อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการโดยวิธีเกาส์ วิธี Gauss (การยกเว้นที่ไม่รู้จักต่อเนื่องกัน)

ความหมายและคำอธิบายของวิธีเกาส์

วิธีการแปลงแบบเกาส์เซียน (หรือที่เรียกว่าวิธีการแปลงแบบเกาส์เซียน) การยกเว้นตามลำดับตัวแปรที่ไม่รู้จักจากสมการหรือเมทริกซ์) เพื่อแก้ระบบ สมการเชิงเส้นเป็นวิธีการดั้งเดิมในการแก้ปัญหาระบบ สมการพีชคณิต(สลา). นอกจากนี้ วิธีการดั้งเดิมนี้ยังใช้ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ เช่น การได้รับ เมทริกซ์ผกผันและกำหนดอันดับของเมทริกซ์

การแปลงโดยใช้วิธี Gauss ประกอบด้วยการเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ (เบื้องต้น) ในระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งนำไปสู่การกำจัดตัวแปรจากบนลงล่างด้วยการก่อตัวของระบบสมการสามเหลี่ยมใหม่ซึ่งเทียบเท่ากับ อันเดิม

คำจำกัดความ 1

โซลูชันส่วนนี้เรียกว่าโซลูชันไปข้างหน้าแบบเกาส์เซียน เนื่องจากกระบวนการทั้งหมดดำเนินการจากบนลงล่าง

หลังจากนำระบบสมการดั้งเดิมมาเป็นระบบสามเหลี่ยมแล้ว ตัวแปรทั้งหมดของระบบจะพบจากล่างขึ้นบน (นั่นคือ ตัวแปรแรกที่พบจะอยู่ที่บรรทัดสุดท้ายของระบบหรือเมทริกซ์พอดีเป๊ะ) สารละลายส่วนนี้เรียกอีกอย่างว่าสารละลายรีเวิร์สเกาส์ อัลกอริทึมประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้: ขั้นแรกให้คำนวณตัวแปรที่ใกล้เคียงที่สุดกับด้านล่างของระบบสมการหรือเมทริกซ์จากนั้นค่าที่ได้รับจะถูกแทนที่ด้านบนและพบตัวแปรอื่นเป็นต้น

คำอธิบายของอัลกอริทึมเมธอดเกาส์

ลำดับของการกระทำสำหรับคำตอบทั่วไปของระบบสมการโดยวิธี Gauss ประกอบด้วยการใช้จังหวะไปข้างหน้าและข้างหลังสลับกันกับเมทริกซ์ตาม SLAE ให้ระบบสมการเดิมมีรูปแบบดังนี้

$\begin(กรณี) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(กรณี)$

ในการแก้ SLAE โดยวิธี Gauss จำเป็นต้องเขียนระบบสมการเริ่มต้นในรูปแบบของเมทริกซ์:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

เมทริกซ์ $A$ เรียกว่าเมทริกซ์หลักและแทนค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่เขียนตามลำดับ และ $b$ เรียกว่าคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ เมทริกซ์ $A$ ที่เขียนผ่านบรรทัดที่มีสมาชิกอิสระเรียกว่าเมทริกซ์เสริม:

$A = \begin(อาร์เรย์)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(อาร์เรย์)$

ตอนนี้ใช้การแปลงเบื้องต้นในระบบสมการ (หรือบนเมทริกซ์ตามที่สะดวกกว่า) จำเป็นต้องนำมาในรูปแบบต่อไปนี้:

$\begin(กรณี) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(กรณี)$ (1)

เมทริกซ์ที่ได้จากค่าสัมประสิทธิ์ของระบบสมการที่แปลงแล้ว (1) เรียกว่า เมทริกซ์ขั้นบันได โดยปกติแล้ว เมทริกซ์ขั้นบันไดจะมีลักษณะดังนี้:

$A = \begin(อาร์เรย์)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(อาร์เรย์)$

เมทริกซ์เหล่านี้มีลักษณะเฉพาะด้วยชุดคุณสมบัติต่อไปนี้:

1. แถวที่เป็นศูนย์ทั้งหมดจะอยู่หลังแถวที่ไม่ใช่ศูนย์
2. หากบางแถวของเมทริกซ์ที่มีดัชนี $k$ ไม่เป็นศูนย์ แสดงว่ามีศูนย์ในแถวก่อนหน้าของเมทริกซ์เดียวกันน้อยกว่าในแถวที่มีดัชนี $k$

หลังจากได้รับเมทริกซ์ขั้นตอนแล้วจำเป็นต้องแทนที่ตัวแปรที่ได้รับในสมการที่เหลือ (เริ่มจากจุดสิ้นสุด) และรับค่าที่เหลือของตัวแปร

กฎพื้นฐานและการแปลงที่อนุญาตเมื่อใช้เมธอดเกาส์

เมื่อทำให้เมทริกซ์หรือระบบสมการง่ายขึ้นด้วยวิธีนี้ ควรใช้เฉพาะการแปลงเบื้องต้นเท่านั้น

การแปลงดังกล่าวเป็นการดำเนินการที่สามารถใช้กับเมทริกซ์หรือระบบสมการโดยไม่เปลี่ยนความหมาย:

• การเรียงสับเปลี่ยนของหลายบรรทัดในสถานที่
• เพิ่มหรือลบจากบรรทัดหนึ่งของเมทริกซ์อีกบรรทัดจากนั้น
• การคูณหรือหารสตริงด้วยค่าคงที่ที่ไม่เท่ากับศูนย์
• ต้องลบบรรทัดที่ประกอบด้วยศูนย์เท่านั้นที่ได้รับจากกระบวนการคำนวณและทำให้ระบบง่ายขึ้น
• คุณต้องลบเส้นสัดส่วนที่ไม่จำเป็นออกโดยเลือกระบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่เหมาะสมและสะดวกกว่าสำหรับการคำนวณเพิ่มเติมสำหรับระบบ

การแปลงพื้นฐานทั้งหมดสามารถย้อนกลับได้

การวิเคราะห์สามกรณีหลักที่เกิดขึ้นเมื่อแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการแปลงแบบเกาส์เซียนอย่างง่าย

มีสามกรณีที่เกิดขึ้นเมื่อใช้วิธี Gauss เพื่อแก้ปัญหาระบบ:

1. เมื่อระบบไม่สอดคล้องกัน นั่นคือ ไม่มีทางแก้ไขใดๆ
2. ระบบสมการมีคำตอบและมีเพียงหนึ่งเดียวและจำนวนแถวและคอลัมน์ที่ไม่ใช่ศูนย์ในเมทริกซ์นั้นเท่ากัน
3. ระบบมีตัวเลขหรือชุด การแก้ปัญหาที่เป็นไปได้และจำนวนแถวในนั้นน้อยกว่าจำนวนคอลัมน์

ผลการแก้ปัญหาด้วยระบบที่ไม่สอดคล้องกัน

สำหรับตัวเลือกนี้ เมื่อทำการแก้ สมการเมทริกซ์วิธีการแบบเกาส์เซียนมีลักษณะโดยได้รับบางบรรทัดด้วยความเป็นไปไม่ได้ที่จะเติมเต็มความเท่าเทียมกัน ดังนั้น ถ้าอย่างน้อยหนึ่งความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้องเกิดขึ้น ระบบที่เป็นผลลัพธ์และระบบเดิมจะไม่มีคำตอบ โดยไม่คำนึงถึงสมการอื่นที่มีอยู่ ตัวอย่างของเมทริกซ์ที่ไม่สอดคล้องกัน:

$\begin(อาร์เรย์)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(อาร์เรย์)$

ความเท่าเทียมกันที่ไม่พอใจปรากฏขึ้นในบรรทัดสุดท้าย: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$

ระบบสมการที่มีคำตอบเดียว

ข้อมูลของระบบหลังจากลดเป็นเมทริกซ์แบบขั้นบันไดและการลบแถวที่มีศูนย์จะมีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากันในเมทริกซ์หลัก นี่คือตัวอย่างง่ายๆ ของระบบดังกล่าว:

$\begin(กรณี) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(กรณี)$

ลองเขียนในรูปของเมทริกซ์:

$\begin(อาร์เรย์)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(อาร์เรย์)$

ในการทำให้เซลล์แรกของแถวที่สองเป็นศูนย์ ให้คูณแถวบนด้วย $-2$ แล้วลบออกจากแถวล่างสุดของเมทริกซ์ และปล่อยให้แถวบนสุดอยู่ในรูปแบบเดิม ดังนั้นเราจึงได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้:

$\begin(อาร์เรย์)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(อาร์เรย์)$

ตัวอย่างนี้สามารถเขียนเป็นระบบ:

$\begin(กรณี) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(กรณี)$

ค่าต่อไปนี้ของ $x$ มาจากสมการด้านล่าง: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$ แทนค่านี้ลงในสมการด้านบน: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$ เราจะได้ $x_1 = 1 \frac(2)(3)$

ระบบที่มีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้มากมาย

ระบบนี้โดดเด่นด้วยจำนวนแถวที่มีนัยสำคัญน้อยกว่าจำนวนคอลัมน์ในนั้น (จะพิจารณาแถวของเมทริกซ์หลัก)

ตัวแปรในระบบดังกล่าวแบ่งออกเป็นสองประเภท: พื้นฐานและฟรี เมื่อทำการแปลงระบบดังกล่าว ตัวแปรหลักที่อยู่ในนั้นจะต้องถูกทิ้งไว้ในพื้นที่ด้านซ้ายจนถึงเครื่องหมาย “=” และตัวแปรที่เหลือจะต้องถูกโอนไปยัง ด้านขวาความเท่าเทียมกัน

ระบบดังกล่าวมีเพียงบางส่วนเท่านั้น การตัดสินใจร่วมกัน.

ลองวิเคราะห์ระบบสมการต่อไปนี้:

$\begin(กรณี) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(กรณี)$

ลองเขียนในรูปของเมทริกซ์:

$\begin(อาร์เรย์)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(อาร์เรย์)$

งานของเราคือการหาทางออกทั่วไปให้กับระบบ สำหรับเมทริกซ์นี้ ตัวแปรพื้นฐานจะเป็น $y_1$ และ $y_3$ (สำหรับ $y_1$ - เนื่องจากอยู่ในตำแหน่งแรก และในกรณีของ $y_3$ - จะอยู่หลังเลขศูนย์)

ในฐานะตัวแปรพื้นฐาน เราเลือกตัวแปรที่ไม่เท่ากับศูนย์ก่อนในแถว

ตัวแปรที่เหลือเรียกว่าฟรีโดยเราต้องแสดงตัวแปรพื้นฐาน

ด้วยการใช้การย้ายย้อนกลับ เราแยกส่วนระบบจากล่างขึ้นบน สำหรับสิ่งนี้ เราจะแสดง $y_3$ จากบรรทัดล่างสุดของระบบก่อน:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$

ตอนนี้เราแทนที่ $y_3$ ที่แสดงลงในสมการบนของระบบ $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

เราแสดง $y_1$ ในรูปของตัวแปรอิสระ $y_2$ และ $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 - 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) - y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

การตัดสินใจพร้อม

ตัวอย่างที่ 1

แก้คราบด้วยวิธีเกาส์เซียน ตัวอย่าง. ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่กำหนดโดยเมทริกซ์ขนาด 3 คูณ 3 โดยใช้วิธีเกาส์

$\begin(กรณี) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(กรณี)$

เราเขียนระบบของเราในรูปแบบของเมทริกซ์เสริม:

$\begin(อาร์เรย์)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(อาร์เรย์)$

ตอนนี้ เพื่อความสะดวกและใช้งานได้จริง เราจำเป็นต้องแปลงเมทริกซ์เพื่อให้ $1$ อยู่ที่มุมบนของคอลัมน์สุดท้าย

ในการทำเช่นนี้เราต้องเพิ่มบรรทัดจากตรงกลางคูณด้วย $-1$ ไปยังบรรทัดที่ 1 และเขียนบรรทัดกลางตามที่เป็นอยู่ ปรากฎว่า:

$\begin(อาร์เรย์)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(อาร์เรย์)$

$\begin(อาร์เรย์)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(อาร์เรย์) $

คูณแถวบนสุดและแถวสุดท้ายด้วย $-1$ แล้วสลับแถวสุดท้ายและแถวกลาง:

$\begin(อาร์เรย์)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(อาร์เรย์)$

$\begin(อาร์เรย์)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(อาร์เรย์)$

และแบ่งบรรทัดสุดท้ายด้วย $3$:

$\begin(อาร์เรย์)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(อาร์เรย์)$

เราได้ระบบสมการต่อไปนี้ซึ่งเทียบเท่ากับระบบสมการดั้งเดิม:

$\begin(กรณี) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(กรณี)$

จากสมการด้านบน เราแสดงว่า $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1$

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างของการแก้ระบบที่กำหนดโดยใช้เมทริกซ์ 4 คูณ 4 โดยใช้วิธีเกาส์เซียน

$\begin(อาร์เรย์)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(อาร์เรย์)$.

ในตอนเริ่มต้น เราสลับบรรทัดบนสุดที่ต่อท้ายเพื่อรับ $1$ ที่มุมซ้ายบน:

$\begin(อาร์เรย์)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(อาร์เรย์)$.

ตอนนี้ให้คูณบรรทัดบนสุดด้วย $-2$ แล้วบวกกับตัวที่ 2 และตัวที่ 3 ที่ 4 เราเพิ่มบรรทัดที่ 1 คูณด้วย $-3$:

$\begin(อาร์เรย์)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \จบ(อาร์เรย์)$

ตอนนี้ที่บรรทัดที่ 3 เราเพิ่มบรรทัดที่ 2 คูณด้วย $4$ และที่บรรทัดที่ 4 เราเพิ่มบรรทัดที่ 2 คูณด้วย $-1$

$\begin(อาร์เรย์)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(อาร์เรย์)$

คูณแถว 2 ด้วย $-1$ หารแถว 4 ด้วย $3$ แล้วแทนที่แถว 3

$\begin(อาร์เรย์)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(อาร์เรย์)$

ตอนนี้เราเพิ่มบรรทัดสุดท้ายลงในบรรทัดสุดท้าย คูณด้วย $-5$

$\begin(อาร์เรย์)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(อาร์เรย์)$

เราแก้ระบบสมการที่เป็นผลลัพธ์:

$\begin(กรณี) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(กรณี)$

ให้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งจะต้องแก้ไข (ค้นหาค่าดังกล่าวของสิ่งที่ไม่รู้จัก хi ที่ทำให้แต่ละสมการของระบบมีความเท่าเทียมกัน)

เรารู้ว่าระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถ:

1) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา (เป็น เข้ากันไม่ได้).
2) มีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุด
3) มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

ดังที่เราจำได้ กฎของแครมเมอร์และเมทริกซ์เมทริกซ์นั้นไม่เหมาะสมในกรณีที่ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่จำกัดหรือไม่สอดคล้องกัน วิธีเกาส์ – เครื่องมือที่ทรงพลังและหลากหลายที่สุดสำหรับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นใดๆ, ที่ ในทุกกรณีนำเราไปสู่คำตอบ! อัลกอริทึมของเมธอดทั้งสามกรณีทำงานในลักษณะเดียวกัน หากวิธีแครมเมอร์และเมทริกซ์ต้องการความรู้เรื่องดีเทอร์มิแนนต์ ดังนั้นการประยุกต์ใช้วิธีเกาส์จึงต้องการความรู้เฉพาะการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้เข้าถึงได้แม้กับนักเรียนชั้นประถมศึกษา

การแปลงเมทริกซ์แบบขยาย ( นี่คือเมทริกซ์ของระบบ - เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักเท่านั้น บวกกับคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ)ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นในวิธีเกาส์:

1) กับ ทรอกี้เมทริกซ์ สามารถ จัดเรียงใหม่สถานที่.

2) หากมี (หรือเป็น) แถวที่เป็นสัดส่วน (เป็นกรณีพิเศษ - เหมือนกัน) ในเมทริกซ์ ก็จะตามมา ลบจากเมทริกซ์ แถวเหล่านี้ทั้งหมดยกเว้นหนึ่งแถว

3) หากมีแถวศูนย์ปรากฏในเมทริกซ์ระหว่างการแปลงก็จะตามมาด้วย ลบ.

4) แถวของเมทริกซ์สามารถ คูณ (หาร)เป็นจำนวนอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

5) ไปยังแถวของเมทริกซ์ คุณทำได้ เพิ่มสตริงอื่นคูณด้วยตัวเลขแตกต่างจากศูนย์

ในวิธีเกาส์ การแปลงเบื้องต้นจะไม่เปลี่ยนคำตอบของระบบสมการ

วิธีเกาส์ประกอบด้วยสองขั้นตอน:

1. "การย้ายโดยตรง" - ใช้การแปลงเบื้องต้นนำเมทริกซ์ขยายของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเป็นรูปแบบขั้นบันได "สามเหลี่ยม": องค์ประกอบของเมทริกซ์ขยายที่อยู่ด้านล่างเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ (เลื่อนจากบนลงล่าง ). ตัวอย่างเช่นสำหรับประเภทนี้:

โดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) ให้เราพิจารณาสมการแรกของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นและค่าสัมประสิทธิ์ที่ x 1 เท่ากับ K สมการที่สอง สาม ฯลฯ เราแปลงสมการดังนี้: เราหารแต่ละสมการ (ค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จัก รวมถึงค่าที่ไม่ระบุ) ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่ทราบค่า x 1 ซึ่งอยู่ในแต่ละสมการ และคูณด้วย K หลังจากนั้น ให้ลบค่าแรกออกจากสมการที่สอง ( ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับไม่ทราบและเงื่อนไขฟรี) เราได้ค่าสัมประสิทธิ์เป็น 0 ที่ x 1 ในสมการที่สอง จากสมการที่แปลงที่สาม เราลบสมการแรกออก ดังนั้นจนกว่าสมการทั้งหมดยกเว้นสมการแรกที่ไม่มีค่า x 1 ที่ไม่รู้จัก จะไม่มีสัมประสิทธิ์เป็น 0

2) ไปยังสมการถัดไป ให้นี่เป็นสมการที่สองและสัมประสิทธิ์ที่ x 2 เท่ากับ M สำหรับสมการ "ย่อย" ทั้งหมด เราจะดำเนินการตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ดังนั้น "ภายใต้" x 2 ที่ไม่รู้จักในสมการทั้งหมดจะเป็นศูนย์

3) เราผ่านไปยังสมการถัดไปและต่อไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะมีเทอมว่างที่ไม่รู้จักและเปลี่ยนรูปแบบสุดท้าย

1. "การเคลื่อนที่ย้อนกลับ" ของวิธีเกาส์คือการได้รับคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (การเคลื่อนที่ "จากล่างขึ้นบน") จากสมการสุดท้ายที่ "ต่ำกว่า" เราได้คำตอบแรก - x n ที่ไม่รู้จัก ในการทำเช่นนี้ เราแก้สมการเบื้องต้น A * x n \u003d B ในตัวอย่างด้านบน x 3 \u003d 4 เราแทนค่าที่พบในสมการถัดไป "บน" และแก้ค่านั้นด้วยค่าที่ไม่รู้จักถัดไป ตัวอย่างเช่น x 2 - 4 \u003d 1 เช่น x 2 \u003d 5 และอื่น ๆ จนกว่าเราจะพบสิ่งแปลกปลอมทั้งหมด

ตัวอย่าง.

เราแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเกาส์ ตามที่ผู้เขียนบางคนแนะนำ:

เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และใช้การแปลงเบื้องต้น นำมาเป็นรูปแบบขั้นตอน:

เราดูที่ "ขั้นตอน" ด้านซ้ายบน ที่นั่นเราควรมีหน่วย ปัญหาคือไม่มีคอลัมน์แรกในคอลัมน์แรก ดังนั้นจึงไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการจัดเรียงแถวใหม่ ในกรณีเช่นนี้ต้องจัดหน่วยโดยใช้ การแปลงเบื้องต้น. โดยปกติสามารถทำได้หลายวิธี ลองทำดังนี้:
1 ขั้นตอน . ในบรรทัดแรก เราเพิ่มบรรทัดที่สอง คูณด้วย -1 นั่นคือ เราคิดคูณบรรทัดที่สองด้วย -1 และทำการบวกบรรทัดแรกและบรรทัดที่สอง ในขณะที่บรรทัดที่สองไม่เปลี่ยนแปลง

ตอนนี้ที่ด้านบนซ้าย "ลบหนึ่ง" ซึ่งเหมาะกับเราอย่างสมบูรณ์ ใครก็ตามที่ต้องการรับ +1 สามารถดำเนินการเพิ่มเติมได้: คูณบรรทัดแรกด้วย -1 (เปลี่ยนเครื่องหมาย)

2 ขั้นตอน . เพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย 5 ในบรรทัดที่สอง เพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย 3 ในบรรทัดที่สาม

3 ขั้นตอน . บรรทัดแรกคูณด้วย -1 โดยหลักการแล้วนี่คือเพื่อความสวยงาม เครื่องหมายของบรรทัดที่สามก็ถูกเปลี่ยนและย้ายไปยังตำแหน่งที่สอง ดังนั้น ในขั้นที่สอง “เราได้หน่วยที่ต้องการแล้ว

4 ขั้นตอน . ที่บรรทัดที่สาม ให้เพิ่มบรรทัดที่สอง คูณด้วย 2

5 ขั้นตอน . บรรทัดที่สามหารด้วย 3

เครื่องหมายที่บ่งชี้ข้อผิดพลาดในการคำนวณ (มักจะพิมพ์ผิดน้อยกว่า) คือบรรทัดล่างสุดที่ "ไม่ดี" นั่นคือถ้าเรามีบางอย่างเช่น (0 0 11 | 23) ด้านล่างและตามด้วย 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 ด้วยความน่าจะเป็นระดับสูงเราสามารถพูดได้ว่าเกิดข้อผิดพลาดในช่วงประถมศึกษา การเปลี่ยนแปลง

เราทำการย้ายแบบย้อนกลับ ในการออกแบบตัวอย่าง ระบบมักจะไม่ได้เขียนใหม่ และสมการจะ "นำมาจากเมทริกซ์ที่กำหนดโดยตรง" ฉันเตือนคุณว่าการเคลื่อนไหวย้อนกลับทำงาน "จากล่างขึ้นบน" ในตัวอย่างนี้ ของขวัญกลายเป็น:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1 ดังนั้น x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

คำตอบ:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1

มาแก้ระบบเดียวกันโดยใช้อัลกอริทึมที่เสนอ เราได้รับ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

หารสมการที่สองด้วย 5 และสมการที่สามด้วย 3 เราได้:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

คูณสมการที่สองและสามด้วย 4 เราได้รับ:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

ลบสมการแรกออกจากสมการที่สองและสาม เราได้:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

หารสมการที่สามด้วย 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

คูณสมการที่สามด้วย 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

ลบสมการที่สองออกจากสมการที่สาม เราจะได้เมทริกซ์เสริม "ขั้นบันได":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ดังนั้น เนื่องจากข้อผิดพลาดสะสมในกระบวนการคำนวณ เราจึงได้ x 3 \u003d 0.96 หรือประมาณ 1

x 2 \u003d 3 และ x 1 \u003d -1

การแก้ปัญหาด้วยวิธีนี้ คุณจะไม่สับสนในการคำนวณ และแม้จะมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ คุณก็จะได้ผลลัพธ์

วิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นนี้สามารถตั้งโปรแกรมได้ง่ายและไม่คำนึงถึงคุณสมบัติเฉพาะของค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่า เนื่องจากในทางปฏิบัติ (ในการคำนวณทางเศรษฐกิจและทางเทคนิค) เราต้องจัดการกับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ! เจอกันในคลาส! ครูสอนพิเศษ Dmitry Aistrakhanov

ไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วนจำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

เรายังคงพิจารณาระบบสมการเชิงเส้นต่อไป บทเรียนนี้เป็นบทเรียนที่สามในหัวข้อ หากคุณมีความคิดที่คลุมเครือว่าระบบสมการเชิงเส้นโดยทั่วไปคืออะไร คุณรู้สึกเหมือนกาน้ำชา ฉันขอแนะนำให้เริ่มต้นด้วยพื้นฐานในหน้าถัดไป การศึกษาบทเรียนจะเป็นประโยชน์

วิธีเกาส์นั้นง่ายมาก!ทำไม ในช่วงชีวิตของเขา โยฮันน์ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวเยอรมัน ได้รับการยอมรับว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล เป็นอัจฉริยะ และได้รับสมญานามว่า "ราชาแห่งคณิตศาสตร์" และทุกอย่างที่ชาญฉลาดอย่างที่คุณรู้นั้นง่ายมาก!อย่างไรก็ตาม ไม่เพียงแต่ดูดเงินเท่านั้น แต่ยังรวมถึงอัจฉริยะด้วย - ภาพเหมือนของ Gauss ถูกโอ้อวดบนใบเรียกเก็บเงิน 10 Deutschmarks (ก่อนเปิดตัวเงินยูโร) และ Gauss ยังคงยิ้มอย่างลึกลับให้ชาวเยอรมันจากแสตมป์ธรรมดา

วิธีเกาส์นั้นเรียบง่ายเพราะความรู้ของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ก็เพียงพอแล้วที่จะเชี่ยวชาญ ต้องบวกทวีคูณให้ได้!ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ครูผู้สอนวิชาเลือกทางคณิตศาสตร์มักจะพิจารณาวิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอมอย่างต่อเนื่อง เป็นเรื่องที่ขัดแย้งกัน แต่วิธี Gauss ทำให้นักเรียนลำบากที่สุด ไม่มีอะไรน่าแปลกใจ - ทั้งหมดเกี่ยวกับวิธีการและฉันจะพยายามบอกในรูปแบบที่เข้าถึงได้เกี่ยวกับอัลกอริทึมของวิธีการ

ก่อนอื่น เราจัดระบบความรู้เกี่ยวกับระบบสมการเชิงเส้นเล็กน้อย ระบบสมการเชิงเส้นสามารถ:

1) มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ 2) มีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุด 3) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา (เป็น เข้ากันไม่ได้).

วิธีเกาส์เป็นเครื่องมือที่ทรงพลังและหลากหลายที่สุดสำหรับการค้นหาคำตอบ ใดๆระบบสมการเชิงเส้น อย่างที่เราจำได้ กฎของแครมเมอร์และเมทริกซ์ไม่เหมาะในกรณีที่ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายหรือไม่สอดคล้องกัน วิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่อง ถึงอย่างไรนำเราไปสู่คำตอบ! ในบทเรียนนี้ เราจะพิจารณาวิธีเกาส์อีกครั้งสำหรับกรณีที่ 1 (วิธีแก้ปัญหาเดียวสำหรับระบบ) บทความสงวนไว้สำหรับสถานการณ์ของจุดที่ 2-3 ฉันทราบว่าอัลกอริทึมของเมธอดนั้นทำงานในลักษณะเดียวกันในทั้งสามกรณี

กลับไป ระบบที่ง่ายที่สุดจากบทเรียน จะแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้อย่างไร?และแก้ด้วยวิธีเกาส์เซียน

ขั้นตอนแรกคือการเขียน ระบบเมทริกซ์ขยาย: . ฉันคิดว่าทุกคนสามารถเห็นค่าสัมประสิทธิ์ตามหลักการใด เส้นแนวตั้งภายในเมทริกซ์ไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ใดๆ - เป็นเพียงเส้นขีดทับเพื่อความสะดวกในการออกแบบ

อ้างอิง : ฉันแนะนำให้จำ ข้อกำหนด พีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์ระบบ เป็นเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์สำหรับไม่ทราบค่าเท่านั้น ในตัวอย่างนี้ เมทริกซ์ของระบบ: . เมทริกซ์ระบบขยาย เป็นเมทริกซ์เดียวกันของระบบบวกกับคอลัมน์ของสมาชิกฟรี ในกรณีนี้: . เมทริกซ์ใด ๆ สามารถเรียกง่าย ๆ ว่าเมทริกซ์เพื่อความกระชับ

หลังจากเขียนเมทริกซ์เพิ่มเติมของระบบแล้วจำเป็นต้องดำเนินการบางอย่างกับมันซึ่งเรียกว่า การแปลงเบื้องต้น.

มีการแปลงเบื้องต้นดังต่อไปนี้:

1) สตริงเมทริกซ์ สามารถ จัดเรียงใหม่สถานที่. ตัวอย่างเช่น ในเมทริกซ์ที่กำลังพิจารณา คุณสามารถจัดเรียงแถวที่หนึ่งและแถวที่สองใหม่ได้อย่างปลอดภัย:

2) หากมี (หรือปรากฏ) แถวตามสัดส่วน (เป็นกรณีพิเศษ - เหมือนกัน) ในเมทริกซ์ ก็จะตามมา ลบจากเมทริกซ์ แถวเหล่านี้ทั้งหมดยกเว้นหนึ่งแถว ยกตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาเมทริกซ์ . ในเมทริกซ์นี้ สามแถวสุดท้ายเป็นสัดส่วน ดังนั้นจึงเพียงพอแล้วที่จะเหลือเพียงแถวเดียว: .

3) หากมีแถวศูนย์ปรากฏในเมทริกซ์ระหว่างการแปลงก็จะตามมาด้วย ลบ. แน่นอนฉันจะไม่วาดเส้นศูนย์คือเส้นที่ เลขศูนย์เท่านั้น.

4) แถวของเมทริกซ์สามารถเป็นได้ คูณ (หาร)สำหรับหมายเลขใด ๆ ไม่ใช่ศูนย์. ยกตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาเมทริกซ์ ขอแนะนำให้แบ่งบรรทัดแรกด้วย -3 และคูณบรรทัดที่สองด้วย 2: . การดำเนินการนี้มีประโยชน์มากเนื่องจากทำให้การแปลงเมทริกซ์เพิ่มเติมง่ายขึ้น

5) การเปลี่ยนแปลงนี้ทำให้เกิดปัญหามากที่สุด แต่ในความเป็นจริงก็ไม่มีอะไรซับซ้อนเช่นกัน ไปยังแถวของเมทริกซ์ คุณทำได้ เพิ่มสตริงอื่นคูณด้วยตัวเลขแตกต่างจากศูนย์ พิจารณาเมทริกซ์ของเราจาก กรณีศึกษา: . ก่อนอื่น ฉันจะอธิบายการเปลี่ยนแปลงโดยละเอียด คูณแถวแรกด้วย -2: , และ เราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย -2 ในบรรทัดที่สอง: . ตอนนี้สามารถแบ่งบรรทัดแรก "ย้อนกลับ" โดย -2: อย่างที่คุณเห็นบรรทัดที่ถูกเพิ่ม หลี่ – ยังไม่เปลี่ยนแปลง. เสมอบรรทัดมีการเปลี่ยนแปลงซึ่งเพิ่มเข้ามา ยูทาห์.

ในทางปฏิบัติ แน่นอน พวกเขาไม่ได้ลงสีในรายละเอียดดังกล่าว แต่เขียนให้สั้นลง: อีกครั้ง: ไปที่บรรทัดที่สอง เพิ่มแถวแรกคูณด้วย -2. บรรทัดมักจะคูณด้วยวาจาหรือแบบร่างในขณะที่การคำนวณทางจิตเป็นดังนี้:

“ฉันเขียนเมทริกซ์ใหม่และเขียนแถวแรกใหม่: »

คอลัมน์แรกก่อน ด้านล่างฉันต้องได้รับศูนย์ ดังนั้น ฉันคูณหน่วยด้านบนด้วย -2: และเพิ่มหน่วยแรกในบรรทัดที่สอง: 2 + (-2) = 0 ฉันเขียนผลลัพธ์ในบรรทัดที่สอง: »

“ตอนนี้คอลัมน์ที่สอง สูงกว่า -1 คูณ -2: . ฉันเพิ่มบรรทัดแรกในบรรทัดที่สอง: 1 + 2 = 3 ฉันเขียนผลลัพธ์ในบรรทัดที่สอง: »

“และคอลัมน์ที่สาม สูงกว่า -5 คูณ -2: . ฉันเพิ่มบรรทัดแรกในบรรทัดที่สอง: -7 + 10 = 3 ฉันเขียนผลลัพธ์ในบรรทัดที่สอง: »

โปรดคิดอย่างรอบคอบเกี่ยวกับตัวอย่างนี้และทำความเข้าใจอัลกอริทึมการคำนวณตามลำดับ หากคุณเข้าใจสิ่งนี้ วิธีเกาส์ก็แทบจะ "อยู่ในกระเป๋าของคุณ" แต่แน่นอน เรากำลังดำเนินการเปลี่ยนแปลงนี้อยู่

การแปลงเบื้องต้นไม่ได้เปลี่ยนคำตอบของระบบสมการ

! ความสนใจ: ถือว่าปรุงแต่ง ไม่สามารถใช้งานได้หากคุณได้รับการเสนองานโดยให้เมทริกซ์ "ด้วยตัวเอง" ตัวอย่างเช่น กับ "คลาสสิก" เมทริกซ์ไม่ว่าในกรณีใดคุณควรจัดเรียงบางสิ่งภายในเมทริกซ์ใหม่! กลับไปที่ระบบของเรากันเถอะ เธอเกือบจะแตกเป็นชิ้นเล็กชิ้นน้อย

ให้เราเขียนเมทริกซ์ส่วนเพิ่มของระบบและใช้การแปลงเบื้องต้น ลดขนาดลงเป็น มุมมองขั้นบันได:

(1) แถวแรกถูกเพิ่มในแถวที่สอง คูณด้วย -2 และอีกครั้ง: ทำไมเราคูณแถวแรกด้วย -2 เพื่อให้ได้ศูนย์ที่ด้านล่าง ซึ่งหมายถึงการกำจัดตัวแปรหนึ่งตัวในบรรทัดที่สอง

(2) แบ่งแถวที่สองด้วย 3

จุดประสงค์ของการแปลงเบื้องต้น – แปลงเมทริกซ์เป็นรูปแบบขั้นตอน: . ในการออกแบบงาน พวกเขาวาด "บันได" โดยตรงด้วยดินสอง่ายๆ และวงกลมตัวเลขที่อยู่บน "ขั้นบันได" คำว่า "มุมมองแบบขั้นบันได" นั้นไม่ได้เป็นไปตามทฤษฎีทั้งหมด ในวรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์และการศึกษา มักเรียกมันว่า มุมมองสี่เหลี่ยมคางหมูหรือ มุมมองสามเหลี่ยม.

เราได้รับผลจากการแปลงเบื้องต้น เทียบเท่าระบบสมการดั้งเดิม:

ตอนนี้ระบบจะต้อง "ไม่หมุน" ในทิศทางตรงกันข้าม - จากล่างขึ้นบน กระบวนการนี้เรียกว่า วิธีเกาส์ย้อนกลับ.

ในสมการด้านล่าง เราได้ผลลัพธ์ที่เสร็จแล้ว: .

พิจารณาสมการแรกของระบบและแทนค่าที่ทราบแล้วของ "y" ลงในสมการนั้น:

ให้เราพิจารณาสถานการณ์ที่พบบ่อยที่สุด เมื่อต้องใช้วิธีการแบบเกาส์เซียนในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสามสมการที่มีตัวไม่รู้สามตัว

ตัวอย่างที่ 1

แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเกาส์:

มาเขียนเมทริกซ์เสริมของระบบกัน:

ตอนนี้ฉันจะวาดผลลัพธ์ที่เราจะมาถึงในการแก้ปัญหาทันที: และขอย้ำอีกครั้ง เป้าหมายของเราคือทำให้เมทริกซ์อยู่ในรูปขั้นบันไดโดยใช้การแปลงเบื้องต้น จะเริ่มดำเนินการได้ที่ไหน?

ขั้นแรก ดูที่ตัวเลขด้านซ้ายบน: ควรจะอยู่ที่นี่เกือบตลอดเวลา หน่วย. โดยทั่วไปแล้ว -1 (และบางครั้งตัวเลขอื่นๆ) ก็จะเหมาะสมเช่นกัน แต่อย่างใด ตามธรรมเนียมแล้วมักจะวางหน่วยไว้ที่นั่น จัดหน่วยอย่างไร? เราดูที่คอลัมน์แรก - เรามีหน่วยที่เสร็จแล้ว! การแปลงที่หนึ่ง: สลับบรรทัดที่หนึ่งและสาม:

ตอนนี้บรรทัดแรกจะไม่เปลี่ยนแปลงจนกว่าจะสิ้นสุดโซลูชัน. ตอนนี้สบายดี

หน่วยที่ด้านซ้ายบนได้รับการจัดระเบียบ ตอนนี้คุณต้องได้รับศูนย์ในสถานที่เหล่านี้:

ศูนย์จะได้รับเพียงความช่วยเหลือของการแปลง "ยาก" อันดับแรก เราจัดการกับบรรทัดที่สอง (2, -1, 3, 13) ต้องทำอะไรเพื่อให้ได้ศูนย์ในตำแหน่งแรก? จำเป็นต้อง ไปยังบรรทัดที่สอง ให้เพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย -2. ในใจหรือแบบร่าง เราคูณบรรทัดแรกด้วย -2: (-2, -4, 2, -18) และเราดำเนินการอย่างต่อเนื่อง (อีกครั้งทางจิตใจหรือร่าง) นอกจากนี้ เราเพิ่มบรรทัดแรกลงในบรรทัดที่สองแล้วคูณด้วย -2:

ผลลัพธ์ถูกเขียนในบรรทัดที่สอง:

ในทำนองเดียวกัน เราจัดการกับบรรทัดที่สาม (3, 2, -5, -1) เพื่อให้ได้ศูนย์ในตำแหน่งแรก คุณต้องมี ไปยังบรรทัดที่สาม ให้เพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย -3. ในใจหรือแบบร่าง เราคูณบรรทัดแรกด้วย -3: (-3, -6, 3, -27) และ เราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย -3 ในบรรทัดที่สาม:

ผลลัพธ์ถูกเขียนในบรรทัดที่สาม:

ในทางปฏิบัติ การกระทำเหล่านี้มักจะดำเนินการด้วยวาจาและเขียนลงในขั้นตอนเดียว:

ไม่จำเป็นต้องนับทุกอย่างพร้อมกันและในเวลาเดียวกัน. ลำดับการคำนวณและ "การแทรก" ของผลลัพธ์ สม่ำเสมอและมักจะเป็นเช่นนี้: ก่อนอื่นเราเขียนบรรทัดแรกใหม่และพองตัวเองอย่างเงียบ ๆ - สม่ำเสมอและ เอาใจใส่:
และฉันได้พิจารณาหลักสูตรทางจิตของการคำนวณด้วยตนเองข้างต้นแล้ว

ในตัวอย่างนี้ ทำได้ง่าย โดยเราหารบรรทัดที่สองด้วย -5 (เนื่องจากตัวเลขทั้งหมดหารด้วย 5 โดยไม่มีเศษเหลือ) ในเวลาเดียวกัน เราแบ่งบรรทัดที่สามด้วย -2 เพราะยิ่งจำนวนน้อย วิธีแก้ก็จะยิ่งง่ายขึ้น:

ในขั้นตอนสุดท้ายของการแปลงเบื้องต้น จะต้องได้รับศูนย์อีกหนึ่งศูนย์ที่นี่:

สำหรับสิ่งนี้ เราเพิ่มบรรทัดที่สองในบรรทัดที่สามคูณด้วย -2:
พยายามแยกวิเคราะห์การกระทำนี้ด้วยตัวคุณเอง - ในใจคูณบรรทัดที่สองด้วย -2 แล้วทำการบวก

การกระทำสุดท้ายที่ทำคือทรงผมของผลลัพธ์ แบ่งบรรทัดที่สามด้วย 3

อันเป็นผลมาจากการแปลงเบื้องต้นทำให้ได้ระบบสมการเชิงเส้นเริ่มต้นที่เทียบเท่ากัน: เย็น.

ตอนนี้แนวทางย้อนกลับของวิธี Gaussian เข้ามามีบทบาท สมการ "คลี่คลาย" จากล่างขึ้นบน

ในสมการที่สาม เราได้ผลลัพธ์ที่เสร็จสมบูรณ์แล้ว:

ลองดูสมการที่สอง: . ความหมายของ "z" เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วดังนี้:

และสุดท้าย สมการแรก: . รู้จัก "Y" และ "Z" เรื่องเล็กน้อย:

คำตอบ:

ดังที่ได้กล่าวไว้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า สำหรับระบบสมการใดๆ ก็ตาม เป็นไปได้และจำเป็นในการตรวจสอบคำตอบที่พบ โชคดีที่สิ่งนี้ไม่ใช่เรื่องยากและรวดเร็ว

ตัวอย่างที่ 2

นี่คือตัวอย่างการแก้ปัญหาด้วยตนเอง ตัวอย่างการจบ และคำตอบท้ายบทเรียน

ควรสังเกตว่าคุณ หลักสูตรของการดำเนินการอาจไม่ตรงกับการกระทำของฉัน และนี่คือคุณสมบัติของวิธีเกาส์. แต่คำตอบต้องเหมือนกัน!

ตัวอย่างที่ 3

แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเกาส์

เราดูที่ "ขั้นตอน" ด้านซ้ายบน ที่นั่นเราควรมีหน่วย ปัญหาคือไม่มีคอลัมน์แรกในคอลัมน์แรก ดังนั้นจึงไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการจัดเรียงแถวใหม่ ในกรณีเช่นนี้ ต้องจัดหน่วยโดยใช้การแปลงเบื้องต้น โดยปกติสามารถทำได้หลายวิธี ฉันทำสิ่งนี้: (1) ในบรรทัดแรก เราเพิ่มบรรทัดที่สอง คูณด้วย -1. นั่นคือ เราคิดคูณบรรทัดที่สองด้วย -1 และทำการบวกบรรทัดแรกและบรรทัดที่สอง ในขณะที่บรรทัดที่สองไม่เปลี่ยนแปลง

ตอนนี้ที่ด้านบนซ้าย "ลบหนึ่ง" ซึ่งเหมาะกับเราอย่างสมบูรณ์ ใครอยากได้ +1 ให้ทำท่าทางเพิ่มเติม: คูณบรรทัดแรกด้วย -1 (เปลี่ยนเครื่องหมาย)

(2) แถวแรกคูณด้วย 5 ถูกเพิ่มในแถวที่สอง แถวแรกคูณด้วย 3 ถูกเพิ่มในแถวที่สาม

(3) บรรทัดแรกคูณด้วย -1 โดยหลักการแล้วนี่คือเพื่อความสวยงาม เครื่องหมายของบรรทัดที่สามก็ถูกเปลี่ยนและย้ายไปยังตำแหน่งที่สอง ดังนั้น ในขั้นที่สอง “เราได้หน่วยที่ต้องการแล้ว

(4) เพิ่มบรรทัดที่สองคูณด้วย 2 ในบรรทัดที่สาม

(5) แถวที่สามหารด้วย 3

สัญญาณที่ไม่ดีที่บ่งบอกถึงข้อผิดพลาดในการคำนวณ (มักจะพิมพ์ผิดน้อยกว่า) คือบรรทัดล่างสุดที่ "ไม่ดี" นั่นคือถ้าเรามีบางอย่างด้านล่างและตามนั้น จากนั้นมีความเป็นไปได้สูงที่สามารถโต้แย้งได้ว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นระหว่างการแปลงเบื้องต้น

เราเรียกเก็บเงินจากการย้ายย้อนกลับ ในการออกแบบตัวอย่าง ระบบมักไม่ได้เขียนใหม่ และสมการจะ "นำมาจากเมทริกซ์ที่กำหนดโดยตรง" ฉันเตือนคุณว่าการเคลื่อนไหวย้อนกลับทำงานจากล่างขึ้นบน ใช่ นี่คือของขวัญ:

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 4

แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเกาส์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ซึ่งค่อนข้างซับซ้อนกว่า ไม่เป็นไรถ้ามีคนสับสน โซลูชันฉบับเต็มและตัวอย่างการออกแบบในตอนท้ายของบทเรียน วิธีแก้ปัญหาของคุณอาจแตกต่างจากของฉัน

ในส่วนสุดท้าย เราจะพิจารณาคุณลักษณะบางอย่างของอัลกอริทึมเกาส์ คุณลักษณะแรกคือบางครั้งตัวแปรบางตัวหายไปในสมการของระบบ ตัวอย่างเช่น: จะเขียน augmented matrix ของระบบได้อย่างไร? ฉันได้พูดคุยเกี่ยวกับช่วงเวลานี้แล้วในบทเรียน กฎของแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์. ในเมทริกซ์ขยายของระบบ เราใส่เลขศูนย์แทนตัวแปรที่ขาดหายไป: อย่างไรก็ตาม นี่เป็นตัวอย่างที่ค่อนข้างง่าย เนื่องจากมีเลขศูนย์อยู่แล้วหนึ่งตัวในคอลัมน์แรก และมีการแปลงเบื้องต้นน้อยกว่าที่ต้องทำ

คุณลักษณะที่สองคือสิ่งนี้ ในตัวอย่างทั้งหมดที่พิจารณา เราวาง –1 หรือ +1 บน “ขั้นตอน” อาจมีตัวเลขอื่นอีกไหม ในบางกรณีสามารถทำได้ พิจารณาระบบ: .

ที่นี่ที่ "ขั้นตอน" ซ้ายบนเรามีผีสาง แต่เราสังเกตเห็นความจริงที่ว่าตัวเลขทั้งหมดในคอลัมน์แรกหารด้วย 2 โดยไม่มีเศษเหลือ - และอีกสองและหก และผีสางที่ด้านซ้ายบนจะเหมาะกับเรา! ในขั้นตอนแรก คุณต้องดำเนินการแปลงต่อไปนี้: เพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย -1 ในบรรทัดที่สอง ไปยังบรรทัดที่สาม ให้เพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย -3 ดังนั้นเราจะได้ศูนย์ที่ต้องการในคอลัมน์แรก

หรืออื่น ๆ เช่นนี้ ตัวอย่างเงื่อนไข: . ที่นี่สามเท่าของ "รุ่ง" ที่สองก็เหมาะกับเราเช่นกันเนื่องจาก 12 (ตำแหน่งที่เราต้องได้ศูนย์) หารด้วย 3 โดยไม่มีเศษเหลือ มีความจำเป็นต้องดำเนินการแปลงต่อไปนี้: เพิ่มบรรทัดที่สองในบรรทัดที่สามคูณด้วย -4 ซึ่งเป็นผลมาจากศูนย์ที่เราต้องการ

วิธีเกาส์เป็นสากล แต่มีลักษณะเฉพาะอย่างหนึ่ง เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีอื่นอย่างมั่นใจ (วิธีของ Cramer, วิธีเมทริกซ์) อาจเป็นครั้งแรกอย่างแท้จริง - มีอัลกอริทึมที่เข้มงวดมาก แต่เพื่อให้มั่นใจในวิธีการของ Gauss คุณควร "เติมมือของคุณ" และแก้ปัญหาอย่างน้อย 5-10 สิบระบบ ดังนั้นในตอนแรกอาจเกิดความสับสน ข้อผิดพลาดในการคำนวณ และไม่มีอะไรผิดปกติหรือน่าเศร้าในเรื่องนี้

นอกหน้าต่างมีฝนตกในฤดูใบไม้ร่วง .... ดังนั้นสำหรับทุกคนมากขึ้น ตัวอย่างที่ซับซ้อนสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 5

แก้ระบบสมการเชิงเส้น 4 ตัวแปรด้วยนิรนาม 4 ตัวโดยใช้วิธีเกาส์

งานดังกล่าวในทางปฏิบัติไม่ได้หายากนัก ฉันคิดว่าแม้แต่กาน้ำชาที่ศึกษาหน้านี้โดยละเอียดก็เข้าใจอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาระบบดังกล่าวโดยสัญชาตญาณ โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกัน - แค่มีการกระทำมากขึ้น

กรณีที่ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่สอดคล้องกัน) หรือมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วนจะพิจารณาในบทเรียน ระบบที่เข้ากันไม่ได้และระบบที่มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไป. คุณสามารถแก้ไขอัลกอริทึมการพิจารณาของวิธี Gauss ได้ที่นั่น

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2: สารละลาย : ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบและใช้การแปลงเบื้องต้น นำมาเป็นรูปแบบขั้นบันได
ทำการแปลงเบื้องต้น: (1) แถวแรกถูกเพิ่มในแถวที่สอง คูณด้วย -2 บรรทัดแรกถูกเพิ่มในบรรทัดที่สาม คูณด้วย -1 ความสนใจ! อาจเป็นการดึงดูดที่จะลบบรรทัดแรกออกจากบรรทัดที่สาม ฉันไม่แนะนำให้ลบออกอย่างยิ่ง - ความเสี่ยงของข้อผิดพลาดจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก เราก็พับ! (2) เครื่องหมายของบรรทัดที่สองเปลี่ยนไป (คูณด้วย -1) เปลี่ยนบรรทัดที่สองและสามแล้ว บันทึก ที่ "ขั้นตอน" เราพอใจไม่เพียง แต่อย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ยังรวมถึง -1 ซึ่งสะดวกยิ่งขึ้น (3) ในบรรทัดที่สาม ให้เพิ่มบรรทัดที่สอง คูณด้วย 5 (4) เครื่องหมายของบรรทัดที่สองเปลี่ยนไป (คูณด้วย -1) บรรทัดที่สามหารด้วย 14

ย้อนกลับ:

คำตอบ : .

ตัวอย่างที่ 4: สารละลาย : เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และใช้การแปลงเบื้องต้น นำมาเป็นรูปแบบขั้นตอน:

การแปลงที่ดำเนินการ: (1) เพิ่มบรรทัดที่สองในบรรทัดแรก ดังนั้นหน่วยที่ต้องการจะถูกจัดไว้ที่ "ขั้นตอน" ด้านซ้ายบน (2) แถวแรกคูณด้วย 7 ถูกเพิ่มในแถวที่สอง แถวแรกคูณด้วย 6 ถูกเพิ่มในแถวที่สาม

ด้วย "ขั้นตอน" ที่สองทุกอย่างแย่ลง , "ผู้สมัคร" สำหรับมันคือหมายเลข 17 และ 23 และเราต้องการอย่างใดอย่างหนึ่งหรือ -1 การแปลงร่าง (3) และ (4) จะมีจุดมุ่งหมายเพื่อให้ได้หน่วยที่ต้องการ (3) เพิ่มบรรทัดที่สองในบรรทัดที่สาม คูณด้วย -1 (4) เพิ่มบรรทัดที่สามคูณด้วย -3 ในบรรทัดที่สอง ได้รับสิ่งที่จำเป็นในขั้นตอนที่สองแล้ว . (5) เพิ่มบรรทัดที่สองลงในบรรทัดที่สาม คูณด้วย 6 (6) แถวที่สองคูณด้วย -1 แถวที่สามหารด้วย -83

ย้อนกลับ:

คำตอบ :

ตัวอย่างที่ 5: สารละลาย : ให้เราเขียนเมทริกซ์ของระบบและใช้การแปลงเบื้องต้น นำมาเป็นรูปแบบขั้นตอน:

การแปลงที่ดำเนินการ: (1) บรรทัดแรกและบรรทัดที่สองถูกสลับ (2) แถวแรกถูกเพิ่มในแถวที่สอง คูณด้วย -2 บรรทัดแรกถูกเพิ่มในบรรทัดที่สาม คูณด้วย -2 บรรทัดแรกถูกเพิ่มในบรรทัดที่สี่ คูณด้วย -3 (3) เพิ่มบรรทัดที่สองคูณด้วย 4 ในบรรทัดที่สาม เพิ่มบรรทัดที่สองคูณด้วย -1 ในบรรทัดที่สี่ (4) เครื่องหมายของบรรทัดที่สองมีการเปลี่ยนแปลง บรรทัดที่สี่ถูกหารด้วย 3 และวางแทนบรรทัดที่สาม (5) เพิ่มบรรทัดที่สามในบรรทัดที่สี่ คูณด้วย -5

ย้อนกลับ:

คำตอบ :

วิธี Gauss หรือที่เรียกว่าวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่องประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้ การใช้การแปลงเบื้องต้น ระบบสมการเชิงเส้นจะนำไปสู่รูปแบบที่เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์กลายเป็น รูปสี่เหลี่ยมคางหมู (เหมือนกับรูปสามเหลี่ยมหรือขั้นบันได) หรือใกล้กับสี่เหลี่ยมคางหมู (เส้นทางตรงของวิธี Gauss จากนั้น - เพียงแค่ย้ายโดยตรง) ตัวอย่างของระบบดังกล่าวและวิธีแก้ปัญหาแสดงอยู่ในรูปด้านบน

ในระบบดังกล่าว สมการสุดท้ายมีตัวแปรเพียงตัวเดียวและสามารถหาค่าได้โดยไม่ซ้ำกัน จากนั้นจึงแทนค่าของตัวแปรนี้ลงในสมการก่อนหน้า ( เกาส์เซียนย้อนกลับ จากนั้น - เพียงแค่ย้อนกลับ) ซึ่งพบตัวแปรก่อนหน้าและอื่น ๆ

ในระบบสี่เหลี่ยมคางหมู (สามเหลี่ยม) อย่างที่เราเห็น สมการที่สามไม่มีตัวแปรอีกต่อไป ยและ xและสมการที่สอง - ตัวแปร x .

หลังจากที่เมทริกซ์ของระบบมีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูแล้ว การแยกแยะคำถามเกี่ยวกับความเข้ากันได้ของระบบ การกำหนดจำนวนโซลูชัน และค้นหาโซลูชันด้วยตนเองก็ไม่ใช่เรื่องยากอีกต่อไป

ข้อดีของวิธีนี้:

1. เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีมากกว่าสามสมการและไม่ทราบค่า วิธีเกาส์ไม่ยุ่งยากเท่ากับวิธีแครมเมอร์ เนื่องจากต้องใช้การคำนวณน้อยลงเมื่อแก้วิธีเกาส์
2. โดยใช้วิธี Gauss คุณสามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่มีขอบเขตจำกัด นั่นคือ มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (และเราจะวิเคราะห์พวกมันในบทเรียนนี้) และใช้วิธี Cramer คุณสามารถระบุได้ว่าระบบนั้นไม่แน่นอนเท่านั้น
3. คุณสามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่จำนวนที่ไม่รู้จักไม่เท่ากับจำนวนสมการ (เราจะวิเคราะห์พวกมันในบทเรียนนี้ด้วย)
4. วิธีการนี้ขึ้นอยู่กับวิธีการระดับประถมศึกษา (โรงเรียน) - วิธีการแทนที่สิ่งที่ไม่รู้จักและวิธีการเพิ่มสมการที่เราได้กล่าวถึงในบทความที่เกี่ยวข้อง

เพื่อให้ทุกคนรู้สึกตื้นตันใจกับความเรียบง่ายของระบบสมการเชิงเส้นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (สามเหลี่ยม, ขั้นตอน) เรานำเสนอวิธีแก้ปัญหาของระบบดังกล่าวโดยใช้จังหวะย้อนกลับ วิธีแก้ปัญหาอย่างรวดเร็วสำหรับระบบนี้แสดงในรูปภาพที่จุดเริ่มต้นของบทเรียน

ตัวอย่างที่ 1แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้การย้อนกลับ:

สารละลาย. ในระบบสี่เหลี่ยมคางหมูนี้ ตัวแปร ซีพบได้เฉพาะจากสมการที่สาม เราแทนค่าลงในสมการที่สองและรับค่าของตัวแปร ย:

ตอนนี้เรารู้ค่าของตัวแปรสองตัวแล้ว - ซีและ ย. เราแทนค่าลงในสมการแรกและรับค่าของตัวแปร x:

จากขั้นตอนก่อนหน้านี้ เราเขียนคำตอบของระบบสมการ:

เพื่อให้ได้ระบบสมการเชิงเส้นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งเราแก้ไขได้ง่ายมากจำเป็นต้องใช้การเคลื่อนไหวโดยตรงที่เกี่ยวข้องกับการแปลงเบื้องต้นของระบบสมการเชิงเส้น นอกจากนี้ยังไม่ยากมาก

การแปลงเบื้องต้นของระบบสมการเชิงเส้น

ทำซ้ำวิธีการของโรงเรียนในการเพิ่มสมการพีชคณิตของระบบเราพบว่าสมการอื่นของระบบสามารถเพิ่มลงในสมการหนึ่งของระบบและแต่ละสมการสามารถคูณด้วยตัวเลขบางตัวได้ เป็นผลให้เราได้รับระบบสมการเชิงเส้นที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด ในนั้นสมการหนึ่งมีตัวแปรเพียงตัวเดียวแล้วแทนค่าลงในสมการอื่น ๆ เรามาหาวิธีแก้ปัญหา การเพิ่มดังกล่าวเป็นหนึ่งในประเภทของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นของระบบ เมื่อใช้วิธี Gauss เราสามารถใช้การแปลงได้หลายประเภท

ภาพเคลื่อนไหวด้านบนแสดงให้เห็นว่าระบบสมการค่อยๆ เปลี่ยนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้อย่างไร นั่นคือสิ่งที่คุณเห็นในแอนิเมชั่นแรกและทำให้แน่ใจว่าง่ายต่อการค้นหาค่าของสิ่งแปลกปลอมทั้งหมดจากมัน วิธีการทำการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวและแน่นอนว่าจะมีการกล่าวถึงตัวอย่างต่อไป

เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยสมการจำนวนเท่าใดก็ได้และไม่ทราบจำนวนในระบบสมการและในเมทริกซ์ขยายของระบบ สามารถ:

1. swaplines (สิ่งนี้ถูกกล่าวถึงในตอนต้นของบทความนี้);
2. หากเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงอื่น ๆ ที่มีเส้นเท่ากันหรือเป็นสัดส่วนก็สามารถลบออกได้ยกเว้นเส้นเดียว
3. ลบแถว "null" โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์
4. คูณหรือหารสตริงใด ๆ ด้วยตัวเลข
5. เพิ่มบรรทัดอื่นคูณด้วยจำนวนใด ๆ ในบรรทัดใด ๆ

จากผลของการแปลง เราได้รับระบบสมการเชิงเส้นที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด

อัลกอริทึมและตัวอย่างการแก้สมการโดยวิธีเกาส์ ระบบสมการเชิงเส้นกับเมทริกซ์กำลังสองของระบบ

ก่อนอื่นให้พิจารณาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นที่จำนวนที่ไม่ทราบค่าเท่ากับจำนวนสมการ เมทริกซ์ของระบบดังกล่าวเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ จำนวนแถวในนั้นเท่ากับจำนวนคอลัมน์

ตัวอย่างที่ 2แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเกาส์

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการแบบโรงเรียน เราคูณเทอมต่อเทอมหนึ่งของสมการด้วยจำนวนที่แน่นอน เพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวแรกในสมการทั้งสองเป็นเลขตรงข้ามกัน เมื่อเพิ่มสมการ ตัวแปรนี้จะถูกกำจัด วิธี Gauss ทำงานในลักษณะเดียวกัน

เพื่อให้ง่ายขึ้น รูปร่างโซลูชั่น สร้างเมทริกซ์เสริมของระบบ:

ในเมทริกซ์นี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จะอยู่ทางด้านซ้ายก่อนแถบแนวตั้ง และสมาชิกอิสระจะอยู่ทางด้านขวาหลังแถบแนวตั้ง

เพื่อความสะดวกในการหารค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร (จะได้หารด้วย 1) สลับแถวที่หนึ่งและสองของเมทริกซ์ระบบ. เราได้ระบบที่เทียบเท่ากับระบบที่กำหนด เนื่องจากในระบบสมการเชิงเส้น เราสามารถจัดเรียงสมการใหม่ได้:

ด้วยสมการแรกใหม่ กำจัดตัวแปร xจากสมการที่สองและสมการที่ตามมาทั้งหมด. ในการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มแถวแรกคูณด้วย (ในกรณีของเราด้วย ) ไปยังแถวที่สองของเมทริกซ์ และแถวแรกคูณด้วย (ในกรณีของเราด้วย ) ไปยังแถวที่สาม

สิ่งนี้เป็นไปได้เพราะ

หากมีสมการมากกว่าสามสมการในระบบของเรา บรรทัดแรกควรเพิ่มลงในสมการที่ตามมาทั้งหมด คูณด้วยอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้อง โดยใช้เครื่องหมายลบ

เป็นผลให้เราได้รับเมทริกซ์ที่เทียบเท่ากับระบบที่กำหนด ระบบใหม่สมการ ซึ่งสมการทั้งหมดเริ่มต้นจากสมการที่สอง ไม่มีตัวแปร x :

ในการทำให้แถวที่สองของระบบผลลัพธ์ง่ายขึ้น เราคูณมันด้วยและรับเมทริกซ์ของระบบสมการที่เทียบเท่ากับระบบนี้อีกครั้ง:

ตอนนี้ การรักษาสมการแรกของระบบผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลง ใช้สมการที่สอง เรากำจัดตัวแปร ย จากสมการที่ตามมาทั้งหมด ในการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มแถวที่สองคูณด้วย (ในกรณีของเราคือด้วย ) ไปยังแถวที่สามของเมทริกซ์ระบบ

หากมีสมการมากกว่าสามสมการในระบบของเรา ควรเพิ่มบรรทัดที่สองลงในสมการที่ตามมาทั้งหมด คูณด้วยอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน โดยใช้เครื่องหมายลบ

เป็นผลให้เราได้รับเมทริกซ์ของระบบที่เทียบเท่ากับระบบสมการเชิงเส้นที่กำหนดอีกครั้ง:

เราได้รับระบบสี่เหลี่ยมคางหมูของสมการเชิงเส้นที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด:

หากจำนวนสมการและตัวแปรมากกว่าในตัวอย่างของเรา กระบวนการกำจัดตัวแปรตามลำดับจะดำเนินต่อไปจนกว่าเมทริกซ์ของระบบจะกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ดังตัวอย่างตัวอย่างของเรา

เราจะพบวิธีแก้ปัญหา "จากจุดสิ้นสุด" - ย้อนกลับ. สำหรับสิ่งนี้ จากสมการสุดท้ายที่เรากำหนด ซี:
.
แทนค่านี้ลงในสมการก่อนหน้า หา ย:

จากสมการแรก หา x:

คำตอบ: คำตอบของระบบสมการนี้ - .

: ในกรณีนี้ จะได้รับคำตอบเดียวกันหากระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ หากระบบมีวิธีแก้ปัญหาเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด คำตอบก็จะเป็นเช่นนั้น และนี่คือหัวข้อของส่วนที่ห้าของบทเรียนนี้

แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเกาส์ด้วยตัวเอง แล้วดูคำตอบ

ก่อนหน้าเราเป็นตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้นที่แน่นอนและแน่นอนอีกครั้ง ซึ่งจำนวนสมการจะเท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบค่า ความแตกต่างจากตัวอย่างการสาธิตจากอัลกอริทึมคือมีสี่สมการและสี่สิ่งที่ไม่รู้จักอยู่แล้ว

ตัวอย่างที่ 4แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์:

ตอนนี้คุณต้องใช้สมการที่สองเพื่อแยกตัวแปรออกจากสมการที่ตามมา มาเตรียมงานกัน เพื่อให้สะดวกยิ่งขึ้นด้วยอัตราส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ คุณต้องได้รับหน่วยในคอลัมน์ที่สองของแถวที่สอง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบแถวที่สามออกจากแถวที่สอง แล้วคูณผลลัพธ์แถวที่สองด้วย -1

ให้เราดำเนินการกำจัดตัวแปรจริงจากสมการที่สามและสี่ ในการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัดที่สอง คูณด้วย ไปที่บรรทัดที่สาม และบรรทัดที่สอง คูณด้วย ไปที่บรรทัดที่สี่

ตอนนี้ ใช้สมการที่สาม เรากำจัดตัวแปรออกจากสมการที่สี่ ในการทำเช่นนี้ เพิ่มบรรทัดที่สามลงในบรรทัดที่สี่ คูณด้วย เราได้เมทริกซ์ขยายของรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู

เราได้รับระบบสมการซึ่งเทียบเท่ากับ ระบบนี้:

ดังนั้นผลลัพธ์และระบบที่กำหนดจึงสอดคล้องและแน่นอน เราพบทางออกสุดท้าย "จากจุดสิ้นสุด" จากสมการที่สี่ เราสามารถแสดงค่าของตัวแปร "x ที่สี่" ได้โดยตรง:

เราแทนค่านี้ลงในสมการที่สามของระบบและรับ

,

,

สุดท้าย การทดแทนค่า

ในสมการแรกให้

,

ที่เราพบ "x ก่อน":

คำตอบ: ระบบสมการนี้มีคำตอบที่ไม่เหมือนใคร .

คุณยังสามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของระบบบนเครื่องคิดเลขที่แก้ปัญหาด้วยวิธีของ Cramer ในกรณีนี้ จะได้รับคำตอบเดียวกันหากระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

การแก้ปัญหาโดยวิธีเกาส์ที่ใช้กับตัวอย่างปัญหาสำหรับโลหะผสม

ระบบสมการเชิงเส้นถูกนำมาใช้เพื่อจำลองวัตถุจริงของโลกทางกายภาพ มาแก้ปัญหาเหล่านี้กัน - สำหรับโลหะผสม งานที่คล้ายกัน - งานเกี่ยวกับส่วนผสม ต้นทุน หรือ แรงดึงดูดเฉพาะสินค้าแต่ละรายการในกลุ่มของสินค้าและอื่น ๆ

ตัวอย่างที่ 5โลหะผสมสามชิ้นมีมวลรวม 150 กก. โลหะผสมแรกประกอบด้วยทองแดง 60%, ที่สอง - 30%, ที่สาม - 10% ในขณะเดียวกัน ในโลหะผสมที่สองและสามเมื่อนำมารวมกัน ทองแดงจะน้อยกว่าโลหะผสมชนิดแรก 28.4 กก. และในโลหะผสมที่สาม ทองแดงจะน้อยกว่าในโลหะผสมที่สอง 6.2 กก. หามวลของโลหะผสมแต่ละชิ้น

สารละลาย. เราสร้างระบบสมการเชิงเส้น:

การคูณสมการที่สองและสามด้วย 10 เราได้ระบบสมการเชิงเส้นที่สมมูลกัน:

เราสร้างเมทริกซ์เพิ่มเติมของระบบ:

ความสนใจ การเคลื่อนไหวโดยตรง ด้วยการเพิ่ม (ในกรณีของเรา การลบ) หนึ่งแถว คูณด้วยตัวเลข (เราใช้สองครั้ง) การแปลงต่อไปนี้เกิดขึ้นกับเมทริกซ์แบบขยายของระบบ:

การวิ่งทางตรงสิ้นสุดลงแล้ว เราได้เมทริกซ์ขยายของรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู

ลองใช้สิ่งที่ตรงกันข้ามกัน เราหาทางออกจากจุดสิ้นสุด เราเห็นว่า.

จากสมการที่สองที่เราพบ

จากสมการที่สาม -

คุณยังสามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของระบบบนเครื่องคิดเลขที่แก้ปัญหาด้วยวิธีของ Cramer ในกรณีนี้ จะได้รับคำตอบเดียวกันหากระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

ความเรียบง่ายของวิธี Gauss นั้นเห็นได้จากความจริงที่ว่า Carl Friedrich Gauss นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันใช้เวลาเพียง 15 นาทีในการประดิษฐ์ นอกจากวิธีการตามชื่อของเขาแล้ว จากงานของ Gauss แล้ว คำพูดที่ว่า “เราไม่ควรนำสิ่งที่ดูเหมือนเหลือเชื่อและผิดธรรมชาติสำหรับเรามาปะปนกับสิ่งที่เป็นไปไม่ได้อย่างแน่นอน” เป็นลักษณะหนึ่งของ คำแนะนำสั้น ๆสำหรับการค้นพบ

ในปัญหาประยุกต์จำนวนมาก อาจไม่มีข้อจำกัดที่สาม นั่นคือ สมการที่สาม ดังนั้น จึงจำเป็นต้องแก้ระบบสมการสองสมการที่มีสามสมการโดยใช้วิธีเกาส์ หรือในทางกลับกัน สมการที่ไม่ทราบจำนวนน้อยกว่าสมการ ตอนนี้เราเริ่มแก้ระบบสมการดังกล่าว

โดยใช้วิธี Gauss คุณสามารถระบุได้ว่าระบบใดสอดคล้องกันหรือไม่สอดคล้องกัน นสมการเชิงเส้นด้วย นตัวแปร

วิธีเกาส์และระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด

ตัวอย่างต่อไปคือระบบสมการเชิงเส้นที่สอดคล้องกันแต่ไม่แน่นอน กล่าวคือ มันมีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด

หลังจากดำเนินการแปลงในเมทริกซ์แบบขยายของระบบ (เรียงแถว, คูณและหารแถวด้วยจำนวนที่แน่นอน, เพิ่มหนึ่งแถวไปยังอีกแถวหนึ่ง), แถวของแบบฟอร์ม

ถ้าในสมการทั้งหมดมีรูปแบบ

สมาชิกอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าระบบไม่มีกำหนด นั่นคือ มีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด และสมการประเภทนี้ "ฟุ่มเฟือย" และถูกแยกออกจากระบบ

ตัวอย่างที่ 6

สารละลาย. ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ จากนั้นใช้สมการแรก เรากำจัดตัวแปรออกจากสมการที่ตามมา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในบรรทัดที่สอง สาม และสี่ ให้เพิ่มบรรทัดแรก คูณด้วย ตามลำดับ:

ตอนนี้ให้เพิ่มแถวที่สองเข้ากับแถวที่สามและสี่

เป็นผลให้เรามาถึงระบบ

สมการสองสมการสุดท้ายกลายเป็นสมการของแบบฟอร์ม สมการเหล่านี้มีความพึงพอใจสำหรับค่าใด ๆ ของสิ่งที่ไม่รู้จักและสามารถละทิ้งได้

เพื่อให้เป็นไปตามสมการที่สอง เราสามารถเลือกค่าโดยพลการสำหรับ และ จากนั้นค่าสำหรับจะถูกกำหนดอย่างชัดเจน: . จากสมการแรก ค่าของ จะพบได้เฉพาะเช่นกัน: .

ทั้งระบบที่กำหนดและระบบสุดท้ายเข้ากันได้แต่ไม่แน่นอน และสูตร

ตามอำเภอใจและให้คำตอบทั้งหมดของระบบที่กำหนดแก่เรา

วิธีเกาส์และระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่มีคำตอบ

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีคำตอบ คำตอบสำหรับปัญหาดังกล่าวถูกกำหนดดังนี้: ระบบไม่มีทางแก้ไข

ดังที่กล่าวไว้แล้วเกี่ยวกับตัวอย่างแรก หลังจากดำเนินการแปลงในเมทริกซ์ขยายของระบบ เส้นของแบบฟอร์ม

สอดคล้องกับสมการของแบบฟอร์ม

หากมีสมการอย่างน้อยหนึ่งสมการที่มีพจน์อิสระที่ไม่ใช่ศูนย์ (เช่น ) แสดงว่าระบบสมการนี้ไม่สอดคล้องกัน นั่นคือไม่มีคำตอบ และทำให้คำตอบสมบูรณ์

ตัวอย่างที่ 7แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์:

สารละลาย. เราสร้างเมทริกซ์ขยายของระบบ เมื่อใช้สมการแรก เราจะแยกตัวแปรออกจากสมการที่ตามมา ในการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มตัวแรกคูณด้วยแถวที่สอง ตัวแรกคูณด้วยแถวที่สาม และตัวแรกคูณด้วยแถวที่สี่

ตอนนี้คุณต้องใช้สมการที่สองเพื่อแยกตัวแปรออกจากสมการที่ตามมา ในการรับอัตราส่วนจำนวนเต็มของสัมประสิทธิ์ เราสลับแถวที่สองและสามของเมทริกซ์ขยายของระบบ

หากต้องการแยกออกจากสมการที่สามและสี่ ให้เพิ่มอันที่สอง คูณด้วย ไปที่แถวที่สาม และอันที่สอง คูณด้วย ไปที่สี่

ตอนนี้ ใช้สมการที่สาม เรากำจัดตัวแปรออกจากสมการที่สี่ ในการทำเช่นนี้ เพิ่มบรรทัดที่สามลงในบรรทัดที่สี่ คูณด้วย

ระบบที่กำหนดจึงเทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้:

ระบบผลลัพธ์นั้นไม่สอดคล้องกัน เนื่องจากสมการสุดท้ายไม่สามารถตอบสนองค่าใด ๆ ของสิ่งที่ไม่รู้จักได้ ดังนั้นระบบนี้ไม่มีทางแก้ไข

ให้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งจะต้องแก้ไข (ค้นหาค่าดังกล่าวของสิ่งที่ไม่รู้จัก хi ที่ทำให้แต่ละสมการของระบบมีความเท่าเทียมกัน)

เรารู้ว่าระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถ:

1) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา (เป็น เข้ากันไม่ได้).
2) มีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุด
3) มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

ดังที่เราจำได้ กฎของแครมเมอร์และเมทริกซ์เมทริกซ์นั้นไม่เหมาะสมในกรณีที่ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่จำกัดหรือไม่สอดคล้องกัน วิธีเกาส์ – เครื่องมือที่ทรงพลังและหลากหลายที่สุดสำหรับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นใดๆ, ที่ ในทุกกรณีนำเราไปสู่คำตอบ! อัลกอริทึมของเมธอดทั้งสามกรณีทำงานในลักษณะเดียวกัน หากวิธีแครมเมอร์และเมทริกซ์ต้องการความรู้เรื่องดีเทอร์มิแนนต์ ดังนั้นการประยุกต์ใช้วิธีเกาส์จึงต้องการความรู้เฉพาะการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้เข้าถึงได้แม้กับนักเรียนชั้นประถมศึกษา

การแปลงเมทริกซ์แบบขยาย ( นี่คือเมทริกซ์ของระบบ - เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักเท่านั้น บวกกับคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ)ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นในวิธีเกาส์:

1) กับ ทรอกี้เมทริกซ์ สามารถ จัดเรียงใหม่สถานที่.

2) หากมี (หรือเป็น) แถวที่เป็นสัดส่วน (เป็นกรณีพิเศษ - เหมือนกัน) ในเมทริกซ์ ก็จะตามมา ลบจากเมทริกซ์ แถวเหล่านี้ทั้งหมดยกเว้นหนึ่งแถว

3) หากมีแถวศูนย์ปรากฏในเมทริกซ์ระหว่างการแปลงก็จะตามมาด้วย ลบ.

4) แถวของเมทริกซ์สามารถ คูณ (หาร)เป็นจำนวนอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

5) ไปยังแถวของเมทริกซ์ คุณทำได้ เพิ่มสตริงอื่นคูณด้วยตัวเลขแตกต่างจากศูนย์

ในวิธีเกาส์ การแปลงเบื้องต้นจะไม่เปลี่ยนคำตอบของระบบสมการ

วิธีเกาส์ประกอบด้วยสองขั้นตอน:

1. "การย้ายโดยตรง" - ใช้การแปลงเบื้องต้นนำเมทริกซ์ขยายของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเป็นรูปแบบขั้นบันได "สามเหลี่ยม": องค์ประกอบของเมทริกซ์ขยายที่อยู่ด้านล่างเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ (เลื่อนจากบนลงล่าง ). ตัวอย่างเช่นสำหรับประเภทนี้:

โดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) ให้เราพิจารณาสมการแรกของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นและค่าสัมประสิทธิ์ที่ x 1 เท่ากับ K สมการที่สอง สาม ฯลฯ เราแปลงสมการดังนี้: เราหารแต่ละสมการ (ค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จัก รวมถึงค่าที่ไม่ระบุ) ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่ทราบค่า x 1 ซึ่งอยู่ในแต่ละสมการ และคูณด้วย K หลังจากนั้น ให้ลบค่าแรกออกจากสมการที่สอง ( ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับไม่ทราบและเงื่อนไขฟรี) เราได้ค่าสัมประสิทธิ์เป็น 0 ที่ x 1 ในสมการที่สอง จากสมการที่แปลงที่สาม เราลบสมการแรกออก ดังนั้นจนกว่าสมการทั้งหมดยกเว้นสมการแรกที่ไม่มีค่า x 1 ที่ไม่รู้จัก จะไม่มีสัมประสิทธิ์เป็น 0

2) ไปยังสมการถัดไป ให้นี่เป็นสมการที่สองและสัมประสิทธิ์ที่ x 2 เท่ากับ M สำหรับสมการ "ย่อย" ทั้งหมด เราจะดำเนินการตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ดังนั้น "ภายใต้" x 2 ที่ไม่รู้จักในสมการทั้งหมดจะเป็นศูนย์

3) เราผ่านไปยังสมการถัดไปและต่อไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะมีเทอมว่างที่ไม่รู้จักและเปลี่ยนรูปแบบสุดท้าย

1. "การเคลื่อนที่ย้อนกลับ" ของวิธีเกาส์คือการได้รับคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (การเคลื่อนที่ "จากล่างขึ้นบน") จากสมการสุดท้ายที่ "ต่ำกว่า" เราได้คำตอบแรก - x n ที่ไม่รู้จัก ในการทำเช่นนี้ เราแก้สมการเบื้องต้น A * x n \u003d B ในตัวอย่างด้านบน x 3 \u003d 4 เราแทนค่าที่พบในสมการถัดไป "บน" และแก้ค่านั้นด้วยค่าที่ไม่รู้จักถัดไป ตัวอย่างเช่น x 2 - 4 \u003d 1 เช่น x 2 \u003d 5 และอื่น ๆ จนกว่าเราจะพบสิ่งแปลกปลอมทั้งหมด

ตัวอย่าง.

เราแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยวิธีเกาส์ ตามที่ผู้เขียนบางคนแนะนำ:

เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และใช้การแปลงเบื้องต้น นำมาเป็นรูปแบบขั้นตอน:

เราดูที่ "ขั้นตอน" ด้านซ้ายบน ที่นั่นเราควรมีหน่วย ปัญหาคือไม่มีคอลัมน์แรกในคอลัมน์แรก ดังนั้นจึงไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการจัดเรียงแถวใหม่ ในกรณีเช่นนี้ ต้องจัดหน่วยโดยใช้การแปลงเบื้องต้น โดยปกติสามารถทำได้หลายวิธี ลองทำดังนี้:
1 ขั้นตอน . ในบรรทัดแรก เราเพิ่มบรรทัดที่สอง คูณด้วย -1 นั่นคือ เราคิดคูณบรรทัดที่สองด้วย -1 และทำการบวกบรรทัดแรกและบรรทัดที่สอง ในขณะที่บรรทัดที่สองไม่เปลี่ยนแปลง

ตอนนี้ที่ด้านบนซ้าย "ลบหนึ่ง" ซึ่งเหมาะกับเราอย่างสมบูรณ์ ใครก็ตามที่ต้องการรับ +1 สามารถดำเนินการเพิ่มเติมได้: คูณบรรทัดแรกด้วย -1 (เปลี่ยนเครื่องหมาย)

2 ขั้นตอน . เพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย 5 ในบรรทัดที่สอง เพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย 3 ในบรรทัดที่สาม

3 ขั้นตอน . บรรทัดแรกคูณด้วย -1 โดยหลักการแล้วนี่คือเพื่อความสวยงาม เครื่องหมายของบรรทัดที่สามก็ถูกเปลี่ยนและย้ายไปยังตำแหน่งที่สอง ดังนั้น ในขั้นที่สอง “เราได้หน่วยที่ต้องการแล้ว

4 ขั้นตอน . ที่บรรทัดที่สาม ให้เพิ่มบรรทัดที่สอง คูณด้วย 2

5 ขั้นตอน . บรรทัดที่สามหารด้วย 3

เครื่องหมายที่บ่งชี้ข้อผิดพลาดในการคำนวณ (มักจะพิมพ์ผิดน้อยกว่า) คือบรรทัดล่างสุดที่ "ไม่ดี" นั่นคือถ้าเรามีบางอย่างเช่น (0 0 11 | 23) ด้านล่างและตามด้วย 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 ด้วยความน่าจะเป็นระดับสูงเราสามารถพูดได้ว่าเกิดข้อผิดพลาดในช่วงประถมศึกษา การเปลี่ยนแปลง

เราทำการย้ายแบบย้อนกลับ ในการออกแบบตัวอย่าง ระบบมักจะไม่ได้เขียนใหม่ และสมการจะ "นำมาจากเมทริกซ์ที่กำหนดโดยตรง" ฉันเตือนคุณว่าการเคลื่อนไหวย้อนกลับทำงาน "จากล่างขึ้นบน" ในตัวอย่างนี้ ของขวัญกลายเป็น:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1 ดังนั้น x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

คำตอบ:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1

มาแก้ระบบเดียวกันโดยใช้อัลกอริทึมที่เสนอ เราได้รับ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

หารสมการที่สองด้วย 5 และสมการที่สามด้วย 3 เราได้:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

คูณสมการที่สองและสามด้วย 4 เราได้รับ:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

ลบสมการแรกออกจากสมการที่สองและสาม เราได้:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

หารสมการที่สามด้วย 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

คูณสมการที่สามด้วย 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

ลบสมการที่สองออกจากสมการที่สาม เราจะได้เมทริกซ์เสริม "ขั้นบันได":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ดังนั้น เนื่องจากข้อผิดพลาดสะสมในกระบวนการคำนวณ เราจึงได้ x 3 \u003d 0.96 หรือประมาณ 1

x 2 \u003d 3 และ x 1 \u003d -1

การแก้ปัญหาด้วยวิธีนี้ คุณจะไม่สับสนในการคำนวณ และแม้จะมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ คุณก็จะได้ผลลัพธ์

วิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นนี้สามารถตั้งโปรแกรมได้ง่ายและไม่คำนึงถึงคุณสมบัติเฉพาะของค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่า เนื่องจากในทางปฏิบัติ (ในการคำนวณทางเศรษฐกิจและทางเทคนิค) เราต้องจัดการกับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ! เจอกันในคลาส! ติวเตอร์

blog.site ด้วยการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา