คำจำกัดความลำดับที่สี่ ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์

เมื่อแก้ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูงมักมีความต้องการเกิดขึ้น คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์- ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ปรากฏในพีชคณิตเชิงเส้น เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และส่วนอื่นๆ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น- ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้เลยที่จะทำโดยปราศจากทักษะในการแก้ปัจจัยกำหนด นอกจากนี้ สำหรับการทดสอบตัวเอง คุณสามารถดาวน์โหลดเครื่องคิดเลขดีเทอร์มิแนนต์ได้ฟรี มันไม่ได้สอนวิธีแก้ดีเทอร์มิแนนต์ให้คุณเอง แต่จะสะดวกมาก เนื่องจากการรู้คำตอบที่ถูกต้องล่วงหน้าจะเป็นประโยชน์เสมอ!

ฉันจะไม่ให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดของดีเทอร์มิแนนต์ และโดยทั่วไป ฉันจะพยายามลดคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ให้เหลือน้อยที่สุด สิ่งนี้จะไม่ทำให้ผู้อ่านส่วนใหญ่ง่ายขึ้นอีกต่อไป จุดประสงค์ของบทความนี้คือเพื่อสอนวิธีแก้ตัวกำหนดลำดับที่สอง สาม และสี่ เนื้อหาทั้งหมดถูกนำเสนอในรูปแบบที่เรียบง่ายและเข้าถึงได้และแม้แต่กาน้ำชาเต็ม (ว่างเปล่า) ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงหลังจากศึกษาเนื้อหาอย่างรอบคอบแล้วก็สามารถแก้ปัจจัยกำหนดได้อย่างถูกต้อง

ในทางปฏิบัติ คุณมักจะพบปัจจัยกำหนดลำดับที่สองได้บ่อยที่สุด ตัวอย่างเช่น และปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม เช่น: .

ปัจจัยกำหนดลำดับที่สี่ ไม่ใช่ของโบราณด้วย และเราจะพูดถึงมันเมื่อสิ้นสุดบทเรียน

ฉันหวังว่าทุกคนจะเข้าใจสิ่งต่อไปนี้:ตัวเลขภายในดีเทอร์มิแนนต์มีชีวิตอยู่ได้ด้วยตัวเอง และไม่มีคำถามเกี่ยวกับการลบใดๆ เลย! เบอร์เปลี่ยนไม่ได้!

(โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีความเป็นไปได้ที่จะจัดเรียงแถวหรือคอลัมน์ของดีเทอร์มิแนนต์ใหม่เป็นคู่โดยมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย แต่บ่อยครั้งที่สิ่งนี้ไม่จำเป็น - ดูบทถัดไป คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์และลดลำดับลง)

ดังนั้นหากให้ปัจจัยกำหนดใดๆ ไว้แล้ว เราไม่ได้สัมผัสสิ่งใดข้างในนั้น!

การกำหนด: ถ้ากำหนดเมทริกซ์ จากนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของมันก็แสดงแทน บ่อยครั้งที่ดีเทอร์มิแนนต์ถูกแทนด้วย อักษรละตินหรือภาษากรีก

1)การแก้ (ค้นหา, เปิดเผย) ปัจจัยหมายถึงอะไร?การคำนวณปัจจัยกำหนดหมายถึงการค้นหาตัวเลข เครื่องหมายคำถามในตัวอย่างข้างต้นเป็นตัวเลขธรรมดาโดยสมบูรณ์

2) ตอนนี้ก็ยังคงต้องคิดออก จะหาหมายเลขนี้ได้อย่างไร?ในการทำเช่นนี้ คุณต้องใช้กฎ สูตร และอัลกอริธึมบางอย่าง ซึ่งจะกล่าวถึงในตอนนี้

เริ่มจากดีเทอร์มิแนนต์ "สอง" คูณ "สอง" กันก่อน:

สิ่งนี้จำเป็นต้องได้รับการจดจำ อย่างน้อยในขณะที่เรียนคณิตศาสตร์ระดับสูงในมหาวิทยาลัย

ลองดูตัวอย่างทันที:

พร้อม. สิ่งที่สำคัญที่สุดคืออย่าสับสนกับสัญญาณ

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาดสามคูณสามสามารถเปิดได้ 8 วิธี 2 วิธีเป็นแบบธรรมดาและ 6 วิธีแบบปกติ

