การแจกแจงแบบปัวซองของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง การกระจายปัวซอง

บทนำ

ปรากฏการณ์ที่สุ่มในธรรมชาติอยู่ภายใต้กฎหมายใดหรือไม่? ใช่ แต่กฎเหล่านี้แตกต่างจากกฎทางกายภาพที่เราคุ้นเคย ไม่สามารถทำนายค่าของ SW ได้แม้ภายใต้เงื่อนไขการทดลองที่ทราบ เราสามารถระบุความน่าจะเป็นที่ SW จะใช้ค่าใดค่าหนึ่งเท่านั้น แต่การรู้การกระจายความน่าจะเป็นของ SW เราสามารถสรุปเกี่ยวกับเหตุการณ์ที่ตัวแปรสุ่มเหล่านี้มีส่วนร่วมได้ จริงอยู่ ข้อสรุปเหล่านี้จะมีลักษณะที่น่าจะเป็นไปได้เช่นกัน

ให้ SW บางตัวแยกกันเช่น สามารถใช้ค่าคงที่ Xi เท่านั้น ในกรณีนี้ ชุดของความน่าจะเป็น P(Xi) สำหรับค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมด (i=1…n) ของปริมาณนี้เรียกว่า กฎการกระจาย

กฎการกระจาย SW เป็นความสัมพันธ์ที่กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของ SW และความน่าจะเป็นที่ยอมรับค่าเหล่านี้ กฎหมายการกระจายระบุลักษณะ SW อย่างสมบูรณ์

เมื่อสร้าง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับตรวจสอบ สมมติฐานทางสถิติจำเป็นต้องแนะนำสมมติฐานทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับกฎหมายการกระจาย SW (วิธีการสร้างแบบจำลองโดยใช้พารามิเตอร์)

วิธีการแบบไม่อิงพารามิเตอร์เพื่ออธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (SW ไม่มีกฎหมายการกระจายแบบพาราเมตริก) มีความแม่นยำน้อยกว่า แต่มีมากกว่า บริเวณกว้างแอพพลิเคชั่น.

เช่นเดียวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม มีเพียงสองวิธีในการค้นหากฎการกระจาย CV ไม่ว่าเราจะสร้างโครงร่างของเหตุการณ์สุ่มและค้นหานิพจน์การวิเคราะห์ (สูตร) ​​สำหรับการคำนวณความน่าจะเป็น (อาจมีคนทำไปแล้วหรือจะทำเพื่อเรา!) หรือเราจะต้องใช้การทดสอบและขึ้นอยู่กับ ความถี่ของการสังเกต ตั้งสมมติฐาน (สมมุติฐาน) เกี่ยวกับการแจกแจงกฎหมาย

แน่นอนว่าสำหรับการแจกแจงแบบ "คลาสสิก" แต่ละรายการงานนี้ได้ทำมาเป็นเวลานาน - ที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางและใช้บ่อยมากในสถิติประยุกต์คือการแจกแจงแบบทวินามและพหุนาม, การแจกแจงแบบเรขาคณิตและไฮเปอร์จีโอเมตริก, การแจกแจงแบบปาสกาล และอื่น ๆ อีกมากมาย.

สำหรับการแจกแจงแบบคลาสสิกเกือบทั้งหมด ตารางทางสถิติแบบพิเศษจะถูกสร้างขึ้นและเผยแพร่ทันที ซึ่งปรับปรุงตามความแม่นยำของการคำนวณที่เพิ่มขึ้น โดยไม่ต้องใช้ตารางเหล่านี้หลายเล่ม โดยไม่ได้เรียนรู้วิธีใช้งานในช่วงสองศตวรรษที่ผ่านมา ใช้งานได้จริงไม่สามารถทำสถิติได้

วันนี้สถานการณ์เปลี่ยนไป - ไม่จำเป็นต้องจัดเก็บข้อมูลการคำนวณโดยใช้สูตร (ไม่ว่าสูตรหลังจะซับซ้อนแค่ไหน!) เวลาที่จะใช้กฎการกระจายสำหรับการปฏิบัติจะลดลงเหลือนาทีหรือแม้แต่วินาที ขณะนี้มีชุดโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ใช้แล้วจำนวนมากเพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์เหล่านี้

ในบรรดาการแจกแจงความน่าจะเป็น มีการใช้บ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ การแจกแจงเหล่านี้ได้รับการศึกษาในรายละเอียดและเป็นที่รู้จักกันดี การแจกแจงจำนวนมากเหล่านี้เป็นพื้นฐานของความรู้ทุกแขนง เช่น ทฤษฎีคิว ทฤษฎีความน่าเชื่อถือ การควบคุมคุณภาพ ทฤษฎีเกม เป็นต้น

ในหมู่พวกเขาไม่มีใครสนใจผลงานของปัวซอง (พ.ศ. 2324-2383) ซึ่งพิสูจน์ให้เห็นรูปแบบทั่วไปของกฎหมายจำนวนมากมากกว่าของจาค็อบแบร์นูลลีและเป็นครั้งแรกที่ใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นในการถ่ายภาพ ปัญหา. ชื่อของปัวซองเกี่ยวข้องกับหนึ่งในกฎการกระจาย ซึ่งมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีความน่าจะเป็นและการนำไปใช้

เอกสารนี้อุทิศให้กับกฎการกระจายนี้ หลักสูตรการทำงาน. เราจะพูดถึงกฎหมายโดยตรง เกี่ยวกับลักษณะทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติพิเศษ การเชื่อมโยงกับการแจกแจงแบบทวินาม จะมีการกล่าวถึงคำไม่กี่คำเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้จริงและจะมีการให้ตัวอย่างบางส่วนจากการปฏิบัติ

จุดประสงค์ของบทคัดย่อของเราคือการชี้แจงสาระสำคัญของทฤษฎีบทการกระจายของเบอร์นูลลีและปัวซอง

งานคือการศึกษาและวิเคราะห์วรรณกรรมในหัวข้อของเรียงความ

1. การแจกแจงแบบทวินาม (การแจกแจงแบบแบร์นูลลี)

การแจกแจงแบบทวินาม (การแจกแจงแบบแบร์นูลลี) - การแจกแจงความน่าจะเป็นของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นซ้ำๆ การทดสอบอิสระถ้าความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์นี้ในแต่ละการทดลองเท่ากับ p (0

ว่ากันว่า SV X ถูกแจกจ่ายตามกฎหมายเบอร์นูลลีโดยมีพารามิเตอร์ p หากใช้ค่า 0 และ 1 ด้วยความน่าจะเป็น pX(x)ºP(X=x) = pxq1-x; พี+คิว=1; x=0.1

การกระจายทวินามเกิดขึ้นในกรณีเหล่านี้เมื่อมีการตั้งคำถาม: เหตุการณ์บางอย่างเกิดขึ้นกี่ครั้งในชุดของการสังเกต (การทดลอง) อิสระจำนวนหนึ่งที่ดำเนินการภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน

เพื่อความสะดวกและชัดเจน เราจะถือว่าเราทราบค่า p - ความน่าจะเป็นที่ผู้เยี่ยมชมร้านจะเป็นผู้ซื้อ และ (1 - p) = q - ความน่าจะเป็นที่ผู้เยี่ยมชมร้านจะไม่เป็นผู้ซื้อ

ถ้า X คือจำนวนผู้ซื้อจาก จำนวนทั้งหมดผู้เยี่ยมชม n คน ความน่าจะเป็นที่มีผู้ซื้อ k คนในบรรดาผู้เยี่ยมชม n คนคือ

P(X= k) = , โดยที่ k=0,1,…n 1)

สูตร (1) เรียกว่าสูตร Bernoulli ด้วยการทดลองจำนวนมาก การแจกแจงแบบทวินามมีแนวโน้มที่จะเป็นปกติ

การทดสอบเบอร์นูลลีเป็นการทดลองเชิงความน่าจะเป็นที่มีผลลัพธ์ 2 อย่าง ซึ่งโดยปกติเรียกว่า "สำเร็จ" (โดยปกติจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ 1) และ "ล้มเหลว" (แทนด้วย 0 ตามลำดับ) ความน่าจะเป็นของความสำเร็จมักจะแสดงด้วยตัวอักษร p ความล้มเหลว - ด้วยตัวอักษร q; แน่นอน q=1-p ค่า p เรียกว่าพารามิเตอร์การทดสอบ Bernoulli

ตัวแปรสุ่มทวินาม เรขาคณิต ปาสคาล และลบทวินามได้มาจากลำดับของการทดลองแบร์นูลลีอิสระ หากลำดับนี้ยุติไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หลังจากการทดลองครั้งที่ n หรือความสำเร็จครั้งที่ x เป็นเรื่องปกติที่จะใช้คำศัพท์ต่อไปนี้:

เป็นพารามิเตอร์การทดลอง Bernoulli (ความน่าจะเป็นของความสำเร็จในการทดลองเดียว);

– จำนวนการทดสอบ

– จำนวนความสำเร็จ

- จำนวนความล้มเหลว

ตัวแปรสุ่มทวินาม (m|n,p) คือจำนวน m ของความสำเร็จในการทดลอง n ครั้ง

ตัวแปรสุ่มทางเรขาคณิต G(m|p) คือจำนวน m ของการทดลองจนกระทั่งสำเร็จครั้งแรก (รวมถึงความสำเร็จครั้งแรกด้วย)

ตัวแปรสุ่มปาสคาล C(m|x,p) คือจำนวน m ของการทดลองจนกระทั่งสำเร็จครั้งที่ x (ไม่รวมถึงความสำเร็จครั้งที่ x ด้วย)

ตัวแปรสุ่มทวินามติดลบ Y(m|x,p) คือจำนวน m ของความล้มเหลวก่อนสำเร็จ x-th (ไม่รวมความสำเร็จ x-th)

หมายเหตุ: บางครั้งการแจกแจงแบบทวินามที่เป็นลบเรียกว่า ปาสคาล และในทางกลับกัน

การกระจายปัวซอง

2.1. คำจำกัดความของกฎของปัวซอง

ในปัญหาเชิงปฏิบัติมากมาย เราต้องจัดการกับตัวแปรสุ่มที่แจกแจงตามกฎเฉพาะซึ่งเรียกว่ากฎของปัวซอง

พิจารณาตัวแปรสุ่ม X ที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งสามารถรับเฉพาะค่าจำนวนเต็มและไม่เป็นลบ: 0, 1, 2, … , m, … ; และลำดับของค่าเหล่านี้ไม่ จำกัด ในทางทฤษฎี ตัวแปรสุ่ม X ได้รับการแจกแจงตามกฎของปัวซอง หากความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มมีค่า m แสดงอยู่ในสูตร:

โดยที่ a เป็นค่าบวก เรียกว่าพารามิเตอร์กฎปัวซอง

ช่วงการกระจาย ตัวแปรสุ่ม X กระจายตามกฎของปัวซอง มีลักษณะดังนี้:

xm				…	ม	…
น	อี			…		…

2.2. ลักษณะสำคัญของการแจกแจงแบบปัวซอง

ก่อนอื่น ตรวจสอบให้แน่ใจว่าลำดับของความน่าจะเป็นสามารถเป็นอนุกรมการกระจายได้ เช่น ผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมด Pm เท่ากับหนึ่ง

เราใช้ส่วนขยายของฟังก์ชัน ex ในซีรีส์ Maclaurin:

เป็นที่ทราบกันดีว่าอนุกรมนี้ลู่เข้าด้วยค่าใดๆ ของ x ดังนั้น เมื่อรับ x = a เราจะได้

เพราะเหตุนี้

เรามากำหนดลักษณะสำคัญ - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวน - ของตัวแปรสุ่ม X ซึ่งกระจายตามกฎของปัวซอง ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดและความน่าจะเป็น ตามนิยาม เมื่อตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องรับชุดค่าที่นับได้:

เทอมแรกของผลรวม (ตรงกับ m=0) เท่ากับศูนย์ ดังนั้น สามารถเริ่มต้นผลรวมจาก m=1:

ดังนั้น พารามิเตอร์ a จึงไม่มีอะไรมากไปกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม X

การกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม X เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของความเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

อย่างไรก็ตามการคำนวณโดยใช้สูตรจะสะดวกกว่า:

ดังนั้นเราจึงพบช่วงเวลาเริ่มต้นที่สองของ X ก่อน:

ตามที่เคยพิสูจน์มาแล้ว

นอกจาก,

2.3 ลักษณะเพิ่มเติมของการแจกแจงปัวซอง

I. โมเมนต์เริ่มต้นของลำดับ k ของตัวแปรสุ่ม X คือค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของค่า Xk:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ช่วงเวลาเริ่มต้นของลำดับแรกเท่ากับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ครั้งที่สอง โมเมนต์ศูนย์กลางของลำดับ k ของตัวแปรสุ่ม X คือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่า k:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โมเมนต์ศูนย์กลางของลำดับที่ 1 คือ 0:

μ1=M=0,

โมเมนต์ศูนย์กลางของลำดับที่ 2 เท่ากับการกระจาย:

μ2=M2=ก.

สาม. สำหรับตัวแปรสุ่ม X ที่กระจายตามกฎของปัวซอง เราพบความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะใช้ค่าไม่น้อยกว่า k ที่กำหนด เราระบุความน่าจะเป็นนี้โดย Rk:

แน่นอน ความน่าจะเป็น Rk สามารถคำนวณเป็นผลรวมได้

อย่างไรก็ตาม การพิจารณาจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามจะง่ายกว่ามาก:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความน่าจะเป็นที่ปริมาณ X จะมีค่าเป็นบวกแสดงอยู่ในสูตร

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ปัญหามากมายในทางปฏิบัตินำไปสู่การแจกแจงแบบปัวซอง พิจารณาหนึ่งในปัญหาทั่วไปของประเภทนี้

รูปที่ 2

ให้กระจายคะแนนแบบสุ่มบนแกน x Ox (รูปที่ 2) สมมติว่า การกระจายแบบสุ่มคะแนนเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) ความน่าจะเป็นที่จุดหนึ่งหรือหลายจุดตกในส่วน l ขึ้นอยู่กับความยาวของส่วนนี้เท่านั้น แต่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งบนแกน x กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดจะกระจายบนแกน x ด้วยความหนาแน่นเฉลี่ยเท่ากัน ให้เราแสดงความหนาแน่นนี้เช่น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนจุดต่อหน่วยความยาว ผ่าน λ

2) จุดกระจายบนแกน x เป็นอิสระจากกัน เช่น ความน่าจะเป็นที่คะแนนจำนวนหนึ่งจะตกในส่วนที่กำหนดไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนคะแนนที่ตกในส่วนอื่นที่ไม่ทับซ้อนกัน

3) ความน่าจะเป็นที่จุดสองจุดขึ้นไปกระทบพื้นที่ขนาดเล็ก Δx นั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับความน่าจะเป็นที่จะชนจุดหนึ่ง (เงื่อนไขนี้หมายความว่าจุดสองจุดขึ้นไปแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะตรงกัน)

ลองแยกส่วนของความยาว l บนแกน abscissa ออกมาแล้วพิจารณาตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง X - จำนวนจุดที่ตกในส่วนนี้ ค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณจะเป็น 0,1,2,…,m,… ซีรีส์นี้ดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด

ให้เราพิสูจน์ว่าตัวแปรสุ่ม X กระจายตามกฎของปัวซอง ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็น Pm ที่จุด m ตรงกับส่วน

ขอแก้เพิ่มเติมก่อน เป็นงานง่ายๆ. พิจารณาส่วนเล็กๆ Δx บนแกน Ox และคำนวณความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งจุดจะตกในส่วนนี้ เราจะโต้แย้งดังนี้ มูลค่าที่คาดหวังจำนวนจุดที่ตกในส่วนนี้เห็นได้ชัดว่าเท่ากับ λ·Δх (เพราะโดยเฉลี่ยแล้ว คะแนน λ จะตกตามความยาวของหน่วย) ตามเงื่อนไขที่ 3 สำหรับส่วนเล็ก ๆ Δx ความเป็นไปได้ที่จุดสองจุดขึ้นไปตกลงบนนั้นสามารถละเลยได้ ดังนั้น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ λ·Δх ของจำนวนจุดที่ตกในส่วน Δх จะประมาณเท่ากับความน่าจะเป็นที่จะชนจุดหนึ่งบนนั้น (หรืออย่างน้อยหนึ่งจุดซึ่งเทียบเท่าภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้)

ดังนั้นถึงน้อยมาก การสั่งซื้อสินค้าที่สูงขึ้นที่ Δх→0 เราสามารถพิจารณาความน่าจะเป็นที่จุดหนึ่ง (อย่างน้อยหนึ่งจุด) จะตกบนไซต์ Δх เท่ากับ λ·Δх และความน่าจะเป็นที่จะไม่มีจุดใดตกเลย เท่ากับ 1-c·Δх

ให้ใช้ค่านี้คำนวณความน่าจะเป็นของ Pm ที่จุด m ตรงกับส่วน l ลองแบ่งส่วน l ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน ตกลงที่จะเรียกส่วนพื้นฐานว่า Δx "ว่าง" ถ้าไม่มีคะแนน และ "ว่าง" ถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งจุดเข้าไป ตามข้างต้น ความน่าจะเป็นที่ส่วน Δx จะ "ถูกครอบครอง" มีค่าประมาณเท่ากับ λ·Δх= ; ความน่าจะเป็นที่จะ "ว่างเปล่า" เท่ากับ 1- เนื่องจากตามเงื่อนไข 2 การเข้าชมคะแนนในส่วนที่ไม่ทับซ้อนกันนั้นเป็นอิสระต่อกัน ดังนั้น n กลุ่มของเราจึงถือเป็น "การทดสอบ" ที่ไม่ขึ้นกับ n ครั้ง ซึ่งแต่ละกลุ่มสามารถ "ครอบครอง" ด้วยความน่าจะเป็น p= . ลองหาความน่าจะเป็นที่ใน n ส่วนจะมี m "ครอบครอง" อยู่พอดี โดยทฤษฎีบทการทดลองอิสระซ้ำ ๆ ความน่าจะเป็นนี้เท่ากับ

,

หรือแสดงว่า λl=a:

.

สำหรับ n ที่ใหญ่เพียงพอ ความน่าจะเป็นนี้จะมีค่าประมาณเท่ากับความน่าจะเป็นที่จุด m ตรงกับส่วน l เนื่องจาก การตีสองจุดขึ้นไปในส่วน Δx มีความน่าจะเป็นเล็กน้อย ในการหาค่าที่แน่นอนของ Pm เราต้องไปที่ลิมิตเป็น n→∞:

กำหนดว่า

,

เราพบว่าความน่าจะเป็นที่ต้องการแสดงโดยสูตร

โดยที่ a=λl เช่น ปริมาณ X กระจายตามกฎปัวซองโดยมีพารามิเตอร์ a=λl

ควรสังเกตว่าค่า a ในความหมายคือจำนวนคะแนนเฉลี่ยต่อส่วน l ค่าของ R1 (ความน่าจะเป็นที่ค่าของ X จะเป็นค่าบวก) ในกรณีนี้แสดงความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งจุดจะตกในส่วน l: R1=1-e-a

ดังนั้นเราจึงทำให้แน่ใจว่า การกระจายปัวซองเกิดขึ้นเมื่อบางจุด (หรือองค์ประกอบอื่นๆ) ครอบครองตำแหน่งแบบสุ่มโดยอิสระจากกัน และจำนวนของจุดเหล่านี้ที่ตกอยู่ในบางพื้นที่จะถูกนับ ในกรณีของเรา พื้นที่นี้คือส่วน l บนแกน x อย่างไรก็ตาม ข้อสรุปนี้สามารถขยายได้อย่างง่ายดายในกรณีของการกระจายของจุดในระนาบ (เขตข้อมูลแบบสุ่มของจุด) และในอวกาศ (เขตข้อมูลเชิงพื้นที่แบบสุ่ม) พิสูจน์ได้ง่ายว่าหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) คะแนนถูกกระจายอย่างสม่ำเสมอทางสถิติในสนามด้วยความหนาแน่นเฉลี่ย λ;

2) คะแนนตกอยู่ในภูมิภาคที่ไม่ทับซ้อนกันโดยอิสระ;

3) จุดปรากฏเดี่ยวๆ ไม่ใช่เป็นคู่ แฝดสาม ฯลฯ

จากนั้นจำนวนจุด X ที่ตกอยู่ในพื้นที่ใด ๆ D (แบนหรือเชิงพื้นที่) จะถูกแจกจ่ายตามกฎหมายปัวซอง:

,

โดยที่ a คือจำนวนคะแนนเฉลี่ยที่ตกลงในภูมิภาค D

สำหรับ เคสแบน a=SD λ โดยที่ SD คือพื้นที่ของพื้นที่ D

สำหรับเชิงพื้นที่ a= VD λ โดยที่ VD คือปริมาตรของพื้นที่ D

สำหรับการกระจายแบบปัวซองของจำนวนจุดที่ตกลงไปในส่วนหรือพื้นที่ เงื่อนไขของความหนาแน่นคงที่ (λ=const) ไม่จำเป็น หากตรงตามเงื่อนไขอีกสองข้อ กฎของปัวซองยังคงเกิดขึ้น เฉพาะพารามิเตอร์ a ในนั้นจะได้นิพจน์ที่แตกต่างกัน: ไม่ได้มาจากการคูณความหนาแน่น λ ด้วยความยาว พื้นที่ หรือปริมาตร แต่โดยการรวมความหนาแน่นตัวแปร บนส่วน พื้นที่ หรือปริมาตร

การแจกแจงปัวซองมีบทบาทสำคัญในหลายประเด็นทางฟิสิกส์ ทฤษฎีการสื่อสาร ทฤษฎีความน่าเชื่อถือ ทฤษฎีคิว ฯลฯ ทุกที่ที่มีเหตุการณ์สุ่มจำนวนหนึ่ง (การสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสี โทรศัพท์ อุปกรณ์ขัดข้อง อุบัติเหตุ ฯลฯ) สามารถเกิดขึ้นได้ในช่วงเวลาหนึ่ง

พิจารณาสถานการณ์โดยทั่วไปซึ่งเกิดการแจกแจงแบบปัวซอง ปล่อยให้เหตุการณ์บางอย่าง (การซื้อในร้านค้า) เกิดขึ้นในเวลาแบบสุ่ม ให้เรากำหนดจำนวนครั้งของเหตุการณ์ดังกล่าวในช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง T

จำนวนเหตุการณ์สุ่มที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง T ถูกแจกจ่ายตามกฎหมายปัวซองโดยมีพารามิเตอร์ l=aT โดยที่ a>0 เป็นพารามิเตอร์งานที่สะท้อนถึงความถี่เฉลี่ยของเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของการซื้อ k ครั้งในช่วงเวลาที่มาก (เช่น หนึ่งวัน) จะเป็น

บทสรุป

โดยสรุป ฉันต้องการทราบว่าการแจกแจงแบบปัวซองเป็นการแจกแจงที่ค่อนข้างธรรมดาและมีความสำคัญซึ่งมีการประยุกต์ใช้ทั้งในทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์ของมัน และในสถิติทางคณิตศาสตร์

ในที่สุดปัญหาในทางปฏิบัติมากมายก็มาถึงการแจกแจงแบบปัวซอง คุณสมบัติพิเศษของมัน ซึ่งประกอบด้วยความเท่าเทียมกันของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวน มักใช้ในทางปฏิบัติเพื่อตัดสินใจว่าตัวแปรสุ่มถูกแจกจ่ายตามกฎของปัวซองหรือไม่

ที่สำคัญอีกอย่างคือข้อเท็จจริงที่ว่ากฎของปัวซองทำให้สามารถค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองอิสระซ้ำๆ ที่ ในจำนวนมากการทำซ้ำของประสบการณ์และความน่าจะเป็นเพียงครั้งเดียว

อย่างไรก็ตาม การแจกแจงแบบเบอร์นูลลีถูกนำมาใช้ในการคำนวณทางเศรษฐศาสตร์ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์ความยั่งยืน นี่เป็นเพราะทั้งความยากลำบากในการคำนวณและความจริงที่ว่าการแจกแจงแบบเบอร์นูลลีมีไว้สำหรับ ปริมาณที่ไม่ต่อเนื่องและด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าเงื่อนไขของโครงร่างแบบคลาสสิก (ความเป็นอิสระ จำนวนการทดลองที่นับได้ ความแปรปรวนของเงื่อนไขที่ส่งผลต่อความเป็นไปได้ของเหตุการณ์) มักไม่เป็นไปตามสถานการณ์จริงเสมอไป การวิจัยเพิ่มเติมในด้านการวิเคราะห์โครงการ Bernoulli ซึ่งดำเนินการในศตวรรษที่ XVIII-XIX Laplace, Moivre, Poisson และอื่น ๆ มีเป้าหมายเพื่อสร้างความเป็นไปได้ในการใช้แบบแผน Bernoulli ในกรณีของการทดสอบจำนวนมากที่มีแนวโน้มไม่มีที่สิ้นสุด

วรรณกรรม

1. เวนท์เซล อี.เอส. ทฤษฎีความน่าจะเป็น. - ม., "โรงเรียนมัธยม" 2541

2. Gmurman V.E. คู่มือการแก้ปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ - ม., "โรงเรียนมัธยม" 2541

3. ประมวลปัญหาคณิตศาสตร์สำหรับสถาบันอุดมศึกษา. เอ็ด Efimova A.V. - ม., วิทยาศาสตร์ 2533

การแจกแจงแบบทวินามใช้กับกรณีตัวอย่างที่มีขนาดคงที่ การแจกแจงแบบปัวซองหมายถึงกรณีที่ จำนวนเหตุการณ์สุ่มที่เกิดขึ้นที่ความยาว พื้นที่ ปริมาณ หรือเวลาที่แน่นอน ในขณะที่พารามิเตอร์กำหนดของการแจกแจงคือจำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ ไม่ใช่ขนาดตัวอย่าง พีและอัตราความสำเร็จ ร.ตัวอย่างเช่น จำนวนความไม่สอดคล้องในตัวอย่างหรือจำนวนความไม่สอดคล้องต่อหน่วยของผลิตภัณฑ์

การแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับจำนวนความสำเร็จ เอ็กซ์มีรูปแบบดังนี้

หรือเราเรียกว่าตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องก็ได้ เอ็กซ์กระจายตามกฎของปัวซองหากค่าที่เป็นไปได้คือ 0.1, 2, ...เ, ...พี,และความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของค่าดังกล่าวถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์:

(14)

ที่ไหน ม หรือ λ เป็นค่าบวก เรียกว่าพารามิเตอร์การแจกแจงแบบปัวซอง

กฎของปัวซองใช้กับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น "ไม่บ่อย" ในขณะที่ความเป็นไปได้ของความสำเร็จอื่น (เช่น ความล้มเหลว) นั้นต่อเนื่อง คงที่ และไม่ขึ้นอยู่กับจำนวนของความสำเร็จหรือความล้มเหลวก่อนหน้านี้ (เมื่อพูดถึงกระบวนการที่พัฒนาเมื่อเวลาผ่านไป สิ่งนี้ เรียกว่า "ความเป็นอิสระจากอดีต") ตัวอย่างคลาสสิกที่ใช้กฎของปัวซองคือจำนวนการโทรที่ชุมสายโทรศัพท์ในช่วงเวลาที่กำหนด ตัวอย่างอื่นๆ อาจเป็นจำนวนรอยเปื้อนหมึกบนหน้าต้นฉบับที่เลอะเทอะ หรือจำนวนจุดบนตัวรถระหว่างการพ่นสี กฎหมายการกระจายของปัวซองวัดจำนวนของข้อบกพร่อง ไม่ใช่จำนวนของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่อง

การแจกแจงปัวซองเป็นไปตามจำนวนเหตุการณ์สุ่มที่ปรากฏในช่วงเวลาคงที่หรือในพื้นที่คงที่ สำหรับ λ<1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m то, a при λ>1 ค่าของ P(m) พร้อมการเติบโต ที ผ่านค่าสูงสุดใกล้ /

คุณลักษณะของการแจกแจงปัวซองคือความเท่าเทียมกันของความแปรปรวนกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ พารามิเตอร์การแจกแจงปัวซอง

ม(x) = σ 2 = λ (15)

คุณลักษณะของการแจกแจงแบบปัวซองช่วยให้เราระบุในทางปฏิบัติว่าการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่ได้รับจากการทดลองนั้นขึ้นอยู่กับการแจกแจงแบบปัวซองหากค่าตัวอย่างของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนมีค่าใกล้เคียงกันโดยประมาณ

กฎของเหตุการณ์ที่หายากถูกนำมาใช้ในวิศวกรรมเครื่องกลสำหรับการสุ่มตัวอย่าง ผลิตภัณฑ์สำเร็จรูปเมื่อตามเงื่อนไขทางเทคนิคอนุญาตให้มีข้อบกพร่องจำนวนหนึ่ง (โดยปกติจะเล็กน้อย) ในชุดผลิตภัณฑ์ที่ยอมรับ q<<0.1.

หากความน่าจะเป็น q ของเหตุการณ์ A น้อยมาก (q≤0.1) และจำนวนการทดลองมีมาก ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น m ครั้งในการทดลอง n ครั้งจะเท่ากับ

,

โดยที่ λ = M(x) = nq

ในการคำนวณการแจกแจงปัวซอง คุณสามารถใช้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำต่อไปนี้

และ (16)

การแจกแจงแบบปัวซองมีบทบาทสำคัญในวิธีการประกันคุณภาพทางสถิติ เนื่องจากสามารถใช้เพื่อประมาณการแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกและทวินามได้

การประมาณดังกล่าวยอมรับได้เมื่อ , โดยมีเงื่อนไขว่า qn มีขีดจำกัดที่แน่นอนและ q<0.1. Когда n →∞, ก พี → 0, เฉลี่ย n พี = t =คอสต์

เมื่อใช้กฎของเหตุการณ์ที่หายาก คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่ตัวอย่าง n อันจะมี: 0,1,2,3 เป็นต้น ชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่องเช่น กำหนด m ครั้ง คุณยังสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นในตัวอย่างชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่องจำนวน m ชิ้นและอีกมากมาย ความน่าจะเป็นนี้ ตามกฎการบวกของความน่าจะเป็น จะเท่ากับ:

ตัวอย่างที่ 1. ชุดประกอบด้วยชิ้นส่วนที่ชำรุดซึ่งเป็นสัดส่วน 0.1 ชิ้นส่วน 10 ชิ้นจะถูกตรวจสอบและตรวจสอบตามลำดับ หลังจากนั้นจะถูกส่งกลับไปยังแบทช์ เช่น การทดสอบเป็นอิสระ ความน่าจะเป็นที่เมื่อตรวจสอบชิ้นส่วน 10 ชิ้น จะพบชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่อง 1 ชิ้นเป็นเท่าใด

การตัดสินใจจากเงื่อนไขของปัญหา q=0.1; n=10; m=1 แน่นอน p=1-q=0.9

ผลลัพธ์ที่ได้ยังสามารถนำมาประกอบกับกรณีที่มีการถอดชิ้นส่วน 10 ชิ้นในแถวโดยไม่ส่งคืนกลับไปที่แบทช์ ด้วยชุดที่ใหญ่เพียงพอ เช่น 1,000 ชิ้น ความน่าจะเป็นในการแยกชิ้นส่วนจะเปลี่ยนไปเล็กน้อย ดังนั้น ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว การถอดชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่องออกจึงถือเป็นเหตุการณ์ที่ไม่ขึ้นกับผลการทดสอบครั้งก่อน

ตัวอย่างที่ 2ชุดประกอบด้วย 1% ของชิ้นส่วนที่ชำรุด ความน่าจะเป็นที่หากนำตัวอย่าง 50 หน่วยจากชุดหนึ่งๆ จะมีชิ้นส่วนที่ชำรุด 0, 1, 2, 3,4 อยู่เท่าใด

การตัดสินใจ.ที่นี่ q=0.01, nq=50*0.01=0.5

ดังนั้น เพื่อใช้การแจกแจงปัวซองอย่างมีประสิทธิภาพเป็นการประมาณของทวินาม มันจำเป็นที่ความน่าจะเป็นของความสำเร็จ รน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด คิว .ก n พี = tเป็นลำดับหนึ่ง (หรือหลายหน่วย)

ดังนั้นในวิธีการประกันคุณภาพทางสถิติ

กฎหมายไฮเปอร์จีโอเมตริกใช้ได้กับตัวอย่างทุกขนาด พี และความไม่ลงรอยกันในระดับใด ถาม ,

กฎทวินามและกฎของปัวซอง เป็นกรณีพิเศษตามลำดับ โดยมีเงื่อนไขว่า n/N<0,1 и

กรณีทั่วไปที่สุดของการแจกแจงความน่าจะเป็นประเภทต่างๆ คือการแจกแจงแบบทวินาม ให้เราใช้ความเป็นสากลเพื่อกำหนดประเภทของการแจกแจงที่พบได้บ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ

การกระจายทวินาม

ให้มีเหตุการณ์บางอย่าง A . ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เท่ากับ หน้าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะไม่เกิดขึ้นคือ 1 หน้าซึ่งบางครั้งเรียกว่า ถาม. ปล่อย นจำนวนการทดลอง มความถี่ของการเกิดเหตุการณ์ A ในสิ่งเหล่านี้ นการทดสอบ

เป็นที่ทราบกันว่าความน่าจะเป็นรวมของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง นั่นคือ:

1 = หน้า น + น · หน้า น 1 (1 หน้า) + ค น น 2 · หน้า น 2 (1 หน้า) 2 + + ค น ม · หน้า ม(1 หน้า) น – ม+ + (1 หน้า) น .

หน้า นความน่าจะเป็นใน นนครั้งหนึ่ง; น · หน้า น 1 (1 หน้า) ความน่าจะเป็นใน นน 1) ครั้งเดียวและจะไม่เกิดขึ้น 1 ครั้ง; ค น น 2 · หน้า น 2 (1 หน้า) 2 ความน่าจะเป็นใน นการทดสอบ เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น ( น 2) ครั้ง และจะไม่เกิดขึ้น 2 ครั้ง; พี ม = ค น ม · หน้า ม(1 หน้า) น – ม ความน่าจะเป็นใน นเหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น มครั้งเดียวและจะไม่เกิดขึ้น น – ม) ครั้งหนึ่ง; (1 หน้า) นความน่าจะเป็นใน นในการทดลอง เหตุการณ์ A จะไม่เกิดขึ้น จำนวนชุดค่าผสมจาก นบน ม .

มูลค่าที่คาดหวัง มการแจกแจงแบบทวินามคือ:

ม = น · หน้า ,

ที่ไหน นจำนวนการทดลอง หน้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ :

σ = sqrt( น · หน้า(1 หน้า)) .

ตัวอย่างที่ 1 . คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็น หน้า= 0.5 นิ้ว น= 10 การทดลองจะเกิดขึ้น ม= 1 ครั้ง เรามี: ค 10 1 = 10 และอื่น ๆ : พี 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.0098. อย่างที่คุณเห็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้เกิดขึ้นค่อนข้างน้อย สิ่งนี้อธิบายได้ประการแรกเนื่องจากไม่ชัดเจนว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นหรือไม่เนื่องจากความน่าจะเป็นคือ 0.5 และโอกาสที่นี่คือ "50 ถึง 50" และประการที่สอง จำเป็นต้องคำนวณว่าเหตุการณ์จะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว (ไม่มากและไม่น้อย) จากสิบ

ตัวอย่างที่ 2 . คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็น หน้า= 0.5 นิ้ว น= 10 การทดลองจะเกิดขึ้น ม= 2 ครั้ง เรามี: ค 10 2 \u003d 45 และอื่น ๆ: พี 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.044. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้เพิ่มขึ้น!

ตัวอย่างที่ 3 . มาเพิ่มความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์นั้นเอง มาทำให้มีโอกาสมากขึ้นกันเถอะ คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็น หน้า= 0.8 นิ้ว น= 10 การทดลองจะเกิดขึ้น ม= 1 ครั้ง เรามี: ค 10 1 = 10 และอื่น ๆ : พี 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.000004. ความน่าจะเป็นน้อยกว่าในตัวอย่างแรก! เมื่อมองแวบแรก คำตอบอาจดูแปลก แต่เนื่องจากเหตุการณ์นี้มีความเป็นไปได้สูงพอสมควร จึงไม่น่าเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว มีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้งจำนวนครั้ง แน่นอนนับ พี 0 , พี 1 , พี 2 , พี 3, ½, พี 10 (ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ใน น= การทดลอง 10 ครั้งจะเกิดขึ้น 0, 1, 2, 3, , 10 ครั้ง) เราจะเห็น:

ค 10 0 = 1 , ค 10 1 = 10 , ค 10 2 = 45 , ค 10 3 = 120 , ค 10 4 = 210 , ค 10 5 = 252 ,
ค 10 6 = 210 , ค 10 7 = 120 , ค 10 8 = 45 , ค 10 9 = 10 , ค 10 10 = 1 ;

พี 0 = 1 0.8 0 (1 0.8) 10 0 = 1 1 0.2 10 = 0.0000;
พี 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.0000;
พี 2 = 45 0.8 2 (1 0.8) 10 2 = 45 0.8 2 0.2 8 = 0.0000;
พี 3 = 120 0.8 3 (1 0.8) 10 3 = 120 0.8 3 0.2 7 = 0.0008;
พี 4 = 210 0.8 4 (1 0.8) 10 4 = 210 0.8 4 0.2 6 = 0.0055;
พี 5 = 252 0.8 5 (1 0.8) 10 5 = 252 0.8 5 0.2 5 = 0.0264;
พี 6 = 210 0.8 6 (1 0.8) 10 6 = 210 0.8 6 0.2 4 = 0.0881;
พี 7 = 120 0.8 7 (1 0.8) 10 7 = 120 0.8 7 0.2 3 = 0.2556;
พี 8 = 45 0.8 8 (1 0.8) 10 8 = 45 0.8 8 0.2 2 = 0.3020(เป็นไปได้มากที่สุด!);
พี 9 = 10 0.8 9 (1 0.8) 10 9 = 10 0.8 9 0.2 1 = 0.2684;
พี 10 = 1 0.8 10 (1 0.8) 10 10 = 1 0.8 10 0.2 0 = 0.1074

แน่นอน พี 0 + พี 1 + พี 2 + พี 3 + พี 4 + พี 5 + พี 6 + พี 7 + พี 8 + พี 9 + พี 10 = 1 .

การแจกแจงแบบปกติ

ถ้าเราแสดงปริมาณ พี 0 , พี 1 , พี 2 , พี 3, ½, พี 10 ซึ่งเราคำนวณในตัวอย่างที่ 3 บนกราฟ ปรากฎว่าการแจกแจงมีรูปแบบใกล้เคียงกับกฎการแจกแจงแบบปกติ (ดูรูปที่ 27.1) (ดูการบรรยาย 25 การสร้างแบบจำลองตัวแปรสุ่มแบบกระจายตามปกติ)

ข้าว. 27.1. ชนิดของการกระจายทวินาม
ความน่าจะเป็นสำหรับ m ต่างๆ ที่ p = 0.8, n = 10

กฎทวินามจะกลายเป็นปกติถ้าความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นและการไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ใกล้เคียงกัน นั่นคือ เราสามารถเขียนแบบมีเงื่อนไขได้: หน้า≈ (1 หน้า) . ตัวอย่างเช่นลองมา น= 10 และ หน้า= 0.5 (เช่น หน้า= 1 หน้า = 0.5 ).

เราจะมาถึงปัญหาดังกล่าวในทางที่มีความหมาย ตัวอย่างเช่น เราต้องการคำนวณในทางทฤษฎีว่าจะมีเด็กผู้ชายกี่คนและเด็กผู้หญิงกี่คนจากเด็ก 10 คนที่เกิดในโรงพยาบาลแม่ในวันเดียวกัน แม่นยำยิ่งขึ้น เราจะพิจารณาไม่ใช่เด็กชายและเด็กหญิง แต่ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเฉพาะเด็กชายเท่านั้น เด็กชาย 1 คนและเด็กหญิง 9 คนจะเกิด เด็กชาย 2 คนและเด็กหญิง 8 คนจะเกิดเป็นต้น เพื่อความง่าย เราจะถือว่าความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชายและเด็กหญิงเท่ากันและเท่ากับ 0.5 (แต่อันที่จริงแล้ว ความจริงแล้ว นี่ไม่ใช่กรณี ดูหลักสูตร "การสร้างแบบจำลองระบบปัญญาประดิษฐ์")

เป็นที่ชัดเจนว่าการกระจายจะเป็นแบบสมมาตรเนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชาย 3 คนและเด็กหญิง 7 คนเท่ากับความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชาย 7 คนและเด็กหญิง 3 คน ความน่าจะเป็นสูงสุดในการเกิดจะเป็นเด็กชาย 5 คนและเด็กหญิง 5 คน ความน่าจะเป็นนี้เท่ากับ 0.25 อย่างไรก็ตาม มันไม่ได้มีค่าสัมบูรณ์มากขนาดนั้น นอกจากนี้ ความน่าจะเป็นที่เด็กผู้ชาย 10 หรือ 9 คนจะเกิดพร้อมกันนั้นน้อยกว่าความน่าจะเป็นที่เด็กผู้ชาย 5 ± 1 คนจากเด็ก 10 คนจะเกิด การแจกแจงแบบทวินามจะช่วยเราในการคำนวณนี้ได้ ดังนั้น.

ค 10 0 = 1 , ค 10 1 = 10 , ค 10 2 = 45 , ค 10 3 = 120 , ค 10 4 = 210 , ค 10 5 = 252 ,
ค 10 6 = 210 , ค 10 7 = 120 , ค 10 8 = 45 , ค 10 9 = 10 , ค 10 10 = 1 ;

พี 0 = 1 0.5 0 (1 0.5) 10 0 = 1 1 0.5 10 = 0.000977;
พี 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.009766;
พี 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.043945;
พี 3 = 120 0.5 3 (1 0.5) 10 3 = 120 0.5 10 = 0.117188;
พี 4 = 210 0.5 4 (1 0.5) 10 4 = 210 0.5 10 = 0.205078;
พี 5 = 252 0.5 5 (1 0.5) 10 5 = 252 0.5 10 = 0.246094;
พี 6 = 210 0.5 6 (1 0.5) 10 6 = 210 0.5 10 = 0.205078;
พี 7 = 120 0.5 7 (1 0.5) 10 7 = 120 0.5 10 = 0.117188;
พี 8 = 45 0.5 8 (1 0.5) 10 8 = 45 0.5 10 = 0.043945;
พี 9 = 10 0.5 9 (1 0.5) 10 9 = 10 0.5 10 = 0.009766;
พี 10 = 1 0.5 10 (1 0.5) 10 10 = 1 0.5 10 = 0.000977

แน่นอน พี 0 + พี 1 + พี 2 + พี 3 + พี 4 + พี 5 + พี 6 + พี 7 + พี 8 + พี 9 + พี 10 = 1 .

เราจะสะท้อนค่าในกราฟ พี 0 , พี 1 , พี 2 , พี 3, ½, พี 10 (ดูรูปที่ 27.2)

ข้าว. 27.2. พล็อตการแจกแจงแบบทวินามภายใต้พารามิเตอร์
p = 0.5 และ n = 10 ทำให้เข้าใกล้กฎปกติมากขึ้น

ดังนั้นภายใต้เงื่อนไข ม ≈ น/2 และ หน้า≈ 1 หน้าหรือ หน้า≈ 0.5 แทนการแจกแจงแบบทวินาม คุณสามารถใช้แบบปกติได้ สำหรับค่าขนาดใหญ่ นกราฟจะเลื่อนไปทางขวาและราบเรียบขึ้นเมื่อค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเพิ่มขึ้นตามการเพิ่มขึ้น น : ม = น · หน้า , ง = น · หน้า(1 หน้า) .

อย่างไรก็ตาม กฎทวินามมีแนวโน้มที่จะเป็นปกติและเพิ่มขึ้น นซึ่งค่อนข้างเป็นธรรมชาติตามทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง (ดูการบรรยาย 34 การแก้ไขและประมวลผลผลลัพธ์ทางสถิติ)

ตอนนี้พิจารณาว่ากฎทวินามมีการเปลี่ยนแปลงอย่างไรในกรณีที่ หน้า ≠ ถาม, นั่นคือ หน้า> 0 . ในกรณีนี้ ไม่สามารถใช้สมมติฐานของความปกติของการแจกแจงได้ และการแจกแจงแบบทวินามจะกลายเป็นการแจกแจงแบบปัวซอง

การกระจายปัวซอง

การแจกแจงปัวซองเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแบบทวินาม (เมื่อ น>> 0 และที่ หน้า> 0 (เหตุการณ์ที่หายาก))

จากคณิตศาสตร์ เป็นที่ทราบกันดีว่ามีสูตรที่ช่วยให้คุณคำนวณค่าของสมาชิกใดๆ ของการแจกแจงแบบทวินามอย่างคร่าวๆ:

ที่ไหน ก = น · หน้า พารามิเตอร์ปัวซอง (ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์) และความแปรปรวนจะเท่ากับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ให้เรานำเสนอการคำนวณทางคณิตศาสตร์เพื่ออธิบายการเปลี่ยนแปลงนี้ กฎการกระจายทวินาม

พี ม = ค น ม · หน้า ม(1 หน้า) น – ม

เขียนได้ถ้าเราใส่ หน้า = ก/น , เช่น

เนื่องจาก หน้าน้อยมาก ควรพิจารณาเฉพาะตัวเลขเท่านั้น มขนาดเล็กเมื่อเทียบกับ น. งาน

ใกล้ความสามัคคีมาก เช่นเดียวกับขนาด

ค่า

ใกล้มาก อี – ก. จากที่นี่เราได้สูตร:

ตัวอย่าง. ในกล่องมี น= 100 ส่วน ทั้งดีและเสีย. ความน่าจะเป็นที่จะได้สินค้าที่มีข้อบกพร่องคือ หน้า= 0.01 . สมมติว่าเรานำผลิตภัณฑ์ออก ตรวจสอบว่ามีข้อบกพร่องหรือไม่ และนำกลับคืน เมื่อทำเช่นนั้น ปรากฎว่าจากสินค้า 100 รายการที่เราคัดออก มีข้อบกพร่อง 2 รายการ ความน่าจะเป็นของสิ่งนี้คืออะไร?

จากการแจกแจงแบบทวินาม เราได้รับ:

จากการแจกแจงแบบปัวซอง เราได้รับ:

อย่างที่คุณเห็นค่านั้นใกล้เคียงกันดังนั้นในกรณีของเหตุการณ์ที่หายากจึงค่อนข้างเป็นที่ยอมรับในการใช้กฎหมายปัวซองโดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากต้องใช้ความพยายามในการคำนวณน้อยลง

เราแสดงรูปแบบของกฎปัวซองแบบกราฟิก ลองใช้พารามิเตอร์เป็นตัวอย่าง หน้า = 0.05 , น= 10 . แล้ว:

ค 10 0 = 1 , ค 10 1 = 10 , ค 10 2 = 45 , ค 10 3 = 120 , ค 10 4 = 210 , ค 10 5 = 252 ,
ค 10 6 = 210 , ค 10 7 = 120 , ค 10 8 = 45 , ค 10 9 = 10 , ค 10 10 = 1 ;

พี 0 = 1 0.05 0 (1 0.05) 10 0 = 1 1 0.95 10 = 0.5987;
พี 1 = 10 0.05 1 (1 0.05) 10 1 = 10 0.05 1 0.95 9 = 0.3151;
พี 2 = 45 0.05 2 (1 0.05) 10 2 = 45 0.05 2 0.95 8 = 0.0746;
พี 3 = 120 0.05 3 (1 0.05) 10 3 = 120 0.05 3 0.95 7 = 0.0105;
พี 4 = 210 0.05 4 (1 0.05) 10 4 = 210 0.05 4 0.95 6 = 0.00096;
พี 5 = 252 0.05 5 (1 0.05) 10 5 = 252 0.05 5 0.95 5 = 0.00006;
พี 6 = 210 0.05 6 (1 0.05) 10 6 = 210 0.05 6 0.95 4 = 0.0000;
พี 7 = 120 0.05 7 (1 0.05) 10 7 = 120 0.05 7 0.95 3 = 0.0000;
พี 8 = 45 0.05 8 (1 0.05) 10 8 = 45 0.05 8 0.95 2 = 0.0000;
พี 9 = 10 0.05 9 (1 0.05) 10 9 = 10 0.05 9 0.95 1 = 0.0000;
พี 10 = 1 0.05 10 (1 0.05) 10 10 = 1 0.05 10 0.95 0 = 0.0000

แน่นอน พี 0 + พี 1 + พี 2 + พี 3 + พี 4 + พี 5 + พี 6 + พี 7 + พี 8 + พี 9 + พี 10 = 1 .

ข้าว. 27.3. พล็อตการกระจายปัวซองที่ p = 0.05 และ n = 10

ที่ น> ∞ การแจกแจงแบบปัวซองกลายเป็นปกติตามทฤษฎีบทลิมิตกลาง (ดู

พิจารณาการแจกแจงแบบปัวซอง คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน ฐานนิยม การใช้ฟังก์ชัน MS EXCEL POISSON.DIST() เราจะพล็อตฟังก์ชันการกระจายและกราฟความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ลองประมาณค่าพารามิเตอร์การแจกแจง ค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

อันดับแรก เราให้คำจำกัดความของการแจกแจงแบบเป็นทางการแบบแห้ง จากนั้นเราจะยกตัวอย่างสถานการณ์ที่ การกระจายปัวซอง(ภาษาอังกฤษ) ปัวซองการกระจาย) เป็นแบบจำลองที่เพียงพอสำหรับการอธิบายตัวแปรสุ่ม

หากเหตุการณ์สุ่มเกิดขึ้นในช่วงเวลาที่กำหนด (หรือในสสารปริมาณหนึ่งๆ) โดยมีความถี่เฉลี่ย λ( แลมบ์ดา) แล้วจำนวนเหตุการณ์ x, ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลานี้จะมี การกระจายปัวซอง.

การใช้การกระจายปัวซง

ตัวอย่าง เมื่อ การกระจายปัวซองเป็นรูปแบบที่เหมาะสม:

• จำนวนสายที่ได้รับจากชุมสายโทรศัพท์ในช่วงเวลาหนึ่ง
• จำนวนอนุภาคที่ผ่านการสลายกัมมันตภาพรังสีในช่วงเวลาที่กำหนด
• จำนวนข้อบกพร่องในชิ้นส่วนของผ้าที่มีความยาวคงที่

การกระจายปัวซองเป็นแบบจำลองที่เพียงพอหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

• เหตุการณ์เกิดขึ้นโดยอิสระจากกัน กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ตามมาไม่ได้ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ก่อนหน้า
• ความถี่เฉลี่ยของเหตุการณ์คงที่ ผลที่ตามมา ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเป็นสัดส่วนกับความยาวของช่วงเวลาการสังเกต
• เหตุการณ์สองเหตุการณ์ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้
• จำนวนเหตุการณ์ต้องใช้ค่า 0; 1; 2…

บันทึก: เงื่อนงำที่ดีที่ตัวแปรสุ่มที่สังเกตได้ การกระจายปัวซอง,เป็นข้อเท็จจริงที่ประมาณเท่ากัน (ดูด้านล่าง)

ต่อไปนี้คือตัวอย่างสถานการณ์ที่ การกระจายปัวซอง ไม่ได้นำไปใช้:

• จำนวนนักเรียนที่ออกจากมหาวิทยาลัยภายในหนึ่งชั่วโมง (เนื่องจากการไหลเวียนของนักเรียนโดยเฉลี่ยไม่คงที่: มีนักเรียนไม่กี่คนในชั้นเรียนและจำนวนนักเรียนเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วระหว่างชั้นเรียน)
• จำนวนแผ่นดินไหวที่มีแอมพลิจูด 5 จุดต่อปีในแคลิฟอร์เนีย (เนื่องจากแผ่นดินไหวหนึ่งครั้งอาจทำให้เกิดการกระแทกซ้ำในแอมพลิจูดที่คล้ายกัน - เหตุการณ์ไม่เป็นอิสระ)
• จำนวนวันที่ผู้ป่วยอยู่ในหอผู้ป่วยหนัก (เนื่องจากจำนวนวันที่ผู้ป่วยอยู่ในหอผู้ป่วยหนักจะมากกว่า 0 เสมอ)

บันทึก: การกระจายปัวซองเป็นการประมาณที่แม่นยำกว่า การแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง: และ .

บันทึก: เกี่ยวกับความสัมพันธ์ การกระจายปัวซองและ การกระจายทวินาม สามารถอ่านได้ในบทความ เกี่ยวกับความสัมพันธ์ การกระจายปัวซองและ การกระจายแบบเลขชี้กำลังได้ในบทความเรื่อง

การกระจายปัวซองใน MS EXCEL

ใน MS EXCEL เริ่มตั้งแต่เวอร์ชัน 2010 สำหรับ การกระจาย ปัวซองมีฟังก์ชัน POISSON.DIST() , ชื่อเรื่องภาษาอังกฤษ- POISSON.DIST() ซึ่งช่วยให้คุณคำนวณไม่เพียงแต่ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นในช่วงเวลาที่กำหนดเท่านั้น เอ็กซ์เหตุการณ์ (ฟังก์ชั่น ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น p(x) ดูสูตรด้านบน) แต่ยัง (ความน่าจะเป็นในช่วงเวลาที่กำหนดเป็นอย่างน้อย xเหตุการณ์).

ก่อน MS EXCEL 2010 EXCEL มีฟังก์ชัน POISSON() ซึ่งช่วยให้คุณคำนวณ ฟังก์ชันการกระจายและ ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นพี(x). POISSON() ถูกทิ้งไว้ใน MS EXCEL 2010 เพื่อความเข้ากันได้

ไฟล์ตัวอย่างประกอบด้วยกราฟ ความหนาแน่นของการกระจายความน่าจะเป็นและ ฟังก์ชันการกระจายแบบอินทิกรัล.

การกระจายปัวซองมีรูปร่างที่เบ้ (หางยาวทางด้านขวาของฟังก์ชันความน่าจะเป็น) แต่เมื่อพารามิเตอร์ λ เพิ่มขึ้น มันก็จะมีความสมมาตรมากขึ้นเรื่อยๆ

บันทึก: เฉลี่ยและ การกระจายตัว(สี่เหลี่ยมจัตุรัส) เท่ากับพารามิเตอร์ การกระจายปัวซอง– λ (ดู ตัวอย่างไฟล์ชีท ตัวอย่าง).

งาน

แอปพลิเคชันทั่วไป การกระจายปัวซองในการควบคุมคุณภาพ เป็นแบบจำลองของจำนวนข้อบกพร่องที่สามารถปรากฏในอุปกรณ์หรืออุปกรณ์หนึ่งๆ

ตัวอย่างเช่น หากจำนวนข้อบกพร่องโดยเฉลี่ยในชิป λ (แลมบ์ดา) คือ 4 ความน่าจะเป็นที่ชิปที่เลือกแบบสุ่มจะมีข้อบกพร่อง 2 รายการหรือน้อยกว่านั้นเท่ากับ: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0.2381

พารามิเตอร์ที่สามในฟังก์ชันถูกตั้งค่า = TRUE ดังนั้นฟังก์ชันจะส่งกลับ ฟังก์ชันการกระจายแบบอินทิกรัลนั่นคือ ความน่าจะเป็นที่จำนวนเหตุการณ์สุ่มจะอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 4 รวม

การคำนวณในกรณีนี้ทำตามสูตร:

ความน่าจะเป็นที่ชิปที่สุ่มเลือกจะมีข้อบกพร่อง 2 ข้อคือ: POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0.1465

ตั้งค่าพารามิเตอร์ที่สามในฟังก์ชัน = FALSE ดังนั้นฟังก์ชันจะส่งกลับค่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นที่ชิปที่สุ่มเลือกจะมีข้อบกพร่องมากกว่า 2 ชิ้นเท่ากับ: \u003d 1-POISSON.DIST (2, 4, TRUE) \u003d 0.8535

บันทึก: ถ้า xไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้น เมื่อคำนวณตามสูตร สูตร =POISSON.DIST( 2 ; สี่; โกหก)และ =POISSON.DIST( 2,9 ; สี่; โกหก)จะส่งกลับผลลัพธ์เดียวกัน

การสร้างตัวเลขสุ่มและการประมาณค่า λ

สำหรับค่า λ >15 , การกระจายปัวซองประมาณได้ดี การแจกแจงแบบปกติ ด้วยพารามิเตอร์ต่อไปนี้: μ =λ , σ 2 =λ .

คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงเหล่านี้ได้ในบทความ มีการให้ตัวอย่างการประมาณค่าไว้ที่นั่น และมีการอธิบายเงื่อนไขเมื่อเป็นไปได้และแม่นยำเพียงใด

คำแนะนำ: คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับการแจกจ่าย MS EXCEL อื่น ๆ ได้ในบทความ

โดยที่ λ เท่ากับจำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระเดียวกัน นั่นคือ λ = n × p โดยที่ p คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองหนึ่งครั้ง e = 2.71828

ชุดการกระจายของกฎของปัวซองมีรูปแบบ:

การกำหนดบริการ. เครื่องคิดเลขออนไลน์ใช้เพื่อสร้างการแจกแจงแบบปัวซองและคำนวณคุณลักษณะทั้งหมดของชุดข้อมูล: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน รายงานที่มีการตัดสินใจนั้นจัดทำขึ้นในรูปแบบ Word

จำนวนการทดลอง: n= , ความน่าจะเป็น p =
คำนวณความน่าจะเป็นสำหรับ:เมตร =
จะมา ครั้งหนึ่ง
น้อย ครั้งหนึ่ง
อย่างน้อย ครั้งหนึ่ง
มากกว่า ครั้งหนึ่ง
ไม่มีอีกแล้ว ครั้งหนึ่ง
อย่างน้อย และไม่มีอีกต่อไป ครั้งหนึ่ง
มาอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

ในกรณีที่ n มีค่ามาก และ λ = p n > 10 สูตรปัวซองจะให้ค่าประมาณที่หยาบมาก และจะใช้ทฤษฎีบทท้องถิ่นและอินทิกรัล Moivre-Laplace ในการคำนวณ P n (m)

ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม X

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงปัวซอง
ม[X] = λ

ความแปรปรวนของการแจกแจงปัวซอง
D[X] = λ

ตัวอย่าง #1 เมล็ดมีวัชพืช 0.1% ความน่าจะเป็นที่จะพบเมล็ดวัชพืช 5 เมล็ดในการสุ่มเลือก 2,000 เมล็ดเป็นเท่าใด
การตัดสินใจ.
ความน่าจะเป็น p มีน้อย และจำนวน n มีมาก np = 2 P(5) = λ 5 อี -5 /5! = 0.03609
มูลค่าที่คาดหวัง: ม[X] = λ = 2
การกระจายตัว: D[X] = λ = 2

ตัวอย่าง #2 มีเมล็ดวัชพืช 0.4% ในเมล็ดข้าวไรย์ วาดกฎการกระจายจำนวนวัชพืชด้วยการสุ่มเลือก 5,000 เมล็ด ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้
การตัดสินใจ. ความคาดหวัง: M[X] = λ = 0.004*5000 = 20 ความแปรปรวน: D[X] = λ = 20
กฎหมายการกระจาย:

เอ็กซ์	0	1	2	…	ม	…
พี	อี-20	20e-20	200e-20	…	20เมตร-20/เมตร!	…

ตัวอย่าง #3 ที่ชุมสายโทรศัพท์ การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น 1/200 ค้นหาความน่าจะเป็นที่การเชื่อมต่อ 200 รายการจะมี:
ก) การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องเพียงครั้งเดียว;
b) การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องน้อยกว่าสามครั้ง;
c) การเชื่อมต่อที่ไม่ถูกต้องมากกว่าสองครั้ง
การตัดสินใจ.ตามเงื่อนไขของปัญหา ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มีน้อย เราจึงใช้สูตรปัวซอง (15)
ก) กำหนด: n = 200, p = 1/200, k = 1 ค้นหา P 200 (1)
เราได้รับ: . จากนั้น P 200 (1) ≈ จ -1 ≈ 0.3679
b) กำหนด: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
เรามี: a = 1

ค) กำหนด: n = 200, p = 1/200, k > 2 จงหา P 200 (k > 2)
ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ง่ายกว่า: เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม เนื่องจากในกรณีนี้คุณต้องคำนวณเงื่อนไขที่น้อยลง โดยคำนึงถึงกรณีก่อนหน้านี้ที่เรามี

พิจารณากรณีที่ n มากเพียงพอ และ p น้อยพอ เราใส่ np = a โดยที่ a เป็นตัวเลข ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่ต้องการถูกกำหนดโดยสูตรปัวซอง:

ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ k ในช่วงเวลา t สามารถพบได้โดยใช้สูตรปัวซอง:
โดยที่ λ คือความเข้มของการไหลของเหตุการณ์ นั่นคือ จำนวนเฉลี่ยของเหตุการณ์ที่ปรากฏขึ้นต่อหน่วยเวลา

ตัวอย่าง #4 ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนจะชำรุดคือ 0.005 มีการตรวจสอบชิ้นส่วน 400 ชิ้น ระบุสูตรคำนวณความน่าจะเป็นที่มีข้อบกพร่องมากกว่า 3 ส่วน

ตัวอย่างหมายเลข 5 ความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่องในการผลิตจำนวนมากเท่ากับ p กำหนดความน่าจะเป็นที่ชุดของ N ส่วนประกอบด้วย a) ตรงสามส่วน; b) ไม่เกินสามส่วนที่ชำรุด
พี=0.001; N=4500
การตัดสินใจ.
ความน่าจะเป็น p มีน้อย และจำนวน n มีมาก np = 4.5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
ตัวแปรสุ่ม X มีช่วง (0,1,2,...,m) ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้สามารถพบได้ในสูตร:

มาหาชุดกระจาย X กันเถอะ
ที่นี่ λ = np = 4500*0.001 = 4.5
P(0) = e - λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

จากนั้นความน่าจะเป็นที่ N ส่วนชุดหนึ่งมีสามส่วนพอดีเท่ากับ:

จากนั้นความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วน N ชุดหนึ่งมีชิ้นส่วนที่ชำรุดไม่เกินสามชิ้นคือ:
พี(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

ตัวอย่างหมายเลข 6 ชุมสายโทรศัพท์อัตโนมัติรับสายโดยเฉลี่ย N สายต่อชั่วโมง กำหนดความน่าจะเป็นที่เธอจะได้รับในนาทีที่กำหนด: ก) สองครั้งพอดี; b) มากกว่าสองสาย
ยังไม่มีข้อความ = 18
การตัดสินใจ.
ในหนึ่งนาที ATS ได้รับโดยเฉลี่ย λ = 18/60 นาที = 0.3
สมมติว่ามีการรับสาย X แบบสุ่มที่ PBX ในหนึ่งนาที
เป็นไปตามกฎของปัวซอง โดยสูตรที่เราพบความน่าจะเป็นที่ต้องการ

มาหาชุดกระจาย X กันเถอะ
ที่นี่ λ = 0.3
P(0) = e - λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

ความน่าจะเป็นที่เธอจะได้รับสายสองครั้งพอดีในนาทีที่กำหนดคือ:
P(2) = 0.03334
ความน่าจะเป็นที่เธอจะได้รับสายมากกว่าสองครั้งในนาทีที่กำหนดคือ:
P(x>2) = 1 - 0.7408 - 0.2222 - 0.03334 = 0.00366

ตัวอย่างหมายเลข 7 เราพิจารณาสององค์ประกอบที่ทำงานเป็นอิสระจากกัน ระยะเวลาของเวลาทำงานมีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลด้วยพารามิเตอร์ λ1 = 0.02 สำหรับองค์ประกอบแรกและ λ2 = 0.05 สำหรับองค์ประกอบที่สอง ค้นหาความน่าจะเป็นใน 10 ชั่วโมง: ก) องค์ประกอบทั้งสองจะทำงานได้อย่างไร้ที่ติ; b) ความน่าจะเป็นเท่านั้นที่องค์ประกอบ #1 จะไม่ล้มเหลวใน 10 ชั่วโมง:
วิธีการแก้.
P 1 (0) \u003d จ -λ1 * เสื้อ \u003d จ -0.02 * 10 \u003d 0.8187

ความน่าจะเป็นที่องค์ประกอบ #2 จะไม่ล้มเหลวใน 10 ชั่วโมงคือ:
P 2 (0) \u003d จ -λ2 * เสื้อ \u003d จ -0.05 * 10 \u003d 0.6065

ก) องค์ประกอบทั้งสองจะทำงานได้อย่างไร้ที่ติ;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0.8187*0.6065 = 0.4966
b) มีเพียงองค์ประกอบเดียวเท่านั้นที่จะล้มเหลว
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187) *0.6065 = 0.4321

ตัวอย่างหมายเลข 7 การผลิตให้ 1% ของการแต่งงาน อะไรคือความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ 1,100 รายการที่นำมาวิจัย ไม่เกิน 17 รายการจะถูกปฏิเสธ?
บันทึก: เนื่องจากที่นี่ n*p =1100*0.01=11 > 10 จึงจำเป็นต้องใช้