วิธีหาเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ที่กำหนด เมทริกซ์ผกผันและคุณสมบัติของมัน

ค้นหานิยามของเมทริกซ์ 2x2 แต่ละอันแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ใดๆ รวมทั้งเมทริกซ์ที่ทรานสโพส จะสัมพันธ์กับเมทริกซ์ขนาด 2x2 ที่สอดคล้องกัน หากต้องการค้นหาเมทริกซ์ 2x2 ที่สอดคล้องกับองค์ประกอบใดองค์ประกอบหนึ่ง ให้ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบนี้อยู่ นั่นคือ คุณต้องขีดฆ่าองค์ประกอบ 3x3 เดิม 5 องค์ประกอบ สี่องค์ประกอบที่เป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์ 2x2 ที่สอดคล้องกันจะยังไม่ถูกขีดฆ่า

• ตัวอย่างเช่น หากต้องการหาเมทริกซ์ 2x2 สำหรับองค์ประกอบที่อยู่ตรงจุดตัดของแถวที่สองและคอลัมน์แรก ให้ขีดฆ่าองค์ประกอบทั้งห้าที่อยู่ในแถวที่สองและคอลัมน์แรกออก สี่องค์ประกอบที่เหลือคือองค์ประกอบของเมทริกซ์ 2x2 ที่สอดคล้องกัน
• หาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ 2x2 แต่ละเมทริกซ์ ในการทำเช่นนี้ ให้ลบผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมรองออกจากผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก (ดูรูป)
• ข้อมูลโดยละเอียดเกี่ยวกับเมทริกซ์ 2x2 ที่สอดคล้องกับองค์ประกอบบางอย่างของเมทริกซ์ 3x3 สามารถพบได้บนอินเทอร์เน็ต

สร้างเมทริกซ์ของปัจจัยร่วมบันทึกผลลัพธ์ที่ได้ก่อนหน้านี้ในรูปแบบของเมทริกซ์ของโคแฟกเตอร์ใหม่ ในการทำเช่นนี้ ให้เขียนดีเทอร์มิแนนต์ที่พบของแต่ละเมทริกซ์ 2x2 ซึ่งองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ 3x3 นั้นตั้งอยู่ ตัวอย่างเช่น หากพิจารณาเมทริกซ์ 2x2 สำหรับองค์ประกอบ (1,1) ให้เขียนดีเทอร์มิแนนต์ในตำแหน่ง (1,1) จากนั้นเปลี่ยนสัญญาณขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้องตามรูปแบบที่กำหนดซึ่งแสดงไว้ในรูป

• รูปแบบการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย: เครื่องหมายขององค์ประกอบแรกของบรรทัดแรกไม่เปลี่ยนแปลง เครื่องหมายขององค์ประกอบที่สองของบรรทัดแรกจะกลับด้าน เครื่องหมายขององค์ประกอบที่สามของบรรทัดแรกไม่เปลี่ยนแปลง และอื่น ๆ ทีละบรรทัด โปรดทราบว่าเครื่องหมาย "+" และ "-" ซึ่งแสดงในแผนภาพ (ดูรูป) ไม่ได้ระบุว่าองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องจะเป็นบวกหรือลบ ในกรณีนี้ เครื่องหมาย "+" แสดงว่าเครื่องหมายขององค์ประกอบไม่เปลี่ยนแปลง และเครื่องหมาย "-" แสดงว่าเครื่องหมายขององค์ประกอบมีการเปลี่ยนแปลง
• ข้อมูลโดยละเอียดเกี่ยวกับเมทริกซ์โคแฟกเตอร์สามารถพบได้บนอินเทอร์เน็ต
• นี่คือวิธีที่คุณค้นหาเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องของเมทริกซ์ดั้งเดิม บางครั้งเรียกว่า เมทริกซ์คอนจูเกตเชิงซ้อน เมทริกซ์ดังกล่าวแสดงเป็น adj(M)

แบ่งแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่อยู่ติดกันด้วยดีเทอร์มีแนนต์ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ M ถูกคำนวณตั้งแต่เริ่มต้นเพื่อตรวจสอบว่ามีเมทริกซ์ผกผันอยู่ ตอนนี้แบ่งแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่อยู่ติดกันด้วยดีเทอร์มีแนนต์นี้ บันทึกผลลัพธ์ของการดำเนินการแต่ละส่วนที่มีองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องอยู่ ดังนั้นคุณจะพบเมทริกซ์ซึ่งตรงกันข้ามกับต้นฉบับ

• ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่แสดงในรูปคือ 1 ดังนั้นเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องในที่นี้คือเมทริกซ์ผกผัน (เนื่องจากการหารจำนวนใดๆ ด้วย 1 จะไม่เปลี่ยนแปลง)
• ในบางแหล่งข้อมูล การดำเนินการหารจะถูกแทนที่ด้วยการดำเนินการคูณด้วย 1/det(M) ในกรณีนี้ ผลลัพธ์สุดท้ายจะไม่เปลี่ยนแปลง

เขียนเมทริกซ์ผกผันเขียนองค์ประกอบที่อยู่ทางด้านขวาของเมทริกซ์ขนาดใหญ่เป็นเมทริกซ์แยกซึ่งเป็นเมทริกซ์ผกผัน

ใส่เมทริกซ์ดั้งเดิมลงในหน่วยความจำของเครื่องคิดเลขในการทำเช่นนี้ ให้คลิกปุ่ม Matrix หากมี สำหรับเครื่องคิดเลข Texas Instruments คุณอาจต้องกดปุ่ม 2 และ Matrix

เลือกเมนูแก้ไขทำสิ่งนี้โดยใช้ปุ่มลูกศรหรือปุ่มฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องซึ่งอยู่ที่ด้านบนของแป้นพิมพ์ของเครื่องคิดเลข (ตำแหน่งของปุ่มขึ้นอยู่กับรุ่นของเครื่องคิดเลข)

ป้อนการกำหนดเมทริกซ์เครื่องคำนวณกราฟส่วนใหญ่สามารถทำงานกับเมทริกซ์ 3-10 รายการซึ่งสามารถเขียนแทนได้ ตัวอักษร A-J. ตามกฎทั่วไป เพียงเลือก [A] เพื่อแสดงถึงเมทริกซ์ดั้งเดิม จากนั้นกดปุ่ม Enter

ป้อนขนาดเมทริกซ์บทความนี้พูดถึงเมทริกซ์ 3x3 แต่เครื่องคิดเลขแบบกราฟิกสามารถทำงานกับเมทริกซ์ขนาดใหญ่ได้ ป้อนจำนวนแถว กดปุ่ม Enter จากนั้นป้อนจำนวนคอลัมน์ แล้วกดปุ่ม Enter อีกครั้ง

ป้อนแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์เมทริกซ์จะแสดงบนหน้าจอเครื่องคิดเลข หากมีการป้อนเมทริกซ์ในเครื่องคิดเลขมาก่อน เมทริกซ์นั้นจะปรากฏบนหน้าจอ เคอร์เซอร์จะเน้นองค์ประกอบแรกของเมทริกซ์ ใส่ค่าขององค์ประกอบแรกแล้วกด Enter เคอร์เซอร์จะเลื่อนไปยังองค์ประกอบถัดไปของเมทริกซ์โดยอัตโนมัติ

เรากำลังพูดถึงการดำเนินการกับเมทริกซ์ต่อไป กล่าวคือ ในระหว่างการเรียนการบรรยายนี้ คุณจะได้เรียนรู้วิธีค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เรียนรู้. แม้ว่าคณิตศาสตร์จะแน่น

เมทริกซ์ผกผันคืออะไร? ที่นี่เราสามารถวาดอุปมาอุปไมยกับส่วนกลับ: พิจารณา ตัวอย่างเช่น เลข 5 ที่มองโลกในแง่ดีและส่วนกลับของมัน ผลคูณของตัวเลขเหล่านี้เท่ากับหนึ่ง: . มันเหมือนกันกับเมทริกซ์! ผลคูณของเมทริกซ์และผกผันคือ - เมทริกซ์เอกลักษณ์ซึ่งเป็นอะนาล็อกเมทริกซ์ของหน่วยตัวเลข อย่างไรก็ตาม อันดับแรก อันดับแรก เราจะแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติที่สำคัญ นั่นคือ เราจะเรียนรู้วิธีหาเมทริกซ์ที่ผกผันมากนี้

คุณต้องรู้อะไรบ้างและสามารถค้นหาเมทริกซ์ผกผันได้ คุณต้องสามารถตัดสินใจได้ ปัจจัย. คุณต้องเข้าใจว่าคืออะไร เมทริกซ์และสามารถดำเนินการบางอย่างกับพวกเขาได้

มีสองวิธีหลักในการหาเมทริกซ์ผกผัน:
โดยใช้ การเพิ่มเกี่ยวกับพีชคณิตและ โดยใช้การแปลงเบื้องต้น.