เริ่มจากสองกันก่อน วิธีง่ายๆ

เช่นเดียวกับดีเทอร์มิแนนต์แบบสองคูณสอง ดีเทอร์มิแนนต์แบบสามคูณสามสามารถขยายได้โดยใช้สูตร:

สูตรนี้ยาวและง่ายที่จะทำผิดพลาดเนื่องจากความประมาท จะหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญได้อย่างไร? เพื่อจุดประสงค์นี้ได้มีการคิดค้นวิธีที่สองในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งจริงๆ แล้วเกิดขึ้นพร้อมกับวิธีแรก เรียกว่าวิธีซาร์รัสหรือวิธี "แถบขนาน"
บรรทัดล่างคือทางด้านขวาของดีเทอร์มิแนนต์ กำหนดคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สอง แล้ววาดเส้นด้วยดินสออย่างระมัดระวัง:

ตัวคูณที่อยู่บนเส้นทแยงมุม "สีแดง" จะรวมอยู่ในสูตรที่มีเครื่องหมาย "บวก"
ตัวคูณที่อยู่บนเส้นทแยงมุม "สีน้ำเงิน" จะรวมอยู่ในสูตรที่มีเครื่องหมายลบ:

ตัวอย่าง:

เปรียบเทียบทั้งสองโซลูชัน เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่านี่คือสิ่งเดียวกัน ในกรณีที่สอง ปัจจัยสูตรจะถูกจัดเรียงใหม่เล็กน้อย และที่สำคัญที่สุด ความเป็นไปได้ที่จะทำผิดพลาดนั้นน้อยกว่ามาก

ตอนนี้เรามาดูวิธีปกติหกวิธีในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์

ทำไมปกติ? เนื่องจากในกรณีส่วนใหญ่ ผู้ผ่านการคัดเลือกจำเป็นต้องได้รับการเปิดเผยด้วยวิธีนี้

ดังที่คุณสังเกตเห็น ดีเทอร์มิแนนต์แบบสามคูณสามมีสามคอลัมน์และสามแถว
คุณสามารถแก้ดีเทอร์มิแนนต์ได้โดยการเปิดมัน ตามแถวหรือคอลัมน์ใดก็ได้.
จึงมีทั้งหมด 6 วิธี ในทุกกรณีที่ใช้ ประเภทเดียวกันอัลกอริทึม

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถว (คอลัมน์) โดยการเสริมพีชคณิตที่สอดคล้องกัน น่ากลัว? ทุกอย่างง่ายกว่ามาก เราจะใช้วิธีการที่ไม่เป็นวิทยาศาสตร์ แต่เข้าใจได้ เข้าถึงได้แม้กระทั่งกับบุคคลที่อยู่ห่างไกลจากคณิตศาสตร์

ในตัวอย่างถัดไป เราจะขยายดีเทอร์มิแนนต์ ในบรรทัดแรก.
สำหรับสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องมีเมทริกซ์ของสัญญาณ: . สังเกตได้ง่ายว่าป้ายต่างๆ เรียงกันเป็นลายตารางหมากรุก

ความสนใจ! เมทริกซ์เครื่องหมายเป็นสิ่งประดิษฐ์ของฉันเอง แนวคิดนี้ไม่ใช่ทางวิทยาศาสตร์ ไม่จำเป็นต้องใช้ในการออกแบบการมอบหมายงานขั้นสุดท้าย แต่เพียงช่วยให้คุณเข้าใจอัลกอริทึมในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เท่านั้น

ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ก่อน เราใช้ปัจจัยการทดลองของเราอีกครั้งและทำการคำนวณ:

และคำถามหลัก: วิธีรับสิ่งนี้จากปัจจัย "สามคูณสาม":
?

ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ "สามคูณสาม" ลงมาเพื่อแก้ดีเทอร์มิแนนต์เล็กๆ สามตัว หรือที่เรียกกันว่า มิโนรอฟ- ฉันขอแนะนำให้จำคำศัพท์นี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากเป็นคำที่น่าจดจำ: รอง – เล็ก

เมื่อเลือกวิธีการสลายตัวของดีเทอร์มิแนนต์แล้ว ในบรรทัดแรกเห็นได้ชัดว่าทุกสิ่งหมุนรอบตัวเธอ:

โดยปกติแล้วจะดูองค์ประกอบจากซ้ายไปขวา (หรือจากบนลงล่างหากเลือกคอลัมน์)

เริ่มแรกเราจัดการกับองค์ประกอบแรกของเส้นนั่นคือด้วยองค์ประกอบหนึ่ง:

1) จากเมทริกซ์ของสัญญาณเราเขียนเครื่องหมายที่เกี่ยวข้อง:

2) จากนั้นเราก็เขียนองค์ประกอบเอง:

3) ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบแรกปรากฏขึ้นโดยจิตใจ:

ตัวเลขสี่ตัวที่เหลือประกอบกันเป็นดีเทอร์มิแนนต์ "สองคูณสอง" ซึ่งเรียกว่า ส่วนน้อยขององค์ประกอบที่กำหนด (หน่วย)

มาดูองค์ประกอบที่สองของบรรทัดกันดีกว่า

4) จากเมทริกซ์ของสัญญาณเราเขียนเครื่องหมายที่เกี่ยวข้อง:

5) จากนั้นเขียนองค์ประกอบที่สอง:

6) ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบที่สองปรากฏขึ้นโดยจิตใจ:

องค์ประกอบที่สามของบรรทัดแรก ไม่มีความคิดริเริ่ม:

7) จากเมทริกซ์ของสัญญาณเราเขียนเครื่องหมายที่เกี่ยวข้อง:

8) เขียนองค์ประกอบที่สาม:

9) ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบที่สามออกทางจิตใจ:

เราเขียนตัวเลขสี่ตัวที่เหลือลงในดีเทอร์มิแนนต์ขนาดเล็ก

การกระทำที่เหลือนั้นไม่มีปัญหาใดๆ เนื่องจากเรารู้วิธีนับปัจจัยกำหนดแบบสองต่อสองอยู่แล้ว อย่าสับสนกับสัญญาณ!

ในทำนองเดียวกัน ดีเทอร์มิแนนต์สามารถขยายเหนือแถวใดๆ หรือในคอลัมน์ใดก็ได้โดยธรรมชาติแล้วในทั้งหกกรณีคำตอบจะเหมือนกัน

ดีเทอร์มิแนนต์สี่คูณสี่สามารถคำนวณได้โดยใช้อัลกอริทึมเดียวกัน
ในกรณีนี้ เมทริกซ์สัญญาณของเราจะเพิ่มขึ้น:

ในตัวอย่างต่อไปนี้ ฉันได้ขยายปัจจัยกำหนด ตามคอลัมน์ที่สี่:

มันเกิดขึ้นได้อย่างไรลองคิดดูเอง ข้อมูลเพิ่มเติมจะมาในภายหลัง ถ้าใครต้องการแก้ดีเทอร์มิแนนต์จนจบ คำตอบที่ถูกต้องคือ 18 สำหรับการฝึกแก้ดีเทอร์มิแนนต์ด้วยคอลัมน์อื่นหรือแถวอื่นจะดีกว่า

การฝึกฝนการเปิดเผยการคำนวณเป็นสิ่งที่ดีและมีประโยชน์มาก แต่คุณจะใช้เวลานานแค่ไหนกับรอบคัดเลือกใหญ่? ไม่มีวิธีที่เร็วกว่าและเชื่อถือได้กว่านี้ใช่ไหม ฉันขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคย วิธีการที่มีประสิทธิภาพการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ในบทที่สอง - คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ การลดลำดับของปัจจัยกำหนด

ระวัง!

ลำดับที่สองคือตัวเลขที่เท่ากับผลต่างระหว่างผลคูณของตัวเลขที่สร้างเส้นทแยงมุมหลักกับผลคูณของตัวเลขบนเส้นทแยงมุมรอง คุณสามารถค้นหาสัญกรณ์ต่อไปนี้สำหรับดีเทอร์มิแนนต์: ; - - เดตเอ(ปัจจัยกำหนด).

.

ตัวอย่าง:
.

ตัวกำหนดเมทริกซ์ลำดับที่สามคือตัวเลขหรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่คำนวณตามกฎต่อไปนี้

วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามคือการบวกสองบรรทัดแรกไว้ใต้ดีเทอร์มิแนนต์

ในตารางตัวเลขผลลัพธ์องค์ประกอบที่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลักและบนเส้นทแยงมุมขนานกับองค์ประกอบหลักจะถูกคูณเครื่องหมายของผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์จะไม่เปลี่ยนแปลง ขั้นตอนต่อไปของการคำนวณคือการคูณองค์ประกอบที่คล้ายกันซึ่งอยู่ที่เส้นทแยงมุมด้านข้างและองค์ประกอบที่ขนานกัน สัญญาณของผลลัพธ์ผลิตภัณฑ์จะกลับกัน จากนั้นเราบวกผลลัพธ์หกเทอมเข้าด้วยกัน

ตัวอย่าง:

การสลายตัวของดีเทอร์มิแนนต์เป็นองค์ประกอบของแถว (คอลัมน์)

ส่วนน้อย เอ็มจองค์ประกอบ และอิจเมทริกซ์จตุรัส กคือดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเมทริกซ์ กเหลืออยู่หลังจากลบแล้ว ฉัน-โอ้ เส้นและ เจคอลัมน์ที่

ตัวอย่างเช่น รายย่อยถึงองค์ประกอบ 21เมทริกซ์ลำดับที่สาม
จะมีปัจจัยกำหนด
.

เราจะบอกว่าธาตุนั้น และอิจครองตำแหน่งคู่ถ้า ฉัน+เจ(ผลรวมของหมายเลขแถวและคอลัมน์ที่จุดตัดคือ องค์ประกอบนี้) - เลขคู่, ตำแหน่งคี่, ถ้า ฉัน+เจ- เลขคี่

ส่วนเสริมพีชคณิต อาจองค์ประกอบ และอิจเมทริกซ์จตุรัส กเรียกว่าการแสดงออก (หรือค่าของผู้เยาว์ที่สอดคล้องกันโดยนำเครื่องหมาย "+" หากองค์ประกอบเมทริกซ์ครองตำแหน่งคู่และด้วยเครื่องหมาย "-" หากองค์ประกอบครอบครองตำแหน่งคี่)

ตัวอย่าง:

23= 4;

- ส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบ 22= 1.

ทฤษฎีบทของลาปลาซ ดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถวหนึ่ง (คอลัมน์) และการเสริมพีชคณิตที่เกี่ยวข้อง

ให้เราอธิบายด้วยตัวอย่างของปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม คุณสามารถคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามได้โดยขยายในแถวแรกดังนี้:

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สามได้โดยการขยายแถวหรือคอลัมน์ใดๆ สะดวกในการขยายดีเทอร์มิแนนต์ไปตามแถว (หรือคอลัมน์) ที่มีเลขศูนย์มากกว่า

ตัวอย่าง:

ดังนั้นการคำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่ 3 จะลดลงเหลือการคำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่ 3 วินาที ใน กรณีทั่วไปคุณสามารถคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสได้ n- ลำดับที่ลดเหลือการคำนวณ nปัจจัยกำหนด ( n-1)-ลำดับที่

ความคิดเห็นไม่มีวิธีง่ายๆ ในการคำนวณปัจจัยกำหนดอีกแล้ว ลำดับสูงคล้ายกับวิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับที่ 2 และ 3 ดังนั้น ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่อยู่เหนือลำดับที่สาม จึงสามารถใช้ได้เฉพาะวิธีการขยายเท่านั้น

ตัวอย่าง- คำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สี่

ให้เราขยายดีเทอร์มิแนนต์เป็นองค์ประกอบของแถวที่สาม

คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์:

1. ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากแถวถูกแทนที่ด้วยคอลัมน์และในทางกลับกัน

2. เมื่อจัดเรียงสองแถวที่อยู่ติดกัน (คอลัมน์) ดีเทอร์มิแนนต์จะเปลี่ยนเครื่องหมายไปเป็นแถวตรงข้าม

3. ดีเทอร์มิแนนต์ที่มีสองแถวเหมือนกัน (คอลัมน์) มีค่าเท่ากับ 0

4. ปัจจัยร่วมขององค์ประกอบทั้งหมดของแถว (คอลัมน์) ของดีเทอร์มิแนนต์สามารถนำออกจากเครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์ได้

5. ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของคอลัมน์ (แถว) อื่น ๆ ลงในองค์ประกอบของคอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่ง (แถว) คูณด้วยตัวเลขที่แน่นอน

ให้มีเมทริกซ์จตุรัส A ขนาด n x n
คำนิยาม.ดีเทอร์มิแนนต์คือผลรวมพีชคณิตของผลิตภัณฑ์องค์ประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยนำมาหนึ่งรายการจากแต่ละคอลัมน์และแต่ละแถวของเมทริกซ์ A หากในแต่ละผลคูณดังกล่าว (เทอมของปัจจัยกำหนด) ปัจจัยต่างๆ ถูกจัดเรียงตามลำดับของคอลัมน์ (เช่น ดัชนีที่สองขององค์ประกอบ a ij ในผลคูณนั้นจัดเรียงจากน้อยไปมาก) จากนั้นจะมีเครื่องหมาย (+) เหล่านั้น ผลิตภัณฑ์จะถูกนำมาซึ่งการเรียงสับเปลี่ยนของดัชนีแรกเป็นเลขคู่และมีเครื่องหมาย (-) ซึ่งเป็นรายการที่เป็นเลขคี่
.
นี่คือจำนวนการผกผันในการเรียงสับเปลี่ยนของดัชนี i 1, i 2, …, i n

วิธีการหาปัจจัยกำหนด

1. ตัวกำหนดการขยายเมทริกซ์ตามแถวและคอลัมน์ผ่านตัวรอง
2. การหาค่าโดยวิธีรีดิวซ์ให้เป็นรูปสามเหลี่ยม (วิธีเกาส์)

คุณสมบัติของปัจจัยกำหนด

1. เมื่อเมทริกซ์ถูกย้าย ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง
2. หากคุณสลับดีเทอร์มิแนนต์สองแถวหรือสองคอลัมน์ ดีเทอร์มิแนนต์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย แต่จะไม่เปลี่ยนค่าสัมบูรณ์
3. ให้ C = AB โดยที่ A และ B เป็นเมทริกซ์จัตุรัส จากนั้น detC = detA ∙ detB
4. ดีเทอร์มิแนนต์ที่มีสองแถวที่เหมือนกันหรือสองคอลัมน์ที่เหมือนกันจะเท่ากับ 0 หากองค์ประกอบทั้งหมดของแถวหรือคอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์เองก็จะเท่ากับศูนย์
5. ดีเทอร์มิแนนต์ที่มีสองแถวหรือคอลัมน์ตามสัดส่วนคือ 0
6. ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยง ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์แนวทแยงเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลัก
7. หากองค์ประกอบทั้งหมดของแถว (คอลัมน์) คูณด้วยจำนวนเดียวกัน ตัวกำหนดจะถูกคูณด้วยตัวเลขนี้
8. หากแต่ละองค์ประกอบของแถวใดแถวหนึ่ง (คอลัมน์) ของดีเทอร์มิแนนต์ถูกนำเสนอเป็นผลรวมของสองพจน์ ดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับผลรวมของดีเทอร์มิแนนต์สองตัว โดยที่ทุกแถว (คอลัมน์) ยกเว้นอันนี้จะเหมือนกัน และใน แถวนี้ (คอลัมน์) ดีเทอร์มิแนนต์ตัวแรกคือตัวแรกและในเทอมที่สอง - เทอมที่สอง
9. ทฤษฎีบทของจาโคบี: หากองค์ประกอบของคอลัมน์หนึ่งของดีเทอร์มิแนนต์เราเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของอีกคอลัมน์หนึ่ง คูณด้วยปัจจัยใดๆ เอง ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลง

ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหาก:

• ย้ายเมทริกซ์;
• เพิ่มสตริงอื่นคูณด้วยตัวเลขใดๆ เข้ากับสตริงใดๆ

ภารกิจที่ 1- คำนวณดีเทอร์มิแนนต์โดยขยายตามแถวหรือคอลัมน์
วิธีแก้ไข :xml :xls
ตัวอย่างที่ 1 :xml :xls

ภารกิจที่ 2- คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้สองวิธี: ก) ใช้กฎ "สามเหลี่ยม"; b) การขยายตัวตามแนวเส้น

สารละลาย.
ก) เงื่อนไขที่อยู่ในเครื่องหมายลบถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกันกับเส้นทแยงมุมด้านข้าง

2 2 1 -1 0 4 -2 2 0

=

= 2 0 0 - 2 4 2 - (-1) 2 0 + (-1) 1 2 + (-2) 2 4 - (-2) 1 0 = -34
b) เราเขียนเมทริกซ์ในรูปแบบ:

ก=

2 2 1 -1 0 4 -2 2 0

ปัจจัยหลัก:
∆ = 2 (0 0-2 4)-(-1 (2 0-2 1))+(-2 (2 4-0 1)) = -34

ภารกิจที่ 3- ระบุว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่สี่ A เท่ากับอะไร หากอันดับ r(A)=1
ตอบ: det(A) = 0

“ถ้าคุณอยากเรียนว่ายน้ำก็จงลงน้ำอย่างกล้าหาญ และถ้าอยากเรียน แก้ปัญหา, ที่ แก้ปัญหาพวกเขา.»
ดี. โปลยา (2430-2528)

(นักคณิตศาสตร์ ผลงานที่ยอดเยี่ยมในการเผยแพร่คณิตศาสตร์ให้แพร่หลาย

เขาเขียนหนังสือหลายเล่มเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาและวิธีสอนการแก้ปัญหา) เชื่อมโยงกับแต่ละเมทริกซ์จตุรัสตัวเลข - เบอร์นี้มีชื่อว่าปัจจัยกำหนด เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์คำนวณตามกฎพิเศษและแสดงแทน |A|,เดช ก

, ∆A. จำนวนแถว (คอลัมน์) ของดีเทอร์มิแนนต์เรียกว่า.

ตามลำดับปัจจัยกำหนดลำดับที่หนึ่ง เมทริกซ์เท่ากับองค์ประกอบ

ก 11: |ก|=ก 11

อย่าสับสนระหว่างปัจจัยกำหนดลำดับแรกกับโมดูลัสปัจจัยกำหนดลำดับที่สอง

ที่ระบุด้วยสัญลักษณ์ และเท่าเทียมกัน

|A|=ก 11 ถึง 22 -a 12 ถึง 21ปัจจัยกำหนดลำดับที่ 3

ที่ระบุด้วยสัญลักษณ์ หากต้องการจำสูตรนี้ ให้ใช้กฎแผนผัง ()

สามเหลี่ยมหรือกฎซาร์รัส

กฎของซาร์รัส

กฎสามเหลี่ยม.

ลองดูตัวอย่างวิธีการใช้กฎเหล่านี้

ตัวอย่าง:

กฎซาร์รัส

ลองเพิ่มสองคอลัมน์แรกเข้าไปในดีเทอร์มิแนนต์

กฎสามเหลี่ยม

วิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์นี้ไม่เหมาะสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 4 ขึ้นไป ก่อนที่จะระบุกฎที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหาปัจจัยกำหนดของลำดับใดๆ ให้พิจารณาแนวคิดของการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบเมทริกซ์ (อาจส่วนเสริมพีชคณิต และอิจ) องค์ประกอบ กดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

ลองดูตัวอย่างวิธีการใช้กฎเหล่านี้

คือตัวเลขเท่ากับผลคูณ (-1) i+j (ยกกำลังของหมายเลขแถวบวกหมายเลขคอลัมน์ขององค์ประกอบนี้) และดีเทอร์มิแนนต์ ซึ่งได้มาจากค่าที่กำหนดโดยการขีดฆ่าแถวและคอลัมน์โดยที่ องค์ประกอบตั้งอยู่ คำนวณส่วนเสริมพีชคณิตองค์ประกอบ 21 .

เอ 21

ตามคำจำกัดความของการเสริมพีชคณิต

การคำนวณปัจจัยกำหนดคำสั่งโดยพลการ ดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถว (หรือคอลัมน์) ใด ๆ ของมันโดยการเสริมพีชคณิตที่สอดคล้องกัน

การขยายตัวของดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 4 ในแถวแรกจะเป็นดังนี้: