วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีของแครมเมอร์ แก้ระบบสมการด้วยวิธีแครมเมอร์ เกาส์ และเมทริกซ์ผกผัน

วิธีการของแครมเมอร์หรือที่เรียกว่ากฎของแครมเมอร์เป็นวิธีการค้นหาปริมาณที่ไม่รู้จักจากระบบสมการ ใช้ได้เฉพาะเมื่อจำนวนค่าที่คุณต้องการเทียบเท่ากับจำนวน สมการพีชคณิตในระบบ นั่นคือ เมทริกซ์หลักที่เกิดจากระบบจะต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและไม่มีแถวเป็นศูนย์ และถ้าดีเทอร์มีแนนต์ต้องไม่เป็นศูนย์

ทฤษฎีบท 1

ทฤษฎีบทของแครมเมอร์หากตัวกำหนดหลัก $D$ ของเมทริกซ์หลักซึ่งรวบรวมบนพื้นฐานของสัมประสิทธิ์ของสมการไม่เท่ากับศูนย์ แสดงว่าระบบสมการนั้นสอดคล้องกัน และมีคำตอบที่ไม่เหมือนใคร วิธีแก้ปัญหาของระบบดังกล่าวคำนวณผ่านสูตรแครมเมอร์สำหรับการแก้ปัญหาระบบ สมการเชิงเส้น: $x_i = \frac(D_i)(D)$

วิธีแครมเมอร์คืออะไร

สาระสำคัญของวิธี Cramer มีดังนี้:

1. ในการหาทางออกให้กับระบบด้วยวิธีของ Cramer ก่อนอื่น เราจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์หลักของเมทริกซ์ $D$ เมื่อดีเทอร์มีแนนต์ที่คำนวณได้ของเมทริกซ์หลักเมื่อคำนวณโดยวิธี Cramer มีค่าเท่ากับศูนย์ ระบบจะไม่มีวิธีแก้ปัญหาเดียวหรือมีโซลูชันจำนวนไม่สิ้นสุด ในกรณีนี้ หากต้องการหาคำตอบทั่วไปหรือคำตอบพื้นฐานสำหรับระบบ ขอแนะนำให้ใช้วิธีเกาส์เซียน
2. จากนั้นคุณต้องแทนที่คอลัมน์สุดท้าย เมทริกซ์หลักในคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ และคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ $D_1$
3. ทำซ้ำเช่นเดียวกันสำหรับทุกคอลัมน์ รับดีเทอร์มิแนนต์จาก $D_1$ ถึง $D_n$ โดยที่ $n$ คือจำนวนของคอลัมน์ขวาสุด
4. หลังจากพบดีเทอร์มิแนนต์ทั้งหมดของ $D_1$...$D_n$ แล้ว ตัวแปรที่ไม่รู้จักสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร $x_i = \frac(D_i)(D)$

เทคนิคการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

ในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีขนาดมากกว่า 2 คูณ 2 สามารถใช้หลายวิธีได้:

• กฎของสามเหลี่ยมหรือกฎของ Sarrus คล้ายกับกฎเดียวกัน สาระสำคัญของวิธีสามเหลี่ยมคือเมื่อคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของผลคูณของตัวเลขทั้งหมดที่เชื่อมต่อในรูปด้วยเส้นสีแดงทางด้านขวา พวกมันจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายบวก และตัวเลขทั้งหมดเชื่อมต่อในลักษณะเดียวกันในรูปบน ทางซ้าย - มีเครื่องหมายลบ กฎทั้งสองเหมาะสำหรับเมทริกซ์ 3 x 3 ในกรณีของกฎ Sarrus ตัวเมทริกซ์จะถูกเขียนใหม่ก่อน และถัดไป คอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สองจะถูกเขียนใหม่อีกครั้ง เส้นทแยงมุมถูกวาดผ่านเมทริกซ์และคอลัมน์เพิ่มเติมเหล่านี้ สมาชิกเมทริกซ์ที่วางอยู่บนเส้นทแยงมุมหลักหรือขนานกับมันเขียนด้วยเครื่องหมายบวก และองค์ประกอบที่วางอยู่บนเส้นทแยงมุมรองหรือขนานกับมันถูกเขียนด้วยเครื่องหมายลบ

รูปที่ 1. กฎสามเหลี่ยมสำหรับคำนวณดีเทอร์มีแนนต์สำหรับวิธีแครมเมอร์

• ด้วยวิธีที่เรียกว่า Gaussian method วิธีนี้บางครั้งเรียกว่าการลดลงของดีเทอร์มิแนนต์ ในกรณีนี้ เมทริกซ์จะถูกแปลงและนำมาเป็นรูปสามเหลี่ยม จากนั้นจึงคูณตัวเลขทั้งหมดบนเส้นทแยงมุมหลัก ควรจำไว้ว่าในการค้นหาดีเทอร์มีแนนต์ เราไม่สามารถคูณหรือหารแถวหรือคอลัมน์ด้วยตัวเลขโดยไม่นำออกมาเป็นตัวประกอบหรือตัวหาร ในกรณีของการค้นหาดีเทอร์มีแนนต์ เป็นไปได้เพียงการลบและเพิ่มแถวและคอลัมน์ให้กันและกัน โดยก่อนหน้านี้ต้องคูณแถวที่ลบด้วยตัวประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ นอกจากนี้ ในการเรียงสับเปลี่ยนแถวหรือคอลัมน์ของเมทริกซ์แต่ละครั้ง เราควรระลึกไว้เสมอว่าจำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมายสุดท้ายของเมทริกซ์
• เมื่อแก้ Cramer's SLAE ด้วยค่าไม่ทราบค่า 4 ค่า วิธีที่ดีที่สุดคือใช้วิธี Gaussian เพื่อค้นหาและค้นหาตัวกำหนดหรือกำหนดตัวกำหนดผ่านการค้นหาผู้เยาว์

การแก้ระบบสมการด้วยวิธีของแครมเมอร์

เราใช้วิธีแครมเมอร์สำหรับระบบสมการ 2 สมการและปริมาณที่ต้องการ 2 ปริมาณ:

$\begin(กรณี) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(กรณี)$

ขอแสดงในรูปแบบขยายเพื่อความสะดวก:

$A = \begin(อาร์เรย์)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(อาร์เรย์)$

ค้นหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลัก หรือเรียกอีกอย่างว่าดีเทอร์มิแนนต์หลักของระบบ:

$D = \begin(อาร์เรย์)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(อาร์เรย์) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

หากดีเทอร์มีแนนต์หลักไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเพื่อแก้ปัญหาคราบด้วยวิธีแครมเมอร์ จำเป็นต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อีกสองสามตัวจากเมทริกซ์สองตัวที่มีคอลัมน์ของเมทริกซ์หลักแทนที่ด้วยแถวของเงื่อนไขอิสระ:

$D_1 = \begin(อาร์เรย์)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(อาร์เรย์) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(อาร์เรย์)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(อาร์เรย์) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

ตอนนี้มาหาสิ่งที่ไม่รู้จัก $x_1$ และ $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

ตัวอย่างที่ 1

วิธีการของ Cramer ในการแก้ SLAE ด้วยเมทริกซ์หลักลำดับที่ 3 (3 x 3) และเมทริกซ์ที่ต้องการสามรายการ

แก้ระบบสมการ:

$\begin(กรณี) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end(กรณี)$

เราคำนวณปัจจัยหลักของเมทริกซ์โดยใช้กฎข้างต้นภายใต้วรรค 1:

