สมการลักษณะเฉพาะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 2 สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

สถาบันการศึกษา "รัฐเบลารุส"

สถาบันเกษตรกรรม"

ภาควิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง

แนวทาง

เพื่อศึกษาหัวข้อ “สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่ 2” โดยนักศึกษาคณะบัญชีศึกษาการติดต่อสื่อสาร (NISPO)

กอร์กี, 2013

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

ลำดับที่สองที่มีค่าคงที่ค่าสัมประสิทธิ์

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองด้วย ค่าสัมประสิทธิ์คงที่ เรียกว่าสมการของรูป

เหล่านั้น. สมการที่มีฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์ของมันเพียงระดับแรกเท่านั้นและไม่มีผลคูณของมัน ในสมการนี้ และ
- ตัวเลขบางตัวและฟังก์ชัน
ให้ไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง
.

ถ้า
ในช่วงเวลา
จากนั้นสมการ (1) จะอยู่ในรูปแบบ

, (2)

และถูกเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น - มิฉะนั้นจะเรียกสมการ (1) เชิงเส้นไม่เหมือนกัน .

พิจารณาฟังก์ชันเชิงซ้อน

, (3)

ที่ไหน
และ
- ฟังก์ชั่นจริง ถ้าฟังก์ชัน (3) เป็นคำตอบที่ซับซ้อนของสมการ (2) แสดงว่าเป็นส่วนจริง
และส่วนจินตภาพ
โซลูชั่น
แยกกันเป็นวิธีแก้ปัญหาเหมือนกัน สมการเอกพันธ์- ดังนั้น การแก้สมการเชิงซ้อนใดๆ ของสมการ (2) จะสร้างคำตอบจำนวนจริง 2 คำตอบให้กับสมการนี้

โซลูชั่นที่เป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงเส้นมีคุณสมบัติ:

ถ้า เป็นการแก้สมการ (2) แล้วจึงเป็นฟังก์ชัน
, ที่ไหน กับ– ค่าคงที่ตามอำเภอใจจะเป็นคำตอบของสมการ (2) ด้วย

ถ้า และ มีวิธีแก้สมการ (2) ตามด้วยฟังก์ชัน
จะเป็นคำตอบของสมการ (2) ด้วย

ถ้า และ มีวิธีแก้สมการ (2) จากนั้นจึงรวมเชิงเส้น
จะเป็นคำตอบของสมการ (2) ด้วย โดยที่ และ
– ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ฟังก์ชั่น
และ
ถูกเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ในช่วงเวลา
ถ้ามีตัวเลขดังกล่าวอยู่ และ
ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน ซึ่งในช่วงเวลานี้มีความเท่าเทียมกัน

หากความเสมอภาค (4) เกิดขึ้นเฉพาะเมื่อใด
และ
แล้วตามด้วยฟังก์ชัน
และ
ถูกเรียกว่า เป็นอิสระเชิงเส้น ในช่วงเวลา
.

ตัวอย่างที่ 1 - ฟังก์ชั่น
และ
จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง เนื่องจาก
บนเส้นจำนวนทั้งหมด ในตัวอย่างนี้
.

ตัวอย่างที่ 2 - ฟังก์ชั่น
และ
มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรงในช่วงเวลาใดๆ เนื่องจากมีความเท่าเทียมกัน
เป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่เมื่อ
, และ
.

การสร้างสารละลายทั่วไปให้เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น

สมการ

เพื่อที่จะหาคำตอบทั่วไปของสมการ (2) คุณต้องหาคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นสองตัวของสมการนั้น และ - ผลรวมเชิงเส้นของโซลูชันเหล่านี้
, ที่ไหน และ
เป็นค่าคงที่ตามใจชอบ และจะให้คำตอบทั่วไปกับสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

เราจะหาคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการ (2) ในรูปแบบ

, (5)

ที่ไหน – จำนวนที่แน่นอน แล้ว
,
- ลองแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (2):

หรือ
.

เพราะ
, ที่
- ดังนั้นฟังก์ชัน
จะเป็นคำตอบของสมการ (2) ถ้า จะเป็นไปตามสมการ

. (6)

เรียกสมการ (6) สมการลักษณะเฉพาะ สำหรับสมการ (2) สมการนี้เป็นสมการกำลังสองพีชคณิต

อนุญาต และ มีรากของสมการนี้ สิ่งเหล่านี้อาจเป็นของจริงและแตกต่าง หรือซับซ้อน หรือของจริงและเท่าเทียมกัน ลองพิจารณากรณีเหล่านี้

ปล่อยให้ราก และ สมการลักษณะเฉพาะถูกต้องและแตกต่าง จากนั้นคำตอบของสมการ (2) จะเป็นฟังก์ชัน
และ
- คำตอบเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจากมีความเท่าเทียมกัน
จะดำเนินการได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น
, และ
- ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (2) จึงมีรูปแบบ

,

ที่ไหน และ
- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ตัวอย่างที่ 3
.

สารละลาย - สมการคุณลักษณะสำหรับส่วนต่างนี้จะเป็น
- ตัดสินใจเรื่องนี้แล้ว สมการกำลังสองเรามาค้นหารากของมันกันดีกว่า
และ
- ฟังก์ชั่น
และ
เป็นการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการนี้มีรูปแบบ
.

จำนวนเชิงซ้อน เรียกว่า การแสดงออกของรูป
, ที่ไหน และ เป็นจำนวนจริง และ
เรียกว่าหน่วยจินตภาพ ถ้า
แล้วตามด้วยหมายเลข
เรียกว่าจินตภาพล้วนๆ ถ้า
แล้วตามด้วยหมายเลข
ถูกระบุด้วยจำนวนจริง .

ตัวเลข เรียกว่าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน และ - ส่วนจินตภาพ หากจำนวนเชิงซ้อนสองตัวต่างกันเพียงสัญลักษณ์ของส่วนจินตภาพเท่านั้น พวกมันจะถูกเรียกว่าคอนจูเกต:
,
.

ตัวอย่างที่ 4 - แก้สมการกำลังสอง
.

สารละลาย - สมการจำแนก
- แล้ว. เช่นเดียวกัน,
- ดังนั้นสมการกำลังสองนี้มีรากที่ซับซ้อนรวมกัน

ปล่อยให้รากของสมการคุณลักษณะมีความซับซ้อนเช่น
,
, ที่ไหน
- ผลเฉลยของสมการ (2) สามารถเขียนได้ในรูป
,
หรือ
,
- ตามสูตรของออยเลอร์

,
.

แล้ว ,. ดังที่ทราบกันดีว่า หากฟังก์ชันเชิงซ้อนเป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น ดังนั้นคำตอบของสมการนี้จะเป็นทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชันนี้ ดังนั้นการแก้สมการ (2) จะเป็นฟังก์ชัน
และ
- ตั้งแต่ความเท่าเทียมกัน

สามารถทำได้ก็ต่อเมื่อ
และ
แล้วคำตอบเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (2) จึงมีรูปแบบ

ที่ไหน และ
- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ตัวอย่างที่ 5 - หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

สารละลาย - สมการ
เป็นลักษณะของส่วนต่างที่กำหนด มาแก้มันแล้วหารากที่ซับซ้อนกันดีกว่า
,
- ฟังก์ชั่น
และ
เป็นคำตอบอิสระเชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์ คำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ:

ปล่อยให้รากของสมการคุณลักษณะเป็นจริงและเท่ากัน เช่น
- ดังนั้นคำตอบของสมการ (2) คือฟังก์ชัน
และ
- คำตอบเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจากนิพจน์สามารถมีค่าเท่ากับศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น
และ
- ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (2) จึงมีรูปแบบ
.

ตัวอย่างที่ 6 - หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

สารละลาย - สมการคุณลักษณะ
มีรากเท่ากัน
- ในกรณีนี้ ฟังก์ชันจะแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นตรงได้
และ
- วิธีแก้ปัญหาทั่วไปมีรูปแบบ
.

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์ของลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

และด้านขวาพิเศษ

ผลเฉลยทั่วไปของสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้น (1) เท่ากับผลรวมของผลรวมของผลรวม
สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันและคำตอบเฉพาะใดๆ
สมการที่ไม่เหมือนกัน:
.

ในบางกรณี วิธีแก้สมการอินเอกจีนัสโดยเฉพาะสามารถหาได้ง่ายๆ โดยใช้รูปทางด้านขวามือ
สมการ (1) ลองดูกรณีที่เป็นไปได้

เหล่านั้น. ทางด้านขวาของสมการแบบไม่เอกพันธ์คือพหุนามของดีกรี ม- ถ้า
ไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ ดังนั้นควรหาคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์ในรูปของพหุนามของดีกรี ม, เช่น.

ราคาต่อรอง
ถูกกำหนดไว้ในกระบวนการหาแนวทางแก้ไขโดยเฉพาะ

ถ้า
คือรากของสมการคุณลักษณะ ดังนั้นควรหาคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์ในรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 7 - หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

สารละลาย - สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับสมการนี้คือ
- สมการคุณลักษณะของมัน
มีราก
และ
- คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์มีรูปแบบ
.

เพราะ
ไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ จากนั้นเราจะหาคำตอบเฉพาะของสมการอัญชันในรูปฟังก์ชัน
- ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้กัน
,
และใส่มันเข้าไป สมการที่กำหนด:

หรือ . ให้เราเทียบสัมประสิทธิ์สำหรับ และสมาชิกฟรี:
หลังจากตัดสินใจแล้ว ระบบนี้เราได้รับ
,
- จากนั้นคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์จะมีรูปแบบ
และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่กำหนดจะเป็นผลรวมของคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันกับคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์:
.

