การประยุกต์สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่สอง
ในปัญหาทางฟิสิกส์บางข้อ ไม่สามารถสร้างการเชื่อมโยงโดยตรงระหว่างปริมาณที่อธิบายกระบวนการได้ แต่เป็นไปได้ที่จะได้รับความเท่าเทียมกันที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำลังศึกษาอยู่ นี่คือวิธีที่สมการเชิงอนุพันธ์เกิดขึ้นและความจำเป็นในการแก้สมการเพื่อหาฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก
บทความนี้มีไว้สำหรับผู้ที่ประสบปัญหาในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยที่ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักเป็นฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว ทฤษฎีนี้มีโครงสร้างในลักษณะที่คุณสามารถรับมือกับงานของคุณได้หากไม่มีความรู้เรื่องสมการเชิงอนุพันธ์
แต่ละประเภท สมการเชิงอนุพันธ์วิธีการแก้ปัญหานั้นเป็นไปตามคำอธิบายโดยละเอียดและแนวทางแก้ไขสำหรับตัวอย่างและปัญหาทั่วไป สิ่งที่คุณต้องทำคือกำหนดประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์ของปัญหาของคุณ ค้นหาตัวอย่างที่ได้รับการวิเคราะห์ที่คล้ายกัน และดำเนินการที่คล้ายกัน
ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ได้สำเร็จ คุณจะต้องมีความสามารถในการค้นหาชุดของแอนติเดริเวทีฟ ( อินทิกรัลไม่ จำกัด) ฟังก์ชั่นต่างๆ หากจำเป็น เราขอแนะนำให้คุณดูส่วนนี้
ขั้นแรก เราจะพิจารณาประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญของลำดับแรกซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยความเคารพต่ออนุพันธ์ จากนั้นเราจะไปยัง ODE ลำดับที่สอง จากนั้นเราจะเน้นที่สมการลำดับที่สูงกว่าและปิดท้ายด้วยระบบของ สมการเชิงอนุพันธ์
จำไว้ว่าถ้า y เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ x
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
สมการเชิงอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดของลำดับแรกของแบบฟอร์ม
ลองเขียนตัวอย่างบางส่วนของการควบคุมระยะไกลดังกล่าว 
.
สมการเชิงอนุพันธ์ 
สามารถแก้ไขได้ด้วยความเคารพต่ออนุพันธ์โดยการหารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย f(x) ในกรณีนี้ เรามาถึงสมการที่จะเทียบเท่ากับสมการเดิมสำหรับ f(x) ≠ 0 ตัวอย่างของ ODE ดังกล่าว ได้แก่
หากมีค่าของอาร์กิวเมนต์ x ซึ่งฟังก์ชัน f(x) และ g(x) หายไปพร้อม ๆ กันแสดงว่าวิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมปรากฏขึ้น คำตอบเพิ่มเติมของสมการ 
กำหนดให้ x เป็นฟังก์ชันใดๆ ที่กำหนดไว้สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์เหล่านี้ ตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์ดังกล่าวได้แก่:
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง
สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สองด้วย ค่าสัมประสิทธิ์คงที่.
LDE ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ประเภทหนึ่งที่ใช้กันทั่วไป วิธีแก้ปัญหาของพวกเขาไม่ได้ยากเป็นพิเศษ ขั้นแรกให้พบราก สมการลักษณะเฉพาะ 
- สำหรับ p และ q ที่แตกต่างกัน มีความเป็นไปได้สามกรณี: รากของสมการคุณลักษณะสามารถเป็นจริงและแตกต่างกันได้ จริงและสอดคล้องกัน 
หรือคอนจูเกตที่ซับซ้อน ขึ้นอยู่กับค่าของรากของสมการลักษณะเฉพาะ วิธีแก้ทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์จะถูกเขียนเป็น 
, หรือ 
หรือตามลำดับ
ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ รากของสมการคุณลักษณะคือ k 1 = -3 และ k 2 = 0 รากมีอยู่จริงและแตกต่าง ดังนั้น คำตอบทั่วไปของ LODE ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่จึงมีรูปแบบ
สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
หาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ LDDE ลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์ y คงที่ในรูปแบบของผลรวมของวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ LDDE ที่สอดคล้องกัน 
และวิธีแก้ปัญหาเฉพาะจากต้นฉบับ ไม่ สมการเอกพันธ์นั่นคือ . ย่อหน้าก่อนหน้านี้มีไว้เพื่อการค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ และวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะนั้นถูกกำหนดโดยวิธีการของสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้สำหรับรูปแบบหนึ่งของฟังก์ชัน f(x) ที่ยืนอยู่ทางด้านขวาของสมการดั้งเดิม หรือโดยวิธีการเปลี่ยนแปลงค่าคงที่ตามใจชอบ
เรายกตัวอย่าง LDDE ลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ 
เข้าใจทฤษฎีและทำความคุ้นเคย โซลูชั่นโดยละเอียดเราขอเสนอตัวอย่างในหน้าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น (LODE) 
และสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้น (LNDE) ของลำดับที่สอง
กรณีพิเศษของสมการเชิงอนุพันธ์ประเภทนี้คือ LODE และ LDDE ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
คำตอบทั่วไปของ LODE บนเซ็กเมนต์หนึ่งแสดงโดยการรวมกันเชิงเส้นของโซลูชันบางส่วนเชิงเส้นตรงสองตัว y 1 และ y 2 ของสมการนี้ นั่นคือ 
.
ปัญหาหลักอยู่ที่การค้นหาคำตอบบางส่วนที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์ประเภทนี้ โดยทั่วไปแล้ว โซลูชันเฉพาะจะถูกเลือกจากระบบของฟังก์ชันอิสระเชิงเส้นต่อไปนี้: 
อย่างไรก็ตาม วิธีแก้ปัญหาบางอย่างอาจไม่ได้นำเสนอในรูปแบบนี้เสมอไป
ตัวอย่างของ LOD คือ 
.
หาคำตอบทั่วไปของ LDDE ในรูปแบบ โดยที่ คือคำตอบทั่วไปของ LDDE ที่สอดคล้องกัน และเป็นคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม เราเพิ่งพูดถึงการค้นหามัน แต่สามารถกำหนดได้โดยใช้วิธีการเปลี่ยนค่าคงที่ตามอำเภอใจ
สามารถยกตัวอย่าง LNDU ได้ 
.
สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่า
สมการเชิงอนุพันธ์ที่ยอมให้เกิดการลดลงตามลำดับ
ลำดับสมการเชิงอนุพันธ์ 
ซึ่งไม่มีฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์จนถึงลำดับ k-1 สามารถลดลงเป็น n-k ได้โดยแทนที่
ในกรณีนี้ สมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมจะลดลงเหลือ หลังจากค้นหาวิธีแก้ปัญหาแล้ว p(x) ยังคงต้องกลับไปยังการแทนที่และกำหนดฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก y
ตัวอย่างเช่น สมการเชิงอนุพันธ์ 
หลังจากการแทนที่ มันจะกลายเป็นสมการที่มีตัวแปรที่แบ่งแยกได้ และลำดับของมันจะลดลงจากอันดับที่สามเหลืออันดับหนึ่ง
สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่สองและลำดับที่สูงกว่า
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
ตัวอย่างการแก้ปัญหา
มาดูสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองและสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูงกว่ากันดีกว่า หากคุณมีความคิดที่คลุมเครือว่าสมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร (หรือไม่เข้าใจว่ามันคืออะไร) ฉันขอแนะนำให้เริ่มด้วยบทเรียน สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ตัวอย่างการแก้ปัญหา- ดังนั้นหลักการวิธีแก้ปัญหาและแนวคิดพื้นฐานของลำดับที่หนึ่งจึงขยายไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าโดยอัตโนมัติ มันสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจสมการลำดับแรกก่อน.
ผู้อ่านหลายคนอาจมีอคติว่าการควบคุมระยะไกลของคำสั่งที่ 2, 3 และคำสั่งอื่น ๆ เป็นสิ่งที่ยากมากและไม่สามารถเข้าถึงได้ นี่เป็นสิ่งที่ผิด - เรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาการแพร่กระจาย ลำดับที่สูงขึ้นแทบจะไม่ซับซ้อนกว่า DE ลำดับที่ 1 "ธรรมดา"- และในบางสถานที่ก็ง่ายกว่านั้นอีก เนื่องจากโซลูชันต่างๆ ใช้สื่อการสอนจากหลักสูตรของโรงเรียนอย่างจริงจัง
ยอดนิยมที่สุด สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง- สู่สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง จำเป็นรวมถึงอนุพันธ์อันดับสองและ ไม่รวม 
ควรสังเกตว่าทารกบางคน (และแม้แต่ทั้งหมดพร้อมกัน) อาจขาดหายไปจากสมการ สิ่งสำคัญคือพ่อต้องอยู่บ้าน สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองดั้งเดิมที่สุดมีลักษณะดังนี้:
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามใน งานภาคปฏิบัติพบได้น้อยกว่ามาก จากการสังเกตส่วนตัวของฉัน พวกเขาจะได้รับคะแนนเสียงประมาณ 3-4% ใน State Duma
ถึงสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสาม จำเป็นรวมถึงอนุพันธ์อันดับสามและ ไม่รวมอนุพันธ์ที่มีคำสั่งสูงกว่า:
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามที่ง่ายที่สุดมีลักษณะดังนี้: – พ่ออยู่ที่บ้าน ลูก ๆ ทุกคนออกไปเดินเล่น
ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถกำหนดสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่ 4, 5 และสูงกว่าได้ ในปัญหาในทางปฏิบัติระบบควบคุมดังกล่าวไม่ค่อยล้มเหลว แต่ฉันจะพยายามยกตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง
สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าซึ่งเสนอไว้ในปัญหาเชิงปฏิบัติสามารถแบ่งออกเป็นสองกลุ่มหลัก
1) กลุ่มแรก - สิ่งที่เรียกว่า สมการที่สามารถลดลงตามลำดับได้- มาเร็ว!
2) กลุ่มที่สอง – สมการเชิงเส้นของลำดับที่สูงกว่าพร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่- ซึ่งเราจะเริ่มดูกันตอนนี้เลย
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่สอง
โดยมีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
ในทางทฤษฎีและการปฏิบัติ สมการดังกล่าวแบ่งออกเป็นสองประเภท: สมการเอกพันธ์และ สมการที่ไม่เหมือนกัน.
DE ลำดับที่สองที่เป็นเนื้อเดียวกันพร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่มีแบบฟอร์มดังนี้ 
ที่ไหน และ เป็นค่าคงที่ (ตัวเลข) และทางด้านขวา – อย่างเคร่งครัดศูนย์.
อย่างที่คุณเห็นไม่มีปัญหาใด ๆ กับสมการเอกพันธ์ สิ่งสำคัญคือ ตัดสินใจได้อย่างถูกต้อง สมการกำลังสอง .
บางครั้งอาจมีสมการเอกพันธ์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน เช่น สมการในรูปแบบ 
โดยที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าคงที่ที่แตกต่างจากความสามัคคี (และโดยธรรมชาติแล้วจะแตกต่างจากศูนย์) อัลกอริธึมการแก้ปัญหาไม่เปลี่ยนแปลงเลย คุณควรเขียนสมการคุณลักษณะอย่างใจเย็นและค้นหารากของมัน ถ้าสมการคุณลักษณะ 
จะมีรากจริงที่แตกต่างกันสองแบบ เช่น 
จากนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะถูกเขียนตามรูปแบบปกติ: 
.
ในบางกรณี เนื่องจากการพิมพ์ผิดในสภาพ รากที่ "ไม่ดี" อาจส่งผลให้เกิดบางอย่างเช่นนี้ 
- จะทำอย่างไรคำตอบจะต้องเขียนดังนี้:
ด้วย”แย่”คอนจูเกตที่มีรากที่ซับซ้อนเช่น 
ไม่มีปัญหาเช่นกัน วิธีแก้ไขทั่วไป: 
นั่นคือ มีวิธีแก้ไขปัญหาทั่วไปอยู่แล้ว- เพราะสมการกำลังสองใดๆ มีสองราก
ในย่อหน้าสุดท้าย ตามที่ข้าพเจ้าสัญญาไว้ เราจะพิจารณาโดยสังเขป:
สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สูงกว่า
ทุกอย่างคล้ายกันมาก
สมการเอกพันธ์เชิงเส้นอันดับสามมีรูปแบบดังนี้:
โดยที่ค่าคงที่
สำหรับ สมการที่กำหนดคุณต้องสร้างสมการลักษณะเฉพาะและค้นหารากของมันด้วย สมการลักษณะเฉพาะตามที่หลายคนเดามามีลักษณะดังนี้: 
และมัน ถึงอย่างไรมี สามอย่างแน่นอนราก
ตัวอย่างเช่น รากทั้งหมดเป็นจริงและแตกต่าง: 
จากนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะถูกเขียนดังนี้:
ถ้ารากหนึ่งมีจริง และอีกสองรากมีความซับซ้อน เราจะเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปดังนี้:
กรณีพิเศษเมื่อทั้งสามรากเป็นทวีคูณ (เหมือนกัน) ลองพิจารณา DE ที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ง่ายที่สุดของลำดับที่ 3 กับพ่อที่โดดเดี่ยว: . สมการลักษณะเฉพาะมีรากที่เป็นศูนย์ตรงกันสามตัว เราเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปดังนี้:
ถ้าสมการคุณลักษณะ 
มีหลายราก ดังนั้นคำตอบทั่วไปจะเป็นดังนี้:
ตัวอย่างที่ 9
แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามเอกพันธ์
สารละลาย:มาเขียนและแก้สมการคุณลักษณะกัน:
, – ได้รับรากจริงหนึ่งรากและรากที่ซับซ้อนคอนจูเกตสองอัน
คำตอบ:วิธีแก้ปัญหาทั่วไป
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาสมการเอกพันธ์เชิงเส้นได้ ลำดับที่สี่โดยมีค่าสัมประสิทธิ์คงที่: โดยที่ค่าคงที่
สถาบันการศึกษา "รัฐเบลารุส"
สถาบันเกษตรกรรม"
ภาควิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง
แนวทาง
เพื่อศึกษาหัวข้อ “สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่ 2” โดยนักศึกษาคณะบัญชีศึกษาการติดต่อสื่อสาร (NISPO)
กอร์กี, 2013
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น
ลำดับที่สองที่มีค่าคงที่ค่าสัมประสิทธิ์
สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ เรียกว่าสมการของรูป
เหล่านั้น. สมการที่มีฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์ของมันเพียงระดับแรกเท่านั้นและไม่มีผลคูณของมัน ในสมการนี้ 
และ 
- ตัวเลขบางตัวและฟังก์ชัน 
ให้ไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง 
.
ถ้า 
ในช่วงเวลา 
จากนั้นสมการ (1) จะอยู่ในรูปแบบ
,
(2)
และถูกเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น - มิฉะนั้นจะเรียกสมการ (1) เชิงเส้นไม่เหมือนกัน .
พิจารณาฟังก์ชันเชิงซ้อน
,
(3)
ที่ไหน 
และ 
- ฟังก์ชั่นจริง ถ้าฟังก์ชัน (3) เป็นคำตอบที่ซับซ้อนของสมการ (2) แสดงว่าเป็นส่วนจริง 
และส่วนจินตภาพ 
โซลูชั่น 
แยกกันเป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์เดียวกัน ดังนั้น การแก้สมการเชิงซ้อนใดๆ ของสมการ (2) จะสร้างคำตอบจำนวนจริง 2 คำตอบให้กับสมการนี้
คำตอบของสมการเชิงเส้นเอกพันธ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
ถ้า 
เป็นการแก้สมการ (2) แล้วจึงเป็นฟังก์ชัน 
, ที่ไหน กับ– ค่าคงที่ตามอำเภอใจจะเป็นคำตอบของสมการ (2) ด้วย
ถ้า 
และ 
มีวิธีแก้สมการ (2) ตามด้วยฟังก์ชัน 
จะเป็นคำตอบของสมการ (2) ด้วย
ถ้า 
และ 
มีวิธีแก้สมการ (2) จากนั้นจึงรวมเชิงเส้น 
จะเป็นคำตอบของสมการ (2) ด้วย โดยที่ 
และ 
– ค่าคงที่ตามอำเภอใจ
ฟังก์ชั่น 
และ 
ถูกเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
ในช่วงเวลา 
ถ้ามีตัวเลขดังกล่าวอยู่ 
และ 
ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน ซึ่งในช่วงเวลานี้มีความเท่าเทียมกัน
หากความเสมอภาค (4) เกิดขึ้นเฉพาะเมื่อใด 
และ 
แล้วตามด้วยฟังก์ชัน 
และ 
ถูกเรียกว่า เป็นอิสระเชิงเส้น
ในช่วงเวลา 
.
ตัวอย่างที่ 1
- ฟังก์ชั่น 
และ 
จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง เนื่องจาก 
บนเส้นจำนวนทั้งหมด ในตัวอย่างนี้ 
.
ตัวอย่างที่ 2
- ฟังก์ชั่น 
และ 
มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรงในช่วงเวลาใดๆ เนื่องจากมีความเท่าเทียมกัน 
เป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่เมื่อ 
, และ 
.
การสร้างสารละลายทั่วไปให้เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น
สมการ
เพื่อที่จะหาคำตอบทั่วไปของสมการ (2) คุณต้องหาคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นสองตัวของสมการนั้น 
และ 
- ผลรวมเชิงเส้นของโซลูชันเหล่านี้ 
, ที่ไหน 
และ 
เป็นค่าคงที่ตามใจชอบ และจะให้คำตอบทั่วไปกับสมการเอกพันธ์เชิงเส้น
เชิงเส้น โซลูชั่นอิสระสมการ (2) จะถูกค้นหาในรูปแบบ
,
(5)
ที่ไหน 
– จำนวนที่แน่นอน แล้ว 
,
- ลองแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (2):
หรือ 
.
เพราะ 
, ที่ 
- ดังนั้นฟังก์ชัน 
จะเป็นคำตอบของสมการ (2) ถ้า 
จะเป็นไปตามสมการ
.
(6)
เรียกสมการ (6) สมการลักษณะเฉพาะ สำหรับสมการ (2) สมการนี้เป็นสมการกำลังสองพีชคณิต
อนุญาต 
และ 
มีรากของสมการนี้ สิ่งเหล่านี้อาจเป็นของจริงและแตกต่าง หรือซับซ้อน หรือของจริงและเท่าเทียมกัน ลองพิจารณากรณีเหล่านี้
ปล่อยให้ราก 
และ 
สมการคุณลักษณะมีจริงและชัดเจน จากนั้นคำตอบของสมการ (2) จะเป็นฟังก์ชัน 
และ 
- คำตอบเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจากมีความเท่าเทียมกัน 
จะดำเนินการได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น 
, และ 
- ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (2) จึงมีรูปแบบ
,
ที่ไหน 
และ 
- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ
ตัวอย่างที่ 3
.
สารละลาย
- สมการคุณลักษณะสำหรับส่วนต่างนี้จะเป็น 
- หลังจากแก้สมการกำลังสองนี้แล้ว เราก็พบรากของมัน 
และ 
- ฟังก์ชั่น 
และ 
เป็นการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ คำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ 
.
จำนวนเชิงซ้อน 
เรียกว่า การแสดงออกของรูป 
, ที่ไหน 
และ 
เป็นจำนวนจริง และ 
เรียกว่าหน่วยจินตภาพ ถ้า 
แล้วตามด้วยหมายเลข 
เรียกว่าจินตภาพล้วนๆ ถ้า 
แล้วตามด้วยหมายเลข 
ถูกระบุด้วยจำนวนจริง 
.
ตัวเลข 
เรียกว่าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน และ 
- ส่วนจินตภาพ หากจำนวนเชิงซ้อนสองตัวต่างกันเพียงสัญลักษณ์ของส่วนจินตภาพเท่านั้น พวกมันจะถูกเรียกว่าคอนจูเกต: 
,
.
ตัวอย่างที่ 4
- แก้สมการกำลังสอง 
.
สารละลาย
- สมการจำแนก 
- แล้ว. เช่นเดียวกัน, 
- ดังนั้นสมการกำลังสองนี้มีรากที่ซับซ้อนรวมกัน
ปล่อยให้รากของสมการคุณลักษณะมีความซับซ้อนเช่น 
,
, ที่ไหน 
- ผลเฉลยของสมการ (2) สามารถเขียนได้ในรูป 
,
หรือ 
,
- ตามสูตรของออยเลอร์
,
.
แล้ว ,. ดังที่ทราบกันดีว่า หากฟังก์ชันเชิงซ้อนเป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น ดังนั้นคำตอบของสมการนี้จะเป็นทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชันนี้ ดังนั้นการแก้สมการ (2) จะเป็นฟังก์ชัน 
และ 
- ตั้งแต่ความเท่าเทียมกัน
สามารถทำได้ก็ต่อเมื่อ 
และ 
แล้วคำตอบเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (2) จึงมีรูปแบบ
ที่ไหน 
และ 
- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ
ตัวอย่างที่ 5
- หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ 
.
สารละลาย
- สมการ 
เป็นลักษณะของส่วนต่างที่กำหนด มาแก้มันแล้วหารากที่ซับซ้อนกันดีกว่า 
,
- ฟังก์ชั่น 
และ 
เป็นคำตอบอิสระเชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์ คำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ:
ปล่อยให้รากของสมการคุณลักษณะเป็นจริงและเท่ากัน เช่น 
- ดังนั้นคำตอบของสมการ (2) คือฟังก์ชัน 
และ 
- คำตอบเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจากนิพจน์สามารถมีค่าเท่ากับศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น 
และ 
- ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (2) จึงมีรูปแบบ 
.
ตัวอย่างที่ 6
- หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ 
.
สารละลาย
- สมการคุณลักษณะ 
มีรากเท่ากัน 
- ในกรณีนี้ ฟังก์ชันจะแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นตรงได้ 
และ 
- วิธีแก้ปัญหาทั่วไปมีรูปแบบ 
.
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์ของลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
และพิเศษ ด้านขวา
ผลเฉลยทั่วไปของสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้น (1) เท่ากับผลรวมของผลรวมของผลรวม 
สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันและคำตอบเฉพาะใดๆ 
สมการที่ไม่เหมือนกัน: 
.
ในบางกรณี วิธีแก้สมการอินเอกจีนัสโดยเฉพาะสามารถหาได้ง่ายๆ โดยใช้รูปทางด้านขวามือ 
สมการ (1) ลองดูกรณีที่เป็นไปได้
เหล่านั้น. ทางด้านขวาของสมการแบบไม่เอกพันธ์คือพหุนามของดีกรี ม- ถ้า 
ไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ ดังนั้นควรหาคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์ในรูปของพหุนามของดีกรี ม, เช่น.
ราคาต่อรอง 
ถูกกำหนดไว้ในกระบวนการหาแนวทางแก้ไขโดยเฉพาะ
ถ้า 
คือรากของสมการคุณลักษณะ ดังนั้นควรหาคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์ในรูปแบบ
ตัวอย่างที่ 7
- หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ 
.
สารละลาย
- สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับสมการนี้คือ 
- สมการคุณลักษณะของมัน 
มีราก 
และ 
- คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์มีรูปแบบ 
.
เพราะ 
ไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ จากนั้นเราจะหาคำตอบเฉพาะของสมการอัญชันในรูปฟังก์ชัน 
- ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้กัน 
,
และแทนที่มันลงในสมการนี้:
หรือ . ให้เราเทียบสัมประสิทธิ์สำหรับ 
และสมาชิกฟรี: 
หลังจากตัดสินใจแล้ว ระบบนี้เราได้รับ 
,
- จากนั้นคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์จะมีรูปแบบ 
และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่กำหนดจะเป็นผลรวมของคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันกับคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์: 
.
ปล่อยให้สมการไม่เอกพันธ์มีรูปแบบ
ถ้า 
ไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ ดังนั้นควรหาคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์ในรูปแบบ ถ้า 
เป็นรากของสมการพหุคูณลักษณะเฉพาะ เค
(เค=1 หรือ เค=2) ดังนั้นในกรณีนี้ วิธีแก้เฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์จะมีรูปแบบ
ตัวอย่างที่ 8
- หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ 
.
สารละลาย
- สมการลักษณะเฉพาะสำหรับสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ 
- รากของมัน 
,
- ในกรณีนี้ วิธีแก้ทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันจะถูกเขียนในรูปแบบ 
.
เนื่องจากเลข 3 ไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ จึงควรหาคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์ในรูปแบบ 
- มาหาอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่งและที่สอง:
ลองแทนสมการเชิงอนุพันธ์: 
+
+,
+,.
ให้เราเทียบสัมประสิทธิ์สำหรับ 
และสมาชิกฟรี:
จากที่นี่ 
,
- แล้วคำตอบเฉพาะของสมการนี้ก็จะมีรูปแบบ 
และวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
.
วิธีลากรองจ์ของการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ
วิธีการเปลี่ยนค่าคงที่ตามอำเภอใจสามารถนำไปใช้กับสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ โดยไม่คำนึงถึงประเภทของด้านขวามือ วิธีนี้ช่วยให้คุณหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ได้เสมอ ถ้าทราบคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน
อนุญาต 
และ 
เป็นคำตอบของสมการที่เป็นอิสระเชิงเส้น (2) แล้วคำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ 
, ที่ไหน 
และ 
- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ สาระสำคัญของวิธีการเปลี่ยนค่าคงที่ตามอำเภอใจก็คือการหาคำตอบทั่วไปของสมการ (1) ในรูปแบบ
ที่ไหน 
และ 
- ฟังก์ชั่นใหม่ที่ไม่รู้จักที่จำเป็นต้องค้นหา เนื่องจากมีฟังก์ชันที่ไม่รู้จักสองฟังก์ชัน ในการค้นหาจึงจำเป็นต้องมีสมการสองตัวที่มีฟังก์ชันเหล่านี้ สมการทั้งสองนี้ประกอบกันเป็นระบบ
ซึ่งเป็นระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเทียบกับ 
และ 
- เราพบว่าการแก้ปัญหาระบบนี้ 
และ 
- เราพบว่าเมื่อรวมทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันที่ได้รับ
และ 
.
เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้ลงใน (9) เราจะได้คำตอบทั่วไปของสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (1)
ตัวอย่างที่ 9
- หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ 
.
สารละลาย.
สมการลักษณะเฉพาะสำหรับสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดคือ 
- รากของมันมีความซับซ้อน 
,
- เพราะ 
และ 
, ที่ 
,
และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์มีรูปแบบ จากนั้นเราจะหาคำตอบทั่วไปของสมการแบบไม่เอกพันธ์นี้ในรูปแบบโดยที่ 
และ 
- ฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จัก
ระบบสมการในการค้นหาฟังก์ชันที่ไม่รู้จักเหล่านี้มีรูปแบบ
เมื่อแก้ไขระบบนี้แล้วเราจะพบ 
,
- แล้ว
,
- ให้เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสูตรสำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:
นี่คือคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ ซึ่งได้มาจากวิธีลากรองจ์
คำถามเพื่อการควบคุมความรู้ด้วยตนเอง
สมการเชิงอนุพันธ์ข้อใดเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นใดเรียกว่าเอกพันธ์และสมการไม่เอกพันธ์
สมการเอกพันธ์เชิงเส้นมีคุณสมบัติอะไรบ้าง?
สมการใดที่เรียกว่าคุณลักษณะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นและได้มาอย่างไร
วิธีแก้ทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่เขียนในกรณีของรากที่ต่างกันของสมการคุณลักษณะในรูปแบบใด
วิธีแก้ทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่เขียนในกรณีของรากที่เท่ากันของสมการคุณลักษณะในรูปแบบใด
วิธีแก้ทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่เขียนในกรณีของรากที่ซับซ้อนของสมการคุณลักษณะในรูปแบบใด
คำตอบทั่วไปของสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้นเขียนอย่างไร?
ในรูปแบบใดที่เป็นคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น ค้นหาว่ารากของสมการคุณลักษณะต่างกันและไม่เท่ากับศูนย์และด้านขวาของสมการคือพหุนามของดีกรี ม?
ในรูปแบบใดที่เป็นคำตอบเฉพาะของสมการอินเอกจีนัสเชิงเส้นที่ต้องการว่ามีศูนย์หนึ่งตัวในหมู่รากของสมการคุณลักษณะและด้านขวาของสมการคือพหุนามของดีกรี ม?
สาระสำคัญของวิธีการของลากรองจ์คืออะไร?
สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่ 2
§1. วิธีการลดลำดับของสมการ
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 2 มีรูปแบบ:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( หรือ Differential" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 2) ปัญหาคอชี่สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 2 (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.
ให้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 2 มีรูปแบบ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.
ดังนั้นสมการลำดับที่ 2 https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. ในการแก้มัน เราได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม ขึ้นอยู่กับค่าคงที่สองตัว: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">.gif" width="76" height="25 src=">.
สารละลาย.
เนื่องจากสมการดั้งเดิมไม่มีอาร์กิวเมนต์อย่างชัดเจน https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" ความสูง="38 src=">.
ตั้งแต่ที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= " >.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.
ให้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 2 มีรูปแบบ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" ความสูง="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.
ตัวอย่างที่ 2ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" ความสูง= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.
3. ลำดับของกำลังจะลดลงหากสามารถแปลงให้เป็นรูปแบบที่สมการทั้งสองข้างกลายเป็นอนุพันธ์ที่สมบูรณ์ตาม https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" ความกว้าง = "282" ความสูง = "25 src = ">, (2.1)
โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – ฟังก์ชั่นที่ระบุต่อเนื่องในช่วงเวลาที่ต้องการหาคำตอบ สมมติว่า a0(x) ≠ 0 เราจะหาร (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)
ให้เรายอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์ว่า (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height = "25 src="> จากนั้นสมการ (2.2) จะเรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน และสมการ (2.2) จะเรียกว่าไม่มีลักษณะเป็นเนื้อเดียวกัน
ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของคำตอบของโหนดลำดับที่ 2
คำนิยาม.การรวมฟังก์ชันเชิงเส้น https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)
จากนั้นการรวมกันเชิงเส้นของพวกเขา https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> ใน (2.3) และแสดงว่าผลลัพธ์คือตัวตน:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.
เนื่องจากฟังก์ชัน https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> เป็นวิธีแก้สมการ (2.3) ดังนั้นแต่ละวงเล็บใน สมการสุดท้ายเหมือนกันคือศูนย์ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์
ข้อพิสูจน์ 1.ตามมาจากทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้วที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> - วิธีแก้สมการ (2. .gif" width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> เรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นในบางช่วงเวลา หากไม่มีฟังก์ชันใดที่สามารถแสดงเป็นเชิงเส้นได้ การรวมกันของสิ่งอื่นทั้งหมด
ในกรณีของสองฟังก์ชัน https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, i.e..gif" width="77" height ="47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski สำหรับฟังก์ชันอิสระเชิงเส้นสองตัวไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้
ให้ https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> เป็นไปตามสมการ (2..gif" width="42" height="25 src = "> – วิธีแก้สมการ (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> ดังนั้น จึงได้รับข้อมูลประจำตัว
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src="> ซึ่งเป็นตัวกำหนดสำหรับการแก้สมการอิสระเชิงเส้นของสมการ (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> ปัจจัยทั้งสองทางด้านขวาของสูตร (3.2) ไม่ใช่ศูนย์
§4 โครงสร้างของวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของโหนดลำดับที่ 2
ทฤษฎีบท.หาก https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> เป็นคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการ (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">เป็นคำตอบของสมการ (2.3) ตามมาจากทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของคำตอบของโหนดลำดับที่ 2.. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">
ค่าคงที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> จากระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นนี้ถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของ ระบบนี้คือ https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src="> ตามย่อหน้าก่อนหน้า ผลเฉลยทั่วไปของ Lod ลำดับที่ 2 จะกำหนดได้อย่างง่ายดายหากทราบผลเฉลยบางส่วนที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการนี้ วิธีการง่ายๆ สำหรับการค้นหาคำตอบบางส่วนของสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ที่แนะนำโดย L. Euler..gif" width="25" height="26 src="> เราจะได้ สมการพีชคณิตซึ่งเรียกว่าคุณลักษณะ:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> จะเป็นคำตอบของสมการ (5.1) สำหรับค่า k เหล่านั้นเท่านั้น ที่เป็นรากของสมการคุณลักษณะ (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> และวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src="> ลองตรวจสอบว่าฟังก์ชันนี้เป็นไปตามสมการ (5.1)..gif" width="190" height="26 src="> โดยแทนที่นิพจน์เหล่านี้ เข้าไปในสมการ (5.1) เราได้
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, เพราะ..gif" width="137" height="26 src= ">.
โซลูชันเฉพาะ https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> มีความเป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจาก..gif" width="166" height ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" ความสูง = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.
วงเล็บทั้งสองทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้จะเท่ากันกับ zero..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> คือ การแก้สมการ (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> จะมีลักษณะดังนี้:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
แสดงเป็นผลรวมของโซลูชันทั่วไป https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)
และวิธีแก้ปัญหาเฉพาะใด ๆ https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> จะเป็นคำตอบของสมการ (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x) ความเท่าเทียมกันนี้เป็นเอกลักษณ์ เพราะว่า..gif" width="128" height="25 src="> f(x) ดังนั้น.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> เป็นคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการนี้ ดังนั้น:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src="> และปัจจัยดังกล่าว ตามที่เราเห็นข้างต้น ไม่ใช่ศูนย์..gif" width="19" height="25 src="> จากระบบ ของสมการ (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> จะแก้สมการ
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> ลงในสมการ (6.5) เราได้
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)
โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> สมการ (7.1) ในกรณีที่อยู่ทางขวามือ f(x ) มีรูปแบบพิเศษ วิธีนี้เรียกว่าวิธีการสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนและประกอบด้วยการเลือกวิธีแก้ปัญหาเฉพาะขึ้นอยู่กับประเภทของด้านขวามือของรูปแบบต่อไปนี้:
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> สามารถเป็นศูนย์ได้ ให้เราระบุแบบฟอร์มที่ต้องดำเนินการแก้ไขปัญหาเฉพาะในกรณีนี้
ก) ถ้าเป็นตัวเลข https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.
สารละลาย.
สำหรับสมการ https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= ">
เราลดทั้งสองส่วนเป็นhttps://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> ทางด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกัน
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">
จากระบบสมการผลลัพธ์ เราพบ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> และคำตอบทั่วไปของค่าที่กำหนด สมการคือ:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.
สารละลาย.
สมการคุณลักษณะที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src="> สุดท้าย เรามีนิพจน์ต่อไปนี้สำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> ยอดเยี่ยม จากศูนย์ ให้เราระบุประเภทของวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในกรณีนี้
ก) หากตัวเลข https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,
โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> เป็นรากของสมการคุณลักษณะสำหรับสมการ (5..gif" ความกว้าง = "229 " ความสูง = "25 src = ">,
โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.
สารละลาย.
รากของสมการคุณลักษณะสำหรับสมการ https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height="25 src=">.gif" width="203" height ="25 src=">.
ด้านขวาสมการที่ระบุในตัวอย่างที่ 3 มีรูปแบบพิเศษ: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src=">.gif " width ="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.
เพื่อกำหนด https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > และแทนที่มันลงในสมการที่กำหนด:
อ้างอิงคำที่คล้ายกันโดยเทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height = "25 src=">.
คำตอบทั่วไปขั้นสุดท้ายของสมการที่กำหนดมีรูปแบบ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width= "47" height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> ตามลำดับ และหนึ่งในพหุนามเหล่านี้อาจเท่ากับศูนย์ ให้เราระบุประเภทของวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในสิ่งนี้ กรณีทั่วไป
ก) ถ้าเป็นตัวเลข https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)
โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.
b) หากตัวเลข https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src="> ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับ lndu จะมีลักษณะดังนี้:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. ในนิพจน์ (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.
ตัวอย่างที่ 4ระบุประเภทของคำตอบเฉพาะสำหรับสมการ
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับ Lodu มีรูปแบบดังนี้:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.
ค่าสัมประสิทธิ์เพิ่มเติม https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > มีวิธีแก้เฉพาะสำหรับสมการที่มีด้านขวา f1(x) และการเปลี่ยนแปลง" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">การเปลี่ยนแปลงของค่าคงที่ตามอำเภอใจ (วิธีลากรองจ์)
การหาคำตอบเฉพาะของสมการโดยตรง ยกเว้นในกรณีของสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่และมีเงื่อนไขอิสระพิเศษนั้นเป็นเรื่องยากมาก ดังนั้นในการค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการ มักจะใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ ซึ่งทำให้สามารถค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอหากทราบ ระบบพื้นฐานคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน วิธีการนี้มีดังนี้
จากที่กล่าวไว้ข้างต้น วิธีแก้ทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นคือ:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – ไม่ใช่ค่าคงที่ แต่มีฟังก์ชันบางอย่างของ f(x) ที่ยังไม่ทราบแน่ชัด - จะต้องนำมาจากช่วงเวลา ในความเป็นจริง ในกรณีนี้ ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski ไม่ใช่ศูนย์ในทุกจุดของช่วงเวลา นั่นคือ ทั่วทั้งสเปซ - รากที่ซับซ้อนของสมการลักษณะเฉพาะ..gif" width="20" height="25 src="> คำตอบบางส่วนอิสระเชิงเส้นของแบบฟอร์ม:
ในสูตรการแก้ปัญหาทั่วไป รากนี้สอดคล้องกับนิพจน์ของแบบฟอร์ม
พื้นฐานของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้น (LNDE-2) พร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่ (PC)
LDDE ลำดับที่ 2 ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ $p$ และ $q$ มีรูปแบบ $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ โดยที่ $f\left(x \right)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
สำหรับ LNDU 2 กับพีซี ข้อความสองข้อความต่อไปนี้เป็นจริง
สมมติว่าฟังก์ชันบางฟังก์ชัน $U$ เป็นคำตอบบางส่วนตามอำเภอใจของสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ให้เราสมมติด้วยว่าฟังก์ชันบางฟังก์ชัน $Y$ เป็นคำตอบทั่วไป (GS) ของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่สอดคล้องกัน (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ จากนั้น GS ของ LHDE-2 เท่ากับผลรวมของไพรเวทที่ระบุและ โซลูชั่นทั่วไปนั่นคือ $y=U+Y$
หากทางด้านขวามือของลำดับที่ 2 LMDE คือผลรวมของฟังก์ชัน นั่นคือ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$ จากนั้นก่อนอื่นเราจะหา PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ ที่สอดคล้อง ให้กับแต่ละฟังก์ชัน $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ และหลังจากนั้น เขียน CR LNDU-2 ในรูปแบบ $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $
โซลูชัน LPDE ลำดับที่ 2 พร้อมพีซี
เห็นได้ชัดว่าประเภทของ PD $U$ หนึ่งของ LNDU-2 ที่กำหนดให้นั้นขึ้นอยู่กับรูปแบบเฉพาะของด้านขวามือ $f\left(x\right)$ กรณีที่ง่ายที่สุดในการค้นหา PD LNDU-2 ได้รับการกำหนดในรูปแบบของกฎสี่ข้อต่อไปนี้
กฎ #1.
ด้านขวาของ LNDU-2 มีรูปแบบ $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ โดยที่ $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $ นั่นคือ มันถูกเรียกว่า พหุนามของดีกรี $n$ จากนั้นหา PD $U$ ของมันในรูปแบบ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ โดยที่ $Q_(n) \left(x\right)$ เป็นอีกรูปแบบหนึ่ง พหุนามที่มีดีกรีเดียวกันกับ $P_(n) \left(x\right)$ และ $r$ คือจำนวนรากของสมการคุณลักษณะของ LODE-2 ที่สอดคล้องกันซึ่งเท่ากับศูนย์ ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม $Q_(n) \left(x\right)$ พบได้โดยวิธีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน (UK)
กฎข้อที่ 2
ด้านขวาของ LNDU-2 มีรูปแบบ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ โดยที่ $P_(n) \left( x\right)$ เป็นพหุนามของดีกรี $n$ จากนั้นหา PD $U$ ของมันในรูปแบบ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ โดยที่ $Q_(n ) \ left(x\right)$ เป็นพหุนามอีกตัวหนึ่งที่มีดีกรีเดียวกันกับ $P_(n) \left(x\right)$ และ $r$ คือจำนวนรากของสมการคุณลักษณะของ LODE-2 ที่สอดคล้องกัน เท่ากับ $\alpha $ ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม $Q_(n) \left(x\right)$ หาได้จากวิธี NC
กฎข้อที่ 3
ด้านขวาของ LNDU-2 มีรูปแบบ $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $ โดยที่ $a$, $b$ และ $\beta$ เป็นตัวเลขที่รู้จัก จากนั้นหา PD $U$ ของมันในรูปแบบ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $ โดยที่ $A$ และ $B$ เป็นสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก และ $r$ คือจำนวนรากของสมการคุณลักษณะของ LODE-2 ที่สอดคล้องกัน ซึ่งเท่ากับ $i\cdot \เบต้า $ หาค่าสัมประสิทธิ์ $A$ และ $B$ โดยใช้วิธีแบบไม่ทำลาย
กฎข้อที่ 4
ด้านขวาของ LNDU-2 มีรูปแบบ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ โดยที่ $P_(n) \left(x\right)$ คือ พหุนามของดีกรี $ n$ และ $P_(m) \left(x\right)$ คือพหุนามของดีกรี $m$ จากนั้นหา PD $U$ ของมันในรูปแบบ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ โดยที่ $Q_(s) \left(x\right)$ และ $ R_(s) \left(x\right)$ เป็นพหุนามที่มีดีกรี $s$ ตัวเลข $s$ คือค่าสูงสุดของตัวเลขสองตัว $n$ และ $m$ และ $r$ คือจำนวนราก ของสมการคุณลักษณะของ LODE-2 ที่สอดคล้องกัน ซึ่งเท่ากับ $\alpha +i\cdot \beta $ ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม $Q_(s) \left(x\right)$ และ $R_(s) \left(x\right)$ หาได้จากวิธี NC
วิธี NK ประกอบด้วยการใช้กฎต่อไปนี้ ในการค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักของพหุนามซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของคำตอบบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เป็นเนื้อเดียวกัน LNDU-2 จำเป็นต้องมี:
- แทนที่ PD $U$ ที่เขียนไว้ มุมมองทั่วไปไปทางด้านซ้ายของ LNDU-2;
- ทางด้านซ้ายของ LNDU-2 ดำเนินการลดความซับซ้อนและเงื่อนไขกลุ่มด้วยพลังเดียวกัน $x$;
- ในเอกลักษณ์ผลลัพธ์ ให้นำค่าสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีกำลังเท่ากัน $x$ ของด้านซ้ายและด้านขวา
- แก้ระบบผลลัพธ์ สมการเชิงเส้นสัมพันธ์กับสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก
ตัวอย่างที่ 1
ภารกิจ: ค้นหา OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ค้นหา PD ด้วย เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น $y=6$ สำหรับ $x=0$ และ $y"=1$ สำหรับ $x=0$
เราเขียน LOD-2 ที่สอดคล้องกัน: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$
สมการคุณลักษณะ: $k^(2) -3\cdot k-18=0$ รากของสมการคุณลักษณะ: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$ รากเหล่านี้ถูกต้องและแตกต่าง ดังนั้น OR ของ LODE-2 ที่สอดคล้องกันจึงมีรูปแบบ: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $
ทางด้านขวาของ LNDU-2 มีรูปแบบ $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ จำเป็นต้องพิจารณาสัมประสิทธิ์ของเลขชี้กำลัง $\alpha =3$ สัมประสิทธิ์นี้ไม่ตรงกับรากใดๆ ของสมการคุณลักษณะ ดังนั้น PD ของ LNDU-2 นี้จึงมีรูปแบบ $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $
เราจะค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ $A$, $B$ โดยใช้วิธี NC
เราพบอนุพันธ์อันดับหนึ่งของสาธารณรัฐเช็ก:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( อี^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
เราพบอนุพันธ์อันดับสองของสาธารณรัฐเช็ก:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
เราแทนที่ฟังก์ชัน $U""$, $U"$ และ $U$ แทน $y""$, $y"$ และ $y$ ลงใน NLDE-2 $y""-3\cdot y" ที่กำหนด -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ นอกจากนี้ เนื่องจากเลขชี้กำลัง $e^(3\cdot x) $ รวมอยู่ด้วยเป็นตัวประกอบ ในทุกองค์ประกอบ เราก็สามารถละเว้นได้
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
เราดำเนินการทางด้านซ้ายของผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
เราใช้วิธี NDT เราได้รับระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าสองตัว:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
วิธีแก้ของระบบนี้คือ: $A=-2$, $B=-1$
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ สำหรับปัญหาของเราจะเป็นดังนี้: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot อี^(3\cdot x) $
OR $y=Y+U$ สำหรับปัญหาของเรามีลักษณะดังนี้: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ซ้าย(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $
เพื่อที่จะค้นหา PD ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด เราจะหาอนุพันธ์ $y"$ ของ OP:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
เราแทนที่ $y$ และ $y"$ เงื่อนไขเริ่มต้น $y=6$ สำหรับ $x=0$ และ $y"=1$ สำหรับ $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; -
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
เราได้รับระบบสมการ:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
มาแก้กันเถอะ เราค้นหา $C_(1) $ โดยใช้สูตรของ Cramer และ $C_(2) $ เราหาได้จากสมการแรก:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ เริ่มต้น(อาร์เรย์)(ซีซี) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(อาร์เรย์)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
ดังนั้น PD ของสมการเชิงอนุพันธ์นี้มีรูปแบบ: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot อี^(3\cdot x) $
