ค้นหาอนุพันธ์โดยใช้วิธีหาอนุพันธ์ลอการิทึมทางออนไลน์ อนุพันธ์เชิงซ้อน

อนุญาต
(1)
เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปร x

ก่อนอื่นเราจะพิจารณามันในชุดของค่า x ซึ่ง y รับค่าบวก: .
,
ต่อไปนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้รับนั้นใช้ได้กับค่าลบของ .
.
ในบางกรณี เพื่อที่จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (1) จะสะดวกในการหาลอการิทึมล่วงหน้า
(2) .

แล้วคำนวณอนุพันธ์ จากนั้นตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน จะได้ว่า
.

จากที่นี่ อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเรียกว่าอนุพันธ์ลอการิทึม: อนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน y = ฉ(x).

คืออนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชันนี้:

(ใน f(x))′
.
ในบางกรณี เพื่อที่จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (1) จะสะดวกในการหาลอการิทึมล่วงหน้า
(3) .
กรณีของค่า y ติดลบ ตอนนี้ให้พิจารณากรณีที่ตัวแปรสามารถรับทั้งค่าบวกและค่าลบ ในกรณีนี้ ให้หาลอการิทึมของโมดูลัสและค้นหาอนุพันธ์ของโมดูลัส:นั่นก็คือใน

กรณีทั่วไป
.
คุณต้องค้นหาอนุพันธ์ของลอการิทึมของโมดูลัสของฟังก์ชัน

เปรียบเทียบ (2) และ (3) เรามี: นั่นคือผลลัพธ์อย่างเป็นทางการของการคำนวณอนุพันธ์ลอการิทึมไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเราเอาโมดูโลหรือไม่ ดังนั้น เมื่อคำนวณอนุพันธ์ลอการิทึม เราไม่ต้องกังวลว่าฟังก์ชันจะมีเครื่องหมายอะไรสถานการณ์นี้สามารถชี้แจงได้โดยใช้จำนวนเชิงซ้อน ปล่อยให้ค่า x บางค่าเป็นลบ:
.
ถ้าเราพิจารณาเฉพาะจำนวนจริง ฟังก์ชันนี้ก็จะนิยามไม่ได้ อย่างไรก็ตามหากเรานำมาพิจารณา
.
จำนวนเชิงซ้อน
.

จากนั้นเราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

นั่นคือฟังก์ชั่นและแตกต่างตามค่าคงที่เชิงซ้อน: เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ ดังนั้น :
.
คุณสมบัติของอนุพันธ์ลอการิทึม จากการพิจารณาดังกล่าวจึงเป็นไปตามนั้นอนุพันธ์ลอการิทึมจะไม่เปลี่ยนแปลงหากคุณคูณฟังก์ชันด้วยค่าคงที่ใดๆ จริงๆ แล้วใช้.คุณสมบัติของลอการิทึม ,สูตรผลรวมอนุพันธ์

.

และ

สะดวกในการใช้อนุพันธ์ลอการิทึมในกรณีที่ฟังก์ชันดั้งเดิมประกอบด้วยผลคูณของกำลังหรือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ในกรณีนี้ การดำเนินการลอการิทึมจะเปลี่ยนผลคูณของฟังก์ชันเป็นผลรวม สิ่งนี้ทำให้การคำนวณอนุพันธ์ง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
.

สารละลาย

ลองลอการิทึมฟังก์ชันดั้งเดิม:
.

ลองแยกความแตกต่างด้วยความเคารพกับตัวแปร x กัน
ในตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
.
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
;
;
;
;
(A1.1) .
คูณด้วย:

.

ดังนั้นเราจึงพบอนุพันธ์ลอการิทึม:
.
จากที่นี่เราจะพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.

บันทึก

หากเราต้องการใช้เฉพาะจำนวนจริง เราควรหาลอการิทึมของโมดูลัสของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.
แล้ว
;
.
และเราได้สูตร (A1.1) ผลลัพธ์จึงไม่เปลี่ยนแปลง

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 2

ใช้อนุพันธ์ลอการิทึม ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
.

สารละลาย

ลองใช้ลอการิทึม:
(A2.1) .
แยกความแตกต่างด้วยความเคารพกับตัวแปร x:
;
;

;
;
;
.

คูณด้วย:
.
จากที่นี่เราจะได้อนุพันธ์ลอการิทึม:
.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม:
.

บันทึก

ที่นี่ฟังก์ชันดั้งเดิมไม่เป็นลบ: .
.
มีกำหนดไว้ที่.

หากเราไม่ถือว่าสามารถกำหนดลอการิทึมสำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ได้ สูตร (A2.1) ควรเขียนดังนี้:
,
เนื่องจาก

คำตอบ

และ

สิ่งนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อผลลัพธ์สุดท้าย
.

สารละลาย

ตัวอย่างที่ 3
หาอนุพันธ์ .

เราทำการสร้างความแตกต่างโดยใช้อนุพันธ์ลอการิทึม ลองใช้ลอการิทึมโดยคำนึงถึงว่า:
;
;
;
(A3.1) .

โดยการหาความแตกต่าง เราได้อนุพันธ์ลอการิทึม

.

บันทึก

(ก3.2)
.
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
;

.
ให้เราทำการคำนวณโดยไม่ต้องสันนิษฐานว่าสามารถกำหนดลอการิทึมสำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ได้ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้ลอการิทึมของโมดูลัสของฟังก์ชันดั้งเดิม:

แทนที่จะเป็น (A3.1) เรามี:

เมื่อเปรียบเทียบกับ (A3.2) เราพบว่าผลลัพธ์ไม่มีการเปลี่ยนแปลง

ก่อนอื่น เรามาแยกคำจำกัดความเหล่านี้กันก่อน ลอการิทึม (บันทึก) คืออะไร? นี่เป็นตัวบ่งชี้กำลังที่ต้องยกฐานเพื่อให้ได้หมายเลขที่ระบุ ถ้าไม่ชัดเจน มาดูตัวอย่างเบื้องต้นกันดีกว่า

ในกรณีนี้ต้องยกฐานด้านล่างยกกำลังสองจึงจะได้เลข 4

ตอนนี้เรามาดูแนวคิดที่สองกัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันในรูปแบบใดๆ คือแนวคิดที่แสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด อย่างไรก็ตาม นี่เป็นหลักสูตรของโรงเรียน และหากคุณมีปัญหากับแนวคิดเหล่านี้เป็นรายบุคคล ก็คุ้มค่าที่จะทำซ้ำหัวข้อนี้

อนุพันธ์ของลอการิทึม

ใน งานสอบ Unified Stateในหัวข้อนี้สามารถยกตัวอย่างปัญหาหลายประการได้ เริ่มต้นด้วยอนุพันธ์ลอการิทึมที่ง่ายที่สุด จำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้

เราต้องหาอนุพันธ์ต่อไป

มีสูตรพิเศษคือ

ในกรณีนี้ x=u, log3x=v เราแทนค่าจากฟังก์ชันของเราลงในสูตร

อนุพันธ์ของ x จะเท่ากับ 1 ลอการิทึมนั้นยากขึ้นเล็กน้อย แต่คุณจะเข้าใจหลักการนี้หากคุณเพียงแค่แทนค่าต่างๆ โปรดจำไว้ว่าอนุพันธ์ของ lg x คืออนุพันธ์ของลอการิทึมฐานสิบ และอนุพันธ์ของ ln x คืออนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ (ขึ้นอยู่กับ e)

ตอนนี้เพียงเสียบค่าผลลัพธ์ลงในสูตร ลองด้วยตัวเองแล้วเราจะตรวจสอบคำตอบ

อาจเกิดปัญหาอะไรขึ้นสำหรับบางคน เราได้แนะนำแนวคิดเรื่องลอการิทึมธรรมชาติ มาพูดถึงเรื่องนี้กันดีกว่าและในขณะเดียวกันก็หาวิธีแก้ปัญหาด้วย คุณจะไม่เห็นอะไรซับซ้อนโดยเฉพาะเมื่อคุณเข้าใจหลักการทำงานของมัน คุณควรทำความคุ้นเคยเนื่องจากมักใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ (ในระดับสูงกว่า สถาบันการศึกษาโดยเฉพาะ).

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ

ที่แกนกลางของมันคืออนุพันธ์ของลอการิทึมกับฐาน e (ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะซึ่งมีค่าประมาณ 2.7) อันที่จริง ln นั้นง่ายมาก ดังนั้นจึงมักใช้ในวิชาคณิตศาสตร์โดยทั่วไป จริงๆแล้วการแก้ปัญหาด้วยก็จะไม่ใช่ปัญหาเช่นกัน ควรจำไว้ว่าอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติกับฐาน e จะเท่ากับ 1 หารด้วย x วิธีแก้ไขสำหรับตัวอย่างต่อไปนี้จะเปิดเผยได้มากที่สุด

ลองจินตนาการว่ามันเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่ประกอบด้วยฟังก์ชันง่ายๆ สองตัว

ก็เพียงพอที่จะแปลง

เรากำลังหาอนุพันธ์ของคุณเทียบกับ x

เมื่อเราจำเป็นต้องสร้างความแตกต่างแบบทวีคูณ ฟังก์ชั่นพลังงานในรูปแบบ y = (f (x)) g (x) หรือในการแปลงนิพจน์ที่ยุ่งยากด้วยเศษส่วน คุณสามารถใช้อนุพันธ์ลอการิทึมได้ ในส่วนหนึ่งของเนื้อหานี้ เราจะยกตัวอย่างการใช้สูตรนี้หลายตัวอย่าง

เพื่อทำความเข้าใจหัวข้อนี้ คุณจำเป็นต้องรู้วิธีใช้ตารางอนุพันธ์ ทำความคุ้นเคยกับกฎพื้นฐานของการสร้างความแตกต่าง และเข้าใจว่าอนุพันธ์คืออะไร ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน.

วิธีหาสูตรอนุพันธ์ลอการิทึม

เพื่อให้ได้สูตรนี้ คุณต้องนำลอการิทึมไปที่ฐาน e ก่อน จากนั้นจึงลดความซับซ้อนของฟังก์ชันผลลัพธ์โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม หลังจากนี้ คุณจะต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย:

y = f (x) ln y = ln (f (x)) (ln y) " = (ln (f (x))) " 1 ปี y " = (ln (f (x))) " ⇒ y "= ย (ln(f(x)))"

ตัวอย่างการใช้สูตร

เรามาแสดงตัวอย่างวิธีการทำสิ่งนี้กัน

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลังเลขชี้กำลังของตัวแปร x กำลังของ x

สารละลาย

เราทำลอการิทึมโดยใช้ฐานที่ระบุและรับ ln y = ln x x เมื่อคำนึงถึงคุณสมบัติของลอการิทึม ก็สามารถแสดงเป็น ln y = x · ln x ตอนนี้เราแยกความแตกต่างด้านซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกันแล้วได้ผลลัพธ์:

ln y = x ln x ln y " = x ln x " 1 ปี y " = x " ln x + ln x " ⇒ y " = y 1 ln x + x 1 x = y (ln x + 1) = x x (ln x + 1)

คำตอบ: x x " = x x (ใน x + 1)

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น โดยไม่ต้องใช้อนุพันธ์ลอการิทึม ขั้นแรก เราต้องแปลงนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อเปลี่ยนจากการหาความแตกต่างของฟังก์ชันกำลังเลขชี้กำลังไปเป็นการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน เช่น

y = x x = e ln x x = e x · ln x ⇒ y " = (e x · ln x) " = e x · ln x · x · ln x " = x x · x " · ln x + x · (ln x) " = = x x · 1 · ln x + x · 1 x = x x · ln x + 1

ลองพิจารณาอีกปัญหาหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = x 2 + 1 3 x 3 · sin x .

สารละลาย

ฟังก์ชันดั้งเดิมจะแสดงเป็นเศษส่วน ซึ่งหมายความว่าเราสามารถแก้ปัญหาโดยใช้การหาอนุพันธ์ได้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันนี้ค่อนข้างซับซ้อน ซึ่งหมายความว่าจำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงจำนวนมาก ดังนั้น มาใช้อนุพันธ์ลอการิทึมตรงนี้ดีกว่า y " = y ln (f (x)) " ให้เราอธิบายว่าทำไมการคำนวณนี้จึงสะดวกกว่า

เริ่มต้นด้วยการหา ln(f(x)) สำหรับการแปลงเพิ่มเติม เราจำเป็นต้องมีคุณสมบัติของลอการิทึมดังต่อไปนี้:

• ลอการิทึมของเศษส่วนสามารถแสดงเป็นผลต่างของลอการิทึมได้
• ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงเป็นผลรวมได้
• ถ้านิพจน์ใต้ลอการิทึมมีกำลัง เราก็สามารถเอามันเป็นค่าสัมประสิทธิ์ได้

มาแปลงนิพจน์กันเถอะ:

ln (f (x)) = ln (x 2 + 1) 1 3 x 3 บาป x 1 2 = ln (x 2 + 1) 1 3 - ln (x 3 บาป x) 1 2 = = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln บาป x

เป็นผลให้เราได้นิพจน์ที่ค่อนข้างง่ายซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่คำนวณได้ง่าย:

(ln (f (x))) " = 1 3 ln (x 2 + 1) - 3 2 ln x - 1 2 ln บาป x " = = 1 3 ln (x 2 + 1) " - 3 2 ln x " - 1 2 ln บาป x " = = 1 3 (ln (x 2 + 1)) " - 3 2 (ln x) " - 1 2 (ln บาป x) " = = 1 3 1 x 2 + 1 x 2 + 1 " - 3 2 1 x - 1 2 1 บาป x (บาป x) " = = 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 บาป x

ทีนี้สิ่งที่เราได้ต้องแทนลงในสูตรของอนุพันธ์ลอการิทึม

คำตอบ: y " = y ln (f (x)) " = x 2 + 1 3 x 3 บาป x 1 3 2 x x 2 + 1 - 3 2 x - cos x 2 บาป x

หากต้องการเสริมกำลังวัสดุ ให้ศึกษาตัวอย่างต่อไปนี้อีกสองสามตัวอย่าง ที่นี่จะแสดงเฉพาะการคำนวณที่มีความคิดเห็นขั้นต่ำเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 3

รับฟังก์ชันยกกำลังเลขชี้กำลัง y = (x 2 + x + 1) x 3 คำนวณอนุพันธ์ของมัน

สารละลาย:

y " = y · (ln (f (x)))" = (x 2 + x + 1) x 3 · ln (x 2 + x + 1) x 3 " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 x 3 " ln (x 2 + x + 1) + x 3 ln (x 2 + x + 1) " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 ln (x 2 + x + 1) + x 3 1 x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 " = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 อิน (x 2 + x + 1) + x 3 2 x + 1 x 2 + x + 1 = = (x 2 + x + 1) x 3 3 x 2 อิน (x 2 + x + 1 ) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x + 1

คำตอบ: y " = y · (ln (f (x))) " = (x 2 + x + 1) x 3 · 3 x 2 · ln (x 2 + x + 1) + 2 x 4 + x 3 x 2 + x+1

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์ y = x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 .

สารละลาย

เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ลอการิทึม

y " = y · ln x 2 + 1 3 · x + 1 · x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 " = = y · ln x 2 + 1 3 + ln x + 1 + ln x 3 + 1 4 - ln x 2 + 2 x + 2 " = = y 1 3 ln (x 2 + 1) + 1 2 ln x + 1 + 1 4 ln (x 3 + 1) - 1 2 ln (x 2 + 2 x + 2) " = = y · (x 2 + 1) " 3 (x 2 + 1) + x + 1 " 2 (x + 1) + (x 3 + 1) " 4 x 3 + 1 - x 2 + 2 x + 2" 2 x 2 + 2 x + 2 = = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2)

คำตอบ:

y " = x 2 + 1 3 x + 1 x 3 + 1 4 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 (x 2 + 1) + 1 2 (x + 1) + 3 x 2 4 (x 3 + 1 ) - 2 x + 2 2 (x 2 + 2 x + 2) .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter