สูตรจำนวนเต็ม ทำความเข้าใจเรื่องจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มหมายถึงอะไร?

มาดูกันว่าตัวเลขใดบ้างที่เรียกว่าจำนวนเต็ม

ดังนั้น ตัวเลขต่อไปนี้จะแสดงด้วยจำนวนเต็ม: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$ ฯลฯ

เซตของจำนวนธรรมชาติเป็นเซตย่อยของเซตจำนวนเต็ม กล่าวคือ จำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ตามจะเป็นจำนวนเต็ม แต่ไม่ใช่จำนวนเต็มทุกจำนวนจะเป็นจำนวนธรรมชาติ

จำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบ

คำจำกัดความ 2

บวก.

ตัวเลข $3, 78, 569, $10450 เป็นจำนวนเต็มบวก

คำจำกัดความ 3

เป็นจำนวนเต็มลงนาม ลบ.

ตัวเลข $−3, −78, −569, -10450$ เป็นจำนวนเต็มลบ

หมายเหตุ 1

เลขศูนย์ไม่ใช่จำนวนเต็มบวกหรือลบ

จำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าศูนย์

จำนวนเต็มลบเป็นจำนวนเต็มน้อยกว่าศูนย์

เซตของจำนวนเต็มธรรมชาติคือเซตของจำนวนเต็มบวกทั้งหมด และเซตของจำนวนธรรมชาติที่ตรงข้ามกันทั้งหมดคือเซตของจำนวนเต็มลบทั้งหมด

จำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวกและไม่เป็นลบ

เรียกจำนวนเต็มบวกและศูนย์ทั้งหมด จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ.

จำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวกเป็นจำนวนเต็มลบทั้งหมดและตัวเลข $0$

หมายเหตุ 2

ดังนั้น, จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าศูนย์หรือเท่ากับศูนย์ และ จำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวก– จำนวนเต็มน้อยกว่าศูนย์หรือเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวก: $−32, −123, 0, −5$ และจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ: $54, 123, 0, 856,342.$

อธิบายการเปลี่ยนแปลงของปริมาณโดยใช้จำนวนเต็ม

จำนวนเต็มใช้เพื่ออธิบายการเปลี่ยนแปลงจำนวนวัตถุ

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

ให้ร้านค้าขายสินค้าจำนวนหนึ่ง เมื่อร้านค้าได้รับสินค้ามูลค่า $520$ จำนวนสินค้าในร้านจะเพิ่มขึ้น และตัวเลข $520$ จะแสดงการเปลี่ยนแปลงของตัวเลขในทิศทางบวก เมื่อร้านค้าขายสินค้ามูลค่า $50$ จำนวนสินค้าในร้านจะลดลง และจำนวน $50$ จะแสดงการเปลี่ยนแปลงของตัวเลขใน ด้านลบ- หากร้านค้าไม่นำหรือขายสินค้า จำนวนสินค้าก็จะไม่เปลี่ยนแปลง (เช่น เราสามารถพูดถึงการเปลี่ยนแปลงจำนวนเป็นศูนย์ได้)

ในตัวอย่างข้างต้น การเปลี่ยนแปลงจำนวนสินค้าอธิบายโดยใช้จำนวนเต็ม $520$, $−50$ และ $0$ ตามลำดับ ค่าบวกของจำนวนเต็ม $520$ บ่งชี้ถึงการเปลี่ยนแปลงของตัวเลขในทิศทางที่เป็นบวก ค่าลบของจำนวนเต็ม $−50$ บ่งชี้ถึงการเปลี่ยนแปลงที่เป็นลบในจำนวน จำนวนเต็ม $0$ บ่งชี้ว่าตัวเลขนั้นไม่เปลี่ยนรูป

จำนวนเต็มใช้สะดวกเพราะ... ไม่จำเป็นต้องระบุการเพิ่มหรือลดตัวเลขอย่างชัดเจน - เครื่องหมายของจำนวนเต็มระบุทิศทางของการเปลี่ยนแปลงและค่าบ่งบอกถึงการเปลี่ยนแปลงเชิงปริมาณ

การใช้จำนวนเต็มไม่เพียงแต่สามารถแสดงการเปลี่ยนแปลงในปริมาณ แต่ยังรวมถึงการเปลี่ยนแปลงในปริมาณใดๆ อีกด้วย

ลองพิจารณาตัวอย่างการเปลี่ยนแปลงต้นทุนของผลิตภัณฑ์

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างเช่น มูลค่าที่เพิ่มขึ้น $20$ รูเบิล จะแสดงโดยใช้จำนวนเต็มบวก $20$ ตัวอย่างเช่น ราคาที่ลดลง 5$ รูเบิล อธิบายโดยใช้จำนวนเต็มลบ $−5$ หากไม่มีการเปลี่ยนแปลงค่า การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวจะถูกกำหนดโดยใช้จำนวนเต็ม $0$

ให้เราพิจารณาความหมายของจำนวนเต็มลบแยกกันว่าเป็นจำนวนหนี้

ตัวอย่างที่ 3

ตัวอย่างเช่น บุคคลหนึ่งมีเงิน 5,000$ รูเบิล จากนั้น เมื่อใช้จำนวนเต็มบวก $5,000$ คุณสามารถแสดงจำนวนรูเบิลที่เขามีได้ บุคคลต้องจ่ายค่าเช่าเป็นจำนวน 7,000 ดอลลาร์รูเบิล แต่เขาไม่มีเงินประเภทนั้น ในกรณีนี้สถานการณ์ดังกล่าวอธิบายด้วยจำนวนเต็มลบ $−7,000$ ในกรณีนี้ บุคคลนั้นมีเงิน $−7,000$ รูเบิล โดยที่ “–” หมายถึงหนี้ และตัวเลข $7,000$ หมายถึงจำนวนหนี้

ในบทความนี้ เราจะอธิบายชุดของจำนวนเต็ม โดยพิจารณาว่าจำนวนเต็มใดเรียกว่าบวกและจำนวนใดเป็นลบ นอกจากนี้เรายังจะแสดงให้เห็นว่ามีการใช้จำนวนเต็มเพื่ออธิบายการเปลี่ยนแปลงในปริมาณที่แน่นอนอย่างไร เริ่มจากคำจำกัดความและตัวอย่างของจำนวนเต็มกันก่อน

จำนวนเต็ม. คำจำกัดความตัวอย่าง

ก่อนอื่น มาจำเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติ ℕ กันก่อน ชื่อนี้บ่งบอกว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขที่ธรรมชาติใช้ในการนับมาตั้งแต่สมัยโบราณ เพื่อให้ครอบคลุมแนวคิดเรื่องจำนวนเต็ม เราจำเป็นต้องขยายคำจำกัดความของจำนวนธรรมชาติ

คำจำกัดความ 1. จำนวนเต็ม

จำนวนเต็มคือจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม และเลขศูนย์

เซตของจำนวนเต็มแสดงด้วยตัวอักษร ℤ

เซตของจำนวนธรรมชาติ ℕ เป็นสับเซตของจำนวนเต็ม ℤ จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม แต่ไม่ใช่จำนวนเต็มทุกจำนวนจะเป็นจำนวนธรรมชาติ

จากคำจำกัดความพบว่าตัวเลขใดๆ 1, 2, 3 เป็นจำนวนเต็ม - , หมายเลข 0 เช่นเดียวกับตัวเลข - 1, - 2, - 3, . -

เราจะยกตัวอย่างตามนี้ ตัวเลข 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 เป็นจำนวนเต็ม

ให้ลากเส้นพิกัดในแนวนอนแล้วหันไปทางขวา ลองมาดูกันเพื่อให้เห็นภาพตำแหน่งของจำนวนเต็มบนเส้นตรง

จุดกำเนิดบนเส้นพิกัดตรงกับเลข 0 และจุดที่อยู่ทั้งสองข้างของศูนย์ตรงกับจำนวนเต็มบวกและลบ แต่ละจุดสอดคล้องกับจำนวนเต็มตัวเดียว

คุณสามารถไปยังจุดใดๆ บนเส้นที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มได้โดยแยกส่วนของหน่วยจำนวนหนึ่งออกจากจุดเริ่มต้น

จำนวนเต็มบวกและลบ

ในบรรดาจำนวนเต็มทั้งหมด มีเหตุผลที่จะแยกแยะจำนวนเต็มบวกและลบ ให้เราให้คำจำกัดความของพวกเขา

คำจำกัดความ 2: จำนวนเต็มบวก

จำนวนเต็มบวกคือจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายบวก

ตัวอย่างเช่น เลข 7 เป็นจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายบวก ซึ่งก็คือจำนวนเต็มบวก บนเส้นพิกัด ตัวเลขนี้อยู่ทางด้านขวาของจุดอ้างอิง ซึ่งถือเป็นเลข 0 ตัวอย่างอื่นๆ ของจำนวนเต็มบวก: 12, 502, 42, 33, 100500

คำจำกัดความ 3: จำนวนเต็มลบ

จำนวนเต็มลบคือจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายลบ

ตัวอย่างของจำนวนเต็มลบ: - 528, - 2568, - 1

เลข 0 คั่นระหว่างจำนวนเต็มบวกและลบ และตัวมันเองไม่เป็นทั้งบวกและลบ

จำนวนใดๆ ที่ตรงข้ามกับจำนวนเต็มบวก ตามคำจำกัดความแล้ว ก็คือจำนวนเต็มลบ ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน ค่าผกผันของจำนวนเต็มลบใดๆ จะเป็นจำนวนเต็มบวก

เป็นไปได้ที่จะให้คำจำกัดความของจำนวนเต็มลบและจำนวนบวกตามสูตรอื่นโดยใช้การเปรียบเทียบกับศูนย์

คำจำกัดความ 4. จำนวนเต็มบวก

จำนวนเต็มบวกคือจำนวนเต็มที่มากกว่าศูนย์

คำจำกัดความ 5: จำนวนเต็มลบ

จำนวนเต็มลบคือจำนวนเต็มที่น้อยกว่าศูนย์

ดังนั้น จำนวนบวกจึงอยู่ทางด้านขวาของจุดกำเนิดบนเส้นพิกัด และจำนวนเต็มลบจะอยู่ทางด้านซ้ายของศูนย์

เราบอกไปแล้วว่าจำนวนธรรมชาติเป็นสับเซตของจำนวนเต็ม มาชี้แจงประเด็นนี้กัน เซตของจำนวนธรรมชาติประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก ในทางกลับกัน เซตของจำนวนเต็มลบคือเซตของตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ

สำคัญ!

จำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถเรียกว่าจำนวนเต็มได้ แต่จำนวนเต็มใดๆ ไม่สามารถเรียกว่าจำนวนธรรมชาติได้ เมื่อตอบคำถามว่าจำนวนลบเป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่ เราต้องกล้าตอบ ไม่ใช่ ไม่ใช่

จำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวกและไม่เป็นลบ

เรามาให้คำจำกัดความกัน

คำจำกัดความ 6. จำนวนเต็มไม่เป็นลบ

จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบคือจำนวนเต็มบวกและเป็นเลขศูนย์

คำจำกัดความ 7. จำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวก

จำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวกคือจำนวนเต็มลบและเป็นเลขศูนย์

อย่างที่คุณเห็น เลขศูนย์นั้นไม่ใช่ทั้งบวกและลบ

ตัวอย่างของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ: 52, 128, 0

ตัวอย่างของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวก: - 52, - 128, 0

จำนวนที่ไม่เป็นลบคือจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ ดังนั้น จำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวกจึงเป็นตัวเลขที่น้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์

คำว่า "จำนวนที่ไม่เป็นบวก" และ "จำนวนที่ไม่เป็นลบ" ใช้เพื่อความกระชับ ตัวอย่างเช่น แทนที่จะบอกว่าตัวเลข a เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ คุณสามารถพูดได้ว่า a เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

การใช้จำนวนเต็มเพื่ออธิบายการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ

จำนวนเต็มใช้ทำอะไร? ประการแรกด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ทำให้สะดวกในการอธิบายและกำหนดการเปลี่ยนแปลงปริมาณของวัตถุใด ๆ ลองยกตัวอย่าง

ปล่อยให้เพลาข้อเหวี่ยงจำนวนหนึ่งถูกเก็บไว้ในคลังสินค้า หากนำเพลาข้อเหวี่ยงเพิ่มอีก 500 อันไปที่คลังสินค้า จำนวนของมันจะเพิ่มขึ้น หมายเลข 500 แสดงถึงการเปลี่ยนแปลง (เพิ่มขึ้น) ในจำนวนชิ้นส่วนอย่างแม่นยำ หากนำชิ้นส่วน 200 ชิ้นออกจากคลังสินค้า หมายเลขนี้จะแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงจำนวนเพลาข้อเหวี่ยงด้วย คราวนี้ลง..

หากไม่มีสิ่งใดถูกนำออกจากคลังสินค้าและไม่มีการส่งมอบใดๆ หมายเลข 0 จะระบุว่าจำนวนชิ้นส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ความสะดวกที่ชัดเจนของการใช้จำนวนเต็ม ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ คือ เครื่องหมายระบุทิศทางการเปลี่ยนแปลงของค่าอย่างชัดเจน (เพิ่มหรือลด)

การลดลงของอุณหภูมิ 30 องศาสามารถกำหนดได้ด้วยจำนวนเต็มลบ - 30 และการเพิ่มขึ้น 2 องศา - ด้วยจำนวนเต็มบวก 2

ให้เรายกตัวอย่างอื่นโดยใช้จำนวนเต็ม คราวนี้ลองจินตนาการว่าเราต้องมอบเหรียญ 5 เหรียญให้ใครบางคน จากนั้นเราสามารถพูดได้ว่าเรามี - 5 เหรียญ เลข 5 แสดงถึงขนาดของหนี้ และเครื่องหมายลบ บ่งบอกว่าเราต้องแจกเหรียญ

หากเราเป็นหนี้ 2 เหรียญต่อบุคคลหนึ่งและอีก 3 เหรียญต่ออีกคนหนึ่ง หนี้ทั้งหมด (5 เหรียญ) สามารถคำนวณได้โดยใช้กฎการบวกจำนวนลบ:

2 + (- 3) = - 5

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

จำนวนเต็ม -สิ่งเหล่านี้เป็นจำนวนธรรมชาติ เช่นเดียวกับค่าตรงข้ามและศูนย์

จำนวนเต็ม— การขยายตัวของเซตของจำนวนธรรมชาติ เอ็นซึ่งได้มาจากการเพิ่ม เอ็น 0 และจำนวนลบ เช่น − n- เซตของจำนวนเต็มหมายถึง ซี.

ผลรวมผลต่างและผลคูณของจำนวนเต็มให้จำนวนเต็มอีกครั้งเช่น จำนวนเต็มก่อตัวเป็นวงแหวนโดยคำนึงถึงการดำเนินการบวกและการคูณ

จำนวนเต็มบนเส้นจำนวน:

มีจำนวนเต็มกี่ตัว? มีจำนวนเต็มกี่ตัว? ไม่มีจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด ซีรีย์นี้ไม่มีที่สิ้นสุด ไม่มีจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

จำนวนธรรมชาติก็เรียกอีกอย่างว่า เชิงบวก จำนวนเต็ม, เช่น. วลี "จำนวนธรรมชาติ" และ "จำนวนเต็มบวก" เป็นสิ่งเดียวกัน

เศษส่วนหรือทศนิยมไม่เป็นจำนวนเต็ม แต่มีเศษส่วนเป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่างของจำนวนเต็ม: -8, 111, 0, 1285642, -20051 และอื่น ๆ

การพูด ในภาษาง่ายๆ, จำนวนเต็มคือ (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - ลำดับของจำนวนเต็ม นั่นคือผู้ที่มีเศษส่วน (()) เท่ากับศูนย์ พวกเขาไม่มีหุ้น

ตัวเลขธรรมชาติเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็ม ตัวอย่าง: (1,2,3,4...+ ∞).

การดำเนินการกับจำนวนเต็ม

1. ผลรวมของจำนวนเต็ม

หากต้องการบวกจำนวนเต็มสองตัวที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน คุณจะต้องเพิ่มโมดูลของตัวเลขเหล่านี้และใส่เครื่องหมายสุดท้ายไว้หน้าผลรวม

ตัวอย่าง:

(+2) + (+5) = +7.

2. การลบจำนวนเต็ม

หากต้องการบวกจำนวนเต็มสองตัวด้วย สัญญาณที่แตกต่างกันจำเป็นต้องลบมอดุลัสของจำนวนที่มากกว่าออกจากโมดูลัสของจำนวนที่น้อยกว่า และก่อนที่คำตอบจะใส่เครื่องหมายของจำนวนโมดูโลที่ใหญ่กว่า

ตัวอย่าง:

(-2) + (+5) = +3.

3. การคูณจำนวนเต็ม

หากต้องการคูณจำนวนเต็มสองตัว คุณจะต้องคูณโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้และใส่เครื่องหมายบวก (+) ไว้หน้าผลคูณหากตัวเลขเดิมเป็นเครื่องหมายเดียวกัน และใส่เครื่องหมายลบ (-) หากต่างกัน

ตัวอย่าง:

(+2) ∙ (-3) = -6.

เมื่อคูณตัวเลขหลายจำนวน เครื่องหมายของผลิตภัณฑ์จะเป็นค่าบวกหากจำนวนของตัวประกอบที่ไม่ใช่ค่าบวกเป็นเลขคู่ และเป็นค่าลบหากจำนวนของตัวประกอบที่ไม่ใช่ค่าบวกเป็นเลขคี่

ตัวอย่าง:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 ปัจจัยที่ไม่เป็นบวก)

4. การหารจำนวนเต็ม

ในการหารจำนวนเต็ม คุณต้องแบ่งโมดูลัสของโมดูลัสของโมดูลัสของอีกโมดูลหนึ่ง และใส่เครื่องหมาย “+” ไว้หน้าผลลัพธ์หากเครื่องหมายของตัวเลขเหมือนกัน และเครื่องหมายลบหากต่างกัน

ตัวอย่าง:

(-12) : (+6) = -2.

คุณสมบัติของจำนวนเต็ม

Z ไม่ได้ถูกปิดด้วยการหารจำนวนเต็ม 2 จำนวน ( เช่น 1/2- ตารางด้านล่างแสดงคุณสมบัติพื้นฐานของการบวกและการคูณของจำนวนเต็มใดๆ ก, ขและ ค.

คุณสมบัติ	ส่วนที่เพิ่มเข้าไป	การคูณ
การแยกตัว	ก + ข- ทั้งหมด	ก × ข- ทั้งหมด
การเชื่อมโยง	ก + (ข + ค) = (ก + ข) + ค	ก × ( ข × ค) = (ก × ข) × ค
การสับเปลี่ยน	ก + ข = ข + ก	ก × ข = ข × ก
การดำรงอยู่ องค์ประกอบที่เป็นกลาง	ก + 0 = ก	ก × 1 = ก
การดำรงอยู่ องค์ประกอบตรงข้าม	ก + (−ก) = 0	ก ≠ ± 1 ⇒ 1/กไม่เป็นจำนวนเต็ม
การกระจายสินค้า การคูณสัมพันธ์ ส่วนที่เพิ่มเข้าไป	ก × ( ข + ค) = (ก × ข) + (ก × ค)

จากตารางเราสามารถสรุปได้ว่า ซีเป็นวงแหวนสลับที่มีเอกภาพภายใต้การบวกและการคูณ

การหารมาตรฐานไม่มีอยู่ในเซตของจำนวนเต็ม แต่มีสิ่งที่เรียกว่า การหารด้วยเศษ: สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด กและ ข, ข≠0, จะมีจำนวนเต็มหนึ่งชุด ถามและ ร, อะไร ก = bq + rและ 0≤r<|b| , ที่ไหน |ข|- ค่าสัมบูรณ์ (โมดูลัส) ของตัวเลข ข- ที่นี่ ก- หารได้, ข- ตัวแบ่ง ถาม- ส่วนตัว, ร- ส่วนที่เหลือ

1) ฉันหารด้วยทันที เนื่องจากทั้งสองตัวเลขหารด้วย 100% ด้วย:

2) ฉันจะหารด้วยจำนวนที่เหลือจำนวนมาก (และ) เนื่องจากพวกมันหารลงตัวด้วย (ในเวลาเดียวกันฉันจะไม่ขยาย - มันเป็นตัวหารร่วมอยู่แล้ว):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) ฉันจะออกไปคนเดียวแล้วเริ่มดูตัวเลขและ ตัวเลขทั้งสองหารด้วย (ลงท้ายด้วยเลขคู่ (ในกรณีนี้ ลองนึกดูว่าจะหารด้วยอย่างไร)):

4) เราทำงานกับตัวเลขและ พวกเขามีตัวหารร่วมกันหรือไม่? มันไม่ง่ายเหมือนในขั้นตอนก่อนหน้านี้ ดังนั้นเราจะแยกพวกมันออกเป็นปัจจัยง่ายๆ:

5) ตามที่เราเห็น เราพูดถูก และไม่มีตัวหารร่วม และตอนนี้ เราจำเป็นต้องคูณ
จีซีดี

ภารกิจที่ 2 ค้นหา gcd ของตัวเลข 345 และ 324

ฉันไม่สามารถหาตัวหารร่วมอย่างน้อยหนึ่งตัวได้ที่นี่ ฉันจึงแยกมันออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ (น้อยที่สุด):

เป๊ะเลย gcd แต่ตอนแรกฉันไม่ได้ตรวจสอบการทดสอบการหารลงตัวด้วย และบางทีฉันคงไม่ต้องทำอะไรมากมายขนาดนี้

แต่คุณตรวจสอบแล้วใช่ไหม?

อย่างที่คุณเห็นมันไม่ใช่เรื่องยากเลย

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) - ประหยัดเวลา ช่วยแก้ปัญหาด้วยวิธีที่ไม่ได้มาตรฐาน

สมมติว่าคุณมีตัวเลขสองตัว - และ จำนวนที่น้อยที่สุดที่สามารถหารได้คือจำนวนเท่าใด ไร้ร่องรอย(นั่นคือสมบูรณ์)? มันยากที่จะจินตนาการ? นี่คือคำใบ้ภาพสำหรับคุณ:

คุณจำได้ไหมว่าจดหมายย่อมาจากอะไร? ถูกต้องครับ แค่ จำนวนเต็มแล้วจำนวนที่น้อยที่สุดที่จะแทนที่ x คืออะไร? -

ในกรณีนี้.

มีกฎหลายข้อเกิดขึ้นจากตัวอย่างง่ายๆ นี้

กฎสำหรับการค้นหา NOC อย่างรวดเร็ว

กฎข้อที่ 1: ถ้าจำนวนธรรมชาติตัวใดตัวหนึ่งในสองตัวหารด้วยจำนวนอื่นลงตัว ค่าที่มากกว่าของจำนวนสองตัวนั้นก็คือตัวคูณร่วมน้อย

ค้นหาตัวเลขต่อไปนี้:

• คสช. (7;21)
• คสช. (6;12)
• คสช. (5;15)
• คสช. (3;33)

แน่นอนคุณรับมือกับงานนี้ได้โดยไม่ยากและคุณได้คำตอบ - และ

โปรดทราบว่าในกฎเรากำลังพูดถึงตัวเลขสองตัว หากมีตัวเลขมากกว่านั้น กฎจะไม่ทำงาน

ตัวอย่างเช่น LCM (7;14;21) ไม่เท่ากับ 21 เนื่องจากหารด้วยไม่ได้

กฎข้อที่ 2 ถ้าจำนวนสองตัว (หรือมากกว่าสองตัว) เป็นจำนวนเฉพาะ ตัวคูณร่วมน้อยจะเท่ากับผลคูณของจำนวนนั้น

หา NOCตัวเลขต่อไปนี้:

• เอ็นโอซี (1;3;7)
• คสช. (3;7;11)
• นอค (2;3;7)
• เอ็นโอซี (3;5;2)

คุณนับไหม? นี่คือคำตอบ - , ; -

ดังที่คุณเข้าใจ เป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะรับ x เดียวกันนี้อย่างง่ายดาย ดังนั้นสำหรับจำนวนที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อยจึงมีอัลกอริทึมดังต่อไปนี้:

เรามาฝึกกันไหม?

มาหาตัวคูณร่วมน้อย - LCM (345; 234)

เรามาแจกแจงตัวเลขแต่ละตัวกัน:

ทำไมฉันถึงเขียนทันที?

จำสัญญาณของการหารด้วย: หารด้วย (หลักสุดท้ายเป็นเลขคู่) และผลรวมของตัวเลขหารด้วย

ดังนั้นเราสามารถหารได้ทันทีโดยเขียนเป็น

ตอนนี้เราเขียนการสลายตัวที่ยาวที่สุดในบรรทัด - อันที่สอง:

เรามาเพิ่มตัวเลขจากการขยายครั้งแรกซึ่งไม่ได้อยู่ในสิ่งที่เราเขียนไว้:

หมายเหตุ: เราเขียนทุกอย่างยกเว้นเพราะเรามีอยู่แล้ว

ตอนนี้เราต้องคูณตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมด!

ค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ด้วยตัวเอง

คุณได้รับคำตอบอะไรบ้าง?

นี่คือสิ่งที่ฉันได้รับ:

คุณใช้เวลาค้นหานานเท่าไร NOC- เวลาของฉันคือ 2 นาที ฉันรู้จริงๆ เคล็ดลับหนึ่งข้อซึ่งผมขอแนะนำให้คุณเปิดตอนนี้เลย!

หากคุณใส่ใจมากคุณอาจสังเกตเห็นว่าเราค้นหาตัวเลขที่ระบุแล้ว จีซีดีและคุณสามารถแยกตัวประกอบของตัวเลขเหล่านี้จากตัวอย่างนั้นได้ ซึ่งจะทำให้งานของคุณง่ายขึ้น แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

ดูภาพบางทีอาจมีความคิดอื่น ๆ เกิดขึ้นกับคุณ:

ดี? ฉันจะให้คำแนะนำแก่คุณ: ลองคูณ NOCและ จีซีดีในหมู่พวกเขาเองและจดปัจจัยทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นเมื่อทำการคูณ คุณจัดการหรือไม่? คุณควรจะได้โซ่แบบนี้:

ลองดูให้ละเอียดยิ่งขึ้น: เปรียบเทียบตัวคูณกับวิธีการและการจัดวาง

คุณสามารถสรุปอะไรได้จากสิ่งนี้? ขวา! ถ้าเราคูณค่าต่างๆ NOCและ จีซีดีระหว่างกัน เราก็จะได้ผลคูณของตัวเลขเหล่านี้

จึงมีตัวเลขและความหมาย จีซีดี(หรือ NOC) เราสามารถหาได้ NOC(หรือ จีซีดี) ตามโครงการนี้:

1. ค้นหาผลคูณของตัวเลข:

2. แบ่งผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์ตามของเรา จีซีดี (6240; 6800) = 80:

แค่นั้นแหละ.

มาเขียนกฎในรูปแบบทั่วไป:

ลองหาดูนะครับ จีซีดีถ้ารู้ว่า:

คุณจัดการหรือไม่? -

ตัวเลขติดลบคือ "ตัวเลขเท็จ" และเป็นที่ยอมรับของมนุษยชาติ

ดังที่คุณเข้าใจแล้ว ตัวเลขเหล่านี้อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ:

ดูเหมือนว่ามีอะไรพิเศษเกี่ยวกับพวกเขาบ้าง?

แต่ความจริงก็คือจำนวนลบ "ชนะ" ตำแหน่งที่ถูกต้องในวิชาคณิตศาสตร์จนถึงศตวรรษที่ 19 (จนถึงขณะนั้นมีการถกเถียงกันมากมายว่าพวกเขามีอยู่จริงหรือไม่)

จำนวนลบนั้นเกิดขึ้นเนื่องจากการดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติเป็น "การลบ"

อันที่จริง ลบออกแล้วคุณจะได้จำนวนลบ นั่นคือสาเหตุว่าทำไมจึงมักเรียกเซตของจำนวนลบ "การขยายตัวของเซตของจำนวนธรรมชาติ"

ผู้คนไม่รู้จักตัวเลขติดลบมาเป็นเวลานาน

ดังนั้นอียิปต์โบราณ บาบิโลน และกรีกโบราณซึ่งเป็นแสงสว่างในยุคนั้น ไม่รู้จักจำนวนลบ และในกรณีของรากที่เป็นลบในสมการ (เช่นของเรา) รากจึงถูกปฏิเสธโดยเป็นไปไม่ได้

ตัวเลขติดลบได้รับสิทธิ์ในการดำรงอยู่ครั้งแรกในจีน และจากนั้นในศตวรรษที่ 7 ในอินเดีย

คุณคิดว่าอะไรคือสาเหตุของการยอมรับนี้

ถูกต้อง ตัวเลขติดลบเริ่มแสดงออกมาแล้ว หนี้ (มิฉะนั้น - การขาดแคลน)

เชื่อกันว่าตัวเลขติดลบเป็นมูลค่าชั่วคราว ซึ่งผลจะเปลี่ยนเป็นบวก (นั่นคือ เงินจะยังคงถูกส่งคืนให้กับผู้ให้กู้) อย่างไรก็ตาม พรหมคุปต์ นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียได้พิจารณาจำนวนลบบนพื้นฐานที่เท่ากันกับจำนวนบวกแล้ว

ในยุโรป ประโยชน์ของตัวเลขติดลบตลอดจนความจริงที่ว่าตัวเลขเหล่านี้สามารถแสดงถึงหนี้สินได้ถูกค้นพบในเวลาต่อมา บางทีอาจเป็นหนึ่งพันปี

การกล่าวถึงครั้งแรกถูกสังเกตเห็นในปี 1202 ใน "Book of the Abacus" โดย Leonard of Pisa (ฉันจะบอกทันทีว่าผู้เขียนหนังสือเล่มนี้ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับหอเอนเมืองปิซา แต่ตัวเลขฟีโบนักชีเป็นผลงานของเขา (ชื่อเล่นของเลโอนาร์โดแห่งปิซาคือฟีโบนักชี))

ดังนั้นในศตวรรษที่ 17 ปาสคาลจึงเชื่อเช่นนั้น

คุณคิดว่าเขาให้เหตุผลเรื่องนี้อย่างไร?

มันเป็นความจริง “ไม่มีอะไรจะน้อยกว่าไม่มีอะไร”

เสียงสะท้อนในช่วงเวลานั้นยังคงเป็นความจริงที่ว่าจำนวนลบและการดำเนินการลบนั้นแสดงด้วยสัญลักษณ์เดียวกัน - ลบ "-" และความจริง: . ตัวเลข “ ” เป็นบวก ซึ่งลบออก หรือลบ แล้วรวมเข้าด้วยกัน... บางสิ่งจากซีรีส์ “อะไรเกิดก่อน ไก่หรือไข่?” นี่เป็นปรัชญาทางคณิตศาสตร์ที่แปลกประหลาดมาก

จำนวนลบรับประกันสิทธิที่จะมีอยู่เมื่อมีการกำเนิดของเรขาคณิตวิเคราะห์ หรืออีกนัยหนึ่งคือ เมื่อนักคณิตศาสตร์แนะนำแนวคิดเช่นแกนจำนวน

ตั้งแต่วินาทีนี้เป็นต้นไปความเท่าเทียมกันก็มาถึง อย่างไรก็ตาม ยังคงมีคำถามมากกว่าคำตอบ เช่น

สัดส่วน

สัดส่วนนี้เรียกว่า “ความขัดแย้งของอาร์โนด์” ลองคิดดูสิ มีอะไรน่าสงสัยเกี่ยวกับเรื่องนี้?

มาเถียงกัน "" มากกว่า "" จริงมั้ย? ดังนั้น ตามตรรกะแล้ว ด้านซ้ายของสัดส่วนควรมากกว่าด้านขวา แต่จะเท่ากัน... นี่คือความขัดแย้ง

เป็นผลให้นักคณิตศาสตร์เห็นพ้องต้องกันว่าคาร์ล เกาส์ (ใช่ ใช่ นี่คือคนเดียวกับที่คำนวณผลรวม (หรือ) ตัวเลข) ยุติมันในปี พ.ศ. 2374

เขากล่าวว่าจำนวนลบมีสิทธิ์เช่นเดียวกับจำนวนบวก และการที่พวกมันใช้ไม่ได้กับทุกสิ่งไม่ได้มีความหมายอะไรเลย เนื่องจากเศษส่วนก็ใช้ไม่ได้กับหลายสิ่งเช่นกัน (มันไม่ได้เกิดขึ้นที่ผู้ขุดขุดหลุม คุณไม่สามารถซื้อตั๋วหนังได้ ฯลฯ)

นักคณิตศาสตร์สงบลงเฉพาะในศตวรรษที่ 19 เมื่อวิลเลียม แฮมิลตัน และแฮร์มันน์ กราสมันน์ สร้างทฤษฎีจำนวนลบ

พวกมันขัดแย้งกันมาก ตัวเลขติดลบพวกนี้

การเกิดขึ้นของ “ความว่างเปล่า” หรือชีวประวัติของศูนย์

ในทางคณิตศาสตร์มันเป็นจำนวนพิเศษ

เมื่อมองแวบแรกไม่มีอะไรเลย: เพิ่มหรือลบ - จะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง แต่คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มไปทางขวาเป็น " " และจำนวนผลลัพธ์จะมากกว่าจำนวนเดิมหลายเท่า

ด้วยการคูณด้วยศูนย์เราจะเปลี่ยนทุกสิ่งให้กลายเป็นความว่างเปล่า แต่เมื่อหารด้วย "ไม่มีอะไร" นั่นคือเราทำไม่ได้ พูดได้คำเดียวว่าเลขวิเศษ)

ประวัติศาสตร์ของศูนย์นั้นยาวนานและซับซ้อน

พบร่องรอยของศูนย์ในงานเขียนของชาวจีนในสหัสวรรษที่ 2 และแม้กระทั่งก่อนหน้านี้ในหมู่ชาวมายันด้วยซ้ำ การใช้สัญลักษณ์ศูนย์เป็นครั้งแรกดังที่เป็นอยู่ในทุกวันนี้ มีให้เห็นในหมู่นักดาราศาสตร์ชาวกรีก

มีหลายเวอร์ชันว่าทำไมจึงเลือกการกำหนดนี้ว่า "ไม่มีอะไร"

นักประวัติศาสตร์บางคนมีแนวโน้มที่จะเชื่อว่านี่คือโอไมครอนนั่นคือ ตัวอักษรตัวแรกของคำภาษากรีกคำว่า "ไม่มีอะไร" คือ ouden ตามเวอร์ชันอื่นคำว่า "obol" (เหรียญที่แทบไม่มีค่า) ทำให้สัญลักษณ์ของศูนย์มีชีวิตชีวา

ศูนย์ (หรือว่าง) เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ปรากฏครั้งแรกในหมู่ชาวอินเดีย(โปรดทราบว่าตัวเลขติดลบเริ่ม “พัฒนา” ตรงนั้น)

หลักฐานที่เชื่อถือได้หลักฐานแรกของการบันทึกวันที่เป็นศูนย์คือ 876 และในนั้น “ ” เป็นองค์ประกอบของตัวเลข

Zero ก็มายุโรปช้าเช่นกัน - เฉพาะในปี 1600 และเช่นเดียวกับตัวเลขติดลบ ก็พบกับการต่อต้าน (คุณจะทำอย่างไร พวกเขาก็เป็นแบบนั้น ชาวยุโรป)

“ซีโรมักถูกเกลียดชัง หวาดกลัวมานาน หรือแม้แต่ถูกแบน”- เขียน Charles Safe นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน

ดังนั้นสุลต่านอับดุล ฮามิดที่ 2 ของตุรกีในปลายศตวรรษที่ 19 สั่งให้เซ็นเซอร์ของเขาลบสูตรของน้ำ H2O ออกจากตำราเคมีทุกเล่ม โดยเอาตัวอักษร "O" เป็นศูนย์ และไม่ต้องการให้ชื่อย่อของเขาถูกทำให้เสื่อมเสียชื่อเสียงเพราะอยู่ใกล้กับศูนย์ที่ถูกดูหมิ่น"

บนอินเทอร์เน็ตคุณจะพบวลี: “Zero เป็นพลังที่ทรงพลังที่สุดในจักรวาล เขาสามารถทำอะไรก็ได้! Zero สร้างระเบียบในวิชาคณิตศาสตร์ และมันยังทำให้เกิดความสับสนวุ่นวายอีกด้วย” ตรงประเด็นครับ :)

สรุปส่วนและสูตรพื้นฐาน

เซตของจำนวนเต็มประกอบด้วย 3 ส่วน คือ

• จำนวนธรรมชาติ (เราจะดูรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง)
• ตัวเลขตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ
• ศูนย์ - " "

เซตของจำนวนเต็มจะแสดงแทน ตัวอักษร Z

1. จำนวนธรรมชาติ

ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่เราใช้ในการนับวัตถุ

เซตของจำนวนธรรมชาติจะแสดงแทน ตัวอักษรเอ็น

ในการดำเนินการกับจำนวนเต็ม คุณจะต้องสามารถค้นหา GCD และ LCM ได้

ตัวหารร่วมมาก (GCD)

หากต้องการค้นหา GCD คุณต้อง:

1. แยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ (จำนวนที่ไม่สามารถหารด้วยสิ่งอื่นใดได้นอกจากตัวมันเองหรือด้วย เป็นต้น)
2. เขียนตัวประกอบที่เป็นส่วนหนึ่งของตัวเลขทั้งสอง.
3. คูณพวกมัน

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

ในการค้นหา NOC ที่คุณต้องการ:

1. แบ่งตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ (คุณรู้วิธีการทำเช่นนี้เป็นอย่างดีแล้ว)
2. เขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง (ควรใช้สายโซ่ที่ยาวที่สุด)
3. เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปจากการขยายตัวเลขที่เหลือลงไป
4. ค้นหาผลคูณของปัจจัยผลลัพธ์

2. จำนวนลบ

เหล่านี้เป็นตัวเลขที่ตรงข้ามกับธรรมชาติ กล่าวคือ:

ตอนนี้ฉันอยากได้ยินคุณ...

ฉันหวังว่าคุณจะชื่นชอบ "เทคนิค" ที่เป็นประโยชน์อย่างยิ่งในส่วนนี้ และเข้าใจว่าสิ่งเหล่านี้จะช่วยคุณในการสอบได้อย่างไร

และที่สำคัญกว่านั้นคือในชีวิต ฉันไม่ได้พูดถึงมัน แต่เชื่อฉันเถอะอันนี้เป็นเรื่องจริง ความสามารถในการนับอย่างรวดเร็วและไม่มีข้อผิดพลาดช่วยให้คุณประหยัดได้ในหลายสถานการณ์ในชีวิต

ตอนนี้ถึงตาคุณแล้ว!

เขียนว่า คุณจะใช้วิธีการจัดกลุ่ม การทดสอบการหาร GCD และ LCM ในการคำนวณหรือไม่

บางทีคุณอาจเคยใช้มันมาก่อน? ที่ไหนและอย่างไร?

บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ

เขียนความคิดเห็นว่าคุณชอบบทความอย่างไร

และขอให้โชคดีในการสอบ!