แผนการทดสอบอิสระซ้ำๆ สูตรเบอร์นูลลี

อย่าคิดนานเกี่ยวกับความสูงส่ง - เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ

แผน Bernoulli คือเมื่อมีการทดลองอิสระประเภทเดียวกัน n ครั้ง ซึ่งแต่ละเหตุการณ์ที่เราสนใจ A อาจปรากฏขึ้น และทราบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ P (A) \u003d p จำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น k ครั้งพอดีระหว่างการทดลอง n ครั้ง

งานที่แก้ไขตามโครงการ Bernoulli นั้นมีความหลากหลายอย่างมาก: จากงานง่าย ๆ (เช่น "ค้นหาความน่าจะเป็นที่มือปืนยิง 1 ครั้งจาก 10 ครั้ง") ไปจนถึงงานที่รุนแรงมาก (เช่น งานสำหรับเปอร์เซ็นต์หรือ เล่นไพ่). ในความเป็นจริงโครงร่างนี้มักใช้เพื่อแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการควบคุมคุณภาพผลิตภัณฑ์และความน่าเชื่อถือของกลไกต่าง ๆ ซึ่งต้องทราบลักษณะทั้งหมดก่อนที่จะเริ่มทำงาน

กลับไปที่คำจำกัดความ เนื่องจากเรากำลังพูดถึงการทดลองอิสระ และในแต่ละการทดลอง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A จะเท่ากัน ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงสองอย่างเท่านั้น:

1. A คือเหตุการณ์ A ที่มีความน่าจะเป็น p;
2. "not A" - เหตุการณ์ A ไม่ปรากฏ ซึ่งเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น q = 1 − p

เงื่อนไขที่สำคัญที่สุดโดยที่แผน Bernoulli สูญเสียความหมายคือความมั่นคง ไม่ว่าเราจะทำการทดลองกี่ครั้ง เราก็สนใจเหตุการณ์ A เดียวกันที่เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น p เดียวกัน

อนึ่ง ไม่ใช่ทุกปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่จะลดลงเป็นเงื่อนไขคงที่ ติวเตอร์ที่มีความสามารถจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น. แม้แต่สิ่งที่ง่ายอย่างการหยิบลูกบอลสีออกจากกล่องก็ไม่ใช่การทดลองที่มีเงื่อนไขคงที่ พวกเขาหยิบลูกบอลอีกลูกออกมา - อัตราส่วนของสีในกล่องเปลี่ยนไป ดังนั้นความน่าจะเป็นจึงเปลี่ยนไปเช่นกัน

หากเงื่อนไขคงที่ เราสามารถระบุความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นได้อย่างแม่นยำ k ครั้งจากทั้งหมด n ครั้ง เรากำหนดข้อเท็จจริงนี้ในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ทฤษฎีบทของแบร์นูลลี ปล่อยให้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งคงที่และเท่ากับ p จากนั้นความน่าจะเป็นที่ในเหตุการณ์การทดลองอิสระ n เหตุการณ์ A จะปรากฏขึ้นตรงเวลา k ครั้งจะคำนวณโดยสูตร:

โดยที่ C n k คือจำนวนของชุดค่าผสม q = 1 − p

สูตรนี้เรียกว่าสูตรเบอร์นูลลี เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าปัญหาด้านล่างนี้สามารถแก้ไขได้อย่างสมบูรณ์โดยไม่ต้องใช้สูตรนี้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้สูตรการบวกความน่าจะเป็นได้ อย่างไรก็ตาม จำนวนของการคำนวณจะไม่สมจริง

งาน. ความน่าจะเป็นในการผลิตผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในเครื่องคือ 0.2 กำหนดความน่าจะเป็นที่ชุดของชิ้นส่วนสิบชิ้นที่ผลิตในเครื่องจักรที่กำหนด k จะไม่มีข้อบกพร่อง แก้ปัญหาสำหรับ k = 0, 1, 10

ตามเงื่อนไข เราสนใจเหตุการณ์ A ของการเปิดตัวผลิตภัณฑ์โดยไม่มีข้อบกพร่อง ซึ่งเกิดขึ้นทุกครั้งด้วยความน่าจะเป็น p = 1 − 0.2 = 0.8 เราจำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้น k ครั้ง เหตุการณ์ A ตรงข้ามกับเหตุการณ์ "ไม่ใช่ A" เช่น การผลิตสินค้าที่บกพร่อง

ดังนั้นเราจึงมี: n = 10; พี = 0.8; คิว = 0.2

ดังนั้นเราจึงพบความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนทั้งหมดในแบทช์มีข้อบกพร่อง (k = 0) มีเพียงชิ้นส่วนเดียวที่มีข้อบกพร่อง (k = 1) และไม่มีชิ้นส่วนใดบกพร่องเลย (k = 10):

งาน. โยนเหรียญ 6 ครั้ง การสูญเสียแขนเสื้อและหางก็มีความเป็นไปได้เท่ากัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

1. เสื้อคลุมแขนจะลดลงสามครั้ง
2. เสื้อคลุมแขนจะลดลงหนึ่งครั้ง
3. แขนเสื้อจะปรากฏอย่างน้อยสองครั้ง

ดังนั้นเราสนใจเหตุการณ์ A เมื่อเสื้อคลุมแขนตก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ p = 0.5 เหตุการณ์ A ถูกโต้แย้งด้วยเหตุการณ์ “ไม่ใช่ A” เมื่อมันออกก้อย ซึ่งเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น q = 1 − 0.5 = 0.5 มีความจำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่เสื้อคลุมแขนจะหลุดออกไป k ครั้ง

ดังนั้นเราจึงมี: n = 6; พี = 0.5; คิว = 0.5

ให้เราพิจารณาความน่าจะเป็นที่เสื้อคลุมแขนหลุดออกมาสามครั้งนั่นคือ k = 3:

ทีนี้มาพิจารณาความน่าจะเป็นที่เสื้อคลุมแขนหลุดออกมาเพียงครั้งเดียวนั่นคือ k = 1:

ยังคงต้องพิจารณาด้วยความน่าจะเป็นที่เสื้อคลุมแขนจะหลุดออกอย่างน้อยสองครั้ง อุปสรรค์หลักอยู่ในวลี "ไม่น้อย" ปรากฎว่า k ใด ๆ จะเหมาะกับเรายกเว้น 0 และ 1 เช่น คุณต้องหาค่าของผลรวม X \u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6)

โปรดทราบว่าผลรวมนี้ก็เท่ากับ (1 − P 6 (0) − P 6 (1)) เช่น จากตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดก็เพียงพอแล้วที่จะ "ตัดออก" เมื่อเสื้อคลุมแขนหลุดออกมา 1 ครั้ง (k = 1) หรือไม่หลุดเลย (k = 0) เนื่องจากเรารู้ P 6 (1) แล้ว จึงยังคงค้นหา P 6 (0):

งาน. ความน่าจะเป็นที่ทีวีมีข้อบกพร่องซ่อนอยู่คือ 0.2 โกดังได้รับทีวี 20 เครื่อง เหตุการณ์ใดที่มีแนวโน้มมากกว่า: มีทีวีสองเครื่องที่มีข้อบกพร่องซ่อนอยู่ในชุดหรือสามเครื่องนี้

เหตุการณ์ที่น่าสนใจ A คือความบกพร่องที่แฝงอยู่ ทีวีทั้งหมด n = 20 ความน่าจะเป็นของข้อบกพร่องที่ซ่อนอยู่ p = 0.2 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ทีวีที่ไม่มีข้อบกพร่องซ่อนอยู่คือ q = 1 − 0.2 = 0.8

เราได้รับเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับโครงร่าง Bernoulli: n = 20; พี = 0.2; คิว = 0.8

มาหาความน่าจะเป็นที่จะได้ทีวี "เสีย" สองเครื่อง (k = 2) และสามเครื่อง (k = 3):

\[\begin(อาร์เรย์)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

เห็นได้ชัดว่า หน้า 20 (3) > หน้า 20 (2) เช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้รับทีวีสามเครื่องที่มีข้อบกพร่องซ่อนอยู่นั้นมีแนวโน้มที่จะได้รับทีวีดังกล่าวเพียงสองเครื่องเท่านั้น นอกจากนี้ความแตกต่างไม่ได้อ่อนแอ

หมายเหตุเล็กน้อยเกี่ยวกับแฟกทอเรียล หลายคนรู้สึกอึดอัดเมื่อเห็นรายการ "0!" (อ่านว่า "แฟกทอเรียลศูนย์") ดังนั้น 0! = 1 ตามนิยาม

พี ส. และความน่าจะเป็นที่ใหญ่ที่สุดในงานสุดท้ายคือการได้ทีวีสี่เครื่องที่มีข้อบกพร่องซ่อนอยู่ ทำคณิตศาสตร์และดูด้วยตัวคุณเอง

การทดลองอิสระซ้ำๆ จะเรียกว่าการทดลอง Bernoulli ถ้าการทดลองแต่ละครั้งมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงสองผลลัพธ์ และความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ยังคงเหมือนเดิมสำหรับการทดลองทั้งหมด

โดยปกติแล้วผลลัพธ์ทั้งสองนี้เรียกว่า "สำเร็จ" (S) หรือ "ล้มเหลว" (F) และความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันจะแสดงแทน หน้าและ ถาม. เป็นที่ชัดเจนว่า หน้า 0, ถาม³ 0 และ หน้า+ถาม=1.

พื้นที่เหตุการณ์เบื้องต้นของการทดลองแต่ละครั้งประกอบด้วยสองเหตุการณ์ Y และ H

พื้นที่ของเหตุการณ์ระดับประถมศึกษา นการทดลองของ Bernoulli Ω ประกอบด้วย 2 นเหตุการณ์เบื้องต้นซึ่งเป็นลำดับ (โซ่) ของ นสัญลักษณ์ Y และ H แต่ละเหตุการณ์เบื้องต้นเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของลำดับ นการทดลองของ Bernoulli เนื่องจากการทดสอบเป็นอิสระ ดังนั้น ตามทฤษฎีบทการคูณ ความน่าจะเป็นจึงถูกคูณ นั่นคือ ความน่าจะเป็นของลำดับเฉพาะใด ๆ คือผลคูณที่ได้จากการแทนที่สัญลักษณ์ U และ H ด้วย หน้าและ ถามตามลำดับ ตัวอย่างเช่น: ร( )=(คุณ ยู เอ็น อู เอ็น... นู )= พี พี คิว พี คิว ... คิว คิว พี .

โปรดทราบว่าผลลัพธ์ของการทดสอบ Bernoulli มักแสดงด้วย 1 และ 0 จากนั้นจึงแสดงเหตุการณ์เบื้องต้นในลำดับ นการทดสอบ Bernoulli - มีห่วงโซ่ที่ประกอบด้วยศูนย์และหนึ่ง ตัวอย่างเช่น:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0)

การทดลองแบร์นูลลีเป็นรูปแบบที่สำคัญที่สุดที่พิจารณาในทฤษฎีความน่าจะเป็น โครงร่างนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส J. Bernoulli (1654-1705) ซึ่งศึกษาแบบจำลองนี้ในเชิงลึกในงานของเขา

ปัญหาหลักที่เราสนใจคือ: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคืออะไร นการทดลองแบร์นูลลีเกิดขึ้น มความสำเร็จ?

หากตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ ความน่าจะเป็นที่ระหว่าง การทดสอบอิสระเหตุการณ์ จะได้สังเกตถูก ม ครั้ง (ไม่ว่าในการทดลองใด) ถูกกำหนดโดย สูตรเบอร์นูลลี:

(21.1)

ที่ไหน - ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น ในการทดสอบทุกครั้งและ
คือความน่าจะเป็นที่ในประสบการณ์ที่กำหนดเหตุการณ์หนึ่งๆ ไม่ได้เกิดขึ้น

ถ้าเราพิจารณา พี น (เมตร)เป็นฟังก์ชัน มจากนั้นจะกำหนดการแจกแจงความน่าจะเป็น ซึ่งเรียกว่าทวินาม มาสำรวจความสัมพันธ์นี้กัน พี น (เมตร)จาก ม, 0£ ม£ น.

การพัฒนา ขเมตร ( ม = 0, 1, ..., น) ประกอบด้วยจำนวนเหตุการณ์ที่แตกต่างกัน และใน นการทดสอบเข้ากันไม่ได้และสร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ เพราะเหตุนี้,
.

พิจารณาอัตราส่วน:

=
=
=
.

มันจึงเป็นไปตามนั้น พี น (ม.+1)>พี น (เมตร),ถ้า (น- ม) พี> (ม.+1)คิว, เช่น. การทำงาน พี น (ม) เพิ่มขึ้นถ้า ม< น- ถาม. เช่นเดียวกัน, พี น (ม.+1)< พี น (เมตร),ถ้า (น- ม) พี< (ม.+1)คิว, เช่น. พี น (เมตร)ลดลงถ้า ม> น- ถาม.

ดังนั้นจึงมีจำนวน ม 0 ซึ่ง พี น (เมตร)ถึงมูลค่าสูงสุด หากัน ม 0 .

ตามความหมายของเลข มเรามี 0 พี น (ม 0)³ พี น (ม 0 -1) และ พี น (ม 0) ³ พี น (ม 0 +1) ดังนั้น

, (21.2)

. (21.3)

การแก้อสมการ (21.2) และ (21.3) ที่เกี่ยวกับ ม 0 เราได้รับ:

หน้า/ ม 0 ³ ถาม/(น- ม 0 +1) Þ ม 0 £ น+ หน้า,

ถาม/(น- ม 0 ) ³ หน้า/(ม 0 +1) Þ ม 0 ³ น- ถาม.

ดังนั้นตัวเลขที่ต้องการ ม 0 เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน

น- ถาม£ ม 0 £ np+p (21.4)

เนื่องจาก หน้า+ถาม=1 แล้วความยาวของช่วงที่กำหนดโดยอสมการ (21.4) เท่ากับหนึ่ง และมีจำนวนเต็มอย่างน้อยหนึ่งจำนวน ม 0 ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน (21.4):

1) ถ้า น - ถามเป็นจำนวนเต็มแล้วมีสองค่า ม 0 คือ: ม 0 = น - ถามและ ม 0 = น - ถาม + 1 = น + หน้า;

2) ถ้า น - ถาม- เศษส่วนแล้วมีหนึ่งจำนวน ม 0 คือจำนวนเต็มเฉพาะที่อยู่ระหว่าง ตัวเลขเศษส่วนได้จากอสมการ (21.4);

3) ถ้า นเป็นจำนวนเต็มแล้วมีหนึ่งจำนวน ม 0 คือ ม 0 = น.

ตัวเลข ม 0 เรียกว่าค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดหรือน่าจะเป็นมากที่สุด (จำนวน) ของการเกิดเหตุการณ์ กในชุดของ นการทดสอบอิสระ

ในบทเรียนนี้ เราจะพบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระเมื่อการทดลองซ้ำ . การทดลองเรียกว่าเป็นอิสระหากความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งของการทดลองแต่ละครั้งไม่ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทดลองอื่นๆ . การทดสอบอิสระสามารถทำได้ทั้งภายใต้เงื่อนไขเดียวกันและภายใต้เงื่อนไขที่แตกต่างกัน ในกรณีแรก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองทั้งหมดจะเท่ากัน ในกรณีที่สอง จะแตกต่างกันไปในแต่ละการทดลอง

ตัวอย่างของการสอบซ่อมอิสระ :

• หนึ่งในโหนดอุปกรณ์หรือสองหรือสามโหนดจะล้มเหลว และความล้มเหลวของแต่ละโหนดไม่ได้ขึ้นอยู่กับโหนดอื่น ๆ และความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของโหนดหนึ่งจะคงที่ในการทดสอบทั้งหมด
• ชิ้นส่วนที่ผลิตภายใต้เงื่อนไขทางเทคโนโลยีที่คงที่ หรือสาม สี่ ห้าชิ้นส่วนจะกลายเป็นไม่ได้มาตรฐาน และส่วนหนึ่งอาจกลายเป็นไม่ได้มาตรฐานโดยไม่คำนึงถึงส่วนอื่น ๆ และความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนจะ กลายเป็นว่าไม่ได้มาตรฐานมีค่าคงที่ในการทดสอบทั้งหมด
• จากการยิงหลายครั้งบนเป้าหมาย หนึ่ง สามหรือสี่นัดเข้าเป้าโดยไม่คำนึงถึงผลลัพธ์ของการยิงอื่นๆ และความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายนั้นคงที่ในทุกการทดลอง
• เมื่อใส่เหรียญแล้ว เครื่องจะทำงานอย่างถูกต้องหนึ่ง สองครั้ง หรือหลายครั้ง โดยไม่คำนึงว่าการใส่เหรียญอื่นๆ จะเป็นอย่างไร และความน่าจะเป็นที่เครื่องจะทำงานอย่างถูกต้องนั้นคงที่ในทุกการทดลอง

เหตุการณ์เหล่านี้สามารถอธิบายได้ด้วยโครงร่างเดียว แต่ละเหตุการณ์เกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้งด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงหากทราบผลของการทดลองครั้งก่อน การทดสอบดังกล่าวเรียกว่าอิสระและเรียกว่าแบบแผน โครงการเบอร์นูลลี . สันนิษฐานว่าการทดสอบดังกล่าวสามารถทำซ้ำได้หลายครั้งตามที่ต้องการ

หากมีความน่าจะเป็น หน้าเหตุการณ์ กเป็นค่าคงที่ในแต่ละการทดลอง แล้วความน่าจะเป็นที่ใน นเหตุการณ์ทดสอบอิสระ กจะมา มครั้งที่ตั้งอยู่บน สูตรเบอร์นูลลี :

(ที่ไหน ถาม= 1 – หน้า- ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น)

มาตั้งค่างาน - เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ประเภทนี้เข้ามา นการทดลองอิสระจะมาถึง มครั้งหนึ่ง.

สูตรเบอร์นูลลี: ตัวอย่างของการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1จงหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วน 2 ส่วนที่ถูกสุ่มเลือกจาก 5 ส่วนจะเป็นมาตรฐาน ถ้าความน่าจะเป็นที่แต่ละส่วนจะเป็นมาตรฐานคือ 0.9

การตัดสินใจ. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และประกอบด้วยความจริงที่ว่าส่วนที่สุ่มเป็นมาตรฐานคือ หน้า=0.9 และความน่าจะเป็นที่ไม่ได้มาตรฐานคือ ถาม=1–หน้า=0.1 . เหตุการณ์ที่ระบุในเงื่อนไขของปัญหา (เราระบุโดย ที่) จะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น สองส่วนแรกเป็นแบบมาตรฐาน และสามส่วนถัดไปไม่เป็นมาตรฐาน แต่เหตุการณ์ ที่ยังเกิดขึ้นหากชิ้นส่วนที่หนึ่งและสามเป็นมาตรฐานและส่วนที่เหลือไม่ได้มาตรฐาน หรือหากชิ้นส่วนที่สองและห้าเป็นมาตรฐานและส่วนที่เหลือไม่ได้มาตรฐาน มีความเป็นไปได้อื่น ๆ ที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น ที่. ใด ๆ ของพวกเขาโดดเด่นด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าจากห้าส่วนที่นำมาซึ่งสองซึ่งครอบครองสถานที่ใด ๆ จากห้าจะกลายเป็นมาตรฐาน เพราะเหตุนี้, จำนวนทั้งหมดโอกาสต่างๆ ในการเกิดเหตุการณ์ ที่เท่ากับจำนวนความเป็นไปได้ในการวางชิ้นส่วนมาตรฐานสองชิ้นในห้าตำแหน่ง เช่น เท่ากับจำนวนการรวมกันของห้าองค์ประกอบคูณสอง และ

ความน่าจะเป็นของแต่ละความเป็นไปได้ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นมีค่าเท่ากับผลคูณของปัจจัย 5 ประการ ซึ่งสองตัวซึ่งสอดคล้องกับลักษณะของชิ้นส่วนมาตรฐานมีค่าเท่ากับ 0.9 และอีกสามตัวที่เหลือซึ่งสอดคล้องกับลักษณะที่ปรากฏของความไม่ - ส่วนมาตรฐานมีค่าเท่ากับ 0.1 เช่น ความน่าจะเป็นนี้คือ เนื่องจากความเป็นไปได้ทั้งสิบนี้เป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ตามทฤษฎีบทการบวก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ที่ซึ่งเราหมายถึง

ตัวอย่างที่ 2ความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรต้องการความสนใจจากพนักงานภายในหนึ่งชั่วโมงคือ 0.6 สมมติว่าความล้มเหลวของเครื่องจักรนั้นเป็นอิสระจากกัน ให้หาความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรเครื่องใดเครื่องหนึ่งในสี่เครื่องที่ให้บริการโดยพนักงานคนใดเครื่องหนึ่งจากสี่เครื่องในระยะเวลาหนึ่งชั่วโมงจะเรียกร้องความสนใจ

การตัดสินใจ. โดยใช้ สูตรของแบร์นูลลีที่ น=4 , ม=1 , หน้า=0.6 และ ถาม=1–หน้า=0.4 เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 3สำหรับการทำงานปกติของอู่ซ่อมรถ ต้องมีรถอย่างน้อยแปดคันในสาย และมีสิบคัน ความน่าจะเป็นของการไม่ออกของรถแต่ละคันไปยังเส้นเท่ากับ 0.1 ค้นหาความน่าจะเป็นของการทำงานปกติของคลังในวันถัดไป

การตัดสินใจ. Autobase จะทำงานได้ดี (เหตุการณ์ ฉ) ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่งหรือแปดจะเข้าบรรทัด (เหตุการณ์ และ) หรือเก้า (เหตุการณ์ ที่)หรืองานสิบคัน(งาน ค). ตามทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น

เราพบว่าแต่ละเทอม ตามสูตรเบอร์นูลลี. ที่นี่ น=10 , ม=8; 10 และ หน้า\u003d 1-0.1 \u003d 0.9 ตั้งแต่ หน้าน่าจะหมายถึงความน่าจะเป็นของรถที่เข้าเส้น แล้ว ถาม=0.1 . เป็นผลให้เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 4ปล่อยให้ความน่าจะเป็นที่ลูกค้าต้องการรองเท้าผู้ชายไซส์ 41 เป็น 0.25 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ซื้อจากหกรายอย่างน้อยสองคนต้องการรองเท้าขนาด 41

หากมีการทดลองหลายครั้ง และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งไม่ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทดลองอื่น ดังนั้นการทดลองดังกล่าวจะเรียกว่า อิสระตามเหตุการณ์ ก .

ในการทดลองอิสระที่แตกต่างกัน เหตุการณ์ A อาจมีความน่าจะเป็นต่างกันหรือความน่าจะเป็นเท่ากัน เราจะพิจารณาเพิ่มเติมเฉพาะการทดลองอิสระที่เหตุการณ์ A มีความเป็นไปได้เท่ากัน

ด้านล่างนี้เราใช้แนวคิด ซับซ้อน เหตุการณ์เข้าใจโดยมัน การรวมกันของเหตุการณ์ที่แยกจากกันซึ่งเรียกว่า เรียบง่าย .

ปล่อยให้มันผลิต น การทดลองอิสระ ในแต่ละเหตุการณ์ A อาจเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้ ให้เราตกลงที่จะถือว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งเท่ากัน นั่นคือเท่ากับ ร . ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะไม่เกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งจึงคงที่และเท่ากับ คิว = 1 - หน้า .

ให้เรากำหนดงานในการคำนวณความน่าจะเป็นที่ นการทดสอบเหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน เค ครั้งและดังนั้นจะไม่เกิดขึ้น n-k ครั้งหนึ่ง. สิ่งสำคัญคือต้องเน้นว่าเหตุการณ์ A ไม่จำเป็นต้องทำซ้ำทั้งหมด เค ครั้งในลำดับที่แน่นอน

เช่น ถ้าพูดถึงเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น และสามครั้งในการทดลองสี่ครั้ง เหตุการณ์ที่ซับซ้อนต่อไปนี้เป็นไปได้: เอเอเอ เอเอเอ เอเอเอ เอเอเอ. การบันทึก AAAหมายความว่าในการทดลองครั้งแรก ครั้งที่สอง และครั้งที่สาม เหตุการณ์ และมา แต่ในการทดสอบครั้งที่สี่ไม่ปรากฏนั่นคือ สิ่งที่ตรงกันข้ามเกิดขึ้น และ;รายการอื่น ๆ มีความหมายที่สอดคล้องกัน

ระบุความน่าจะเป็นที่ต้องการ R พี (k) . ตัวอย่างเช่นสัญลักษณ์ ร 5 (3) หมายถึง ความน่าจะเป็นที่ในการทดลอง 5 ครั้ง เหตุการณ์จะเกิดขึ้น 3 ครั้งพอดี ดังนั้นจะไม่เกิดขึ้น 2 ครั้ง

ปัญหาสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรที่เรียกว่า Bernoulli

ที่มาของสูตรเบอร์นูลลี. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ประกอบหนึ่งเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าใน พี เหตุการณ์การทดสอบ และจะมา เค ครั้งเดียวและจะไม่มา n - เค ครั้ง ตามทฤษฎีบทของการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระเท่ากับ พี เค คิว เอ็น - เค . สามารถมีเหตุการณ์ที่ซับซ้อนได้มากเท่าที่มีการรวมกันของ พี องค์ประกอบโดย เค องค์ประกอบเช่น ซี เอ็น เค .

เนื่องจากเหตุการณ์ที่ซับซ้อนเหล่านี้ เข้ากันไม่ได้, แล้ว ตามทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ซับซ้อนที่เป็นไปได้ทั้งหมด. เนื่องจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ซับซ้อนเหล่านี้เหมือนกัน ความน่าจะเป็นที่ต้องการ (ของการเกิดขึ้น เค ครั้งเหตุการณ์ และ ใน พี การทดสอบ) เท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ซับซ้อนหนึ่งเหตุการณ์ คูณด้วยจำนวน:

เรียกว่าสูตรผลลัพธ์ สูตรเบอร์นูลลี .

ตัวอย่างที่ 1. ความน่าจะเป็นที่การใช้ไฟฟ้าในหนึ่งวันจะไม่เกิน บรรทัดฐานที่กำหนดขึ้น, เท่ากับ พี = 0.75 . ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในอีก 6 วันข้างหน้า การใช้ไฟฟ้าเป็นเวลา 4 วันจะไม่เกินค่าปกติ

การตัดสินใจ. ความน่าจะเป็นของการใช้ไฟฟ้าปกติในแต่ละ 6 วันมีค่าคงที่และเท่ากับ พี = 0.75 . ดังนั้นความน่าจะเป็นของการใช้ไฟฟ้ามากเกินไปทุกวันจึงคงที่และเท่ากัน q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0.75 \u003d 0.25

ความน่าจะเป็นที่ต้องการตามสูตร Bernoulli เท่ากับ:

สูตรเบอร์นูลลี- สูตรในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น เอ (\displaystyle A)ในการทดสอบอิสระ สูตร Bernoulli ช่วยให้คุณกำจัดการคำนวณจำนวนมาก - การบวกและการคูณความน่าจะเป็น - เพียงพอ ในจำนวนมากการทดสอบ ตั้งชื่อตาม Jacob Bernoulli นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสที่โดดเด่นซึ่งได้สูตรนี้มา

ยูทูบ สารานุกรม

1 / 3

✪ ทฤษฎีความน่าจะเป็น 22. สูตรเบอร์นูลลี การแก้ปัญหา

✪ สูตรเบอร์นูลลี

✪ 20 การทดสอบซ้ำสูตรเบอร์นูลลี

คำบรรยาย

ถ้อยคำ

ทฤษฎีบท.หากมีความน่าจะเป็น พี (\displaystyle p)เหตุการณ์ เอ (\displaystyle A)เป็นค่าคงที่ในแต่ละการทดลอง จากนั้น ความน่าจะเป็น P k , n (\displaystyle P_(k,n))ว่าเหตุการณ์ เอ (\displaystyle A)มาอย่างแน่นอน k (\displaystyle k)ครั้งหนึ่ง n (\displaystyle n)การทดสอบอิสระเท่ากับ: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), ที่ไหน q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).

การพิสูจน์

ปล่อยให้มันถือ n (\displaystyle n)การทดสอบอิสระ และเป็นที่ทราบกันดีว่าจากการทดสอบแต่ละครั้ง เหตุการณ์ต่างๆ เอ (\displaystyle A)มาพร้อมกับความน่าจะเป็น P (A) = p (\displaystyle P\left(A\right)=p)จึงไม่เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). ให้ในการทดสอบความน่าจะเป็น พี (\displaystyle p)และ q (\displaystyle q)ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ความน่าจะเป็นที่เป็นผลลัพธ์คืออะไร n (\displaystyle n)การทดสอบอิสระ เหตุการณ์ เอ (\displaystyle A)มาอย่างแน่นอน k (\displaystyle k)ครั้งหนึ่ง?

ปรากฎว่าสามารถคำนวณจำนวนชุดค่าผสมของผลการทดสอบที่ "สำเร็จ" ได้อย่างแม่นยำซึ่งเหตุการณ์ เอ (\displaystyle A)มา k (\displaystyle k)ครั้งหนึ่ง n (\displaystyle n)การทดลองอิสระเป็นจำนวนที่รวมกันของ n (\displaystyle n)บน k (\displaystyle k) :

ค น (k) = น! เค! (n − k) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

ในเวลาเดียวกัน เนื่องจากการทดลองทั้งหมดมีความเป็นอิสระต่อกันและผลลัพธ์ไม่สอดคล้องกัน (เหตุการณ์ เอ (\displaystyle A)เกิดขึ้นหรือไม่ก็ตาม) ความน่าจะเป็นที่จะได้รับชุดค่าผสมที่ "สำเร็จ" คือ: .

สุดท้ายเพื่อหาความน่าจะเป็นที่ n (\displaystyle n)เหตุการณ์ทดสอบอิสระ เอ (\displaystyle A)มาอย่างแน่นอน k (\displaystyle k)คุณต้องบวกความน่าจะเป็นที่จะได้ชุดค่าผสมที่ "สำเร็จ" ทั้งหมด ความน่าจะเป็นที่จะได้ชุดค่าผสมที่ "สำเร็จ" ทั้งหมดนั้นเท่ากันและเท่ากัน p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k))จำนวนชุดค่าผสมที่ "สำเร็จ" คือ C n (k) (\displaystyle C_(n)(k))ดังนั้นเราจึงได้รับ:

P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).

นิพจน์สุดท้ายไม่ใช่อะไรนอกจากสูตรเบอร์นูลลี นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ที่จะทราบว่าเนื่องจากกลุ่มของเหตุการณ์ทั้งหมดจะเป็นจริง:

∑ k = 0 n (P k , n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).