งานที่แก้ไขโดยวิธี LP มีเนื้อหาที่หลากหลายมาก แต่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของพวกเขาคล้ายกันและรวมกันตามเงื่อนไขเป็นปัญหาใหญ่สามกลุ่ม:

• งานขนส่ง
• งานวางแผน;

ให้เราพิจารณาตัวอย่างปัญหาเศรษฐกิจเฉพาะของแต่ละประเภท และพิจารณารายละเอียดเกี่ยวกับการสร้างแบบจำลองสำหรับแต่ละปัญหา

งานขนส่ง

บนฐานการค้าสองแห่ง กและ ในมีเฟอร์นิเจอร์ 30 ชุด ชุดละ 15 ชุด ต้องจัดส่งเฟอร์นิเจอร์ทั้งหมดไปยังร้านเฟอร์นิเจอร์สองแห่ง กับและ งและใน กับคุณต้องส่งชุดหูฟัง 10 ชุด และใน ง- 20. เป็นที่ทราบกันดีว่าการส่งมอบชุดหูฟังหนึ่งชุดจากฐาน กไปที่ร้านค้า กับค่าใช้จ่ายหนึ่งหน่วยเงินไปที่ร้านค้า ง- ในสามหน่วยเงิน ตามฐาน ในไปยังร้านค้า กับและ ง: สองและห้าหน่วยเงิน วางแผนการขนส่งเพื่อให้ต้นทุนการขนส่งทั้งหมดน้อยที่สุด
เพื่อความสะดวก เราทำเครื่องหมายงานเหล่านี้ในตาราง ที่จุดตัดของแถวและคอลัมน์คือตัวเลขที่แสดงต้นทุนของการขนส่งตามลำดับ (ตารางที่ 3.1)

ตารางที่ 3.1

มาสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหากัน
ต้องป้อนตัวแปร ถ้อยคำของคำถามระบุว่าจำเป็นต้องจัดทำแผนการขนส่ง แสดงโดย เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ชุดหูฟังจำนวน 2 ชุดถูกขนส่งจากฐาน กไปยังร้านค้า กับและ งตามลำดับและผ่าน ที่ 1 , ที่ 2 - จำนวนชุดหูฟังที่ขนส่งจากฐาน ในไปยังร้านค้า กับและ งตามลำดับ จากนั้นนำจำนวนเฟอร์นิเจอร์ออกจากคลังสินค้า ก, เท่ากับ ( เอ็กซ์ 1 + เอ็กซ์ 2) ดีจากสต็อก ใน - (ที่ 1 + ที่ 2). ร้านค้าต้องการ กับมีค่าเท่ากับหูฟัง 10 อัน และนำมันมา ( เอ็กซ์ 1 + ที่ 1) ชิ้นเช่น เอ็กซ์ 1 + ที่ 1 = 10 ในทำนองเดียวกันสำหรับร้านค้า งเรามี เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 = 20 โปรดทราบว่าความต้องการของร้านค้าจะเท่ากับจำนวนชุดหูฟังในสต็อก ดังนั้น เอ็กซ์ 1 + ที่ 2 = 15 และ ที่ 1 + ที่ 2 = 15 หากคุณนำชุดออกจากโกดังน้อยกว่า 15 ชุด ร้านค้าจะมีเฟอร์นิเจอร์ไม่เพียงพอต่อความต้องการ
ดังนั้นตัวแปร เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , ที่ 1 , ที่ 2 ไม่ใช่เชิงลบในความหมายของปัญหาและเป็นไปตามระบบของข้อ จำกัด :
(3.1)
แสดงว่าผ่าน ฉค่าส่งลองนับดู สำหรับการขนส่งเฟอร์นิเจอร์หนึ่งชุดจาก กวี กับใช้เวลาหนึ่งวัน หน่วยสำหรับการขนส่ง x 1 ชุด - x 1 วัน หน่วย ในทำนองเดียวกันสำหรับการขนส่ง x 2ชุด กวี งค่าใช้จ่าย 3 x 2 วัน หน่วย; จาก ในวี กับ - 2ย 1 วัน หน่วย จาก ในวี ง - 5ย 2 วัน หน่วย
ดังนั้น,
ฉ = 1x 1 + 3x 2 + 2ย 1 + 5ย 2 → นาที (3.2)
(เราต้องการให้ต้นทุนรวมของการจัดส่งต่ำที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้)
ลองกำหนดปัญหาทางคณิตศาสตร์
ในชุดโซลูชันของระบบข้อจำกัด (3.1) ให้ค้นหาโซลูชันที่ลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้เหลือน้อยที่สุด ฉ(3.2) หรือค้นหาแผนที่เหมาะสมที่สุด ( x 1 , x 2, ย 1 , ย 2) กำหนดโดยระบบของข้อจำกัด (3.1) และหน้าที่วัตถุประสงค์ (3.2)
ปัญหาที่เราพิจารณาสามารถแสดงเพิ่มเติมได้ ปริทัศน์กับซัพพลายเออร์และผู้บริโภคจำนวนเท่าใดก็ได้
ในปัญหาที่เราพิจารณา ความพร้อมใช้งานของสินค้าจากซัพพลายเออร์ (15 + 15) เท่ากับความต้องการทั้งหมดของผู้บริโภค (10 + 20) แบบจำลองดังกล่าวเรียกว่า ปิดและงานที่สอดคล้องกันคือ การขนส่งที่สมดุลงาน.
ในการคำนวณทางเศรษฐศาสตร์ที่เรียกว่า รุ่นเปิดซึ่งไม่ปฏิบัติตามความเท่าเทียมกันที่ระบุ อุปทานของซัพพลายเออร์มีมากกว่าความต้องการของผู้บริโภค หรือความต้องการมีมากเกินความพร้อมของสินค้า โปรดทราบว่าจากนั้นระบบข้อจำกัดของปัญหาการขนส่งที่ไม่สมดุลพร้อมกับสมการจะรวมถึงอสมการด้วย

ลองพิจารณาตัวอย่างปัญหาการขนส่งที่ไม่สมดุล
ในจุด กและ ในโรงงานอิฐตั้งอยู่และใน กับและ ง- เหมืองหินส่งทรายมาให้ ความต้องการทรายในโรงงานน้อยกว่าผลผลิตของเหมืองหิน เป็นที่ทราบกันดีว่าโรงงานแต่ละแห่งต้องการทรายเท่าใดและมีการขุดเท่าไรในแต่ละเหมือง ค่าใช้จ่ายในการขนส่งทราย 1 ตันจากเหมืองหินแต่ละแห่งไปยังโรงงานก็ทราบเช่นกัน (ตัวเลขบนลูกศร) มีความจำเป็นต้องวางแผนการจัดหาโรงงานด้วยทรายในลักษณะที่ต้นทุนการขนส่งต่ำที่สุด ข้อมูลงานบนไดอะแกรม

เราสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา
มาแนะนำตัวแปรกัน:
x 11 - จำนวนตันของทรายที่ขนส่งจากเหมือง กับสู่โรงงาน ก;
x 12 - จากเหมืองหิน กับสู่โรงงาน ก;
x 21 - จำนวนตันของทราย กจากเหมืองหิน ง;
x 22 - จำนวนตันของทรายจากเหมือง งสู่โรงงาน ใน.
สู่โรงงาน กต้องส่งมอบ 40 ตันจากหลุมเปิดทั้งสองแห่ง ซึ่งหมายความว่า x 11 + x 21 = 40 โรงงาน ในต้องส่งมอบ 50 ตันซึ่งหมายความว่า x 12 + x 22 = 50. จากเหมืองหิน กับส่งออกไม่เกิน 70 ตัน เช่น x 11 + x 12 ≤ 70 ใกล้เคียงกัน x 21 + x 22 ≤ 30 เรามีระบบข้อจำกัด:
(3.3)
และหน้าที่วัตถุประสงค์ ฉ, การแสดงค่าขนส่ง, มีแบบฟอร์ม
ฉ = 2x 11 + 6x 12 + 5x 21 + 3x 22→นาที (3.4)

งานวาดแผน

โรงงานบางแห่งจำเป็นต้องจัดทำแผนที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการผลิตผลิตภัณฑ์สองประเภทที่ดำเนินการด้วยเครื่องจักรสี่ประเภท ทราบความสามารถและประสิทธิภาพของฮาร์ดแวร์บางอย่าง ราคาของผลิตภัณฑ์ที่ให้ผลกำไรแก่โรงงานคือ 4,000 รูเบิล สำหรับผลิตภัณฑ์ประเภท I 6,000 รูเบิล - สำหรับผลิตภัณฑ์ประเภท II จัดทำแผนสำหรับการผลิตผลิตภัณฑ์เหล่านี้เพื่อให้โรงงานได้รับผลกำไรสูงสุดจากการขายผลิตภัณฑ์เหล่านี้ ตารางแสดงเวลาที่ต้องใช้ในการประมวลผลผลิตภัณฑ์ทั้งสองประเภทบนอุปกรณ์ทั้งสี่ประเภท (ตารางที่ 3.2)

ตารางที่ 3.2

สินค้า	ประเภทเครื่อง
	1	2	3	4
ฉัน	1	0,5	1	0
ครั้งที่สอง	1	1	0	1
ชั่วโมงเครื่องที่เป็นไปได้	18	12	12	9

มาสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์กันเถอะ
ในปัญหาจำเป็นต้องกำหนดแผนการผลิตผลิตภัณฑ์โดยระบุ xจำนวนผลิตภัณฑ์ประเภท I สำหรับ ย- จำนวนผลิตภัณฑ์ประเภท II จากนั้นเราจะคำนวณว่าเครื่องจักรเครื่องแรกจะใช้เวลาเท่าใดในการประมวลผลผลิตภัณฑ์การผลิตทั้งหมด เธอใช้เวลาหนึ่งหน่วยกับสิ่งของประเภทที่ 1 หนึ่งชิ้น ซึ่งหมายความว่า xชิ้นสินค้าจะใช้จ่าย1 xหน่วย เวลาสำหรับการประมวลผล ยผลิตภัณฑ์ประเภท II จะมีราคา 1 ยหน่วย เวลา. โดยรวมแล้วการสำรองเวลาสำหรับการทำงานของเครื่องแรกคือ 18 หน่วยเวลา วิธี, x + ย≤ 18. การให้เหตุผลที่คล้ายกันกับเครื่องที่สอง สาม และสี่ จะทำให้เกิดระบบข้อจำกัด:
(3.5)
กำไรทั้งหมดจะแสดงเป็น ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์:
ฉ = 4x + 6ย → สูงสุด (3.6)
ปัญหาคือการหาชุดของคำตอบของระบบ (3.5) วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวซึ่งค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (3.6) จะสูงสุด

งานผสม

ปัญหา LP ทั่วไปอีกประการหนึ่งคือปัญหาองค์ประกอบของส่วนผสม ตัวอย่างของงานดังกล่าวอาจเป็นงานรวบรวมส่วนผสมของผลิตภัณฑ์ปิโตรเลียมที่จะตอบสนองความต้องการบางอย่าง ความต้องการทางด้านเทคนิคและถูกที่สุด หรืองานเกี่ยวกับอาหารเมื่อทราบความต้องการสารบางอย่างและเนื้อหาของสารเหล่านี้ในผลิตภัณฑ์ต่างๆ มีความจำเป็นต้องจัดอาหารในลักษณะที่ตอบสนองความต้องการสำหรับสารที่จำเป็นและในขณะเดียวกันตะกร้าอาหารจะมีต้นทุนขั้นต่ำตามราคาอาหารที่กำหนด
มีการตั้งค่างานที่คล้ายคลึงกันเกือบทั้งหมด เช่น ในฟาร์มปศุสัตว์ใดๆ และมีแอปพลิเคชันที่หลากหลายมาก
พิจารณาตัวอย่าง สำหรับไก่ขุนในฟาร์มสัตว์ปีก อาหารของพวกมันต้องมีสารอย่างน้อย 33 หน่วย ก, 23 หน่วยสารอาหาร ใน, 12 ยูนิต กับ. อาหารสามประเภทใช้สำหรับขุน ตารางแสดงข้อมูลปริมาณสารอาหารในอาหารสัตว์แต่ละชนิด ค่าใช้จ่ายของฟีดเป็นที่รู้จักกัน จำเป็นต้องทำอาหารที่ถูกที่สุด (ตารางที่ 3.3)

ตารางที่ 3.3

ฟีดผลิตภัณฑ์	สาร			ราคา 1 หน่วย เข้มงวด
	ก	ใน	กับ
ฉัน	4	3	1	20
ครั้งที่สอง	3	2	1	20
สาม	2	1	2	10

เพื่อทำความเข้าใจปัญหา คุณสามารถจินตนาการว่าสาร ก, ใน, กับ- เหล่านี้คือไขมัน โปรตีน คาร์โบไฮเดรต และผลิตภัณฑ์ I, II, III คือสิ่งที่ไก่ได้รับ เช่น ลูกเดือย อาหารผสม อาหารเสริมวิตามิน จากนั้นบรรทัดแรกของตารางจะแสดงเนื้อหาในข้าวฟ่าง 1 หน่วย: 4 หน่วย โปรตีน 3 หน่วย ไขมันหนึ่งหน่วย คาร์โบไฮเดรต บรรทัดที่สอง - เนื้อหาของโปรตีน ไขมัน คาร์โบไฮเดรตใน 1 หน่วย ผลิตภัณฑ์ II เป็นต้น
หากคำแถลงของปัญหาชัดเจน เราจะดำเนินการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
ในการตอบคำถามเราต้องเสนออาหารนั่นคือระบุปริมาณและประเภทของอาหารที่ต้องกินเพื่อให้ได้รับสารอาหารตามปริมาณที่ต้องการและในขณะเดียวกันก็มีค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด
ดังนั้นให้เราแสดงว่า x 1 ชนิดที่ฉันป้อนในอาหารต่อ x 2 - ปริมาณฟีดประเภท II และตามนั้น x 3 - ปริมาณอาหาร III ในอาหาร จากนั้นสารต่างๆ กเมื่อกินอาหารนี้ไก่จะได้รับ 4 x 1 - เมื่อบริโภคผลิตภัณฑ์ประเภทที่ 1 3 x 2 - เมื่อบริโภคผลิตภัณฑ์ II, 2 x 3 - เมื่อบริโภค III สารทั้งหมด กตามสภาพปัญหาจำเป็นต้องใช้อย่างน้อย 33 หน่วย ดังนั้น 4 x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≥ 33.
เถียงกันด้วยสาร ในและ กับ, เรามี:
3x 1 + 2x 2 + 1x 3 ≥ 23 และ x 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 12.
ดังนั้นเราจึงได้รับระบบข้อ จำกัด :
(3.7)
ตัวแปรไม่เป็นลบในแง่ของปัญหา ในกรณีนี้ ค่าอาหารจะแสดงตามฟังก์ชัน:
ฉ = 20x 1 + 20x 2 + 10x 3 → นาที (3.8)
เพราะ 20, 20, 10 - ต้นทุนของหนึ่งหน่วย ผลิตภัณฑ์ประเภท I, II, III ตามลำดับและอาหารประกอบด้วย x 1 , x 2 , x 3 ยูนิต
ระบบของข้อจำกัด (3.7) ร่วมกับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (3.8) สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาเดิม เพื่อแก้ปัญหาหมายถึงการค้นหา x 1 , x 2 , x 3 ตอบสนองระบบข้อ จำกัด และกลับค่าของฟังก์ชัน ฉให้น้อยที่สุด

การจัดประเภทเรือตามแนว

สร้างแผนดังกล่าวสำหรับการจัดวางเรือสองประเภทตามสามเส้นทาง ซึ่งจะให้ความสามารถในการบรรทุกรวมสูงสุดของกองเรือ แต่ไม่น้อยกว่าปริมาณการจราจรที่ระบุไว้ในเส้นทาง

ประเภทเรือ	ผลผลิตของเรือ ล้านตัน-ไมล์ต่อวัน			ระยะเวลาดำเนินการ วัน
	บรรทัดที่ 1	บรรทัดที่ 2	บรรทัดที่ 3
1	หน้า 11	หน้า 12	หน้า 13	ส 1
2	หน้า 21	หน้า 22	หน้า 23	เอส2
เป้าหมายปริมาณการขนส่ง ล้านตัน-กม	วี 1	วี 2	วี 3

แบบจำลองเศรษฐศาสตร์-คณิตศาสตร์ของปัญหา
ข้อจำกัดระยะเวลาดำเนินการ:
x 1 /p 11 + x 2 /p 12 + x 3 /p 13 ≤ s 1
x 4 /p 21 + x 5 /p 22 + x 6 /p 23 ≤ s 2

ข้อจำกัดในการจัดหา:
ส 1 x 1 + ส 2 x 4 ≥ V 1
ส 1 x 2 + ส 2 x 5 ≥ V 2
ส 1 x 3 + ส 2 x 6 ≥ V 3

ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์
หน้า 11 x 1 +p 12 x 2 +p 13 x 3 +p 21 x 4 +p 22 x 5 +p 23 x 6 → สูงสุด

คำถามสำหรับการควบคุมตนเอง
1. คำชี้แจงปัญหาการขนส่ง อธิบายการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
2. ปัญหาการขนส่งที่สมดุลและไม่สมดุลคืออะไร?
3. ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของงานขนส่งคำนวณจากอะไร
4. ความไม่เท่าเทียมกันของระบบข้อ จำกัด ของปัญหาแผนสะท้อนอะไร?
5. ความไม่เท่าเทียมกันของระบบข้อ จำกัด ของปัญหาสารผสมสะท้อนถึงอะไร?
6. ตัวแปรในปัญหาแผนและปัญหาส่วนผสมหมายถึงอะไร?

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1. การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

ตั้งแต่กลางศตวรรษที่ XX ใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านต่าง ๆ ของกิจกรรมของมนุษย์ วิธีการทางคณิตศาสตร์และคอมพิวเตอร์ สาขาวิชาใหม่เช่น "คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์", "คณิตศาสตร์เคมี", "คณิตศาสตร์ภาษาศาสตร์" ฯลฯ ได้เกิดขึ้นที่ศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุและปรากฏการณ์ที่สอดคล้องกัน เช่นเดียวกับวิธีในการศึกษาแบบจำลองเหล่านี้

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นคำอธิบายโดยประมาณของปรากฏการณ์หรือวัตถุประเภทใดๆ โลกแห่งความจริงในภาษาคณิตศาสตร์ จุดประสงค์หลักของการสร้างแบบจำลองคือการสำรวจวัตถุเหล่านี้และทำนายผลลัพธ์ของการสังเกตในอนาคต อย่างไรก็ตาม การสร้างแบบจำลองยังเป็นวิธีการรับรู้โลกรอบตัว ซึ่งทำให้สามารถควบคุมได้

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการทดลองทางคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้องนั้นขาดไม่ได้ในกรณีที่การทดลองแบบเต็มสเกลเป็นไปไม่ได้หรือยากด้วยเหตุผลใดเหตุผลหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างการทดลองเต็มรูปแบบในประวัติศาสตร์เพื่อตรวจสอบว่า "จะเกิดอะไรขึ้นถ้า..." เป็นไปไม่ได้ที่จะตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีจักรวาลวิทยานี้หรือทฤษฎีนั้น ตามหลักการแล้ว เป็นไปได้แต่แทบไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะทดลองการแพร่กระจายของโรคบางชนิด เช่น กาฬโรค หรือทำการระเบิดนิวเคลียร์เพื่อศึกษาผลที่ตามมา อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดนี้สามารถทำได้บนคอมพิวเตอร์ โดยก่อนหน้านี้ได้สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่

2. ขั้นตอนหลักของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1) การสร้างแบบจำลอง. ในขั้นตอนนี้มีการระบุวัตถุ "ที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์" บางอย่าง - ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ, การก่อสร้าง, แผนเศรษฐกิจ, กระบวนการผลิต ฯลฯ ในกรณีนี้ตามกฎแล้วคำอธิบายที่ชัดเจนของสถานการณ์เป็นเรื่องยาก ขั้นแรกให้ระบุคุณสมบัติหลักของปรากฏการณ์และความสัมพันธ์ระหว่างกันในระดับคุณภาพ จากนั้นการพึ่งพาเชิงคุณภาพที่พบจะถูกกำหนดขึ้นในภาษาของคณิตศาสตร์ นั่นคือ มีการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ นี่เป็นส่วนที่ยากที่สุดของการสร้างแบบจำลอง

2) โซลูชั่น ปัญหาทางคณิตศาสตร์ซึ่งโมเดลนำไปสู่. ในขั้นตอนนี้ให้ความสนใจอย่างมากกับการพัฒนาอัลกอริทึมและวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาบนคอมพิวเตอร์ด้วยความช่วยเหลือซึ่งผลลัพธ์สามารถพบได้ด้วยความแม่นยำที่จำเป็นและภายในเวลาที่ยอมรับได้

3) การตีความผลลัพธ์ที่ได้จากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ผลลัพธ์ที่ได้จากแบบจำลองในภาษาคณิตศาสตร์จะถูกตีความในภาษาที่ยอมรับในสาขานี้

4) การตรวจสอบความเพียงพอของแบบจำลองในขั้นตอนนี้จะพบว่าผลการทดลองสอดคล้องกับผลทางทฤษฎีจากแบบจำลองหรือไม่ภายในความแม่นยำระดับหนึ่ง

5) การปรับเปลี่ยนรูปแบบในขั้นตอนนี้ แบบจำลองจะซับซ้อนมากขึ้นเพื่อให้เพียงพอต่อความเป็นจริงมากขึ้น หรือทำให้ง่ายขึ้นเพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้จริง

3. การจำแนกรุ่น

โมเดลสามารถจำแนกตามเกณฑ์ที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ตามลักษณะของปัญหาที่กำลังแก้ไข แบบจำลองสามารถแบ่งออกเป็นแบบตามหน้าที่และแบบโครงสร้าง ในกรณีแรก ปริมาณทั้งหมดที่แสดงลักษณะของปรากฏการณ์หรือวัตถุจะแสดงเป็นเชิงปริมาณ ในขณะเดียวกัน บางตัวก็ถือเป็นตัวแปรอิสระ ในขณะที่บางตัวก็ถือว่าเป็นฟังก์ชันของปริมาณเหล่านี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักจะเป็นระบบสมการประเภทต่างๆ (ดิฟเฟอเรนเชียล พีชคณิต ฯลฯ) ที่สร้างความสัมพันธ์เชิงปริมาณระหว่างปริมาณที่พิจารณา ในกรณีที่สอง แบบจำลองจะกำหนดลักษณะโครงสร้างของวัตถุที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยส่วนต่าง ๆ ซึ่งมีการเชื่อมต่อบางอย่าง โดยปกติแล้ว ความสัมพันธ์เหล่านี้ไม่สามารถวัดปริมาณได้ ในการสร้างแบบจำลองดังกล่าว จะสะดวกกว่าการใช้ทฤษฎีกราฟ กราฟเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นชุดของจุด (จุดยอด) บนระนาบหรือในอวกาศ ซึ่งบางส่วนเชื่อมต่อกันด้วยเส้น (ขอบ)

ตามลักษณะของข้อมูลเริ่มต้นและผลการทำนาย แบบจำลองสามารถแบ่งออกเป็นสถิติเชิงกำหนดและความน่าจะเป็น แบบจำลองประเภทแรกให้การคาดการณ์ที่แน่นอนและไม่คลุมเครือ แบบจำลองประเภทที่สองอิงจากข้อมูลทางสถิติ และการคาดคะเนที่ได้รับจากความช่วยเหลือนั้นมีลักษณะที่น่าจะเป็น

4. ตัวอย่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1) ปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้ในกลศาสตร์

กระสุนปืนยิงออกจากโลก ความเร็วเริ่มต้น v 0 = 30 ม./วินาที ที่มุม a = 45° กับพื้นผิว จำเป็นต้องค้นหาวิถีการเคลื่อนที่และระยะทาง S ระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของวิถีการเคลื่อนที่นี้

จากนั้นตามที่ทราบจากหลักสูตรฟิสิกส์ของโรงเรียน การเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์อธิบายโดยสูตร:

โดยที่ t - เวลา g = 10 m / s 2 - การเร่งความเร็วการตกอย่างอิสระ สูตรเหล่านี้ให้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของงาน แสดง t ในรูปของ x จากสมการแรกและแทนลงในสมการที่สอง เราจะได้สมการสำหรับวิถีการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์:

เส้นโค้งนี้ (พาราโบลา) ตัดแกน x ที่จุดสองจุด: x 1 \u003d 0 (จุดเริ่มต้นของวิถีโคจร) และ (สถานที่ที่กระสุนปืนตกลงมา) แทนค่าที่กำหนด v0 และ a ลงในสูตรที่ได้รับ

คำตอบ: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 ม.

โปรดทราบว่ามีการใช้สมมติฐานหลายประการในการสร้างแบบจำลองนี้ ตัวอย่างเช่น สันนิษฐานว่าโลกแบน และอากาศและการหมุนของโลกไม่ส่งผลต่อการเคลื่อนที่ของโพรเจกไทล์

2) ปัญหาของถังที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุด

จำเป็นต้องค้นหาความสูง h 0 และรัศมี r 0 ของถังดีบุกที่มีปริมาตร V = 30 m 3 ซึ่งมีรูปร่างเป็นทรงกระบอกกลมปิด ซึ่งพื้นที่ผิว S น้อยที่สุด (ในกรณีนี้คือ ปริมาณดีบุกที่น้อยที่สุดจะเข้าสู่กระบวนการผลิต)

เราเขียนสูตรต่อไปนี้สำหรับปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอกสูง h และรัศมี r:

V = p r 2 ชั่วโมง, S = 2p r(r + h).

การแสดง h ในรูปของ r และ V จากสูตรแรกและแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสูตรที่สอง เราได้รับ:

ดังนั้น จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ปัญหาจะลดลงเหลือการกำหนดค่าของ r ที่ฟังก์ชัน S(r) ถึงค่าต่ำสุด ให้เราค้นหาค่าเหล่านั้นของ r 0 ซึ่งเป็นอนุพันธ์

ไปที่ศูนย์: คุณสามารถตรวจสอบว่าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน S(r) เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกเมื่ออาร์กิวเมนต์ r ผ่านจุด r 0 ดังนั้น ฟังก์ชัน S(r) มีค่าต่ำสุดที่จุด r0 ค่าที่สอดคล้องกัน ชั่วโมง 0 = 2r 0 . แทนค่าที่กำหนด V ลงในนิพจน์สำหรับ r 0 และ h 0 เราจะได้รัศมีที่ต้องการ และส่วนสูง

3) งานขนส่ง

มีโกดังแป้งสองแห่งและร้านเบเกอรี่สองแห่งในเมือง ทุกวัน แป้ง 50 ตันถูกส่งออกจากโกดังแห่งแรก และ 70 ตันจากโกดังที่สองไปยังโรงงาน โดยมี 40 ตันไปยังโกดังแรก และ 80 ตันไปยังโกดังที่สอง

แสดงโดย ก ij ค่าใช้จ่ายในการขนส่งแป้ง 1 ตันจากโกดัง i-th ไปยัง โรงงาน j-th(ผม, เจ = 1.2) อนุญาต

ก 11 \u003d 1.2 น. ก 12 \u003d 1.6 น. ก 21 \u003d 0.8 น. ก 22 = 1 หน้า

ควรวางแผนการขนส่งอย่างไรให้ต้นทุนน้อยที่สุด?

ให้โจทย์เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ เราแสดงด้วย x 1 และ x 2 ปริมาณแป้งที่ต้องขนส่งจากคลังสินค้าแห่งแรกไปยังโรงงานแห่งแรกและแห่งที่สองและผ่าน x 3 และ x 4 - จากคลังสินค้าแห่งที่สองไปยังโรงงานแห่งแรกและแห่งที่สองตามลำดับ แล้ว:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80 (1)

ต้นทุนรวมของการขนส่งทั้งหมดถูกกำหนดโดยสูตร

f = 1.2x1 + 1.6x2 + 0.8x3 + x4

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ภารกิจคือการหาตัวเลขสี่ตัว x 1 , x 2 , x 3 และ x 4 ที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดทั้งหมด และให้ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน f ให้เราแก้ระบบสมการ (1) เทียบกับ xi (i = 1, 2, 3, 4) ด้วยวิธีกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ เราเข้าใจแล้ว

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)

และ x 4 ไม่สามารถหาค่าเฉพาะได้ เนื่องจาก x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4) มันตามมาจากสมการ (2) ว่า 30J x 4 J 70 แทนนิพจน์สำหรับ x 1 , x 2 , x 3 ในสูตรสำหรับ f เราได้

ฉ \u003d 148 - 0.2x 4.

ง่ายที่จะเห็นว่าค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้ถึงค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ x 4 นั่นคือที่ x 4 = 70 ค่าที่สอดคล้องกันของค่าที่ไม่รู้จักอื่นๆ ถูกกำหนดโดยสูตร (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0

4) ปัญหาการสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสี

ให้ N(0) เป็นจำนวนอะตอมเริ่มต้นของสารกัมมันตรังสี และ N(t) เป็นจำนวนอะตอมที่ไม่สลาย ณ เวลา t มีการทดลองแล้วว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของจำนวนอะตอมเหล่านี้ N "(t) เป็นสัดส่วนกับ N (t) นั่นคือ N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 คือ ค่าคงที่ของกัมมันตภาพรังสีของสารที่กำหนด ในหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของโรงเรียนแสดงให้เห็นว่าคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์นี้มีรูปแบบ N(t) = N(0)e –l เสื้อ . เวลา T ซึ่งในระหว่างที่จำนวนอะตอมเริ่มต้นลดลงครึ่งหนึ่ง เรียกว่า ครึ่งชีวิต และเป็นลักษณะสำคัญของกัมมันตภาพรังสีของสาร ในการกำหนด T จำเป็นต้องใส่สูตร แล้ว ตัวอย่างเช่น สำหรับเรดอน l = 2.084 10–6 ดังนั้น T = 3.15 วัน

5) ปัญหาพนักงานขายเดินทาง

พนักงานขายเดินทางที่อาศัยอยู่ในเมือง A 1 ต้องไปเยือนเมือง A 2, A 3 และ A 4 เมืองละครั้ง แล้วจึงกลับไปที่ A 1 เป็นที่ทราบกันว่าเมืองทั้งหมดเชื่อมต่อกันเป็นคู่โดยถนน และความยาวของถนน b ij ระหว่างเมือง A i และ A j (i, j = 1, 2, 3, 4) มีดังนี้:

ข 12 = 30 ข 14 = 20 ข 23 = 50 ข 24 = 40 ข 13 = 70 ข 34 = 60

จำเป็นต้องกำหนดลำดับการเยี่ยมชมเมืองซึ่งความยาวของเส้นทางที่เกี่ยวข้องนั้นน้อยที่สุด

สมมติว่าแต่ละเมืองเป็นจุดบนระนาบและทำเครื่องหมายด้วยป้ายกำกับที่เกี่ยวข้อง Ai (i = 1, 2, 3, 4) มาเชื่อมต่อจุดเหล่านี้กับส่วนของเส้นตรง: พวกมันจะแสดงถนนระหว่างเมือง สำหรับ "ถนน" แต่ละเส้น เราจะระบุความยาวเป็นกิโลเมตร (รูปที่ 2) ผลลัพธ์คือกราฟ - วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยชุดของจุดบนระนาบ (เรียกว่าจุดยอด) และชุดของเส้นที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้ (เรียกว่าขอบ) ยิ่งไปกว่านั้น กราฟนี้มีป้ายกำกับ เนื่องจากป้ายกำกับบางส่วนถูกกำหนดให้กับจุดยอดและขอบของมัน เช่น ตัวเลข (ขอบ) หรือสัญลักษณ์ (จุดยอด) วัฏจักรบนกราฟเป็นลำดับของจุดยอด V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 โดยที่จุดยอด V 1 , ..., V k ต่างกัน และจุดยอดคู่ใดๆ V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) และคู่ V 1 , V k เชื่อมต่อกันด้วยขอบ ดังนั้น ปัญหาที่กำลังพิจารณาคือการหาวัฏจักรดังกล่าวบนกราฟที่ผ่านจุดยอดทั้งสี่จุด ซึ่งผลรวมของน้ำหนักขอบทั้งหมดจะน้อยที่สุด ลองค้นหาวัฏจักรต่างๆ ทั้งหมดที่ผ่านสี่จุดยอดและเริ่มต้นที่ A 1:

1) ก 1 ก 4 ก 3 ก 2 ก 1;
2) ก 1, ก 3, ก 2, ก 4, ก 1;
3) ก 1 , ก 3 , ก 4 , ก 2 , ก 1 .

ทีนี้มาหาความยาวของรอบเหล่านี้ (เป็นกม.): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200 ดังนั้น เส้นทางที่มีความยาวน้อยที่สุดคือเส้นทางแรก

โปรดทราบว่าหากมีจุดยอด n จุดในกราฟและจุดยอดทั้งหมดเชื่อมต่อกันเป็นคู่ๆ โดยขอบ (กราฟดังกล่าวเรียกว่า สมบูรณ์) จำนวนรอบที่ผ่านจุดยอดทั้งหมดจะเท่ากัน ดังนั้น ในกรณีของเราจึงมีสามรอบพอดี .

6) ปัญหาการหาความเชื่อมโยงระหว่างโครงสร้างและสมบัติของสาร

พิจารณาสารประกอบทางเคมีหลายชนิดที่เรียกว่าอัลเคนปกติ ประกอบด้วยอะตอมของคาร์บอน n อะตอมและไฮโดรเจน n + 2 อะตอม (n = 1, 2 ... ) ซึ่งเชื่อมต่อกันดังแสดงในรูปที่ 3 สำหรับ n = 3 ให้ทราบค่าการทดลองของจุดเดือดของสารประกอบเหล่านี้:

y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°

จำเป็นต้องค้นหาความสัมพันธ์โดยประมาณระหว่างจุดเดือดกับจำนวน n ของสารประกอบเหล่านี้ เราคิดว่าการพึ่งพานี้มีรูปแบบ

y » ก n+b

ที่ไหน ก, b - ค่าคงที่ที่จะกำหนด สำหรับการค้นหา กและ ข เราแทนสูตรนี้ตามลำดับ n = 3, 4, 5, 6 และค่าที่สอดคล้องกันของจุดเดือด เรามี:

– 42 » 3 ก+ ข, 0 » 4 ก+ ข, 28 » 5 ก+ ข, 69 » 6 ก+ข.

เพื่อกำหนดสิ่งที่ดีที่สุด กและ b มีหลายวิธีที่แตกต่างกัน. มาใช้สิ่งที่ง่ายที่สุดกันเถอะ เราแสดง b ในแง่ของ กจากสมการเหล่านี้:

ข" - 42 - 3 ก, ข » – 4 ก, ข » 28 – 5 ก, ข » 69 – 6 ก.

ให้เราใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเหล่านี้ตามที่ต้องการนั่นคือใส่ b » 16 - 4.5 ก. ให้เราแทนค่า b นี้ลงในระบบสมการเดิมและทำการคำนวณ กเราได้รับสำหรับ กค่าต่อไปนี้: ก» 37, ก» 28, ก» 28, ก» 36 กค่าเฉลี่ยของตัวเลขเหล่านี้นั่นคือเราใส่ ก» 34. ดังนั้น สมการที่ต้องการจึงมีรูปแบบ

y » 34n – 139.

ตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลองสำหรับสารประกอบสี่ชนิดเริ่มต้น ซึ่งเราคำนวณจุดเดือดโดยใช้สูตรที่ได้รับ:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°

ดังนั้น ข้อผิดพลาดในการคำนวณของคุณสมบัตินี้สำหรับสารประกอบเหล่านี้จึงไม่เกิน 5° เราใช้สมการผลลัพธ์ในการคำนวณจุดเดือดของสารประกอบที่มี n = 7 ซึ่งไม่รวมอยู่ในชุดเริ่มต้น ซึ่งเราแทน n = 7 ลงในสมการนี้: y р (7) = 99° ผลลัพธ์ค่อนข้างแม่นยำ: เป็นที่ทราบกันว่าค่าการทดลองของจุดเดือด y e (7) = 98°

7) ปัญหาการพิจารณาความน่าเชื่อถือของวงจรไฟฟ้า

ในที่นี้เราจะพิจารณาตัวอย่างแบบจำลองความน่าจะเป็น ก่อนอื่น เรามาให้ข้อมูลบางอย่างจากทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์สุ่มที่สังเกตได้ระหว่างการทดลองซ้ำๆ เรียกเหตุการณ์สุ่ม A ว่าเป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จากประสบการณ์บางอย่าง เหตุการณ์ A 1 , ..., A k จัดกลุ่มที่สมบูรณ์ ถ้าหนึ่งในนั้นจำเป็นต้องเกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการทดลอง เหตุการณ์จะเรียกว่าเข้ากันไม่ได้หากไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันในประสบการณ์เดียวกัน ให้เหตุการณ์ A เกิดขึ้น m ครั้งระหว่างการทำซ้ำ n เท่าของการทดลอง ความถี่ของเหตุการณ์ A คือตัวเลข W = เห็นได้ชัดว่าค่าของ W ไม่สามารถทำนายได้อย่างแน่นอนจนกว่าจะมีการทดลอง n ครั้ง อย่างไรก็ตาม ลักษณะของเหตุการณ์สุ่มนั้นในทางปฏิบัติแล้วบางครั้งอาจสังเกตเห็นผลกระทบต่อไปนี้: ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น ค่าที่จริงจะเลิกเป็นแบบสุ่มและคงที่รอบๆ จำนวนที่ไม่สุ่ม P(A) ซึ่งเรียกว่า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A สำหรับเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ (ซึ่งไม่เคยเกิดขึ้นในการทดลอง) P(A)=0 และสำหรับเหตุการณ์บางอย่าง (ซึ่งมักจะเกิดขึ้นในการทดลอง) P(A)=1 ถ้าเหตุการณ์ A 1 , ..., A k เป็นกลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมด ดังนั้น P(A 1)+...+P(Ak)=1

ตัวอย่างเช่น ประสบการณ์ประกอบด้วยการโยนลูกเต๋าและสังเกตจำนวนจุดที่ตก X จากนั้นเราจะแนะนำเหตุการณ์สุ่มต่อไปนี้ A i =(X = i), i = 1, ..., 6 พวกมันก่อตัวขึ้น กลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่น่าจะเป็นไปได้เท่ากันซึ่งเข้ากันไม่ได้ ดังนั้น P(A i) = (i = 1, ..., 6)

ผลรวมของเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ A + B ซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้นในการทดลอง ผลคูณของเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ AB ซึ่งประกอบด้วยการเกิดขึ้นพร้อมกันของเหตุการณ์เหล่านี้ สำหรับเหตุการณ์อิสระ A และ B สูตรจะเป็นจริง

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) พิจารณาต่อไปนี้ตอนนี้ งาน. สมมติว่าองค์ประกอบสามอย่างต่ออนุกรมกันในวงจรไฟฟ้า โดยทำงานเป็นอิสระจากกัน ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวขององค์ประกอบที่ 1, 2 และ 3 คือตามลำดับ P 1 = 0.1, P 2 = 0.15, P 3 = 0.2 เราจะพิจารณาวงจรที่เชื่อถือได้หากความน่าจะเป็นที่จะไม่มีกระแสในวงจรไม่เกิน 0.4 จำเป็นต้องพิจารณาว่าห่วงโซ่ที่กำหนดนั้นเชื่อถือได้หรือไม่

เนื่องจากองค์ประกอบต่างๆ ต่ออนุกรมกัน จะไม่มีกระแสไฟฟ้าในวงจร (เหตุการณ์ A) ถ้าองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบล้มเหลว ให้ A i เป็นเหตุการณ์ที่ องค์ประกอบ i-thทำงาน (i = 1, 2, 3) จากนั้น P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8 แน่นอนว่า A 1 A 2 A 3 คือเหตุการณ์ที่ทั้งสามองค์ประกอบทำงานพร้อมกัน และ

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612.

จากนั้น P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1 ดังนั้น P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

โดยสรุปเราทราบว่าตัวอย่างข้างต้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์(ซึ่งมีฟังก์ชันและโครงสร้าง ปัจจัยเชิงกำหนดและความน่าจะเป็น) เป็นภาพประกอบและเห็นได้ชัดว่าไม่ได้ใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายทั้งหมดที่เกิดขึ้นในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและมนุษย์

1. การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

และขั้นตอนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีการศึกษาวัตถุและกระบวนการในโลกแห่งความเป็นจริงโดยใช้คำอธิบายโดยประมาณในภาษาคณิตศาสตร์ - แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

กระบวนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สามารถแบ่งตามเงื่อนไขออกเป็นหลายขั้นตอนหลัก:

1) การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

2) การกำหนด การวิจัย และการแก้ปัญหาการคำนวณที่เกี่ยวข้อง;

3) การตรวจสอบคุณภาพของแบบจำลองในทางปฏิบัติและการปรับเปลี่ยนแบบจำลอง

พิจารณาเนื้อหาหลักของขั้นตอนเหล่านี้

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือนิพจน์การวิเคราะห์ที่พบจากผลการวิเคราะห์ระบบหรือปรากฏการณ์ทางกายภาพบางอย่าง ซึ่งรวมถึงพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักหลายตัวของระบบหรือปรากฏการณ์นี้ ซึ่งจะพิจารณาจากข้อมูลการทดลองด้วยความช่วยเหลือของการสังเกตและการทดลอง การปฏิบัติเผยให้เห็น "ลักษณะ" หลักของปรากฏการณ์ซึ่งเปรียบเทียบกับปริมาณบางส่วน ตามกฎแล้ว ปริมาณเหล่านี้ใช้ค่าตัวเลข เช่น เป็นตัวแปร เวกเตอร์ เมทริกซ์ ฟังก์ชัน ฯลฯ

การเชื่อมต่อภายในที่สร้างขึ้นระหว่าง "ลักษณะเฉพาะ" ของปรากฏการณ์จะได้รับรูปแบบของความเท่าเทียมกัน อสมการ สมการ และโครงสร้างเชิงตรรกะที่เชื่อมต่อปริมาณที่รวมอยู่ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ดังนั้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จึงกลายเป็นบันทึกในภาษาคณิตศาสตร์ของกฎแห่งธรรมชาติ

เราเน้นย้ำว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แสดงถึงการประนีประนอมอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ระหว่างความซับซ้อนที่ไม่สิ้นสุดของปรากฏการณ์ภายใต้การศึกษาและความเรียบง่ายที่ต้องการของคำอธิบาย

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มักจะแบ่งออกเป็นแบบคงที่และแบบไดนามิก โมเดลคงที่อธิบายปรากฏการณ์หรือสถานการณ์บนสมมติฐานของความสมบูรณ์ เปลี่ยนแปลงไม่ได้ (กล่าวคือ ในสถิตยศาสตร์) โมเดลไดนามิกอธิบายว่าปรากฏการณ์ดำเนินไปอย่างไรหรือสถานการณ์เปลี่ยนจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่ง (กล่าวคือ ในพลวัต) ตามกฎแล้วเมื่อใช้โมเดลไดนามิก สถานะเริ่มต้นของระบบจะถูกตั้งค่า จากนั้นจึงศึกษาการเปลี่ยนแปลงในสถานะนี้เมื่อเวลาผ่านไป ในแบบจำลองไดนามิก วิธีแก้ปัญหาที่ต้องการมักเป็นฟังก์ชันของเวลา y=y(เสื้อ),ตัวแปร ทีตามกฎแล้วในรุ่นดังกล่าวมีความโดดเด่นและมีบทบาทพิเศษ

คำชี้แจง การวิจัย และการแก้ปัญหาทางการคำนวณเพื่อค้นหาค่าของปริมาณที่ผู้วิจัยสนใจหรือค้นหาธรรมชาติของการพึ่งพาปริมาณอื่น ๆ ที่รวมอยู่ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ปัญหาทางคณิตศาสตร์จะถูกตั้งและแก้ไข

มาเปิดเผยประเภทปัญหาหลักที่ต้องแก้ไข ในการทำเช่นนี้ เราแบ่งปริมาณทั้งหมดตามเงื่อนไขที่รวมอยู่ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ออกเป็นสามกลุ่ม:

1) ข้อมูลเริ่มต้น (อินพุต) x,

2) พารามิเตอร์ของโมเดลก,

3) โซลูชันที่ต้องการ (ข้อมูลเอาต์พุต) y.

1). ทางออกที่พบมากที่สุดคือสิ่งที่เรียกว่า งานโดยตรง, ซึ่งมีการตั้งค่าดังนี้: ค่าที่กำหนดข้อมูลอินพุต เอ็กซ์สำหรับค่าพารามิเตอร์คงที่ กต้องหาทางออก ย.กระบวนการแก้ปัญหาโดยตรงสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผลที่มีอยู่ในปรากฏการณ์ จากนั้นป้อนข้อมูล เอ็กซ์ระบุลักษณะของ "สาเหตุ" ของปรากฏการณ์ซึ่งได้รับและหลากหลายในกระบวนการวิจัยและแนวทางแก้ไขที่ต้องการ y -"ผล".

เพื่อให้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ใช้ไม่ได้กับปรากฏการณ์เดียว แต่กับปรากฏการณ์ที่หลากหลายที่ใกล้เคียงธรรมชาติ ในความเป็นจริงแล้ว แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นเพียงแบบเดียว แต่เป็นตระกูลแบบจำลองแบบพาราเมตริกบางแบบ การเลือกรุ่นเฉพาะจากตระกูลนี้ดำเนินการโดยการกำหนดค่าของพารามิเตอร์รุ่น ก.ตัวอย่างเช่น ค่าสัมประสิทธิ์บางตัวที่รวมอยู่ในสมการสามารถทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ดังกล่าวได้

2). มีบทบาทสำคัญในการแก้ปัญหาของสิ่งที่เรียกว่า ปัญหาผกผันประกอบด้วยคำจำกัดความของข้อมูลเข้า เอ็กซ์สำหรับค่านี้ ที่(พารามิเตอร์รุ่น ก,ตามปัญหาโดยตรงได้รับการแก้ไขแล้ว) วิธีแก้ปัญหาผกผันคือ ในแง่หนึ่ง ความพยายามที่จะค้นหาว่า "เหตุผล" คืออะไร xนำไปสู่ ​​"ผล" ที่รู้จักกันดี ย.โดยปกติ, ปัญหาผกผันแก้ยากกว่าแก้ตรง

3). นอกจากงานสองประเภทที่พิจารณาแล้ว ควรกล่าวถึงอีกประเภทหนึ่ง - งานระบุตัวตนในแง่กว้าง ภารกิจในการระบุแบบจำลองคืองานของการเลือกแบบจำลองที่เป็นไปได้มากมายที่อธิบายปรากฏการณ์ภายใต้การศึกษาได้ดีที่สุด ในสูตรนี้ ปัญหานี้ดูเหมือนเป็นปัญหาที่แก้ไขไม่ได้จริง บ่อยครั้งที่ปัญหาการระบุเป็นที่เข้าใจในความหมายที่แคบเนื่องจากปัญหาของการเลือกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เฉพาะจากตระกูลแบบจำลองพารามิเตอร์ที่กำหนด (โดยการเลือกพารามิเตอร์ a) เพื่อจับคู่ผลที่ตามมาของแบบจำลองกับผลการสังเกต ในวิธีที่เหมาะสมที่สุดในแง่ของเกณฑ์ที่แน่นอน

ปัญหาทั้งสามประเภทนี้ (ปัญหาตรง ปัญหาผกผัน และปัญหาประจำตัว) จะถูกเรียกว่า งานคอมพิวเตอร์เพื่อความสะดวกในการนำเสนอ ต่อจากนี้ ไม่ว่าจะแก้ปัญหาแบบใด เราจะเรียก เซตของปริมาณ ที่จะกำหนดว่า ทางออกที่ต้องการและแสดงโดย ใช่และชุดค่า ข้อมูลอินพุตและแสดงโดย เอ็กซ์

ตามกฎแล้ว วิธีแก้ปัญหาการคำนวณไม่สามารถแสดงในรูปของข้อมูลอินพุตในรูปของสูตรจำกัดได้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าจะไม่พบวิธีแก้ไขปัญหาดังกล่าวเลย มีวิธีพิเศษที่เรียกว่า ตัวเลข(หรือ คอมพิวเตอร์).ช่วยให้คุณสามารถลดการรับค่าตัวเลขของโซลูชันเป็นลำดับของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับค่าตัวเลขของข้อมูลอินพุต อย่างไรก็ตาม วิธีการเชิงตัวเลขมักไม่ค่อยถูกนำมาใช้ในการแก้ปัญหา เนื่องจากการใช้งานเกี่ยวข้องกับการคำนวณจำนวนมหาศาล ดังนั้น ในกรณีส่วนใหญ่ ก่อนการกำเนิดของคอมพิวเตอร์ จึงจำเป็นต้องหลีกเลี่ยงการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนและศึกษาปรากฏการณ์ในสถานการณ์ที่ง่ายที่สุด เมื่อสามารถค้นหา โซลูชันการวิเคราะห์. ความไม่สมบูรณ์ของอุปกรณ์คอมพิวเตอร์กลายเป็นปัจจัยที่ขัดขวางการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอย่างแพร่หลาย

การถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์ได้เปลี่ยนแปลงสถานการณ์ไปอย่างมาก ชั้นเรียนของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สามารถศึกษาในรายละเอียดได้ขยายออกไปอย่างมาก วิธีแก้ปัญหาของปัญหาทางคอมพิวเตอร์จำนวนมากซึ่งไม่สามารถเข้าถึงได้จนกระทั่งเมื่อเร็ว ๆ นี้ได้กลายเป็นความจริงในชีวิตประจำวัน

การตรวจสอบคุณภาพของแบบจำลองในทางปฏิบัติและการปรับเปลี่ยนแบบจำลอง. ในขั้นตอนนี้ ได้มีการชี้แจงความเหมาะสมของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับอธิบายปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่ ข้อสรุปเชิงทฤษฎีและผลลัพธ์เฉพาะที่เกิดจากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงสมมุติฐานจะถูกนำมาเปรียบเทียบกับข้อมูลการทดลอง หากขัดแย้งกัน โมเดลที่เลือกนั้นไม่เหมาะสมและควรแก้ไขโดยกลับไปที่ขั้นตอนแรก หากผลลัพธ์ตรงกับความแม่นยำที่ยอมรับได้สำหรับการอธิบายปรากฏการณ์นี้ แบบจำลองนั้นถือว่าเหมาะสม แน่นอนว่าจำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติมเพื่อกำหนดระดับความน่าเชื่อถือของแบบจำลองและขีดจำกัดของการบังคับใช้

คำถามทบทวน:

1. แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

2. ขั้นตอนหลักในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

3. ประเภทของงานหลักที่ต้องแก้ไข?

2. ขั้นตอนหลักของการแก้ปัญหาทางวิศวกรรม

งานที่ใช้คอมพิวเตอร์ช่วย

การแก้ปัญหาทางวิศวกรรมโดยใช้คอมพิวเตอร์สามารถแบ่งออกเป็นหลายขั้นตอนต่อเนื่องกัน เราแยกขั้นตอนต่อไปนี้:

1) คำสั่งปัญหา;

2) ทางเลือกหรือการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

3) คำสั่งของปัญหาการคำนวณ;

4) การวิเคราะห์เบื้องต้น (เครื่องล่วงหน้า) ของคุณสมบัติของปัญหาการคำนวณ

5) ทางเลือกหรือการสร้างวิธีการเชิงตัวเลข

6) อัลกอริธึมและการเขียนโปรแกรม

7) การดีบักโปรแกรม

8) บัญชีสำหรับโปรแกรม

9) การประมวลผลและการตีความผลลัพธ์

10) การใช้ผลลัพธ์และการแก้ไขแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

จัดฉาก ปัญหา. ในขั้นต้น ปัญหาที่ใช้จะถูกกำหนดในรูปแบบทั่วไป:

สำรวจปรากฏการณ์บางอย่าง

ออกแบบอุปกรณ์ที่มีคุณสมบัติที่กำหนด

คาดการณ์พฤติกรรมของวัตถุบางอย่างภายใต้เงื่อนไขบางประการ ฯลฯ

ในขั้นตอนนี้ ข้อกำหนดของคำสั่งปัญหาจะเกิดขึ้น ในเวลาเดียวกัน ความสนใจหลักจะจ่ายให้กับการชี้แจงวัตถุประสงค์ของการศึกษา

ขั้นตอนที่สำคัญและมีความรับผิดชอบนี้จบลงด้วยการกำหนดปัญหาเฉพาะในภาษาที่ยอมรับในสาขาวิชานี้ ความรู้เกี่ยวกับความเป็นไปได้ที่นำเสนอโดยการใช้คอมพิวเตอร์สามารถมีอิทธิพลอย่างมากต่อการกำหนดปัญหาขั้นสุดท้าย

การเลือกหรือสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการวิเคราะห์ปรากฏการณ์หรือวัตถุที่ศึกษาในภายหลัง จำเป็นต้องให้คำอธิบายที่เป็นทางการในภาษาคณิตศาสตร์ เช่น เพื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ บ่อยครั้งที่สามารถเลือกแบบจำลองจากสิ่งที่รู้จักและได้รับการยอมรับสำหรับการอธิบายกระบวนการที่สอดคล้องกัน แต่บ่อยครั้งจำเป็นต้องมีการปรับเปลี่ยนแบบจำลองที่รู้จักอย่างมีนัยสำคัญ และบางครั้งก็จำเป็นต้องสร้างแบบจำลองใหม่โดยพื้นฐาน

คำชี้แจงของปัญหาการคำนวณตามแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับการยอมรับ ปัญหาการคำนวณ (หรือปัญหาดังกล่าวจำนวนหนึ่ง) ถูกกำหนดขึ้น การวิเคราะห์ผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา ผู้วิจัยคาดว่าจะได้รับคำตอบสำหรับคำถามของเขา

การวิเคราะห์เบื้องต้นเกี่ยวกับคุณสมบัติของปัญหาการคำนวณในขั้นตอนนี้การศึกษาเบื้องต้น (เครื่องก่อน) เกี่ยวกับคุณสมบัติของปัญหาการคำนวณการชี้แจงการมีอยู่และเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหารวมถึงการศึกษาความเสถียรของการแก้ปัญหาต่อข้อผิดพลาดในข้อมูลที่ป้อนเข้า กำลังดำเนินการ

ทางเลือกหรือการสร้างวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาการคำนวณบนคอมพิวเตอร์ จำเป็นต้องใช้วิธีการทางตัวเลข

บ่อยครั้งที่การแก้ปัญหาทางวิศวกรรมลดลงเหลือ โซลูชันที่สอดคล้องกันปัญหาการคำนวณมาตรฐานที่พัฒนาวิธีการเชิงตัวเลขอย่างมีประสิทธิภาพ ในสถานการณ์นี้ มีตัวเลือกระหว่างวิธีการที่รู้จักหรือการปรับให้เข้ากับคุณลักษณะของปัญหาที่กำลังแก้ไข อย่างไรก็ตาม หากปัญหาการคำนวณที่เกิดขึ้นใหม่นั้นเป็นไปได้ว่าไม่มีวิธีการสำเร็จรูปในการแก้ปัญหา

โดยปกติสามารถใช้หลายวิธีในการแก้ปัญหาการคำนวณเดียวกัน จำเป็นต้องทราบคุณสมบัติของวิธีการเหล่านี้ซึ่งเป็นเกณฑ์ในการประเมินคุณภาพเพื่อเลือกวิธีการที่ช่วยให้สามารถแก้ปัญหาได้อย่างมีประสิทธิภาพสูงสุด ตัวเลือกที่นี่ยังห่างไกลจากความชัดเจน ขึ้นอยู่กับข้อกำหนดสำหรับโซลูชัน ทรัพยากรที่มีอยู่ เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ที่มีให้ใช้งาน ฯลฯ

อัลกอริทึมและการเขียนโปรแกรมตามกฎแล้ว วิธีตัวเลขที่เลือกในขั้นตอนก่อนหน้ามีเพียง แผนภูมิวงจรรวมการแก้ปัญหาที่ไม่มีรายละเอียดมากมายโดยที่การดำเนินการตามวิธีการบนคอมพิวเตอร์เป็นไปไม่ได้ ข้อกำหนดโดยละเอียดของการคำนวณทุกขั้นตอนเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้ได้อัลกอริทึมที่ใช้งานบนคอมพิวเตอร์ การคอมไพล์โปรแกรมจะลดลงเป็นการแปลอัลกอริทึมนี้เป็นภาษาโปรแกรมที่เลือก

มีไลบรารี่ที่ผู้ใช้จากโมดูลสำเร็จรูปโปรแกรมของพวกเขา หรือในกรณีที่รุนแรง พวกเขาต้องเขียนโปรแกรมตั้งแต่เริ่มต้น

การดีบักโปรแกรมในขั้นตอนนี้ด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์ ตรวจพบและแก้ไขข้อผิดพลาดในโปรแกรม

หลังจากกำจัดข้อผิดพลาดในการเขียนโปรแกรมแล้วจำเป็นต้องทำการทดสอบโปรแกรมอย่างละเอียด - ตรวจสอบความถูกต้องของการทำงานกับปัญหาการทดสอบที่เลือกเป็นพิเศษพร้อมแนวทางแก้ไขที่รู้จัก

บัญชีโปรแกรมในขั้นตอนนี้ ปัญหาจะได้รับการแก้ไขบนคอมพิวเตอร์ตามโปรแกรมที่คอมไพล์ในโหมดอัตโนมัติ กระบวนการนี้ซึ่งระหว่างที่ข้อมูลอินพุตถูกแปลงโดยคอมพิวเตอร์เป็นผลลัพธ์เรียกว่า กระบวนการคำนวณตามกฎแล้วการคำนวณซ้ำหลายครั้งด้วยข้อมูลอินพุตที่แตกต่างกันเพื่อให้ได้ภาพที่สมบูรณ์ของการพึ่งพาการแก้ปัญหา

การประมวลผลและ การตีความผลลัพธ์. ข้อมูลเอาต์พุตที่ได้รับจากการคำนวณของคอมพิวเตอร์ตามกฎแล้วเป็นอาร์เรย์ของตัวเลขจำนวนมากซึ่งจะแสดงในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการรับรู้

การใช้ผลลัพธ์และแก้ไขแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขั้นตอนสุดท้ายคือการใช้ผลการคำนวณในทางปฏิบัติหรืออีกนัยหนึ่งคือการนำผลลัพธ์ไปใช้

บ่อยครั้งที่การวิเคราะห์ผลลัพธ์ที่ดำเนินการในขั้นตอนของการประมวลผลและการตีความบ่งชี้ถึงความไม่สมบูรณ์ของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้และความจำเป็นในการแก้ไข ในกรณีนี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้รับการแก้ไข (ในกรณีนี้ ตามกฎแล้วจะซับซ้อนมากขึ้น) และเริ่มวงจรใหม่ของการแก้ปัญหา

คำถามทบทวน:

1. ขั้นตอนหลักของการแก้ปัญหาทางวิศวกรรมโดยใช้คอมพิวเตอร์?

3. การทดลองเชิงคำนวณ

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการแก้ปัญหาทางวิศวกรรมโดยใช้คอมพิวเตอร์ต้องใช้ปริมาณงานมาก มันง่ายที่จะเห็นการเปรียบเทียบกับงานที่เกี่ยวข้องที่ดำเนินการในองค์กรของการทดลองเต็มรูปแบบ: วาดโปรแกรมการทดลอง, สร้างการตั้งค่าการทดลอง, ทำการทดลองควบคุม, ทำการทดลองแบบอนุกรม) ประมวลผลข้อมูลการทดลองและการตีความ ฯลฯอย่างไรก็ตาม การทดลองทางคอมพิวเตอร์ไม่ได้ดำเนินการกับวัตถุจริง แต่ใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และบทบาทของการตั้งค่าการทดลองนั้นเล่นโดยคอมพิวเตอร์ที่ติดตั้งโปรแกรมที่พัฒนาขึ้นเป็นพิเศษ ในเรื่องนี้ เป็นเรื่องปกติที่จะต้องพิจารณาการคำนวณที่ซับซ้อนขนาดใหญ่ในการแก้ปัญหาทางวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์และทางเทคนิค เช่น การทดลองการคำนวณ,และลำดับขั้นตอนของการแก้ปัญหาที่อธิบายไว้ในย่อหน้าก่อนหน้าว่าเป็นหนึ่งในวงจรของมัน

ให้เราสังเกตข้อดีบางประการของการทดลองทางคอมพิวเตอร์เมื่อเปรียบเทียบกับการทดลองทางธรรมชาติ:

1. การทดลองทางคอมพิวเตอร์มักจะถูกกว่าการทดลองทางกายภาพ

2. การทดลองนี้สามารถดัดแปลงได้ง่ายและปลอดภัย

3. สามารถทำซ้ำได้อีกครั้ง (หากจำเป็น) และถูกขัดจังหวะเมื่อใดก็ได้

4. ในระหว่างการทดลองนี้ คุณสามารถจำลองสภาวะที่ไม่สามารถสร้างได้ในห้องปฏิบัติการ

เราทราบว่าในหลายกรณีเป็นเรื่องยาก (และบางครั้งก็เป็นไปไม่ได้) ที่จะทำการทดลองอย่างเต็มรูปแบบ เนื่องจากมีการศึกษากระบวนการที่รวดเร็ว จึงมีการตรวจสอบวัตถุที่ยากต่อการเข้าถึงหรือไม่สามารถเข้าถึงได้โดยทั่วไป บ่อยครั้งที่การทดลองทางธรรมชาติเต็มรูปแบบเกี่ยวข้องกับผลร้ายหรือผลที่คาดเดาไม่ได้ ( สงครามนิวเคลียร์, หันของแม่น้ำไซบีเรีย) หรือมีอันตรายต่อชีวิตหรือสุขภาพของประชาชน บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องศึกษาและคาดการณ์ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ภัยพิบัติ (อุบัติเหตุจากเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์ที่โรงไฟฟ้านิวเคลียร์ ภาวะโลกร้อน แผ่นดินไหว) ในกรณีเหล่านี้ การทดลองทางคอมพิวเตอร์อาจกลายเป็นวิธีการหลักในการวิจัย โปรดทราบว่าด้วยความช่วยเหลือของมันเป็นไปได้ที่จะทำนายคุณสมบัติของโครงสร้างและวัสดุใหม่ที่ยังไม่ได้สร้างขึ้นในขั้นตอนของการออกแบบ

ข้อเสียที่สำคัญของการทดลองทางคอมพิวเตอร์ก็คือ การนำผลการทดลองไปใช้นั้นถูกจำกัดโดยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เป็นที่ยอมรับ

การสร้างผลิตภัณฑ์ใหม่หรือกระบวนการทางเทคโนโลยีเกี่ยวข้องกับการเลือกตัวเลือกทางเลือกต่างๆ จำนวนมาก เช่นเดียวกับการปรับให้เหมาะสมสำหรับพารามิเตอร์จำนวนหนึ่ง ดังนั้นในระหว่างการทดลองคำนวณ การคำนวณจะดำเนินการซ้ำๆ ด้วย ค่าที่แตกต่างกันพารามิเตอร์อินพุต เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการด้วยความแม่นยำที่จำเป็นและภายในกรอบเวลาที่ยอมรับได้ จำเป็นต้องใช้เวลาขั้นต่ำในการคำนวณแต่ละตัวเลือก

การพัฒนาซอฟต์แวร์สำหรับการทดลองทางคอมพิวเตอร์ในพื้นที่เฉพาะของกิจกรรมทางวิศวกรรมนำไปสู่การสร้างชุดซอฟต์แวร์ขนาดใหญ่ ประกอบด้วยโปรแกรมแอปพลิเคชันและเครื่องมือระบบที่เชื่อมต่อถึงกัน รวมถึงเครื่องมือที่จัดหาให้กับผู้ใช้สำหรับจัดการหลักสูตรของการทดลองทางคอมพิวเตอร์ ประมวลผล และนำเสนอผลลัพธ์ โปรแกรมชุดนี้บางครั้งเรียกว่า แพ็คเกจแอปพลิเคชันที่มุ่งเน้นปัญหา

คำถามทบทวน:

1. ข้อดีของการทดลองทางคอมพิวเตอร์เทียบกับการทดลองทางธรรมชาติ?

2. ข้อเสียของการทดลองเชิงคำนวณ?

4. วิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ปัญหา

4.1. การหารากของฟังก์ชัน

วิธีการแบ่งส่วนตามเพศ(วิลลี่เมธ).

เราแบ่งครึ่งส่วน ( เครื่องปรับอากาศ=สว). เลือกครึ่งที่ฟังก์ชันตัดแกน 0xแล้วแสดงว่า กับด้านหลัง ใน, เช่น. ค=บีแล้วแบ่งครึ่งอีกครั้ง ตัวเลือกครึ่งหนึ่งดำเนินการโดยผลิตภัณฑ์ ¦( ก)´¦( ใน). หากผลิตภัณฑ์มีค่ามากกว่า 0 แสดงว่าไม่มีรูท

วิธีการคอร์ด (secants)

(ปริญญาตรี)/2 ปอนด์ อีน³ บันทึก 2((ปริญญาตรี)/2)

(ปป 0)(x-x 1)=(ปป 1)(x-x 0)

ย=0; ย 0(x-x 1)=ย 1(x-x 0)

แนวคิดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ลองนึกภาพเครื่องบิน: ปีก, ลำตัว, หาง, ทั้งหมดนี้รวมกัน - เครื่องบินทั้งลำที่ใหญ่โตมหึมา และคุณสามารถสร้างแบบจำลองเครื่องบินได้ ขนาดเล็ก แต่ทุกอย่างเหมือนจริง ปีกแบบเดียวกัน ฯลฯ แต่มีขนาดกะทัดรัด แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ก็เช่นกัน มีปัญหาข้อความยุ่งยาก ดูได้ อ่านได้ แต่ไม่ค่อยเข้าใจ และยิ่งแก้ไม่ชัดเจน แต่ถ้าเราสร้างแบบจำลองเล็กๆ ขึ้นมา แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จากงานทางวาจาขนาดใหญ่ล่ะ คณิตศาสตร์หมายถึงอะไร? ดังนั้นการใช้กฎและกฎหมาย สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์แปลงข้อความเป็นการแสดงที่ถูกต้องตามตรรกะโดยใช้ตัวเลขและเครื่องหมายเลขคณิต ดังนั้น, แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นตัวแทนของสถานการณ์จริงโดยใช้ภาษาทางคณิตศาสตร์

มาเริ่มกันง่ายๆ: จำนวนที่มากกว่าจำนวนโดย เราจำเป็นต้องจดโดยไม่ต้องใช้คำ เพียงแค่ภาษาของคณิตศาสตร์ หากมากกว่านั้นปรากฎว่าถ้าเราลบออกความแตกต่างของตัวเลขเหล่านี้จะยังคงเท่ากัน เหล่านั้น. หรือ. มีสาระสำคัญ?

ตอนนี้มันซับซ้อนมากขึ้น ตอนนี้จะมีข้อความที่คุณควรลองนำเสนอในรูปแบบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จนกว่าคุณจะอ่านว่าฉันจะทำได้อย่างไร ลองด้วยตัวเอง! มีสี่ตัวเลข: , และ. ผลิตภัณฑ์และผลิตภัณฑ์อื่น ๆ และสองครั้ง

เกิดอะไรขึ้น

ในรูปแบบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะมีลักษณะดังนี้

เหล่านั้น. ผลิตภัณฑ์เกี่ยวข้องกับสองต่อหนึ่ง แต่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีก:

ด้วยตัวอย่างง่ายๆ คุณคงเข้าใจแล้ว มาดูงานที่เต็มเปี่ยมซึ่งจำเป็นต้องแก้ไขแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ด้วย! นี่คือภารกิจ

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในทางปฏิบัติ

ภารกิจที่ 1

หลังฝนตก ระดับน้ำในบ่อน้ำอาจสูงขึ้น เด็กชายวัดเวลาที่ก้อนกรวดเล็กๆ ตกลงไปในบ่อน้ำและคำนวณระยะทางถึงน้ำโดยใช้สูตร ระยะทางเป็นเมตรโดยที่และเวลาตกเป็นวินาที ก่อนที่ฝนจะตก เวลาที่ก้อนกรวดตกลงมาคือ s หลังฝนตกต้องเพิ่มระดับน้ำอีกเท่าใดเวลาที่วัดได้จึงเปลี่ยนเป็น s แสดงคำตอบของคุณเป็นเมตร

โอ้พระเจ้า! สูตรไหน ดีอย่างไร เกิดอะไรขึ้น ทำอย่างไร? ฉันอ่านใจคุณออกไหม ผ่อนคลาย ในงานประเภทนี้ เงื่อนไขยิ่งแย่ สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือในงานนี้ คุณสนใจในสูตรและความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร และความหมายทั้งหมดนี้ในกรณีส่วนใหญ่ไม่สำคัญมากนัก คุณเห็นว่ามีประโยชน์อะไรที่นี่? ผมเองเห็น. หลักการของการแก้ปัญหาเหล่านี้มีดังนี้: คุณใช้ปริมาณที่ทราบทั้งหมดและแทนที่แต่บางครั้งคุณต้องคิด!

ตามคำแนะนำแรกของฉัน และแทนค่าที่ทราบทั้งหมดลงในสมการ เราได้รับ:

ฉันเองที่เปลี่ยนเวลาเป็นครั้งที่สองและพบความสูงที่ก้อนหินปลิวไปต่อหน้าฝน และตอนนี้เราต้องนับหลังฝนตกและค้นหาความแตกต่าง!

ฟังคำแนะนำที่สองแล้วลองคิดดู คำถามระบุว่า "หลังฝนตกต้องเพิ่มระดับน้ำเท่าใดเพื่อให้เวลาที่วัดได้เปลี่ยนไป s" คุณต้องคิดออกทันที ดีมาก หลังฝนตก ระดับน้ำสูงขึ้น ซึ่งหมายความว่าเวลาที่หินจะตกลงสู่ระดับน้ำจะน้อยลง และนี่คือวลีที่หรูหรา "เพื่อให้เวลาที่วัดได้เปลี่ยนไป" ตามความหมายเฉพาะ: เวลาตกไม่เพิ่มขึ้น แต่ลดลงตามวินาทีที่ระบุ ซึ่งหมายความว่าในกรณีของการโยนหลังฝนตก เราแค่ต้องลบ c ออกจากเวลาเริ่มต้น c และเราจะได้สมการสำหรับความสูงที่หินจะลอยหลังฝนตก:

และสุดท้าย หากต้องการทราบว่าระดับน้ำควรเพิ่มขึ้นเท่าใดหลังฝนตก เพื่อให้เวลาที่วัดได้เปลี่ยนไป s คุณเพียงแค่ต้องลบวินาทีออกจากความสูงแรกของการตก!

เราได้คำตอบ: ต่อเมตร

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อน ที่สำคัญที่สุด อย่าสนใจมากเกินไปว่าสมการที่เข้าใจยากและซับซ้อนในบางครั้งนั้นมาจากเงื่อนไขอะไร และทุกอย่างในนั้นหมายถึงอะไร ใช้คำพูดของฉันแทน สมการเหล่านี้ส่วนใหญ่คือ นำมาจากฟิสิกส์และที่นั่นป่านั้นแย่กว่าในพีชคณิต บางครั้งสำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่างานเหล่านี้ถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อข่มขู่นักเรียนในการสอบด้วยสูตรและคำศัพท์ที่ซับซ้อนมากมาย และในกรณีส่วนใหญ่พวกเขาแทบไม่ต้องการความรู้เลย เพียงอ่านเงื่อนไขอย่างระมัดระวังและแทนที่ค่าที่ทราบในสูตร!

นี่เป็นอีกปัญหาหนึ่งซึ่งไม่ได้อยู่ในฟิสิกส์อีกต่อไป แต่มาจากโลกของทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ แม้ว่าความรู้ด้านวิทยาศาสตร์นอกเหนือจากคณิตศาสตร์จะไม่จำเป็นอีกครั้งที่นี่

ภารกิจที่ 2

การพึ่งพาปริมาณความต้องการ (หน่วยต่อเดือน) สำหรับผลิตภัณฑ์ขององค์กรผูกขาดในราคา (พันรูเบิล) กำหนดโดยสูตร

รายได้ต่อเดือนของ บริษัท (เป็นพันรูเบิล) คำนวณโดยใช้สูตร กำหนดราคาสูงสุดที่รายได้ต่อเดือนจะอยู่ที่อย่างน้อยหนึ่งพันรูเบิล ให้คำตอบเป็นพันรูเบิล

เดาว่าฉันจะทำอะไรตอนนี้? ใช่ ฉันจะเริ่มแทนที่สิ่งที่เรารู้ แต่อีกครั้ง คุณยังต้องคิดอีกเล็กน้อย เริ่มจากจุดสิ้นสุดเราต้องหาที่ มีเท่ากับบางตัว เราหาอย่างอื่นที่มันเท่ากัน และมันเท่ากัน แล้วเราจะเขียนมันลงไป อย่างที่คุณเห็น ฉันไม่ได้สนใจความหมายของปริมาณเหล่านี้เป็นพิเศษ ฉันแค่ดูจากเงื่อนไข อะไรเท่ากับอะไร นั่นคือสิ่งที่คุณต้องทำ กลับไปที่งานคุณมีอยู่แล้ว แต่อย่างที่คุณจำได้จากสมการเดียวที่มีสองตัวแปรไม่พบเลย จะทำอย่างไร? ใช่ เรายังมีอนุภาคที่ยังไม่ได้ใช้ในสภาพ ที่นี่มีสองสมการและสองตัวแปรอยู่แล้ว ซึ่งหมายความว่าตอนนี้สามารถหาตัวแปรทั้งสองได้แล้ว - เยี่ยมมาก!

คุณสามารถแก้ไขระบบดังกล่าวได้หรือไม่?

เราแก้โดยการแทนที่ เราได้แสดงมันแล้ว ซึ่งหมายความว่าเราจะแทนมันลงในสมการแรกและทำให้มันเป็นสมการแรก

ปรากฎว่านี่คือสมการกำลังสอง: , เราแก้, รากเป็นแบบนี้ ในงานนั้นจำเป็นต้องค้นหาราคาสูงสุดที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดที่เราคำนึงถึงเมื่อเรารวบรวมระบบ โอ้ ปรากฎว่านั่นคือราคา เยี่ยมมากเราพบราคา: และ ราคาสูงที่สุด คุณว่าไหม? โอเค ใหญ่ที่สุดในนั้น เราเขียนตอบกลับไป แล้วมันยากไหม? ฉันคิดว่าไม่ และคุณไม่จำเป็นต้องเจาะลึกมากเกินไป!

และนี่คือฟิสิกส์ที่น่าสะพรึงกลัวสำหรับคุณ หรือมากกว่านั้นคือปัญหาอื่น:

ภารกิจที่ 3

เพื่อกำหนดอุณหภูมิที่มีประสิทธิภาพของดาวฤกษ์ กฎของสเตฟาน–โบลต์ซมันน์ถูกใช้ โดยที่พลังงานการแผ่รังสีของดาวฤกษ์อยู่ที่ไหน ค่าคงที่ คือพื้นที่ผิวของดาวฤกษ์ และอุณหภูมิ เป็นที่ทราบกันดีว่าพื้นที่ผิวของดาวฤกษ์บางดวงมีค่าเท่ากันและพลังของการแผ่รังสีเท่ากับ W จงหาอุณหภูมิของดาวดวงนี้มีหน่วยเป็นองศาเคลวิน

ชัดเจนตรงไหน? ใช่ เงื่อนไขบอกว่าอะไรเท่ากับอะไร ก่อนหน้านี้ฉันแนะนำให้แทนที่สิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมดทันที แต่ที่นี่จะเป็นการดีกว่าที่จะแสดงการค้นหาที่ไม่รู้จักก่อน ดูว่าทุกอย่างง่ายเพียงใด: มีสูตรและเป็นที่รู้จักในนั้นและ (นี่คือตัวอักษรกรีก "sigma" โดยทั่วไปแล้วนักฟิสิกส์ชอบ อักษรกรีก, ชินกับมัน). ไม่ทราบอุณหภูมิ มาแสดงในรูปแบบของสูตร จะทำอย่างไรฉันหวังว่าคุณจะรู้ การมอบหมายดังกล่าวสำหรับ GIA ในเกรด 9 มักจะให้:

ตอนนี้ยังคงแทนที่ตัวเลขแทนตัวอักษรทางด้านขวาและทำให้ง่ายขึ้น:

นี่คือคำตอบ: องศาเคลวิน! และช่างเป็นงานที่แย่มาก!

เรายังคงทรมานปัญหาในวิชาฟิสิกส์ต่อไป

ภารกิจที่ 4

ความสูงเหนือพื้นของลูกบอลที่โยนขึ้นจะเปลี่ยนไปตามกฎหมาย โดยความสูงเป็นเมตร คือเวลาเป็นวินาทีที่ผ่านไปตั้งแต่โยน ลูกบอลจะอยู่ที่ความสูงอย่างน้อยสามเมตรกี่วินาที?

นั่นคือสมการทั้งหมด แต่ที่นี่จำเป็นต้องกำหนดว่าลูกบอลอยู่ที่ความสูงอย่างน้อยสามเมตรซึ่งหมายถึงความสูงเท่าใด เรากำลังจะทำอะไร? ความไม่เท่าเทียมกัน ใช่! เรามีฟังก์ชันที่อธิบายว่าลูกบอลบินอย่างไร ซึ่งความสูงเท่ากันในหน่วยเมตร เราต้องการความสูง วิธี

และตอนนี้คุณแค่แก้อสมการ ที่สำคัญที่สุด อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการจากมากกว่าหรือเท่ากับน้อยกว่าหรือเท่ากับเมื่อคุณคูณด้วยอสมการทั้งสองส่วนเพื่อกำจัดลบที่อยู่ข้างหน้า

นี่คือราก เราสร้างช่วงเวลาสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน:

เราสนใจช่วงเวลาที่เครื่องหมายเป็นลบ เนื่องจากอสมการรับค่าลบไว้ที่นั่น นี่คือจาก ถึง รวมทั้งสองอย่าง และตอนนี้เราเปิดสมองและคิดอย่างรอบคอบ: สำหรับความไม่เท่าเทียมกันเราใช้สมการที่อธิบายถึงการบินของลูกบอล มันบินไปตามพาราโบลาเช่น มันบินขึ้นถึงจุดสูงสุดและตกจะเข้าใจได้อย่างไรว่าความสูงอย่างน้อยเมตรจะยาวแค่ไหน? เราพบจุดเปลี่ยน 2 จุดคือ ช่วงเวลาที่มันทะยานขึ้นเหนือเมตรและช่วงเวลาที่มันถึงจุดเดียวกันในขณะที่ตกลงมา จุดทั้งสองนี้จะแสดงในรูปแบบของเราในรูปแบบของเวลา นั่นคือ เรารู้ว่าวินาทีใดของเที่ยวบินที่มันเข้ามาในเขตที่เราสนใจ (สูงกว่าเมตร) และออกจากมัน (ตกลงต่ำกว่าเครื่องหมายเมตร) เขาอยู่ในโซนนี้กี่วินาที? มีเหตุผลที่เราใช้เวลาในการออกจากโซนและลบออกจากเวลาที่เข้าสู่โซนนี้ ดังนั้น: - เขาอยู่ในโซนเหนือเมตรมากนี่คือคำตอบ

คุณโชคดีมากที่ตัวอย่างส่วนใหญ่ในหัวข้อนี้สามารถนำมาจากหมวดหมู่ของปัญหาในวิชาฟิสิกส์ ดังนั้นให้จับอีกอันหนึ่ง มันเป็นอันสุดท้าย ผลักดันตัวเอง เหลืออีกน้อยมาก!

ภารกิจที่ 5

สำหรับองค์ประกอบความร้อนของอุปกรณ์บางอย่าง ได้รับการทดลองขึ้นอยู่กับอุณหภูมิตามเวลาการทำงาน:

เวลาเป็นนาทีอยู่ที่ไหน เป็นที่ทราบกันดีว่าที่อุณหภูมิขององค์ประกอบความร้อนเหนืออุปกรณ์อาจเสื่อมสภาพได้ดังนั้นจึงต้องปิดเครื่อง ค้นหาเวลาสูงสุดหลังจากเริ่มงานเพื่อปิดอุปกรณ์ แสดงคำตอบของคุณในไม่กี่นาที

เราดำเนินการตามแผนการที่ดี ทุกอย่างที่ได้รับ เราเขียนออกมาก่อน:

ตอนนี้เราใช้สูตรและเทียบเป็นค่าอุณหภูมิที่อุปกรณ์สามารถให้ความร้อนได้มากที่สุดจนกว่าจะไหม้นั่นคือ:

ตอนนี้เราแทนที่ตัวเลขแทนตัวอักษรตามที่ทราบ:

อย่างที่คุณเห็นมีการอธิบายอุณหภูมิระหว่างการทำงานของอุปกรณ์ สมการกำลังสองซึ่งหมายความว่ามันกระจายไปตามพาราโบลา เช่น อุปกรณ์ร้อนขึ้นจนถึงอุณหภูมิหนึ่งแล้วเย็นลง เราได้รับคำตอบ ดังนั้นระหว่างและระหว่างนาทีของการทำความร้อน อุณหภูมิจึงมีความสำคัญอย่างยิ่ง แต่ระหว่างและนาทีนั้นสูงกว่าขีดจำกัดด้วยซ้ำ!

ดังนั้นคุณต้องปิดอุปกรณ์หลังจากนั้นสักครู่

โมเดลทางคณิตศาสตร์ สั้น ๆ เกี่ยวกับหลัก

ส่วนใหญ่มักจะใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในฟิสิกส์ เพราะท้ายที่สุดแล้ว คุณอาจต้องจำสูตรทางกายภาพหลายสิบสูตร และสูตรคือตัวแทนทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์

ใน OGE และการตรวจสอบ Unified State มีเพียงภารกิจในหัวข้อนี้เท่านั้น ใน USE (โปรไฟล์) นี่คืองานหมายเลข 11 (เดิมคือ B12) ใน OGE - งานหมายเลข 20

รูปแบบการแก้ปัญหานั้นชัดเจน:

1) จากข้อความของเงื่อนไขจำเป็นต้อง "แยก" ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ - สิ่งที่เราเขียนในปัญหาทางฟิสิกส์ภายใต้คำว่า "ให้" นี้ ข้อมูลที่เป็นประโยชน์เป็น:

• สูตร
• ปริมาณทางกายภาพที่ทราบ

นั่นคือตัวอักษรแต่ละตัวจากสูตรจะต้องกำหนดเป็นตัวเลข

2) นำปริมาณที่ทราบทั้งหมดมาแทนค่าลงในสูตร ค่าที่ไม่รู้จักยังคงเป็นตัวอักษร ตอนนี้คุณเพียงแค่ต้องแก้สมการ (โดยปกติจะค่อนข้างง่าย) และคำตอบก็พร้อมแล้ว

หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางอย่างได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณก็อยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้เข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำว่า...มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือมันอาจไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

สำหรับการสอบผ่านเพื่อเข้าศึกษาต่อในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดสำหรับชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวใจคุณ แต่ฉันจะพูดอย่างหนึ่ง ...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะเปิดขึ้นต่อหน้าพวกเขามาก เป็นไปได้มากขึ้นและชีวิตจะสดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเอง...

อะไรที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่น ๆ ในการสอบและจะ ... มีความสุขมากขึ้นในท้ายที่สุด?

จับมือคุณแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบ คุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และหากคุณยังแก้ไขไม่ได้ (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่ก็แก้ไขไม่ทัน

ก็เหมือนกับการเล่นกีฬา คุณต้องเล่นซ้ำหลายๆ ครั้งจึงจะชนะได้อย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยโซลูชั่น การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำอย่างแน่นอน

เพื่อที่จะได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุของหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ - 299 ถู
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทช่วยสอนทั้ง 99 บทความ - 499 ถู

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียน และสามารถเปิดงานทั้งหมดและข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

สรุปแล้ว...

ถ้าคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” และ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

ส่งงานที่ดีของคุณในฐานความรู้เป็นเรื่องง่าย ใช้แบบฟอร์มด้านล่าง

นักศึกษา บัณฑิต นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ที่ใช้ฐานความรู้ในการศึกษาและการทำงานจะขอบคุณมาก

เอกสารที่คล้ายกัน

ความสำคัญของคณิตศาสตร์ในชีวิตของเรา ประวัติของบัญชี การพัฒนาวิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน การใช้คณิตศาสตร์ในศาสตร์อื่นๆ บทบาทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ สถานะของการศึกษาทางคณิตศาสตร์ในรัสเซีย

บทความเพิ่ม 01/05/2010


แนวคิดพื้นฐานของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ลักษณะเฉพาะของขั้นตอนการสร้างแบบจำลองของงานวางแผนการผลิตและงานขนส่ง วิธีการวิเคราะห์และการเขียนโปรแกรมเพื่อแก้ปัญหาของพวกเขา วิธีการ Simplex สำหรับการแก้ปัญหา การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น.

ภาคนิพนธ์ เพิ่ม 12/11/2554


กระบวนการคัดเลือกหรือสร้างแบบจำลองเพื่อตรวจสอบคุณสมบัติบางอย่างของต้นฉบับภายใต้เงื่อนไขบางประการ ขั้นตอนของกระบวนการสร้างแบบจำลอง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์และประเภทของมัน ความเพียงพอของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ของเดิมกับรุ่นไม่ตรงกัน

ทดสอบเพิ่ม 10/09/2016


สาระสำคัญของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์และการจำลอง การวิเคราะห์เชิงเรขาคณิต จลนศาสตร์ และกำลังของกลไกของอุปกรณ์ยกบานพับ การคำนวณเพื่อความมั่นคงของหน่วยเกษตรเคลื่อนที่

ภาคนิพนธ์ เพิ่ม 12/18/2558


การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหากิจกรรมเชิงพาณิชย์ในตัวอย่างการสร้างแบบจำลองกระบวนการเลือกผลิตภัณฑ์ วิธีการและแบบจำลองของโปรแกรมเชิงเส้น (การกำหนดแผนรายวันสำหรับการผลิตผลิตภัณฑ์ที่ให้รายได้จากการขายสูงสุด)

ทดสอบเพิ่ม 02/16/2011


คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือที่ทรงพลังและยืดหยุ่นอย่างยิ่งในการศึกษาโลก บทบาทของคณิตศาสตร์ในวงการอุตสาหกรรม การก่อสร้าง การแพทย์ และชีวิตมนุษย์ สถานที่สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในการสร้างแบบจำลองทางสถาปัตยกรรมต่างๆ

งานนำเสนอ เพิ่ม 03/31/2015


ขั้นตอนหลักของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ - คำอธิบายโดยประมาณของคลาสของปรากฏการณ์หรือวัตถุในโลกแห่งความเป็นจริงในภาษาคณิตศาสตร์ วิธีการเข้ารหัสข้อมูล สร้างอุปกรณ์ที่ให้คุณแปลรหัสมอร์สเป็นรหัสเครื่องได้

ภาคนิพนธ์ เพิ่ม 06/28/2011


การประยุกต์ใช้ระบบ MathCAD ในการแก้ปัญหาเชิงเทคนิค วิธีการพื้นฐานของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ สารละลาย สมการเชิงอนุพันธ์. การใช้ระบบ MathCad ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวงจรไฟฟ้า

ภาคนิพนธ์ เพิ่ม 11/17/2559