วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (สลาฟ) คำตอบเชิงตัวเลขของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

27.09.2019 | นิติศาสตร์

ข้อดีของวิธีการวนซ้ำคือการนำไปใช้กับระบบที่มีเงื่อนไขไม่ดีและระบบที่มีลำดับสูง การแก้ไขตัวเอง และความง่ายในการใช้งานบนพีซี เพื่อเริ่มการคำนวณ วิธีการวนซ้ำจำเป็นต้องระบุการประมาณเบื้องต้นของโซลูชันที่ต้องการ

ควรสังเกตว่าเงื่อนไขและอัตราการลู่เข้าของกระบวนการวนซ้ำนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของเมทริกซ์อย่างมีนัยสำคัญ กระบบและการเลือกการประมาณเบื้องต้น

หากต้องการใช้วิธีการวนซ้ำ ระบบเดิม (2.1) หรือ (2.2) จะต้องลดลงเป็นรูปแบบ

หลังจากนั้นจะดำเนินการกระบวนการวนซ้ำตามสูตรที่เกิดซ้ำ

, เค = 0, 1, 2, ... . (2.26ก)

เมทริกซ์ ชและเวกเตอร์ได้มาจากการเปลี่ยนแปลงของระบบ (2.1)

สำหรับการบรรจบกัน (2.26 ก) มีความจำเป็นและเพียงพอเพื่อให้ |l ฉัน(ช)| < 1, где lฉัน(ช) - ทั้งหมด ค่าลักษณะเฉพาะเมทริกซ์ ช- การบรรจบกันจะเกิดขึ้นหาก || ช|| < 1, так как |lฉัน(ช)| < " ||ช|| โดยที่ " คือค่าใดก็ได้

สัญลักษณ์ || - หมายถึงบรรทัดฐานของเมทริกซ์ เมื่อพิจารณามูลค่า ส่วนใหญ่มักจะหยุดที่การตรวจสอบเงื่อนไขสองประการ:

||ช- = หรือ || ช|| = , (2.27)

ที่ไหน . รับประกันการบรรจบกันหากเมทริกซ์ดั้งเดิม กมีอำนาจเหนือในแนวทแยงเช่น

. (2.28)

หากเป็นไปตาม (2.27) หรือ (2.28) วิธีการวนซ้ำจะมาบรรจบกันสำหรับการประมาณเริ่มต้นใดๆ ส่วนใหญ่แล้วเวกเตอร์จะถูกนำมาเป็นศูนย์หรือหน่วย หรือเวกเตอร์นั้นนำมาจาก (2.26)

มีหลายวิธีในการแปลงระบบดั้งเดิม (2.2) ด้วยเมทริกซ์ กเพื่อให้แน่ใจว่าแบบฟอร์ม (2.26) หรือเป็นไปตามเงื่อนไขการลู่เข้า (2.27) และ (2.28)

เช่น (2.26) สามารถรับได้ดังนี้

อนุญาต ก = ใน+ กับ, เดช ใน#0; แล้ว ( บี+ กับ)= Þ บี= −ค+ Þ Þ บี –1 บี= −บี –1 ค+ บี–1, จากไหน= - บี –1 ค+ บี –1 .

วาง - บี –1 ค = ช, บี–1 = เราได้รับ (2.26)

จากเงื่อนไขลู่เข้า (2.27) และ (2.28) จะเห็นได้ชัดเจนว่าเป็นตัวแทน ก = ใน+ กับไม่สามารถกำหนดเองได้

ถ้าเป็นเมทริกซ์ กเป็นไปตามเงื่อนไข (2.28) จากนั้นเป็นเมทริกซ์ ในคุณสามารถเลือกรูปสามเหลี่ยมด้านล่างได้:

, ครั้งที่สอง ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

โดยการเลือกพารามิเตอร์ a เราจะมั่นใจได้ว่า || ช|| = ||อี+ ก ก|| < 1.

ถ้า (2.28) ชนะ การแปลงเป็น (2.26) สามารถทำได้โดยการแก้โจทย์แต่ละข้อ ฉันสมการของระบบ (2.1) เทียบกับ x ฉันตามสูตรการเกิดซ้ำดังต่อไปนี้

(2.28ก)

ถ้าอยู่ในเมทริกซ์ กไม่มีการครอบงำในแนวทแยง จะต้องทำได้โดยใช้การแปลงเชิงเส้นบางอย่างที่ไม่ละเมิดความเท่าเทียมกัน

เป็นตัวอย่างให้พิจารณาระบบ

(2.29)

อย่างที่คุณเห็น ในสมการ (1) และ (2) ไม่มีส่วนเด่นในแนวทแยง แต่ใน (3) มี เราจึงปล่อยให้มันไม่มีการเปลี่ยนแปลง

ขอให้เราบรรลุความโดดเด่นในแนวทแยงในสมการ (1) ลองคูณ (1) ด้วย a, (2) ด้วย b เพิ่มทั้งสองสมการและในสมการผลลัพธ์ให้เลือก a และ b เพื่อให้มีความโดดเด่นในแนวทแยง:

(2เอ + 3บี) เอ็กซ์ 1 + (–1.8a + 2b) เอ็กซ์ 2 +(0.4a – 1.1b) เอ็กซ์ 3 = ก.

เมื่อ a = b = 5 เราจะได้ 25 เอ็กซ์ 1 + เอ็กซ์ 2 – 3,5เอ็กซ์ 3 = 5.

ในการแปลงสมการ (2) ด้วยความเด่นของ (1) คูณด้วย g (2) คูณด้วย d และลบ (1) จาก (2) เราได้รับ

(3 วัน – 2 กรัม) เอ็กซ์ 1 + (2 วัน + 1.8 ก.) เอ็กซ์ 2 +(–1.1d – 0.4ก.) เอ็กซ์ 3 = −ก.

ใส่ d = 2, g = 3 เราจะได้ 0 เอ็กซ์ 1 + 9,4 เอ็กซ์ 2 – 3,4 เอ็กซ์ 3 = −3 เป็นผลให้เราได้รับระบบ

(2.30)

เทคนิคนี้สามารถใช้เพื่อค้นหาคำตอบของเมทริกซ์ประเภทต่างๆ ได้

หรือ

ใช้เวกเตอร์ = (0.2; –0.32; 0) เป็นการประมาณเริ่มต้น ตเราจะแก้ปัญหาระบบนี้โดยใช้เทคโนโลยี (2.26 ก):

เค = 0, 1, 2, ... .

กระบวนการคำนวณจะหยุดลงเมื่อการประมาณเวกเตอร์ของสารละลายที่อยู่ใกล้เคียงกันสองครั้งเกิดขึ้นพร้อมกันอย่างแม่นยำ กล่าวคือ

เทคโนโลยีการแก้ปัญหาแบบวนซ้ำ (2.26 ก) ชื่อ วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย .

ระดับ ข้อผิดพลาดแน่นอนสำหรับวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย:

สัญลักษณ์อยู่ที่ไหน || - หมายถึงปกติ

ตัวอย่างที่ 2.1- ใช้วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายด้วยความแม่นยำ e = 0.001 แก้ระบบ สมการเชิงเส้น:

จำนวนขั้นตอนที่ให้คำตอบที่แม่นยำถึง e = 0.001 สามารถกำหนดได้จากความสัมพันธ์

0.001 ปอนด์

ให้เราประมาณค่าการลู่เข้าโดยใช้สูตร (2.27) ที่นี่ || ช- = = สูงสุด(0.56; 0.61; 0.35; 0.61) = 0.61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

ในการประมาณเบื้องต้น เราใช้เวกเตอร์ของเทอมอิสระ เช่น = (2.15; –0.83; 1.16; 0.44) ต- ลองแทนค่าเวกเตอร์เป็น (2.26 ก):

ดำเนินการคำนวณต่อไปเราป้อนผลลัพธ์ลงในตาราง:

เค	เอ็กซ์ 1	เอ็กซ์ 2	เอ็กซ์ 3	เอ็กซ์ 4
	2,15	–0,83	1,16	0,44
	2,9719	–1,0775	1,5093	–0,4326
	3,3555	–1,0721	1,5075	–0,7317
	3,5017	–1,0106	1,5015	–0,8111
	3,5511	–0,9277	1,4944	–0,8321
	3,5637	–0,9563	1,4834	–0,8298
	3,5678	–0,9566	1,4890	–0,8332
	3,5760	–0,9575	1,4889	–0,8356
	3,5709	–0,9573	1,4890	–0,8362
	3,5712	–0,9571	1,4889	–0,8364
	3,5713	–0,9570	1,4890	–0,8364

การบรรจบกันในพันเกิดขึ้นในขั้นตอนที่ 10 แล้ว

คำตอบ: เอ็กซ์ 1 » 3.571; เอ็กซ์ 2 "-0.957; เอ็กซ์ 3 » 1.489; เอ็กซ์ 4 "-0.836.

สารละลายนี้สามารถหาได้โดยใช้สูตร (2.28 ก).

ตัวอย่างที่ 2.2- เพื่อแสดงอัลกอริทึมโดยใช้สูตร (2.28 ก) พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของระบบ (เพียงสองครั้งเท่านั้น):

; . (2.31)

ให้เราแปลงระบบเป็นรูปแบบ (2.26) ตาม (2.28 ก):

Þ (2.32)

ลองประมาณเริ่มต้น = (0; 0; 0) ต- แล้วสำหรับ เค= 0 จะเห็นได้ว่าค่า = (0.5; 0.8; 1.5) ต- ให้เราแทนค่าเหล่านี้เป็น (2.32) เช่น เมื่อ เค= 1 เราได้ = (1.075; 1.3; 1.175) ต.

ข้อผิดพลาด อี 2 = = สูงสุด(0.575; 0.5; 0.325) = 0.575

บล็อกไดอะแกรมของอัลกอริธึมสำหรับค้นหาวิธีแก้ไขปัญหา SLAE โดยใช้วิธีการ การวนซ้ำอย่างง่ายตามสูตรการทำงาน (2.28 ก) แสดงไว้ในรูปที่ 2.4.

คุณสมบัติพิเศษของแผนภาพบล็อกคือการมีบล็อกต่อไปนี้:

– บล็อก 13 – จุดประสงค์ของมันถูกกล่าวถึงด้านล่าง

– บล็อก 21 – การแสดงผลลัพธ์บนหน้าจอ

– บล็อก 22 – ตรวจสอบ (ตัวบ่งชี้) ของการลู่เข้า

ให้เราวิเคราะห์โครงร่างที่เสนอโดยใช้ตัวอย่างระบบ (2.31) ( n= 3, w = 1, e = 0.001):

= ; .

ปิดกั้น 1. ป้อนข้อมูลเริ่มต้น ก, ,เรา, n: n= 3, ก = 1, อี = 0.001

วงจรที่ 1- ตั้งค่าเริ่มต้นของเวกเตอร์ x 0ฉันและ x ฉัน (ฉัน = 1, 2, 3).

ปิดกั้น 5. รีเซ็ตตัวนับการวนซ้ำ

ปิดกั้น 6. รีเซ็ตตัวนับข้อผิดพลาดปัจจุบันให้เป็นศูนย์

ในรอบที่ 2 หมายเลขแถวเมทริกซ์จะเปลี่ยนไป กและเวกเตอร์

รอบที่สอง:ฉัน = 1: ส = ข 1 = 2 (บล็อก 8)

ไปที่ลูปที่ซ้อนกัน III บล็อก 9 – ตัวนับหมายเลขคอลัมน์เมทริกซ์ ก: เจ = 1.

ปิดกั้น 10: เจ = ฉันดังนั้นเราจึงกลับไปที่บล็อก 9 และเพิ่มขึ้น เจต่อหน่วย: เจ = 2.

ในบล็อก 10 เจ ¹ ฉัน(2 ¹ 1) – เราย้ายไปบล็อก 11

ปิดกั้น 11: ส= 2 – (–1) × เอ็กซ์ 0 2 = 2 – (–1) × 0 = 2 ไปที่บล็อก 9 โดยที่ เจเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง: เจ = 3.

ในบล็อก 10 สภาพ เจ ¹ ฉันสำเร็จแล้ว เรามาต่อกันที่บล็อก 11 กันดีกว่า

ปิดกั้น 11: ส= 2 – (–1) × เอ็กซ์ 0 3 = 2 – (–1) × 0 = 2 หลังจากนั้นเราไปยังบล็อก 9 โดยที่ เจเพิ่มขึ้นหนึ่ง ( เจ= 4) ความหมาย เจมากกว่า n (n= 3) – เราจบวงจรและไปยังบล็อก 12

ปิดกั้น 12: ส = ส / ก 11 = 2 / 4 = 0,5.

ปิดกั้น 13: ก = 1; ส = ส + 0 = 0,5.

ปิดกั้น 14: ง = | x ฉัน – ส | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

ปิดกั้น 15: x ฉัน = 0,5 (ฉัน = 1).

ปิดกั้น 16.ตรวจสภาพ ง > เดอ: 0.5 > 0 ดังนั้นไปที่บล็อก 17 ที่เรากำหนดไว้ เดอ= 0.5 และคืนโดยใช้ลิงค์ “ ก» ไปยังขั้นตอนถัดไปของรอบที่ 2 – เพื่อบล็อก 7 ซึ่งในนั้น ฉันเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง

รอบที่สอง: ฉัน = 2: ส = ข 2 = 4 (บล็อก 8)

เจ = 1.

ผ่านบล็อก 10 เจ ¹ ฉัน(1 ¹ 2) – เราย้ายไปบล็อก 11

ปิดกั้น 11: ส= 4 – 1 × 0 = 4 ไปที่บล็อก 9 โดยในนั้น เจเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง: เจ = 2.

ในบล็อก 10 ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้นเราจึงไปยังบล็อก 9 ซึ่งในนั้น เจเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง: เจ= 3 โดยการเปรียบเทียบ เราจะไปยังบล็อก 11

ปิดกั้น 11: ส= 4 – (–2) × 0 = 4 หลังจากนั้นเราจบรอบที่ 3 และไปต่อที่บล็อก 12

ปิดกั้น 12: ส = ส/ ก 22 = 4 / 5 = 0,8.

ปิดกั้น 13: ก = 1; ส = ส + 0 = 0,8.

ปิดกั้น 14: ง = | 1 – 0,8 | = 0,2.

ปิดกั้น 15: x ฉัน = 0,8 (ฉัน = 2).

ปิดกั้น 16.ตรวจสภาพ ง > เดอ: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «ก» ไปยังขั้นตอนถัดไปของรอบที่ 2 - เพื่อบล็อก 7

รอบที่สอง: ฉัน = 3: ส = ข 3 = 6 (บล็อก 8)

ไปที่ลูปซ้อน III บล็อก 9: เจ = 1.

ปิดกั้น 11: ส= 6 – 1 × 0 = 6 ไปที่บล็อก 9: เจ = 2.

การใช้บล็อก 10 เราย้ายไปที่บล็อก 11

ปิดกั้น 11: ส= 6 – 1 × 0 = 6 เราจบรอบที่ 3 แล้วไปต่อที่บล็อก 12

ปิดกั้น 12: ส = ส/ ก 33 = 6 / 4 = 1,5.

ปิดกั้น 13: ส = 1,5.

ปิดกั้น 14: ง = | 1 – 1,5 | = 0,5.

ปิดกั้น 15: x ฉัน = 1,5 (ฉัน = 3).

ตามบล็อก 16 (รวมถึงการอ้างอิง " ก" และ " กับ") เราออกจากวงจรที่ 2 และไปยังบล็อก 18

ปิดกั้น 18. การเพิ่มจำนวนการวนซ้ำ มัน = มัน + 1 = 0 + 1 = 1.

ในบล็อก 19 และ 20 ของรอบที่ 4 เราจะแทนที่ค่าเริ่มต้น เอ็กซ์ 0ฉันค่าที่ได้รับ x ฉัน (ฉัน = 1, 2, 3).

ปิดกั้น 21. เราพิมพ์ค่ากลางของการวนซ้ำปัจจุบัน ในกรณีนี้: = (0.5; 0.8; 1.5) ต, มัน = 1; เดอ = 0,5.

ไปที่รอบที่ 2 เพื่อบล็อก 7 และทำการคำนวณที่พิจารณาด้วยค่าเริ่มต้นใหม่ เอ็กซ์ 0ฉัน (ฉัน = 1, 2, 3).

หลังจากนั้นเราก็ได้ เอ็กซ์ 1 = 1,075; เอ็กซ์ 2 = 1,3; เอ็กซ์ 3 = 1,175.

ในกรณีนี้ วิธีการของไซเดลมาบรรจบกัน

ตามสูตร (2.33)

เค	เอ็กซ์ 1	เอ็กซ์ 2	เอ็กซ์ 3
	0,19	0,97	–0,14
	0,2207	1,0703	–0,1915
	0,2354	1,0988	–0,2118
	0,2424	1,1088	–0,2196
	0,2454	1,1124	–0,2226
	0,2467	1,1135	–0,2237
	0,2472	1,1143	–0,2241
	0,2474	1,1145	–0,2243
	0,2475	1,1145	–0,2243

คำตอบ: x 1 = 0,248; x 2 = 1,115; x 3 = –0,224.

ความคิดเห็น- หากการวนซ้ำอย่างง่ายและวิธีการ Seidel มาบรรจบกันสำหรับระบบเดียวกัน วิธี Seidel ก็เหมาะกว่า อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ พื้นที่ของการลู่เข้าของวิธีการเหล่านี้อาจแตกต่างกัน กล่าวคือ วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายมาบรรจบกัน แต่วิธี Seidel แตกต่าง และในทางกลับกัน สำหรับทั้งสองวิธี ถ้า || ช- ใกล้กับ หน่วย, ความเร็วลู่เข้าต่ำมาก

เพื่อเร่งการบรรจบกันจึงใช้เทคนิคประดิษฐ์ที่เรียกว่า วิธีการผ่อนคลาย - สาระสำคัญของมันคือค่าถัดไปที่ได้รับจากวิธีการวนซ้ำ x ฉัน (เค) จะถูกคำนวณใหม่โดยใช้สูตร

โดยที่ w มักจะเปลี่ยนในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 2 (0< w £ 2) с каким-либо шагом (ชม.= 0.1 หรือ 0.2) พารามิเตอร์ w ถูกเลือกเพื่อให้การลู่เข้าของวิธีการทำได้ในจำนวนการวนซ้ำขั้นต่ำ

ผ่อนคลาย– สภาวะของร่างกายใด ๆ ที่ค่อยๆ อ่อนลงอย่างค่อยเป็นค่อยไปหลังจากการยุติปัจจัยที่ทำให้เกิดสภาวะนี้ (วิศวกรรมกายภาพ)

ตัวอย่างที่ 2.4- ให้เราพิจารณาผลลัพธ์ของการวนซ้ำครั้งที่ 5 โดยใช้สูตรการผ่อนคลาย ลองใช้ w = 1.5:

อย่างที่คุณเห็น ผลลัพธ์ของการวนซ้ำเกือบเจ็ดครั้งนั้นเกิดขึ้น

ในส่วนนี้เราจะพิจารณากระบวนการวนซ้ำคงที่เมื่อเมทริกซ์และพารามิเตอร์การวนซ้ำ ไม่ต้องพึ่งดัชนี และพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้เกี่ยวกับเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการลู่เข้าของมัน

ทฤษฎีบทของซามาร์สกี

อนุญาต - เมทริกซ์แน่นอนเชิงบวกที่ adjoint ตนเอง:

,
,

- เมทริกซ์แน่นอนเชิงบวก - จำนวนบวก:

,
.

จากนั้นสำหรับตัวเลือกการประมาณค่าศูนย์ใดๆ กระบวนการวนซ้ำซึ่งกำหนดโดยสูตรที่เกิดซ้ำ มาบรรจบกันเพื่อแก้ปัญหาของระบบเดิม

ก่อนที่จะไปสู่การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ ให้เราพูดคุยในรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับข้อกำหนดหลักของมัน - ความแน่นอนเชิงบวกของเมทริกซ์
- ข้อกำหนดนี้สามารถเขียนใหม่เป็น:

,
,
.

กล่าวคือ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถือว่าเมทริกซ์นั้น เป็นบวกแน่นอน นอกจากนี้ ความไม่เท่าเทียมกันจะกำหนดช่วงเวลาที่พารามิเตอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ :

หลังจากคำพูดเหล่านี้ เราก็ไปยังการพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไป ให้เราแสดงจากความสัมพันธ์ ผ่าน :

และแทนที่มันลงในสูตรที่เกิดซ้ำสำหรับลำดับการวนซ้ำ เป็นผลให้เราได้รับ:

ความแตกต่างระหว่างสูตรวนซ้ำกับคือเป็นเนื้อเดียวกัน

เมทริกซ์ - บวกแน่นอน จึงไม่เสื่อมและมีการผกผัน
- ด้วยความช่วยเหลือของเธอ ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำสามารถแก้ไขได้ค่อนข้าง
:

, ดังนั้น
.

การคูณทั้งสองด้านของความเท่ากันทางด้านซ้ายด้วยเมทริกซ์ เราได้รับความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำอีกครั้ง

พิจารณาลำดับของฟังก์ชันเชิงบวก:

มาสร้างสำนวนที่คล้ายกันสำหรับ
และแปลงโดยใช้สูตรที่เกิดซ้ำและ:

จากการอยู่ติดกันของเมทริกซ์ และสูตรดังต่อไปนี้

เป็นผลให้สูตรอยู่ในรูปแบบ:

ดังนั้นลำดับของฟังก์ชัน ขึ้นอยู่กับเงื่อนไข
สร้างลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจโดยมีขอบเขตด้านล่างเป็นศูนย์

ที่ไหน
เป็นค่าคงที่เชิงบวกอย่างเคร่งครัด เป็นผลให้ตามและเราจะได้

จากความไม่เท่าเทียมกันนี้และการบรรจบกันของลำดับฟังก์ชัน มันเป็นไปตามนั้น
ที่
- ในทางกลับกัน
, ดังนั้น

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

ชื่อนี้ถูกกำหนดให้กับวิธีการซึ่งในฐานะเมทริกซ์ เลือกเมทริกซ์เอกลักษณ์:
และพารามิเตอร์การวนซ้ำ ถือว่าเป็นอิสระจากหมายเลขการวนซ้ำ - กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายคือวิธีการคงที่ที่ชัดเจน เมื่อวนซ้ำครั้งถัดไป
คำนวณโดยใช้สูตรเกิดซ้ำ

เราจะถือว่าเมทริกซ์นั้น เป็นไปตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทของ Samarsky
จากนั้นเป็นสูตรที่กำหนดขอบเขตของช่วงการลู่เข้าตามพารามิเตอร์การวนซ้ำ ,รับแบบฟอร์ม

อนุญาต
- พื้นฐานออร์โธนอร์มอลของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ - โดยอาศัยความชัดเจนเชิงบวก ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของมันจึงเป็นค่าบวก เราจะพิจารณาตามลำดับจากมากไปหาน้อย:

ลองขยายเวกเตอร์ดู
ขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะของเวกเตอร์

เป็นผลให้เป็นไปตามสูตรที่วิธีการวนซ้ำแบบง่ายมาบรรจบกันสำหรับค่าใดๆ ที่อยู่ในช่วงเวลา

เราจะใช้การศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายโดยอาศัยการวิเคราะห์สูตรที่เกิดซ้ำโดยเฉพาะ ให้เราแนะนำเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเปลี่ยนผ่าน

และเขียนสูตรใหม่ในรูปแบบ

ในกรณีนี้เกิดข้อผิดพลาด
จะตอบสนองความสัมพันธ์การเกิดซ้ำที่คล้ายกันเท่านั้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ขอให้เราพิสูจน์บทแทรกสองบทที่ช่วยให้เราสามารถสำรวจเงื่อนไขสำหรับการลู่เข้าของวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายได้ครบถ้วนยิ่งขึ้น

เลมมา 1

ให้โอเปอเรเตอร์ที่เมทริกซ์สร้างขึ้น มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ด้วยค่าลักษณะเฉพาะ จากนั้นเป็นตัวดำเนินการเปลี่ยนซึ่งสร้างโดยเมทริกซ์ มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้วย แต่มีค่าลักษณะเฉพาะ

การพิสูจน์เป็นเบื้องต้น ดำเนินการโดยการตรวจสอบโดยตรง

สำหรับเมทริกซ์ที่อยู่ติดกันเอง เมทริกซ์ เป็นตัวของตัวเองด้วย ด้วยเหตุนี้ บรรทัดฐานจึงถูกกำหนดโดยค่าลักษณะเฉพาะสัมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุด
:

เล็มมา 2

เพื่อให้วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายมาบรรจบกันเป็นโซลูชันของระบบสำหรับการเลือกการประมาณเริ่มต้นใด ๆ จำเป็นและเพียงพอที่ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของตัวดำเนินการเปลี่ยน มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหนึ่ง:

ความเพียงพอ- เงื่อนไขหมายถึงบรรทัดฐานของเมทริกซ์ ตามจะน้อยกว่าหนึ่ง:
- เป็นผลให้เราได้รับ

ที่
.

ความจำเป็น- ให้เราสมมติว่าในบรรดาค่าลักษณะเฉพาะ มีอย่างน้อยหนึ่งอัน ซึ่งไม่เป็นไปตามเงื่อนไขของบทแทรกเช่น

ให้เราเลือกระยะศูนย์ของลำดับการวนซ้ำในรูปแบบ
, ที่ไหน วิธีแก้ปัญหาของระบบ จากนั้นระยะศูนย์ของลำดับข้อผิดพลาดจะตรงกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ผู้ประกอบการเปลี่ยน :
- ด้วยเหตุนี้ สูตรที่เกิดซ้ำสำหรับเงื่อนไขต่อไปนี้ของลำดับข้อผิดพลาดจะอยู่ในรูปแบบ:

,
.

เช่น.
- ความจำเป็นในการตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันสำหรับค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมด สำหรับการบรรจบกันของวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายได้รับการพิสูจน์แล้ว

บทแทรก 2 กำหนดโปรแกรมสำหรับการศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับการลู่เข้าของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย: จำเป็นต้องตั้งค่าช่วงของการแปรผันของพารามิเตอร์ ซึ่งค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดจะสนองความไม่เท่าเทียมกัน มันง่ายที่จะทำ ในรูป 1 แสดงกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นที่ลดลง
- ล้วนมาจากจุดเดียวกัน
,
และลงไปเนื่องจากสัมประสิทธิ์ลบที่ และฟังก์ชันที่ลดลงเร็วที่สุดคือ
- เมื่อไหร่จะสำคัญ
เงื่อนไขของการสิ้นสุดจะเป็นที่พอใจ:

, ที่
.

พบคุณค่า คือขอบเขตของช่วงการลู่เข้าของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

เรารู้ถึงความไม่เท่าเทียมกันนี้แล้ว ได้มาจากทฤษฎีบทของซามาร์สกีก่อนหน้านี้ว่าเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการลู่เข้า การวิเคราะห์เพิ่มเติมตามบทแทรก 2 ช่วยให้เราสามารถชี้แจงผลลัพธ์ได้ ตอนนี้เราได้กำหนดว่าสมาชิกของพารามิเตอร์วนซ้ำ ช่วงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการลู่เข้าของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

เรามาศึกษาอัตราการลู่เข้าของวิธีการกันดีกว่า การประมาณค่าความผิดพลาดแสดงให้เห็นว่าค่าดังกล่าวลดลงตามกฎความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน

ลองดูที่รูป. 2 ซึ่งจะช่วยให้เราวิเคราะห์สูตรนี้ได้ คล้ายกับรูปที่ 1 เพียงแสดงกราฟที่ไม่ใช่ฟังก์ชันเท่านั้น
และโมดูลของพวกเขา ตอนเล็กๆ ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมด
เป็นบวก และยิ่งใหญ่ที่สุดก็คือ
ซึ่งจะลดลงตามการเติบโต ด้วยความเร็วต่ำสุด อย่างไรก็ตามหลังจากผ่านจุดนั้นไปแล้ว
ค่าลักษณะเฉพาะ
,เปลี่ยนเครื่องหมายกลายเป็นลบ. เป็นผลให้ตอนนี้โมดูลของมันเพิ่มขึ้น ไม่ลดลงแต่เพิ่มขึ้นตาม
เข้าใกล้ค่าจำกัด – ความสามัคคี

มาดูกันในส่วนนี้
จุด ซึ่งในฟังก์ชันลดลง
เทียบกับฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น
- มันถูกกำหนดโดยสมการ

ที่ให้

เป็นผลให้เราได้รับ:

ค่าที่น้อยที่สุดคือค่าปกติของเมทริกซ์ ถึงที่
:

สูตรแสดงให้เห็นว่าสำหรับเมทริกซ์ที่มีเงื่อนไขไม่ดี แม้ว่าจะมีตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุดของพารามิเตอร์การวนซ้ำก็ตาม
บรรทัดฐานของเมทริกซ์ อยู่ใกล้กับเอกภาพ ดังนั้นการบรรจบกันของวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายในกรณีนี้จึงช้า

โดยสรุป เราสังเกตว่าสูตรที่กำหนดขอบเขตของช่วงการลู่เข้า และสูตรสำหรับค่าที่เหมาะสมที่สุดของพารามิเตอร์การวนซ้ำ มีความสนใจทางทฤษฎีเป็นหลัก โดยปกติแล้ว เมื่อแก้ SLAE จำนวนลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของเมทริกซ์ ไม่ทราบ ดังนั้นให้คำนวณค่า และ เป็นไปไม่ได้ล่วงหน้า เป็นผลให้พารามิเตอร์การวนซ้ำ บ่อยครั้งที่คุณต้องเลือกโดยตรงในกระบวนการคำนวณโดยการลองผิดลองถูก

ภารกิจที่ 2

พิจารณาระบบสมการสองสมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัว

และสร้างวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณโดยใช้วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาลงในระบบทันที

,
,

เพื่อให้คุณสามารถเปรียบเทียบกับสมาชิกของลำดับการวนซ้ำได้

มาดูการแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการวนซ้ำแบบง่ายๆ กัน เมทริกซ์ระบบมีรูปแบบ

มันเป็นเรื่องติดตนเองและแน่นอนในเชิงบวกตั้งแต่นั้นมา

เรามาสร้างสมการลักษณะเฉพาะสำหรับเมทริกซ์กันดีกว่า และค้นหารากของมัน:

ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถกำหนดขอบเขตของช่วงการลู่เข้าได้ และ ค่าที่เหมาะสมที่สุดพารามิเตอร์การวนซ้ำ :

,
.

ในการสร้างลำดับการวนซ้ำ เราจะเลือกค่าพารามิเตอร์การวนซ้ำในช่วงการลู่เข้า ตัวอย่างเช่น
- ในกรณีนี้ สูตรที่เกิดซ้ำสำหรับสมาชิกของลำดับการวนซ้ำจะอยู่ในรูปแบบ:

, ที่ไหน

ลองใช้การประมาณเริ่มต้นที่ง่ายที่สุดกัน
และจดคำศัพท์สองสามคำแรกของลำดับการวนซ้ำ โดยคำนวณยอดคงเหลือให้แต่ละรายการ
- เป็นผลให้เราได้รับ:

,
,
,

,
,
.

บรรทัดฐานของสารตกค้างแม้ว่าจะลดลงอย่างช้าๆ ซึ่งบ่งชี้ถึงการบรรจบกันของกระบวนการ สิ่งเดียวกันนี้สามารถเห็นได้จากการเปรียบเทียบเงื่อนไขของลำดับการวนซ้ำ กับการแก้ปัญหาของระบบ การบรรจบกันที่ช้าเกิดจากการปรับสภาพเมทริกซ์ที่ไม่ดี :

วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายมีพื้นฐานมาจากการแทนที่สมการดั้งเดิมด้วยสมการที่เทียบเท่า:

ให้ทราบการประมาณค่าเริ่มต้นของราก x = x 0- แทนที่มันเข้าไป ด้านขวาสมการ (2.7) เราจะได้ค่าประมาณใหม่ แล้วเราก็จะได้ในลักษณะเดียวกัน ฯลฯ :

. (2.8)

กระบวนการวนซ้ำมาบรรจบกันที่รากของสมการไม่ได้อยู่ภายใต้เงื่อนไขทั้งหมด เอ็กซ์- มาดูกระบวนการนี้กันดีกว่า รูปที่ 2.6 แสดงการตีความแบบกราฟิกของกระบวนการลู่เข้าและลู่ออกทางเดียว รูปที่ 2.7 แสดงกระบวนการลู่เข้าและลู่ออกสองทาง กระบวนการที่แตกต่างนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยการเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วของค่าของอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชันและการยุติโปรแกรมที่เกี่ยวข้องอย่างผิดปกติ

ด้วยกระบวนการแบบสองทาง การวนซ้ำจึงเป็นไปได้ กล่าวคือ การทำซ้ำฟังก์ชันและค่าอาร์กิวเมนต์เดียวกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุด การวนซ้ำจะแยกกระบวนการที่แตกต่างออกจากกระบวนการที่มาบรรจบกัน

จากกราฟเป็นที่ชัดเจนว่าสำหรับกระบวนการด้านเดียวและสองด้าน การบรรจบกันที่รากจะถูกกำหนดโดยความชันของเส้นโค้งใกล้กับราก ยิ่งความชันเล็กลง การบรรจบกันก็จะดียิ่งขึ้น ดังที่ทราบกันดีว่า ค่าแทนเจนต์ของความชันของเส้นโค้งเท่ากับอนุพันธ์ของเส้นโค้งที่จุดที่กำหนด

ดังนั้น ยิ่งจำนวนใกล้รูทน้อยลง กระบวนการก็จะมาบรรจบกันเร็วยิ่งขึ้น

เพื่อให้กระบวนการวนซ้ำมาบรรจบกัน จะต้องเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ในบริเวณใกล้เคียงของราก:

การเปลี่ยนจากสมการ (2.1) ไปเป็นสมการ (2.7) สามารถทำได้ ในรูปแบบต่างๆขึ้นอยู่กับประเภทของฟังก์ชัน ฉ(x)ในการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว จำเป็นต้องสร้างฟังก์ชันเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขการลู่เข้า (2.9)

ลองพิจารณาหนึ่งในอัลกอริธึมทั่วไปสำหรับการเปลี่ยนจากสมการ (2.1) เป็นสมการ (2.7)

ลองคูณด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ (2.1) ด้วยค่าคงที่ใดๆ ก็ได้ ขและเพิ่มสิ่งที่ไม่รู้เข้าไปในทั้งสองส่วน เอ็กซ์ในกรณีนี้ รากของสมการดั้งเดิมจะไม่เปลี่ยนแปลง:

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ และลองย้ายจากความสัมพันธ์ (2.10) ไปเป็นสมการ (2.8) กัน

ทางเลือกคงที่โดยพลการ ขจะทำให้มั่นใจว่าเป็นไปตามเงื่อนไขการลู่เข้า (2.9) เกณฑ์ในการยุติกระบวนการวนซ้ำจะเป็นเงื่อนไข (2.2) รูปที่ 2.8 แสดงการตีความแบบกราฟิกของวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายโดยใช้วิธีการแสดงที่อธิบายไว้ (สเกลตามแกน X และ Y จะแตกต่างกัน)

หากเลือกฟังก์ชันในรูปแบบ อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้จะเป็น ความเร็วสูงสุดของการบรรจบกันจะอยู่ที่ จากนั้น และสูตรการวนซ้ำ (2.11) จะกลายเป็นสูตรของนิวตัน ดังนั้นวิธีการของนิวตันจึงมีระดับการบรรจบกันสูงสุดของกระบวนการวนซ้ำทั้งหมด

การใช้งานซอฟต์แวร์ของวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายนั้นเกิดขึ้นในรูปแบบของขั้นตอนรูทีนย่อย อิเทอรัส(โปรแกรม 2.1)

ขั้นตอนทั้งหมดประกอบด้วยการทำซ้ำ ... จนกระทั่งถึงรอบ การใช้สูตร (2.11) โดยคำนึงถึงเงื่อนไขในการหยุดกระบวนการวนซ้ำ (สูตร (2.2))

ขั้นตอนนี้มีการป้องกันลูปในตัวโดยการนับจำนวนลูปโดยใช้ตัวแปร Niter ในชั้นเรียนภาคปฏิบัติ คุณต้องแน่ใจว่าด้วยการรันโปรแกรมว่าการเลือกค่าสัมประสิทธิ์มีผลกระทบอย่างไร ขและการประมาณเบื้องต้นในกระบวนการค้นหาราก เมื่อเปลี่ยนสัมประสิทธิ์ ขลักษณะของกระบวนการวนซ้ำสำหรับฟังก์ชันภายใต้การเปลี่ยนแปลงการศึกษา ขั้นแรกมันจะกลายเป็นสองด้านแล้วจึงวนซ้ำ (รูปที่ 2.9) เครื่องชั่งแกน เอ็กซ์และ ยแตกต่างกัน ค่าโมดูลัส b ที่มากขึ้นจะนำไปสู่กระบวนการที่แตกต่าง

การเปรียบเทียบวิธีการแก้สมการโดยประมาณ

การเปรียบเทียบวิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้นสำหรับการแก้สมการเชิงตัวเลขดำเนินการโดยใช้โปรแกรมที่ช่วยให้คุณสังเกตกระบวนการค้นหารูทในรูปแบบกราฟิกบนหน้าจอพีซี ขั้นตอนที่รวมอยู่ในโปรแกรมนี้และการใช้วิธีการเปรียบเทียบมีดังต่อไปนี้ (โปรแกรม 2.1)

ข้าว. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 เป็นการคัดลอกหน้าจอ PC เมื่อสิ้นสุดกระบวนการวนซ้ำ

ในทุกกรณี จะมีการทำหน้าที่ภายใต้การศึกษา สมการกำลังสอง x 2 -x-6 = 0 มี โซลูชันการวิเคราะห์ x 1 = -2 และ x 2 = 3 ข้อผิดพลาดและการประมาณเริ่มต้นถือว่าเท่ากันสำหรับทุกวิธี ผลการค้นหารูท x= 3 ตามภาพมีดังนี้ วิธีแบ่งขั้วจะบรรจบกันที่ช้าที่สุด - 22 รอบ วิธีที่เร็วที่สุดคือวิธีวนซ้ำอย่างง่ายโดยมี b = -0.2 - 5 รอบ ไม่มีข้อขัดแย้งใดกับข้อความที่ว่าวิธีการของนิวตันนั้นเร็วที่สุด

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำลังศึกษา ณ จุดนั้น เอ็กซ์= 3 เท่ากับ -0.2 นั่นคือการคำนวณในกรณีนี้ดำเนินการในทางปฏิบัติโดยวิธีของนิวตันโดยมีค่าอนุพันธ์ที่จุดรากของสมการ เมื่อเปลี่ยนสัมประสิทธิ์ ขอัตราการบรรจบกันลดลงและกระบวนการบรรจบกันแบบค่อยเป็นค่อยไป ขั้นแรกจะเป็นวัฏจักร จากนั้นจึงกลายเป็นลู่ออก

วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย หรือที่เรียกว่าวิธีการประมาณต่อเนื่อง เป็นอัลกอริทึมทางคณิตศาสตร์สำหรับการค้นหาค่าของปริมาณที่ไม่ทราบโดยการค่อยๆ ทำให้บริสุทธิ์ สาระสำคัญของวิธีการนี้คือตามชื่อที่แนะนำโดยค่อยๆ แสดงผลที่ตามมาจากการประมาณเริ่มต้น จะได้ผลลัพธ์ที่ละเอียดมากขึ้นเรื่อยๆ วิธีการนี้ใช้ในการค้นหาค่าของตัวแปรใน ฟังก์ชันที่กำหนดตลอดจนเมื่อแก้ระบบสมการทั้งเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น

ให้เราพิจารณาว่าวิธีการนี้ถูกนำมาใช้อย่างไรเมื่อแก้ไข SLAE วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายมีอัลกอริทึมดังต่อไปนี้:

1. การตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขการลู่เข้าในเมทริกซ์ดั้งเดิม ทฤษฎีบทการลู่เข้า: หากเมทริกซ์ดั้งเดิมของระบบมีความโดดเด่นในแนวทแยง (กล่าวคือ ในแต่ละแถว องค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักจะต้องมีค่าสัมบูรณ์มากกว่าผลรวมขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมรองด้วยค่าสัมบูรณ์) ดังนั้นค่าสัมบูรณ์แบบง่าย วิธีการวนซ้ำเป็นแบบมาบรรจบกัน

2. เมทริกซ์ของระบบดั้งเดิมไม่ได้มีความโดดเด่นในแนวทแยงเสมอไป ในกรณีเช่นนี้สามารถแปลงระบบได้ สมการที่ตรงตามเงื่อนไขการลู่เข้าจะไม่ถูกแตะต้อง และสมการเชิงเส้นจะถูกสร้างขึ้นด้วยสมการที่ไม่เข้ากัน เช่น คูณ ลบ บวกสมการกันจนได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

หากในระบบผลลัพธ์มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่สะดวกบนเส้นทแยงมุมหลักเงื่อนไขของแบบฟอร์มที่มี i * x i จะถูกเพิ่มลงทั้งสองด้านของสมการซึ่งสัญญาณจะต้องตรงกับสัญญาณขององค์ประกอบในแนวทแยง

3. การเปลี่ยนแปลงของระบบผลลัพธ์ให้เป็นรูปแบบปกติ:

x - =β - +α*x -

สิ่งนี้สามารถทำได้หลายวิธีเช่น: จากสมการแรกแสดง x 1 ในรูปของไม่ทราบอื่น ๆ จากที่สอง - x 2 จากที่สาม - x 3 เป็นต้น ในกรณีนี้เราใช้สูตร:

α ij = -(a ij / a ii)

ฉัน = ข ฉัน /a ii
คุณควรตรวจสอบอีกครั้งว่าระบบผลลัพธ์ มองปกติสอดคล้องกับเงื่อนไขการบรรจบกัน:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1 ในขณะที่ i= 1,2,...n

4. อันที่จริงเราเริ่มใช้วิธีการประมาณต่อเนื่องกัน

x (0) คือการประมาณค่าเริ่มต้น เราจะเขียน x (1) ผ่านค่านั้น จากนั้นเราจะเขียนค่า x (2) ถึง x (1) สูตรทั่วไปและในรูปแบบเมทริกซ์จะมีลักษณะดังนี้:

x (n) = β - +α*x (n-1)

เราคำนวณจนกว่าเราจะบรรลุความแม่นยำที่ต้องการ:

สูงสุด | x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

ดังนั้น เรามานำวิธีการวนซ้ำแบบง่ายๆ มาปฏิบัติกัน ตัวอย่าง:
แก้ SLAE:

4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 ด้วยความแม่นยำ ε=10 -3

มาดูกันว่าองค์ประกอบในแนวทแยงมีอิทธิพลเหนือโมดูลัสหรือไม่

เราจะเห็นว่ามีเพียงสมการที่สามเท่านั้นที่ตรงตามเงื่อนไขการลู่เข้า เราแปลงสมการที่หนึ่งและที่สอง และเพิ่มสมการที่สองลงในสมการแรก:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3

จากอันที่สามเราลบอันแรก:

2.7x1+4.2x2+1.2x3=2

เราแปลงระบบดั้งเดิมเป็นระบบที่เทียบเท่า:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

ตอนนี้เรามาทำให้ระบบกลับสู่รูปแบบปกติ:

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2

เราตรวจสอบการบรรจบกันของกระบวนการวนซ้ำ:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1 เช่น ตรงตามเงื่อนไข

0,3947
การเดาเริ่มต้น x(0) = 0.4762
0,8511

เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการของรูปแบบปกติเราจะได้ค่าต่อไปนี้:

0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639

แทนที่ค่าใหม่เราจะได้:

0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336

เราทำการคำนวณต่อไปจนกว่าเราจะเข้าใกล้ค่าที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด

x (7) = 0.441091

ตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ที่ได้รับ:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

ผลลัพธ์ที่ได้จากการแทนที่ค่าที่พบลงในสมการดั้งเดิมนั้นตรงตามเงื่อนไขของสมการโดยสมบูรณ์

ดังที่เราเห็น วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายให้ผลลัพธ์ที่ค่อนข้างแม่นยำ แต่ในการแก้สมการนี้ เราต้องใช้เวลามากและทำการคำนวณที่ยุ่งยาก

บรรยาย วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นพีชคณิตแบบวนซ้ำ

เงื่อนไขสำหรับการลู่เข้าของกระบวนการวนซ้ำ วิธีจาโคบี

วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

เราพิจารณาระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิต

หากต้องการใช้วิธีการวนซ้ำ ระบบจะต้องถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบที่เทียบเท่ากัน

จากนั้นจะมีการเลือกการประมาณเริ่มต้นของระบบสมการและพบลำดับของการประมาณราก

เพื่อให้กระบวนการวนซ้ำมาบรรจบกัน เงื่อนไขก็เพียงพอแล้ว
(บรรทัดฐานเมทริกซ์) เกณฑ์สำหรับการสิ้นสุดการวนซ้ำขึ้นอยู่กับวิธีการวนซ้ำที่ใช้

วิธีจาโคบี .

วิธีที่ง่ายที่สุดในการนำระบบมาอยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการวนซ้ำมีดังนี้:

จากสมการแรกของระบบเราแสดงความไม่ทราบ x 1 จากสมการที่สองของระบบที่เราแสดงออก x 2 ฯลฯ

เป็นผลให้เราได้ระบบสมการที่มีเมทริกซ์ B ซึ่งมีองค์ประกอบเป็นศูนย์บนเส้นทแยงมุมหลักและองค์ประกอบที่เหลือคำนวณโดยใช้สูตร:

ส่วนประกอบของเวกเตอร์ d คำนวณโดยใช้สูตร:

สูตรการคำนวณสำหรับวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายคือ:

หรือในรูปแบบพิกัดจะมีลักษณะดังนี้:

เกณฑ์สำหรับการสิ้นสุดการวนซ้ำในวิธี Jacobi มีรูปแบบดังนี้

ถ้า
จากนั้นเราสามารถใช้เกณฑ์ที่ง่ายกว่านี้ในการสิ้นสุดการวนซ้ำได้

ตัวอย่างที่ 1การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีจาโคบี

ให้ระบบสมการได้รับ:

จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ไขระบบให้ถูกต้องแม่นยำ

ให้เราลดระบบให้อยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการวนซ้ำ:

ให้เราเลือกการประมาณเบื้องต้น เช่น

- เวกเตอร์ของด้านขวา

จากนั้นการวนซ้ำครั้งแรกจะเป็นดังนี้:

การประมาณค่าต่อไปนี้ของสารละลายได้มาในทำนองเดียวกัน

ลองหาบรรทัดฐานของเมทริกซ์ B กัน

เราจะใช้บรรทัดฐาน

เนื่องจากผลรวมของโมดูลขององค์ประกอบในแต่ละแถวคือ 0.2 ดังนั้น
ดังนั้นเกณฑ์ในการยุติการวนซ้ำในปัญหานี้คือ

มาคำนวณบรรทัดฐานของความแตกต่างของเวกเตอร์:

เพราะ
บรรลุความแม่นยำที่ระบุในการวนซ้ำครั้งที่สี่

คำตอบ: x 1 = 1.102, x 2 = 0.991, x 3 = 1.0 1 1

วิธีไซเดล .

วิธีการนี้ถือได้ว่าเป็นการปรับเปลี่ยนวิธีจาโคบี แนวคิดหลักก็คือเมื่อคำนวณต่อไป (n+1)- แนวทางสู่สิ่งที่ไม่รู้จัก x ฉันที่ ฉัน >1ใช้เจอแล้ว (n+1)- e กำลังเข้าใกล้สิ่งที่ไม่รู้จัก x 1 ,x 2 , ...,xฉัน - 1 และไม่ใช่ nการประมาณค่า เช่นเดียวกับวิธีจาโคบี

สูตรการคำนวณของวิธีการในรูปแบบพิกัดมีลักษณะดังนี้:

เงื่อนไขการบรรจบกันและเกณฑ์สำหรับการสิ้นสุดการวนซ้ำสามารถดำเนินการได้เช่นเดียวกับในวิธีจาโคบี

ตัวอย่างที่ 2การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีไซเดล

ให้เราพิจารณาการแก้สมการ 3 ระบบพร้อมกัน:

ให้เราลดระบบให้อยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการวนซ้ำ:

โปรดทราบว่าเงื่อนไขการบรรจบกัน
ทำเฉพาะระบบแรกเท่านั้น มาคำนวณการประมาณค่าประมาณ 3 ค่าแรกกับโซลูชันในแต่ละกรณีกัน

ระบบที่ 1:

วิธีแก้ไขที่แน่นอนจะเป็นค่าต่อไปนี้: x 1 = 1.4, x 2 = 0.2 - กระบวนการวนซ้ำมาบรรจบกัน

ระบบที่ 2:

จะเห็นได้ว่ากระบวนการวนซ้ำนั้นแตกต่างกัน

ทางออกที่แน่นอน x 1 = 1, x 2 = 0.2 .

ระบบที่ 3:

จะเห็นได้ว่ากระบวนการวนซ้ำดำเนินไปเป็นรอบ

ทางออกที่แน่นอน x 1 = 1, x 2 = 2 .

ปล่อยให้เมทริกซ์ของระบบสมการ A มีความสมมาตรและเป็นบวกแน่นอน จากนั้น สำหรับการเลือกการประมาณเริ่มต้น วิธีไซเดลก็จะมาบรรจบกัน ไม่มีการกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมเกี่ยวกับความเล็กของบรรทัดฐานของเมทริกซ์บางตัว

วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย.

ถ้า A เป็นเมทริกซ์แน่นอนแบบสมมาตรและเป็นบวก ระบบสมการมักจะถูกรีดิวซ์ให้อยู่ในรูปแบบที่เทียบเท่ากัน:

x=x-τ (ก x- b), τ – พารามิเตอร์การวนซ้ำ

สูตรการคำนวณของวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายในกรณีนี้มีรูปแบบ:

x (n+1) =x n- τ (อ x (n) - ข)

และเลือกพารามิเตอร์ τ > 0 เพื่อลดค่าให้เหลือน้อยที่สุด หากเป็นไปได้