กฎแห่งการสั่นฮาร์มอนิก การสั่นของฮาร์มอนิก – ไฮเปอร์มาร์เก็ตแห่งความรู้

นี่คือการแกว่งเป็นคาบซึ่งพิกัด ความเร็ว ความเร่งที่แสดงลักษณะการเคลื่อนที่จะเปลี่ยนไปตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ สมการของการสั่นของฮาร์มอนิกกำหนดการขึ้นอยู่กับพิกัดของร่างกายตรงเวลา

กราฟโคไซน์ในช่วงเริ่มต้นมีค่าสูงสุด และกราฟไซน์มีค่าเป็นศูนย์ในช่วงเริ่มต้น หากเราเริ่มศึกษาการสั่นจากตำแหน่งสมดุล การสั่นจะเกิดไซนัสอยด์ซ้ำ หากเราเริ่มพิจารณาการสั่นจากตำแหน่งส่วนเบี่ยงเบนสูงสุด การสั่นจะถูกอธิบายด้วยโคไซน์ หรือการสั่นดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยสูตรไซน์ที่มีเฟสเริ่มต้น

ลูกตุ้มคณิตศาสตร์

การสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์
ลูกตุ้มคณิตศาสตร์ – จุดวัสดุที่แขวนอยู่บนเส้นด้ายที่ยืดออกไม่ได้ไร้น้ำหนัก (แบบจำลองทางกายภาพ)
เราจะพิจารณาการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มภายใต้เงื่อนไขว่ามุมโก่งมีขนาดเล็ก ดังนั้น ถ้าเราวัดมุมเป็นเรเดียน ข้อความต่อไปนี้จะเป็นจริง: .
แรงโน้มถ่วงและความตึงของเส้นด้ายส่งผลต่อร่างกาย ผลลัพธ์ของแรงเหล่านี้มีสององค์ประกอบ: วงสัมผัสซึ่งเปลี่ยนความเร่งในขนาด และปกติซึ่งเปลี่ยนความเร่งในทิศทาง (ความเร่งสู่ศูนย์กลาง ร่างกายเคลื่อนที่เป็นส่วนโค้ง)
เพราะ มุมมีขนาดเล็ก ดังนั้นองค์ประกอบวงสัมผัสจะเท่ากับการฉายแรงโน้มถ่วงบนแทนเจนต์กับวิถี: . มุมเป็นเรเดียนเท่ากับอัตราส่วนของความยาวส่วนโค้งต่อรัศมี (ความยาวของเกลียว) และความยาวส่วนโค้งจะเท่ากับการกระจัดโดยประมาณ (): .
x µs ส ให้เราเปรียบเทียบสมการผลลัพธ์กับสมการการเคลื่อนที่แบบสั่น
จะเห็นได้ว่าหรือเป็นความถี่ไซคลิกระหว่างการแกว่งของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์	คาบการสั่น หรือ (สูตรกาลิเลโอ)
สูตรของกาลิเลโอ
ข้อสรุปที่สำคัญที่สุด: ระยะเวลาการแกว่งของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของร่างกาย! การคำนวณที่คล้ายกันสามารถทำได้โดยใช้กฎการอนุรักษ์พลังงาน ให้เราคำนึงว่าพลังงานศักย์ของร่างกายในสนามโน้มถ่วงเท่ากับ และผลรวมพลังงานกล
เท่ากับศักยภาพสูงสุดหรือจลน์ศาสตร์: ลองเขียนกฎการอนุรักษ์พลังงานแล้วหาอนุพันธ์ของทางซ้ายและสมการ: . เพราะ อนุพันธ์ของค่าคงที่เท่ากับศูนย์ จากนั้น อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์: และ
ดังนั้น: และดังนั้น