วันนี้เราจะศึกษาวิธีแรกที่ง่ายกว่า

เริ่มจากสิ่งที่แย่ที่สุดและไม่สามารถเข้าใจได้ พิจารณา สี่เหลี่ยมเมทริกซ์ เมทริกซ์ผกผันสามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์อยู่ที่ไหน คือ เมทริกซ์ทรานสโพสของการเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

แนวคิดของเมทริกซ์ผกผันมีอยู่สำหรับเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้น, เมทริกซ์ "สองต่อสอง", "สามต่อสาม" เป็นต้น

สัญกรณ์: ดังที่คุณอาจสังเกตเห็นแล้ว การผกผันของเมทริกซ์จะแสดงด้วยตัวยก

เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุด - เมทริกซ์สองคูณสอง ส่วนใหญ่มักจะต้องใช้ "สามต่อสาม" แต่ฉันขอแนะนำให้ศึกษางานที่ง่ายกว่าเพื่อเรียนรู้ หลักการทั่วไปโซลูชั่น

ตัวอย่าง:

ค้นหาส่วนผกผันของเมทริกซ์

เราตัดสินใจ ลำดับของการกระทำถูกแยกย่อยเป็นจุดๆ

1) ก่อนอื่นเราจะหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์.

หากความเข้าใจในการกระทำนี้ไม่ดี ให้อ่านเนื้อหา จะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างไร?

สำคัญ!ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์คือ ศูนย์- เมทริกซ์ผกผัน ไม่ได้อยู่.

ในตัวอย่างที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ซึ่งหมายความว่าทุกอย่างเป็นไปตามลำดับ

2) ค้นหาเมทริกซ์ของผู้เยาว์.

เพื่อแก้ปัญหาของเรา คุณไม่จำเป็นต้องรู้ว่าผู้เยาว์คืออะไร อย่างไรก็ตาม ขอแนะนำให้อ่านบทความ วิธีคำนวณดีเทอร์มิแนนต์.

เมทริกซ์ของผู้เยาว์มีขนาดเดียวกับเมทริกซ์ นั่นคือในกรณีนี้
ตัวพิมพ์มีขนาดเล็กยังคงต้องค้นหาตัวเลขสี่ตัวและใส่ไว้แทนเครื่องหมายดอกจัน

กลับไปที่เมทริกซ์ของเรา
มาดูองค์ประกอบด้านซ้ายบนก่อน:

วิธีการหามัน ส่วนน้อย?
และทำเช่นนี้: ตั้งใจที่จะข้ามแถวและคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบนี้อยู่:

จำนวนที่เหลือคือ ส่วนน้อยขององค์ประกอบที่กำหนดซึ่งเราเขียนไว้ในเมทริกซ์ของผู้เยาว์:

พิจารณาองค์ประกอบเมทริกซ์ต่อไปนี้:

ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่องค์ประกอบนี้ตั้งอยู่:

สิ่งที่เหลืออยู่คือส่วนย่อยขององค์ประกอบนี้ ซึ่งเราเขียนลงในเมทริกซ์ของเรา:

ในทำนองเดียวกัน เราพิจารณาองค์ประกอบของแถวที่สองและค้นหาผู้เยาว์:


พร้อม.

มันง่าย ในเมทริกซ์ของผู้เยาว์ คุณต้องการ เปลี่ยนสัญญาณสำหรับตัวเลขสองตัว:

นี่คือตัวเลขที่ฉันวงกลมไว้!

เป็นเมทริกซ์ของการเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

และบางอย่าง…

4) ค้นหาเมทริกซ์การย้ายของการบวกพีชคณิต.

คือเมทริกซ์ทรานสโพสของการเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

5) คำตอบ.

จำสูตรของเราไว้
พบทั้งหมด!

ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันคือ:

ทางที่ดีควรทิ้งคำตอบไว้ตามที่เป็นอยู่ ไม่จำเป็นหารแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วย 2 ตามที่คุณได้รับ ตัวเลขเศษส่วน. ความแตกต่างเล็กน้อยนี้จะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมในบทความเดียวกัน การดำเนินการกับเมทริกซ์.

วิธีการตรวจสอบการแก้ปัญหา?

จะต้องดำเนินการคูณเมทริกซ์อย่างใดอย่างหนึ่ง

การตรวจสอบ:

ดังกล่าวแล้ว เมทริกซ์เอกลักษณ์เป็นเมทริกซ์ที่มีหน่วยเป็น เส้นทแยงมุมหลักและศูนย์ที่อื่น

ดังนั้นจึงพบเมทริกซ์ผกผันได้อย่างถูกต้อง

หากคุณดำเนินการ ผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ด้วย นี่เป็นหนึ่งในไม่กี่กรณีที่การคูณเมทริกซ์สามารถเปลี่ยนรูปได้ ดูข้อมูลเพิ่มเติมได้ในบทความ คุณสมบัติของการดำเนินการในเมทริกซ์ นิพจน์เมทริกซ์. โปรดทราบว่าในระหว่างการตรวจสอบ ค่าคงที่ (เศษส่วน) จะถูกยกไปข้างหน้าและประมวลผลที่ส่วนท้ายสุด - หลังจากการคูณเมทริกซ์ นี่เป็นมาตรฐาน

มาดูกรณีทั่วไปในทางปฏิบัติกันดีกว่า - เมทริกซ์สามคูณสาม:

ตัวอย่าง:

ค้นหาส่วนผกผันของเมทริกซ์

อัลกอริทึมจะเหมือนกับกรณีสองต่อสองทุกประการ

เราพบเมทริกซ์ผกผันตามสูตร: เมทริกซ์ทรานสโพสของการเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์อยู่ที่ไหน

1) ค้นหาตัวกำหนดเมทริกซ์.

ดีเทอร์มิแนนต์ถูกเปิดเผยที่นี่ ในบรรทัดแรก.

นอกจากนี้อย่าลืมนั่นหมายความว่าทุกอย่างเรียบร้อยดี - มีเมทริกซ์ผกผันอยู่.

2) ค้นหาเมทริกซ์ของผู้เยาว์.

เมทริกซ์ของผู้เยาว์มีมิติ "สามต่อสาม" และเราต้องหาเลขเก้า

ฉันจะดูรายละเอียดของผู้เยาว์สองสามคน:

พิจารณาองค์ประกอบเมทริกซ์ต่อไปนี้:

ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่องค์ประกอบนี้ตั้งอยู่:

ตัวเลขสี่ตัวที่เหลือเขียนด้วยดีเทอร์มีแนนต์ "สองต่อสอง"

ดีเทอร์มิแนนต์แบบสองต่อสองนี้ และ เป็นส่วนย่อยขององค์ประกอบที่กำหนด. จำเป็นต้องคำนวณ:


ทุกอย่างที่พบผู้เยาว์ เราเขียนลงในเมทริกซ์ของผู้เยาว์:

อย่างที่คุณเดาไว้ มีดีเทอร์มิแนนต์แบบสองต่อสองเก้าตัวที่ต้องคำนวณ แน่นอนว่ากระบวนการนี้น่าเบื่อ แต่กรณีนี้ไม่ใช่เรื่องยากที่สุดอาจแย่กว่านั้น

เพื่อรวมเข้าด้วยกัน - ค้นหาผู้เยาว์อีกคนในภาพ:

ลองคำนวณส่วนที่เหลือของผู้เยาว์ด้วยตัวคุณเอง

ผลลัพธ์สุดท้าย:
เป็นเมทริกซ์ของผู้เยาว์ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

ความจริงที่ว่าผู้เยาว์ทั้งหมดกลายเป็นคนติดลบนั้นเป็นเรื่องบังเอิญอย่างแท้จริง

3) ค้นหาเมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต.

ในเมทริกซ์ของผู้เยาว์ก็จำเป็น เปลี่ยนสัญญาณอย่างเคร่งครัดสำหรับองค์ประกอบต่อไปนี้:

ในกรณีนี้:

การค้นหาเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ "สี่ต่อสี่" จะไม่ได้รับการพิจารณาเนื่องจากมีเพียงครูที่มีนิสัยทารุณเมื่อเกิดตัณหาเท่านั้นที่สามารถให้งานดังกล่าวได้ (เพื่อให้นักเรียนคำนวณปัจจัย "สี่ต่อสี่" หนึ่งตัวและปัจจัย "สามต่อสาม" 16 ตัว) . ในทางปฏิบัติของฉัน มีเพียงกรณีเดียวคือลูกค้า ควบคุมการทำงานจ่ายอย่างสุดซึ้งสำหรับการทรมานของฉัน =)

ในหนังสือเรียนและคู่มือต่างๆ คุณสามารถหาวิธีการที่แตกต่างกันเล็กน้อยในการหาเมทริกซ์ผกผันได้ แต่ฉันขอแนะนำให้ใช้อัลกอริทึมการแก้ปัญหาข้างต้น ทำไม เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะสับสนในการคำนวณและเครื่องหมายนั้นน้อยกว่ามาก

การหาเมทริกซ์ผกผัน

ในบทความนี้ เราจะจัดการกับแนวคิดของเมทริกซ์ผกผัน คุณสมบัติและวิธีการค้นหา ให้เราอาศัยรายละเอียดในการแก้ตัวอย่างซึ่งจำเป็นต้องสร้างเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ที่กำหนด

การนำทางหน้า

เมทริกซ์ผกผัน - คำจำกัดความ

การหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้เมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต

คุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผัน

การหาเมทริกซ์ผกผันด้วยวิธีเกาส์-จอร์แดน

การหาองค์ประกอบของเมทริกซ์ผกผันโดยการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน

เมทริกซ์ผกผัน - คำจำกัดความ

แนวคิดของเมทริกซ์ผกผันถูกนำมาใช้เฉพาะสำหรับเมทริกซ์กำลังสองที่มีดีเทอร์มิแนนต์แตกต่างจากศูนย์ นั่นคือสำหรับเมทริกซ์กำลังสองที่ไม่ใช่เอกพจน์

คำนิยาม.

เมทริกซ์เรียกว่าผกผันของเมทริกซ์ซึ่งดีเทอร์มิแนนต์แตกต่างจากศูนย์ ถ้าความเท่าเทียมกันเป็นจริง , ที่ไหน อีเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ของคำสั่ง นบน น.

การหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้เมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต

จะหาเมทริกซ์ผกผันสำหรับค่าที่กำหนดได้อย่างไร?

อันดับแรก เราต้องมีแนวคิด เมทริกซ์ย้าย, เมทริกซ์ไมเนอร์ และส่วนประกอบเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบเมทริกซ์

คำนิยาม.

ส่วนน้อยก-ธ คำสั่งเมทริกซ์ กคำสั่ง มบน นเป็นตัวกำหนดเมทริกซ์ลำดับ เคบน เคซึ่งได้จากองค์ประกอบของเมทริกซ์ กอยู่ในสิ่งที่เลือก เคเส้นและ เคคอลัมน์ ( เคไม่เกินจำนวนที่น้อยที่สุด มหรือ น).

ส่วนน้อย (น-1)นคำสั่ง ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวทั้งหมด ยกเว้น ฉัน-thและทุกคอลัมน์ยกเว้น จ-ท, เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส กคำสั่ง นบน นมาแสดงว่าเป็น .

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผู้เยาว์ได้มาจากเมทริกซ์กำลังสอง กคำสั่ง นบน นข้ามองค์ประกอบ ฉัน-thเส้นและ จ-ทคอลัมน์.

ตัวอย่างเช่น ลองเขียน ผู้เยาว์ อันดับที่ 2คำสั่งซึ่งได้จากเมทริกซ์ การเลือกองค์ประกอบของแถวที่สอง, สาม และคอลัมน์แรก, สาม . นอกจากนี้เรายังแสดงผู้เยาว์ซึ่งได้รับจากเมทริกซ์ การลบแถวที่สองและคอลัมน์ที่สาม . ให้เราอธิบายโครงสร้างของผู้เยาว์เหล่านี้: และ

คำนิยาม.

นอกจากนี้พีชคณิตองค์ประกอบของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมเรียกว่ารอง (น-1)นคำสั่งซึ่งได้จากเมทริกซ์ ก, ลบองค์ประกอบของมัน ฉัน-thเส้นและ จ-ทคอลัมน์คูณด้วย .

ส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบจะแสดงเป็น ดังนั้น, .

ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ องค์ประกอบเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบคือ

ประการที่สอง เราจะต้องมีคุณสมบัติสองประการของดีเทอร์มีแนนต์ ซึ่งเราได้กล่าวถึงในหัวข้อนี้ การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์:

ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติเหล่านี้ของดีเทอร์มิแนนต์ คำจำกัดความ การดำเนินการคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนและแนวคิดของเมทริกซ์ผกผัน เรามีความเท่าเทียมกัน โดยที่เมทริกซ์ทรานสโพสที่มีองค์ประกอบเป็นส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิต

เมทริกซ์ เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับเมทริกซ์ กตั้งแต่ความเท่าเทียมกัน . มาแสดงกันเถอะ

มาแต่งกันเถอะ อัลกอริทึมเมทริกซ์ผกผันโดยใช้ความเท่าเทียมกัน .

ลองวิเคราะห์อัลกอริทึมสำหรับค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

กำหนดเมทริกซ์ . ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

สารละลาย.

คำนวณดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์ กขยายตามองค์ประกอบของคอลัมน์ที่สาม:

ดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น เมทริกซ์ กพลิกกลับได้

มาหาเมทริกซ์จากการบวกพีชคณิตกัน:

นั่นเป็นเหตุผล

มาทำการย้ายเมทริกซ์จากการบวกพีชคณิตกัน:

ตอนนี้เราพบเมทริกซ์ผกผันเป็น :

ตรวจสอบผลลัพธ์:

ความเท่าเทียมกัน ถูกดำเนินการดังนั้นจึงพบเมทริกซ์ผกผันอย่างถูกต้อง

คุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผัน

แนวคิดของเมทริกซ์ผกผัน ความเท่าเทียมกัน คำจำกัดความของการดำเนินการบนเมทริกซ์ และคุณสมบัติของดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ทำให้สามารถยืนยันสิ่งต่อไปนี้ได้ คุณสมบัติเมทริกซ์ผกผัน:

การหาองค์ประกอบของเมทริกซ์ผกผันโดยการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน

พิจารณาวิธีอื่นในการหาเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์กำลังสอง กคำสั่ง นบน น.

วิธีนี้ขึ้นอยู่กับวิธีแก้ปัญหา นระบบสมการเชิงพีชคณิตเอกพันธ์เชิงเส้นด้วย นไม่ทราบ ตัวแปรที่ไม่รู้จักในระบบสมการเหล่านี้คือองค์ประกอบของเมทริกซ์ผกผัน

ความคิดนั้นง่ายมาก แสดงเมทริกซ์ผกผันเป็น เอ็กซ์, นั่นคือ, . เนื่องจากตามนิยามของเมทริกซ์ผกผัน แล้ว

เราได้รับองค์ประกอบที่สอดคล้องกันตามคอลัมน์ นระบบสมการเชิงเส้น

เราแก้ปัญหาด้วยวิธีใดก็ได้และสร้างเมทริกซ์ผกผันจากค่าที่พบ

ลองวิเคราะห์วิธีนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

กำหนดเมทริกซ์ . ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

สารละลาย.

ยอมรับ . ความเท่าเทียมกันทำให้เรามีสามระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน:

เราจะไม่อธิบายวิธีแก้ปัญหาของระบบเหล่านี้ หากจำเป็น โปรดดูส่วนนี้ คำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น.

จากระบบสมการระบบแรก เรามี , จากระบบสมการที่สอง - , จากระบบสมการที่สาม - . ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันที่ต้องการจึงมีรูปแบบ . เราขอแนะนำให้ตรวจสอบเพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ถูกต้อง

สรุป.

เราได้พิจารณาแนวคิดของเมทริกซ์ผกผัน คุณสมบัติและวิธีการค้นหาสามวิธี

ตัวอย่างของ Inverse Matrix Solutions

แบบฝึกหัด 1.แก้ SLAE โดยใช้วิธีเมทริกซ์ผกผัน 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

เริ่มฟอร์ม

จบแบบ

สารละลาย. ลองเขียนเมทริกซ์ในรูปแบบ: เวกเตอร์ B: B T = (1,2,3,4) ดีเทอร์มิแนนต์หลัก รองสำหรับ (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 เล็กน้อยสำหรับ (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 เล็กน้อย สำหรับ (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 รองสำหรับ (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 ดีเทอร์มิแนนต์รอง ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

เมทริกซ์ทรานสโพสส่วนเติมเต็มเกี่ยวกับพีชคณิต ∆ 1.1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4 )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4.3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 เมทริกซ์ผกผัน ผลลัพธ์เวกเตอร์ X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0.33.1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

ดูสิ่งนี้ด้วย การแก้ปัญหา SLAE โดยวิธีเมทริกซ์ผกผันออนไลน์ ในการทำเช่นนี้ ป้อนข้อมูลของคุณและรับการตัดสินใจพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด

ภารกิจที่ 2. เขียนระบบสมการในรูปเมทริกซ์และแก้สมการโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน ตรวจสอบโซลูชันที่ได้รับ สารละลาย:xml:xls

ตัวอย่างที่ 2. เขียนระบบสมการในรูปเมทริกซ์และแก้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน สารละลาย:xml:xls

ตัวอย่าง. ให้ระบบของสมการเชิงเส้นสามสมการที่มีสามตัวแปร จำเป็น: 1) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ สูตรของแครมเมอร์; 2) เขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์และแก้ปัญหาโดยใช้แคลคูลัสเมทริกซ์ หลักเกณฑ์. หลังจากแก้ไขด้วยวิธีของ Cramer แล้ว ให้หาปุ่ม "Inverse matrix solution for initial data" คุณจะได้รับการตัดสินใจที่เหมาะสม จะได้ไม่ต้องกรอกข้อมูลซ้ำ สารละลาย. แสดงโดย A - เมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จัก X - เมทริกซ์ของคอลัมน์ที่ไม่รู้จัก B - คอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกฟรี:

เวกเตอร์ B: B T =(4,-3,-3) จากสัญลักษณ์เหล่านี้ ระบบสมการนี้ใช้รูปแบบเมทริกซ์ต่อไปนี้: А*Х = B ถ้าเมทริกซ์ А ไม่เป็นเอกพจน์ (ดีเทอร์มีแนนต์ไม่ใช่ศูนย์ แสดงว่ามี เมทริกซ์ผกผัน А -1 คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย A -1 เราจะได้: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่า สัญกรณ์เมทริกซ์ของคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น. ในการหาคำตอบของระบบสมการ จำเป็นต้องคำนวณเมทริกซ์ผกผัน A -1 . ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาหากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A ไม่เป็นศูนย์ มาหาปัจจัยหลักกัน ∆=-1 (-2 (-1)-1 1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 ดังนั้น ดีเทอร์มีแนนต์คือ 14 ≠ 0 ดังนั้นเราจึงแก้ปัญหาต่อไป ในการทำเช่นนี้ เราจะหาเมทริกซ์ผกผันผ่านการบวกพีชคณิต ให้เรามีเมทริกซ์ที่ไม่เอกพจน์ A:

เราคำนวณการบวกเชิงพีชคณิต

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28/14 =2 การตรวจสอบ. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 เอกสาร:xml:xls คำตอบ: -1,1,2.

ให้มีเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่ n

เรียกว่าเมทริกซ์ A -1 เมทริกซ์ผกผันเกี่ยวกับเมทริกซ์ A ถ้า A * A -1 = E โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่ n

เมทริกซ์เอกลักษณ์- เช่น เมทริกซ์สี่เหลี่ยมซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดตามแนวทแยงหลักผ่านจากมุมซ้ายบนไปยังมุมล่างขวาเป็นองค์ประกอบและส่วนที่เหลือเป็นศูนย์เช่น:

เมทริกซ์ผกผันอาจมีอยู่ สำหรับเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้นเหล่านั้น. สำหรับเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน

ทฤษฎีบทเงื่อนไขการดำรงอยู่ของเมทริกซ์ผกผัน

เพื่อให้เมทริกซ์มีเมทริกซ์ผกผัน มีความจำเป็นและเพียงพอที่เมทริกซ์จะไม่เสื่อมสภาพ

เรียกว่าเมทริกซ์ A = (A1, A2,...A n) ไม่เสื่อมถ้าเวกเตอร์คอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้น จำนวนเวกเตอร์คอลัมน์อิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์เรียกว่า อันดับของเมทริกซ์ ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่าเพื่อให้เมทริกซ์ผกผันมีอยู่มีความจำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับมิติของมันนั่นคือ r = น.

อัลกอริทึมสำหรับหาเมทริกซ์ผกผัน

1. เขียนเมทริกซ์ A ลงในตารางเพื่อแก้ระบบสมการโดยวิธี Gauss และทางด้านขวา (แทนที่ส่วนที่ถูกต้องของสมการ) กำหนดเมทริกซ์ E ให้กับมัน
2. การใช้การแปลงแบบจอร์แดน นำเมทริกซ์ A ไปยังเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยคอลัมน์เดียว ในกรณีนี้จำเป็นต้องแปลงเมทริกซ์ E พร้อมกัน
3. หากจำเป็น ให้จัดเรียงแถว (สมการ) ของตารางสุดท้ายใหม่ เพื่อให้ได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ E ภายใต้เมทริกซ์ A ของตารางเดิม
4. เขียนเมทริกซ์ผกผัน A -1 ซึ่งอยู่ในตารางสุดท้ายใต้เมทริกซ์ E ของตารางเดิม

สำหรับเมทริกซ์ A ให้หาเมทริกซ์ผกผัน A -1

วิธีแก้ไข: เราเขียนเมทริกซ์ A และทางด้านขวาเรากำหนดเมทริกซ์เอกลักษณ์ E โดยใช้การแปลงของจอร์แดน เราลดเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ E การคำนวณแสดงในตาราง 31.1

ตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณโดยการคูณเมทริกซ์ A ดั้งเดิมและเมทริกซ์ผกผัน A -1

จากการคูณเมทริกซ์จะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้นการคำนวณจึงถูกต้อง

คำตอบ:

คำตอบของสมการเมทริกซ์

สมการเมทริกซ์สามารถมีลักษณะดังนี้:

AX = B, XA = B, AXB = C,

โดยที่ A, B, C จะได้รับเมทริกซ์ X คือเมทริกซ์ที่ต้องการ

แก้สมการเมทริกซ์ได้โดยการคูณสมการด้วยเมทริกซ์ผกผัน

ตัวอย่างเช่น หากต้องการหาเมทริกซ์จากสมการ คุณต้องคูณสมการนี้ทางด้านซ้าย

ดังนั้น ในการหาคำตอบของสมการ คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผันแล้วคูณด้วยเมทริกซ์ทางด้านขวาของสมการ

สมการอื่นๆ จะถูกแก้ไขในทำนองเดียวกัน

แก้สมการ AX = B ถ้า

สารละลาย: เนื่องจากอินเวอร์สของเมทริกซ์เท่ากัน (ดูตัวอย่างที่ 1)

วิธีเมทริกซ์ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์

พวกเขายังพบแอปพลิเคชันร่วมกับคนอื่นๆ เมทริกซ์เมธอด . วิธีการเหล่านี้ขึ้นอยู่กับพีชคณิตเชิงเส้นและเวกเตอร์-เมทริกซ์ วิธีการดังกล่าวใช้เพื่อวัตถุประสงค์ในการวิเคราะห์ปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจที่ซับซ้อนและหลายมิติ บ่อยครั้งที่วิธีการเหล่านี้ใช้เมื่อจำเป็นต้องเปรียบเทียบการทำงานขององค์กรและแผนกโครงสร้าง

ในกระบวนการใช้วิธีการวิเคราะห์เมทริกซ์สามารถแยกแยะได้หลายขั้นตอน

ในระยะแรกการก่อตัวของระบบตัวบ่งชี้ทางเศรษฐกิจนั้นดำเนินการและบนพื้นฐานของการรวบรวมเมทริกซ์ของข้อมูลเริ่มต้นซึ่งเป็นตารางที่แสดงหมายเลขระบบในแต่ละบรรทัด (ผม = 1,2,....,n)และตามกราฟแนวตั้ง - จำนวนตัวบ่งชี้ (ญ = 1,2,....,ม).

ในขั้นตอนที่สองสำหรับแต่ละคอลัมน์แนวตั้งจะมีการเปิดเผยค่าที่ใหญ่ที่สุดของตัวบ่งชี้ซึ่งใช้เป็นหน่วย

หลังจากนั้น จำนวนเงินทั้งหมดที่แสดงในคอลัมน์นี้จะถูกหารด้วย ค่าสูงสุดและเมทริกซ์ถูกสร้างขึ้น ค่าสัมประสิทธิ์มาตรฐาน.

ในขั้นตอนที่สามส่วนประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จะถูกยกกำลังสอง หากมีความสำคัญต่างกันตัวบ่งชี้แต่ละตัวของเมทริกซ์จะได้รับค่าสัมประสิทธิ์การถ่วงน้ำหนักที่แน่นอน เค. มูลค่าของหลังถูกกำหนดโดยผู้เชี่ยวชาญ

ในครั้งสุดท้าย ขั้นตอนที่สี่พบค่านิยมการให้คะแนน อาร์เจจัดกลุ่มตามลำดับการเพิ่มหรือลด

ควรใช้เมธอดเมทริกซ์ข้างต้น เช่น เมื่อใด การวิเคราะห์เปรียบเทียบหลากหลาย โครงการลงทุนเช่นเดียวกับในการประเมินตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจอื่น ๆ ขององค์กร