ไม่ต้องสงสัยเลยว่าในใจของเราภาพของฟังก์ชันมีความเกี่ยวข้องกับความเท่าเทียมกันและเส้นที่เกี่ยวข้อง - กราฟของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น - การพึ่งพาฟังก์ชันซึ่งกราฟนั้นเป็นพาราโบลากำลังสองที่มีจุดยอดที่จุดเริ่มต้นและกิ่งก้านชี้ขึ้น เป็นฟังก์ชันไซน์ที่รู้จักในเรื่องคลื่น

ในตัวอย่างเหล่านี้ ด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันคือ y และด้านขวาคือนิพจน์ที่ขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์ x กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราได้แก้สมการสำหรับ y แล้ว เป็นตัวแทนของการพึ่งพาการทำงานในรูปแบบของการแสดงออกดังกล่าวเรียกว่า โดยระบุฟังก์ชันไว้อย่างชัดเจน(หรือ ทำหน้าที่อย่างชัดเจน- และการกำหนดฟังก์ชันประเภทนี้เป็นสิ่งที่เราคุ้นเคยมากที่สุด ในตัวอย่างและปัญหาส่วนใหญ่ เราจะนำเสนอด้วยฟังก์ชันที่ชัดเจน เราได้พูดคุยในรายละเอียดเกี่ยวกับความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งที่ระบุไว้อย่างชัดเจนแล้ว

อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันแสดงถึงความสอดคล้องระหว่างชุดของค่า x และชุดของค่า y และการติดต่อกันนี้ไม่จำเป็นต้องสร้างขึ้นโดยสูตรหรือนิพจน์เชิงวิเคราะห์ใด ๆ นั่นคือมีหลายวิธีในการระบุฟังก์ชันนอกเหนือจากฟังก์ชันปกติ

ในบทความนี้เราจะดูที่ ฟังก์ชันและวิธีการหาอนุพันธ์โดยนัย- ตัวอย่างของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย ได้แก่ หรือ

ดังที่คุณสังเกตเห็น ฟังก์ชันโดยนัยถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ แต่ความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y ไม่ใช่ทั้งหมดที่จะกำหนดฟังก์ชันได้ ตัวอย่างเช่น ไม่มีคู่ของจำนวนจริง x และ y ที่ตรงกับความเท่าเทียมกัน ดังนั้น ความสัมพันธ์นี้จึงไม่ได้กำหนดฟังก์ชันโดยนัย

มันสามารถกำหนดกฎของการโต้ตอบระหว่างปริมาณ x และ y โดยปริยายและแต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์ x สามารถสอดคล้องกับค่าใดค่าหนึ่ง (ในกรณีนี้เรามีฟังก์ชันค่าเดียว) หรือค่าหลายค่าของฟังก์ชัน (ในกรณีนี้ ฟังก์ชันนี้เรียกว่าหลายค่า) ตัวอย่างเช่น ค่า x = 1 สอดคล้องกับค่าจริงสองค่า y = 2 และ y = -2 โดยปริยาย ฟังก์ชันที่กำหนด.

การนำฟังก์ชันโดยนัยมาเป็นรูปแบบที่ชัดเจนนั้นเป็นไปไม่ได้เสมอไป ไม่เช่นนั้นก็ไม่จำเป็นต้องแยกความแตกต่างของฟังก์ชันโดยนัยด้วยตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น, - ไม่ได้แปลงเป็นรูปแบบที่ชัดเจน แต่ - ถูกแปลง

ตอนนี้ถึงจุดแล้ว

ในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย จำเป็นต้องแยกแยะทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ x โดยพิจารณาว่า y เป็นฟังก์ชันของ x แล้วจึงแสดงออก

การสร้างความแตกต่างของนิพจน์ที่มี x และ y(x) ดำเนินการโดยใช้กฎการหาอนุพันธ์และกฎสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน เรามาดูตัวอย่างโดยละเอียดกันทันทีเพื่อไม่ให้มีคำถามเพิ่มเติม

ตัวอย่าง.

แยกแยะการแสดงออก ใน x โดยพิจารณา y เป็นฟังก์ชันของ x

สารละลาย.

เพราะ y เป็นฟังก์ชันของ x แล้วก็เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน สามารถเขียนแทนตามปกติได้เป็น f(g(x)) โดยที่ f คือฟังก์ชันลูกบาศก์ และ g(x) = y แล้วตามสูตรอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเรามี: .