สมการก๊าซในอุดมคติของสถานะ (สมการเมนเดเลเยฟ–ชาเปรอง)
สมการสถานะคือสมการที่เกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์ของระบบฟิสิคัลและกำหนดสถานะของระบบโดยไม่ซ้ำกัน ในปี ค.ศ. 1834 นักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส บี. แคลเปรอนซึ่งทำงานมาเป็นเวลานานในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กได้สมการของสถานะของก๊าซในอุดมคติสำหรับมวลของก๊าซคงที่ ในปี พ.ศ. 2417 ดี. ไอ. เมนเดเลเยฟได้สมการสำหรับจำนวนโมเลกุลตามอำเภอใจ
ใน MCT และอุณหพลศาสตร์ของก๊าซในอุดมคติ พารามิเตอร์มหภาคคือ: p, V, T, m เรารู้ว่า - เพราะฉะนั้น,. เมื่อพิจารณาแล้วว่า เราได้รับ:.
ผลคูณของปริมาณคงที่จึงเป็นปริมาณคงที่ ดังนั้น: - ค่าคงที่ของแก๊สสากล (สากลเพราะมีค่าเท่ากันสำหรับก๊าซทุกชนิด)
ดังนั้นเราจึงมี: สมการสถานะ (สมการ Mendeleev–Clapeyron)
รูปแบบอื่นของการเขียนสมการสถานะของก๊าซในอุดมคติ
1. สมการของสาร 1 โมล ถ้า n=1 โมล ดังนั้น ซึ่งแสดงถึงปริมาตรของหนึ่งโมล V m เราจะได้: สำหรับสภาวะปกติเราได้รับ:
2. การเขียนสมการผ่านความหนาแน่น: - ความหนาแน่นขึ้นอยู่กับอุณหภูมิและความดัน!
3. สมการของแคลเปรอน มักจำเป็นต้องตรวจสอบสถานการณ์เมื่อสถานะของก๊าซเปลี่ยนแปลงในขณะที่ปริมาณยังคงไม่เปลี่ยนแปลง (m=const) และในกรณีที่ไม่มีอยู่ ปฏิกิริยาเคมี(ม=คอนต์). หมายความว่าปริมาณของสาร n=const แล้ว:
รายการนี้หมายความว่า สำหรับมวลที่กำหนดของก๊าซที่กำหนดความเท่าเทียมกันเป็นจริง:
สำหรับมวลคงที่ของก๊าซในอุดมคติ อัตราส่วนของผลิตภัณฑ์ของความดันและปริมาตรต่ออุณหภูมิสัมบูรณ์ในสถานะที่กำหนดจะเป็นค่าคงที่:
กฎหมายเกี่ยวกับแก๊ส
1. กฎของอาโวกาโดร ในปริมาตรที่เท่ากันของก๊าซต่าง ๆ ในเวลาเดียวกัน สภาพภายนอกมีจำนวนโมเลกุล (อะตอม) เท่ากัน เงื่อนไข: V 1 =V 2 =...=V n; พี 1 =พี 2 =…=พี n ;
ต 1 =T 2 =…=T น การพิสูจน์:
2. ดังนั้นภายใต้สภาวะเดียวกัน (ความดัน ปริมาตร อุณหภูมิ) จำนวนโมเลกุลจึงไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะของก๊าซและจะเท่ากัน กฎของดาลตัน ความดันของส่วนผสมของก๊าซเท่ากับผลรวมของความดันบางส่วน (ส่วนตัว) ของก๊าซแต่ละชนิด พิสูจน์: p=p 1 +p 2 +…+p n
3. การพิสูจน์: กฎของปาสคาล

ความดันที่กระทำต่อของเหลวหรือก๊าซจะถูกส่งไปทุกทิศทางโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง

สมการสถานะของก๊าซในอุดมคติ กฎหมายเกี่ยวกับแก๊ส: นี่คือจำนวนตัวแปรอิสระ (พิกัด) ที่กำหนดตำแหน่งของระบบในอวกาศโดยสมบูรณ์ ในปัญหาบางอย่าง โมเลกุลของก๊าซเชิงเดี่ยว (รูปที่ 1, a) ถือเป็นจุดวัสดุ ซึ่งให้อิสระในการเคลื่อนที่ของการแปลสามระดับ ในกรณีนี้จะไม่คำนึงถึงพลังงานของการเคลื่อนที่แบบหมุนด้วย ในกลศาสตร์ก็คือโมเลกุล ก๊าซไดอะตอมมิกสำหรับการประมาณครั้งแรกจะถือเป็นชุดของจุดวัสดุสองจุดที่เชื่อมต่ออย่างแน่นหนาด้วยการเชื่อมต่อที่ไม่เปลี่ยนรูป (รูปที่ 1, b) ระบบนี้นอกจากความอิสระในการเคลื่อนที่แบบแปลนแล้ว 3 องศาแล้ว ยังมีความอิสระในการเคลื่อนที่แบบหมุนอีก 2 องศาอีกด้วย การหมุนรอบแกนที่สามที่ผ่านอะตอมทั้งสองนั้นไม่มีความหมาย ซึ่งหมายความว่าก๊าซไดอะตอมมิกมีระดับความอิสระห้าระดับ ( ฉัน= 5) โมเลกุลแบบไตรอะตอมมิก (รูปที่ 1, c) และโมเลกุลแบบไม่เชิงเส้นแบบโพลีอะตอมมิกมีระดับอิสระหกระดับ: การแปลสามแบบและการหมุนสามครั้ง เป็นเรื่องปกติที่จะสรุปได้ว่าไม่มีความเชื่อมโยงที่เข้มงวดระหว่างอะตอม ดังนั้นสำหรับโมเลกุลจริงจึงจำเป็นต้องคำนึงถึงระดับความอิสระของการเคลื่อนที่แบบสั่นสะเทือนด้วย

สำหรับระดับความเป็นอิสระจำนวนเท่าใดก็ได้ของโมเลกุลที่กำหนด ระดับความอิสระสามระดับจะเป็นค่าแปลเสมอ ระดับความเป็นอิสระในการแปลไม่มีข้อได้เปรียบเหนือระดับอื่น ๆ ซึ่งหมายความว่าแต่ละระดับมีพลังงานเท่ากันโดยเฉลี่ยเท่ากับ 1/3 ของค่า<ε 0 >(พลังงานของการเคลื่อนที่เชิงแปลของโมเลกุล): ในฟิสิกส์เชิงสถิติจะได้มา กฎของโบลต์ซมันน์ว่าด้วยการกระจายพลังงานสม่ำเสมอเหนือระดับความเป็นอิสระของโมเลกุล: สำหรับระบบทางสถิติที่อยู่ในสภาวะสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ สำหรับระดับความเป็นอิสระในการแปลและการหมุนแต่ละระดับ จะมีพลังงานจลน์เฉลี่ยเท่ากับ kT/2 และสำหรับระดับอิสระของการสั่นแต่ละระดับ จะมีพลังงานเฉลี่ยเท่ากับ kT ระดับการสั่นสะเทือนมีพลังงานเป็นสองเท่าเพราะว่า มันคำนึงถึงทั้งพลังงานจลน์ (เช่นในกรณีของการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุน) และศักย์ไฟฟ้าและค่าเฉลี่ยของศักย์และพลังงานจลน์ก็เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าพลังงานเฉลี่ยของโมเลกุล ที่ไหน ฉัน- ผลรวมของจำนวนการแปล จำนวนการหมุน และจำนวนสองเท่าของระดับความอิสระของการสั่นของโมเลกุล: ฉัน=ฉันโพสต์ + ฉันหมุน +2 ฉันการสั่นสะเทือน ในทฤษฎีคลาสสิกจะพิจารณาโมเลกุลที่มีพันธะแข็งระหว่างอะตอม สำหรับพวกเขา ฉันตรงกับจำนวนองศาอิสระของโมเลกุล เนื่องจากในก๊าซอุดมคติพลังงานศักย์ร่วมกันของปฏิสัมพันธ์ระหว่างโมเลกุลเป็นศูนย์ (โมเลกุลไม่มีปฏิกิริยาระหว่างกัน) พลังงานภายในของก๊าซหนึ่งโมลจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ N A ของโมเลกุล: (1 ) พลังงานภายในสำหรับมวลก๊าซโดยพลการ m โดยที่ M คือมวลโมเลกุล ν - ปริมาณของสาร

การเปลี่ยนแปลงในปริมาณใดๆ อธิบายไว้โดยใช้กฎของไซน์หรือโคไซน์ จากนั้นการแกว่งดังกล่าวเรียกว่าฮาร์มอนิก ลองพิจารณาวงจรที่ประกอบด้วยตัวเก็บประจุ (ซึ่งถูกชาร์จก่อนที่จะรวมไว้ในวงจร) และตัวเหนี่ยวนำ (รูปที่ 1)

รูปที่ 1.

สมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกสามารถเขียนได้ดังนี้:

$q=q_0cos((\โอเมก้า )_0t+(\อัลฟา )_0)$ (1)

โดยที่ $t$ คือเวลา; ค่าธรรมเนียม $q$, $q_0$-- ค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของค่าธรรมเนียมจากค่าเฉลี่ย (ศูนย์) ระหว่างการเปลี่ยนแปลง $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- เฟสการแกว่ง; $(\alpha )_0$- เฟสเริ่มต้น; $(\omega )_0$ - ความถี่แบบวน ในระหว่างงวด ระยะจะเปลี่ยน $2\pi $

สมการของแบบฟอร์ม:

สมการของการสั่นฮาร์มอนิกใน รูปแบบที่แตกต่างสำหรับวงจรออสซิลเลเตอร์ที่ไม่มีความต้านทานแบบแอกทีฟ

การแกว่งตามคาบประเภทใดก็ตามสามารถแสดงได้อย่างแม่นยำเป็นผลรวมของการแกว่งฮาร์มอนิก หรือที่เรียกว่าอนุกรมฮาร์มอนิก

สำหรับคาบการสั่นของวงจรที่ประกอบด้วยคอยล์และตัวเก็บประจุ เราได้สูตรของทอมสัน:

หากเราแยกนิพจน์ (1) ตามเวลา เราจะได้สูตรสำหรับฟังก์ชัน $I(t)$:

แรงดันไฟฟ้าตกคร่อมตัวเก็บประจุสามารถพบได้ดังนี้:

จากสูตร (5) และ (6) จะได้ว่าความแรงของกระแสไฟฟ้าอยู่ข้างหน้าแรงดันไฟฟ้าบนตัวเก็บประจุเป็น $\frac(\pi )(2).$

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกสามารถแสดงได้ทั้งในรูปของสมการ ฟังก์ชัน และแผนภาพเวกเตอร์

สมการ (1) แสดงถึงการแกว่งที่ไม่มีการหน่วงอิสระ

สมการการสั่นแบบหน่วง

การเปลี่ยนแปลงประจุ ($q$) บนแผ่นตัวเก็บประจุในวงจรโดยคำนึงถึงความต้านทาน (รูปที่ 2) จะถูกอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ของรูปแบบ:

รูปที่ 2.

ถ้าความต้านทานที่เป็นส่วนหนึ่งของวงจร $R\

โดยที่ $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ คือความถี่การแกว่งแบบวน $\beta =\frac(R)(2L)-$ค่าสัมประสิทธิ์การหน่วง แอมพลิจูดของการสั่นแบบหน่วงจะแสดงเป็น:

หากที่ $t=0$ ประจุบนตัวเก็บประจุเท่ากับ $q=q_0$ และไม่มีกระแสไฟฟ้าในวงจร ดังนั้นสำหรับ $A_0$ เราสามารถเขียนได้:

เฟสของการแกว่ง ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น ($(\alpha )_0$) เท่ากับ:

เมื่อ $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ การเปลี่ยนแปลงประจุไม่ใช่การแกว่ง การคายประจุของตัวเก็บประจุเรียกว่า aคาบ

ตัวอย่างที่ 1

ออกกำลังกาย:มูลค่าการเรียกเก็บเงินสูงสุดคือ $q_0=10\ C$ มันแปรผันอย่างกลมกลืนด้วยคาบ $T= 5 s$ กำหนดกระแสสูงสุดที่เป็นไปได้

สารละลาย:

เป็นพื้นฐานในการแก้ปัญหาที่เราใช้:

ในการค้นหาความแรงในปัจจุบัน จะต้องแยกนิพจน์ (1.1) ตามเวลา:

โดยที่ค่าสูงสุด (ค่าแอมพลิจูด) ของความแรงของกระแสคือนิพจน์:

จากเงื่อนไขของปัญหา เราทราบค่าแอมพลิจูดของประจุ ($q_0=10\ C$) คุณควรหาความถี่ธรรมชาติของการแกว่ง ลองแสดงมันเป็น:

\[(\โอเมก้า )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]

ในกรณีนี้จะหาค่าที่ต้องการได้โดยใช้สมการ (1.3) และ (1.2) ดังนี้

เนื่องจากปริมาณทั้งหมดในเงื่อนไขของปัญหาจะแสดงอยู่ในระบบ SI เราจึงจะดำเนินการคำนวณ:

คำตอบ:$I_0=12.56\ อ.$

ตัวอย่างที่ 2

ออกกำลังกาย:คาบของการแกว่งในวงจรคือเท่าใด ซึ่งมีตัวเหนี่ยวนำ $L=1$H และตัวเก็บประจุ หากความแรงของกระแสในวงจรเปลี่ยนแปลงไปตามกฎหมาย: $I\left(t\right)=-0.1sin20 \pi t\ \left(A \right)?$ ความจุของตัวเก็บประจุเป็นเท่าใด?

สารละลาย:

จากสมการความผันผวนของกระแสซึ่งกำหนดไว้ในเงื่อนไขของปัญหา:

เราจะเห็นว่า $(\omega )_0=20\pi $ ดังนั้น เราสามารถคำนวณคาบการสั่นได้โดยใช้สูตร:

\ \

ตามสูตรของทอมสันสำหรับวงจรที่ประกอบด้วยตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ เรามี:

มาคำนวณความจุกัน:

คำตอบ:$T=0.1$ ค, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$

การสั่นแบบฮาร์มอนิกเป็นการสั่นที่ทำตามกฎของไซน์และโคไซน์ รูปต่อไปนี้แสดงกราฟการเปลี่ยนแปลงพิกัดของจุดในช่วงเวลาหนึ่งตามกฎโคไซน์

รูปภาพ

แอมพลิจูดของการสั่น

แอมพลิจูดของการสั่นฮาร์มอนิกเรียกว่า มูลค่าสูงสุดการเคลื่อนตัวของร่างกายออกจากตำแหน่งสมดุล แอมพลิจูดสามารถรับได้ ความหมายที่แตกต่างกัน- มันจะขึ้นอยู่กับว่าเราเคลื่อนร่างกายในช่วงเวลาเริ่มต้นจากตำแหน่งสมดุลมากน้อยเพียงใด

แอมพลิจูดถูกกำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น นั่นคือพลังงานที่ส่งให้กับร่างกายในช่วงเวลาเริ่มต้น เนื่องจากไซน์และโคไซน์สามารถรับค่าได้ในช่วงตั้งแต่ -1 ถึง 1 สมการจึงต้องมีปัจจัย Xm ซึ่งแสดงถึงความกว้างของการแกว่ง สมการการเคลื่อนที่ของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก:

x = Xm*คอส(ω0*t)

ระยะเวลาการสั่น

ระยะเวลาของการสั่นคือเวลาที่ใช้ในการสั่นจนเสร็จสมบูรณ์ครั้งหนึ่ง คาบของการแกว่งถูกกำหนดด้วยตัวอักษร T หน่วยการวัดคาบจะสอดคล้องกับหน่วยเวลา นั่นคือใน SI นี่คือวินาที

ความถี่การสั่นคือจำนวนการสั่นที่เกิดขึ้นต่อหน่วยเวลา ความถี่การสั่นถูกกำหนดโดยตัวอักษร ν ความถี่การสั่นสามารถแสดงเป็นคาบการสั่นได้

ν = 1/ต.

หน่วยความถี่มีหน่วยเป็น SI 1/วินาที หน่วยวัดนี้เรียกว่าเฮิรตซ์ จำนวนการสั่นในช่วงเวลา 2*pi วินาทีจะเท่ากับ:

ω0 = 2*ไพ* ν = 2*ไพ/T

ความถี่การสั่น

ปริมาณนี้เรียกว่าความถี่ไซคลิกของการแกว่ง ในวรรณคดีบางเรื่องชื่อความถี่วงกลมปรากฏขึ้น ความถี่ธรรมชาติของระบบออสซิลเลชันคือความถี่ของการออสซิลเลชันอิสระ

ความถี่ของการสั่นตามธรรมชาติคำนวณโดยใช้สูตร:

ความถี่ของการสั่นสะเทือนตามธรรมชาติขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของวัสดุและมวลของโหลด ยิ่งสปริงมีความแข็งมากเท่าใด ความถี่ของการสั่นสะเทือนก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ยิ่งมวลของโหลดมากเท่าใด ความถี่ของการแกว่งตามธรรมชาติก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น

ข้อสรุปทั้งสองนี้ชัดเจน ยิ่งสปริงมีความแข็งมากเท่าไร ความเร่งก็จะส่งไปยังร่างกายมากขึ้นเท่านั้นเมื่อระบบเสียสมดุล ยิ่งมวลของร่างกายมากขึ้น ความเร็วของร่างกายก็จะเปลี่ยนไปช้าลงเท่านั้น

ระยะเวลาการสั่นฟรี:

T = 2*ไพ/ ω0 = 2*pi*√(ม/k)

เป็นที่น่าสังเกตว่าที่มุมโก่งเล็ก ๆ ระยะเวลาการสั่นของร่างกายในสปริงและระยะเวลาการสั่นของลูกตุ้มจะไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดของการแกว่ง

มาเขียนสูตรสำหรับคาบและความถี่ของการแกว่งอิสระของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์กัน

แล้วคาบจะเท่ากัน

T = 2*ไพ*√(ลิตร/กรัม)

สูตรนี้จะใช้ได้กับมุมโก่งตัวเล็กน้อยเท่านั้น จากสูตรเราจะเห็นว่าคาบการสั่นเพิ่มขึ้นตามความยาวของเกลียวลูกตุ้มที่เพิ่มขึ้น ยิ่งยาว ร่างกายก็จะสั่นสะเทือนช้าลง

ระยะเวลาของการสั่นไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของโหลดเลย แต่ขึ้นอยู่กับความเร่งของการตกอย่างอิสระ เมื่อ g ลดลง ระยะเวลาการแกว่งจะเพิ่มขึ้น คุณสมบัตินี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ เช่น เพื่อวัดค่าที่แน่นอนของการเร่งความเร็วอิสระ

การแกว่งของฮาร์มอนิกเป็นปรากฏการณ์ของการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะของปริมาณใด ๆ ซึ่งการพึ่งพาอาร์กิวเมนต์มีลักษณะเป็นฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์ ตัวอย่างเช่น ปริมาณจะผันผวนอย่างกลมกลืนและเปลี่ยนแปลงตามเวลาดังนี้

โดยที่ x คือค่าของปริมาณที่เปลี่ยนแปลง t คือเวลา พารามิเตอร์ที่เหลือจะเป็นค่าคงที่: A คือแอมพลิจูดของการออสซิลเลชัน ω คือความถี่ไซคลิกของการออสซิลเลชัน คือเฟสเต็มของการออสซิลเลชัน คือเฟสเริ่มต้นของการออสซิลเลชัน

การสั่นฮาร์มอนิกทั่วไปในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล

(ใดๆ วิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญนี้ สมการเชิงอนุพันธ์- มีการสั่นฮาร์มอนิกด้วยความถี่ไซคลิก)

ประเภทของการสั่นสะเทือน

การสั่นสะเทือนอิสระเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงภายในของระบบหลังจากที่ระบบถูกถอดออกจากตำแหน่งสมดุลแล้ว เพื่อให้การแกว่งอิสระเป็นแบบฮาร์มอนิก จำเป็นที่ระบบออสซิลลาทอรีจะเป็นเส้นตรง (อธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น) และไม่มีการกระจายพลังงานไปในตัว (อย่างหลังจะทำให้เกิดการลดทอน)

แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอกเป็นระยะ เพื่อให้เป็นฮาร์มอนิก ก็เพียงพอแล้วที่ระบบออสซิลลาทอรีจะเป็นเส้นตรง (อธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น) และ แรงภายนอกตัวมันเองเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาด้วยการสั่นแบบฮาร์มอนิก (นั่นคือ ดังนั้นการพึ่งพาเวลาของแรงนี้เป็นไซนูซอยด์)

สมการฮาร์มอนิก

สมการ (1)

ให้การพึ่งพาค่าที่ผันผวน S ตรงเวลา t; นี่คือสมการของการแกว่งของฮาร์มอนิกอิสระในรูปแบบที่ชัดเจน อย่างไรก็ตาม โดยปกติแล้ว สมการการสั่นสะเทือนถือเป็นตัวแทนที่แตกต่างกันของสมการนี้ ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล เพื่อความแน่นอน ขอให้เราใช้สมการ (1) ในรูปแบบ

มาแยกความแตกต่างสองครั้งตามเวลา:

จะเห็นได้ว่ามีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

ซึ่งเรียกว่าสมการของการแกว่งฮาร์มอนิกอิสระ (ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล) สมการ (1) เป็นวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ (2) เนื่องจากสมการ (2) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง เงื่อนไขเริ่มต้นสองเงื่อนไขจึงมีความจำเป็นเพื่อให้ได้คำตอบที่สมบูรณ์ (นั่นคือ การหาค่าคงที่ A และ   ที่รวมอยู่ในสมการ (1) เช่น ตำแหน่งและความเร็วของระบบออสซิลลาทอรีที่ t = 0

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือออสซิลเลเตอร์ ซึ่งเป็นระบบกลไกที่ประกอบด้วยจุดวัสดุที่ตั้งอยู่บนเกลียวที่ไม่สามารถยืดออกได้แบบไร้น้ำหนัก หรือบนแท่งไร้น้ำหนักในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ คาบของการสั่นตามธรรมชาติเล็กน้อยของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ความยาว l ซึ่งแขวนลอยอย่างไม่มีการเคลื่อนที่ในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอโดยมีความเร่งการตกอย่างอิสระ g เท่ากับ

และไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและมวลของลูกตุ้ม

ลูกตุ้มทางกายภาพคือออสซิลเลเตอร์ ซึ่งเป็นวัตถุแข็งที่แกว่งไปมาในสนามที่มีแรงใดๆ สัมพันธ์กับจุดที่ไม่ใช่จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุนี้ หรือแกนคงที่ตั้งฉากกับทิศทางการกระทำของแรง และไม่ ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายนี้

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก

กราฟฟังก์ชัน ฉ(x) = บาป( x) และ ก(x) = คอส( x) บนระนาบคาร์ทีเซียน

การสั่นแบบฮาร์มอนิก- การแกว่งซึ่งปริมาณทางกายภาพ (หรืออื่นๆ) เปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎไซน์ซอยด์หรือโคไซน์ สมการจลนศาสตร์ของการแกว่งฮาร์มอนิกมีรูปแบบ

,

ที่ไหน เอ็กซ์- การกระจัด (ส่วนเบี่ยงเบน) ของจุดสั่นจากตำแหน่งสมดุล ณ เวลา t; ก- ความกว้างของการแกว่งเป็นค่าที่กำหนดค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของจุดสั่นจากตำแหน่งสมดุล ω - ความถี่ไซคลิก ค่าที่ระบุจำนวนการแกว่งที่สมบูรณ์ที่เกิดขึ้นภายใน 2π วินาที - ระยะการแกว่งเต็มเฟส - ระยะเริ่มต้นของการแกว่ง

การสั่นฮาร์มอนิกทั่วไปในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล

(คำตอบที่ไม่ไม่สำคัญใดๆ ของสมการเชิงอนุพันธ์นี้คือการแกว่งของฮาร์มอนิกที่มีความถี่เป็นรอบ)

ประเภทของการสั่นสะเทือน

วิวัฒนาการของเวลาของการกระจัด ความเร็ว และความเร่งในการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก

• การสั่นสะเทือนฟรีจะดำเนินการภายใต้อิทธิพลของแรงภายในของระบบหลังจากที่ระบบถูกถอดออกจากตำแหน่งสมดุลแล้ว เพื่อให้การแกว่งอิสระเป็นแบบฮาร์โมนิค จำเป็นที่ระบบการแกว่งจะเป็นเส้นตรง (อธิบายไว้แล้ว สมการเชิงเส้นการเคลื่อนไหว) และไม่มีการสูญเสียพลังงาน (อย่างหลังจะทำให้เกิดการลดทอนลง)
• แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับจะดำเนินการภายใต้อิทธิพลของแรงคาบภายนอก เพื่อให้เป็นฮาร์มอนิกก็เพียงพอแล้วที่ระบบออสซิลโลสโคปจะเป็นเส้นตรง (อธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น) และแรงภายนอกเองก็เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาเนื่องจากการแกว่งของฮาร์มอนิก (นั่นคือ การพึ่งพาเวลาของแรงนี้เป็นไซนูซอยด์) .

แอปพลิเคชัน

การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกโดดเด่นจากการสั่นสะเทือนประเภทอื่นๆ ทั้งหมดด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้:

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

วรรณกรรม

• ฟิสิกส์. หนังสือเรียนฟิสิกส์เบื้องต้น / อ. จี.เอส. แลนสเบิร์ก. - ฉบับที่ 3 - ม., 2505. - ต. 3.
• ไข่คิน เอส.อี.พื้นฐานทางกายภาพของกลศาสตร์ - ม., 2506.
• อ. เอ็ม. อาโฟนิน.พื้นฐานทางกายภาพของกลศาสตร์ - เอ็ด ฉัน บาวแมน, 2549.
• Gorelik G. S.การสั่นและคลื่น ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับอะคูสติก รังสีฟิสิกส์ และทัศนศาสตร์ - ม.: Fizmatlit, 2502. - 572 หน้า

มูลนิธิวิกิมีเดีย

• 2010.
• คอมมูนมัลบอร์ก

ชาวแอฟริกา

ดูว่า "การแกว่งของฮาร์มอนิก" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร: การสั่นสะเทือนแบบฮาร์โมนิก

สารานุกรมสมัยใหม่การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก - การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิก การเปลี่ยนแปลงปริมาณทางกายภาพเป็นระยะ ๆ ที่เกิดขึ้นตามกฎของไซน์ กราฟิก การสั่นของฮาร์มอนิกจะแสดงด้วยเส้นโค้งไซน์ซอยด์ การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกรูปแบบที่ง่ายที่สุด การเคลื่อนไหวเป็นระยะ มีลักษณะโดย...

สารานุกรมสมัยใหม่- การสั่นซึ่ง ปริมาณทางกายภาพเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ ในเชิงกราฟิก GK จะแสดงด้วยคลื่นไซน์โค้งหรือคลื่นโคไซน์ (ดูรูป) สามารถเขียนได้ในรูปแบบ: x ​​= Asin (ωt + φ) หรือ x... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

ดูว่า "การแกว่งของฮาร์มอนิก" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:- HARMONIC VIBRATIONS การเคลื่อนที่เป็นระยะ เช่น การเคลื่อนที่ของ PENDULUM การสั่นสะเทือนของอะตอมหรือการสั่นสะเทือนใน วงจรไฟฟ้า- ร่างกายจะทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกแบบไม่แดมป์เมื่อมันแกว่งไปตามแนวเส้น โดยเคลื่อนที่แบบเดียวกัน... ... พจนานุกรมสารานุกรมวิทยาศาสตร์และเทคนิค

ดูว่า "การแกว่งของฮาร์มอนิก" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:- แรงสั่นสะเทือนซึ่งทางกายภาพ (หรืออื่นๆ) ปริมาณเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎไซน์ซอยด์: x=Asin(wt+j) โดยที่ x คือค่าของปริมาณที่ผันผวน ณ เวลาที่กำหนด โมเมนต์ของเวลา t (สำหรับ G.K. เชิงกล เช่น การกระจัดหรือความเร็ว สำหรับ ... ... สารานุกรมทางกายภาพ

การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก- การแกว่งทางกล ซึ่งพิกัดทั่วไปและ (หรือ) ความเร็วทั่วไปเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนของไซน์โดยอาร์กิวเมนต์เชิงเส้นขึ้นอยู่กับเวลา [รวบรวมคำศัพท์ที่แนะนำ ฉบับที่ 106 การสั่นสะเทือนทางกล สถาบันวิทยาศาสตร์… คู่มือนักแปลทางเทคนิค

ดูว่า "การแกว่งของฮาร์มอนิก" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:- แรงสั่นสะเทือนซึ่งทางกายภาพ (หรืออื่นๆ) ปริมาณการเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎไซนูซอยด์ โดยที่ x คือค่าของปริมาณการสั่น ณ เวลา t (สำหรับระบบไฮดรอลิกเชิงกล เช่น การกระจัดและความเร็ว สำหรับแรงดันไฟฟ้าและความแรงของกระแส) ... สารานุกรมทางกายภาพ

ดูว่า "การแกว่งของฮาร์มอนิก" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:- (ดู) ซึ่งทางกายภาพ ปริมาณเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ (เช่น การเปลี่ยนแปลง (ดู) และความเร็วระหว่างการสั่น (ดู) หรือการเปลี่ยนแปลง (ดู) และความแรงของกระแสระหว่างไฟฟ้า G.k.) ... สารานุกรมโพลีเทคนิคขนาดใหญ่

ดูว่า "การแกว่งของฮาร์มอนิก" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:- มีคุณลักษณะเฉพาะคือการเปลี่ยนแปลงค่าการสั่น x (เช่น การเบี่ยงเบนของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุล แรงดันไฟฟ้าในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ เป็นต้น) ในเวลา t ตามกฎหมาย: x = Asin (?t + ?) โดยที่ A คือแอมพลิจูดของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก ? มุม... ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

สารานุกรมสมัยใหม่- 19. การสั่นแบบฮาร์มอนิก การสั่นซึ่งค่าของปริมาณการสั่นเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎหมาย ที่มา ... หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมเกี่ยวกับเอกสารเชิงบรรทัดฐานและทางเทคนิค

ดูว่า "การแกว่งของฮาร์มอนิก" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:- เป็นระยะ ความผันผวนซึ่งการเปลี่ยนแปลงทางกายภาพของเวลา ปริมาณเกิดขึ้นตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ (ดูรูป): s = Аsin(wt+ф0) โดยที่ s คือค่าเบี่ยงเบนของปริมาณที่ผันผวนจากค่าเฉลี่ย ค่า (สมดุล), A=แอมพลิจูด const, w= const วงกลม... พจนานุกรมโพลีเทคนิคสารานุกรมขนาดใหญ่