เขียนการสลายตัวของเวกเตอร์ของเวกเตอร์ x การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์

พื้นฐาน(กรีกโบราณ βασις พื้นฐาน) - ชุดของเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ โดยที่เวกเตอร์ใดๆ ในพื้นที่นี้สามารถแสดงได้โดยไม่ซ้ำกันเป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จากชุดนี้ - เวกเตอร์พื้นฐาน

พื้นฐานในพื้นที่ Rn คือระบบใดๆ จาก n- เวกเตอร์อิสระเชิงเส้น เวกเตอร์แต่ละตัวจาก R n ที่ไม่รวมอยู่ในฐานสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐานได้ เช่น กระจายอยู่บนพื้นฐาน
อนุญาต เป็นพื้นฐานของช่องว่าง R n และ . จากนั้นก็มีตัวเลข แลมบ์ดา 1, แลมบ์ 2, …, แลมบ์ดา เช่นนั้น .
ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัว แลมบ์ดา 1, แลมบ์ 2, ..., แลมบ์ n เรียกว่าพิกัดเวกเตอร์ในฐาน B หากกำหนดพื้นฐานไว้ ค่าสัมประสิทธิ์เวกเตอร์จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน

ความคิดเห็น ในทุก n-ปริภูมิเวกเตอร์มิติ คุณสามารถเลือกฐานที่แตกต่างกันได้ไม่จำกัดจำนวน ในฐานที่ต่างกัน เวกเตอร์เดียวกันมีพิกัดต่างกัน แต่จะไม่ซ้ำกันในพื้นฐานที่เลือก ตัวอย่าง.ขยายเวกเตอร์ให้เป็นฐาน
สารละลาย. - ลองแทนที่พิกัดของเวกเตอร์ทั้งหมดแล้วดำเนินการกับพวกมัน:

เมื่อพิกัดเท่ากันเราจะได้ระบบสมการ:

มาแก้กัน: .
ดังนั้นเราจึงได้รับการสลายตัว: .
โดยพื้นฐานแล้ว เวกเตอร์มีพิกัด

สิ้นสุดการทำงาน -

หัวข้อนี้เป็นของส่วน:

แนวคิดเรื่องเวกเตอร์ การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์

เวกเตอร์คือเซกเมนต์ที่มีทิศทางซึ่งมีความยาวที่แน่นอน นั่นคือ ส่วนของความยาวที่แน่นอนซึ่งมีจุดจำกัดจุดใดจุดหนึ่ง

หากคุณต้องการ วัสดุเพิ่มเติมในหัวข้อนี้หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหาเราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในฐานข้อมูลผลงานของเรา:

เราจะทำอย่างไรกับเนื้อหาที่ได้รับ:

หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก:

ล. 2-1 แนวคิดพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์ การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์

การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐาน

แนวคิดพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์

เวกเตอร์คือเซตของส่วนที่กำกับทั้งหมดที่มีความยาวและทิศทางเท่ากัน
.

คุณสมบัติ:

การดำเนินการเชิงเส้นเหนือเวกเตอร์

1.

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

กับ อืมเวกเตอร์สองตัว และ เรียกว่าเวกเตอร์ มาจากจุดกำเนิดร่วมกันและเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ และ ทั้งสองข้าง

กฎรูปหลายเหลี่ยม:

ในการสร้างผลรวมของเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ คุณต้องวางจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ตัวที่ 2 ต่อท้ายเทอมที่ 1 ของเวกเตอร์ ที่ส่วนท้ายของเวกเตอร์ตัวที่ 2 - จุดเริ่มต้นของตัวที่ 3 เป็นต้น เวกเตอร์ที่ปิดโพลีไลน์ผลลัพธ์คือผลรวม จุดเริ่มต้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของวันที่ 1 และจุดสิ้นสุดพร้อมกับจุดสิ้นสุดของครั้งสุดท้าย

คุณสมบัติ:

2.

ผลคูณของเวกเตอร์ ต่อหมายเลข , เป็นเวกเตอร์ที่ตรงตามเงื่อนไข:
.

คุณสมบัติ:

3.

โดยความแตกต่างเวกเตอร์ และ เรียกว่าเวกเตอร์ เท่ากับผลรวมของเวกเตอร์ และเวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ , เช่น.
.

- กฎขององค์ประกอบตรงกันข้าม (เวกเตอร์)

การสลายตัวของเวกเตอร์ให้เป็นพื้นฐาน

ผลรวมของเวกเตอร์ถูกกำหนดด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำกัน
(และเท่านั้น. - การดำเนินการย้อนกลับ การสลายตัวของเวกเตอร์ออกเป็นหลายองค์ประกอบ มีความคลุมเครือ: เพื่อให้ไม่คลุมเครือจำเป็นต้องระบุทิศทางที่เวกเตอร์ที่เป็นปัญหาถูกสลายหรืออย่างที่พวกเขาพูดจำเป็นต้องระบุ พื้นฐาน.

ในการพิจารณาพื้นฐาน ข้อกำหนดของการไม่มีระนาบร่วมและความไม่เชิงเส้นตรงของเวกเตอร์ถือเป็นสิ่งสำคัญ เพื่อให้เข้าใจความหมายของข้อกำหนดนี้ จำเป็นต้องพิจารณาแนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์

การแสดงออกตามอำเภอใจของแบบฟอร์ม: , เรียกว่า การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์
.

การรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์หลายตัวเรียกว่า เล็กน้อยถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์

เวกเตอร์
ถูกเรียก ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีผลรวมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญของเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับศูนย์:
(1) จัดให้
- หากความเสมอภาค (1) มีไว้สำหรับทุกคนเท่านั้น
พร้อมกันเท่ากับศูนย์ จากนั้นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์
จะ เป็นอิสระเชิงเส้น.

พิสูจน์ได้ง่าย: เวกเตอร์คอลลิเนียร์สองตัวใดๆ ก็ตามขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง และเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัวใดๆ มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรง.

มาเริ่มการพิสูจน์ด้วยข้อความแรกกัน

ปล่อยให้เวกเตอร์ และ คอลลิเนียร์ ลองแสดงว่าพวกมันขึ้นอยู่กับเชิงเส้น อันที่จริงหากพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน พวกมันก็จะแตกต่างกันด้วยปัจจัยเชิงตัวเลขเท่านั้น เช่น
, เพราะฉะนั้น
- เนื่องจากผลรวมเชิงเส้นที่ได้นั้นไม่สำคัญอย่างชัดเจนและเท่ากับ "0" ดังนั้นเวกเตอร์ และ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ตอนนี้ให้เราพิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เส้นตรงสองตัว และ - ลองพิสูจน์ว่ามันเป็นอิสระเชิงเส้นกัน ให้เราสร้างหลักฐานโดยขัดแย้งกัน

สมมติว่าพวกมันขึ้นอยู่กับเชิงเส้น จากนั้นจะต้องมีการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่ไม่สำคัญ
- สมมุติว่า
, แล้ว
- ผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันหมายถึงเวกเตอร์ และ อยู่ในแนวเดียวกัน ซึ่งตรงกันข้ามกับสมมติฐานเริ่มแรกของเรา

ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า: เวกเตอร์โคพลานาร์สามตัวใดๆ ก็ตามมีความเป็นอิสระเชิงเส้น และเวกเตอร์ที่ไม่ใช่โคพลานาร์สองตัวใดๆ มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรง.

เมื่อกลับไปสู่แนวคิดเรื่องพื้นฐานและปัญหาการสลายตัวของเวกเตอร์ในระดับหนึ่ง เราสามารถพูดอย่างนั้นได้ พื้นฐานบนระนาบและในอวกาศถูกสร้างขึ้นจากเซตของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นแนวคิดเรื่องพื้นฐานนี้เป็นเรื่องทั่วไปเพราะว่า มันใช้กับช่องว่างจำนวนมิติใดก็ได้

การแสดงออกเช่น:
เรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ โดยเวกเตอร์ ,…,.

หากเราพิจารณาพื้นฐานในปริภูมิสามมิติแล้วการสลายตัวของเวกเตอร์ ตามพื้นฐาน
จะ
, ที่ไหน
-พิกัดเวกเตอร์.

ในปัญหาการสลายตัวของเวกเตอร์ตามอำเภอใจในบางพื้นฐาน ข้อความต่อไปนี้มีความสำคัญมาก: เวกเตอร์ใดๆสามารถขยายได้ไม่ซ้ำกันตามเกณฑ์ที่กำหนด
. กล่าวอีกนัยหนึ่งคือพิกัด
สำหรับเวกเตอร์ใดๆ สัมพันธ์กับพื้นฐาน
ถูกกำหนดไว้อย่างไม่คลุมเครือ

การแนะนำพื้นฐานในอวกาศและบนระนาบช่วยให้เราสามารถกำหนดเวกเตอร์แต่ละตัวได้ ตัวเลขสาม (คู่) ที่เรียงลำดับ - พิกัดของมัน ผลลัพธ์ที่สำคัญมากนี้ซึ่งช่วยให้เราสามารถสร้างการเชื่อมโยงระหว่างวัตถุทางเรขาคณิตกับตัวเลข ทำให้สามารถอธิบายและศึกษาตำแหน่งและการเคลื่อนไหวของวัตถุทางกายภาพในเชิงวิเคราะห์ได้

เซตของจุดและฐานเรียกว่า ระบบพิกัด

หากเวกเตอร์ที่สร้างฐานเป็นหน่วยและตั้งฉากเป็นคู่ ระบบพิกัดจะถูกเรียก สี่เหลี่ยม,และพื้นฐาน ออร์โธนอร์มอล

ล. 2-2 ผลคูณของเวกเตอร์

การสลายตัวของเวกเตอร์ให้เป็นพื้นฐาน

พิจารณาเวกเตอร์
กำหนดโดยพิกัด:
.

- ส่วนประกอบเวกเตอร์ ตามทิศทางของเวกเตอร์ฐาน
.

การแสดงออกของแบบฟอร์ม
เรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ ตามพื้นฐาน
.

ในทำนองเดียวกันเราสามารถย่อยสลายได้ ตามพื้นฐาน
เวกเตอร์
:

.

โคไซน์ของมุมที่เกิดจากเวกเตอร์ที่ต้องการ ด้วยเวกเตอร์พื้นฐาน
ถูกเรียก โคไซน์ทิศทาง

;
;
.

ผลคูณดอทของเวกเตอร์

ผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัว และ คือตัวเลขที่เท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวถือได้ว่าเป็นผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งและการฉายภาพมุมฉากของเวกเตอร์อีกตัวหนึ่งไปยังทิศทางของเวกเตอร์ตัวแรก
.

คุณสมบัติ:

หากทราบพิกัดของเวกเตอร์
และ
จากนั้นจึงแยกเวกเตอร์ออกเป็นพื้นฐาน
:
และ
มาหากัน

, เพราะ
,
, ที่

.

.

เงื่อนไขสำหรับเวกเตอร์ที่จะตั้งฉาก:
.

เงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียริตี้ของอธิการบดี:
.

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์

หรือ

สินค้าเวกเตอร์โดยเวกเตอร์ เป็นเวกเตอร์ เวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า
ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข:

คุณสมบัติ:

คุณสมบัติพีชคณิตที่พิจารณาช่วยให้เราสามารถค้นหานิพจน์เชิงวิเคราะห์ได้ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ผ่านพิกัดของเวกเตอร์ส่วนประกอบในลักษณะออร์โธนอร์มอล

ที่ให้ไว้:
และ
.

เพราะ -
,
,
,
,
,
, ที่

- สูตรนี้สามารถเขียนให้สั้นกว่านี้ได้ ในรูปแบบของดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สาม:

.

ผลคูณผสมของเวกเตอร์

ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัว ,และ คือตัวเลขที่เท่ากับผลคูณเวกเตอร์
, คูณสเกลาร์ด้วยเวกเตอร์ .

ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:
จึงมีการเขียนผลคูณผสม
.

จากคำจำกัดความนี้ ผลลัพธ์ของผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัวจะเป็นตัวเลข ตัวเลขนี้มีความหมายทางเรขาคณิตที่ชัดเจน:

โมดูลผลิตภัณฑ์ผสม
เท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ที่ลดลงจนถึงจุดกำเนิดทั่วไป ,และ .

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ผสม:

ถ้าเป็นเวกเตอร์ ,,ระบุไว้ตามหลักออร์โธนอร์มอล
ด้วยพิกัดของมัน ผลคูณผสมจะคำนวณโดยใช้สูตร

.

จริงๆ แล้วถ้า.
, ที่

;
;
, แล้ว
.

ถ้าเป็นเวกเตอร์ ,,คือโคพลานาร์ แล้วก็ผลคูณเวกเตอร์
ตั้งฉากกับเวกเตอร์ - และในทางกลับกันถ้า
จากนั้นปริมาตรของเส้นขนานจะเป็นศูนย์ และจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เป็นแบบระนาบเดียว (ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น)

ดังนั้น เวกเตอร์สามตัวจะเป็นระนาบเดียวกันก็ต่อเมื่อผลคูณผสมของพวกมันเป็นศูนย์

พื้นฐานของพื้นที่พวกเขาเรียกระบบเวกเตอร์ดังกล่าวว่าเวกเตอร์อื่นๆ ทั้งหมดในอวกาศสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในฐานได้
ในทางปฏิบัติ ทั้งหมดนี้ทำได้ค่อนข้างง่าย ตามกฎแล้วจะมีการตรวจสอบพื้นฐานบนระนาบหรือในอวกาศและด้วยเหตุนี้คุณจะต้องค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับที่สองและสามที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์ ด้านล่างมีการเขียนแผนผัง เงื่อนไขที่เวกเตอร์เป็นพื้นฐาน

ถึง ขยายเวกเตอร์ b ไปเป็นเวกเตอร์ฐาน
e,e...,e[n] มีความจำเป็นต้องค้นหาสัมประสิทธิ์ x, ..., x[n] ซึ่งผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ e,e...,e[n] เท่ากับ เวกเตอร์ ข:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = ข.
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ สมการเวกเตอร์ควรถูกแปลงเป็นระบบ สมการเชิงเส้นและหาทางแก้ไข นี่ยังค่อนข้างง่ายในการติดตั้ง
เรียกค่าสัมประสิทธิ์ที่พบ x, ..., x[n] พิกัดของเวกเตอร์ b บนพื้นฐานอี,อี...,อี[n].
เรามาดูด้านการปฏิบัติของหัวข้อกันดีกว่า

การสลายตัวของเวกเตอร์ให้เป็นเวกเตอร์พื้นฐาน

ภารกิจที่ 1 ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ a1, a2 เป็นฐานบนระนาบหรือไม่

1) ก1 (3; 5), ก2 (4; 2)
วิธีแก้ไข: เราเขียนดีเทอร์มิแนนต์จากพิกัดของเวกเตอร์แล้วคำนวณ

ปัจจัยกำหนดไม่เป็นศูนย์, เพราะฉะนั้น เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าพวกมันก่อตัวเป็นพื้นฐาน.

2) เอ1 (2;-3), เอ2 (5;-1)
วิธีแก้: เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์

ดีเทอร์มิแนนต์มีค่าเท่ากับ 13 (ไม่เท่ากับศูนย์) - จากนี้จึงเป็นไปตามที่เวกเตอร์ a1, a2 เป็นพื้นฐานบนระนาบ

---=================---

ลองดูตัวอย่างทั่วไปจากโปรแกรม MAUP ในสาขาวิชา "คณิตศาสตร์ขั้นสูง"

ภารกิจที่ 2 จงแสดงว่าเวกเตอร์ a1, a2, a3 เป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์สามมิติ และขยายเวกเตอร์ b ตามพื้นฐานนี้ (เมื่อแก้ระบบเชิงเส้นตรง สมการพีชคณิตใช้วิธีของแครเมอร์)
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
วิธีแก้: ขั้นแรก พิจารณาระบบของเวกเตอร์ a1, a2, a3 และตรวจสอบดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A

สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ เมทริกซ์ประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นศูนย์หนึ่งรายการ ดังนั้นจึงเหมาะสมกว่าในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เป็นกำหนดการในคอลัมน์แรกหรือแถวที่สาม

จากการคำนวณเราพบว่าดีเทอร์มิแนนต์แตกต่างจากศูนย์ดังนั้น เวกเตอร์ a1, a2, a3 มีความเป็นอิสระเชิงเส้น.
ตามคำนิยาม เวกเตอร์จะสร้างพื้นฐานใน R3 ลองเขียนตารางเวลาของเวกเตอร์ b กัน

เวกเตอร์จะเท่ากันเมื่อพิกัดที่สอดคล้องกันเท่ากัน
ดังนั้นจากสมการเวกเตอร์เราได้ระบบสมการเชิงเส้น

มาแก้ SLAE กัน วิธีการของแครมเมอร์- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เขียนระบบสมการในรูปแบบ

ดีเทอร์มิแนนต์หลักของ SLAE จะเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์พื้นฐานเสมอ

ดังนั้นในทางปฏิบัติจะไม่นับสองครั้ง ในการค้นหาปัจจัยเสริม เราใส่คอลัมน์ที่มีพจน์อิสระเข้ามาแทนที่แต่ละคอลัมน์ของปัจจัยหลัก ปัจจัยกำหนดคำนวณโดยใช้กฎสามเหลี่ยม



ลองแทนที่ดีเทอร์มิแนนต์ที่พบลงในสูตรของแครเมอร์



ดังนั้น การขยายตัวของเวกเตอร์ b ในรูปของฐานจะมีรูปแบบ b=-4a1+3a2-a3 พิกัดของเวกเตอร์ b บนพื้นฐาน a1, a2, a3 จะเป็น (-4,3, 1)

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), ข (3; 5; 1)
วิธีแก้ปัญหา: เราตรวจสอบเวกเตอร์เป็นพื้นฐาน - เราเขียนดีเทอร์มิแนนต์จากพิกัดของเวกเตอร์แล้วคำนวณ

ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์จึงไม่เท่ากับศูนย์ เวกเตอร์เป็นพื้นฐานในอวกาศ- ยังคงต้องค้นหาตารางเวลาของเวกเตอร์ b ผ่านพื้นฐานนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราเขียนสมการเวกเตอร์

และแปลงเป็นระบบสมการเชิงเส้น

การบันทึก สมการเมทริกซ์

ต่อไป สำหรับสูตรของแครเมอร์ เราจะหาปัจจัยเสริม



เราใช้สูตรของแครเมอร์



ดังนั้นเวกเตอร์ที่กำหนด b มีตารางเวลาผ่านเวกเตอร์ฐานสองตัว b=-2a1+5a3 และพิกัดของมันในฐานเท่ากับ b(-2,0, 5)