วิธีตัวคูณลากรองจ์ ความหมายทางเศรษฐกิจของตัวคูณลากรองจ์

คำอธิบายของวิธีการ

ที่ไหน .

เหตุผล

เหตุผลต่อไปนี้สำหรับวิธีตัวคูณลากรองจ์ไม่ใช่ข้อพิสูจน์ที่เข้มงวด ประกอบด้วยการให้เหตุผลแบบฮิวริสติกที่ช่วยให้เข้าใจความหมายทางเรขาคณิตของวิธีการ

กรณีสองมิติ

เส้นระดับและเส้นโค้ง

ปล่อยให้ต้องหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันบางตัวของตัวแปรสองตัวภายใต้เงื่อนไขที่ระบุในสมการ - เราจะถือว่าฟังก์ชันทั้งหมดสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง และ สมการที่กำหนดกำหนดเส้นโค้งเรียบ สบนเครื่องบิน จากนั้นปัญหาจะลดลงจนกลายเป็นการหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน ฉบนทางโค้ง ส- เราก็จะถือว่าเช่นกัน สไม่ผ่านจุดที่มีการไล่ระดับ ฉเปลี่ยนเป็น 0

มาวาดเส้นระดับฟังก์ชันบนเครื่องบินกัน ฉ(นั่นคือเส้นโค้ง) จากการพิจารณาทางเรขาคณิต จะเห็นได้ชัดว่าจุดปลายสุดของฟังก์ชัน ฉบนทางโค้ง สมีเพียงจุดที่แทนเจนต์ถึงเท่านั้น สและเส้นระดับที่สอดคล้องกันตรงกัน แท้จริงแล้วหากโค้ง สข้ามเส้นระดับ ฉที่จุดใดจุดหนึ่งตามขวาง (นั่นคือ ที่มุมที่ไม่เป็นศูนย์) แล้วเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้ง สจากจุดหนึ่งเราสามารถไปถึงเส้นระดับที่สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้น ฉและน้อยลง ดังนั้นจุดดังกล่าวจึงไม่สามารถเป็นจุดสุดขั้วได้

ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดสุดโต่งในกรณีของเราคือความบังเอิญของเส้นสัมผัสกัน หากต้องการเขียนในรูปแบบการวิเคราะห์ โปรดทราบว่ามันเทียบเท่ากับความขนานของการไล่ระดับสีของฟังก์ชัน ฉและ ψ ที่จุดที่กำหนด เนื่องจากเวกเตอร์เกรเดียนต์ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของเส้นระดับ เงื่อนไขนี้แสดงในรูปแบบต่อไปนี้:

โดยที่ λ คือตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งเป็นตัวคูณลากรองจ์

ตอนนี้เรามาพิจารณากัน ฟังก์ชันลากรองจ์ขึ้นอยู่กับ และ แล:

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดสูงสุดคือความชันมีค่าเท่ากับศูนย์ ตามกฎของความแตกต่างจะเขียนไว้ในแบบฟอร์ม

เราได้รับระบบที่มีสมการสองสมการแรกเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่จำเป็น สุดขั้วในท้องถิ่น(1) และอันที่สาม - สู่สมการ - คุณสามารถค้นหาได้จากมัน ยิ่งกว่านั้น เนื่องจากเป็นอย่างอื่น การไล่ระดับสีของฟังก์ชัน ฉหายไปตรงจุด ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานของเรา ควรสังเกตว่าจุดที่พบในลักษณะนี้อาจไม่ใช่จุดที่ต้องการของปลายสุดตามเงื่อนไข - เงื่อนไขที่พิจารณาเป็นสิ่งจำเป็น แต่ไม่เพียงพอ การค้นหาปลายสุดแบบมีเงื่อนไขโดยใช้ฟังก์ชันเสริม ลและสร้างพื้นฐานของวิธีตัวคูณลากรองจ์ ซึ่งใช้กับกรณีที่ง่ายที่สุดของตัวแปรสองตัว ปรากฎว่าการให้เหตุผลข้างต้นสามารถสรุปได้ในกรณีของตัวแปรและสมการจำนวนเท่าใดก็ได้ที่ระบุเงื่อนไข

จากวิธีตัวคูณลากรองจ์ สามารถพิสูจน์เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับค่าสุดโต่งแบบมีเงื่อนไขได้ ซึ่งจำเป็นต้องมีการวิเคราะห์อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันลากรองจ์

แอปพลิเคชัน

• วิธีตัวคูณลากรองจ์ใช้เพื่อแก้ปัญหาไม่ได้ การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเกิดขึ้นได้หลายด้าน (เช่น ในด้านเศรษฐศาสตร์)
• วิธีการหลักในการแก้ปัญหาการปรับคุณภาพของการเข้ารหัสข้อมูลเสียงและวิดีโอให้เหมาะสมด้วยบิตเรตเฉลี่ยที่กำหนด (การเพิ่มประสิทธิภาพความผิดเพี้ยน - ภาษาอังกฤษ การเพิ่มประสิทธิภาพอัตราการบิดเบือน).

ดูเพิ่มเติม

ลิงค์

• โซริช วี.เอ.การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่ 1. - เอ็ด. ครั้งที่ 2 สาธุคุณ และเพิ่มเติม - อ.: ฟาซิส, 1997.

มูลนิธิวิกิมีเดีย

2010.

ดูว่า "ตัวคูณลากรองจ์" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:ตัวคูณลากรองจ์ - ปัจจัยเพิ่มเติมที่เปลี่ยนฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาสุดขีดของการเขียนโปรแกรมนูน (โดยเฉพาะการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น) เมื่อแก้ไขโดยใช้วิธีคลาสสิกวิธีใดวิธีหนึ่งโดยใช้วิธีแก้ไขตัวคูณ... ...

พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์-คณิตศาสตร์ตัวคูณลากรองจ์ - ปัจจัยเพิ่มเติมที่แปลงฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาการเขียนโปรแกรมนูนมาก (โดยเฉพาะการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น) เมื่อแก้ไขโดยใช้วิธีคลาสสิกวิธีใดวิธีหนึ่ง วิธีแก้ไขตัวคูณ (วิธีลากรองจ์).... ...

คู่มือนักแปลทางเทคนิค กลศาสตร์. 1) สมการลากรองจ์ประเภทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ทางกล ระบบซึ่งกำหนดไว้ในเส้นโครงบนแกนพิกัดสี่เหลี่ยมและมีสิ่งที่เรียกว่า ตัวคูณลากรองจ์ ได้รับโดย J. Lagrange ในปี พ.ศ. 2331 สำหรับระบบโฮโลโนมิก ... ...

สารานุกรมทางกายภาพ ช่างกลธรรมดาสมการเชิงอนุพันธ์ ลำดับที่ 2 อธิบายการเคลื่อนที่ของกลไก ระบบภายใต้อิทธิพลของแรงที่ใช้กับพวกเขา ลู ก่อตั้งโดย J. Lag range ในสองรูปแบบ: L. u. ชนิดที่ 1 หรือสมการในพิกัดคาร์ทีเซียนด้วย... ...

1) ในทางกลศาสตร์อุทกศาสตร์ สมการการเคลื่อนที่ของของไหล (ก๊าซ) ในตัวแปรลากรองจ์ซึ่งเป็นพิกัดของตัวกลาง รับภาษาฝรั่งเศสแล้ว นักวิทยาศาสตร์ J. Lagrange (ประมาณปี 1780) จาก L.u. กฎการเคลื่อนที่ของตัวกลางถูกกำหนดในรูปแบบของการพึ่งพา... ... กลศาสตร์. 1) สมการลากรองจ์ประเภทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ทางกล ระบบซึ่งกำหนดไว้ในเส้นโครงบนแกนพิกัดสี่เหลี่ยมและมีสิ่งที่เรียกว่า ตัวคูณลากรองจ์ ได้รับโดย J. Lagrange ในปี พ.ศ. 2331 สำหรับระบบโฮโลโนมิก ... ...

วิธีตัวคูณลากรองจ์ คือวิธีการหาค่าปลายสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน f(x) โดยที่เมื่อสัมพันธ์กับข้อจำกัด m ตัวแปร i จะแปรผันจาก 1 ถึง m สารบัญ 1 คำอธิบายวิธีการ ... Wikipedia

ฟังก์ชั่นที่ใช้เมื่อแก้ไขปัญหา สุดขั้วตามเงื่อนไขฟังก์ชันของตัวแปรและฟังก์ชันต่างๆ มากมาย ด้วยความช่วยเหลือของ L.f. ถูกบันทึกไว้ เงื่อนไขที่จำเป็นการเพิ่มประสิทธิภาพในปัญหาภาวะสุดโต่งแบบมีเงื่อนไข ในกรณีนี้ไม่จำเป็นต้องแสดงเฉพาะตัวแปร... ลำดับที่ 2 อธิบายการเคลื่อนที่ของกลไก ระบบภายใต้อิทธิพลของแรงที่ใช้กับพวกเขา ลู ก่อตั้งโดย J. Lag range ในสองรูปแบบ: L. u. ชนิดที่ 1 หรือสมการในพิกัดคาร์ทีเซียนด้วย... ...

วิธีการแก้ไขปัญหาปลายสุดแบบมีเงื่อนไข L.M.M. ประกอบด้วยการลดปัญหาเหล่านี้ให้เป็นปัญหาที่ปลายสุดที่ไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชันเสริมที่เรียกว่า ฟังก์ชันลากรองจ์ สำหรับโจทย์ปลายสุดของฟังก์ชัน f (x1, x2,..., xn) สำหรับ... ...

ตัวแปรด้วยความช่วยเหลือซึ่งสร้างฟังก์ชันลากรองจ์เมื่อศึกษาปัญหาบนสุดขั้วที่มีเงื่อนไข การใช้วิธีเชิงเส้นและฟังก์ชันลากรองจ์ช่วยให้เราได้รับเงื่อนไขการปรับให้เหมาะสมที่จำเป็นในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับภาวะสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขในลักษณะที่สม่ำเสมอ... ลำดับที่ 2 อธิบายการเคลื่อนที่ของกลไก ระบบภายใต้อิทธิพลของแรงที่ใช้กับพวกเขา ลู ก่อตั้งโดย J. Lag range ในสองรูปแบบ: L. u. ชนิดที่ 1 หรือสมการในพิกัดคาร์ทีเซียนด้วย... ...

1) ในกลศาสตร์อุทกศาสตร์ สมการการเคลื่อนที่ของตัวกลางของไหล เขียนด้วยตัวแปรลากรองจ์ ซึ่งเป็นพิกัดของอนุภาคของตัวกลาง จาก L.u. กฎการเคลื่อนที่ของอนุภาคของตัวกลางถูกกำหนดในรูปแบบของการพึ่งพาพิกัดตรงเวลาและจากพวกมัน... ... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

วิธีการลากรองจ์

วิธีการลดรูปกำลังสองให้เป็นผลรวมของกำลังสอง ซึ่งระบุในปี 1759 โดย J. Lagrange ให้มันได้รับ

จากตัวแปร x 0 , x 1 ,...,xน. ด้วยค่าสัมประสิทธิ์จากสนาม เคลักษณะ จำเป็นต้องนำแบบฟอร์มนี้ไปสู่รูปแบบบัญญัติ จิตใจ

โดยใช้การแปลงเชิงเส้นแบบไม่เสื่อมของตัวแปร L.m. ประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของรูปแบบ (1) ไม่ใช่ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

ดังนั้นจึงเป็นไปได้สองกรณี 1) สำหรับบางคนกรัม

เส้นทแยงมุมแล้ว โดยที่รูปแบบ f 1 (x) ไม่มีตัวแปรเอ็กซ์ ก. 2) ถ้าทุกอย่าง แต่

ที่ โดยที่รูปแบบ f 2 (x) ไม่มีตัวแปรสองตัวเอ็กซ์ ก และ x ชม.

แบบฟอร์มใต้เครื่องหมายสี่เหลี่ยมใน (4) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรง โดยการใช้การแปลงรูปแบบ (3) และ (4) รูปแบบ (1) หลังจากขั้นตอนจำนวนจำกัดจะลดลงเป็นผลรวมของกำลังสองของรูปแบบเชิงเส้นอิสระเชิงเส้น การใช้อนุพันธ์ย่อยสามารถเขียนสูตร (3) และ (4) ได้ในรูปแบบสว่าง : G a n t m a k h e r F.ร. ทฤษฎีเมทริกซ์ ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 ม. 2509; K u r o sh A. G., หลักสูตรพีชคณิตขั้นสูง, 11th ed., M. , 1975; Alexandrov P. S. บรรยายเรื่องเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ..., ม., 2511.

สารานุกรมทางคณิตศาสตร์. - ม.: สารานุกรมโซเวียต- ไอ. เอ็ม. วิโนกราดอฟ

พ.ศ. 2520-2528.

ดูว่า "วิธี LAGRANGE" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:วิธีลากรองจ์ - ปัจจัยเพิ่มเติมที่เปลี่ยนฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาสุดขีดของการเขียนโปรแกรมนูน (โดยเฉพาะการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น) เมื่อแก้ไขโดยใช้วิธีคลาสสิกวิธีใดวิธีหนึ่งโดยใช้วิธีแก้ไขตัวคูณ... ...

ดูว่า "วิธี LAGRANGE" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:- วิธีลากรองจ์เป็นวิธีการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์หลายคลาสโดยการค้นหาจุดอาน (x*, แล*) ของฟังก์ชันลากรองจ์ ซึ่งทำได้โดยการเท่ากับศูนย์อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันนี้เทียบกับ ... ...