สูตรสมการการถดถอยเชิงเส้น มาหาพารามิเตอร์ของสมการการถดถอยเชิงเส้นและให้การตีความทางเศรษฐศาสตร์ของสัมประสิทธิ์การถดถอย

วัตถุประสงค์ของการบริการ- เมื่อใช้บริการออนไลน์คุณจะพบ:

• พารามิเตอร์สมการ การถดถอยเชิงเส้น y=a+bx , ค่าสัมประสิทธิ์เชิงเส้นความสัมพันธ์กับการทดสอบความสำคัญ
• ความใกล้ชิดของการเชื่อมต่อโดยใช้ตัวบ่งชี้สหสัมพันธ์และการกำหนด การประมาณค่า OLS ความน่าเชื่อถือคงที่ของการสร้างแบบจำลองการถดถอยโดยใช้การทดสอบ F ของฟิชเชอร์ และการทดสอบทีของนักเรียน ช่วงความมั่นใจการพยากรณ์ระดับนัยสำคัญ α

สมการการถดถอยแบบคู่หมายถึง สมการการถดถอยลำดับที่หนึ่ง- หากแบบจำลองทางเศรษฐมิติมีตัวแปรอธิบายเพียงตัวแปรเดียว จะเรียกว่าการถดถอยแบบคู่ สมการการถดถอยลำดับที่สองและ สมการการถดถอยลำดับที่สามอ้างถึงสมการการถดถอยไม่เชิงเส้น

ตัวอย่าง. เลือกตัวแปรตาม (อธิบาย) และตัวแปรอธิบายเพื่อสร้างแบบจำลองการถดถอยคู่ ให้มัน. หาสมการทางทฤษฎีสำหรับการถดถอยแบบคู่ ประเมินความเพียงพอของแบบจำลองที่สร้างขึ้น (ตีความ R-squared, t-statistics, F-statistics)
สารละลายเราจะดำเนินการบนพื้นฐาน กระบวนการสร้างแบบจำลองทางเศรษฐมิติ.
ขั้นที่ 1 (คำแถลง) – การกำหนดเป้าหมายสุดท้ายของการสร้างแบบจำลอง ชุดของปัจจัยและตัวบ่งชี้ที่เข้าร่วมในแบบจำลอง และบทบาทของพวกเขา
ข้อกำหนดแบบจำลอง - การกำหนดวัตถุประสงค์ของการศึกษาและเลือกตัวแปรทางเศรษฐกิจของแบบจำลอง
งานตามสถานการณ์ (ภาคปฏิบัติ) สำหรับองค์กร 10 แห่งในภูมิภาคนี้ จะมีการศึกษาการพึ่งพาผลผลิตต่อพนักงาน y (พันรูเบิล) ต่อส่วนแบ่งของคนงานที่มีคุณสมบัติสูงในจำนวนคนงานทั้งหมด x (เป็น%)
ขั้นที่ 2 (นิรนัย) – การวิเคราะห์ก่อนแบบจำลอง สาระสำคัญทางเศรษฐกิจปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา การก่อตัวและการจัดรูปแบบข้อมูลนิรนัยและการสันนิษฐานเบื้องต้นอย่างเป็นทางการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกี่ยวข้องกับธรรมชาติและการกำเนิดของข้อมูลทางสถิติเริ่มต้นและองค์ประกอบสุ่มที่เหลือในรูปแบบของสมมติฐานจำนวนหนึ่ง
ในขั้นตอนนี้ เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับการพึ่งพาระดับทักษะของผู้ปฏิบัติงานและผลงานของเขาได้อย่างชัดเจน เนื่องจากยิ่งผู้ปฏิบัติงานมีประสบการณ์มากขึ้น ประสิทธิภาพการทำงานก็จะสูงขึ้นตามไปด้วย แต่จะประเมินการพึ่งพาอาศัยกันนี้ได้อย่างไร?
การถดถอยคู่แสดงถึงการถดถอยระหว่างตัวแปรสองตัว - y และ x เช่น แบบจำลองของแบบฟอร์ม:

โดยที่ y คือตัวแปรตาม (แอตทริบิวต์ผลลัพธ์) x - ตัวแปรอิสระหรือแบบอธิบาย (คุณลักษณะ-ปัจจัย) เครื่องหมาย “^” หมายความว่าไม่มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่เข้มงวดระหว่างตัวแปร x และ y ดังนั้นในเกือบทุกกรณี ค่า y คือผลรวมของสองพจน์:

โดยที่ y คือค่าที่แท้จริงของแอ็ตทริบิวต์ผลลัพธ์ y x – ค่าทางทฤษฎีของคุณลักษณะผลลัพธ์ที่พบตามสมการการถดถอย ε เป็นตัวแปรสุ่มที่แสดงลักษณะความเบี่ยงเบนของค่าที่แท้จริงของคุณลักษณะที่มีประสิทธิผลจากค่าทางทฤษฎีที่พบโดยใช้สมการถดถอย
เราจะแสดงความสัมพันธ์แบบถดถอยระหว่างผลผลิตต่อคนงานและส่วนแบ่งของคนงานที่มีคุณสมบัติสูงเป็นกราฟ

ขั้นตอนที่ 3 (การกำหนดพารามิเตอร์) – การสร้างแบบจำลองจริง เช่น ทางเลือก มุมมองทั่วไปรวมถึงองค์ประกอบและรูปแบบของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น การเลือกประเภทของการพึ่งพาฟังก์ชันในสมการการถดถอยเรียกว่าการกำหนดพารามิเตอร์แบบจำลอง เลือก สมการถดถอยคู่, เช่น. ผลลัพธ์สุดท้าย y จะได้รับอิทธิพลจากปัจจัยเดียวเท่านั้น
ขั้นที่ 4 (ข้อมูล) – การรวบรวมข้อมูลทางสถิติที่จำเป็น เช่น การลงทะเบียนค่าของปัจจัยและตัวชี้วัดที่เข้าร่วมในแบบจำลอง กลุ่มตัวอย่างประกอบด้วย 10 วิสาหกิจในอุตสาหกรรม
ขั้นที่ 5 (การระบุโมเดล) – การประมาณค่าพารามิเตอร์แบบจำลองที่ไม่รู้จักโดยใช้ข้อมูลทางสถิติที่มีอยู่
เราใช้เพื่อกำหนดพารามิเตอร์ของโมเดล วิธีโอแอลเอส กำลังสองน้อยที่สุด - ระบบสมการปกติจะมีลักษณะดังนี้:
n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x 2 = ∑y x
ในการคำนวณพารามิเตอร์การถดถอย เราจะสร้างตารางการคำนวณ (ตารางที่ 1)

x	ย	x2	คุณ 2	xy
10	6	100	36	60
12	6	144	36	72
15	7	225	49	105
17	7	289	49	119
18	7	324	49	126
19	8	361	64	152
19	8	361	64	152
20	9	400	81	180
20	9	400	81	180
21	10	441	100	210
171	77	3045	609	1356

เรานำข้อมูลจากตารางที่ 1 (แถวสุดท้าย) และด้วยเหตุนี้เราจึงได้:
10a + 171 ข = 77
171 ก + 3045 ข = 1356
เราแก้ SLAE นี้โดยใช้วิธี Cramer หรือวิธีเมทริกซ์ผกผัน
เราได้รับสัมประสิทธิ์การถดถอยเชิงประจักษ์: b = 0.3251, a = 2.1414
สมการการถดถอยเชิงประจักษ์คือ:
y = 0.3251 x + 2.1414
ขั้นตอนที่ 6 (การตรวจสอบโมเดล) – การเปรียบเทียบข้อมูลจริงและข้อมูลโมเดล การตรวจสอบความเพียงพอของโมเดล การประเมินความถูกต้องของข้อมูลโมเดล
เราทำการวิเคราะห์โดยใช้

การถดถอยเชิงเส้นคู่

แบบฝึกหัด

การถดถอยเชิงเส้นคู่: การประชุมเชิงปฏิบัติการ -

การศึกษาวิชาเศรษฐมิติเกี่ยวข้องกับการที่นักเรียนได้รับประสบการณ์ในการสร้างแบบจำลองทางเศรษฐมิติ การตัดสินใจเกี่ยวกับข้อกำหนดและการระบุแบบจำลอง การเลือกวิธีการประมาณค่าพารามิเตอร์ของแบบจำลอง การประเมินคุณภาพ การตีความผลลัพธ์ การขอรับค่าประมาณการคาดการณ์ ฯลฯ การประชุมเชิงปฏิบัติการจะช่วยให้นักเรียน ได้รับทักษะการปฏิบัติในประเด็นเหล่านี้

ได้รับการอนุมัติจากกองบรรณาธิการและสำนักพิมพ์

เรียบเรียงโดย: ม.บ. Perova เศรษฐศาสตร์ดุษฎีบัณฑิต ศาสตราจารย์

บทบัญญัติทั่วไป

การวิจัยทางเศรษฐมิติเริ่มต้นด้วยทฤษฎีที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างปรากฏการณ์ จากปัจจัยทั้งหมดที่มีอิทธิพลต่อคุณลักษณะที่มีประสิทธิผล จะมีการเน้นปัจจัยที่สำคัญที่สุด หลังจากระบุความสัมพันธ์ระหว่างลักษณะที่กำลังศึกษาแล้ว ประเภทของความสัมพันธ์ที่แน่นอนจะถูกกำหนดโดยใช้ การวิเคราะห์การถดถอย.

การวิเคราะห์การถดถอยประกอบด้วยการกำหนดนิพจน์เชิงวิเคราะห์ (ในการกำหนดฟังก์ชัน) ซึ่งการเปลี่ยนแปลงในค่าหนึ่ง (คุณลักษณะผลลัพธ์) เกิดจากอิทธิพลของค่าอิสระ (คุณลักษณะแฟกทอเรียล) ความสัมพันธ์นี้สามารถหาปริมาณได้โดยการสร้างสมการถดถอยหรือฟังก์ชันการถดถอย

แบบจำลองการถดถอยพื้นฐานคือแบบจำลองการถดถอยแบบจับคู่ (ปัจจัยเดียว) การถดถอยคู่– สมการการเชื่อมต่อระหว่างตัวแปรสองตัว ที่และ เอ็กซ์:

ที่ไหน – ตัวแปรตาม (คุณลักษณะผลลัพธ์)

– ตัวแปรอิสระที่อธิบายได้ (ลักษณะแฟคทอเรียล)

ขึ้นอยู่กับลักษณะของการเปลี่ยนแปลง ที่ด้วยการเปลี่ยนแปลง เอ็กซ์แยกความแตกต่างระหว่างการถดถอยเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น

การถดถอยเชิงเส้น

ฟังก์ชันการถดถอยนี้เรียกว่าพหุนามของดีกรี 1 และใช้เพื่ออธิบายกระบวนการที่มีการพัฒนาอย่างสม่ำเสมอเมื่อเวลาผ่านไป

การมีสมาชิกแบบสุ่ม (ข้อผิดพลาดการถดถอย) มีความเกี่ยวข้องกับผลกระทบต่อตัวแปรตามของปัจจัยอื่น ๆ ที่ไม่ได้นำมาพิจารณาในสมการ กับความไม่เชิงเส้นที่เป็นไปได้ของแบบจำลอง ข้อผิดพลาดในการวัด และดังนั้นลักษณะที่ปรากฏ สมการข้อผิดพลาดแบบสุ่มการถดถอยอาจเนื่องมาจากวัตถุประสงค์ดังต่อไปนี้ เหตุผล:

1) การไม่เป็นตัวแทนของกลุ่มตัวอย่าง แบบจำลองการถดถอยแบบคู่ประกอบด้วยปัจจัยที่ไม่สามารถอธิบายความแปรผันในลักษณะผลลัพธ์ได้ครบถ้วน ซึ่งอาจได้รับอิทธิพลจากปัจจัยอื่นๆ อีกมากมาย (ละเว้นตัวแปร) ในขอบเขตที่สูงกว่ามาก ตัวอย่างเช่น ค่าจ้างอาจขึ้นอยู่กับระดับการศึกษา ประสบการณ์การทำงาน เพศ ฯลฯ นอกเหนือจากคุณสมบัติ

2) มีความเป็นไปได้ที่ตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองอาจถูกวัดโดยมีข้อผิดพลาด ตัวอย่างเช่น ข้อมูลค่าใช้จ่ายด้านอาหารในครัวเรือนรวบรวมจากบันทึกของผู้เข้าร่วมการสำรวจ ซึ่งสันนิษฐานว่าบันทึกค่าใช้จ่ายรายวันอย่างระมัดระวัง แน่นอนว่าข้อผิดพลาดก็เกิดขึ้นได้

จากการสังเกตตัวอย่าง สมการการถดถอยตัวอย่างจะถูกประมาณ ( เส้นถดถอย):

,

ที่ไหน
– การประมาณค่าพารามิเตอร์ของสมการถดถอย (
).

รูปแบบการวิเคราะห์ของการพึ่งพาระหว่างคู่คุณลักษณะที่ศึกษา (ฟังก์ชันการถดถอย) จะถูกกำหนดโดยใช้สิ่งต่อไปนี้ วิธีการ:

ขึ้นอยู่กับการวิเคราะห์ทางทฤษฎีและตรรกะธรรมชาติของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา สาระสำคัญทางเศรษฐกิจและสังคม

ตัวอย่างเช่น หากมีการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างรายได้ของครัวเรือนกับขนาดของเงินฝากในครัวเรือนในธนาคาร ก็จะเห็นได้ชัดว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นไปโดยตรงวิธีการแบบกราฟิก

เมื่อประเมินลักษณะของการเชื่อมต่อด้วยสายตา เอ็กซ์การพึ่งพานี้สามารถเห็นได้ชัดเจนหากคุณสร้างกราฟโดยพล็อตค่าของแอตทริบิวต์บนแกน x ที่และในการกำหนด - ค่าของคุณลักษณะ เอ็กซ์และ ที่- โดยการวางแผนจุดที่สอดคล้องกับค่า เราได้รับ:

สนามความสัมพันธ์

ก) หากคะแนนกระจายแบบสุ่มทั่วทั้งสนาม แสดงว่าไม่มีการพึ่งพาระหว่างคุณสมบัติเหล่านี้

b) หากจุดนั้นกระจุกตัวอยู่รอบแกนที่วิ่งจากมุมล่างซ้ายไปมุมขวาบนแสดงว่ามีความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างคุณลักษณะนั้น

c) ถ้าจุดต่างๆ อยู่รวมกันรอบแกนที่วิ่งจากมุมซ้ายบนไปทางขวาล่าง แสดงว่าคุณลักษณะดังกล่าวมีความสัมพันธ์ผกผันกัน หากเราเชื่อมโยงจุดต่างๆ บนสนามความสัมพันธ์ด้วยส่วนตรง เราจะได้เส้นขาดที่มีแนวโน้มที่จะเติบโต นี่จะเป็นสายการสื่อสารเชิงประจักษ์หรือเส้นการถดถอยเชิงประจักษ์

- จากรูปลักษณ์ภายนอกเราสามารถตัดสินได้ไม่เพียง แต่การมีอยู่เท่านั้น แต่ยังรวมถึงรูปแบบของการพึ่งพาระหว่างลักษณะที่ศึกษาด้วย

การสร้างสมการถดถอยคู่ การสร้างสมการถดถอยมาจากการประมาณค่าพารามิเตอร์ การประมาณค่าพารามิเตอร์เหล่านี้สามารถพบได้หลายวิธี หนึ่งในนั้นคือวิธีกำลังสองน้อยที่สุด (LSM) สาระสำคัญของวิธีการมีดังนี้ แต่ละค่า สอดคล้องกับค่าเชิงประจักษ์ (สังเกตได้) - โดยการสร้างสมการถดถอย เช่น สมการเส้นตรง สำหรับแต่ละค่า จะสอดคล้องกับค่าทางทฤษฎี (คำนวณ) - ค่าที่สังเกตได้ อย่าอยู่บนเส้นถดถอยอย่างแน่นอน เช่น ไม่ตรงกัน - เรียกว่าความแตกต่างระหว่างค่าจริงและค่าที่คำนวณได้ของตัวแปรตาม:

วิธีกำลังสองน้อยที่สุดทำให้สามารถรับค่าประมาณพารามิเตอร์ดังกล่าวได้ ซึ่งผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองของค่าจริงของลักษณะผลลัพธ์ ที่จากทางทฤษฎี , เช่น. ผลรวมของกำลังสองของเศษเหลือน้อยที่สุด:

สำหรับสมการเชิงเส้นและสมการไม่เชิงเส้นที่สามารถลดเป็นเชิงเส้นได้ ระบบต่อไปนี้จะได้รับการแก้ไขด้วยความเคารพ กและ ข:

ที่ไหน n– ขนาดตัวอย่าง

เมื่อแก้ระบบสมการแล้ว เราก็จะได้ค่าต่างๆ กและ ขซึ่งทำให้เราสามารถเขียนได้ สมการถดถอย(สมการถดถอย):

ที่ไหน – ตัวแปรอธิบาย (อิสระ)

–ตัวแปรอธิบาย (ขึ้นอยู่กับ)

เส้นถดถอยผ่านจุด ( ,) และมีความเท่าเทียมกัน:

คุณสามารถใช้สูตรสำเร็จรูปที่ตามมาจากระบบสมการนี้:

ที่ไหน – ค่าเฉลี่ยของลักษณะเฉพาะ

– ค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะอิสระ

– ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลิตภัณฑ์ที่มีลักษณะเฉพาะและเป็นอิสระ

– ความแปรปรวนของคุณลักษณะอิสระ

– ความแปรปรวนร่วมระหว่างคุณลักษณะขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระ

ความแปรปรวนร่วมตัวอย่างสองตัวแปร เอ็กซ์, ที่คือค่าเฉลี่ยผลคูณของการเบี่ยงเบนของตัวแปรเหล่านี้จากค่าเฉลี่ย

พารามิเตอร์ ขที่ เอ็กซ์มีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมาก และเรียกว่าสัมประสิทธิ์การถดถอย สัมประสิทธิ์การถดถอยแสดงจำนวนหน่วยที่ค่าเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ย ที่ เอ็กซ์ต่อ 1 หน่วยของการวัด

เครื่องหมายพารามิเตอร์ ขในสมการการถดถอยแบบคู่บ่งชี้ทิศทางของความสัมพันธ์:

ถ้า
จากนั้นความสัมพันธ์ระหว่างตัวชี้วัดที่ศึกษาจะเป็นทางตรงเช่น โดยมีเครื่องหมายปัจจัยเพิ่มขึ้น เอ็กซ์สัญญาณที่มีประสิทธิภาพก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน ที่และในทางกลับกัน;

ถ้า
จากนั้นความสัมพันธ์ระหว่างตัวบ่งชี้ที่ศึกษาจะกลับกันนั่นคือ โดยมีเครื่องหมายปัจจัยเพิ่มขึ้น เอ็กซ์เครื่องหมายผลลัพธ์ ที่ลดลง และในทางกลับกัน

ค่าพารามิเตอร์ กในสมการการถดถอยคู่ในบางกรณีสามารถตีความได้ว่าเป็นค่าเริ่มต้นของคุณลักษณะผลลัพธ์ ที่- การตีความพารามิเตอร์นี้ กเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อมีค่า
สมเหตุสมผล

หลังจากสร้างสมการถดถอยแล้วจะได้ค่าที่สังเกตได้ ยสามารถแสดงเป็น:

ของเหลือ เหมือนความผิดพลาด , เป็น ตัวแปรสุ่มอย่างไรก็ตาม ไม่เหมือนข้อผิดพลาด , สังเกตได้. ส่วนที่เหลือคือส่วนหนึ่งของตัวแปรตาม ยซึ่งไม่สามารถอธิบายได้โดยใช้สมการถดถอย

โดยอาศัยสมการถดถอยสามารถคำนวณได้ ค่าทางทฤษฎี เอ็กซ์สำหรับค่าใดๆ เอ็กซ์.

ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์ มักใช้แนวคิดเรื่องความยืดหยุ่นของฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นความยืดหยุ่น
คำนวณเป็นการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ ยการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ x- ความยืดหยุ่นจะแสดงตามเปอร์เซ็นต์ที่ฟังก์ชันเปลี่ยนแปลง
เมื่อตัวแปรอิสระเปลี่ยนแปลงไป 1%

เนื่องจากความยืดหยุ่นของฟังก์ชันเชิงเส้น
ไม่ใช่ค่าคงที่แต่ขึ้นอยู่กับ เอ็กซ์จากนั้นค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นมักจะคำนวณเป็นความยืดหยุ่นโดยเฉลี่ย

ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นแสดงโดยเปอร์เซ็นต์โดยเฉลี่ยมูลค่าของลักษณะผลลัพธ์ที่จะเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ย ที่เมื่อลักษณะปัจจัยเปลี่ยนแปลงไป เอ็กซ์ 1% ของมูลค่าเฉลี่ย:

ที่ไหน
– ค่าเฉลี่ยของตัวแปร เอ็กซ์และ ที่ในตัวอย่าง

การประเมินคุณภาพของแบบจำลองการถดถอยที่สร้างขึ้น

คุณภาพของโมเดลการถดถอย– ความเพียงพอของแบบจำลองที่สร้างขึ้นต่อข้อมูลต้นฉบับ (สังเกตได้)

เพื่อวัดความแน่นของการเชื่อมต่อ เช่น ในการวัดว่าค่าความใกล้เคียงกับฟังก์ชันนั้นอยู่ใกล้แค่ไหน คุณจะต้องพิจารณาความแปรปรวนซึ่งจะวัดค่าความเบี่ยงเบน ที่จาก ที่ เอ็กซ์และแสดงลักษณะความแปรผันของสารตกค้างเนื่องจากปัจจัยอื่นๆ เป็นพื้นฐานของตัวบ่งชี้ที่แสดงลักษณะของแบบจำลองการถดถอย

คุณภาพของการถดถอยแบบคู่ถูกกำหนดโดยใช้การกำหนดลักษณะสัมประสิทธิ์

1) ความใกล้ชิดของการเชื่อมต่อ - ดัชนีสหสัมพันธ์, ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เชิงเส้นคู่;

2) ข้อผิดพลาดในการประมาณ;

3) คุณภาพของสมการการถดถอยและพารามิเตอร์แต่ละตัว - ค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยของสมการการถดถอยโดยรวมและพารามิเตอร์แต่ละตัว

สำหรับสมการการถดถอยประเภทใดก็ตาม จะมีการกำหนดไว้ ดัชนีความสัมพันธ์ซึ่งแสดงเฉพาะความรัดกุมของการพึ่งพาสหสัมพันธ์เท่านั้นเช่น ระดับของการประมาณการเชื่อมต่อการทำงาน:

,

ที่ไหน – การกระจายตัวแบบแฟคทอเรียล (เชิงทฤษฎี)

– ความแปรปรวนทั้งหมด

ดัชนีความสัมพันธ์ใช้ค่า
ในเวลาเดียวกัน

ถ้า

ถ้า
- การเชื่อมต่อระหว่างป้ายต่างๆ เอ็กซ์และ ที่ใช้งานได้ดียิ่งขึ้น ถึง 1 ยิ่งพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะที่ศึกษามากขึ้นเท่านั้น ถ้า
จากนั้นถือว่าการเชื่อมต่อปิด

ความแปรปรวนที่จำเป็นในการคำนวณตัวบ่งชี้ความหนาแน่นของข้อต่อถูกคำนวณ:

ผลต่างรวมการวัดความแปรผันรวมเนื่องจากการกระทำของปัจจัยทั้งหมด:

ความแปรปรวนของปัจจัย (ทางทฤษฎี)การวัดความแปรผันของลักษณะผลลัพธ์ ที่เนื่องจากการกระทำของเครื่องหมายปัจจัย เอ็กซ์:

ผลต่างที่เหลือบ่งบอกถึงความแปรผันของลักษณะ ที่เนื่องจากปัจจัยทั้งหมดยกเว้น เอ็กซ์(เช่น ด้วยการยกเว้น เอ็กซ์):

จากนั้นตามกฎของการบวกผลต่าง:

คุณภาพของห้องอบไอน้ำ เชิงเส้นการถดถอยยังสามารถกำหนดได้โดยใช้ ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เชิงเส้นคู่:

,

ที่ไหน
– ความแปรปรวนร่วมของตัวแปร เอ็กซ์และ ที่;

– ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคุณลักษณะอิสระ

– ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของลักษณะเฉพาะ

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เชิงเส้นแสดงถึงความใกล้ชิดและทิศทางของความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะที่กำลังศึกษา มีการวัดภายใน [-1; +1]:

ถ้า
– จากนั้นความเชื่อมโยงระหว่างคุณลักษณะจะเป็นทางตรง

ถ้า
– จากนั้นความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณจะกลับกัน

ถ้า
– ดังนั้นจึงไม่มีความเชื่อมโยงระหว่างคุณลักษณะ

ถ้า
หรือ
– จากนั้นการเชื่อมต่อระหว่างคุณลักษณะต่างๆ จะทำงานได้ เช่น โดดเด่นด้วยการติดต่อสื่อสารที่สมบูรณ์ระหว่าง เอ็กซ์และ ที่- ยิ่งใกล้. ถึง 1 ยิ่งพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะที่ศึกษามากขึ้นเท่านั้น

หากดัชนีสหสัมพันธ์ (สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เชิงเส้นคู่) ถูกยกกำลังสอง เราจะได้ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด

ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ– แสดงถึงส่วนแบ่งของความแปรปรวนของปัจจัยในผลรวม และแสดงด้วยเปอร์เซ็นต์ของการแปรผันของคุณลักษณะผลลัพธ์ ที่อธิบายโดยการแปรผันของคุณลักษณะของปัจจัย เอ็กซ์:

มันไม่ได้แสดงลักษณะเฉพาะของรูปแบบทั้งหมด ที่จากเครื่องหมายปัจจัย เอ็กซ์แต่เฉพาะส่วนที่สอดคล้องกับสมการการถดถอยเชิงเส้นเท่านั้น กล่าวคือ การแสดง ความถ่วงจำเพาะการแปรผันของคุณลักษณะผลลัพธ์ สัมพันธ์เชิงเส้นตรงกับการแปรผันของคุณลักษณะปัจจัย

ขนาด
– สัดส่วนของการแปรผันในลักษณะผลลัพธ์ที่แบบจำลองการถดถอยไม่สามารถนำมาพิจารณาได้

การกระจายตัวของจุดในฟิลด์สหสัมพันธ์อาจมีขนาดใหญ่มากและสมการการถดถอยที่คำนวณได้อาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดอย่างมากในการประมาณค่าตัวบ่งชี้ที่วิเคราะห์

ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเฉลี่ยแสดงความเบี่ยงเบนเฉลี่ยของค่าที่คำนวณได้จากค่าจริง:

ค่าสูงสุดที่อนุญาตคือ 12–15%

ข้อผิดพลาดมาตรฐานคือการวัดการแพร่กระจายของตัวแปรตามรอบเส้นการถดถอย จะมีการคำนวณสำหรับชุดค่าที่สังเกตได้ทั้งหมด มาตรฐาน (rms) ข้อผิดพลาดสมการถดถอยซึ่งเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าจริง ที่สัมพันธ์กับค่าทางทฤษฎีที่คำนวณโดยใช้สมการถดถอย ที่ เอ็กซ์ .

,

ที่ไหน
– จำนวนระดับความเป็นอิสระ

ม– จำนวนพารามิเตอร์ของสมการถดถอย (สำหรับสมการเส้นตรง ม=2).

ประมาณการค่าเฉลี่ย ข้อผิดพลาดกำลังสองคุณสามารถเปรียบเทียบมันได้

ก) ด้วยค่าเฉลี่ยของลักษณะผลลัพธ์ ที่;

b) มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของคุณลักษณะ ที่:

ถ้า
ดังนั้นการใช้สมการถดถอยนี้มีความเหมาะสม

ประเมินแยกกัน มาตรฐาน ข้อผิดพลาด (ค่าเฉลี่ยกำลังสอง) ของพารามิเตอร์สมการและดัชนีสหสัมพันธ์:

;
;
.

 เอ็กซ์– ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เอ็กซ์.

การตรวจสอบความสำคัญของสมการถดถอยและตัวบ่งชี้ความแน่นของการเชื่อมต่อ

เพื่อให้แบบจำลองที่สร้างขึ้นนำไปใช้ในการคำนวณทางเศรษฐกิจต่อไป การตรวจสอบคุณภาพของแบบจำลองที่สร้างขึ้นนั้นยังไม่เพียงพอ นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องตรวจสอบนัยสำคัญ (นัยสำคัญ) ของการประมาณสมการการถดถอยที่ได้รับโดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุดและตัวบ่งชี้ความแข็งแกร่งของความสัมพันธ์ เช่น จำเป็นต้องตรวจสอบความสอดคล้องกับพารามิเตอร์ที่แท้จริงของความสัมพันธ์

นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าตัวบ่งชี้ที่คำนวณจากประชากรที่จำกัดยังคงรักษาองค์ประกอบของการสุ่มที่มีอยู่ในค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะ ดังนั้นจึงเป็นเพียงการประมาณการรูปแบบทางสถิติบางอย่างเท่านั้น จำเป็นต้องประเมินระดับความถูกต้องและความสำคัญ (ความน่าเชื่อถือ นัยสำคัญ) ของพารามิเตอร์การถดถอย ภายใต้ ความสำคัญเข้าใจความน่าจะเป็นที่ค่าของพารามิเตอร์ที่จะทดสอบไม่เป็นศูนย์และไม่รวมค่าของเครื่องหมายตรงกันข้าม

การตรวจสอบความสำคัญ– การตรวจสอบสมมติฐานว่าพารามิเตอร์แตกต่างจากศูนย์

การประเมินความสำคัญของสมการถดถอยคู่ลงมาเพื่อทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับความสำคัญของสมการถดถอยโดยรวมและพารามิเตอร์แต่ละตัว ( ก, ข) สัมประสิทธิ์คู่ของการกำหนดหรือดัชนีสหสัมพันธ์

ในกรณีนี้สามารถหยิบยกสิ่งต่อไปนี้: สมมติฐานหลักชม 0 :

1)
– ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยไม่มีนัยสำคัญและสมการการถดถอยก็ไม่มีนัยสำคัญเช่นกัน

2)
– ค่าสัมประสิทธิ์การจับคู่ของการกำหนดไม่มีนัยสำคัญและสมการการถดถอยก็ไม่มีนัยสำคัญเช่นกัน

สมมติฐานต่อไปนี้เป็นทางเลือก (หรือย้อนกลับ):

1)
– ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากศูนย์ และสมการการถดถอยที่สร้างขึ้นมีนัยสำคัญ

2)
– ค่าสัมประสิทธิ์การจับคู่ของการกำหนดมีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากศูนย์ และสมการการถดถอยที่สร้างขึ้นนั้นมีนัยสำคัญ

ทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับความสำคัญของสมการถดถอยคู่

เพื่อทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับความไม่มีนัยสำคัญทางสถิติของสมการการถดถอยโดยรวมและสัมประสิทธิ์การกำหนด เราใช้ เอฟ-เกณฑ์(การทดสอบฟิชเชอร์):

หรือ

ที่ไหน เค 1 = ม–1 ; เค 2 = n– ม – จำนวนระดับความเป็นอิสระ

n– จำนวนหน่วยประชากร

ม– จำนวนพารามิเตอร์สมการถดถอย

– การกระจายตัวของปัจจัย

–ความแปรปรวนคงเหลือ

สมมติฐานได้รับการทดสอบดังนี้:

1) ถ้าเป็นค่าจริง (สังเกตได้) เอฟ-เกณฑ์มีค่ามากกว่าค่าวิกฤต (ตาราง) ของเกณฑ์นี้
แล้วด้วยความน่าจะเป็น
สมมติฐานหลักเกี่ยวกับความไม่มีนัยสำคัญของสมการการถดถอยหรือสัมประสิทธิ์การกำหนดคู่ถูกปฏิเสธ และถือว่าสมการการถดถอยมีนัยสำคัญ

2) ถ้าค่าจริง (สังเกตได้) ของเกณฑ์ F น้อยกว่าค่าวิกฤตของเกณฑ์นี้
แล้วมีความน่าจะเป็น (
) ยอมรับสมมติฐานหลักเกี่ยวกับความไม่มีนัยสำคัญของสมการการถดถอยหรือค่าสัมประสิทธิ์การจับคู่ที่เป็นที่ยอมรับ และสมการการถดถอยที่สร้างขึ้นถือว่าไม่มีนัยสำคัญ

ค่าวิกฤต เอฟ-เกณฑ์จะพบได้ในตารางที่เกี่ยวข้องขึ้นอยู่กับระดับนัยสำคัญ และจำนวนระดับความเป็นอิสระ
.

จำนวนองศาความเป็นอิสระ– ตัวบ่งชี้ซึ่งหมายถึงความแตกต่างระหว่างขนาดตัวอย่าง ( n) และจำนวนพารามิเตอร์โดยประมาณสำหรับตัวอย่างที่กำหนด ( ม- สำหรับแบบจำลองการถดถอยแบบคู่ จำนวนองศาอิสระจะถูกคำนวณดังนี้
เนื่องจากพารามิเตอร์สองตัวถูกประมาณจากตัวอย่าง (
).

ระดับความสำคัญ – มูลค่าที่กำหนด
,

ที่ไหน – ความน่าจะเป็นความเชื่อมั่นของพารามิเตอร์โดยประมาณที่ตกอยู่ในช่วงความเชื่อมั่น โดยปกติจะยอมรับ 0.95 ดังนั้น คือความน่าจะเป็นที่พารามิเตอร์โดยประมาณจะไม่ตกอยู่ในช่วงความเชื่อมั่น เท่ากับ 0.05 (5%)

จากนั้น ในกรณีประเมินนัยสำคัญของสมการการถดถอยคู่ ค่าวิกฤตของการทดสอบ F จะถูกคำนวณดังนี้
:

.

การทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับความสำคัญของพารามิเตอร์ของสมการถดถอยคู่และดัชนีสหสัมพันธ์

เมื่อตรวจสอบความสำคัญของพารามิเตอร์ของสมการ (สมมติฐานว่าพารามิเตอร์แตกต่างจากศูนย์) สมมติฐานหลักจะถูกหยิบยกขึ้นมาเกี่ยวกับความไม่มีนัยสำคัญของการประมาณค่าที่ได้รับ (
- เนื่องจากมีการนำเสนอสมมติฐานทางเลือก (ผกผัน) เกี่ยวกับความสำคัญของพารามิเตอร์ของสมการ (
).

เพื่อทดสอบสมมติฐานที่หยิบยกมาใช้ ที -เกณฑ์ (ที-สถิติ) การทดสอบของนักเรียน- ค่าที่สังเกตได้ ที-เกณฑ์จะถูกเปรียบเทียบกับค่า ที-เกณฑ์ที่กำหนดจากตารางการแจกแจงนักเรียน (ค่าวิกฤต) ค่าวิกฤต ที-เกณฑ์
ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์สองตัว: ระดับนัยสำคัญ และจำนวนระดับความเป็นอิสระ
.

สมมติฐานที่นำเสนอได้รับการทดสอบดังนี้:

1) ถ้าเป็นค่าสัมบูรณ์ของค่าที่สังเกตได้ ที-เกณฑ์ที่มากกว่าค่าวิกฤต ที-เกณฑ์ เช่น
แล้วด้วยความน่าจะเป็น
สมมติฐานหลักเกี่ยวกับความไม่มีนัยสำคัญของพารามิเตอร์การถดถอยถูกปฏิเสธ เช่น พารามิเตอร์การถดถอยไม่เท่ากับ 0

2) ถ้าเป็นค่าสัมบูรณ์ของค่าที่สังเกตได้ ที-เกณฑ์มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าวิกฤต ที-เกณฑ์ เช่น
แล้วด้วยความน่าจะเป็น
ยอมรับสมมติฐานหลักเกี่ยวกับความไม่มีนัยสำคัญของพารามิเตอร์การถดถอยเช่น พารามิเตอร์การถดถอยแทบจะไม่แตกต่างจาก 0 หรือเท่ากับ 0

การประเมินความสำคัญของค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยโดยใช้การทดสอบของนักเรียนนั้นดำเนินการโดยการเปรียบเทียบค่าประมาณกับค่าของข้อผิดพลาดมาตรฐาน:

;

เพื่อประเมินนัยสำคัญทางสถิติของดัชนีสหสัมพันธ์ (สัมประสิทธิ์เชิงเส้น) ก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน ที-แบบทดสอบของนักเรียน

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา

สถานะ สถาบันการศึกษาการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง

สถาบันการเงินและเศรษฐกิจทางจดหมายทั้งหมดของรัสเซีย

สาขาในตูลา

ทดสอบ

ในสาขาวิชา "เศรษฐมิติ"

ตูลา - 2010

ปัญหาที่ 2 (ก, ข)

สำหรับองค์กรอุตสาหกรรมเบาได้รับข้อมูลที่แสดงถึงการพึ่งพาปริมาณผลผลิต (Y, ล้านรูเบิล) กับปริมาณการลงทุน (X, ล้านรูเบิล) ตาราง 1.

เอ็กซ์	33	17	23	17	36	25	39	20	13	12
ย	43	27	32	29	45	35	47	32	22	24

ที่จำเป็น:

1. ค้นหาพารามิเตอร์ของสมการการถดถอยเชิงเส้น ให้การตีความทางเศรษฐศาสตร์ของสัมประสิทธิ์การถดถอย

2. คำนวณส่วนที่เหลือ ค้นหาผลรวมที่เหลือของกำลังสอง ประมาณการความแปรปรวนของส่วนที่เหลือ

- วางแผนส่วนที่เหลือ

3. ตรวจสอบการปฏิบัติตามข้อกำหนดเบื้องต้นของ MNC

4. ตรวจสอบความสำคัญของพารามิเตอร์ของสมการถดถอยโดยใช้การทดสอบของนักเรียน (α=0.05)

5. คำนวณค่าสัมประสิทธิ์การกำหนด ตรวจสอบความสำคัญของสมการถดถอยโดยใช้การทดสอบ F ของฟิชเชอร์ (α=0.05) ค้นหาค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์โดยเฉลี่ยของการประมาณ สรุปเกี่ยวกับคุณภาพของแบบจำลอง

6. ทำนายค่าเฉลี่ยของตัวบ่งชี้ Y ที่ระดับนัยสำคัญ α=0.1 หากค่าที่ทำนายของปัจจัย X คือ 80% ของค่าสูงสุด

7. นำเสนอแบบกราฟิก: ค่าจริงและแบบจำลอง Y, จุดพยากรณ์

8. สร้างสมการถดถอยไม่เชิงเส้น:

ซึ่งเกินความจริง;

สงบ;

บ่งชี้

แสดงกราฟของสมการถดถอยที่สร้างขึ้น

9. สำหรับรุ่นที่ระบุ ให้ค้นหาค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดและค่าเฉลี่ย ข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องการประมาณ เปรียบเทียบแบบจำลองตามคุณลักษณะเหล่านี้และสรุปผล

1. โมเดลเชิงเส้นมีรูปแบบ:

เราค้นหาพารามิเตอร์ของสมการการถดถอยเชิงเส้นโดยใช้สูตร

การคำนวณค่าพารามิเตอร์แสดงไว้ในตาราง 2.

ที	ย	x	ใช่
1	43	33	1419	1089	42,236	0,764	0,584	90,25	88,36	0,018
2	27	17	459	289	27,692	-0,692	0,479	42,25	43,56	0,026
3	32	23	736	529	33,146	-1,146	1,313	0,25	2,56	0,036
4	29	17	493	289	27,692	1,308	1,711	42,25	21,16	0,045
5	45	36	1620	1296	44,963	0,037	0,001	156,25	129,96	0,001
6	35	25	875	625	34,964	0,036	0,001	2,25	1,96	0,001
7	47	39	1833	1521	47,69	-0,69	0,476	240,25	179,56	0,015
8	32	20	640	400	30,419	1,581	2,500	12,25	2,56	0,049
9	22	13	286	169	24,056	-2,056	4,227	110,25	134,56	0,093
10	24	12	288	144	23,147	0,853	0,728	132,25	92,16	0,036
∑	336	235	8649	6351	12,020	828,5	696,4	0,32
เฉลี่ย	33,6	23,5	864,9	635,1

มากำหนดพารามิเตอร์ของโมเดลเชิงเส้นกัน

โมเดลเชิงเส้นมีรูปแบบ

สัมประสิทธิ์การถดถอย

แสดงให้เห็นว่าเอาต์พุต Y เพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ย 0.909 ล้านรูเบิล ด้วยปริมาณการลงทุนเพิ่มขึ้น X 1 ล้านรูเบิล

2. คำนวณส่วนที่เหลือ

ผลรวมที่เหลือของกำลังสอง เราจะค้นหาความแปรปรวนที่เหลือโดยใช้สูตร:

การคำนวณแสดงไว้ในตาราง 2.

ข้าว. 1. กราฟของสารตกค้าง ε

3. มาตรวจสอบการปฏิบัติตามข้อกำหนดเบื้องต้นของ OLS ตามเกณฑ์ Durbin-Watson

0,584
2,120	0,479
0,206	1,313
6,022	1,711
1,615	0,001
0,000	0,001
0,527	0,476
5,157	2,500
13,228	4,227
2,462	0,728
31,337	12,020

d1=0.88; d2=1.32 สำหรับ α=0.05, n=10, k=1

,

ซึ่งหมายความว่าจำนวนที่เหลือไม่มีความสัมพันธ์กัน

4. มาตรวจสอบความสำคัญของพารามิเตอร์สมการจากการทดสอบของนักเรียนกันดีกว่า (α=0.05)

สำหรับ ν=8; α=0.05.

การคำนวณมูลค่า

ผลิตในตาราง 2. เราได้รับ:
จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสัมประสิทธิ์การถดถอย a และ b มีนัยสำคัญโดยมีความน่าจะเป็น 0.95

5. ค้นหาค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์โดยใช้สูตร

เราจะทำการคำนวณในตาราง 2.

- ที่. ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเงินลงทุน X และผลผลิต Y ถือว่าใกล้เคียงกันเพราะ -

เราหาค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจโดยใช้สูตร

ในระหว่างการศึกษา นักเรียนมักจะพบกับสมการที่หลากหลาย หนึ่งในนั้นคือสมการการถดถอย ซึ่งมีการกล่าวถึงในบทความนี้ สมการประเภทนี้ใช้เพื่ออธิบายคุณลักษณะของความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์ทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะ ความเท่าเทียมกันประเภทนี้ใช้ในสถิติและเศรษฐมิติ

คำจำกัดความของการถดถอย

ในทางคณิตศาสตร์ การถดถอยหมายถึงปริมาณที่แน่นอนซึ่งอธิบายการพึ่งพาค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลกับค่าของปริมาณอื่น สมการการถดถอยจะแสดงค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะอื่นเป็นฟังก์ชันของคุณลักษณะหนึ่งๆ ฟังก์ชันการถดถอยมีรูปแบบของสมการง่ายๆ y = x โดยที่ y ทำหน้าที่เป็นตัวแปรตาม และ x เป็นตัวแปรอิสระ (ฟีเจอร์-แฟคเตอร์) ในความเป็นจริง การถดถอยจะแสดงเป็น y = f (x)

ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรมีกี่ประเภท?

โดยทั่วไป มีความสัมพันธ์สองประเภทที่ตรงข้ามกัน: สหสัมพันธ์และการถดถอย

ประการแรกมีลักษณะเฉพาะคือความเท่าเทียมกันของตัวแปรตามเงื่อนไข ในกรณีนี้ ไม่สามารถทราบได้อย่างน่าเชื่อถือว่าตัวแปรใดขึ้นอยู่กับตัวแปรอื่น

หากไม่มีความเท่าเทียมกันระหว่างตัวแปรและเงื่อนไขที่บอกว่าตัวแปรใดเป็นคำอธิบายและขึ้นอยู่กับตัวแปรใด เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับการมีอยู่ของการเชื่อมต่อประเภทที่สองได้ ในการสร้างสมการการถดถอยเชิงเส้น จำเป็นต้องค้นหาว่าความสัมพันธ์ประเภทใดที่สังเกตได้

ประเภทของการถดถอย

ปัจจุบัน มีการถดถอยที่แตกต่างกัน 7 ประเภท: ไฮเพอร์โบลิก, เชิงเส้น, พหุคูณ, ไม่เชิงเส้น, เป็นคู่, ผกผัน, เชิงเส้นแบบลอการิทึม

ไฮเปอร์โบลิก เชิงเส้น และลอการิทึม

สมการการถดถอยเชิงเส้นใช้ในสถิติเพื่ออธิบายพารามิเตอร์ของสมการอย่างชัดเจน ดูเหมือนว่า y = c+t*x+E สมการไฮเพอร์โบลิกมีรูปแบบของไฮเปอร์โบลาปกติ y = c + m / x + E ในทางลอการิทึม สมการเชิงเส้นแสดงความสัมพันธ์โดยใช้ฟังก์ชันลอการิทึม: In y = In c + m* In x + In E.

หลายรายการและไม่เชิงเส้น

อีกสอง ประเภทที่ซับซ้อนการถดถอยเป็นแบบทวีคูณและไม่เป็นเชิงเส้น สมการการถดถอยพหุคูณแสดงโดยฟังก์ชัน y = f(x 1, x 2 ... x c) + E ในสถานการณ์นี้ y ทำหน้าที่เป็นตัวแปรตาม และ x ทำหน้าที่เป็นตัวแปรอธิบาย ตัวแปร E เป็นแบบสุ่ม โดยรวมถึงอิทธิพลของปัจจัยอื่นๆ ในสมการด้วย สมการการถดถอยแบบไม่เชิงเส้นยังมีข้อโต้แย้งอยู่บ้าง ในแง่หนึ่ง เมื่อเทียบกับตัวบ่งชี้ที่นำมาพิจารณา มันไม่เชิงเส้น แต่ในทางกลับกัน ในบทบาทของการประเมินตัวบ่งชี้ มันเป็นเชิงเส้น

การถดถอยประเภทผกผันและคู่

ค่าผกผันเป็นฟังก์ชันประเภทหนึ่งที่ต้องแปลง มุมมองเชิงเส้น- ในแอปพลิเคชันแบบดั้งเดิมส่วนใหญ่ จะมีรูปแบบของฟังก์ชัน y = 1/c + m*x+E สมการการถดถอยแบบคู่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลเป็นฟังก์ชันของ y = f (x) + E เช่นเดียวกับสมการอื่นๆ y ขึ้นอยู่กับ x และ E เป็นพารามิเตอร์สุ่ม

แนวคิดเรื่องความสัมพันธ์

นี่เป็นตัวบ่งชี้ที่แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ระหว่างปรากฏการณ์หรือกระบวนการสองอย่าง ความเข้มแข็งของความสัมพันธ์แสดงเป็นค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ ค่าของมันผันผวนภายในช่วง [-1;+1] ตัวบ่งชี้เชิงลบบ่งบอกถึงการมีอยู่ ข้อเสนอแนะ, บวก - เกี่ยวกับเส้นตรง หากค่าสัมประสิทธิ์รับค่าเท่ากับ 0 แสดงว่าไม่มีความสัมพันธ์ ยิ่งค่าเข้าใกล้ 1 มากเท่าใด ความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

วิธีการ

ความสัมพันธ์ วิธีการแบบพาราเมตริกสามารถประเมินความใกล้ชิดของความสัมพันธ์ได้ ใช้บนพื้นฐานของการประมาณการกระจายเพื่อศึกษาพารามิเตอร์ที่เป็นไปตามกฎการแจกแจงแบบปกติ

พารามิเตอร์ของสมการการถดถอยเชิงเส้นจำเป็นต่อการระบุประเภทของการพึ่งพา ฟังก์ชันของสมการการถดถอย และประเมินตัวบ่งชี้ของสูตรความสัมพันธ์ที่เลือก ฟิลด์ความสัมพันธ์จะใช้เป็นวิธีระบุการเชื่อมต่อ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดจะต้องแสดงเป็นภาพกราฟิก ข้อมูลที่ทราบทั้งหมดจะต้องถูกลงจุดในระบบพิกัดสองมิติรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า นี่คือวิธีการสร้างฟิลด์สหสัมพันธ์ ค่าของปัจจัยที่อธิบายจะถูกทำเครื่องหมายตามแกน abscissa ในขณะที่ค่าของปัจจัยที่ขึ้นอยู่กับจะถูกทำเครื่องหมายตามแกนกำหนด หากมีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างพารามิเตอร์ พารามิเตอร์เหล่านั้นจะเรียงกันเป็นเส้น

หากค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของข้อมูลดังกล่าวน้อยกว่า 30% เราอาจพูดถึงการขาดการเชื่อมต่อที่เกือบจะสมบูรณ์ หากอยู่ระหว่าง 30% ถึง 70% แสดงว่ามีการเชื่อมต่อแบบปิดปานกลาง ตัวบ่งชี้ 100% เป็นหลักฐานของการเชื่อมต่อที่ใช้งานได้

สมการการถดถอยแบบไม่เชิงเส้น เช่นเดียวกับสมการเชิงเส้น จะต้องเสริมด้วยดัชนีสหสัมพันธ์ (R)

สหสัมพันธ์สำหรับการถดถอยพหุคูณ

ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดคือเลขชี้กำลังกำลังสอง ความสัมพันธ์หลายประการ- เขาพูดถึงความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดของชุดตัวบ่งชี้ที่นำเสนอกับคุณลักษณะที่กำลังศึกษาอยู่ นอกจากนี้ยังสามารถพูดคุยเกี่ยวกับลักษณะของอิทธิพลของพารามิเตอร์ที่มีต่อผลลัพธ์ได้ สมการการถดถอยพหุคูณประมาณโดยใช้ตัวบ่งชี้นี้

ในการคำนวณตัวบ่งชี้ความสัมพันธ์หลายรายการ จำเป็นต้องคำนวณดัชนี

วิธีกำลังสองน้อยที่สุด

วิธีนี้เป็นวิธีการประมาณค่าปัจจัยการถดถอย สาระสำคัญของมันคือการลดผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองที่ได้รับอันเป็นผลมาจากการพึ่งพาปัจจัยในฟังก์ชัน

สมการการถดถอยเชิงเส้นแบบคู่สามารถประมาณได้โดยใช้วิธีการดังกล่าว สมการประเภทนี้ใช้เมื่อตรวจพบความสัมพันธ์เชิงเส้นคู่ระหว่างตัวบ่งชี้

พารามิเตอร์สมการ

พารามิเตอร์แต่ละตัวของฟังก์ชันการถดถอยเชิงเส้นมีความหมายเฉพาะ สมการการถดถอยเชิงเส้นคู่ประกอบด้วยพารามิเตอร์สองตัว: c และ m พารามิเตอร์ m แสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยในตัวบ่งชี้สุดท้ายของฟังก์ชัน y โดยมีเงื่อนไขว่าตัวแปร x ลดลง (เพิ่มขึ้น) หนึ่งหน่วยทั่วไป ถ้าตัวแปร x เป็นศูนย์ ฟังก์ชันจะเท่ากับพารามิเตอร์ c ถ้าตัวแปร x ไม่เป็นศูนย์ แสดงว่าปัจจัย c จะไม่มีการดำเนินการ ความรู้สึกทางเศรษฐกิจ- สิ่งเดียวที่มีอิทธิพลต่อฟังก์ชันคือเครื่องหมายที่อยู่หน้าตัวประกอบ c หากมีลบก็บอกได้ว่าการเปลี่ยนแปลงในผลลัพธ์นั้นช้าเมื่อเทียบกับปัจจัย หากมีเครื่องหมายบวก แสดงว่าผลลัพธ์มีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว

พารามิเตอร์แต่ละตัวที่เปลี่ยนค่าของสมการการถดถอยสามารถแสดงผ่านสมการได้ ตัวอย่างเช่น ตัวประกอบ c มีรูปแบบ c = y - mx

ข้อมูลที่จัดกลุ่ม

มีเงื่อนไขของงานที่ข้อมูลทั้งหมดถูกจัดกลุ่มตามคุณลักษณะ x แต่สำหรับกลุ่มบางกลุ่มจะมีการระบุค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกันของตัวบ่งชี้ที่ขึ้นอยู่กับ ในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ยจะกำหนดลักษณะของตัวบ่งชี้ที่ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลง x ดังนั้นข้อมูลที่จัดกลุ่มจะช่วยค้นหาสมการถดถอย มันถูกใช้เป็นการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้มีข้อเสียอยู่ น่าเสียดายที่ตัวชี้วัดโดยเฉลี่ยมักขึ้นอยู่กับความผันผวนจากภายนอก ความผันผวนเหล่านี้ไม่ได้สะท้อนถึงรูปแบบของความสัมพันธ์ แต่เพียงแต่ปกปิด "เสียงรบกวน" เท่านั้น ค่าเฉลี่ยแสดงรูปแบบของความสัมพันธ์ที่แย่กว่าสมการถดถอยเชิงเส้นมาก อย่างไรก็ตามสามารถใช้เป็นพื้นฐานในการค้นหาสมการได้ โดยการคูณจำนวนประชากรแต่ละรายด้วยค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกัน เราจะได้ผลรวม y ภายในกลุ่ม ถัดไป คุณต้องบวกจำนวนเงินทั้งหมดที่ได้รับและค้นหาตัวบ่งชี้สุดท้าย y การคำนวณด้วยตัวบ่งชี้ผลรวม xy จะยากขึ้นเล็กน้อย หากช่วงเวลาน้อย เราสามารถนำตัวบ่งชี้ x สำหรับทุกหน่วย (ภายในกลุ่ม) ให้เท่ากันตามเงื่อนไขได้ คุณควรคูณมันด้วยผลรวมของ y เพื่อหาผลรวมของผลคูณของ x และ y ต่อไป จำนวนเงินทั้งหมดจะถูกบวกเข้าด้วยกัน และจะได้จำนวน xy ทั้งหมด

สมการการถดถอยหลายคู่: การประเมินความสำคัญของความสัมพันธ์

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น การถดถอยพหุคูณมีฟังก์ชันในรูปแบบ y = f (x 1,x 2,…,x m)+E ส่วนใหญ่แล้วสมการดังกล่าวจะใช้ในการแก้ปัญหาอุปสงค์และอุปทานของผลิตภัณฑ์ ดอกเบี้ยรับจากหุ้นที่ซื้อคืน และเพื่อศึกษาสาเหตุและประเภทของฟังก์ชันต้นทุนการผลิต นอกจากนี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาและการคำนวณเศรษฐศาสตร์มหภาคที่หลากหลาย แต่ในระดับเศรษฐศาสตร์จุลภาคสมการนี้มีการใช้น้อยกว่าเล็กน้อย

ภารกิจหลักของการถดถอยพหุคูณคือการสร้างแบบจำลองข้อมูลที่มีข้อมูลจำนวนมากเพื่อกำหนดเพิ่มเติมว่าปัจจัยใดที่มีอิทธิพลต่อแต่ละปัจจัยแยกกันและในจำนวนรวมทั้งหมดที่มีต่อตัวบ่งชี้ที่จำเป็นต้องมีการสร้างแบบจำลองและค่าสัมประสิทธิ์ของมัน สมการการถดถอยสามารถรับค่าได้หลากหลาย ในกรณีนี้ เพื่อประเมินความสัมพันธ์ มักใช้ฟังก์ชันสองประเภท: เชิงเส้นและไม่เชิงเส้น

ฟังก์ชันเชิงเส้นแสดงในรูปแบบของความสัมพันธ์ต่อไปนี้: y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2,+ ... + a m x m ในกรณีนี้ a2, a m ถือเป็นสัมประสิทธิ์การถดถอย "บริสุทธิ์" จำเป็นต้องระบุลักษณะการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยในพารามิเตอร์ y โดยมีการเปลี่ยนแปลง (ลดลงหรือเพิ่มขึ้น) ในแต่ละพารามิเตอร์ x ที่สอดคล้องกันทีละหนึ่งหน่วย ขึ้นอยู่กับค่าคงที่ของตัวบ่งชี้อื่น ๆ

ตัวอย่างเช่น สมการไม่เชิงเส้นมีรูปแบบ ฟังก์ชั่นพลังงาน y=ขวาน 1 b1 x 2 b2 ...x ม. bm . ในกรณีนี้ตัวบ่งชี้ b 1, b 2 ..... b m เรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นซึ่งแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์จะเปลี่ยนแปลงอย่างไร (เท่าใด%) เมื่อเพิ่มขึ้น (ลดลง) ในตัวบ่งชี้ที่เกี่ยวข้อง x 1% และ โดยมีดัชนีชี้วัดปัจจัยอื่นๆ คงที่

ปัจจัยใดที่ต้องนำมาพิจารณาเมื่อสร้างการถดถอยพหุคูณ

เพื่อที่จะสร้างให้ถูกต้อง การถดถอยหลายครั้งจำเป็นต้องค้นหาว่าปัจจัยใดควรให้ความสำคัญเป็นพิเศษ

จำเป็นต้องมีความเข้าใจธรรมชาติของความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยทางเศรษฐกิจกับสิ่งที่กำลังอยู่ในแบบจำลอง ปัจจัยที่จะต้องรวมจะต้องเป็นไปตามเกณฑ์ต่อไปนี้:

• จะต้องอยู่ภายใต้การวัดเชิงปริมาณ ในการใช้ปัจจัยที่อธิบายคุณภาพของวัตถุ ไม่ว่าในกรณีใด ควรให้รูปแบบเชิงปริมาณ
• ไม่ควรมีความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยหรือความสัมพันธ์เชิงหน้าที่ การกระทำดังกล่าวมักนำไปสู่ ผลที่ตามมาที่ไม่สามารถย้อนกลับได้- ระบบสมการธรรมดาไม่มีเงื่อนไข และส่งผลให้เกิดความไม่น่าเชื่อถือและการประมาณค่าที่ไม่ชัดเจน
• ในกรณีของตัวบ่งชี้ความสัมพันธ์ขนาดใหญ่ ไม่มีทางที่จะค้นหาอิทธิพลที่แยกได้ของปัจจัยที่มีต่อผลลัพธ์สุดท้ายของตัวบ่งชี้ ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์จึงไม่สามารถตีความได้

วิธีการก่อสร้าง

มีวิธีการและวิธีการมากมายที่อธิบายวิธีที่คุณสามารถเลือกปัจจัยสำหรับสมการได้ อย่างไรก็ตาม วิธีการทั้งหมดนี้ขึ้นอยู่กับการเลือกค่าสัมประสิทธิ์โดยใช้ตัวบ่งชี้สหสัมพันธ์ ในหมู่พวกเขาคือ:

• วิธีการกำจัด
• วิธีการสลับ
• การวิเคราะห์การถดถอยแบบขั้นตอน

วิธีแรกเกี่ยวข้องกับการกรองค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดออกจากชุดทั้งหมด วิธีที่สองเกี่ยวข้องกับการแนะนำปัจจัยเพิ่มเติมหลายประการ อย่างที่สามคือการกำจัดปัจจัยที่เคยใช้สำหรับสมการก่อนหน้านี้ แต่ละวิธีเหล่านี้มีสิทธิ์ที่จะมีอยู่ พวกเขามีข้อดีและข้อเสีย แต่พวกเขาก็สามารถแก้ไขปัญหาการกำจัดตัวบ่งชี้ที่ไม่จำเป็นด้วยวิธีของตนเองได้ ตามกฎแล้วผลลัพธ์ที่ได้รับจากแต่ละวิธีค่อนข้างใกล้เคียงกัน

วิธีการวิเคราะห์หลายตัวแปร

วิธีการกำหนดปัจจัยดังกล่าวขึ้นอยู่กับการพิจารณาลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกัน ซึ่งรวมถึงการวิเคราะห์จำแนก การจดจำรูปร่าง การวิเคราะห์องค์ประกอบหลัก และการวิเคราะห์คลัสเตอร์ นอกจากนี้ยังมีการวิเคราะห์ปัจจัยด้วย แต่ปรากฏเนื่องจากการพัฒนาวิธีการแบบองค์ประกอบ ทั้งหมดมีผลบังคับใช้ในบางสถานการณ์ ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขและปัจจัยบางประการ

หากมีความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยและคุณลักษณะด้านประสิทธิภาพ แพทย์มักจะต้องกำหนดจำนวนค่าของคุณลักษณะหนึ่งที่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ เมื่ออีกค่าหนึ่งเปลี่ยนเป็นหน่วยการวัดที่ยอมรับโดยทั่วไปหรือค่าที่ผู้วิจัยกำหนดเอง

ตัวอย่างเช่นน้ำหนักตัวของเด็กนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 (เด็กหญิงหรือเด็กชาย) จะเปลี่ยนไปอย่างไรหากส่วนสูงเพิ่มขึ้น 1 ซม. เพื่อวัตถุประสงค์เหล่านี้ จะใช้วิธีการวิเคราะห์การถดถอย

บ่อยครั้งที่วิธีการวิเคราะห์การถดถอยใช้เพื่อพัฒนามาตราส่วนเชิงบรรทัดฐานและมาตรฐานของการพัฒนาทางกายภาพ

1. คำจำกัดความของการถดถอย- การถดถอยเป็นฟังก์ชันที่อนุญาตให้หาค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะอื่นที่มีความสัมพันธ์กับลักษณะแรกได้จากค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะหนึ่ง

   เพื่อจุดประสงค์นี้ จะใช้ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยและพารามิเตอร์อื่นๆ อีกจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่นคุณสามารถคำนวณจำนวนหวัดโดยเฉลี่ยได้ที่ค่าหนึ่งของอุณหภูมิอากาศเฉลี่ยรายเดือนในช่วงฤดูใบไม้ร่วง-ฤดูหนาว

2. การหาค่าสัมประสิทธิ์การถดถอย- สัมประสิทธิ์การถดถอยคือค่าสัมบูรณ์ซึ่งโดยเฉลี่ยแล้วค่าของคุณลักษณะหนึ่งจะเปลี่ยนไปเมื่อคุณลักษณะอื่นที่เกี่ยวข้องกันเปลี่ยนแปลงตามหน่วยการวัดที่ระบุ
3. สูตรสัมประสิทธิ์การถดถอย- R y/x = r xy x (σ y / σ x)
   โดยที่ R у/х - สัมประสิทธิ์การถดถอย;
   r xy - สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะ x และ y;
   (σ y และ σ x) - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคุณลักษณะ x และ y

   ในตัวอย่างของเรา
   σ x = 4.6 (ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของอุณหภูมิอากาศในช่วงฤดูใบไม้ร่วง-ฤดูหนาว
   σ y = 8.65 (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของจำนวนโรคติดเชื้อและโรคหวัด)
   ดังนั้น R y/x คือสัมประสิทธิ์การถดถอย
   R у/х = -0.96 x (4.6 / 8.65) = 1.8 เช่น เมื่ออุณหภูมิอากาศเฉลี่ยรายเดือน (x) ลดลง 1 องศา จำนวนโรคติดเชื้อและโรคหวัดโดยเฉลี่ย (y) ในช่วงฤดูใบไม้ร่วง-ฤดูหนาวจะเปลี่ยนไป 1.8 ราย

4. สมการถดถอย- y = M y + R y/x (x - M x)
   โดยที่ y คือค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะซึ่งควรพิจารณาเมื่อค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะอื่นเปลี่ยนแปลง (x)
   x คือค่าเฉลี่ยที่ทราบของคุณลักษณะอื่น
   R y/x - สัมประสิทธิ์การถดถอย;
   M x, M y - ค่าเฉลี่ยที่ทราบของลักษณะ x และ y

   ตัวอย่างเช่น สามารถกำหนดจำนวนเฉลี่ยของโรคติดเชื้อและโรคหวัด (y) ได้โดยไม่ต้องมีการวัดพิเศษที่ค่าเฉลี่ยใดๆ ของอุณหภูมิอากาศเฉลี่ยรายเดือน (x) ดังนั้น ถ้า x = - 9°, R y/x = 1.8 โรค, M x = -7°, M y = 20 โรค ดังนั้น y = 20 + 1.8 x (9-7) = 20 + 3 .6 = 23.6 โรคต่างๆ
   สมการนี้ใช้ในกรณีของความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างสองคุณลักษณะ (x และ y)

5. วัตถุประสงค์ของสมการถดถอย- สมการถดถอยใช้ในการสร้างเส้นถดถอย อย่างหลังช่วยให้สามารถหาค่าเฉลี่ย (y) ของคุณลักษณะหนึ่งได้ โดยไม่ต้องมีการวัดพิเศษ ถ้าค่า (x) ของคุณลักษณะอื่นเปลี่ยนแปลงไป จากข้อมูลเหล่านี้ กราฟจะถูกสร้างขึ้น - เส้นถดถอยซึ่งสามารถใช้เพื่อกำหนดจำนวนหวัดเฉลี่ยที่ค่าใด ๆ ของอุณหภูมิเฉลี่ยรายเดือนภายในช่วงระหว่างค่าที่คำนวณได้ของจำนวนหวัด
6. การถดถอยซิกมา (สูตร).
   โดยที่ σ Rу/х - ซิกมา (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ของการถดถอย
   σ y - ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคุณลักษณะ y;
   r xy - สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะ x และ y

   ดังนั้น ถ้า σ y คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของจำนวนไข้หวัด = 8.65; r xy - ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างจำนวนหวัด (y) และอุณหภูมิอากาศเฉลี่ยรายเดือนในช่วงฤดูใบไม้ร่วง - ฤดูหนาว (x) เท่ากับ - 0.96 จากนั้น

   

7. การมอบหมายซิกมาการถดถอย- ให้คำอธิบายการวัดความหลากหลายของลักษณะผลลัพธ์ (y)

   ตัวอย่างเช่นแสดงลักษณะความหลากหลายของจำนวนหวัดที่ค่าหนึ่งของอุณหภูมิอากาศเฉลี่ยรายเดือนในช่วงฤดูใบไม้ร่วง - ฤดูหนาว ดังนั้น จำนวนเฉลี่ยของโรคหวัดที่อุณหภูมิอากาศ x 1 = -6° อาจมีตั้งแต่ 15.78 โรค จนถึง 20.62 โรค
   ที่ x 2 = -9° จำนวนโรคหวัดโดยเฉลี่ยอาจมีตั้งแต่ 21.18 โรคไปจนถึง 26.02 โรค เป็นต้น

   ซิกมาการถดถอยใช้ในการสร้างมาตราส่วนการถดถอยซึ่งสะท้อนถึงความเบี่ยงเบนของค่าของลักษณะผลลัพธ์จากค่าเฉลี่ยที่ลงจุดบนเส้นการถดถอย

8. ข้อมูลที่จำเป็นในการคำนวณและพล็อตระดับการถดถอย
   • สัมประสิทธิ์การถดถอย - R у/х;
   • สมการการถดถอย - y = M y + R y/x (x-M x);
   • การถดถอยซิกมา - σ Rx/y
9. ลำดับของการคำนวณและการแสดงภาพกราฟิกของมาตราส่วนการถดถอย.
   • กำหนดค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยโดยใช้สูตร (ดูย่อหน้าที่ 3) ตัวอย่างเช่น มีความจำเป็นต้องกำหนดว่าน้ำหนักตัวจะเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยเท่าใด (ในช่วงอายุหนึ่ง ๆ ขึ้นอยู่กับเพศ) หากความสูงเฉลี่ยเปลี่ยนแปลง 1 ซม.
   • ใช้สูตรสมการถดถอย (ดูจุดที่ 4) กำหนดว่าน้ำหนักตัวจะเป็นค่าเฉลี่ย (y, y 2, y 3 ... ) * สำหรับค่าความสูงที่แน่นอน (x, x 2, x 3 . ..) .
     ________________
     * ควรคำนวณค่าของ "y" สำหรับค่าที่รู้จักของ "x" อย่างน้อยสามค่า

     ในเวลาเดียวกันจะทราบค่าเฉลี่ยของน้ำหนักและส่วนสูงของร่างกาย (M x และ M y) สำหรับอายุและเพศที่แน่นอน

   • คำนวณซิกมาการถดถอยโดยทราบค่าที่สอดคล้องกันของ σ y และ r xy และแทนที่ค่าลงในสูตร (ดูย่อหน้าที่ 6)
   • ขึ้นอยู่กับค่าที่ทราบ x 1, x 2, x 3 และค่าเฉลี่ยที่สอดคล้องกัน y 1, y 2 y 3 รวมถึงค่าที่เล็กที่สุด (y - σ rу/х) และใหญ่ที่สุด (y + σ rу /х) ค่า (y) สร้างมาตราส่วนการถดถอย

     ในการแสดงระดับการถดถอยแบบกราฟิก ค่า x, x2, x3 (แกนกำหนด) จะถูกทำเครื่องหมายบนกราฟก่อน เช่น เส้นการถดถอยถูกสร้างขึ้น เช่น การพึ่งพาน้ำหนักตัว (y) กับส่วนสูง (x)

     จากนั้นที่จุดที่สอดคล้องกัน 1, y 2, y 3 ค่าตัวเลขของซิกมาการถดถอยจะถูกบันทึกไว้เช่น หาค่าที่เล็กที่สุดบนกราฟและ มูลค่าสูงสุดปี 1, ปี 2, ปี 3

10. การใช้งานจริงระดับการถดถอย- มาตราส่วนและมาตรฐานเชิงบรรทัดฐานกำลังได้รับการพัฒนา โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการพัฒนาทางกายภาพ เมื่อใช้มาตราส่วนมาตรฐาน คุณสามารถประเมินพัฒนาการของเด็กเป็นรายบุคคลได้ ในกรณีนี้การพัฒนาทางกายภาพจะได้รับการประเมินว่ามีความสอดคล้องกันหากตัวอย่างเช่นที่ความสูงระดับหนึ่งน้ำหนักตัวของเด็กอยู่ภายในหนึ่งซิกม่าของการถดถอยไปยังหน่วยน้ำหนักตัวที่คำนวณได้โดยเฉลี่ย - (y) สำหรับความสูงที่กำหนด (x) ( y ± 1 σ Ry/x)

    พัฒนาการทางร่างกายถือว่าไม่สอดคล้องกันในแง่ของน้ำหนักตัว หากน้ำหนักตัวของเด็กในส่วนสูงหนึ่งอยู่ภายในซิกมาที่สองของการถดถอย: (y ± 2 σ Ry/x)

    การพัฒนาทางกายภาพจะไม่ลงรอยกันอย่างมากเนื่องจากน้ำหนักตัวที่มากเกินไปและไม่เพียงพอ หากน้ำหนักตัวสำหรับส่วนสูงหนึ่งอยู่ภายในซิกมาที่สามของการถดถอย (y ± 3 σ Ry/x)

จากผลการศึกษาทางสถิติเกี่ยวกับพัฒนาการทางกายภาพของเด็กชายอายุ 5 ขวบ เป็นที่ทราบกันว่าส่วนสูงเฉลี่ย (x) คือ 109 ซม. และน้ำหนักตัวเฉลี่ย (y) คือ 19 กก. ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างส่วนสูงและน้ำหนักตัวคือ +0.9 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแสดงไว้ในตาราง

ที่จำเป็น:

• คำนวณค่าสัมประสิทธิ์การถดถอย
• ใช้สมการถดถอยกำหนดว่าน้ำหนักตัวที่คาดหวังของเด็กชายอายุ 5 ขวบจะมีส่วนสูงเท่ากับ x1 = 100 ซม., x2 = 110 ซม., x3 = 120 ซม.
• คำนวณซิกมาการถดถอย สร้างมาตราส่วนการถดถอย และนำเสนอผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาในรูปแบบกราฟิก
• หาข้อสรุปที่เหมาะสม

เงื่อนไขของปัญหาและผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาแสดงอยู่ในตารางสรุป

ตารางที่ 1

เงื่อนไขปัญหา				ผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา
				สมการถดถอย			ซิกม่าถดถอย	ระดับการถดถอย (น้ำหนักตัวที่คาดหวัง (เป็นกิโลกรัม))
	ม	σ	r xy	ใช่/ใช่	เอ็กซ์	คุณ	σ Rx/y	y - σ Rу/х	y + σ Rу/х
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ส่วนสูง (x)	109 ซม	±4.4ซม	+0,9	0,16	100ซม	17.56 กก	± 0.35 กก	17.21 กก	17.91 กก
มวลกาย (ญ)	19 กก	± 0.8 กก			110 ซม	19.16 กก		18.81 กก	19.51 กก
					120 ซม	20.76 กก		20.41 กก	21.11 กก

สารละลาย.

บทสรุป.ดังนั้นมาตราส่วนการถดถอยภายในค่าที่คำนวณได้ของน้ำหนักตัวช่วยให้คุณสามารถกำหนดได้ที่ค่าความสูงหรือการประมาณค่าอื่น ๆ การพัฒนาส่วนบุคคลเด็ก. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คืนค่าตั้งฉากกับเส้นถดถอย

1. วลาซอฟ วี.วี. ระบาดวิทยา. - อ.: GEOTAR-MED, 2547. - 464 หน้า
2. ลิซิทซิน ยู.พี. สาธารณสุขและการดูแลสุขภาพ หนังสือเรียนสำหรับมหาวิทยาลัย - อ.: GEOTAR-MED, 2550. - 512 หน้า
3. Medic V.A., Yuryev V.K. หลักสูตรการบรรยายด้านสาธารณสุขและการดูแลสุขภาพ ตอนที่ 1 สาธารณสุข - อ.: แพทยศาสตร์, 2546. - 368 หน้า
4. Minyaev V.A. , Vishnyakov N.I. และอื่น ๆ องค์กรเวชศาสตร์สังคมและการดูแลสุขภาพ (คู่มือ 2 เล่ม) - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2541 -528 หน้า
5. Kucherenko V.Z., Agarkov N.M. และองค์กรด้านสุขอนามัยทางสังคมและการดูแลสุขภาพ ( บทช่วยสอน) - มอสโก, 2000. - 432 น.
6. เอส. กลานซ์. สถิติทางการแพทย์และชีววิทยา แปลจากภาษาอังกฤษ - ม., แพรกติกา, 2541. - 459 น.