองค์ประกอบและโครงสร้างเหล่านี้

ในผลงานของเธอ เธอใช้คอมพิวเตอร์กราฟิกเป็นสื่อที่มีประโยชน์มากในการสร้างงานศิลปะ ซึ่งเป็นการเชื่อมโยงระหว่างวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และศิลปะ

หากเราเลือกหนึ่งในตัวเลขฟีโบนัชชี (เช่น 21 ซม.) สำหรับความยาวของด้านข้างของเพชรเพนโรสในการจัดองค์ประกอบที่ไม่แน่นอนนี้ เราจะสังเกตได้ว่าความยาวของบางส่วนในองค์ประกอบสร้างลำดับฟีโบนัชชีได้อย่างไร

องค์ประกอบทางศิลปะจำนวนมากของศิลปินอุทิศให้กับผลึกควอซิคริสตัลของ Shechtman และโครงร่างเพนโรส

ในองค์ประกอบที่น่าอัศจรรย์เหล่านี้ สามารถสังเกตเห็นการแสดงอาการของสมมาตรแบบวงกลมในความสัมพันธ์ระหว่างรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนของ Penrose:

เพชรเพนโรสทุกสองเม็ดที่อยู่ติดกันก่อตัวเป็นรูปดาวห้าเหลี่ยม คุณสามารถเห็นรูปสิบเหลี่ยมที่เกิดจากขอบของเพชรเพนโรสที่อยู่ติดกัน 10 เม็ด สร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติใหม่

และในภาพสุดท้าย การโต้ตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุดของ Penrose rhombuses - รูปดาวห้าแฉก, รูปห้าเหลี่ยม, ลดลงไปยังจุดศูนย์กลางขององค์ประกอบ อัตราส่วนอัตราส่วนทองคำแสดงได้หลายวิธีในระดับต่างๆ

องค์ประกอบทางศิลปะของ Matyushka Teija Kraszek ได้รับความสนใจอย่างมากจากตัวแทนของวิทยาศาสตร์และศิลปะ

Penrose Mosaic เป็นตัวอย่างที่ดีของการที่อาคารที่สวยงามที่จุดตัดของสาขาวิชาต่างๆ นั้นสามารถใช้ประโยชน์ได้อย่างแน่นอน

ตัวอย่างการเรียงกระเบื้องบนระนาบไฮเพอร์โบลิก

Michael Rao นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสจากมหาวิทยาลัย Lyon ได้แก้ปัญหาการเรียงระนาบด้วยรูปหลายเหลี่ยมนูนสำเร็จแล้ว สามารถพิมพ์งานล่วงหน้าได้ในหน้านักวิทยาศาสตร์

รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่านูนถ้ามุมทั้งหมดน้อยกว่า 180 องศาหรือสิ่งที่เหมือนกันเมื่อรวมกับจุดคู่ใดๆ รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวยังมีส่วนที่เชื่อมต่อกัน ปัญหาการปูกระเบื้อง (เรียกอีกอย่างว่าปัญหาไม้ปาร์เก้) มีการกำหนดดังนี้: ให้ระนาบแบ่งออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมในลักษณะที่รูปหลายเหลี่ยมสองรูปไม่มีจุดร่วมหรือมีจุดร่วมที่มีขอบเขตเท่านั้น หากรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดของพาร์ติชันดังกล่าวเหมือนกัน (นั่นคือ รูปหลายเหลี่ยมสามารถแปลเป็นอีกรูปหนึ่งได้โดยใช้องค์ประกอบการแปล การหมุน หรือสมมาตรตามแนวแกน) รูปหลายเหลี่ยมนั้นจะถูกเรียกว่าเรียงต่อกันในระนาบ งานมีลักษณะดังนี้: อธิบายรูปหลายเหลี่ยมนูนทั้งหมดที่เรียงต่อกันในระนาบ

การใช้เหตุผลเชิงผสมสามารถพิสูจน์ได้ว่ารูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวสามารถมีได้เพียง 3, 4, 5 หรือ 6 ด้านเท่านั้น ตรวจสอบได้ง่ายว่าระนาบสามารถปูกระเบื้องด้วยตรีโกณหรือสี่เหลี่ยมด้านใดก็ได้ คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งนี้ได้ในเนื้อหาของเรา

เพื่ออธิบายรูปหกเหลี่ยมทั้งหมด ให้เขียนมุมเป็น A, B, C, D, E, F และด้านเป็น a, b, c, d, e, f ในกรณีนี้ เราถือว่าด้าน a ติดกับมุม A ทางด้านขวา และด้านและมุมทั้งหมดจะตั้งชื่อตามเข็มนาฬิกา ในช่วงทศวรรษที่ 60 มีการพิสูจน์ว่ารูปหกเหลี่ยมทั้งหมดที่สามารถปูกระเบื้องระนาบได้นั้นมาจากอย่างน้อยหนึ่งในสามชั้น (ชั้นเรียนที่ตัดกันที่นี่ กล่าวคือ รูปหกเหลี่ยมปกติเป็นของทั้งสามชั้น):

1. ก + ข + ค = 360
2. A + B + D = 360, a = d, c = e
3. A=C=E=120, a=b, c=d, e=f.

กระเบื้องห้าเหลี่ยมที่รู้จักทั้งหมด 15 แบบ

กรณีที่ยากที่สุดคือกรณีไม้ปาร์เก้ห้าเหลี่ยม ในปีพ. ศ. 2461 นักคณิตศาสตร์ Karl Reinhardt ได้อธิบายประเภทของไม้ปาร์เก้ห้าชั้นซึ่งง่ายที่สุดคือชั้นของรูปห้าเหลี่ยมโดยมีเงื่อนไขว่ามีด้านหนึ่งผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180 องศา ในปี 1968 Robert Kershner พบคลาสดังกล่าวอีกสามคลาส และในปี 1975 Richard James พบอีกคลาสหนึ่ง นิตยสารเขียนเกี่ยวกับการค้นพบเจมส์ วิทยาศาสตร์อเมริกัน,บทความในนั้นเห็นโดยแม่บ้านชาวอเมริกันและนักคณิตศาสตร์สมัครเล่น มาร์จ ไรซ์ ผู้ค้นพบครอบครัวเพิ่มอีก 5 ครอบครัวใน 10 ปีด้วยตนเอง

ความคืบหน้าล่าสุดของปัญหาการปูกระเบื้องคือในเดือนสิงหาคม 2558 จากนั้นนักคณิตศาสตร์จากเครือมหาวิทยาลัยวอชิงตันที่โบเทลล์ใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ปาร์เกต์ห้าเหลี่ยมเกรด 15 ในพระองค์ งานใหม่ Michael Rao ลดปัญหาในการจำแนกไม้ปาร์เกต์ห้าเหลี่ยมเป็นการค้นหา 371 สายพันธุ์ เขาตรวจสอบตัวเลือกในคอมพิวเตอร์และแสดงให้เห็นว่าไม่มีอะไรนอกจาก 15 ประเภทของกระเบื้องที่รู้จักอยู่แล้ว จึงปิดปัญหาการปูกระเบื้องได้ในที่สุด

อันเดรย์ คอนยาเยฟ