กำหนดการแปลงร่างบนเครื่องบิน ปัญหาผกผันของการแปลง Affine หรือประมาณหนึ่งสูตรที่สวยงาม ประเภทของการแปลง Affine

06.08.2020 | นิติศาสตร์

การแปลง Affine ที่ซับซ้อนใดๆ สามารถแสดงเป็นองค์ประกอบของการแปลง Affine เบื้องต้นได้หลายรายการ การวิเคราะห์แสดงให้เห็นว่าในกราฟิก 2D มีการแปลงความสัมพันธ์เบื้องต้นสี่แบบ ได้แก่ การหมุน การยืด การสะท้อน และการแปล

เปลี่ยน.

พิจารณาการหมุนของจุดใดก็ได้ กรอบจุดกำเนิดเป็นมุม(รูปที่ 6)

การแปลงความสัมพันธ์เบื้องต้นคือการหมุนด้วยมุม 

จาก เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์เป็นที่ทราบกันว่าการหมุนถูกอธิบายโดยการแปลงแบบอัฟฟินต่อไปนี้

(5)

สะดวกในการรวมพิกัดของจุดในรูปแบบของเวกเตอร์ 2 มิติ (คอลัมน์) จากนั้นจุดเปลี่ยน กไปยังตำแหน่งจุด ก

(6)

ในสัญลักษณ์นี้ การหมุนสามารถแสดงเป็นการคูณเมทริกซ์ได้

(7)

ที่นี่ ร– เมทริกซ์การหมุน (การหมุน) โครงสร้างของเมทริกซ์นี้ได้มาจากสมการ (5)

(8)

การยืด-การบีบอัด การปรับขนาด

ให้เราพิจารณาการทำงานของการยืด-อัดตามแนวแกนพิกัดพร้อมค่าสัมประสิทธิ์การยืด เค 1 ,เค 2. การดำเนินการนี้มักเรียกว่าการปรับขนาด
.

ตัวอย่างเช่น ให้เราแสดง (รูปที่ 7) การยืดของส่วนที่มีค่าสัมประสิทธิ์การยืดเท่ากับ
.

การเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์เบื้องต้น - การขยายด้วยค่าสัมประสิทธิ์

(9)

การยืดอธิบายโดยการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้

(10)

ที่นี่ การแปลง (9) สามารถแสดงเป็นการคูณเมทริกซ์ส

(11)

– เมทริกซ์สเกล โครงสร้างของเมทริกซ์นี้ได้มาจากสมการ (9)

การสะท้อนกลับ ลองพิจารณาการทำงานของการสะท้อนสัมพันธ์กับแกนพิกัด ตัวอย่างเช่น ลองแสดง (รูปที่ 8) การสะท้อนที่สัมพันธ์กับแกน.

การเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ขั้นต้น – การสะท้อนสัมพันธ์กับแกนวัว

(12)

การสะท้อนกลับอธิบายได้โดยการแปลงความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้

(13)

ที่นี่ การแปลง (12) สามารถแสดงเป็นการคูณเมทริกซ์ม

(14)

– เมทริกซ์การสะท้อน (กระจก – กระจกสะท้อน) โครงสร้างของเมทริกซ์นี้ได้มาจากสมการ (12) ในทำนองเดียวกัน เราจะพบเมทริกซ์การสะท้อนที่สัมพันธ์กับแกน.

(15)

ย

โอนย้าย.
- ด้วยการดำเนินการนี้ วัตถุใดก็ตามจะเคลื่อนที่โดยไม่มีการบิดเบี้ยว และด้านใดด้านหนึ่งจะยังคงขนานกับตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น เราแสดงในรูปที่ 9 การถ่ายโอนส่วนต่างๆ

การแปลงความสัมพันธ์เบื้องต้น - ถ่ายโอนไปยังเวกเตอร์การแปล ที .

การถ่ายโอนอธิบายไว้โดยการแปลงรูปแบบต่อไปนี้

(16)

เราต้องการแสดงการแปลง (16) ในรูปแบบของการคูณเมทริกซ์

(17)

ที่นี่ ต– ต้องเป็นเมทริกซ์การแปล (การแปล – การแปล, การถ่ายโอน) อย่างไรก็ตาม เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างเมทริกซ์ ตมิติ 22 เพื่อให้สมการ (16) และ (17) สอดคล้องกัน

อย่างไรก็ตาม เมทริกซ์ดังกล่าวสามารถสร้างขึ้นได้หากเราพิจารณาการแปลงแบบ 2 มิติในพื้นที่ 3 มิติอย่างเป็นทางการ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องย้ายไปยังพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน

พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน

แนวคิดเรื่องพิกัดเนื้อเดียวกันมาจากเรขาคณิตที่ฉายภาพ ปล่อยให้ประเด็น กอยู่บนเครื่องบินและมีพิกัด ( ลองพิจารณาการทำงานของการสะท้อนสัมพันธ์กับแกนพิกัด ตัวอย่างเช่น ลองแสดง (รูปที่ 8) การสะท้อนที่สัมพันธ์กับแกน,ในทำนองเดียวกัน เราจะพบเมทริกซ์การสะท้อนที่สัมพันธ์กับแกน- แล้ว พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันจุดนี้คือสามเท่าของตัวเลข x 1 , x 2 , x 3 ที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขที่กำหนด ลองพิจารณาการทำงานของการสะท้อนสัมพันธ์กับแกนพิกัด ตัวอย่างเช่น ลองแสดง (รูปที่ 8) การสะท้อนที่สัมพันธ์กับแกนและ ในทำนองเดียวกัน เราจะพบเมทริกซ์การสะท้อนที่สัมพันธ์กับแกนความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้

(18)

เมื่อแก้ไขปัญหาคอมพิวเตอร์กราฟิก โดยปกติจะเลือกตัวเลขสามตัวต่อไปนี้เป็นพิกัดเนื้อเดียวกัน

ดังนั้น ณ จุดใดจุดหนึ่ง ก(ลองพิจารณาการทำงานของการสะท้อนสัมพันธ์กับแกนพิกัด ตัวอย่างเช่น ลองแสดง (รูปที่ 8) การสะท้อนที่สัมพันธ์กับแกน,ในทำนองเดียวกัน เราจะพบเมทริกซ์การสะท้อนที่สัมพันธ์กับแกน) เครื่องบินได้รับการกำหนดจุด ก(ลองพิจารณาการทำงานของการสะท้อนสัมพันธ์กับแกนพิกัด ตัวอย่างเช่น ลองแสดง (รูปที่ 8) การสะท้อนที่สัมพันธ์กับแกน,ในทำนองเดียวกัน เราจะพบเมทริกซ์การสะท้อนที่สัมพันธ์กับแกน, 1) ในอวกาศ โดยพื้นฐานแล้ว เรากำลังพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของความสัมพันธ์ในระนาบ z= 1 ดังแสดงในรูปที่ 10

เชื่อมโยงการเปลี่ยนแปลงในพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน

พิกัดจุดที่อยู่ในระนาบ z= 1 ถูกรวมกันในรูปของเวกเตอร์ 3 มิติ จุดเปลี่ยน กไปยังตำแหน่งจุด ก* ถือเป็นการแปลงเวกเตอร์ได้

(20)

ในสัญลักษณ์นี้ การแปลงความสัมพันธ์ทั่วไป (1) สามารถแสดงเป็นการคูณเมทริกซ์ได้

(21)

นี่คือเมทริกซ์ ปของมิติ 33 คือเมทริกซ์ของการแปลงความสัมพันธ์ทั่วไป (1) และมีรูปแบบ

(22)

เรามาสังเกตประเด็นสำคัญกัน ที่เกี่ยวข้องกับพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน การเปลี่ยนไปใช้เวกเตอร์และเมทริกซ์สามมิติ (20, 21, 22) สามารถดำเนินการอย่างเป็นทางการอย่างสมบูรณ์ โดยไม่ต้องเชื่อมโยงกับปริภูมิสามมิติจริง (x, y, z) วิธีการนี้ช่วยให้สามารถแนะนำพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันสำหรับการแปลงความสัมพันธ์แบบ 3 มิติ และดำเนินการคูณเมทริกซ์ในพื้นที่เวกเตอร์ 4 มิติ

เมทริกซ์ที่แนะนำก่อนหน้านี้ของการแปลงความสัมพันธ์เบื้องต้นจะใช้รูปแบบต่อไปนี้ในพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน

เมทริกซ์การหมุน รในพิกัดเอกพันธ์จะมีรูปแบบดังนี้

(23)

เมทริกซ์ยืด การแปลง (9) สามารถแสดงเป็นการคูณเมทริกซ์จะเปลี่ยนดังนี้

(24)

เมทริกซ์การสะท้อน การแปลง (12) สามารถแสดงเป็นการคูณเมทริกซ์สัมพันธ์กับแกนพิกัดจะมีรูปแบบ

(25)

เมทริกซ์การถ่ายโอน ตเพื่อออกอากาศเวกเตอร์ ในพิกัดเอกพันธ์จะมีรูปแบบดังนี้

(26)

การแปลงความสัมพันธ์เป็นสิ่งหนึ่งที่รักษาความขนานของเส้น แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นมุมหรือความยาว
ในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ ทุกอย่างที่เป็นของเคสสองมิติมักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ 2D (2 มิติ) สมมติว่ามีการใช้ระบบพิกัดเส้นตรงบนเครื่องบิน จากนั้นแต่ละจุด M จะถูกกำหนดคู่ลำดับของตัวเลข (x, y) ของพิกัด (รูปที่ 1)

สูตรข้างต้นสามารถพิจารณาได้สองวิธี: จุดจะถูกรักษาไว้และระบบพิกัดเปลี่ยนแปลง ในกรณีนี้จุด M โดยพลการจะยังคงเหมือนเดิม เฉพาะพิกัด (x, y) (x*, y*) เท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง หรือ จุดเปลี่ยนแปลงและระบบพิกัดจะยังคงอยู่ในกรณีนี้ ในกรณีนี้ สูตรกำหนดการแม็ปที่นำจุดใดก็ได้ M(x, y) ไปยังจุด M*(x*, y*) ซึ่งพิกัดคือ กำหนดไว้ในระบบพิกัดเดียวกัน ในอนาคตเราจะตีความสูตรตามกฎว่าจุดของระนาบถูกแปลงในระบบพิกัดเส้นตรงที่กำหนด
ในการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ของเครื่องบิน มีบทบาทพิเศษโดยกรณีพิเศษที่สำคัญหลายกรณีซึ่งมีลักษณะทางเรขาคณิตที่ตรวจสอบย้อนกลับได้ดี เมื่อศึกษาความหมายทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์ตัวเลขในสูตรสำหรับกรณีเหล่านี้ จะสะดวกที่จะถือว่าระบบพิกัดที่กำหนดนั้นเป็นคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม
เทคนิคคอมพิวเตอร์กราฟิกที่ใช้กันมากที่สุด ได้แก่ การแปล การปรับขนาด การหมุน การสะท้อน นิพจน์และตัวเลขพีชคณิตที่อธิบายการแปลงเหล่านี้สรุปไว้ในตารางที่ 1

กำหนดการแปลงร่างบนเครื่องบิน

โดยการถ่ายโอนเราหมายถึงการเลื่อนเอาต์พุตดั้งเดิมไปเป็นเวกเตอร์เดียวกัน
การปรับขนาดคือการขยายหรือลดขนาดรูปภาพทั้งหมดหรือบางส่วน เมื่อปรับขนาด พิกัดของจุดภาพจะคูณด้วยตัวเลขที่กำหนด
การหมุนหมายถึงการหมุนของเอาต์พุตดั้งเดิมรอบแกนที่กำหนด (ในระนาบการวาด การหมุนจะเกิดขึ้นรอบจุด)
การสะท้อนหมายถึงการได้รับภาพสะท้อนในกระจกของภาพที่สัมพันธ์กับแกนใดแกนหนึ่ง (เช่น X)
การเลือกกรณีพิเศษทั้งสี่กรณีนี้จะพิจารณาจากสองสถานการณ์:
1. การแปลงแต่ละครั้งข้างต้นมีความหมายทางเรขาคณิตที่เรียบง่ายและชัดเจน (ตัวเลขคงที่ที่รวมอยู่ในสูตรข้างต้นก็มีความหมายทางเรขาคณิตด้วย)
2. ตามที่พิสูจน์แล้วในหลักสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์ การเปลี่ยนแปลงใดๆ ของรูปแบบ (*) สามารถแสดงเป็นการดำเนินการตามลำดับ (การซ้อนทับ) ของการแปลงที่ง่ายที่สุดของรูปแบบ A, B, C และ D (หรือบางส่วนของสิ่งเหล่านี้ การเปลี่ยนแปลง)
ดังนั้น คุณสมบัติที่สำคัญต่อไปนี้ของการแปลงความสัมพันธ์ของระนาบจึงเป็นจริง: การแมปใดๆ ของแบบฟอร์ม (*) สามารถอธิบายได้โดยใช้การแมปที่ระบุโดยสูตร A, B, C และ D
หากต้องการใช้สูตรที่รู้จักกันดีเหล่านี้ในปัญหาคอมพิวเตอร์กราฟิกอย่างมีประสิทธิภาพ สัญลักษณ์เมทริกซ์จะสะดวกกว่า
เพื่อรวมการแปลงเหล่านี้เข้าด้วยกัน จะมีการแนะนำพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันของจุดคือค่าสามเท่าใดๆ ของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์พร้อมกัน x1, x2, x3 ซึ่งสัมพันธ์กับตัวเลขที่กำหนด x และ y โดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

จากนั้นจุด M(x, y) เขียนเป็น M(hX, hY, h) โดยที่ h 0 คือตัวประกอบสเกล พิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติสามารถพบได้เป็น

ในเรขาคณิตเชิงโครงฉาย พิกัดเหล่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อขจัดความไม่แน่นอนที่เกิดขึ้นเมื่อระบุองค์ประกอบที่อยู่ห่างออกไปอย่างไม่สิ้นสุด (ไม่เหมาะสม) พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันสามารถตีความได้ว่าเป็นการฝังระนาบที่ปรับขนาดโดยปัจจัย h ลงในระนาบ Z= h ในพื้นที่สามมิติ
จุดในพิกัดเอกพันธ์จะถูกเขียนด้วยเวกเตอร์แถวสามองค์ประกอบ เมทริกซ์การแปลงต้องมีขนาด 3x3
การใช้พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันสามเท่าและเมทริกซ์ลำดับที่สาม สามารถอธิบายการเปลี่ยนแปลงแบบสัมพัทธ์ใดๆ ของระนาบได้
ที่จริงแล้ว สมมติว่า h = 1 ลองเปรียบเทียบสองรายการ: รายการที่มีสัญลักษณ์ (*) และเมทริกซ์ต่อไปนี้:

ตอนนี้คุณสามารถใช้องค์ประกอบของการแปลงได้ โดยใช้ผลลัพธ์หนึ่งรายการ แทนที่จะใช้ชุดของการแปลงที่ติดตามกัน ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแยกปัญหาที่ซับซ้อนออกเป็นปัญหาง่ายๆ ได้ การหมุนจุด A รอบจุด B โดยพลการสามารถแบ่งออกเป็นสามงาน:
การถ่ายโอนโดยที่ B = 0 (โดยที่ 0 คือจุดกำเนิด)
เปลี่ยน;
การถ่ายโอนแบบย้อนกลับซึ่งจุด B กลับสู่ตำแหน่งเดิม ฯลฯ
องค์ประกอบทั่วไปที่สุดของการดำเนินการ T, D, R, M มีเมทริกซ์:

ส่วนบนขนาด 2x2 - เมทริกซ์การหมุนและมาตราส่วนรวม และ tx และ ty อธิบายการแปลทั้งหมด
การเปลี่ยนแปลงพื้นฐานที่ระบุไว้มีดังนี้:
เลื่อนการย้ายหน้าต่างบนพื้นผิวการเรนเดอร์ (หากการเคลื่อนไหวถูกจำกัดเฉพาะทิศทางขึ้นและลงเท่านั้น จะเรียกว่าการเลื่อนแนวตั้ง)

ซูมการเปลี่ยนแปลงขนาดภาพอย่างค่อยเป็นค่อยไป
ตีลังกาภาพไดนามิกของเอาท์พุตดั้งเดิมที่หมุนรอบแกนใดแกนหนึ่งซึ่งการวางแนวจะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องในอวกาศ
กระทะการถ่ายโอนภาพอย่างค่อยเป็นค่อยไปเพื่อสร้างความรู้สึกเคลื่อนไหวทางภาพ

ยูดีซี 004.932

Kudrina M.A., Murzin A.V.

สถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐบาลกลางด้านการศึกษาวิชาชีพระดับสูง "มหาวิทยาลัย Samara State Aerospace ตั้งชื่อตาม Ak. S.P. Korolev (มหาวิทยาลัยวิจัยแห่งชาติ)", Samara, รัสเซีย

การเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ของวัตถุในคอมพิวเตอร์กราฟิก

งานทั่วไปอย่างหนึ่งที่ต้องแก้ไขโดยใช้กราฟิกแรสเตอร์คือการเปลี่ยนแปลงทั้งภาพโดยรวมและแต่ละส่วนของภาพ เช่น การเคลื่อนย้าย การหมุนรอบจุดศูนย์กลางที่กำหนด การเปลี่ยนขนาดเชิงเส้น เป็นต้น

ปัญหานี้แก้ไขได้โดยใช้การแปลงความสัมพันธ์

การแปลง Affine จะมีประโยชน์มากในสถานการณ์ต่อไปนี้:

1. การจัดองค์ประกอบภาพแบนหรือฉากสามมิติโดยการจัดองค์ประกอบประเภทเดียวกัน โดยการคัดลอก แปลง และย้ายไปยังตำแหน่งต่างๆ ของภาพ ตัวอย่างเช่น เพื่อสร้างวัตถุที่สมมาตร เช่น เกล็ดหิมะ คุณสามารถพัฒนาแม่ลายหนึ่งขึ้นมา แล้วสร้างภาพของวัตถุทั้งหมดได้โดยการสะท้อน หมุน และเคลื่อนย้ายแม่ลายนี้

2. การดูวัตถุสามมิติจากมุมมองที่ต่างกัน ในกรณีนี้ คุณสามารถกำหนดตำแหน่งกล้องและหมุนฉากได้ หรือในทางกลับกัน ปล่อยฉากไว้นิ่งๆ แล้วขยับกล้องไปรอบๆ การยักย้ายดังกล่าวสามารถดำเนินการได้โดยใช้การแปลงความสัมพันธ์แบบสามมิติ

3. เพื่อฉายวัตถุสามมิติบนเครื่องบินและแสดงฉากในหน้าต่าง ตัวอย่างเช่น สำหรับการฉายภาพแบบแอกโซโนเมตริก จะใช้ลำดับของการหมุนสองครั้งของระนาบการฉายภาพ และสำหรับการแสดงผลในหน้าต่าง จะใช้การผสมผสานระหว่างการปรับขนาดและการแปล

กำหนดการแปลงร่างบนระนาบเข้า มุมมองทั่วไปอธิบายได้ด้วยสูตรต่อไปนี้:

J X = ขวาน + โดย + C, . โปรแกรมนี้ช่วยให้คุณสามารถทำให้กระบวนการเขียนงานทดสอบเป็นไปโดยอัตโนมัติ

วรรณกรรม

1. โปเรฟ วี.เอ็น. คอมพิวเตอร์กราฟิกส์- - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: BHV-Petersburg, 2545 - 432 หน้า : ป่วย.

2.ฮิลล์ เอฟ โอเพ่น GL. การเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์กราฟฟิก สำหรับมืออาชีพ - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: ปีเตอร์

2545. - 1,088 หน้า: ป่วย. ไอ 5-318-00219-6

3. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Vytyagov A.A., Ionov D.O. การพัฒนาระบบ การเรียนรู้ทางไกลสำหรับรายวิชา "คอมพิวเตอร์กราฟิกส์" โดยใช้ Moodle: Proceedings of the international Symposium Reliability and Quality. 2553 ต.ไอ.ป. 165.

4. Kudrina M.A., Kudrin K.A., Degtyareva O.A. การรับรองสื่อการสอนการวัดสำหรับหลักสูตร "คอมพิวเตอร์กราฟิกส์" // ความน่าเชื่อถือและคุณภาพ 2551 การดำเนินการของนานาชาติ การประชุมสัมมนา เพนซา, 2008, หน้า 162-163.

5. คุดรินา M.A. การใช้ใบรับรองและสื่อการวัดการสอนสำหรับหลักสูตร

"คอมพิวเตอร์กราฟิกส์" ในกระบวนการศึกษา"//การศึกษา - การลงทุนสู่ความสำเร็จ: วัสดุทางวิทยาศาสตร์ -

ด้านล่าง $f$ หมายถึงการแปลงความสัมพันธ์ที่เขียนในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน $O, \boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2)$ ตามสูตร
$$
x^(*)=a_(1)x+b_(1)y+c_(1),\ y^(*)=a_(2)x+b_(2)y+c_(2).\label( อ้างอิง 1)
$$
ระบุว่า
$$
\begin(วีเมทริกซ์)
ก_(1)&ข_(1)\\
ก_(2)&ข_(2)
\end(vmatrix) \neq 0.\label(ref2)
$$

ลองพิจารณาเส้นตรงบนระนาบด้วยสมการ $\boldสัญลักษณ์(r)=\boldสัญลักษณ์(r)_(0)+\boldสัญลักษณ์(a)t$ และหาภาพของมันภายใต้การแปลง $f$ (เข้าใจว่าภาพของเส้นเป็นเซตของภาพของจุด) เวกเตอร์รัศมีของรูปภาพ $M^(*)$ ของจุดใดก็ได้ $M$ สามารถคำนวณได้ดังนี้:
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\overrightarrow(Of(O))+f\overrightarrow((O)M^(*))=\boldสัญลักษณ์(c)+f(\boldสัญลักษณ์(r)).\number
$$

โดยที่ $\boldสัญลักษณ์(c)$ เป็นเวกเตอร์คงที่ $\overrightarrow(Of)(O)$ และ $\boldสัญลักษณ์(r)$ เป็นเวกเตอร์รัศมีของจุด $M$ ตาม (11) §2 เราได้รับ
$$
\overrightarrow(OM^(*))=\boldสัญลักษณ์(c)+f(\boldสัญลักษณ์(r)_(0))+f(\boldสัญลักษณ์(a))t.\label(ref3)
$$
เนื่องจาก $f$ เป็นการแปลงความสัมพันธ์และ $\boldสัญลักษณ์(a) \neq \boldสัญลักษณ์(0)$ ดังนั้น $\boldสัญลักษณ์(a)$ จะเข้าไปในเวกเตอร์ $f(\boldสัญลักษณ์( a) ) \neq 0$ และสมการ \eqref(ref3) คือสมการของเส้นตรง ดังนั้น รูปภาพของจุดทุกจุดของเส้น $\boldสัญลักษณ์(r)=\boldสัญลักษณ์(r)_(0)+\boldสัญลักษณ์(a)t$ จะอยู่บนเส้น \eqref(ref3)

ยิ่งกว่านั้น การแปลง $f$ จะกำหนดการแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งของเส้นหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง เนื่องจากเมื่อเลือกจุดเริ่มต้นและเวกเตอร์ทิศทางที่ทำไว้ที่นี่ จุด $M^(*)$ ก็มีเหมือนกัน ค่าบนบรรทัด \eqref(ref3) พารามิเตอร์ $t$ เหมือนกับจุด $M$ บนบรรทัดเดิม จากที่นี่เราได้รับคำสั่งแรก

คำชี้แจง 1.

ด้วยการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์:

เส้นตรงกลายเป็นเส้นตรง
ส่วนจะเข้าสู่ส่วน;
เส้นขนานกลายเป็นเส้นขนาน

การพิสูจน์.

เพื่อพิสูจน์ข้อความที่สองก็เพียงพอที่จะสังเกตว่าส่วนของเส้นตรงประกอบด้วยจุดที่ค่าพารามิเตอร์เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $t_(1) \leq t \leq t_(2)$ ข้อความสั่งที่สามตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าภายใต้การเปลี่ยนแปลงแบบ Affine เวกเตอร์ collinear -th จะกลายเป็น collinear

คำชี้แจง 2

ในระหว่างการแปลงความสัมพันธ์ อัตราส่วนของความยาวของส่วนขนานจะไม่เปลี่ยนแปลง

การพิสูจน์.

ให้เซ็กเมนต์ $AB$ และ $CD$ ขนานกัน ซึ่งหมายความว่า มีตัวเลข $\lambda$ ในลักษณะที่ $\overrightarrow(AB)=\lambda \overrightarrow(CD)$ รูปภาพของเวกเตอร์ $\overrightarrow(AB)$ และ $\overrightarrow(CD)$ มีความสัมพันธ์กันด้วยการพึ่งพาแบบเดียวกัน $\overrightarrow(A^(*)B^(*))=\lambda \ ลูกศรชี้ไปทางขวา(C^( *)D^(*))$ สืบต่อจากนี้ไปว่า
$$
\frac(|\overrightarrow(AB)|)(|\overrightarrow(CD)|)=\frac(|\overrightarrow(A^(*)B^(*))|)(|\overrightarrow(C^(*) )D^(*))|)=|\แลมบ์ดา|.\หมายเลข
$$

ผลที่ตามมา

ถ้าจุด $C$ แบ่งส่วน $AB$ ในความสัมพันธ์ $\lambda$ ดังนั้นรูปภาพ $C^(*)$ จะแบ่งรูปภาพ $A^(*)B^ (*) $ ส่วน $AB$ ในความสัมพันธ์เดียวกัน $\lambda$

การเปลี่ยนแปลงพื้นที่ระหว่างการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์

ก่อนอื่นเรามาดูกันก่อน ให้เราเลือกระบบพิกัดคาร์ทีเซียนทั่วไป $O, \boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2)$ และแสดงด้วย $(p_(1), p_(2)) $ และ \ ((q_(1), q_(2))\) ส่วนประกอบของเวกเตอร์ $\boldสัญลักษณ์(p)$ และ $\boldสัญลักษณ์(q)$ ที่มันถูกสร้างขึ้น เราสามารถคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้โดยใช้:
$$
S_(\pm)=S_(\pm) (\boldสัญลักษณ์(p), \boldสัญลักษณ์(q))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1)) S_(\pm) ( \boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2)).\number
$$

ปล่อยให้การแปลงความสัมพันธ์ $f$ เขียนในระบบพิกัดที่เลือกโดยใช้สูตร \eqref(ref1) จากสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์ก่อนหน้านี้ เป็นไปตามที่เวกเตอร์ $f(\boldสัญลักษณ์(p))$ และ $f(\boldสัญลักษณ์(q))$ มี $f(\boldสัญลักษณ์(e)_(1)) โดยพื้นฐานแล้ว f(\boldสัญลักษณ์(e)_(2))$ องค์ประกอบเดียวกัน $(p_(1), p_(2))$ และ $(q_(1), q_(2)) $ นั่น และเวกเตอร์ $\boldสัญลักษณ์(p)$ และ $\boldสัญลักษณ์(q)$ ในรูปแบบพื้นฐาน $\boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2)\ ). รูปภาพของสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกสร้างขึ้นบนเวกเตอร์ \(f(\boldสัญลักษณ์(p))$ และ $f(\boldสัญลักษณ์(q))$ และพื้นที่ของมันจะเท่ากับ
$$
S_(\pm)^(*)=S_(\pm) (f(\boldสัญลักษณ์(p)), f(\boldสัญลักษณ์(q)))=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_ (1)) S_(\pm) (f(\boldสัญลักษณ์(e)_(1)), f(\boldสัญลักษณ์(e)_(2))).\number
$$

ลองคำนวณปัจจัยสุดท้ายกัน ดังที่เราทราบจากสิ่งที่พิสูจน์แล้ว พิกัดของเวกเตอร์ $f(\boldสัญลักษณ์(e)_(1)), f(\boldสัญลักษณ์(e)_(2))$ เท่ากัน ตามลำดับ \ ((a_(1), a_( 2))\) และ $(b_(1), b_(2))$ ดังนั้น $S_(\pm) (f(\boldสัญลักษณ์(e)_(1)), f(\boldสัญลักษณ์(e)_(2)))=(a_(1)b_(2)-a_(2) b_(1)) S_(\pm) (\boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2))$ และ
$$
S_(\pm)^(*)=(p_(1)q_(2)-p_(2)q_(1))(a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)) S_( \pm) (\boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2)).\number
$$
จากที่นี่เราเห็นสิ่งนั้น
$$
\frac(S_(\pm)^(*))(S_(\pm))=\begin(vmatrix)
ก_(1)&ข_(1)\\
ก_(2)&ข_(2)
\end(vmatrix).\label(ref4)
$$

ดังนั้น อัตราส่วนของพื้นที่ของภาพของสี่เหลี่ยมด้านขนานเชิงพื้นที่ต่อพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้จะเท่ากันสำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมด และเท่ากับ $a_(1)b_(2)-a_(2)b_ (1)$

ตามมาว่าปัจจัยนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกระบบพิกัดที่เขียนการแปลง แม้ว่าจะคำนวณจากค่าสัมประสิทธิ์ที่ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดก็ตาม ปริมาณนี้เป็นค่าคงที่ที่แสดงคุณสมบัติทางเรขาคณิตของการแปลง

จากสูตร \eqref(ref4) เห็นได้ชัดว่าอัตราส่วนของพื้นที่ของภาพของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่ได้มุ่งเน้นต่อพื้นที่นั้นเท่ากับ
$$
S^(*)/S=|a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1)|.\label(ref5)
$$

ถ้า $a_(1)b_(2)-a_(2)b_(1) > 0$ ดังนั้น การวางแนวของสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดจะคงอยู่ในระหว่างการแปลง และถ้า $a_(1)b_(2) -a_(2 )b_(1)< 0$, то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации.

เรามาจัดการกับพื้นที่ของตัวเลขอื่นๆ กันดีกว่า สามเหลี่ยมแต่ละอันสามารถขยายออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยมีพื้นที่เป็นสองเท่าของพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ดังนั้น อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมต่อพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้จึงเป็นที่น่าพอใจ \eqref(ref5)

รูปหลายเหลี่ยมทุกรูปสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ ดังนั้น สูตร \eqref(ref5) จึงใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ก็ได้

เราจะไม่แตะต้องที่นี่ในการกำหนดพื้นที่ของรูปร่างโค้งโดยพลการ เราจะบอกเพียงว่าในกรณีเหล่านั้นเมื่อมีการกำหนดพื้นที่นี้ มันจะเท่ากับขีดจำกัดของพื้นที่ของลำดับรูปหลายเหลี่ยมจำนวนหนึ่งที่จารึกไว้ในรูปที่อยู่ระหว่างการพิจารณา จากทฤษฎีขีดจำกัด เราทราบสมมติฐานต่อไปนี้: ถ้าลำดับ $S_(n)$ มีแนวโน้มไปที่ขีดจำกัด $S$ ดังนั้นลำดับ $\delta S_(n)$ โดยที่ $\ delta$ เป็นค่าคงที่ มีแนวโน้มที่จะจำกัด $\delta S$ จากข้อเสนอนี้ เราสรุปได้ว่าสูตร \eqref(ref5) ใช้ได้ในกรณีทั่วไปส่วนใหญ่

ตัวอย่างเช่น ขอให้เราค้นหานิพจน์สำหรับพื้นที่ของวงรีในรูปของครึ่งแกน ก่อนหน้านี้เราสังเกตเห็นว่าวงรีที่มีครึ่งแกน $a$ และ $b$ สามารถหาได้จากการบีบอัดวงกลมที่มีรัศมี $a$ ให้เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางของมัน อัตราส่วนการบีบอัดคือ $b/a$ หนึ่งในนั้นเราได้รับบันทึกพิกัดของการบีบอัดเป็นเส้นตรง $x^(*)=x$, $y^(*)=\lambda y$ ดีเทอร์มีแนนต์ของสัมประสิทธิ์ในสูตรเหล่านี้เท่ากับ $\lambda$ ซึ่งก็คือในกรณีของเรา $b/a$ ดังนั้น อัตราส่วนของพื้นที่วงรีต่อพื้นที่ของวงกลมคือ $b/a$ และพื้นที่นี้คือ \(S=(b/a)\pi a^(2)\ ). ในที่สุดเราก็มี
$$
S=\pi ab.\number
$$

รูปภาพของบรรทัดลำดับที่สอง

เราได้เห็นแล้วว่าเส้นตรงกลายเป็นเส้นตรง นี่เป็นกรณีพิเศษของข้อความต่อไปนี้

คำชี้แจง 3

การแปลงความสัมพันธ์จะแปลงเส้นพีชคณิตเป็นเส้นพีชคณิตที่มีลำดับเดียวกัน

การพิสูจน์.

ที่จริงแล้ว ให้เส้นตรง $L$ ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน $O, \boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2)$ มีสมการพีชคณิตของลำดับ $p $ เรารู้อยู่แล้วว่าภาพของทุกจุดของเส้น $L$ ภายใต้การแปลงความสัมพันธ์ $f$ มีอยู่ในระบบพิกัด $f(O), f(\boldสัญลักษณ์(e)_(1)) , f(\boldสัญลักษณ์( e)_(2))$ เป็นพิกัดเดียวกันกับรูปภาพผกผันในระบบพิกัด $O, \boldสัญลักษณ์(e)_(1), \boldสัญลักษณ์(e)_(2) $ ดังนั้น พิกัดของรูปภาพในระบบ $f(O), f(\boldสัญลักษณ์(e)_(1)), f(\boldสัญลักษณ์(e)_(2))$ จึงมีความสัมพันธ์กันในลักษณะเดียวกัน สมการพีชคณิตสั่งซื้อ $p$ นี่ก็เพียงพอแล้วที่จะได้ข้อสรุปที่เราต้องการ

จากข้อความที่พิสูจน์แล้วข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นไปตามที่บรรทัดลำดับที่สองภายใต้การแปลงความสัมพันธ์จะกลายเป็นบรรทัดลำดับที่สอง เราจะพิสูจน์ข้อความที่แข็งแกร่งยิ่งขึ้น ดังที่เราทราบแล้วว่าบรรทัดลำดับที่สองสามารถแบ่งออกเป็น เราจะเห็นว่าคลาสของบรรทัดถูกรักษาไว้ภายใต้การเปลี่ยนแปลงแบบ Affine บนพื้นฐานนี้ คลาสของเส้นที่ระบุในทฤษฎีบทดังกล่าวเรียกว่าคลาสแอฟฟิเน ลองพิสูจน์ข้อความใหม่กัน

คำชี้แจง 4

บรรทัดลำดับที่สองที่เป็นของคลาส Affine หนึ่งคลาสสามารถแปลงเป็นบรรทัดของคลาสเดียวกันได้ภายใต้การแปลง Affine ใดๆ เท่านั้น บรรทัดลำดับที่สองแต่ละบรรทัดสามารถแปลงได้โดยการแปลงอัฟฟินที่เหมาะสมไปเป็นบรรทัดอื่นใดในคลาสอัฟฟินเดียวกัน

การพิสูจน์.

เราจะเรียกเส้นมีขอบเขตถ้ามันอยู่ภายในสี่เหลี่ยมด้านขนาน จะเห็นได้ง่ายว่าด้วยการแปลงความสัมพันธ์ เส้นที่มีขอบเขตจะต้องกลายเป็นขอบเขต และเส้นที่ไม่มีขอบเขตจะต้องกลายเป็นไม่มีขอบเขต

วงรีคือเส้นลำดับที่สองที่มีขอบเขต นอกจากวงรีแล้ว มีเพียงเส้นที่ประกอบด้วยจุดเดียวเท่านั้น ซึ่งก็คือเส้นตัดจินตภาพคู่หนึ่งเท่านั้นที่ถูกจำกัด เนื่องจากวงรีมีจำนวนจำกัดและประกอบด้วยจุดมากกว่าหนึ่งจุด จึงสามารถแปลงเป็นรูปวงรีได้เท่านั้น
ไฮเปอร์โบลามีสองกิ่งแยกจากกัน คุณสมบัตินี้สามารถกำหนดได้ในลักษณะที่ทำให้ค่าคงที่ภายใต้การแปลงความสัมพันธ์มีความชัดเจน กล่าวคือ มีเส้นตรงที่ไม่ตัดกันไฮเปอร์โบลา แต่ตัดกันบางคอร์ดของมัน ในบรรดาเส้นลำดับที่สองทั้งหมด มีเพียงไฮเปอร์โบลาและคู่ของเส้นคู่ขนานเท่านั้นที่มีคุณสมบัตินี้ กิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาไม่ใช่เส้นตรง ดังนั้น เมื่อแปลงแบบอัฟฟินี จึงสามารถแปลงเป็นไฮเปอร์โบลาได้เท่านั้น
พาราโบลาคือเส้นไม่จำกัดลำดับที่สอง ประกอบด้วยชิ้นส่วนที่ไม่เป็นเส้นตรงหนึ่งชิ้น ไม่มีบรรทัดลำดับที่สองอื่นๆ ที่มีคุณสมบัตินี้ ดังนั้นพาราโบลาจึงสามารถแปลงเป็นพาราโบลาได้เท่านั้น
หากเส้นลำดับที่สองแทนจุด (คู่ของเส้นตัดจินตภาพ) เส้น (เส้นตรงคู่หนึ่ง) คู่ของเส้นตัดกัน หรือคู่ของเส้นคู่ขนาน จากคุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ของการแปลงความสัมพันธ์ ตามมาว่าบรรทัดนี้ไม่สามารถแปลงเป็นบรรทัดของคลาสอื่นได้

ให้เราพิสูจน์ส่วนที่สองของข้อเสนอ ในสิ่งที่เราได้พิสูจน์แล้ว สมการบัญญัติเส้นลำดับที่สองเขียนในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนและมีพารามิเตอร์ $a, b, …$ หากเราละทิ้งความเป็นออร์โธนอร์มัลลิตี้ของพื้นฐาน เราก็สามารถทำให้สมการสารบัญญัติง่ายขึ้นอีก และนำมาสู่รูปแบบที่ ไม่มีพารามิเตอร์ ตัวอย่างเช่น การแทนที่พิกัด $x'=x/a$, $y'=y/b$ แปลงสมการวงรี $x^(2)a^(2)+y^(2)b ^(2 )=1$ ลงในสมการ $x'^(2)+y'^(2)=1$ ไม่ว่าจะเป็น $a$ และ $b$ ก็ตาม (สมการสุดท้ายไม่ใช่สมการของวงกลม เนื่องจาก ระบบใหม่พิกัดไม่ใช่สี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน)

ผู้อ่านสามารถแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่าสมการบัญญัติของเส้นอันดับสองสามารถเปลี่ยนเป็นสมการต่อไปนี้ได้โดยการย้ายไปยังระบบพิกัดที่เหมาะสม:

$x^(2)+y^(2)=1$;
$x^(2)+y^(2)=0$;
$x^(2)-y^(2)=1$;
$x^(2)-y^(2)=0$;
$y^(2)=2x$;
$y^(2)-1=0$;
$y^(2)=0$

เราจะเรียกระบบพิกัดดังกล่าวว่าระบบพิกัดแบบบัญญัติที่เกี่ยวข้อง

ตามมาจากก่อนหน้านี้ การเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ที่รวมระบบพิกัดเชิงบัญญัติของความสัมพันธ์ความสัมพันธ์ของสองบรรทัดที่มีคลาสความสัมพันธ์เดียวกันก็รวมเส้นเหล่านี้เข้าด้วยกันด้วย เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์

การสลายตัวของการเปลี่ยนแปลงมุมฉาก

ทฤษฎีบท 1

การแปลงมุมตั้งฉากแต่ละครั้งจะสลายตัวเป็นผลคูณของการแปลแบบขนาน การหมุน และบางทีอาจเป็นสมมาตรตามแนวแกน

การพิสูจน์.

กำหนดให้ $f$ เป็นการแปลงมุมฉาก และ $\vartriangle ABC$ เป็นหน้าจั่ว สามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมขวา $A$ เมื่อแปลง $f$ มันจะเปลี่ยนเป็นสามเหลี่ยมเท่ากัน $\vartriangle A^(*)B^(*)C^(*)$ โดยมีมุมฉากที่จุดยอด $A^(*) $ ทฤษฎีบทนี้จะได้รับการพิสูจน์ ถ้าโดยการแปลแบบขนานตามลำดับ $p$ การหมุน $q$ และ (ถ้าจำเป็น) สมมาตรตามแนวแกน $r$ เราสามารถรวมสามเหลี่ยม $ABC$ และ $ อ^ (*)B^(*)ค^(*)$ แท้จริงแล้ว ผลิตภัณฑ์ $rqp$ เป็นการแปลงความสัมพันธ์เหมือนกับ $f$ และการแปลงความสัมพันธ์ถูกกำหนดโดยรูปภาพของจุดสามจุดที่ไม่อยู่ในเส้นเดียวกัน ดังนั้น $rqp$ จึงเกิดขึ้นพร้อมกับ $f$

ดังนั้น ลองแปล $A$ และ $A^(*)$ โดยการถ่ายโอนแบบขนาน $p$ เป็นเวกเตอร์ $\overrightarrow(AA^(*))$ (ถ้า $A=A ^(* )$ ดังนั้น $p$ คือการแปลงเอกลักษณ์) จากนั้น โดยการหมุน $q$ รอบจุด $A^(*)$ $p(B)$ เข้ากันได้กับ $B^(*)$ (บางทีการแปลงนี้ก็อาจจะเหมือนกันเช่นกัน ). จุด $q(p(C))$ เกิดขึ้นพร้อมกับ $C^(*)$ หรือมีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง \(A^(*)B^(*)\ ). ในกรณีแรก บรรลุเป้าหมายแล้ว และในกรณีที่สอง จะต้องมีความสมมาตรตามแนวแกนสัมพันธ์กับเส้นตรงที่ระบุ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

โปรดทราบว่าการขยายตัวของการเปลี่ยนแปลงมุมฉากที่เกิดขึ้นนั้นไม่ซ้ำกัน นอกจากนี้ การหมุนหรือการแปลแบบขนานสามารถแยกย่อยเป็นผลคูณของสมมาตรตามแนวแกน ผลคูณของการแปลและการหมุนแบบขนานสามารถแสดงเป็นการหมุนครั้งเดียว และอื่นๆ เราจะไม่ระบุวิธีการทำเช่นนี้ แต่จะชี้แจงคุณสมบัติทั่วไปต่อไปนี้ของส่วนขยายทั้งหมดดังกล่าว

คำชี้แจงที่ 5

สำหรับการขยายการแปลงมุมตั้งฉากเป็นผลคูณของการแปลแบบคู่ขนาน การหมุน และสมมาตรตามแนวแกน ความเท่าเทียมกันของจำนวนสมมาตรตามแนวแกนที่รวมอยู่ในการขยายจะเท่ากัน

การพิสูจน์.

เพื่อพิสูจน์ให้พิจารณาบนเครื่องบิน พื้นฐานโดยพลการและติดตามการเปลี่ยนแปลงในการวางแนว (ทิศทางของการหมุนที่สั้นที่สุดจาก $\boldสัญลักษณ์(e)_(1)$ เป็น $\boldสัญลักษณ์(e)_(2)$) ในระหว่างการแปลงที่ดำเนินการ โปรดทราบว่าการหมุนและการแปลแบบขนานจะไม่เปลี่ยนการวางแนวของฐานใดๆ แต่สมมาตรตามแนวแกนจะเปลี่ยนการวางแนวของฐานใดๆ ดังนั้น ถ้าการแปลงมุมตั้งฉากเปลี่ยนการวางแนวของฐาน การขยายตัวใดๆ ของฐานนั้นจะต้องรวมสมมาตรของแกนเป็นจำนวนคี่ด้วย หากการวางแนวของฐานไม่เปลี่ยนแปลง จำนวนสมมาตรของแกนที่รวมอยู่ในส่วนขยายจะเป็นได้เพียงเลขคู่เท่านั้น

คำนิยาม.

เรียกว่าการแปลงมุมฉากที่สามารถแยกย่อยเป็นผลคูณของการแปลและการหมุนแบบขนาน การแปลงมุมตั้งฉากชนิดที่หนึ่ง และที่เหลือ - การแปลงมุมฉากของชนิดที่สอง .

การแปลงมุมตั้งฉากในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนเขียนไว้ว่า:
$$
\begin(อาร์เรย์)(ซีซี)

\end(array).\number
$$
ด้วยเครื่องหมายบนของสัมประสิทธิ์ $y$ ในสูตรเหล่านี้ ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์จะเท่ากับ +1 และด้วยเครื่องหมายล่างจะเท่ากับ -1 จากที่นี่และจากสูตร \eqref(ref4) ข้อความต่อไปนี้จะตามมา

คำชี้แจง 6

การแปลงมุมฉากของชนิดที่ 1 เขียนในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนโดยใช้สูตร
$$
\begin(อาร์เรย์)(ซีซี)
& x^(*)=x \cos \varphi \mp y \sin \varphi+c_(1),\\
& y^(*)=x \sin \varphi \pm y \cos \varphi+c_(2)
\end(array).\number
$$
ด้วยเครื่องหมายบนสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$ และการแปลงมุมตั้งฉากของชนิดที่สอง - ด้วยเครื่องหมายล่าง

การสลายตัวของการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์

เราได้เห็นแล้วว่าการแปลงความสัมพันธ์สามารถเปลี่ยนระนาบได้มากเพียงใด วงกลมสามารถเปลี่ยนเป็นวงรี สามเหลี่ยมปกติให้กลายเป็นระนาบใดก็ได้ ดูเหมือนว่าไม่สามารถรักษามุมได้ อย่างไรก็ตาม ข้อความต่อไปนี้ถือเป็น

คำชี้แจงที่ 7

สำหรับการแปลงความสัมพันธ์แต่ละครั้ง จะมีเส้นตั้งฉากกันสองเส้นที่แปลงเป็นเส้นตั้งฉากกัน

การพิสูจน์.

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้พิจารณาวงกลม ด้วยการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์นี้ มันจะกลายเป็นวงรี แกนวงรีแต่ละแกนคือเซตของจุดกึ่งกลางของคอร์ดที่ขนานกับแกนอีกแกนหนึ่ง ในระหว่างการแปลงความสัมพันธ์ คอร์ดจะเปลี่ยนเป็นคอร์ด ความเท่าเทียมจะต้องยังคงอยู่ และจุดกึ่งกลางของเซกเมนต์จะเปลี่ยนเป็นจุดกึ่งกลางของภาพ ดังนั้นต้นแบบของแกนวงรีจึงเป็นส่วนที่มีคุณสมบัติเหมือนกัน: แต่ละส่วนคือเซตของจุดกึ่งกลางของคอร์ดของวงกลมที่ขนานกับอีกส่วนหนึ่ง ส่วนดังกล่าวมีเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมตั้งฉากกันสองอันอย่างแน่นอน นี่คือสิ่งที่เราต้องการ: วงกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลางตั้งฉากกันสองเส้นซึ่งแปลงเป็นส่วนตั้งฉากซึ่งกันและกัน - แกนของวงรี

เป็นที่น่าสังเกตกรณีพิเศษอย่างหนึ่ง: วงกลมที่อยู่ใต้การเปลี่ยนแปลงแบบสัมพันธ์สามารถกลายเป็นวงกลมได้ ในกรณีนี้ ให้ใช้เหตุผลเดียวกันกับเส้นผ่านศูนย์กลางสองเส้นที่ตั้งฉากกันของภาพวงกลม เห็นได้ชัดว่าในกรณีนี้ ทิศทางสองทิศทางที่ตั้งฉากกันจะยังคงตั้งฉากกัน

คำนิยาม.

ทิศทางตั้งฉากกันสองทิศทางเรียกว่าทิศทางหลักหรือทิศทางเอกพจน์ของการแปลงความสัมพันธ์ $f$ หากทิศทางทั้งสองเปลี่ยนทิศทางเป็นทิศทางตั้งฉากซึ่งกันและกัน

ทฤษฎีบท 2

การแปลงความสัมพันธ์แต่ละครั้งจะถูกแยกย่อยเป็นผลคูณของการแปลงมุมฉากและการบีบอัดสองครั้งเป็นเส้นตั้งฉากกันสองเส้น

การพิสูจน์.

หลักฐานก็คล้ายกับหลักฐาน พิจารณาการแปลงความสัมพันธ์ $f$ และเลือกสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $ABC$ เพื่อให้ขา $AB$ และ $AC$ หันไปตามทิศทางหลักของการแปลง $f$ ให้เราแสดงด้วย $A^(*)$, $B^(*)$ และ $C^(*)$ ภาพของจุดยอดของมัน ขอให้เราสร้างการแปลงตั้งฉาก $g$ โดยที่ $g(A)=A^(*)$ และจุด $g(B)$ และ $g(C)$ อยู่ตามลำดับ บนรังสี $A^(*)B^(*)$ และ $A^(*)C^(*)$ (ซึ่งสามารถทำได้ง่าย เช่นเดียวกับในทฤษฎีบทที่ 1 โดยการแปลแบบขนาน การหมุน และสมมาตรตามแนวแกน)

ให้ $\lambda=|A^(*)B^(*)|/|A^(*)g(B)|$, a $\mu=|A^(*)C^(*) |/|A^(*)ก(C)|$ จากนั้นการหดตัวของ $p_(1)$ ไปยังเส้นตรง $A^(*)C^(*)$ ในความสัมพันธ์ $\lambda$ จะเปลี่ยน $g(B)$ เป็น \ (p_(1) g(B)=B^(*)\) และจะไม่เลื่อนจุด $A^(*)$ และ $g(C)$ ในทำนองเดียวกัน การทำสัญญา $p_(2)$ กับบรรทัด $A^(*)B^(*)$ จะแปลง $g(C)$ เป็น $p_(2)g(C)= C^ (*)$ และจะไม่เลื่อนจุดของเส้น $A^(*)B^(*)$

ซึ่งหมายความว่าผลิตภัณฑ์ $p_(2)p_(1)g$ นำคะแนน $A$, $B$ และ $C$ ไปยังจุด $A^(*)$ , \ (B^(*)\) และ $C^(*)$ เช่นเดียวกับการเปลี่ยนแปลง $f$ ที่มอบให้เรา จากสิ่งที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ เรามี $p_(2)p_(1)g=f$ ตามที่ต้องการ

บทที่ 1 แนวคิดเรื่องการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิต

1.1 การแปลงทางเรขาคณิตคืออะไร?

สมมาตรตามแนวแกน สมมาตรกลาง การหมุน การแปลแบบขนาน ความสมมาตรมีเหมือนกันที่พวกมันจะ "แปลง" แต่ละรูป F ให้กลายเป็นรูป F1 ใหม่ ดังนั้นจึงเรียกว่าการแปลงทางเรขาคณิต

โดยทั่วไป การแปลงทางเรขาคณิตคือกฎเกณฑ์ใดๆ ที่อนุญาตให้แต่ละจุด A บนระนาบระบุจุด A ใหม่ ซึ่งจุด A จะถูกถ่ายโอนไปยังจุดนั้นโดยการแปลงที่ต้องการ หากมีการกำหนดรูป F ใดๆ บนระนาบ แสดงว่าเซตนั้น ของจุดทั้งหมดที่เส้นละเอียดของรูป F อยู่ระหว่างการพิจารณา แสดงถึงรูป F ใหม่ ในกรณีนี้ เราบอกว่า F" ได้มาจาก F โดยใช้การแปลงที่กำลังพิจารณา

ตัวอย่าง. สมมาตรรอบเส้นตรง l คือการแปลงทางเรขาคณิต กฎที่อนุญาตให้เราค้นหาจุด A" จากจุด A" ในกรณีนี้มีดังนี้: จากจุด A AP ตั้งฉากจะถูกลดระดับลงบนเส้นตรง l และบนส่วนขยายที่เลยจุด P ส่วน RA" = AP ถูกเลิกจ้าง

นอกเหนือจากการแปลงทางเรขาคณิต

สมมติว่าเรากำลังพิจารณาการแปลงทางเรขาคณิตสองแบบ หนึ่งในนั้นเราเรียกว่า "ครั้งแรก" และอีกอันเรียกว่า "ครั้งที่สอง" ลองหาจุด A บนระนาบตามใจชอบแล้วเขียนแทนด้วย A" ซึ่งเป็นจุดที่ A ไปในระหว่างการแปลงครั้งแรก ในทางกลับกัน จุด A" จะถูกถ่ายโอนโดยการแปลงครั้งที่สองไปยังจุด A ใหม่ หรืออีกนัยหนึ่งคือ จุด A" ได้มาจากจุด A โดยใช้การแปลงสองครั้งตามลำดับ - ครั้งแรกและครั้งที่สอง

ผลลัพธ์ของการดำเนินการตามลำดับของการแปลงทั้งสองที่เกิดขึ้นก็คือการแปลงทางเรขาคณิตเช่นกัน โดยต้องใช้จุด A ไปยังจุด A" การแปลง "ผลลัพธ์" นี้เรียกว่าผลรวมของการแปลงครั้งแรกและครั้งที่สองที่พิจารณา

ให้รูป F ปรากฏอยู่บนระนาบ การแปลงครั้งแรกแปลงเป็นรูป F" การแปลงครั้งที่สองแปลงรูป F" ให้เป็นรูป F" ใหม่ ผลรวมของการแปลงครั้งแรกและครั้งที่สองจะแปลงรูป F เป็นรูป F ทันที"

ตัวอย่าง. ให้การแปลงครั้งแรกแสดงถึงความสมมาตรรอบจุด O1 และการแปลงครั้งที่สองแสดงถึงความสมมาตรรอบจุด O2 อีกจุดหนึ่ง ลองหาผลรวมของการแปลงทั้งสองนี้กัน

ให้ A เป็นจุดใดก็ได้บนเครื่องบิน ก่อนอื่นให้เราสมมติว่าจุด A ไม่ได้อยู่บนเส้น O1O2 ให้เราแสดงด้วย A" จุด จุดสมมาตรสัมพันธ์กับ O1 และผ่าน A" - จุดสมมาตรกับจุด A" สัมพันธ์กับ O2 เนื่องจาก O1O2 เป็นเส้นตรงกลางของสามเหลี่ยม AA"A"" ดังนั้น ส่วน AA" จึงขนานกับส่วน O1O2 และมีความยาวเป็นสองเท่า ทิศทางจากจุด A ไปยังจุด A" เกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางจากจุด

O1 ถึงจุด O2 ตอนนี้ให้เราเขียนเวกเตอร์ด้วย MN โดยที่เซกเมนต์ MN และ O1 O2 ขนานกัน ส่วน MN ยาวเป็นสองเท่าของเซกเมนต์ O1O2 และรังสี MN และ O1O2 มีทิศทางเดียวกัน จากนั้น AA" = MN เช่น จุด A" จะได้มาจากจุด A โดยการถ่ายโอนแบบขนานไปยังเวกเตอร์ MN

เช่นเดียวกับจุดที่วางอยู่บนเส้น O1O2

ในที่สุด เราก็ได้: ผลรวมของสมมาตรรอบจุด O1 และสมมาตรรอบจุด O2 แสดงถึงการแปลแบบขนาน

1.2 การเคลื่อนไหว

สมมาตรตามแนวแกน การหมุน (โดยเฉพาะ สมมาตรกลาง) และการแปลแบบขนานมีเหมือนกันที่การแปลงแต่ละครั้งจะเปลี่ยนรูป F ใดๆ บนระนาบให้เป็นรูปที่เท่ากัน F " การแปลงที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่าการเคลื่อนที่ Homothety เป็นตัวอย่างของ การเปลี่ยนแปลง ซึ่งไม่ใช่การเคลื่อนไหว แท้จริงแล้ว การเคลื่อนไหวแต่ละครั้งจะแปลงร่างใด ๆ ให้กลายเป็นร่างที่เท่ากัน กล่าวคือ เพียงเปลี่ยนตำแหน่งของร่างบนระนาบเท่านั้น ความคล้ายคลึงกันก็เปลี่ยนขนาดของร่างด้วย

บทบาทของการเคลื่อนไหวในเรขาคณิต

การเคลื่อนไหวมีบทบาทอย่างมากในเรขาคณิต บทบาทที่สำคัญ- พวกมันจะไม่เปลี่ยนรูปร่างหรือขนาดของฟิกเกอร์ โดยเปลี่ยนเฉพาะตำแหน่งของฟิกเกอร์เท่านั้น แต่ตัวเลขที่แตกต่างกันเฉพาะตำแหน่งบนเครื่องบินนั้นเหมือนกันโดยสิ้นเชิงจากมุมมองของเรขาคณิต นั่นคือสาเหตุว่าทำไมจึงเรียกพวกมันว่า "ตัวเลขเท่ากัน" ในเรขาคณิต ไม่มีทรัพย์สิน รูปทรงเรขาคณิตไม่แตกต่างจากคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของจำนวนที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมที่เท่ากันไม่เพียงแต่มีด้านที่เหมือนกันเท่านั้น แต่ยังมีมุม ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง พื้นที่ รัศมีวงกลมที่ขีดไว้และในขอบเขตที่เหมือนกัน และอื่นๆ อีกด้วย

ในบทเรียนเรขาคณิต เราถือว่าตัวเลขที่เท่ากันเสมอ (นั่นคือ ตัวเลขที่สามารถรวมกันได้ด้วยการเคลื่อนไหว) ให้เท่ากันหรือแยกไม่ออก ตัวเลขดังกล่าวมักเข้าใจผิดว่าเป็นตัวเลขเดียวกัน นั่นคือเหตุผลที่เราสามารถพูดได้ว่า ตัวอย่างเช่น ปัญหาในการสร้างสามเหลี่ยมโดยใช้สองด้าน a, b และมุม C ระหว่างพวกมันมีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียว ที่จริงแล้ว คุณสามารถหาสามเหลี่ยมจำนวนอนันต์ที่มีด้าน a และ b ที่กำหนด และมุม C ที่มีขนาดที่กำหนดระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้นได้ อย่างไรก็ตาม สามเหลี่ยมเหล่านี้ทั้งหมดเท่ากันและเท่ากัน ดังนั้นจึงถือเป็นสามเหลี่ยม "หนึ่ง" ได้

ดังนั้น เรขาคณิตจึงศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขที่เหมือนกันสำหรับตัวเลขที่เท่ากัน คุณสมบัติดังกล่าวเรียกได้ว่าเป็น "คุณสมบัติทางเรขาคณิต" กล่าวอีกนัยหนึ่ง: เรขาคณิตศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขที่ไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของพวกมัน แต่ตัวเลขที่แตกต่างกันเฉพาะตำแหน่ง (ตัวเลขเท่ากัน) คือตัวเลขที่สามารถรวมกันได้โดยใช้การเคลื่อนไหว ดังนั้นเราจึงมาถึงคำจำกัดความของวิชาเรขาคณิตดังต่อไปนี้ เรขาคณิตศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขที่ยังคงอยู่ระหว่างการเคลื่อนไหว

การเคลื่อนไหวทางเรขาคณิตและฟิสิกส์

ดังนั้น แนวคิดเรื่องการเคลื่อนที่จึงมีบทบาทหลักในเรขาคณิต การเคลื่อนไหว (“การทับซ้อนกัน”) ถูกนำมาใช้ในเกรด VI เพื่อกำหนดตัวเลขที่เท่ากัน เพื่อพิสูจน์สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม แนวคิดเรื่องการเคลื่อนที่ ดังที่เราเห็นข้างต้น ยังช่วยให้เราสามารถอธิบายเรื่องของเรขาคณิตได้

ในขณะเดียวกัน มีช่องว่างในคำจำกัดความของแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของตัวเลขและแนวคิดเรื่องการเคลื่อนไหว ในความเป็นจริง ตัวเลขที่เท่ากันถูกกำหนดไว้ (ในระดับ VI) เป็นตัวเลขที่สามารถรวมกันได้โดยการซ้อนทับ (เช่น การเคลื่อนไหว) การเคลื่อนที่ถูกกำหนดไว้ข้างต้นว่าเป็นการแปลงที่แปลงรูปหลายเหลี่ยม F1 และ F สองตัวจนมีรูปหลายเหลี่ยม F" ที่เป็นโฮโมเทติกเป็น F และเท่ากับ F1 จากนั้นมุมของรูปหลายเหลี่ยม F จะเท่ากับมุมของรูปหลายเหลี่ยม F" ตามลำดับ และ ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม F นั้นเป็นสัดส่วนกับด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม F" ตามลำดับ แต่รูปหลายเหลี่ยม F มีมุมและด้านเท่ากันกับรูปหลายเหลี่ยม F1 ที่เท่ากัน ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยม F1 และ F จึงคล้ายกันในแง่ที่ว่านี่คือ เข้าใจในหลักสูตรเรขาคณิตระดับ VIII

ในทางกลับกัน ให้รูปหลายเหลี่ยม F1 และ F มีมุมเท่ากันตามลำดับ และด้านของรูปหลายเหลี่ยมเป็นสัดส่วนตามลำดับ อัตราส่วนของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม F1 ต่อด้านที่สอดคล้องกันของรูปหลายเหลี่ยม F จะแสดงด้วย k ต่อไป ให้เราแสดงด้วย F" ซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ได้จาก F ด้วยโฮโมเทตีที่มีค่าสัมประสิทธิ์ k (และจุดศูนย์กลางของโฮโมเทตีใดๆ ในกรณีนี้ ตามทฤษฎีบท รูปหลายเหลี่ยม F" และ F1 จะมีด้านและมุมเท่ากัน ตามลำดับ กล่าวคือ รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากัน ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยม F1 และ F จะคล้ายกันในแง่ของคำจำกัดความของความคล้ายคลึงที่ให้ไว้ที่นี่

บทที่ II ความสัมพันธ์ระหว่างการเปลี่ยนแปลง

2.1 กำหนดการเปลี่ยนแปลงของระนาบ

การแปลงความสัมพันธ์ α คือการเปลี่ยนแปลงของระนาบที่แปลงทุกเส้นให้เป็นเส้นตรง และรักษาความสัมพันธ์ที่มีจุดแบ่งส่วน

ในรูปที่ 1: L"= α(L), A"=α(A), B"=α(B), C"=α(C)

การเปลี่ยนแปลง - การเคลื่อนไหวและความคล้ายคลึงกัน - เป็นกรณีพิเศษของการแปลงความสัมพันธ์เนื่องจากเนื่องจากคุณสมบัติของการเคลื่อนไหวและความคล้ายคลึงกันจึงเป็นไปตามข้อกำหนดทั้งหมดสำหรับคำจำกัดความของการแปลงความสัมพันธ์

เราจะยกตัวอย่างการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ที่ไม่สามารถลดทอนลงจากการเปลี่ยนแปลงที่พิจารณาก่อนหน้านี้ได้ ด้วยเหตุนี้ อันดับแรกเราจะพิจารณาการฉายภาพขนานของเครื่องบินลงบนเครื่องบิน

ให้ระนาบได้รับ: w และ w1 ซึ่งเป็นเส้นตรง l (ทิศทางการออกแบบ) ไม่ขนานกับระนาบใด ๆ เหล่านี้ (รูปที่ 2) จุด Aєw เรียกว่าเส้นโครงของจุด A1єw1 ถ้า AA1||l เส้น AA1 เรียกว่าเส้นฉาย การออกแบบขนานเป็นการโยงระนาบ w1 เข้ากับ w

ให้เราสังเกตคุณสมบัติของการออกแบบแบบขนานดังต่อไปนี้

1) รูปภาพของเส้นใดๆ a1 เป็นเส้นตรง

ในความเป็นจริง เส้นที่ฉายจุดของเส้น a1 ก่อตัวเป็นระนาบ (มันผ่าน a1 ขนานกับ l) ซึ่งเมื่อตัดกับ w จะให้ภาพของเส้น a1 - เส้น a (รูปที่ 2)

2) ความสัมพันธ์ที่จุดแบ่งส่วนยังคงอยู่เช่น

(รูปที่ 2)

มันจะตามมาจากทฤษฎีบททันทีเกี่ยวกับจุดตัดของด้านข้างของมุมด้วยเส้นคู่ขนาน

ให้เราดำเนินการสร้างตัวอย่างของการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์โดยตรง

ลองใช้ระนาบ w สองชุดแล้วย้ายอันหนึ่งไปยังตำแหน่งอื่น w1 (รูปที่ 3) ตำแหน่งใหม่ของจุดใดๆ Аєw จะแสดงด้วย А1єw1 ตอนนี้เราฉายระนาบ w1 ในตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งไปยัง w และเขียนแทนเส้นโครงของจุด A1 ด้วย A"

ผลที่ได้คือการเปลี่ยนแปลงของระนาบ w ไปสู่ตัวมันเอง ซึ่งในนั้น

- เนื่องจากคุณสมบัติสมมาตรของการฉายภาพแบบคู่ขนาน สำหรับการเปลี่ยนแปลงนี้ ทั้งสองข้อกำหนดของการแปลงความสัมพันธ์บางอย่างจึงเป็นไปตามที่พอใจ ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงที่สร้างขึ้นในขณะนี้จึงเป็นความสัมพันธ์ระหว่างเปอร์สเปคทีฟ