ปล่อยให้สมการไม่เอกพันธ์มีรูปแบบ

ถ้า
ไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ ดังนั้นควรหาคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์ในรูปแบบ ถ้า
เป็นรากของสมการพหุคูณลักษณะเฉพาะ เค (เค=1 หรือ เค=2) ดังนั้นในกรณีนี้ วิธีแก้เฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์จะมีรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 8 - หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

สารละลาย - สมการลักษณะเฉพาะสำหรับสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ
- รากของมัน
,
- ในกรณีนี้ วิธีแก้ทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันจะถูกเขียนในรูปแบบ
.

เนื่องจากเลข 3 ไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ จึงควรหาคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์ในรูปแบบ
- มาหาอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่งและที่สอง:

ลองแทนสมการเชิงอนุพันธ์:
+ +,
+,.

ให้เราเทียบสัมประสิทธิ์สำหรับ และสมาชิกฟรี:

จากที่นี่
,
- แล้วคำตอบเฉพาะของสมการนี้ก็จะมีรูปแบบ
และวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

.

วิธีลากรองจ์ของการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ

วิธีการเปลี่ยนค่าคงที่ตามอำเภอใจสามารถนำไปใช้กับสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ โดยไม่คำนึงถึงประเภทของด้านขวามือ วิธีนี้ช่วยให้คุณหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ได้เสมอ ถ้าทราบคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน

อนุญาต
และ
เป็นคำตอบของสมการที่เป็นอิสระเชิงเส้น (2) แล้วคำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ
, ที่ไหน และ
- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ สาระสำคัญของวิธีการเปลี่ยนค่าคงที่ตามอำเภอใจก็คือการหาคำตอบทั่วไปของสมการ (1) ในรูปแบบ

ที่ไหน
และ
- ฟังก์ชั่นใหม่ที่ไม่รู้จักที่จำเป็นต้องค้นหา เนื่องจากมีฟังก์ชันที่ไม่รู้จักสองฟังก์ชัน ในการค้นหาจึงจำเป็นต้องมีสมการสองตัวที่มีฟังก์ชันเหล่านี้ สมการทั้งสองนี้ประกอบกันเป็นระบบ

ซึ่งเป็นระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเทียบกับ
และ
- เราพบว่าการแก้ปัญหาระบบนี้
และ
- เราพบว่าเมื่อรวมทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันที่ได้รับ

และ
.

เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้ลงใน (9) เราจะได้คำตอบทั่วไปของสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (1)

ตัวอย่างที่ 9 - หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

สารละลาย. สมการลักษณะเฉพาะสำหรับสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดคือ
- รากของมันมีความซับซ้อน
,
- เพราะ
และ
, ที่
,
และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์มีรูปแบบ จากนั้นเราจะหาคำตอบทั่วไปของสมการแบบไม่เอกพันธ์นี้ในรูปแบบโดยที่
และ
- ฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จัก

ระบบสมการในการค้นหาฟังก์ชันที่ไม่รู้จักเหล่านี้มีรูปแบบ

เมื่อแก้ไขระบบนี้แล้วเราจะพบ
,
- แล้ว

,
- ให้เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสูตรสำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

นี่คือคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ ซึ่งได้มาจากวิธีลากรองจ์

คำถามเพื่อการควบคุมความรู้ด้วยตนเอง

สมการเชิงอนุพันธ์ข้อใดเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นใดเรียกว่าเอกพันธ์และสมการไม่เอกพันธ์

สมการเอกพันธ์เชิงเส้นมีคุณสมบัติอะไรบ้าง?

สมการใดที่เรียกว่าคุณลักษณะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นและได้มาอย่างไร

วิธีแก้ทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่เขียนในกรณีของรากที่ต่างกันของสมการคุณลักษณะในรูปแบบใด

วิธีแก้ทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่เขียนในกรณีของรากที่เท่ากันของสมการคุณลักษณะในรูปแบบใด

วิธีแก้ทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่เขียนในกรณีของรากที่ซับซ้อนของสมการคุณลักษณะในรูปแบบใด

คำตอบทั่วไปของสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้นเขียนอย่างไร?

ในรูปแบบใดที่เป็นคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น ค้นหาว่ารากของสมการคุณลักษณะต่างกันและไม่เท่ากับศูนย์และด้านขวาของสมการคือพหุนามของดีกรี ม?

ในรูปแบบใดที่เป็นคำตอบเฉพาะของสมการอินเอกจีนัสเชิงเส้นที่ต้องการว่ามีศูนย์หนึ่งตัวในหมู่รากของสมการคุณลักษณะและด้านขวาของสมการคือพหุนามของดีกรี ม?

สาระสำคัญของวิธีการของลากรองจ์คืออะไร?

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สอง เรียกว่าสมการของรูป

ย"" + พี(x)ย" + ถาม(x)ย = ฉ(x) ,

ที่ไหน ยคือฟังก์ชันที่จะหา และ พี(x) , ถาม(x) และ ฉ(x) - ฟังก์ชั่นต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง ( ก, ข) .

ถ้าด้านขวาของสมการเป็นศูนย์ ( ฉ(x) = 0) จากนั้นจึงเรียกสมการ สมการเอกพันธ์เชิงเส้น - ภาคปฏิบัติของบทเรียนนี้จะเน้นไปที่สมการดังกล่าวเป็นหลัก หากด้านขวาของสมการไม่เท่ากับศูนย์ ( ฉ(x) ≠ 0) จากนั้นสมการนี้เรียกว่า .

ในปัญหาเราจำเป็นต้องแก้สมการ ย"" :

ย"" = −พี(x)ย" − ถาม(x)ย + ฉ(x) .

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว ปัญหาคอชี่ .

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สองและผลเฉลยของมัน

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น:

ย"" + พี(x)ย" + ถาม(x)ย = 0 .

ถ้า ย1 (x) และ ย2 (x) เป็นคำตอบเฉพาะของสมการนี้ ดังนั้นข้อความต่อไปนี้จึงเป็นจริง:

1) ย1 (x) + ย 2 (x) - ยังเป็นคำตอบของสมการนี้ด้วย

2) ไซ1 (x) , ที่ไหน ค- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ (คงที่) ก็เป็นคำตอบของสมการนี้เช่นกัน

จากข้อความทั้งสองนี้จึงเป็นไปตามฟังก์ชัน

ค1 ย 1 (x) + ค 2 ย 2 (x)

ก็เป็นคำตอบของสมการนี้เช่นกัน

คำถามที่ยุติธรรมเกิดขึ้น: นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สอง นั่นคือวิธีแก้ปัญหาสำหรับค่าที่ต่างกัน ค1 และ ค2 เป็นไปได้ไหมที่จะได้คำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมการ?

คำตอบสำหรับคำถามนี้คืออาจจะ แต่ภายใต้เงื่อนไขบางประการ นี้ เงื่อนไขว่าคุณสมบัติใดที่โซลูชั่นเฉพาะควรมี ย1 (x) และ ย2 (x) .

และเงื่อนไขนี้เรียกว่าเงื่อนไข ความเป็นอิสระเชิงเส้นโซลูชั่นส่วนตัว

ทฤษฎีบท- การทำงาน ค1 ย 1 (x) + ค 2 ย 2 (x) เป็นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์เชิงเส้นตรง (ถ้ามีฟังก์ชัน) ย1 (x) และ ย2 (x) เป็นอิสระเชิงเส้น

คำนิยาม- ฟังก์ชั่น ย1 (x) และ ย2 (x) เรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นถ้าอัตราส่วนของพวกมันมีค่าคงที่ไม่เป็นศูนย์:

ย1 (x)/ย 2 (x) = เค ; เค = ค่าคงที่ ; เค ≠ 0 .

อย่างไรก็ตาม การพิจารณาตามคำนิยามว่าฟังก์ชันเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่นั้นมักจะต้องใช้ความพยายามอย่างมาก มีวิธีสร้างความเป็นอิสระเชิงเส้นโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski ว(x) :

หากดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski ไม่เท่ากับศูนย์ แสดงว่าคำตอบมีความเป็นอิสระเชิงเส้น - ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski เป็นศูนย์ แสดงว่าคำตอบนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 1หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

สารละลาย. เราอินทิเกรตสองครั้ง และอย่างที่เห็นง่าย เพื่อให้ความแตกต่างระหว่างอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันและฟังก์ชันนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ คำตอบจะต้องเชื่อมโยงกับเลขชี้กำลังซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับตัวมันเอง นั่นคือ คำตอบบางส่วนคือ และ

เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์วรอนสกี้

ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นคำตอบเหล่านี้จะเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการนี้สามารถเขียนได้เป็น

.

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์เชิงเส้นเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่: ทฤษฎีและการปฏิบัติ

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ เรียกว่าสมการของรูป

ย"" + พาย" + คิว = 0 ,

ที่ไหน พีและ ถาม- ค่าคงที่

ความจริงที่ว่านี่คือสมการอันดับสองนั้นถูกระบุโดยการมีอยู่ของอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่ต้องการ และความสม่ำเสมอของมันถูกระบุด้วยศูนย์ทางด้านขวา ค่าที่กล่าวไปแล้วข้างต้นเรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์คงที่

ถึง แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์เชิงเส้นด้วยสัมประสิทธิ์คงที่ คุณต้องแก้สมการที่เรียกว่าสมการคุณลักษณะของแบบฟอร์มก่อน

เค² + หน้า + ถาม = 0 ,

ซึ่งอย่างที่เห็นคือสมการกำลังสองธรรมดา

ขึ้นอยู่กับการแก้สมการคุณลักษณะ มีสามตัวเลือกที่แตกต่างกัน คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ซึ่งตอนนี้เราจะวิเคราะห์ เพื่อความแน่นอนโดยสมบูรณ์ เราจะถือว่าคำตอบเฉพาะทั้งหมดได้รับการทดสอบโดยดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski แล้ว และค่านี้จะไม่เท่ากับศูนย์ในทุกกรณี ส่วนใครที่สงสัยก็สามารถตรวจสอบได้ด้วยตนเอง

รากของสมการคุณลักษณะนั้นมีอยู่จริงและชัดเจน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง, . ในกรณีนี้ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเนื้อเดียวกันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่จะมีรูปแบบดังนี้

.

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

.

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

.

สารละลาย. สมการลักษณะเฉพาะมีรูปแบบ มีราก เป็นจริงและชัดเจน ผลเฉลยบางส่วนของสมการที่สอดคล้องกันคือ: และ ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้มีรูปแบบ

.

รากของสมการคุณลักษณะนั้นมีจริงและเท่ากัน

นั่นก็คือ . ในกรณีนี้ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเนื้อเดียวกันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่จะมีรูปแบบดังนี้

.

ตัวอย่างที่ 4 แก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

.

สารละลาย. สมการคุณลักษณะ มีรากเท่ากัน ผลเฉลยบางส่วนของสมการที่สอดคล้องกันคือ: และ คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้มีรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 5 แก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

.

สารละลาย. สมการคุณลักษณะมีรากที่เท่ากัน ผลเฉลยบางส่วนของสมการที่สอดคล้องกันคือ: และ คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้มีรูปแบบ

ในส่วนนี้ เราจะพิจารณากรณีพิเศษของสมการอันดับสองเชิงเส้น เมื่อสัมประสิทธิ์ของสมการมีค่าคงที่ นั่นคือเป็นตัวเลข สมการดังกล่าวเรียกว่าสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ สมการประเภทนี้พบการใช้งานที่กว้างเป็นพิเศษ

1. สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

อันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

พิจารณาสมการ

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์คงที่ สมมติว่าการหารเงื่อนไขทั้งหมดของสมการด้วยและแสดงถึง

ลองเขียนสมการนี้ในรูปแบบ

ดังที่ทราบกันดีว่า ในการหาคำตอบทั่วไปของสมการอันดับสองที่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น ก็เพียงพอที่จะรู้ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาบางส่วนแล้ว มาดูกันว่าเป็นยังไงบ้าง ระบบพื้นฐานคำตอบบางส่วนสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ เราจะหาคำตอบเฉพาะของสมการนี้ในรูปแบบ

เราได้รับการสร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชันนี้สองครั้งและแทนที่นิพจน์ลงในสมการ (59)

เนื่องจาก จากนั้น ลดลงด้วย เราจะได้สมการ

จากสมการนี้ ค่า k เหล่านั้นถูกกำหนดว่าฟังก์ชันใดจะเป็นคำตอบของสมการ (59)

สมการพีชคณิต (61) ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ k เรียกว่าสมการคุณลักษณะของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ (59)

สมการลักษณะเฉพาะคือสมการของดีกรี 2 ดังนั้นจึงมีราก 2 อัน รากเหล่านี้อาจเป็นคอนจูเกตที่แตกต่างกันจริง จริงและเท่ากัน หรือเป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อนก็ได้

ให้เราพิจารณาว่าระบบพื้นฐานของโซลูชันเฉพาะมีรูปแบบใดในแต่ละกรณีเหล่านี้

1. รากของสมการคุณลักษณะมีจริงและแตกต่าง: . ในกรณีนี้ เมื่อใช้สูตร (60) เราจะพบวิธีแก้ปัญหาบางส่วน 2 แบบ:

คำตอบเฉพาะทั้งสองนี้ก่อให้เกิดระบบพื้นฐานของคำตอบบนแกนตัวเลขทั้งหมด เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski ไม่ได้หายไปไหน:

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการตามสูตร (48) จึงมีรูปแบบ

2. รากของสมการคุณลักษณะมีค่าเท่ากัน: . ในกรณีนี้ รากทั้งสองจะมีค่าจริง เมื่อใช้สูตร (60) เราจะได้โซลูชันเฉพาะเพียงวิธีเดียวเท่านั้น

ขอให้เราแสดงให้เห็นว่าคำตอบเฉพาะประการที่สอง ซึ่งเมื่อรวมกับวิธีแรกแล้วจะกลายเป็นระบบพื้นฐานก็มีรูปแบบ

ก่อนอื่น ตรวจสอบว่าฟังก์ชันนี้เป็นคำตอบของสมการ (59) จริงหรือ,

แต่เนื่องจากมีรากของสมการคุณลักษณะ (61) นอกจากนี้ตามทฤษฎีบทของ Vieta ดังนั้น . ดังนั้น นั่นคือ ฟังก์ชันจึงเป็นคำตอบของสมการ (59) อย่างแท้จริง

ตอนนี้ให้เราแสดงให้เห็นว่าวิธีแก้ปัญหาบางส่วนที่พบนั้นสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา จริงหรือ,

ดังนั้น ในกรณีนี้ คำตอบทั่วไปของสมการเชิงเส้นเอกพันธ์จึงมีรูปแบบ

3. รากของสมการคุณลักษณะมีความซับซ้อน ดังที่ทราบกันดีว่ารากที่ซับซ้อนของสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริงนั้นเป็นคอนจูเกต จำนวนเชิงซ้อนกล่าวคือ พวกเขาดูเหมือน: . ในกรณีนี้ การแก้สมการบางส่วน (59) ตามสูตร (60) จะมีรูปแบบ:

การใช้สูตรของออยเลอร์ (ดูบทที่ XI, § 5, ย่อหน้าที่ 3) สามารถเขียนนิพจน์สำหรับได้เป็น:

โซลูชั่นเหล่านี้มีความครอบคลุม หากต้องการทราบวิธีแก้ไขที่ถูกต้อง ให้พิจารณาฟังก์ชันใหม่

พวกมันคือผลรวมเชิงเส้นของคำตอบ ดังนั้นจึงเป็นตัวแก้สมการ (59) (ดู§ 3 ข้อ 2 ทฤษฎีบท 1)

เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski สำหรับคำตอบเหล่านี้ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น คำตอบจึงกลายเป็นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา

ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธ์ในกรณีของรากที่ซับซ้อนของสมการคุณลักษณะจึงมีรูปแบบ

โดยสรุป เรานำเสนอตารางสูตรสำหรับการแก้สมการทั่วไป (59) ขึ้นอยู่กับประเภทของรากของสมการคุณลักษณะ

สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่ 2

§1. วิธีการลดลำดับของสมการ

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 2 มีรูปแบบ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( หรือ Differential" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 2) ปัญหาคอชี่สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 2 (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

ให้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 2 มีรูปแบบ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

ดังนั้นสมการลำดับที่ 2 https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. ในการแก้มัน เราได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม ขึ้นอยู่กับค่าคงที่สองตัว: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">.gif" width="76" height="25 src=">.

สารละลาย.

เนื่องจากสมการดั้งเดิมไม่มีอาร์กิวเมนต์อย่างชัดเจน https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" ความสูง="38 src=">.

ตั้งแต่ที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= " >.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

ให้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 2 มีรูปแบบ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" ความสูง="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" ความสูง= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.

3. ลำดับของกำลังจะลดลงหากสามารถแปลงให้เป็นรูปแบบที่สมการทั้งสองข้างกลายเป็นอนุพันธ์ที่สมบูรณ์ตาม https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" ความกว้าง = "282" ความสูง = "25 src = ">, (2.1)

โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – ฟังก์ชั่นที่ระบุต่อเนื่องในช่วงเวลาที่ต้องการหาคำตอบ สมมติว่า a0(x) ≠ 0 เราจะหาร (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)

ให้เรายอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์ว่า (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height = "25 src="> จากนั้นสมการ (2.2) จะเรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน และสมการ (2.2) จะเรียกว่าไม่มีลักษณะเป็นเนื้อเดียวกัน

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของคำตอบของโหนดลำดับที่ 2

คำนิยาม.การรวมฟังก์ชันเชิงเส้น https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)

จากนั้นการรวมกันเชิงเส้นของพวกเขา https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> ใน (2.3) และแสดงว่าผลลัพธ์คือตัวตน:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

เนื่องจากฟังก์ชัน https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> เป็นวิธีแก้สมการ (2.3) ดังนั้นแต่ละวงเล็บใน สมการสุดท้ายเหมือนกันคือศูนย์ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

ข้อพิสูจน์ 1.ตามมาจากทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้วที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> - วิธีแก้สมการ (2. .gif" width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> เรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นในบางช่วงเวลา หากไม่มีฟังก์ชันใดที่สามารถแสดงเป็นเชิงเส้นได้ การรวมกันของสิ่งอื่นทั้งหมด

ในกรณีของสองฟังก์ชัน https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, i.e..gif" width="77" height ="47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski สำหรับฟังก์ชันอิสระเชิงเส้นสองตัวไม่สามารถเท่ากับศูนย์เท่ากันได้

ให้ https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> เป็นไปตามสมการ (2..gif" width="42" height="25 src = "> – วิธีแก้สมการ (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> ดังนั้น จึงได้รับข้อมูลประจำตัว

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src="> ซึ่งเป็นปัจจัยกำหนดเส้นตรง การตัดสินใจที่เป็นอิสระสมการ (2..gif" width="42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> ทั้งสองปัจจัยทางด้านขวาของสูตร (3.2) ไม่ใช่ศูนย์

§4 โครงสร้างของวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของโหนดลำดับที่ 2

ทฤษฎีบท.หาก https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> เป็นคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการ (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">เป็นคำตอบของสมการ (2.3) ตามมาจากทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของคำตอบของโหนดลำดับที่ 2.. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

ค่าคงที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> จากระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นนี้ถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของ ระบบนี้คือ https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src="> ตามย่อหน้าก่อนหน้า ผลเฉลยทั่วไปของ Lod ลำดับที่ 2 จะกำหนดได้อย่างง่ายดายหากทราบผลเฉลยบางส่วนที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการนี้ วิธีการง่ายๆ สำหรับการค้นหาคำตอบบางส่วนของสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ที่แนะนำโดย L. Euler..gif" width="25" height="26 src="> เราจะได้ สมการพีชคณิตซึ่งเรียกว่าคุณลักษณะ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> จะเป็นคำตอบของสมการ (5.1) สำหรับค่า k เหล่านั้นเท่านั้น ที่เป็นรากของสมการคุณลักษณะ (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> และวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src="> ลองตรวจสอบว่าฟังก์ชันนี้เป็นไปตามสมการ (5.1)..gif" width="190" height="26 src="> โดยแทนที่นิพจน์เหล่านี้ เข้าไปในสมการ (5.1) เราได้

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, เพราะ..gif" width="137" height="26 src= ">.

โซลูชันเฉพาะ https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> มีความเป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจาก..gif" width="166" height ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" ความสูง = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

วงเล็บทั้งสองทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้จะเท่ากันกับ zero..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> คือ การแก้สมการ (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> จะมีลักษณะดังนี้:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

แสดงเป็นผลรวมของโซลูชันทั่วไป https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

และวิธีแก้ปัญหาเฉพาะใด ๆ https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> จะเป็นคำตอบของสมการ (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x) ความเท่าเทียมกันนี้เป็นเอกลักษณ์ เพราะว่า..gif" width="128" height="25 src="> f(x) ดังนั้น.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> เป็นคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการนี้ ดังนั้น:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src="> และปัจจัยดังกล่าว ตามที่เราเห็นข้างต้น ไม่ใช่ศูนย์..gif" width="19" height="25 src="> จากระบบ ของสมการ (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> จะแก้สมการ

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> ลงในสมการ (6.5) เราได้

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> สมการ (7.1) ในกรณีที่ด้านขวา f(x) มี ชนิดพิเศษ- วิธีนี้เรียกว่าวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนและประกอบด้วยการเลือกวิธีแก้ปัญหาเฉพาะโดยขึ้นอยู่กับประเภทของ f(x) ทางขวามือ พิจารณาทางด้านขวามือของแบบฟอร์มต่อไปนี้:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> สามารถเป็นศูนย์ได้ ให้เราระบุแบบฟอร์มที่ต้องดำเนินการแก้ไขปัญหาเฉพาะในกรณีนี้

ก) ถ้าเป็นตัวเลข https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.

สารละลาย.

สำหรับสมการ https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= ">

เราย่อทั้งสองส่วนให้สั้นลงเป็น https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> ทางด้านซ้ายและ ชิ้นส่วนที่ถูกต้องความเท่าเทียมกัน

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

จากระบบสมการผลลัพธ์ เราพบ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> และคำตอบทั่วไปของค่าที่กำหนด สมการคือ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

สารละลาย.

สมการคุณลักษณะที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src="> สุดท้าย เรามีนิพจน์ต่อไปนี้สำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> ยอดเยี่ยม จากศูนย์ ให้เราระบุประเภทของวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในกรณีนี้

ก) หากตัวเลข https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> เป็นรากของสมการคุณลักษณะสำหรับสมการ (5..gif" ความกว้าง = "229 " ความสูง = "25 src = ">,

โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

สารละลาย.

รากของสมการคุณลักษณะสำหรับสมการ https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height="25 src=">.gif" width="203" height ="25 src=">.

ทางด้านขวาของสมการที่ให้ไว้ในตัวอย่างที่ 3 มีรูปแบบพิเศษ: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

เพื่อกำหนด https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > และแทนที่มันลงในสมการที่กำหนด:

อ้างอิงคำที่คล้ายกันโดยเทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height = "25 src=">.

คำตอบทั่วไปขั้นสุดท้ายของสมการที่กำหนดมีรูปแบบ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width= "47" height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> ตามลำดับ และหนึ่งในพหุนามเหล่านี้อาจเท่ากับศูนย์ ให้เราระบุประเภทของวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในสิ่งนี้ กรณีทั่วไป

ก) ถ้าเป็นตัวเลข https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) หากตัวเลข https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src="> ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับ lndu จะมีลักษณะดังนี้:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. ในนิพจน์ (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

ตัวอย่างที่ 4ระบุประเภทของคำตอบเฉพาะสำหรับสมการ

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับ Lodu มีรูปแบบดังนี้:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

ค่าสัมประสิทธิ์เพิ่มเติม https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > มีวิธีแก้เฉพาะสำหรับสมการที่มีด้านขวา f1(x) และการเปลี่ยนแปลง" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">การเปลี่ยนแปลงของค่าคงที่ตามอำเภอใจ (วิธีลากรองจ์)

การหาคำตอบเฉพาะของสมการโดยตรง ยกเว้นในกรณีของสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่และมีเงื่อนไขอิสระพิเศษนั้นเป็นเรื่องยากมาก ดังนั้นในการค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการมักจะใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจซึ่งทำให้สามารถหาคำตอบทั่วไปของสมการในพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอหากทราบระบบพื้นฐานของการแก้สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน . วิธีการนี้มีดังนี้

จากที่กล่าวไว้ข้างต้น วิธีแก้ทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นคือ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – ไม่ใช่ค่าคงที่ แต่มีฟังก์ชันบางอย่างของ f(x) ที่ยังไม่ทราบแน่ชัด - จะต้องนำมาจากช่วงเวลา ในความเป็นจริง ในกรณีนี้ ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski ไม่ใช่ศูนย์ในทุกจุดของช่วงเวลา นั่นคือ ทั่วทั้งสเปซ - รากที่ซับซ้อนของสมการลักษณะเฉพาะ..gif" width="20" height="25 src="> คำตอบบางส่วนอิสระเชิงเส้นของแบบฟอร์ม:

ในสูตรการแก้ปัญหาทั่วไป รากนี้สอดคล้องกับนิพจน์ของแบบฟอร์ม

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่:
(1) .
สามารถรับวิธีแก้ปัญหาได้โดยปฏิบัติตามวิธีการลดคำสั่งซื้อทั่วไป

อย่างไรก็ตาม การรับระบบพื้นฐานทันทีนั้นง่ายกว่า nโซลูชันที่เป็นอิสระเชิงเส้นและสร้างโซลูชันทั่วไปตามนั้น ในกรณีนี้ ขั้นตอนการแก้ปัญหาทั้งหมดจะลดลงเหลือขั้นตอนต่อไปนี้

เรากำลังหาคำตอบของสมการ (1) ในรูปแบบ เราได้รับ:
(2) .
สมการลักษณะเฉพาะ
(3) .
มันมีไม่มีราก เราแก้สมการ (2) และค้นหารากของมัน
(4) .

จากนั้นสมการคุณลักษณะ (2) สามารถแสดงได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

แต่ละรูตสอดคล้องกับหนึ่งในคำตอบอิสระเชิงเส้นของระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการ (1) ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิม (1) จะมีรูปแบบ:รากที่แท้จริง
.

ลองพิจารณาถึงรากที่แท้จริง
- ปล่อยให้รากเป็นโสด นั่นคือปัจจัยจะเข้าสู่สมการคุณลักษณะ (3) เพียงครั้งเดียว จากนั้นรูตนี้จะสอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหา
.
อนุญาต เป็นผลหลายรากของการคูณ p
; ; ; ...; .

นั่นก็คือ

- ในกรณีนี้ ตัวคูณคือ p คูณ:รากหลายค่า (เท่ากัน) เหล่านี้สอดคล้องกับ p คำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการดั้งเดิม (1):
.
รากที่ซับซ้อน
.

พิจารณารากที่ซับซ้อน
; .

อนุญาต เป็นรากเชิงซ้อนตัวคูณของ p
.
จากนั้นค่าคอนจูเกตเชิงซ้อนยังเป็นรากของสมการคุณลักษณะของการคูณ p และตัวคูณเข้าสู่ p ครั้ง: นี้ 2p นี้รากสอดคล้องกัน
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

โซลูชันอิสระเชิงเส้น:

หลังจากค้นพบระบบพื้นฐานของวิธีแก้ปัญหาอิสระเชิงเส้นแล้ว เราก็จะได้คำตอบทั่วไป

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1
.

แก้สมการ:

.
สารละลาย
;
;
.

มาแปลงมันกันเถอะ:
; .
ลองดูที่รากของสมการนี้ เราได้รากที่ซับซ้อนสี่ประการของการคูณ 2:
; ; ; .

สอดคล้องกับคำตอบอิสระเชิงเส้นสี่ข้อของสมการดั้งเดิม:
.
เรามีรากจริงสามตัวของตัวคูณ 3 ด้วย:
; ; .

สอดคล้องกับโซลูชันอิสระเชิงเส้นสามตัว:
.

ผลเฉลยทั่วไปของสมการดั้งเดิมมีรูปแบบดังนี้:

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ:

แก้สมการ
.
เรากำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบ
.

เราเขียนสมการคุณลักษณะ:
.
การแก้สมการกำลังสอง
.
เรามีรากที่ซับซ้อนสองอัน:
.