$D = \begin(อาร์เรย์)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(อาร์เรย์) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - $64

และตอนนี้ปัจจัยอีกสามประการ:

$D_1 = \begin(อาร์เรย์)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(อาร์เรย์) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 ดอลลาร์

$D_2 = \begin(อาร์เรย์)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(อาร์เรย์) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 ดอลลาร์

$D_3 = \begin(อาร์เรย์)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(อาร์เรย์) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 \u003d 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 \u003d - $ 60

มาหาค่าที่ต้องการกัน:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

ในส่วนแรก เราได้พิจารณาเนื้อหาทางทฤษฎี วิธีการแทนที่ ตลอดจนวิธีการเพิ่มสมการระบบแบบเทอมต่อเทอม สำหรับทุกคนที่มาที่ไซต์ผ่านหน้านี้ ฉันขอแนะนำให้คุณอ่านส่วนแรก บางที ผู้เยี่ยมชมบางคนอาจพบว่าเนื้อหานั้นง่ายเกินไป แต่ในระหว่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ฉันได้แสดงความคิดเห็นและข้อสรุปที่สำคัญจำนวนมากเกี่ยวกับการแก้ปัญหา ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไป.

และตอนนี้เราจะวิเคราะห์กฎของแครมเมอร์ เช่นเดียวกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน (เมทริกซ์เมทริกซ์) เนื้อหาทั้งหมดนำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียด และชัดเจน ผู้อ่านเกือบทั้งหมดจะสามารถเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการข้างต้น

อันดับแรก เราจะพิจารณากฎของแครมเมอร์โดยละเอียดสำหรับระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในสองตัวแปรที่ไม่รู้จัก เพื่ออะไร? - หลังจากนั้น ระบบที่ง่ายที่สุดแก้ได้ด้วยวิธีโรงเรียนบวกเทอม!

ความจริงก็คือแม้ว่าบางครั้ง แต่ก็มีงานดังกล่าว - เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวโดยใช้สูตรของแครมเมอร์ ประการที่สอง ตัวอย่างที่ง่ายกว่าจะช่วยให้คุณเข้าใจวิธีใช้กฎของแครมเมอร์สำหรับกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น นั่นคือระบบสมการสามสมการที่มีสามสมการ

นอกจากนี้ยังมีระบบสมการเชิงเส้นที่มีสองตัวแปรซึ่งแนะนำให้แก้ตามกฎของแครมเมอร์!

พิจารณาระบบสมการ

ในขั้นตอนแรก เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ มันถูกเรียก ตัวกำหนดหลักของระบบ.

วิธีเกาส์

ถ้า แล้วระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อหาราก เราต้องคำนวณหาปัจจัยอีกสองตัว:
และ

ในทางปฏิบัติ ปัจจัยข้างต้นสามารถแสดงแทนได้ อักษรละติน.

รากของสมการพบได้จากสูตร:
,

ตัวอย่างที่ 7

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

สารละลาย: เราเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของสมการมีขนาดค่อนข้างใหญ่ทางด้านขวามี ทศนิยมด้วยเครื่องหมายจุลภาค เครื่องหมายจุลภาคเป็นแขกที่ค่อนข้างหายากในการปฏิบัติงานทางคณิตศาสตร์ ฉันนำระบบนี้มาจากปัญหาทางเศรษฐมิติ

จะแก้ระบบดังกล่าวได้อย่างไร? คุณสามารถลองแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่งได้ แต่ในกรณีนี้ คุณจะได้เศษส่วนแฟนซีที่น่ากลัวอย่างแน่นอน ซึ่งใช้งานไม่สะดวกอย่างยิ่ง และการออกแบบโซลูชันจะดูแย่มาก คุณสามารถคูณสมการที่สองด้วย 6 และลบพจน์ทีละพจน์ แต่เศษส่วนที่เหมือนกันจะปรากฏที่นี่

จะทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ สูตรของ Cramer จะเข้ามาช่วย

;

;

คำตอบ: ,

รากทั้งสองมีหางที่ไม่มีที่สิ้นสุดและพบได้โดยประมาณ ซึ่งค่อนข้างยอมรับได้ (และแม้แต่ธรรมดา) สำหรับปัญหาทางเศรษฐมิติ

ไม่จำเป็นต้องแสดงความคิดเห็นที่นี่เนื่องจากงานได้รับการแก้ไขตามสูตรสำเร็จรูปอย่างไรก็ตามมีข้อแม้อยู่ประการหนึ่ง เมื่อใช้วิธีนี้ ภาคบังคับส่วนของการมอบหมายคือส่วนต่อไปนี้: "ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ". มิฉะนั้น ผู้วิจารณ์อาจลงโทษคุณที่ไม่เคารพทฤษฎีบทของแครมเมอร์

การตรวจสอบจะไม่ฟุ่มเฟือยซึ่งสะดวกในการใช้เครื่องคิดเลข: เราแทนที่ค่าโดยประมาณทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ เป็นผลให้มีข้อผิดพลาดเล็กน้อยควรได้รับตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวา

ตัวอย่างที่ 8

แสดงคำตอบของคุณเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมธรรมดา ตรวจสอบ

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ (ตัวอย่างการออกแบบที่ดีและคำตอบท้ายบทเรียน)

เรามาพิจารณากฎของแครมเมอร์สำหรับระบบสามสมการที่มีสามค่าที่ไม่รู้จัก:

เราพบปัจจัยหลักของระบบ:

ถ้า แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่จำกัดหรือไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ในกรณีนี้ กฎของแครมเมอร์จะไม่ช่วย คุณต้องใช้วิธีเกาส์

ถ้า แล้วระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราต้องคำนวณปัจจัยอีกสามตัว:
, ,

และสุดท้าย คำตอบจะคำนวณโดยสูตร:

อย่างที่คุณเห็น โดยพื้นฐานแล้วกรณี "สามคูณสาม" นั้นไม่แตกต่างจากกรณี "สองต่อสอง" คอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระจะ "เดิน" ตามลำดับจากซ้ายไปขวาตามคอลัมน์ของปัจจัยหลัก

ตัวอย่างที่ 9

แก้ไขระบบโดยใช้สูตรของ Cramer

สารละลาย: มาแก้ระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์กันเถอะ

ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

คำตอบ: .

ที่จริงแล้วไม่มีอะไรพิเศษที่จะแสดงความคิดเห็นที่นี่อีกครั้งเนื่องจากการตัดสินใจทำตามสูตรสำเร็จรูป แต่มีบันทึกสองสามข้อ

มันเกิดขึ้นจากการคำนวณเพื่อให้ได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ "ไม่ดี" ตัวอย่างเช่น: .
ฉันขอแนะนำอัลกอริทึม "การรักษา" ต่อไปนี้ หากไม่มีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ เราจะทำดังนี้

1) อาจมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ ทันทีที่คุณพบกับช็อตที่ “แย่” คุณต้องตรวจสอบทันทีว่า เป็นเงื่อนไขที่เขียนใหม่ถูกต้อง. หากเงื่อนไขถูกเขียนใหม่โดยไม่มีข้อผิดพลาด คุณต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ใหม่โดยใช้การขยายในแถว (คอลัมน์) อื่น

2) หากไม่พบข้อผิดพลาดอันเป็นผลมาจากการตรวจสอบ เป็นไปได้มากว่ามีการพิมพ์ผิดในเงื่อนไขของงานที่มอบหมาย ในกรณีนี้ให้ใจเย็นและระมัดระวังแก้ปัญหาจนจบ จากนั้น ตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้ตรวจสอบและวาดขึ้นบนสำเนาที่สะอาดหลังจากการตัดสินใจ แน่นอน การตรวจสอบคำตอบที่เป็นเศษส่วนเป็นงานที่ไม่น่าพอใจ แต่มันจะเป็นข้อโต้แย้งที่ไม่น่าไว้วางใจสำหรับครูที่ชอบใส่เครื่องหมายลบสำหรับสิ่งแย่ๆ เช่น วิธีจัดการกับเศษส่วนมีรายละเอียดอยู่ในคำตอบสำหรับตัวอย่างที่ 8

หากคุณมีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ใช้โปรแกรมอัตโนมัติเพื่อตรวจสอบ ซึ่งสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีในตอนต้นของบทเรียน อย่างไรก็ตาม การใช้โปรแกรมทันทีจะเป็นประโยชน์มากที่สุด (ก่อนที่จะเริ่มการแก้ปัญหา) คุณจะเห็นขั้นตอนกลางที่คุณทำผิดพลาดทันที! เครื่องคิดเลขเครื่องเดียวกันจะคำนวณวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยอัตโนมัติ วิธีเมทริกซ์.

ข้อสังเกตประการที่สอง ในบางครั้ง มีระบบสมการที่ตัวแปรบางตัวขาดหายไป เช่น:

ในสมการแรกไม่มีตัวแปร ในสมการที่สองไม่มีตัวแปร ในกรณีเช่นนี้ สิ่งสำคัญคือต้องเขียนปัจจัยหลักอย่างถูกต้องและระมัดระวัง:
- เลขศูนย์จะแทนที่ตัวแปรที่ขาดหายไป
โดยวิธีการเปิดดีเทอร์มิแนนต์ที่มีศูนย์ในแถว (คอลัมน์) ที่ศูนย์ตั้งอยู่นั้นมีเหตุผล เนื่องจากมีการคำนวณน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด

ตัวอย่างที่ 10

แก้ไขระบบโดยใช้สูตรของ Cramer

นี่คือตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาด้วยตนเอง (จบตัวอย่างและเฉลยท้ายบทเรียน)

สำหรับกรณีของระบบ 4 สมการที่มี 4 ตัวแปร สูตรของ Cramer เขียนขึ้นตามหลักการที่คล้ายกัน คุณสามารถดูตัวอย่างจริงได้ในบทเรียนเรื่องคุณสมบัติตัวกำหนด การลดลำดับของดีเทอร์มีแนนต์ - ดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 4 ห้าตัวสามารถแก้ไขได้ แม้ว่างานนี้จะทำให้นึกถึงรองเท้าของอาจารย์ที่หน้าอกของนักเรียนที่โชคดีอยู่แล้ว

การแก้ปัญหาของระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

วิธีเมทริกซ์ผกผันเป็นกรณีพิเศษ สมการเมทริกซ์(ดูตัวอย่างหมายเลข 3 ของบทเรียนที่ระบุ)

หากต้องการศึกษาส่วนนี้ คุณต้องสามารถขยายดีเทอร์มิแนนต์ ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน และทำการคูณเมทริกซ์ได้ ลิงก์ที่เกี่ยวข้องจะได้รับเมื่อคำอธิบายดำเนินไป

ตัวอย่างที่ 11

แก้ระบบด้วยวิธีเมทริกซ์

สารละลาย: เราเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์:
, ที่ไหน

โปรดดูระบบสมการและเมทริกซ์ ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจหลักการที่เราเขียนองค์ประกอบในเมทริกซ์ ความคิดเห็นเดียว: ถ้าตัวแปรบางตัวหายไปในสมการ เลขศูนย์จะต้องใส่ในตำแหน่งที่เกี่ยวข้องกันในเมทริกซ์

เราพบเมทริกซ์ผกผันตามสูตร:
, เมทริกซ์ทรานสโพสของการเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์อยู่ที่ไหน

ก่อนอื่นมาจัดการกับปัจจัย:

ที่นี่ดีเทอร์มีแนนต์ถูกขยายโดยบรรทัดแรก

ความสนใจ! ถ้า แสดงว่าไม่มีเมทริกซ์ผกผัน และเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ระบบด้วยวิธีเมทริกซ์ ในกรณีนี้ ระบบจะแก้ไขโดยการกำจัดสิ่งแปลกปลอม (วิธีเกาส์)

ตอนนี้คุณต้องคำนวณผู้เยาว์ 9 คนและเขียนลงในเมทริกซ์ของผู้เยาว์

อ้างอิง:การทราบความหมายของตัวห้อยคู่ในพีชคณิตเชิงเส้นจะเป็นประโยชน์ ตัวเลขตัวแรกคือหมายเลขบรรทัดที่ องค์ประกอบที่กำหนด. ตัวเลขที่สองคือหมายเลขของคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบอยู่:

นั่นคือ ตัวห้อยคู่บ่งชี้ว่าองค์ประกอบอยู่ในแถวแรก คอลัมน์ที่สาม ในขณะที่ ตัวอย่างเช่น องค์ประกอบอยู่ในแถวที่ 3 คอลัมน์ที่ 2

ให้ระบบสมการเชิงเส้นมีสมการมากเท่ากับจำนวนตัวแปรอิสระ เช่น มีแบบฟอร์ม

ระบบสมการเชิงเส้นดังกล่าวเรียกว่ากำลังสอง ดีเทอร์มีแนนต์ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรอิสระของระบบ (1.5) เรียกว่า ดีเทอร์มิแนนต์หลักของระบบ เราจะติดป้ายไว้ อักษรกรีกง. ดังนั้น

. (1.6)

หากในปัจจัยหลักโดยพลการ ( เจ th) แทนที่ด้วยคอลัมน์สมาชิกฟรีของระบบ (1.5) แล้วเราจะได้มากขึ้น นปัจจัยเสริม:

(เจ = 1, 2, …, น). (1.7)

กฎของแครมเมอร์การแก้ระบบสมการเชิงเส้นกำลังสองมีดังนี้ ถ้าดีเทอร์มิแนนต์หลัก D ของระบบ (1.5) ไม่ใช่ศูนย์ แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งหาได้จากสูตร:

(1.8)

ตัวอย่าง 1.5แก้ระบบสมการด้วยวิธีของแครมเมอร์

.

ให้เราคำนวณปัจจัยหลักของระบบ:

ตั้งแต่ D¹0 ระบบมีโซลูชันเฉพาะที่สามารถพบได้โดยใช้สูตร (1.8):

ดังนั้น,

การกระทำของเมทริกซ์

1. การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนการดำเนินการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขมีดังต่อไปนี้

2. ในการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข คุณต้องคูณองค์ประกอบทั้งหมดด้วยตัวเลขนี้ นั่นคือ

. (1.9)

ตัวอย่าง 1.6 .

การบวกเมทริกซ์

การดำเนินการนี้ถูกนำมาใช้สำหรับเมทริกซ์ที่มีลำดับเดียวกันเท่านั้น

ในการเพิ่มเมทริกซ์สองรายการ จำเป็นต้องเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์อื่นเข้ากับองค์ประกอบของเมทริกซ์หนึ่ง:

(1.10)
การดำเนินการของการบวกเมทริกซ์มีคุณสมบัติของการเชื่อมโยงและการสลับที่

ตัวอย่าง 1.7 .

การคูณเมทริกซ์

ถ้าจำนวนคอลัมน์เมทริกซ์ กตรงกับจำนวนแถวเมทริกซ์ ในจากนั้นสำหรับเมทริกซ์ดังกล่าวจะมีการแนะนำการดำเนินการคูณ:

2

ดังนั้น เมื่อคูณเมทริกซ์ กขนาด ม´ นเป็นเมทริกซ์ ในขนาด น´ เคเราได้เมทริกซ์ กับขนาด ม´ เค. ในกรณีนี้ องค์ประกอบของเมทริกซ์ กับคำนวณตามสูตรต่อไปนี้:

ปัญหา 1.8.หากเป็นไปได้ ให้หาผลคูณของเมทริกซ์ เอบีและ ศศ.บ:

สารละลาย. 1) เพื่อหางานทำ เอบีคุณต้องมีแถวเมทริกซ์ กคูณด้วยคอลัมน์เมทริกซ์ ข:

2) งานศิลปะ ศศ.บไม่มีอยู่ เพราะจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ ขไม่ตรงกับจำนวนแถวเมทริกซ์ ก.

เมทริกซ์ผกผัน การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเมทริกซ์

เมทริกซ์ เอ- 1 เรียกว่าอินเวอร์สของเมทริกซ์กำลังสอง กหากความเท่าเทียมกันถือ:

ผ่านที่ไหน ฉันหมายถึงเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับเดียวกันกับเมทริกซ์ ก:

.

เพื่อให้เมทริกซ์จัตุรัสมีการผกผัน จำเป็นและเพียงพอที่ดีเทอร์มิแนนต์จะต้องไม่เป็นศูนย์ เมทริกซ์ผกผันพบโดยสูตร:

, (1.13)

ที่ไหน อิจ- การเพิ่มเกี่ยวกับพีชคณิตให้กับองค์ประกอบ ไอจเมทริกซ์ ก(โปรดทราบว่าพีชคณิตเพิ่มแถวของเมทริกซ์ กถูกจัดเรียงในเมทริกซ์ผกผันในรูปแบบของคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน)

ตัวอย่าง 1.9ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เอ- 1 ถึงเมทริกซ์

.

เราพบเมทริกซ์ผกผันตามสูตร (1.13) ซึ่งสำหรับกรณีนี้ น= 3 ดูเหมือนว่า:

.

มาหาเด็จกัน ก = | ก| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมนั้นแตกต่างจากศูนย์ ดังนั้นเมทริกซ์ผกผันจึงมีอยู่

1) ค้นหาการเพิ่มเกี่ยวกับพีชคณิต อิจ:

เพื่อความสะดวกในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เราได้วางการบวกพีชคณิตในแถวของเมทริกซ์เดิมในคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง

จากการบวกพีชคณิตที่ได้รับ เราสร้างเมทริกซ์ใหม่และหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ det ก. ดังนั้นเราจะได้เมทริกซ์ผกผัน:

ระบบกำลังสองของสมการเชิงเส้นที่มีตัวกำหนดหลักที่ไม่เป็นศูนย์สามารถแก้ไขได้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน สำหรับสิ่งนี้ ระบบ (1.5) เขียนในรูปแบบเมทริกซ์:

ที่ไหน

คูณทั้งสองข้างของความเท่ากัน (1.14) ทางซ้ายด้วย เอ- 1 เราได้รับคำตอบของระบบ:

, ที่ไหน

ดังนั้น ในการหาคำตอบของระบบกำลังสอง คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์หลักของระบบ แล้วคูณเมทริกซ์คอลัมน์ทางด้านขวาด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ

ปัญหา 1.10.แก้ระบบสมการเชิงเส้น

โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

สารละลาย.เราเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์: ,

ที่ไหน เป็นเมทริกซ์หลักของระบบ เป็นคอลัมน์ที่ไม่รู้จัก และเป็นคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ เนื่องจากปัจจัยหลักของระบบ แล้วเมทริกซ์หลักของระบบ กมีเมทริกซ์ผกผัน ก-1 . ในการหาเมทริกซ์ผกผัน ก-1 คำนวณการเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ ก:

จากตัวเลขที่ได้รับ เราสร้างเมทริกซ์ (ยิ่งไปกว่านั้น การเพิ่มพีชคณิตในแถวของเมทริกซ์ กเขียนในคอลัมน์ที่เหมาะสม) และหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ D ดังนั้นเราจึงพบเมทริกซ์ผกผัน:

วิธีแก้ปัญหาของระบบพบได้จากสูตร (1.15):

ดังนั้น,

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยข้อยกเว้นของจอร์แดนธรรมดา

ให้ระบบสมการเชิงเส้นโดยพลการ (ไม่จำเป็นต้องเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส):

(1.16)

จำเป็นต้องหาทางออกให้กับระบบนั่นคือ ชุดของตัวแปรที่ตอบสนองความเท่าเทียมกันทั้งหมดของระบบ (1.16) ใน กรณีทั่วไประบบ (1.16) ไม่สามารถมีโซลูชันเดียวเท่านั้น แต่ยังมีโซลูชันจำนวนไม่ จำกัด มันอาจจะไม่มีทางแก้ไขเลยก็ได้

เมื่อแก้ปัญหาดังกล่าวจะใช้วิธีกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีจากหลักสูตรของโรงเรียนซึ่งเรียกอีกอย่างว่าวิธีการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดา สาระสำคัญของวิธีนี้อยู่ที่ความจริงที่ว่าในสมการหนึ่งของระบบ (1.16) ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งถูกแสดงในรูปของตัวแปรอื่น จากนั้นจึงแทนตัวแปรนี้ลงในสมการอื่นๆ ของระบบ ผลลัพธ์คือระบบที่มีหนึ่งสมการและตัวแปรน้อยกว่าระบบเดิมหนึ่งตัว จำสมการที่แสดงตัวแปร

กระบวนการนี้จะทำซ้ำจนกระทั่งสมการสุดท้ายยังคงอยู่ในระบบ ในกระบวนการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ สมการบางอย่างสามารถเปลี่ยนเป็นตัวตนที่แท้จริงได้ เป็นต้น สมการดังกล่าวไม่รวมอยู่ในระบบเนื่องจากใช้ได้กับค่าตัวแปรใด ๆ ดังนั้นจึงไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหาของระบบ หากในกระบวนการกำจัดสิ่งแปลกปลอมออกไป สมการอย่างน้อยหนึ่งสมการกลายเป็นความเท่าเทียมกันซึ่งไม่สามารถหาค่าใด ๆ ของตัวแปรได้ (เช่น ) เราจะสรุปได้ว่าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา

หากไม่เกิดขึ้นในระหว่างการแก้สมการที่ไม่สอดคล้องกันแสดงว่าหนึ่งในสมการสุดท้ายพบตัวแปรที่เหลืออยู่ในนั้น หากมีเพียงตัวแปรเดียวในสมการสุดท้าย ตัวแปรนั้นจะแสดงเป็นตัวเลข หากตัวแปรอื่นๆ ยังคงอยู่ในสมการสุดท้าย ก็จะถือว่าเป็นพารามิเตอร์ และตัวแปรที่แสดงผ่านตัวแปรเหล่านั้นจะเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์เหล่านี้ จากนั้นจึงทำสิ่งที่เรียกว่า "การย้ายย้อนกลับ" ตัวแปรที่พบจะถูกแทนที่ในสมการที่จดจำล่าสุดและพบตัวแปรที่สอง จากนั้นตัวแปรที่พบสองตัวจะถูกแทนที่ลงในสมการที่ท่องจำสุดท้าย และพบตัวแปรที่สาม ต่อไปเรื่อยๆ จนถึงสมการที่ท่องจำตัวแรก

เป็นผลให้เราได้รับโซลูชันของระบบ วิธีนี้จะเป็นวิธีเดียวหากตัวแปรที่พบเป็นตัวเลข หากตัวแปรแรกพบแล้วตัวแปรอื่นทั้งหมดขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ระบบจะมีโซลูชันจำนวนไม่สิ้นสุด (ชุดพารามิเตอร์แต่ละชุดสอดคล้องกับโซลูชันใหม่) สูตรที่อนุญาตให้ค้นหาวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยขึ้นอยู่กับชุดของพารามิเตอร์เฉพาะเรียกว่าโซลูชันทั่วไปของระบบ

ตัวอย่าง 1.11.

x

หลังจากจำสมการแรกได้แล้ว และนำคำศัพท์ที่คล้ายกันในสมการที่สองและสาม เรามาถึงระบบ:

ด่วน ยจากสมการที่สองแล้วแทนลงในสมการแรก:

จำสมการที่สองและจากสมการแรกที่เราพบ ซี:

เมื่อทำการย้อนกลับเราพบอย่างต่อเนื่อง ยและ ซี. ในการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราจะแทนที่สมการที่จดจำล่าสุด ซึ่งเราพบ ย:

.

จากนั้นเราก็แทนสมการแรกที่จำได้ จากที่เราหามา x:

ปัญหา 1.12.แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้:

. (1.17)

สารละลาย.ให้เราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xแล้วแทนลงในสมการที่สองและสาม:

.

จำสมการแรก

ในระบบนี้ สมการที่หนึ่งและที่สองขัดแย้งกัน แน่นอนการแสดงออก ย เราได้ 14 = 17 ความเท่าเทียมกันนี้ไม่เป็นที่พอใจสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร x, ย, และ ซี. ดังนั้น ระบบ (1.17) ไม่สอดคล้องกัน เช่น ไม่มีทางออก

ผู้อ่านได้รับเชิญให้ตรวจสอบโดยอิสระว่าดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบเดิม (1.17) เท่ากับศูนย์

พิจารณาระบบที่แตกต่างจากระบบ (1.17) โดยเงื่อนไขฟรีเพียงข้อเดียว

ปัญหา 1.13.แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้:

. (1.18)

สารละลาย.ก่อนหน้านี้ เราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xแล้วแทนลงในสมการที่สองและสาม:

.

จำสมการแรก และเรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในสมการที่สองและสาม เรามาถึงระบบ:

แสดง ยจากสมการแรกแล้วแทนลงในสมการที่สอง เราได้รับข้อมูลประจำตัว 14 = 14 ซึ่งไม่ส่งผลกระทบต่อโซลูชันของระบบ ดังนั้นจึงสามารถแยกออกจากระบบได้

ในความเท่าเทียมกันที่จดจำล่าสุด ตัวแปร ซีจะถือเป็นพารามิเตอร์ พวกเราเชื่อว่า . แล้ว

ทดแทน ยและ ซีในความเสมอภาคที่จดจำครั้งแรกและค้นหา x:

.

ดังนั้น ระบบ (1.18) จึงมีชุดคำตอบที่ไม่สิ้นสุด และวิธีแก้ไขใดๆ สามารถพบได้จากสูตร (1.19) โดยการเลือกค่าพารามิเตอร์โดยพลการ ที:

(1.19)
ดังนั้น คำตอบของระบบ เช่น ชุดของตัวแปรต่อไปนี้ (1; 2; 0), (2; 26; 14) ฯลฯ สูตร (1.19) แสดงวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (ใดๆ) ของระบบ (1.18 ).

ในกรณีที่ระบบเดิม (1.16) มีเพียงพอ จำนวนมากสมการและสิ่งที่ไม่รู้จัก วิธีการเฉพาะของการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดานั้นดูยุ่งยาก อย่างไรก็ตามมันไม่ใช่ ก็เพียงพอแล้วที่จะได้รับอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบใหม่ในขั้นตอนเดียว ปริทัศน์และทำให้การแก้ปัญหาเป็นทางการในรูปแบบของตารางจอร์แดนพิเศษ

ให้ระบบของรูปแบบเชิงเส้น (สมการ) ได้รับ:

, (1.20)
ที่ไหน xj- ตัวแปรอิสระ (ที่ต้องการ) ไอจ- ค่าสัมประสิทธิ์คงที่
(ฉัน = 1, 2,…, ม; เจ = 1, 2,…, น). ส่วนที่ถูกต้องของระบบ ฉัน (ฉัน = 1, 2,…, ม) เป็นได้ทั้งตัวแปร (ขึ้นอยู่กับ) และค่าคงที่ จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบนี้โดยกำจัดสิ่งแปลกปลอม

ให้เราพิจารณาการดำเนินการต่อไปนี้ ซึ่งต่อไปนี้จะเรียกว่า "ขั้นตอนหนึ่งของข้อยกเว้นจอร์แดนทั่วไป" จากพลการ ( ร th) ความเท่าเทียมกัน เราแสดงตัวแปรตามอำเภอใจ ( x ส) และแทนที่ในความเสมอภาคอื่นๆ ทั้งหมด แน่นอนว่าเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ อาร์เอส¹ 0 ค่าสัมประสิทธิ์ อาร์เอสเรียกว่าองค์ประกอบการแก้ไข (บางครั้งชี้นำหรือหลัก)

เราจะได้ระบบดังนี้

. (1.21)

จาก สความเท่าเทียมกันของระบบ (1.21) เราจะพบตัวแปรในภายหลัง x ส(หลังจากพบตัวแปรอื่น ๆ ) สบรรทัดที่ th ถูกจดจำและแยกออกจากระบบในภายหลัง ระบบที่เหลือจะมีหนึ่งสมการและตัวแปรอิสระน้อยกว่าระบบเดิมหนึ่งตัว

ให้เราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบผลลัพธ์ (1.21) ในแง่ของค่าสัมประสิทธิ์ของระบบเดิม (1.20) เริ่มต้นด้วย รสมการ ซึ่งหลังจากแสดงตัวแปรแล้ว x สผ่านตัวแปรที่เหลือจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ใหม่ รสมการ th คำนวณโดยสูตรต่อไปนี้:

(1.23)
ให้เราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ใหม่ ข(ฉัน¹ ร) สมการโดยพลการ. ในการทำเช่นนี้ เราแทนที่ตัวแปรที่แสดงไว้ใน (1.22) x สวี ฉันสมการของระบบ (1.20):

หลังจากนำเงื่อนไขที่เหมือนกัน เราได้รับ:

(1.24)
จากความเท่าเทียมกัน (1.24) เราได้รับสูตรที่คำนวณค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือของระบบ (1.21) (ยกเว้น รสมการที่):

(1.25)
การแปลงระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีการกำจัดแบบจอร์แดนธรรมดาจะแสดงในรูปแบบของตาราง (เมทริกซ์) ตารางเหล่านี้เรียกว่า "ตารางจอร์แดน"

ดังนั้น ปัญหา (1.20) จึงเชื่อมโยงกับตาราง Jordan ต่อไปนี้:

ตารางที่ 1.1

	x 1	x 2	…	xj	…	x ส	…	x n
ย 1 =	ก 11	ก 12		ก 1เจ		ก 1ส		ก 1น
…………………………………………………………………..
ฉัน=	ฉัน 1	ฉัน 2		ไอจ		คือ		ใน
…………………………………………………………………..
y อาร์=	อาร์ 1	อาร์ 2		อาร์เจ		อาร์เอส		ร.น
………………………………………………………………….
วาย เอ็น=	เช้า 1	เช้า 2		มจ		นางสาว		สาธุ

ตาราง Jordan 1.1 ประกอบด้วยคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย ซึ่งเขียนส่วนด้านขวาของระบบ (1.20) และบรรทัดส่วนหัวด้านบน ซึ่งเขียนตัวแปรอิสระ

องค์ประกอบที่เหลือของตารางสร้างเมทริกซ์หลักของค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ (1.20) ถ้าเราคูณเมทริกซ์ กไปยังเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวส่วนหัวด้านบน จากนั้นเราจะได้เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย นั่นคือ โดยพื้นฐานแล้ว ตารางจอร์แดนเป็นรูปแบบเมทริกซ์ของการเขียนระบบสมการเชิงเส้น: ในกรณีนี้ ตาราง Jordan ต่อไปนี้สอดคล้องกับระบบ (1.21):

ตารางที่ 1.2

	x 1	x 2	…	xj	…	y อาร์	…	x n
ย 1 =	ข 11	ข 12		ข 1 เจ		ข 1 ส		ข 1 น
…………………………………………………………………..
ฉัน =	ข ฉัน 1	ข ฉัน 2		ข		ข คือ		ขใน
…………………………………………………………………..
x ส =	br 1	br 2		ข rj		brs		ข rn
………………………………………………………………….
y n =	บีม 1	บีม 2		บีเอ็มเจ		ข นางสาว		บีเอ็ม

องค์ประกอบที่อนุญาต อาร์เอส เราจะเน้นเป็นตัวหนา โปรดจำไว้ว่าเพื่อดำเนินการขั้นตอนหนึ่งของข้อยกเว้นของ Jordan องค์ประกอบการแก้ไขจะต้องไม่เป็นศูนย์ แถวของตารางที่มีองค์ประกอบที่อนุญาตเรียกว่าแถวที่อนุญาต คอลัมน์ที่มีองค์ประกอบเปิดใช้งานเรียกว่าคอลัมน์เปิดใช้งาน เมื่อย้ายจากตารางที่กำหนดไปยังตารางถัดไป ตัวแปรหนึ่งตัว ( x ส) จากแถวส่วนหัวบนสุดของตารางจะถูกย้ายไปยังคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย และในทางกลับกัน หนึ่งในสมาชิกฟรีของระบบ ( y อาร์) ถูกย้ายจากคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้ายของตารางไปยังแถวส่วนหัวบนสุด

ให้เราอธิบายอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ใหม่ในการส่งผ่านจากตารางจอร์แดน (1.1) ไปยังตาราง (1.2) ซึ่งต่อจากสูตร (1.23) และ (1.25)

1. องค์ประกอบที่เปิดใช้งานถูกแทนที่ด้วยจำนวนผกผัน:

2. องค์ประกอบที่เหลือของเส้นอนุญาตจะถูกแบ่งโดยองค์ประกอบที่อนุญาตและเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม:

3. องค์ประกอบที่เหลือของคอลัมน์การเปิดใช้งานจะแบ่งออกเป็นองค์ประกอบการเปิดใช้งาน:

4. องค์ประกอบที่ไม่รวมอยู่ในแถวการแก้ไขและคอลัมน์การแก้ไขจะถูกคำนวณใหม่ตามสูตร:

สูตรสุดท้ายจำง่ายถ้าคุณสังเกตว่าองค์ประกอบที่ประกอบกันเป็นเศษส่วน , อยู่ที่สี่แยก ฉัน-โอ้ และ ร-th บรรทัดและ เจที่ และ ส-th คอลัมน์ (แถวการแก้ไข คอลัมน์การแก้ไข และแถวและคอลัมน์ที่จุดตัดขององค์ประกอบที่จะคำนวณใหม่) แม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อจำสูตร คุณสามารถใช้แผนภูมิต่อไปนี้:

-21 -26 -13 -37

ดำเนินการขั้นตอนแรกของข้อยกเว้นของจอร์แดน องค์ประกอบใดๆ ของตาราง 1.3 ที่อยู่ในคอลัมน์ x 1 ,…, x 5 (องค์ประกอบที่ระบุทั้งหมดไม่เท่ากับศูนย์) คุณไม่ควรเลือกเฉพาะองค์ประกอบที่เปิดใช้งานในคอลัมน์สุดท้าย เนื่องจาก จำเป็นต้องค้นหาตัวแปรอิสระ x 1 ,…, x 5 . ตัวอย่างเช่นเราเลือกค่าสัมประสิทธิ์ 1 ด้วยตัวแปร x 3 ในแถวที่สามของตาราง 1.3 (องค์ประกอบการเปิดใช้งานแสดงเป็นตัวหนา) เมื่อย้ายไปที่ตาราง 1.4 ตัวแปร xเลข 3 จากแถวส่วนหัวบนสุดจะสลับกับค่าคงที่ 0 ของคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย (แถวที่สาม) ในขณะเดียวกันตัวแปร x 3 แสดงในรูปของตัวแปรที่เหลือ

สตริง x 3 (ตาราง 1.4) สามารถแยกออกจากตาราง 1.4 ได้เมื่อจำได้ก่อนหน้านี้ ตาราง 1.4 ไม่รวมคอลัมน์ที่สามที่มีศูนย์ในบรรทัดส่วนหัวด้านบน ประเด็นก็คือโดยไม่คำนึงถึงค่าสัมประสิทธิ์ คอลัมน์ที่กำหนด ข ฉัน 3 คำศัพท์ทั้งหมดที่สอดคล้องกับมันของแต่ละสมการ 0 ข ฉัน 3 ระบบจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ได้ การกำจัดตัวแปรเดียว x 3 และจดจำหนึ่งในสมการ เรามาถึงระบบที่สอดคล้องกับตาราง 1.4 (โดยขีดฆ่าเส้น x 3). การเลือกในตาราง 1.4 เป็นองค์ประกอบการแก้ไข ข 14 = -5 ไปที่ตาราง 1.5 ในตาราง 1.5 เราจำแถวแรกและแยกออกจากตารางพร้อมกับคอลัมน์ที่สี่ (โดยมีศูนย์อยู่ด้านบนสุด)

ตารางที่ 1.5 ตารางที่ 1.6

จากตารางล่าสุด 1.7 เราพบ: x 1 = - 3 + 2x 5 .

แทนที่ตัวแปรที่พบแล้วตามลำดับในบรรทัดที่จดจำ เราจะพบตัวแปรที่เหลือ:

ดังนั้น ระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน ตัวแปร x 5 คุณสามารถกำหนดค่าโดยพลการ ตัวแปรนี้ทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ x 5 = เสื้อ เราพิสูจน์ความเข้ากันได้ของระบบและพบว่า การตัดสินใจร่วมกัน:

x 1 = - 3 + 2ที

x 2 = - 1 - 3ที

x 3 = - 2 + 4ที . (1.27)
x 4 = 4 + 5ที

x 5 = ที

การให้พารามิเตอร์ ที ความหมายต่างๆเราได้รับโซลูชันจำนวนไม่สิ้นสุดสำหรับระบบเดิม ตัวอย่างเช่น คำตอบของระบบคือชุดของตัวแปรต่อไปนี้ (- 3; - 1; - 2; 4; 0)

วิธีการของแครมเมอร์ขึ้นอยู่กับการใช้ดีเทอร์มิแนนต์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น สิ่งนี้ช่วยเร่งกระบวนการแก้ปัญหาได้อย่างมาก

วิธีการของแครมเมอร์สามารถใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นได้มากเท่าที่มีสมการที่ไม่รู้จักในแต่ละสมการ ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เท่ากับศูนย์ วิธีของแครมเมอร์ก็สามารถใช้ได้ในการแก้ปัญหา ถ้ามีค่าเท่ากับศูนย์ ก็จะใช้ไม่ได้ นอกจากนี้ยังสามารถใช้วิธีการของแครมเมอร์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเฉพาะตัวได้

คำนิยาม. ดีเทอร์มีแนนต์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก เรียกว่า ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ และเขียนแทนด้วย (เดลต้า)

ปัจจัย

ได้มาจากการแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่าที่เกี่ยวข้องด้วยเงื่อนไขฟรี:

;

.

ทฤษฎีบทของแครมเมอร์. ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบสมการเชิงเส้นจะมีคำตอบเดียว และค่าที่ไม่ทราบจะเท่ากับอัตราส่วนของดีเทอร์มิแนนต์ ตัวส่วนคือดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ และตัวเศษคือดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้จากดีเทอร์มิแนนต์ของระบบโดยการแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ด้วยค่าที่ไม่รู้จักด้วยเงื่อนไขอิสระ ทฤษฎีบทนี้มีไว้สำหรับระบบสมการเชิงเส้นของลำดับใดๆ

ตัวอย่างที่ 1แก้ระบบสมการเชิงเส้น:

ตาม ทฤษฎีบทของแครมเมอร์เรามี:

ดังนั้น คำตอบของระบบ (2):

เครื่องคิดเลขออนไลน์ วิธีการแก้ปัญหาของ Cramer

สามกรณีในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ดังปรากฏจาก ทฤษฎีบทของแครมเมอร์, เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น อาจเกิดสามกรณี:

กรณีแรก: ระบบสมการเชิงเส้นมีคำตอบที่ไม่เหมือนใคร

(ระบบมีความสม่ำเสมอและแน่นอน)

กรณีที่สอง ระบบสมการเชิงเส้นมีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด

(ระบบมีความสม่ำเสมอและไม่แน่นอน)

** ,

เหล่านั้น. ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักและเงื่อนไขฟรีนั้นเป็นสัดส่วน

กรณีที่สาม ระบบสมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบ

(ระบบไม่สอดคล้องกัน)

ดังนั้นระบบ มสมการเชิงเส้นด้วย นตัวแปรถูกเรียก เข้ากันไม่ได้หากไม่มีวิธีแก้ไขและ ข้อต่อหากมีทางออกอย่างน้อยหนึ่งข้อ ระบบสมการร่วมที่มีคำตอบเดียวเรียกว่า แน่ใจ, และมากกว่าหนึ่ง ไม่แน่นอน.

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีแครมเมอร์

ให้ระบบ

.

ตามทฤษฎีบทของแครมเมอร์

………….
,

ที่ไหน
-

ตัวระบุระบบ ปัจจัยที่เหลือจะได้รับโดยการแทนที่คอลัมน์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่สอดคล้องกัน (ไม่ทราบ) ด้วยสมาชิกอิสระ:

ตัวอย่างที่ 2

.

ดังนั้นระบบจะแน่นอน เพื่อหาวิธีแก้ปัญหา เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์

ตามสูตรของ Cramer เราพบ:

ดังนั้น (1; 0; -1) จึงเป็นทางออกเดียวของระบบ

ในการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ ซึ่งเป็นวิธีการแก้สมการแบบแครมเมอร์

หากไม่มีตัวแปรในระบบสมการเชิงเส้นในสมการหนึ่งสมการหรือมากกว่านั้นองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องจะเท่ากับศูนย์ในตัวกำหนด! นี่คือตัวอย่างต่อไป

ตัวอย่างที่ 3แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีของแครมเมอร์:

.

สารละลาย. เราพบปัจจัยของระบบ:

ดูระบบสมการและดีเทอร์มีแนนต์ของระบบอย่างระมัดระวัง แล้วตอบคำถามซ้ำในกรณีที่องค์ประกอบหนึ่งหรือมากกว่าของดีเทอร์มิแนนต์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดีเทอร์มีแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบจึงแน่นอน เพื่อหาทางออก เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้

ตามสูตรของ Cramer เราพบ:

ดังนั้นคำตอบของระบบคือ (2; -1; 1)

ในการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ ซึ่งเป็นวิธีการแก้สมการแบบแครมเมอร์

ด้านบนของหน้า

เรายังคงแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธี Cramer ร่วมกัน

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ และดีเทอร์มีแนนต์สำหรับสิ่งไม่รู้ไม่เท่ากับศูนย์ แสดงว่าระบบนั้นไม่สอดคล้องกัน นั่นคือมันไม่มีทางออก ลองอธิบายด้วยตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 6แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีของแครมเมอร์:

สารละลาย. เราพบปัจจัยของระบบ:

ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นจึงไม่สอดคล้องกันและแน่นอนหรือไม่สอดคล้องกัน นั่นคือไม่มีคำตอบ เพื่อชี้แจง เราจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้

ดีเทอร์มิแนนต์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นระบบจึงไม่สอดคล้องกัน นั่นคือไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ในการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ ซึ่งเป็นวิธีการแก้สมการแบบแครมเมอร์

ในปัญหาเกี่ยวกับระบบสมการเชิงเส้นยังมีปัญหาที่นอกเหนือจากตัวอักษรที่แสดงถึงตัวแปรแล้วยังมีตัวอักษรอื่นอีกด้วย ตัวอักษรเหล่านี้หมายถึงตัวเลขบางตัว ซึ่งส่วนใหญ่มักเป็นจำนวนจริง ในทางปฏิบัติ สมการและระบบสมการดังกล่าวนำไปสู่ปัญหาในการค้นหาคุณสมบัติทั่วไปของปรากฏการณ์และวัตถุใดๆ นั่นคือคุณคิดค้นอะไร วัสดุใหม่หรืออุปกรณ์ และเพื่ออธิบายคุณสมบัติของมัน ซึ่งเป็นเรื่องปกติโดยไม่คำนึงถึงขนาดหรือจำนวนสำเนา จำเป็นต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยที่ตัวอักษรแทนค่าสัมประสิทธิ์บางตัวสำหรับตัวแปร ไม่ต้องไปหาตัวอย่างที่ไหนไกล

ตัวอย่างถัดไปสำหรับปัญหาที่คล้ายกัน จำนวนสมการ ตัวแปร และตัวอักษรที่แสดงถึงจำนวนจริงเพิ่มขึ้นเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 8แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีของแครมเมอร์:

สารละลาย. เราพบปัจจัยของระบบ:

การค้นหาปัจจัยที่ไม่รู้จัก

วิธีของแครมเมอร์ใช้ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) ซึ่งจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักเท่ากับจำนวนสมการ และดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักแตกต่างจากศูนย์ ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์ว่าพบตัวแปรที่ไม่รู้จักด้วยวิธี Cramer และรับสูตรได้อย่างไร หลังจากนั้นเราจะหันไปหาตัวอย่างและอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยวิธี Cramer

การนำทางหน้า

วิธีของแครมเมอร์ - ที่มาของสูตร

เราต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้นของแบบฟอร์ม

โดยที่ x 1 , x 2 , …, xn เป็นตัวแปรที่ไม่รู้จัก a i j , ผม = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- ค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข b 1 , b 2 , ..., b n - สมาชิกฟรี วิธีแก้ปัญหาของ SLAE คือชุดของค่า x 1 , x 2 , …, x n ซึ่งสมการทั้งหมดของระบบเปลี่ยนเป็นตัวตน

ในรูปแบบเมทริกซ์ ระบบนี้สามารถเขียนเป็น A ⋅ X = B โดยที่ - เมทริกซ์หลักของระบบองค์ประกอบคือค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก - เมทริกซ์เป็นคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระและ - เมทริกซ์เป็นคอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก หลังจากพบตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 , x 2 , …, x n เมทริกซ์จะกลายเป็นคำตอบของระบบสมการและความเท่าเทียมกัน A ⋅ X = B จะกลายเป็นเอกลักษณ์

เราจะถือว่าเมทริกซ์ A ไม่เสื่อม นั่นคือดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ ในกรณีนี้ ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นมีคำตอบเฉพาะที่หาได้ด้วยวิธีของแครมเมอร์ (วิธีการแก้ปัญหาระบบจะกล่าวถึงในหัวข้อการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น)

วิธีของแครมเมอร์ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติสองประการของดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์:

เรามาเริ่มหาตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 กันเลย ในการทำเช่นนี้ เราคูณทั้งสองส่วนของสมการแรกของระบบด้วย A 1 1 ทั้งสองส่วนของสมการที่สอง - ด้วย A 2 1 และต่อไปเรื่อยๆ ทั้งสองส่วนของสมการที่ n - โดย A n 1 ( นั่นคือ เราคูณสมการของระบบด้วยการเติมเต็มเชิงพีชคณิตที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์คอลัมน์แรก A ):

เราเพิ่มส่วนซ้ายทั้งหมดของสมการของระบบ จัดกลุ่มคำที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1, x 2, ..., x n และถือเอาผลรวมนี้กับผลรวมของส่วนที่ถูกต้องทั้งหมดของสมการ:

หากเราหันไปใช้คุณสมบัติที่เปล่งออกมาก่อนหน้านี้ของดีเทอร์มิแนนต์ เราก็จะได้

และความเท่าเทียมกันก่อนหน้านี้จะเกิดขึ้น

ที่ไหน

ในทำนองเดียวกัน เราพบ x 2 ในการทำเช่นนี้ เราคูณทั้งสองส่วนของสมการของระบบด้วยการเติมเต็มเชิงพีชคณิตของคอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์ A:

เราเพิ่มสมการทั้งหมดของระบบ จัดกลุ่มคำที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1, x 2, ..., x n และใช้คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์:

ที่ไหน
.

ตัวแปรที่ไม่รู้จักที่เหลือจะพบในทำนองเดียวกัน

ถ้าเรากำหนด

จากนั้นเราจะได้รับ สูตรสำหรับค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักด้วยวิธีแครมเมอร์ .

ความคิดเห็น

ถ้าระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเป็นแบบเอกพันธ์ นั่นคือ แล้วมันมีเพียงวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย (สำหรับ ) แท้จริงสำหรับเงื่อนไขฟรีเป็นศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์ทั้งหมด จะเป็นโมฆะเพราะจะมีคอลัมน์ขององค์ประกอบที่เป็นโมฆะ ดังนั้นสูตร จะให้ .

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงพีชคณิตเชิงเส้นโดยวิธีแครมเมอร์

มาจดกันเถอะ อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงพีชคณิตเชิงเส้นโดยวิธีแครมเมอร์.

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยวิธีแครมเมอร์

ลองมาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

หาคำตอบของระบบสมการเชิงพีชคณิตเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันโดยวิธีของแครมเมอร์ .

สารละลาย.

เมทริกซ์หลักของระบบมีรูปแบบ เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ตามสูตร :

เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่ใช่ศูนย์ SLAE จึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และสามารถพบได้ด้วยวิธีแครมเมอร์ เราเขียนปัจจัยและ เราแทนที่คอลัมน์แรกของเมทริกซ์หลักของระบบด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ และเราได้ดีเทอร์มีแนนต์ . ในทำนองเดียวกัน เราแทนที่คอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์หลักด้วยคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ และเราได้รับ

เราคำนวณปัจจัยเหล่านี้:

เราค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 และ x 2 โดยใช้สูตร :

มาตรวจสอบกัน เราแทนที่ค่าที่ได้รับ x 1 และ x 2 ลงในระบบสมการดั้งเดิม:

สมการทั้งสองของระบบกลายเป็นเอกลักษณ์ดังนั้นจึงพบคำตอบได้อย่างถูกต้อง

คำตอบ:

.

องค์ประกอบบางอย่างของเมทริกซ์ SLAE หลักอาจเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ จะไม่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการของระบบ ลองมาเป็นตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

หาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีของแครมเมอร์ .

สารละลาย.

ให้เราเขียนระบบใหม่ในรูปแบบ เพื่อดูเมทริกซ์หลักของระบบ . ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ตามสูตร

เรามี

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักนั้นแตกต่างจากศูนย์ ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ลองหาด้วยวิธีของแครมเมอร์ คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ :

ดังนั้น,

คำตอบ:

การกำหนดตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการของระบบอาจแตกต่างจาก x 1 , x 2 , …, xn . สิ่งนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อกระบวนการตัดสินใจ แต่ลำดับของตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการของระบบมีความสำคัญมากเมื่อรวบรวมเมทริกซ์หลักและปัจจัยที่จำเป็นของวิธีแครมเมอร์ ลองอธิบายประเด็นนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ใช้วิธีของแครมเมอร์ หาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามสมการในสามค่าที่ไม่รู้ .

สารละลาย.

ในตัวอย่างนี้ ตัวแปรที่ไม่รู้จักมีการกำหนดที่แตกต่างกัน (x , y และ z แทนที่จะเป็น x 1 , x 2 และ x 3 ) สิ่งนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อการแก้ปัญหา แต่ควรระวังด้วยการกำหนดตัวแปร อย่าใช้เป็นเมทริกซ์หลักของระบบ . คุณต้องเรียงลำดับตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการทั้งหมดของระบบก่อน ในการทำเช่นนี้ เราเขียนระบบสมการใหม่เป็น . ตอนนี้สามารถมองเห็นเมทริกซ์หลักของระบบได้อย่างชัดเจน . ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์:

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักนั้นแตกต่างจากศูนย์ ดังนั้นระบบสมการจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ลองหาด้วยวิธีของแครมเมอร์ ลองเขียนดีเทอร์มิแนนต์ (ให้ความสนใจกับสัญกรณ์) และคำนวณ:

ยังคงค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยใช้สูตร :

มาตรวจสอบกัน ในการทำเช่นนี้ เราคูณเมทริกซ์หลักด้วยผลลัพธ์ที่ได้ (หากจำเป็น โปรดดูหัวข้อ ):

เป็นผลให้เราได้รับคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระของระบบสมการดั้งเดิม ดังนั้นจึงพบคำตอบได้อย่างถูกต้อง

คำตอบ:

x = 0, y = -2, z = 3 .

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีของแครมเมอร์ โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง

สารละลาย.

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

หาคำตอบของระบบสมการ วิธีของแครมเมอร์คือจำนวนจริงบางส่วน

สารละลาย.

ลองคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบ: . นิพจน์มีช่วงเวลา ดังนั้นสำหรับค่าจริงใดๆ ดังนั้นระบบสมการจึงมีคำตอบเฉพาะที่สามารถหาได้จากวิธีของแครมเมอร์ เราคำนวณและ: