วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีเมทริกซ์ออนไลน์
- คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A
- จากการเพิ่มเติมเกี่ยวกับพีชคณิตจะพบเมทริกซ์ผกผัน A -1;
- เทมเพลตโซลูชันถูกสร้างขึ้นใน Excel
คำแนะนำ. ในการหาวิธีแก้ปัญหาด้วยวิธีเมทริกซ์ผกผัน จำเป็นต้องระบุขนาดของเมทริกซ์ ถัดไป ในกล่องโต้ตอบใหม่ เติมเมทริกซ์ A และเวกเตอร์ผลลัพธ์ B
ดูเพิ่มเติมที่ การแก้สมการเมทริกซ์อัลกอริทึมโซลูชัน
- ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A ถูกคำนวณ หากดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ แสดงว่าจุดสิ้นสุดของโซลูชัน ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน
- เมื่อดีเทอร์มิแนนต์แตกต่างจากศูนย์ เมทริกซ์ผกผัน A -1 จะถูกพบผ่านการบวกด้วยพีชคณิต
- เวกเตอร์การตัดสินใจ X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) ได้มาจากการคูณเมทริกซ์ผกผันด้วยเวกเตอร์ผลลัพธ์ B
การเพิ่มเกี่ยวกับพีชคณิต
| ก 1.1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2.1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2.2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2.3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| ก 3.1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
การตรวจสอบ:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
เดอะ เครื่องคิดเลขออนไลน์แก้ปัญหาระบบ สมการเชิงเส้นวิธีเมทริกซ์ ให้มาก วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด. ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ให้เลือกจำนวนตัวแปร เลือกวิธีการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน จากนั้นป้อนข้อมูลในเซลล์แล้วคลิกที่ปุ่ม "คำนวณ"
×
คำเตือน
ล้างเซลล์ทั้งหมดหรือไม่
ปิด ล้าง
คำแนะนำในการป้อนข้อมูลตัวเลขจะป้อนเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 487, 5, -7623 เป็นต้น) เลขฐานสิบ (เช่น 67., 102.54 เป็นต้น) หรือเศษส่วน เศษส่วนต้องพิมพ์เป็น a/b โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็มหรือทศนิยม ตัวอย่าง 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 เป็นต้น
วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น
พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้:
โดยคำนึงถึงคำจำกัดความของเมทริกซ์ผกผัน เรามี ก −1 ก=อี, ที่ไหน อีคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้น (4) จึงเขียนได้ดังนี้
ดังนั้น ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (1) (หรือ (2)) ก็เพียงพอแล้วที่จะคูณส่วนผกผันกับ กเมทริกซ์ต่อเวกเตอร์ข้อจำกัด ข.
ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีเมทริกซ์
ตัวอย่างที่ 1 แก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยใช้วิธีเมทริกซ์:
ลองหาค่าผกผันของเมทริกซ์ A โดยวิธีจอร์แดน-เกาส์กัน ทางด้านขวาของเมทริกซ์ กเขียนเมทริกซ์เอกลักษณ์:
ไม่รวมองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1 ของเมทริกซ์ใต้เส้นทแยงมุมหลัก ในการทำเช่นนี้ เพิ่มแถว 2,3 ด้วยแถว 1 คูณด้วย -1/3, -1/3 ตามลำดับ:
ไม่รวมองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 2 ของเมทริกซ์ใต้เส้นทแยงมุมหลัก ในการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัดที่ 3 ด้วยบรรทัดที่ 2 คูณด้วย -24/51:
ไม่รวมองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 2 ของเมทริกซ์เหนือเส้นทแยงมุมหลัก โดยเพิ่มแถวที่ 1 กับแถวที่ 2 คูณด้วย -3/17:
แยก ด้านขวาเมทริกซ์ เมทริกซ์ผลลัพธ์คือ เมทริกซ์ผกผันถึง ก :
รูปแบบเมทริกซ์ของการเขียนระบบสมการเชิงเส้น: ขวาน=ข, ที่ไหน
คำนวณส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตทั้งหมดของเมทริกซ์ ก:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
เมทริกซ์ผกผันคำนวณจากนิพจน์ต่อไปนี้
พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรมากมาย:
โดยที่ aij - ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก xi; สมาชิก bi ฟรี;
ดัชนี: i = 1,2,3…m- กำหนดจำนวนของสมการ และ j = 1,2,3...n- จำนวนที่ไม่ทราบ
คำนิยาม: คำตอบของระบบสมการ (5) คือชุดของตัวเลข n (x10, x20, .... xn0) เมื่อแทนลงในระบบ สมการทั้งหมดจะกลายเป็นเลขประจำตัวที่แท้จริง
คำจำกัดความ: ระบบสมการเรียกว่าสอดคล้องกันหากมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งข้อ ระบบร่วมเรียกว่าแน่นอนหากมีโซลูชันเฉพาะ (x10, x20, ….xn0) และไม่จำกัดหากมีโซลูชันดังกล่าวหลายตัว
คำนิยาม: ระบบเรียกว่าไม่สอดคล้องกันหากไม่มีวิธีแก้ปัญหา
คำจำกัดความ: ตารางที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข (aij) และเทอมอิสระ (bi) ของระบบสมการ (5) เรียกว่าเมทริกซ์ระบบ (A) และเมทริกซ์ขยาย (A1) ซึ่งแสดงเป็น:
คำนิยาม: เมทริกซ์ของระบบ A ซึ่งมีจำนวนแถวและคอลัมน์ไม่เท่ากัน (n?m) เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หากจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน (n=m) เมทริกซ์จะเรียกว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัส
ถ้าจำนวนของสิ่งที่ไม่รู้ในระบบเท่ากับจำนวนของสมการ (n=m) แสดงว่าระบบมีเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่ n
ลองแยกแถวตามอำเภอใจ k และคอลัมน์ตามอำเภอใจ k (กม., kn) ในเมทริกซ์ A
คำนิยาม: ดีเทอร์มิแนนต์ลำดับ k ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบของเมทริกซ์ A ซึ่งอยู่ที่จุดตัดของแถวและคอลัมน์ที่เลือก เรียกว่าลำดับรอง k ของเมทริกซ์ A
พิจารณาผู้เยาว์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเมทริกซ์ A หากผู้เยาว์อันดับ (k + 1) ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ และอย่างน้อยหนึ่งในผู้เยาว์อันดับ k ไม่เท่ากับศูนย์ แสดงว่าเมทริกซ์นั้นมีอันดับ เท่ากับ k
คำนิยาม: อันดับของเมทริกซ์ A เป็นลำดับที่มากที่สุดของเมทริกซ์นี้ที่ไม่ใช่ศูนย์รอง อันดับของเมทริกซ์แสดงด้วย r(A)
คำนิยาม: เมทริกซ์รองที่ไม่ใช่ศูนย์ใด ๆ ที่มีลำดับ เท่ากับยศเมทริกซ์เรียกว่าพื้นฐาน
คำนิยาม: ถ้าสำหรับสองเมทริกซ์ A และ B อันดับของพวกมันตรงกัน r(A) = r(B) เมทริกซ์เหล่านี้จะถูกเรียกว่าสมมูลและแสดงแทน A B
อันดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนจากการแปลงสมมูลเบื้องต้น ซึ่งรวมถึง:
- 1. การแทนที่แถวด้วยคอลัมน์และคอลัมน์ด้วยแถวที่สอดคล้องกัน
- 2. การเรียงสับเปลี่ยนของแถวหรือคอลัมน์ในสถานที่ต่างๆ
- 3. ขีดฆ่าแถวหรือคอลัมน์ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์
- 4. การคูณหรือหารแถวหรือคอลัมน์ด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์
- 5. การบวกหรือลบองค์ประกอบของแถวหรือคอลัมน์หนึ่งจากอีกแถวหนึ่ง คูณด้วยจำนวนใดๆ
เมื่อกำหนดอันดับของเมทริกซ์จะใช้การแปลงที่เทียบเท่าซึ่งเมทริกซ์ดั้งเดิมจะลดลงเป็นเมทริกซ์แบบขั้นบันได (สามเหลี่ยม)
ในเมทริกซ์แบบขั้นบันได องค์ประกอบศูนย์จะอยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลัก และองค์ประกอบแรกที่ไม่ใช่ศูนย์ของแต่ละแถว เริ่มจากองค์ประกอบที่สอง จะอยู่ทางด้านขวาขององค์ประกอบแรกที่ไม่ใช่ศูนย์ของแถวก่อนหน้า
โปรดทราบว่าอันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับจำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์ขั้นตอน
ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ A= อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดและอันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับจำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์ r(A)=3 แท้จริงแล้ว ผู้เยาว์ลำดับที่ 4 ทั้งหมดที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ของแถวที่ 4 มีค่าเท่ากับศูนย์ และผู้เยาว์ลำดับที่ 3 ไม่ใช่ศูนย์ ในการตรวจสอบ เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของรองจาก 3 แถวแรกและ 3 คอลัมน์:
เมทริกซ์ใดๆ สามารถลดขนาดลงเป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดได้โดยการทำให้องค์ประกอบเมทริกซ์เป็นศูนย์ภายใต้เส้นทแยงมุมหลักโดยใช้การดำเนินการเบื้องต้น
ให้เรากลับไปที่การศึกษาและคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น (5)
มีบทบาทสำคัญในการศึกษาระบบสมการเชิงเส้นโดยทฤษฎีบท Kronecker-Capeli ให้เรากำหนดทฤษฎีบทนี้
ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี: ระบบสมการเชิงเส้นจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์ระบบ A เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย A1 นั่นคือ r(A)=r(A1). ในกรณีของความเข้ากันได้ ระบบจะแน่นอนถ้าอันดับของเมทริกซ์ระบบเท่ากับจำนวนที่ไม่รู้จัก เช่น r(A)=r(A1)=n และ undefined หากอันดับนี้น้อยกว่าจำนวนที่ไม่รู้จัก เช่น r(A)= r(A1) ตัวอย่าง. สำรวจระบบสมการเชิงเส้น: ให้เรากำหนดอันดับของเมทริกซ์ระบบ A และเมทริกซ์ขยาย A1 ในการทำเช่นนี้ เราสร้างเมทริกซ์ขยาย A1 และลดให้เป็นรูปแบบขั้นบันได เมื่อแปลงเมทริกซ์ ให้ทำดังต่อไปนี้: จากการดำเนินการที่ดำเนินการ เราได้รับเมทริกซ์แบบขั้นบันไดที่มีแถวที่ไม่ใช่ศูนย์สามแถว ทั้งในเมทริกซ์ระบบ (จนถึงบรรทัด) และในเมทริกซ์ขยาย จากที่จะเห็นได้ว่าอันดับของเมทริกซ์ของระบบเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายและเท่ากับ 3 แต่น้อยกว่าจำนวนที่ไม่รู้จัก (n=4) คำตอบ: เพราะ r(A)=r(A1)=3 เนื่องจากสะดวกในการกำหนดอันดับของเมทริกซ์โดยการลดให้เป็นรูปแบบขั้นตอน เราจะพิจารณาวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์ วิธีเกาส์ สาระสำคัญของวิธีเกาส์อยู่ที่การกำจัดสิ่งแปลกปลอมอย่างต่อเนื่อง
t โดยการลดลงเป็นรูปแบบขั้นบันไดของเมทริกซ์ขยาย A1 ซึ่งรวมถึงเมทริกซ์ระบบ A จนถึงเส้น ในกรณีนี้ อันดับของเมทริกซ์ A, A1 จะถูกกำหนดพร้อมกันและระบบได้รับการศึกษาตาม Kronecker-Capelli ทฤษฎีบท. ในขั้นตอนสุดท้ายระบบสมการของประเภทแบบขั้นตอนจะได้รับการแก้ไขโดยทำการแทนที่ค่าที่พบจากค่าที่ไม่รู้จักจากล่างขึ้นบน ให้เราพิจารณาการประยุกต์ใช้วิธีเกาส์และทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลีโดยใช้ตัวอย่าง ตัวอย่าง. แก้ไขระบบโดยใช้วิธี Gauss: ให้เรากำหนดอันดับของเมทริกซ์ระบบ A และเมทริกซ์ขยาย A1 ในการทำเช่นนี้ เราสร้างเมทริกซ์ขยาย A1 และลดให้เป็นรูปแบบขั้นบันได เมื่อแคสต์ ให้ทำดังต่อไปนี้: เราได้รับเมทริกซ์ขั้นตอนซึ่งจำนวนแถวเท่ากับ 3 และเมทริกซ์ของระบบ (ก่อนบรรทัด) ก็ไม่มีศูนย์จมเช่นกัน ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์ระบบและเมทริกซ์ขยายคือ 3 และเท่ากับจำนวนที่ไม่รู้จัก เช่น r(A)=r(A1)=n=3.. ตามทฤษฎีบทของโครเนคเกอร์-คาเปลลี ระบบนี้มีความสอดคล้องและกำหนดไว้ มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงของเมทริกซ์ A1 ทำให้ค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์สำหรับสิ่งแปลกปลอม พวกเขาถูกแยกออกจากสมการอย่างต่อเนื่องและได้รับระบบสมการขั้นตอน (สามเหลี่ยม): ย้ายตามลำดับจากล่างขึ้นบน โดยแทนที่คำตอบ (x3=1) จากสมการที่สามลงในสมการที่สอง และคำตอบ (x2=1, x3=1) จากสมการที่สองและสามลงในสมการแรก เราได้คำตอบของ ระบบสมการ: x1=1,x2=1, x3=1 กาเครื่องหมาย: -(!) คำตอบ: (x1=1,x2=1,x3=1). วิธีจอร์แดน-เกาส์ ระบบนี้สามารถแก้ไขได้โดยวิธี Jordan-Gauss ที่ได้รับการปรับปรุงซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าเมทริกซ์ของระบบ A ในเมทริกซ์ขยาย (จนถึงบรรทัด) จะลดลงเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์: E =ด้วยองค์ประกอบเส้นทแยงมุมเดียวและศูนย์นอกเส้นทแยงมุม และรับโซลูชันของระบบทันทีโดยไม่ต้องมีการทดแทนเพิ่มเติม ลองแก้ระบบข้างต้นด้วยวิธีจอร์แดน-เกาส์ ในการดำเนินการนี้ เราแปลงเมทริกซ์ขั้นตอนที่เป็นผลลัพธ์ให้เป็นเมทริกซ์เดียวโดยทำดังต่อไปนี้: ระบบสมการดั้งเดิมถูกลดขนาดให้เป็นระบบ: ซึ่งกำหนดวิธีแก้ปัญหา การดำเนินการขั้นพื้นฐานกับเมทริกซ์ ให้กำหนดสองเมทริกซ์: A=
ข=. เมื่อรวม (ลบ) เมทริกซ์ องค์ประกอบที่มีชื่อเดียวกันจะถูกเพิ่ม (ลบ) 3. ผลคูณของจำนวน k โดยเมทริกซ์ A คือเมทริกซ์ที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน: เมื่อคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จะถูกคูณด้วยตัวเลขนั้น 4. ผลคูณของเมทริกซ์ AB คือเมทริกซ์ที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน: เมื่อคูณเมทริกซ์ องค์ประกอบของแถวของเมทริกซ์แรกจะถูกคูณด้วยองค์ประกอบของคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่สองและนำมาบวกกัน และองค์ประกอบของเมทริกซ์ผลคูณในแถวที่ i-th และคอลัมน์ที่ j-th จะเท่ากับ ผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่ i ของเมทริกซ์ที่หนึ่งและเมทริกซ์ที่สองของคอลัมน์ที่ j เมื่อคูณเมทริกซ์ ในกรณีทั่วไป กฎการสลับที่จะไม่มีผลบังคับใช้ เช่น เอบี?เวอร์จิเนีย. 5. การขนย้ายเมทริกซ์ A เป็นการกระทำที่นำไปสู่การแทนที่แถวด้วยคอลัมน์ และคอลัมน์ด้วยแถวที่สอดคล้องกัน เมทริกซ์ AT= เรียกว่าเมทริกซ์ทรานสโพสสำหรับเมทริกซ์ A= หากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A ไม่เท่ากับศูนย์ (D?0) เมทริกซ์ดังกล่าวจะเรียกว่าไม่เอกพจน์ สำหรับเมทริกซ์ A ที่ไม่ใช่เอกฐานใดๆ จะมีเมทริกซ์ผกผัน A-1 ซึ่งความเท่าเทียมกันจะคงอยู่: A-1 A= A A-1=E โดยที่ E=- เมทริกซ์เอกลักษณ์ 6. การผกผันของเมทริกซ์ A คือการกระทำดังกล่าวซึ่งได้รับเมทริกซ์ผกผัน A-1 เมื่อกลับด้านเมทริกซ์ A จะดำเนินการต่อไปนี้ สมการโดยทั่วไป สมการเชิงพีชคณิตเชิงเส้น และระบบของสมการ ตลอดจนวิธีการแก้สมการเหล่านี้ ครอบครองสถานที่พิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ ทั้งทางทฤษฎีและทางประยุกต์ นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าปัญหาทางกายภาพ เศรษฐกิจ ทางเทคนิคและแม้กระทั่งการสอนส่วนใหญ่สามารถอธิบายและแก้ไขได้โดยใช้สมการและระบบที่หลากหลาย เมื่อเร็ว ๆ นี้ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้รับความนิยมเป็นพิเศษในหมู่นักวิจัย นักวิทยาศาสตร์ และผู้ปฏิบัติงานในเกือบทุกสาขาวิชา ซึ่งอธิบายได้ด้วยข้อได้เปรียบที่ชัดเจนเหนือวิธีการอื่น ๆ ที่รู้จักกันดีและได้รับการพิสูจน์แล้วในการศึกษาวัตถุต่าง ๆ ของธรรมชาติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งที่เรียกว่าความซับซ้อน ระบบ มีคำจำกัดความที่แตกต่างกันมากมายสำหรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่นักวิทยาศาสตร์ให้ไว้ในแต่ละช่วงเวลา แต่ในความเห็นของเรา คำที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดคือข้อความต่อไปนี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่แสดงโดยสมการ ดังนั้น ความสามารถในการเขียนและแก้สมการและระบบของสมการจึงเป็นลักษณะสำคัญของผู้เชี่ยวชาญสมัยใหม่ ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีที่ใช้บ่อยที่สุดคือ: แครมเมอร์ จอร์แดน-เกาส์ และเมทริกซ์ วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์ - วิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่มีตัวกำหนดที่ไม่ใช่ศูนย์โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน หากเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับค่าที่ไม่รู้จัก xi ลงในเมทริกซ์ A ให้รวบรวมค่าที่ไม่รู้จักลงในคอลัมน์ X เวกเตอร์ และเทอมอิสระลงในเวกเตอร์คอลัมน์ B จากนั้นระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถเขียนได้ รูปแบบของสมการเมทริกซ์ต่อไปนี้ A X = B ซึ่งมีคำตอบเฉพาะเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A ไม่เท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้สามารถหาคำตอบของระบบสมการได้ดังนี้ เอ็กซ์ = ก-1 · ข, ที่ไหน ก-1 - เมทริกซ์ผกผัน วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์มีดังนี้ ให้ระบบสมการเชิงเส้นได้รับด้วย นไม่ทราบ: สามารถเขียนใหม่ในรูปเมทริกซ์ได้ดังนี้ ขวาน =
ข, ที่ไหน ก- เมทริกซ์หลักของระบบ ขและ เอ็กซ์- คอลัมน์ของสมาชิกฟรีและการแก้ปัญหาของระบบ ตามลำดับ: คูณสมการเมทริกซ์ทางซ้ายด้วย ก-1 - เมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ ก: ก -1 (ขวาน) = ก -1 ข เพราะ ก -1 ก = อี, เราได้รับ เอ็กซ์= ก -1 ข. ด้านขวามือของสมการนี้จะแสดงคอลัมน์ของคำตอบของระบบเดิม เงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้วิธีนี้ (เช่นเดียวกับการมีอยู่ทั่วไปของคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันโดยมีจำนวนสมการเท่ากับจำนวนที่ไม่รู้จัก) คือความไม่เสื่อมของเมทริกซ์ ก. เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งนี้คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ก: เดช ก≠ 0. สำหรับระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ นั่นคือ เมื่อเวกเตอร์ ข = 0
กฎตรงกันข้าม: ระบบ ขวาน =
0 มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ (นั่นคือไม่ใช่ศูนย์) ก็ต่อเมื่อ det ก= 0 การเชื่อมต่อระหว่างคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันเรียกว่าทางเลือก Fredholm ตัวอย่าง คำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่ไม่เหมือนกัน. ขอให้เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่ไม่รู้จักนั้นไม่เท่ากับศูนย์ ขั้นตอนต่อไปคือการคำนวณส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตสำหรับองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก พวกเขาจะต้องค้นหาเมทริกซ์ผกผัน