เมื่อแยกแยะนิพจน์ที่สอง เราจะนำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์และดำเนินการเหมือนในกรณีก่อนหน้า (โดยที่ f คือฟังก์ชันไซน์ g(x) = y):

สำหรับนิพจน์ที่สาม เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:

เมื่อใช้กฎอย่างต่อเนื่อง เราจะแยกแยะนิพจน์สุดท้าย:

ตอนนี้คุณสามารถไปยังการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยายได้ เพราะคุณมีความรู้ทั้งหมดแล้ว

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย

สารละลาย.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยนัยจะแสดงเป็นนิพจน์ที่มี x และ y เสมอ: เพื่อให้ได้ผลลัพธ์นี้ เราจะแยกความแตกต่างของความเสมอภาคทั้งสองด้าน:

ให้เราแก้สมการผลลัพธ์ด้วยความเคารพต่ออนุพันธ์:

คำตอบ:

.

ความคิดเห็น

เพื่อรวมวัสดุ เรามาแก้อีกตัวอย่างหนึ่ง

อันดับแรก มาดูฟังก์ชันโดยนัยของตัวแปรตัวหนึ่งกันก่อน กำหนดโดยสมการ (1) ซึ่งเชื่อมโยง x แต่ละตัวจากบางขอบเขต X กับ y ที่แน่นอน จากนั้นบน X ฟังก์ชัน y=f(x) ถูกกำหนดโดยสมการนี้ พวกเขาโทรหาเธอ โดยปริยายหรือ ให้โดยปริยาย- หากสมการ (1) สามารถแก้ไขได้ด้วยความเคารพต่อ y นั่นคือ รับแบบฟอร์ม y=f(x) จากนั้นระบุฟังก์ชันโดยนัยกลายเป็น ชัดเจน.อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถแก้สมการได้เสมอไป และในกรณีนี้ก็ไม่ชัดเจนเสมอไปว่าฟังก์ชันโดยนัย y=f(x) ที่กำหนดโดยสมการ (1) มีอยู่ในบริเวณใกล้เคียงของจุด (x 0 , y 0) ).

ตัวอย่างเช่นสมการ
มันเป็นญาติที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ และไม่ชัดเจนว่ามันกำหนดฟังก์ชันโดยนัยในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด (1,0) หรือไม่ เป็นต้น โปรดทราบว่ามีสมการที่ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันใดๆ (x 2 +y 2 +1=0)

ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง:

ทฤษฎีบท"การดำรงอยู่และความแตกต่างของฟังก์ชันโดยนัย" (ไม่มีการพิสูจน์)

ให้สมการได้รับ
(1) และฟังก์ชัน
เป็นไปตามเงื่อนไข:

แล้ว:

. (2)

ในเชิงเรขาคณิต ทฤษฎีบทระบุว่าอยู่ในบริเวณใกล้เคียงของจุด
เมื่อตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท ฟังก์ชันโดยนัยที่กำหนดโดยสมการ (1) สามารถระบุได้อย่างชัดเจน y=f(x) เนื่องจาก ทุกค่า x จะมี y ที่ไม่ซ้ำกัน แม้ว่าเราจะไม่พบนิพจน์สำหรับฟังก์ชันในรูปแบบที่ชัดเจน แต่เรามั่นใจว่าในบางจุดของจุด M 0 สิ่งนี้เป็นไปได้ตามหลักการแล้ว

ลองดูตัวอย่างเดียวกัน:
- มาตรวจสอบเงื่อนไขกัน:

1)
,
- ทั้งฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันจะต่อเนื่องกันในย่านใกล้เคียงของจุด (1,0) (เป็นผลรวมและผลคูณของค่าต่อเนื่อง)

2)
.

3)
- ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันโดยนัย y = f(x) มีอยู่ในย่านใกล้เคียงของจุด (1,0) เราไม่สามารถเขียนมันลงไปได้อย่างชัดเจน แต่เรายังคงสามารถหาอนุพันธ์ของมันได้ ซึ่งจะต่อเนื่องกันด้วยซ้ำ:

ตอนนี้เรามาพิจารณากัน ฟังก์ชันโดยนัยของตัวแปรหลายตัว- ให้สมการได้รับ

. (2)

หากค่าแต่ละคู่ (x, y) จากสมการขอบเขตหนึ่ง (2) เชื่อมโยงค่าเฉพาะหนึ่งค่า z สมการนี้กล่าวเพื่อกำหนดฟังก์ชันค่าเดียวของตัวแปรสองตัวโดยปริยาย
.

ทฤษฎีบทที่สอดคล้องกันสำหรับการดำรงอยู่และการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยของตัวแปรหลายตัวก็ใช้ได้เช่นกัน

ทฤษฎีบท 2: ให้สมการได้รับ
(2) และฟังก์ชัน
ตรงตามเงื่อนไข:

ตัวอย่าง:
- สมการนี้ให้นิยาม z ว่าเป็นฟังก์ชันโดยนัยที่มีค่าสองค่าของ x และ y
- หากเราตรวจสอบเงื่อนไขของทฤษฎีบทในบริเวณใกล้กับจุดหนึ่ง เช่น (0,0,1) เราจะพบว่าเป็นไปตามเงื่อนไขทั้งหมด:

ซึ่งหมายความว่ามีฟังก์ชันค่าเดียวโดยนัยอยู่ในบริเวณใกล้เคียงของจุด (0,0,1): เราสามารถพูดได้ทันทีว่านี่คือ
กำหนดซีกโลกตอนบน

มีอนุพันธ์บางส่วนต่อเนื่องกัน
อย่างไรก็ตาม มันกลับกลายเป็นว่าเหมือนกันถ้าเราแยกความแตกต่างของฟังก์ชันโดยนัยที่แสดงออกมาอย่างชัดเจน

คำจำกัดความและทฤษฎีบทสำหรับการดำรงอยู่และการหาความแตกต่างของฟังก์ชันโดยนัยที่มีการโต้แย้งมากกว่าจะคล้ายกัน

บ่อยครั้งมากเมื่อแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติ (เช่น ในมาตรวิทยาที่สูงขึ้นหรือโฟโตแกรมเมทรีเชิงวิเคราะห์) ฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปรหลายตัวจะปรากฏขึ้น เช่น ข้อโต้แย้ง x, y, z หนึ่งฟังก์ชัน ฉ(x,y,z) ) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรใหม่ ยู วี ดับบลิว ).

สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อเคลื่อนที่จากระบบพิกัดคงที่ อ็อกซิซ เข้าสู่ระบบมือถือ โอ 0 ยูวีดับเบิลยู และกลับมา ในกรณีนี้ สิ่งสำคัญคือต้องรู้อนุพันธ์บางส่วนทั้งหมดเกี่ยวกับตัวแปร "คงที่" - "เก่า" และ "เคลื่อนไหว" - "ใหม่" เนื่องจากอนุพันธ์บางส่วนเหล่านี้มักจะแสดงลักษณะของตำแหน่งของวัตถุในระบบพิกัดเหล่านี้ และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ส่งผลต่อความสอดคล้องของภาพถ่ายทางอากาศกับวัตถุจริง ในกรณีเช่นนี้ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

นั่นคือให้ฟังก์ชันที่ซับซ้อนมา ต ตัวแปร "ใหม่" สามตัว ยู วี ดับบลิว ผ่านตัวแปร "เก่า" สามตัว x, y, z, แล้ว:

ความคิดเห็น อาจมีการเปลี่ยนแปลงจำนวนตัวแปร ตัวอย่างเช่น: ถ้า

โดยเฉพาะถ้า z = ฉ(xy), y = y(x) จากนั้นเราจะได้สูตรที่เรียกว่า "อนุพันธ์รวม":

สูตรเดียวกันสำหรับ “อนุพันธ์รวม” ในกรณีของ:

จะอยู่ในรูปแบบ:

สูตรอื่นๆ (1.27) - (1.32) ก็สามารถทำได้เช่นกัน

หมายเหตุ: สูตร "อนุพันธ์รวม" ใช้ในหลักสูตรฟิสิกส์หัวข้อ "อุทกพลศาสตร์" เมื่อได้รับระบบพื้นฐานของสมการการเคลื่อนที่ของของไหล

ตัวอย่าง 1.10. ที่ให้ไว้:

ตาม (1.31):

§7 อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายของตัวแปรหลายตัว

ดังที่ทราบกันดีว่าฟังก์ชันที่ระบุโดยนัยของตัวแปรหนึ่งตัวถูกกำหนดไว้ดังนี้: ฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ x เรียกว่าโดยปริยายหากได้รับจากสมการที่ไม่ได้รับการแก้ไขด้วยความเคารพ ย :

ตัวอย่างที่ 1.11

สมการ

ระบุสองฟังก์ชันโดยปริยาย:

และสมการ

ไม่ได้ระบุฟังก์ชันใดๆ

ทฤษฎีบท 1.2 (การดำรงอยู่ของฟังก์ชันโดยนัย)

ให้ฟังก์ชัน z =ฉ(x,y) และอนุพันธ์ย่อยของมัน ฉ" x และ ฉ" ย กำหนดและต่อเนื่องในบางพื้นที่ คุณ M0 คะแนน ม 0 (x 0 ย 0 ) - นอกจาก, ฉ(x 0 ,ย 0 )=0 และ ฉ"(x 0 ,ย 0 )≠0 จากนั้นสมการ (1.33) จะกำหนดในบริเวณใกล้เคียง คุณ M0 ฟังก์ชันโดยนัย y=y(x) ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลาหนึ่ง ดี มีศูนย์กลางที่จุดหนึ่ง x 0 , และ ใช่(x 0 )=ป 0 .

ไม่มีหลักฐาน

จากทฤษฎีบท 1.2 จะได้ตามนั้นในช่วงเวลานี้ ดี :

นั่นก็คือมีตัวตนอยู่ในนั้น

โดยหาอนุพันธ์ “ผลรวม” ตามข้อ (1.31)

นั่นคือ (1.35) ให้สูตรสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยนัยของตัวแปรตัวหนึ่ง x .

ฟังก์ชันโดยนัยของตัวแปรสองตัวขึ้นไปถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน

เช่นหากเป็นบางพื้นที่ วี ช่องว่าง อ็อกซิซ สมการต่อไปนี้ถือเป็น:

จากนั้นภายใต้เงื่อนไขบางประการของฟังก์ชัน เอฟ มันกำหนดฟังก์ชันโดยปริยาย

นอกจากนี้ เมื่อเปรียบเทียบกับ (1.35) จะพบอนุพันธ์ย่อยได้ดังนี้

ให้ระบุฟังก์ชันโดยปริยายโดยใช้สมการ
(1) .
และปล่อยให้สมการนี้มีคำตอบเฉพาะสำหรับค่าบางค่า
.
ให้ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ที่จุด และ
(2) .

จากนั้นที่ค่านี้จะมีอนุพันธ์ซึ่งกำหนดโดยสูตร:

การพิสูจน์
.
เพื่อพิสูจน์ ให้พิจารณาว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปร:
(3) :
.
ลองใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนแล้วค้นหาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ
(4) ;
.

เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ และ แล้ว

สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว

อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น
(4) .
ลองเขียนสมการ (4) ใหม่โดยใช้สัญลักษณ์ต่างๆ:
;
.
การพึ่งพาอาศัยกันถูกกำหนดโดยสมการ (1):
(1) .

เราค้นหาอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรจากด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ (4)
ตามสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน เราได้:
;
.
ตามสูตรอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:

.
ใช้สูตรผลรวมอนุพันธ์:


.

เนื่องจากอนุพันธ์ของด้านขวาของสมการ (4) เท่ากับศูนย์ ดังนั้น
(5) .
เมื่อแทนอนุพันธ์ตรงนี้ เราจะได้ค่าของอนุพันธ์อันดับสองในรูปแบบโดยปริยาย

ในทำนองเดียวกัน สมการเชิงอนุพันธ์ (5) จะได้สมการที่มีอนุพันธ์อันดับสาม:
.
แทนที่ค่าที่พบของอนุพันธ์อันดับ 1 และ 2 ที่นี่เราจะค้นหามูลค่าของอนุพันธ์อันดับ 3

การสร้างความแตกต่างอย่างต่อเนื่อง เราสามารถหาอนุพันธ์ของลำดับใดก็ได้

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายจากสมการ:
(P1) .

วิธีแก้ปัญหาตามสูตร 2

เราค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร (2):
(2) .

ลองย้ายตัวแปรทั้งหมดไปทางซ้ายเพื่อให้สมการอยู่ในรูปแบบ .
.
จากที่นี่.

เราค้นหาอนุพันธ์ด้วยความเคารพ โดยพิจารณาว่ามันคงที่
;
;
;
.

เราค้นหาอนุพันธ์โดยคำนึงถึงตัวแปร โดยพิจารณาจากค่าคงที่ของตัวแปร
;
;
;
.

ใช้สูตร (2) เราพบ:
.

เราสามารถทำให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้นได้หากเราสังเกตว่าตามสมการดั้งเดิม (ก.1) .
.
มาทดแทนกัน:
.

คูณทั้งเศษและส่วนด้วย:

วิธีแก้ปัญหาวิธีที่สอง

ลองแก้ตัวอย่างนี้ด้วยวิธีที่สอง ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรด้านซ้ายและด้านขวาของสมการดั้งเดิม (A1)
.
เราใช้:
;
.
เราใช้สูตรเศษส่วนอนุพันธ์:
.
เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
(P1) ;
;
.
มาแยกสมการดั้งเดิม (A1) กัน
;
.

เราคูณและจัดกลุ่มพจน์
.
แทนกัน (จากสมการ (A1)):
.

คูณด้วย:

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายโดยใช้สมการ: .

(A2.1)

สารละลาย
;
.
เราแยกความแตกต่างของสมการดั้งเดิมด้วยความเคารพต่อตัวแปร โดยพิจารณาว่ามันเป็นฟังก์ชันของ:
.

เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
;
.
มาแยกสมการดั้งเดิมกัน (A2.1):
.
จากสมการเดิม (A2.1) จะได้ว่า
;
มาทดแทนกัน: .
เปิดวงเล็บและจัดกลุ่มสมาชิก:
(A2.2) .

เราพบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง:
;
;
;
.
(A2.3)
.
แทนกัน (จากสมการ (A1)):

;
.
ในการค้นหาอนุพันธ์อันดับสอง เราจะแยกสมการ (A2.2)

คูณด้วย:

ให้เราแทนที่นิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (A2.3):

จากตรงนี้เราจะพบอนุพันธ์อันดับสอง
ตัวอย่างที่ 3 .

(A2.1)

ค้นหาอนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายโดยใช้สมการ:
;
;
;
;
;
;
(A3.1) ;

เราแยกความแตกต่างของสมการดั้งเดิมด้วยความเคารพต่อตัวแปร โดยสมมติว่ามันเป็นฟังก์ชันของ
;
;
;
;
;
(ก3.2) .

ขอให้เราแยกสมการ (A3.2) ด้วยความเคารพต่อตัวแปร
;
;
;
;
;
(ก3.3) .

จากสมการ (A3.2), (A3.3) และ (A3.4) เราจะหาค่าของอนุพันธ์ได้ที่
;
;
.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์

ในบทความนี้เราจะดูอีกสองเรื่อง งานทั่วไปซึ่งมักพบใน การทดสอบโดย คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น- เพื่อที่จะเชี่ยวชาญเนื้อหาได้สำเร็จ คุณจะต้องสามารถค้นหาอนุพันธ์ได้อย่างน้อยก็ในระดับกลาง คุณสามารถเรียนรู้ที่จะค้นหาอนุพันธ์ได้จริงตั้งแต่เริ่มต้นในบทเรียนพื้นฐานสองบทและ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน- หากทักษะการสร้างความแตกต่างของคุณโอเค ลุยเลย

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย

หรือเรียกสั้นๆ ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย ฟังก์ชันโดยนัยคืออะไร? ก่อนอื่น เรามาจำคำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งกันก่อน:

ฟังก์ชันตัวแปรเดี่ยวเป็นกฎเกณฑ์ที่แต่ละค่าของตัวแปรอิสระสอดคล้องกับค่าเดียวของฟังก์ชัน

ตัวแปรนี้เรียกว่า ตัวแปรอิสระหรือ การโต้แย้ง.
ตัวแปรนี้เรียกว่า ตัวแปรตามหรือ การทำงาน .

จนถึงตอนนี้เราได้ดูฟังก์ชันที่กำหนดไว้แล้ว ชัดเจนรูปร่าง. มันหมายความว่าอะไร? เรามาดำเนินการซักถามโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงกันดีกว่า

พิจารณาฟังก์ชัน

เราจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเรามี "ผู้เล่น" คนเดียวและทางขวา - แค่ "X" เท่านั้น- นั่นก็คือฟังก์ชัน อย่างชัดเจนแสดงผ่านตัวแปรอิสระ

ลองดูฟังก์ชันอื่น:

นี่คือจุดที่ตัวแปรปะปนกัน นอกจากนี้ เป็นไปไม่ได้ไม่ว่าด้วยวิธีใดก็ตามแสดง "Y" ผ่าน "X" เท่านั้น วิธีการเหล่านี้มีอะไรบ้าง? การโอนคำศัพท์จากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมาย การย้ายออกจากวงเล็บ การโยนตัวประกอบตามกฎสัดส่วน ฯลฯ เขียนความเท่าเทียมกันใหม่และพยายามแสดงตัว "y" อย่างชัดเจน: . คุณสามารถบิดและหมุนสมการได้หลายชั่วโมง แต่คุณจะไม่สำเร็จ

ให้ฉันแนะนำคุณ: – ตัวอย่าง ฟังก์ชันโดยนัย.

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ก็ได้รับการพิสูจน์ว่าฟังก์ชันโดยนัย มีอยู่จริง(แต่ก็ไม่เสมอไป) มันมีกราฟ (เหมือนกับฟังก์ชัน “ปกติ”) ฟังก์ชันโดยนัยเหมือนกันทุกประการ มีอยู่จริงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง, อนุพันธ์อันดับสอง, ฯลฯ อย่างที่พวกเขาพูด เคารพสิทธิทั้งหมดของชนกลุ่มน้อยทางเพศ

และในบทนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย มันไม่ยากขนาดนั้น! กฎการสร้างความแตกต่างทั้งหมดและตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานยังคงมีผลใช้บังคับ ความแตกต่างอยู่ในช่วงเวลาที่แปลกประหลาดซึ่งเราจะมาดูกันในตอนนี้

ใช่แล้วฉันจะแจ้งข่าวดีให้คุณทราบ - งานที่กล่าวถึงด้านล่างนี้ดำเนินการตามอัลกอริธึมที่ค่อนข้างเข้มงวดและชัดเจนโดยไม่ต้องใช้หินอยู่หน้าสามแทร็ก

ตัวอย่างที่ 1

1) ในระยะแรกเราแนบลายเส้นทั้งสองส่วน:

2) เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้นของอนุพันธ์ (กฎสองข้อแรกของบทเรียน จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร? ตัวอย่างการแก้ปัญหา):

3) การสร้างความแตกต่างโดยตรง
วิธีแยกความแตกต่างมีความชัดเจนอย่างสมบูรณ์ จะทำอย่างไรเมื่อมี "เกม" อยู่ภายใต้จังหวะ?

- ถึงขั้นอัปยศอดสู อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับอนุพันธ์ของมัน: .

วิธีแยกแยะ
ที่นี่เรามี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน- ทำไม ดูเหมือนว่าใต้ไซน์จะมีตัวอักษร "Y" เพียงตัวเดียว แต่ความจริงก็คือมีตัวอักษร "y" เพียงตัวเดียว - ตัวเองเป็นหน้าที่(ดูคำจำกัดความตอนต้นบทเรียน) ดังนั้นไซน์จึงเป็นฟังก์ชันภายนอกและเป็นฟังก์ชันภายใน เราใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน :

เราสร้างความแตกต่างให้กับผลิตภัณฑ์ตามกฎปกติ :

โปรดทราบว่า – ก็เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนเช่นกัน “เกมที่มีเสียงระฆังและนกหวีด” ใด ๆ ที่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

วิธีแก้ปัญหาควรมีลักษณะดังนี้:


หากมีวงเล็บให้ขยายออก:

4) ทางด้านซ้ายเรารวบรวมคำศัพท์ที่มี "Y" พร้อมด้วยจำนวนเฉพาะ ใน ด้านขวา– โอนอย่างอื่นทั้งหมด:

5) ทางด้านซ้ายเราจะนำอนุพันธ์ออกจากวงเล็บ:

6) และตามกฎของสัดส่วน เราใส่วงเล็บเหล่านี้ลงในตัวส่วนของด้านขวา:

พบอนุพันธ์แล้ว พร้อม.

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าฟังก์ชันใดๆ ก็ตามสามารถเขียนใหม่โดยปริยายได้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: - และแยกความแตกต่างโดยใช้อัลกอริธึมที่เพิ่งกล่าวถึง ในความเป็นจริงวลี "ฟังก์ชันโดยนัย" และ "ฟังก์ชันโดยนัย" แตกต่างกันในความหมายที่แตกต่างกันนิดหน่อย วลี "ฟังก์ชันที่ระบุโดยนัย" เป็นคำทั่วไปและถูกต้องมากกว่า – ฟังก์ชันนี้ระบุไว้โดยปริยาย แต่ที่นี่คุณสามารถแสดง "เกม" และนำเสนอฟังก์ชันได้อย่างชัดเจน วลี “ฟังก์ชันโดยนัย” หมายถึงฟังก์ชันโดยนัย “คลาสสิก” เมื่อไม่สามารถแสดง “y” ได้

วิธีแก้ปัญหาที่สอง

ความสนใจ!คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับวิธีที่สองได้ก็ต่อเมื่อคุณรู้วิธีค้นหาอย่างมั่นใจ อนุพันธ์บางส่วน- ขอมือใหม่แคลคูลัสและมือใหม่หน่อยครับ อย่าอ่านและข้ามจุดนี้ไม่อย่างนั้นหัวคุณจะเละเทะไปหมด

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยโดยใช้วิธีที่สอง

เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย:

และพิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

จากนั้นหาอนุพันธ์ของเราได้โดยใช้สูตร
มาหาอนุพันธ์บางส่วน:

ดังนั้น:

แนวทางที่สองช่วยให้คุณสามารถทำการตรวจสอบได้ แต่ไม่แนะนำให้เขียนงานเวอร์ชันสุดท้ายเนื่องจากอนุพันธ์บางส่วนจะได้รับการเรียนรู้ในภายหลังและนักเรียนที่ศึกษาหัวข้อ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว" ยังไม่ควรรู้อนุพันธ์บางส่วน

ลองดูตัวอย่างเพิ่มเติมบางส่วน

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

เพิ่มจังหวะทั้งสองส่วน:

เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้น:

การหาอนุพันธ์:

การเปิดวงเล็บทั้งหมด:

เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย ส่วนที่เหลือไปทางขวา:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

วิธีแก้ปัญหาแบบเต็มและการออกแบบตัวอย่างในตอนท้ายของบทเรียน

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่เศษส่วนจะเกิดขึ้นหลังจากการหาอนุพันธ์ ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องกำจัดเศษส่วนออก ลองดูอีกสองตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

เราใส่ทั้งสองส่วนไว้ใต้เส้นขีดและใช้กฎความเป็นเส้นตรง:

แยกความแตกต่างโดยใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน และกฎการแยกความแตกต่างของผลหาร :

การขยายวงเล็บ:

ตอนนี้เราต้องกำจัดเศษส่วนออก. ซึ่งสามารถทำได้ในภายหลัง แต่มีเหตุผลมากกว่าที่จะทำทันที ตัวส่วนของเศษส่วนประกอบด้วย คูณ บน . โดยรายละเอียดจะมีลักษณะดังนี้:

บางครั้งหลังจากการแยกความแตกต่าง 2-3 เศษส่วนจะปรากฏขึ้น ตัวอย่างเช่น หากเรามีเศษส่วนอีกตัวหนึ่ง ก็ต้องดำเนินการซ้ำ - คูณ แต่ละเทอมของแต่ละส่วนบน

ทางด้านซ้ายเราใส่มันออกจากวงเล็บ:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง สิ่งเดียวก็คือก่อนที่คุณจะกำจัดเศษส่วน คุณจะต้องกำจัดโครงสร้างสามชั้นของเศษส่วนเสียก่อน เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์

อย่าเครียด ทุกอย่างในย่อหน้านี้ก็ค่อนข้างง่ายเช่นกัน คุณสามารถเขียนลงไปได้ สูตรทั่วไปฟังก์ชันที่กำหนดโดยพาราเมตริก แต่เพื่อให้ชัดเจน ผมจะจดบันทึกทันที ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม- ในรูปแบบพาราเมตริก ฟังก์ชันจะได้รับจากสมการสองสมการ: บ่อยครั้งที่สมการไม่ได้เขียนอยู่ใต้วงเล็บปีกกา แต่เขียนตามลำดับ: , .

ตัวแปรนี้เรียกว่าพารามิเตอร์และสามารถนำค่าจาก “ลบอนันต์” ไปเป็น “บวกอนันต์” ได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาค่าและแทนที่ลงในสมการทั้งสอง: - หรือในแง่มนุษย์: “ถ้า x เท่ากับสี่ แล้ว y ก็เท่ากับหนึ่ง” บน ประสานงานเครื่องบินคุณสามารถทำเครื่องหมายจุดได้ และจุดนี้จะสอดคล้องกับค่าของพารามิเตอร์ ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถค้นหาจุดสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ “te” ได้ สำหรับฟังก์ชัน "ปกติ" สำหรับชาวอเมริกันอินเดียนของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพาราเมตริก สิทธิ์ทั้งหมดก็ได้รับการเคารพเช่นกัน: คุณสามารถสร้างกราฟ ค้นหาอนุพันธ์ ฯลฯ อย่างไรก็ตาม หากคุณต้องการพล็อตกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์ คุณสามารถใช้โปรแกรมของฉันได้

ในกรณีที่ง่ายที่สุด เป็นไปได้ที่จะแสดงฟังก์ชันอย่างชัดเจน ให้เราแสดงพารามิเตอร์จากสมการแรก: – และแทนลงในสมการที่สอง: - ผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันลูกบาศก์ปกติ

ในกรณีที่ "รุนแรง" มากขึ้น เคล็ดลับนี้ใช้ไม่ได้ผล แต่มันไม่สำคัญเพราะมีสูตรสำหรับค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพาราเมตริก:

เราพบอนุพันธ์ของ "เกมที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร te":

กฎการสร้างความแตกต่างทั้งหมดและตารางอนุพันธ์นั้นใช้ได้สำหรับตัวอักษร ดังนั้น ไม่มีความแปลกใหม่ในกระบวนการค้นหาอนุพันธ์- เพียงแทนที่ "X's" ทั้งหมดในตารางด้วยตัวอักษร "Te"

เราค้นหาอนุพันธ์ของ “x เทียบกับตัวแปร te”:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่อนุพันธ์ที่พบลงในสูตรของเรา:

พร้อม. อนุพันธ์ก็ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เช่นเดียวกับฟังก์ชันนั่นเอง

สำหรับสัญลักษณ์ แทนที่จะเขียนลงในสูตร เราสามารถเขียนมันได้โดยไม่ต้องมีตัวห้อย เนื่องจากนี่คืออนุพันธ์ "ปกติ" "เทียบกับ X" แต่ในวรรณคดีมีตัวเลือกอยู่เสมอ ดังนั้นฉันจะไม่เบี่ยงเบนไปจากมาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 6

เราใช้สูตร

ในกรณีนี้:

ดังนั้น:

คุณลักษณะพิเศษในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพาราเมตริกก็คือข้อเท็จจริงที่ว่า ในแต่ละขั้นตอนจะเป็นประโยชน์ในการลดความซับซ้อนของผลลัพธ์ให้มากที่สุด- ดังนั้น ในตัวอย่างที่พิจารณา เมื่อฉันพบมัน ฉันจึงเปิดวงเล็บใต้รูต (แม้ว่าฉันอาจจะไม่ได้ทำเช่นนี้ก็ตาม) มีโอกาสดีที่เมื่อนำมาแทนสูตรหลายอย่างจะลดลงไปด้วยดี แม้ว่าแน่นอนว่ายังมีตัวอย่างที่มีคำตอบเงอะงะอยู่บ้าง

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุแบบพาราเมตริก

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

ในบทความ ปัญหาทั่วไปที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับอนุพันธ์เราดูตัวอย่างที่เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์ คุณยังสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้ ซึ่งพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: เห็นได้ชัดว่าในการหาอนุพันธ์อันดับสอง คุณต้องหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งก่อน

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สองของฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริก

ก่อนอื่น มาหาอนุพันธ์อันดับแรกกันก่อน
เราใช้สูตร

ในกรณีนี้:

เราแทนที่อนุพันธ์ที่พบลงในสูตร เพื่อให้เข้าใจง่าย เราใช้สูตรตรีโกณมิติ: