ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับการประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์

ปล่อยให้ตัวแปรสุ่ม X ประชากรมีการกระจายแบบปกติ เมื่อทราบความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงนี้ จำเป็นต้องประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ทราบโดยใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ในกรณีนี้ ปัญหาอยู่ที่การค้นหา ช่วงความมั่นใจสำหรับ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มีความน่าเชื่อถือข. หากคุณระบุค่าของความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่น (ความน่าเชื่อถือ) b คุณจะพบความน่าจะเป็นที่จะตกอยู่ในช่วงเวลาสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ไม่รู้จักโดยใช้สูตร (6.9a):

โดยที่ Ф(t) คือฟังก์ชันลาปลาซ (5.17a)

เป็นผลให้เราสามารถกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการค้นหาขอบเขตของช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์หากทราบความแปรปรวน D = s 2:

1. ตั้งค่าความน่าเชื่อถือ – b.
2. จาก (6.14) ด่วน Ф(t) = 0.5× b. เลือกค่า t จากตารางสำหรับฟังก์ชัน Laplace ตามค่า Ф(t) (ดูภาคผนวก 1)
3. คำนวณค่าเบี่ยงเบน อี โดยใช้สูตร (6.10)
4. เขียนช่วงความเชื่อมั่นโดยใช้สูตร (6.12) โดยความน่าจะเป็น b ความไม่เท่าเทียมกันคงอยู่:

.

ตัวอย่างที่ 5.

ตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงแบบปกติ ค้นหาช่วงความเชื่อมั่นของการประมาณค่าด้วยความน่าเชื่อถือ b = 0.96 ของค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ทราบ a หากให้ไว้:

1) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานทั่วไป s = 5;

2) ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง;

3) ขนาดตัวอย่าง n = 49

ในสูตร (6.15) ของการประมาณช่วงของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ก มีความน่าเชื่อถือ b ทุกปริมาณยกเว้น t เป็นที่รู้จัก หาค่าของ t ได้โดยใช้ (6.14): b = 2Ф(t) = 0.96 Ф(t) = 0.48.

ใช้ตารางในภาคผนวก 1 สำหรับฟังก์ชัน Laplace Ф(t) = 0.48 ค้นหาค่าที่สอดคล้องกัน t = 2.06 เพราะฉะนั้น, - ด้วยการแทนที่ค่าที่คำนวณได้ของ e ลงในสูตร (6.12) คุณจะได้ช่วงความเชื่อมั่น: 30-1.47< a < 30+1,47.

ช่วงความเชื่อมั่นที่ต้องการสำหรับการประมาณค่าที่มีความน่าเชื่อถือ b = 0.96 ของค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ทราบ เท่ากับ: 28.53< a < 31,47.

เริ่มต้นด้วยการจำคำจำกัดความต่อไปนี้:

ลองพิจารณาสถานการณ์ต่อไปนี้ ปล่อยให้ตัวแปรประชากรมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ $a$ และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma$ ค่าเฉลี่ยตัวอย่างในกรณีนี้จะถือเป็นตัวแปรสุ่ม เมื่อมีการแจกแจงปริมาณ $X$ ตามปกติ ค่าเฉลี่ยตัวอย่างก็จะถูกแจกแจงตามปกติด้วยพารามิเตอร์ด้วย

ขอให้เราหาช่วงความเชื่อมั่นที่ครอบคลุมค่า $a$ โดยมีความน่าเชื่อถือเป็น $\gamma $

เพื่อจะทำสิ่งนี้ได้ เราจำเป็นต้องมีความเท่าเทียมกัน

จากนั้นเราได้รับ

จากที่นี่เราสามารถค้นหา $t$ ได้อย่างง่ายดายจากตารางค่าฟังก์ชัน $Ф\left(t\right)$ และด้วยเหตุนี้จึงค้นหา $\delta $

ให้เราจำตารางค่าของฟังก์ชัน $Ф\left(t\right)$:

รูปที่ 1. ตารางค่าฟังก์ชัน $Ф\left(t\right).$

อินทิกรัลความมั่นใจสำหรับการประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับ $(\mathbf \sigma )$ ที่ไม่รู้จัก

ในกรณีนี้ เราจะใช้ค่าผลต่างที่แก้ไขแล้ว $S^2$ แทนที่ $\sigma $ ด้วย $S$ ในสูตรด้านบน เราจะได้:

ตัวอย่างโจทย์การหาช่วงความเชื่อมั่น

ตัวอย่างที่ 1

ปล่อยให้ปริมาณ $X$ มีการแจกแจงแบบปกติโดยมีความแปรปรวน $\sigma =4$ ให้ขนาดตัวอย่างเป็น $n=64$ และความน่าเชื่อถือเป็น $\gamma =0.95$ หาช่วงความเชื่อมั่นในการประมาณค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงนี้

เราจำเป็นต้องค้นหาช่วงเวลา ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$

ดังที่เราเห็นข้างต้น

\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\t)(2)\]

พารามิเตอร์ $t$ สามารถพบได้จากสูตร

\[Ф\left(t\right)=\frac(\gamma )(2)=\frac(0.95)(2)=0.475\]

จากตารางที่ 1 เราพบว่า $t=1.96$

ช่วงความเชื่อมั่น– ค่าจำกัด ค่าสถิติซึ่งด้วยความมั่นใจว่าความน่าจะเป็น γ จะอยู่ในช่วงนี้เมื่อสุ่มตัวอย่างในปริมาณที่มากขึ้น แสดงว่า P(θ - ε ในทางปฏิบัติ ให้เลือก ความน่าจะเป็นของความมั่นใจγ จากค่าที่ค่อนข้างใกล้เคียงกับความสามัคคี: γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99

วัตถุประสงค์ของการบริการ- เมื่อใช้บริการนี้ คุณสามารถกำหนด:

• ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ยทั่วไป ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแปรปรวน
• ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับส่วนแบ่งทั่วไป

ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกบันทึกเป็นไฟล์ Word (ดูตัวอย่าง) ด้านล่างนี้เป็นคำแนะนำวิดีโอเกี่ยวกับวิธีการกรอกข้อมูลเบื้องต้น

ตัวอย่างหมายเลข 1 ในฟาร์มรวมแห่งหนึ่ง จากฝูงแกะทั้งหมด 1,000 ตัว แกะ 100 ตัวได้รับการคัดเลือกควบคุมการตัดขน เป็นผลให้มีการตัดขนโดยเฉลี่ย 4.2 กิโลกรัมต่อแกะหนึ่งตัว กำหนดด้วยความน่าจะเป็น 0.99 ค่าเฉลี่ย ข้อผิดพลาดกำลังสองตัวอย่างเมื่อกำหนดค่าเฉลี่ยการตัดขนต่อแกะและขีดจำกัดที่มีค่าการตัดหากค่าความแปรปรวนคือ 2.5 ตัวอย่างไม่ซ้ำกัน
ตัวอย่างหมายเลข 2 จากชุดผลิตภัณฑ์นำเข้าที่ไปรษณีย์ของกรมศุลกากรภาคเหนือของมอสโก ตัวอย่างผลิตภัณฑ์ "A" จำนวน 20 ตัวอย่างถูกสุ่มตัวอย่างซ้ำ จากผลการทดสอบ ปริมาณความชื้นเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ "A" ในตัวอย่างจึงถูกสร้างขึ้น ซึ่งกลายเป็นเท่ากับ 6% โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1%
กำหนดด้วยความน่าจะเป็น 0.683 ขีดจำกัดของปริมาณความชื้นเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ในผลิตภัณฑ์นำเข้าทั้งชุด
ตัวอย่างหมายเลข 3 จากการสำรวจนักเรียน 36 คน พบว่าจำนวนหนังสือเรียนโดยเฉลี่ยที่พวกเขาอ่านต่อปี ปีการศึกษากลายเป็นเท่ากับ 6 สมมติว่าจำนวนหนังสือเรียนที่นักเรียนอ่านต่อภาคการศึกษามีกฎการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 6 หา: A) ด้วยความน่าเชื่อถือ 0.99 ซึ่งเป็นค่าประมาณช่วงเวลาสำหรับคณิตศาสตร์ ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มนี้ B) ด้วยความน่าจะเป็นที่เราสามารถพูดได้ว่าจำนวนหนังสือเรียนโดยเฉลี่ยที่นักเรียนอ่านต่อภาคการศึกษาซึ่งคำนวณจากตัวอย่างนี้จะเบี่ยงเบนไปจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในค่าสัมบูรณ์ไม่เกิน 2

การจำแนกช่วงความเชื่อมั่น

ตามประเภทของพารามิเตอร์ที่กำลังประเมิน:

ตามประเภทตัวอย่าง:

1. ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับตัวอย่างที่ไม่มีที่สิ้นสุด
2. ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับตัวอย่างสุดท้าย

ตัวอย่างนี้เรียกว่าการสุ่มตัวอย่างใหม่หากวัตถุที่เลือกถูกส่งคืนให้กับประชากรก่อนที่จะเลือกวัตถุถัดไป ตัวอย่างเรียกว่าไม่ทำซ้ำหากวัตถุที่เลือกไม่ได้ส่งคืนให้กับประชากร ในทางปฏิบัติ เรามักจะจัดการกับตัวอย่างที่ไม่ซ้ำกัน

การคำนวณค่าความคลาดเคลื่อนในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยสำหรับการสุ่มตัวอย่าง

เรียกว่าความแตกต่างระหว่างค่าของตัวบ่งชี้ที่ได้จากตัวอย่างและพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องของประชากรทั่วไป ข้อผิดพลาดในการเป็นตัวแทน.
การกำหนดพารามิเตอร์หลักของประชากรทั่วไปและประชากรตัวอย่าง

สูตรข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ย
การคัดเลือกใหม่		เลือกซ้ำ
สำหรับค่าเฉลี่ย	เพื่อการแบ่งปัน	สำหรับค่าเฉลี่ย	เพื่อการแบ่งปัน

ความสัมพันธ์ระหว่างขีดจำกัดข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่าง (Δ) รับประกันความน่าจะเป็นบางประการ พี(ที)และข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยมีรูปแบบ: หรือ Δ = t·μ โดยที่ ที– สัมประสิทธิ์ความเชื่อมั่น พิจารณาจากระดับความน่าจะเป็น P(t) ตามตารางฟังก์ชันอินทิกรัลลาปลาซ

สูตรคำนวณขนาดตัวอย่างโดยใช้วิธีการสุ่มตัวอย่างล้วนๆ

ให้แจกแจงตัวแปรสุ่ม (เราสามารถพูดถึงประชากรทั่วไปได้) ตามกฎปกติ โดยทราบค่าความแปรปรวน D = 2 (> 0) จากประชากรทั่วไป (บนเซตของวัตถุซึ่งมีการกำหนดตัวแปรสุ่ม) จะมีการสร้างตัวอย่างขนาด n ตัวอย่าง x 1 , x 2 ,..., xn ถือเป็นชุดของตัวแปรสุ่มอิสระ n ตัวที่กระจายในลักษณะเดียวกับ (แนวทางที่อธิบายไว้ข้างต้นในข้อความ)

ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ได้ถูกกล่าวถึงและพิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

ก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ (เราละเว้นการพิสูจน์) ว่าตัวแปรสุ่มในกรณีนี้มีการกระจายตามกฎปกติด้วย

ให้เราแทนปริมาณที่ไม่รู้จัก M ด้วย a และเลือกตัวเลข d > 0 ตามความน่าเชื่อถือที่กำหนด เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไข:

พี(-ก< d) = (1)

เนื่องจากตัวแปรสุ่มถูกกระจายตามกฎปกติโดยมีค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M = M = a และความแปรปรวน D = D /n = 2 /n เราจึงได้:

พี(-ก< d) =P(a - d < < a + d) =

ยังคงต้องเลือก d ที่มีความเท่าเทียมกัน

คุณสามารถใช้ตารางเพื่อค้นหาตัวเลข t โดยที่ (t)= / 2 บางครั้งเรียกว่าตัวเลข t นี้ ปริมาณ.

ตอนนี้จากความเท่าเทียมกัน

มากำหนดค่าของ d:

เราได้รับผลลัพธ์สุดท้ายโดยนำเสนอสูตร (1) ในรูปแบบ:

ความหมายของสูตรสุดท้ายมีดังนี้ มีความน่าเชื่อถือ ช่วงความเชื่อมั่น

ครอบคลุมพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก a = M ของประชากร คุณสามารถพูดได้แตกต่างออกไป: การประมาณจุดกำหนดค่าของพารามิเตอร์ M ด้วยความแม่นยำ d= t / และความน่าเชื่อถือ

งาน. ให้มีประชากรทั่วไปที่มีลักษณะเฉพาะบางอย่างกระจายตามกฎปกติโดยมีค่าความแปรปรวนเท่ากับ 6.25 ใช้ขนาดตัวอย่าง n = 27 และได้รับค่าตัวอย่างเฉลี่ยของคุณลักษณะ = 12 ค้นหาช่วงความเชื่อมั่นที่ครอบคลุมความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ทราบของคุณลักษณะที่ศึกษาของประชากรทั่วไปด้วยความน่าเชื่อถือ = 0.99

สารละลาย. ขั้นแรก เมื่อใช้ตารางสำหรับฟังก์ชันลาปลาซ เราจะค้นหาค่า t จากความเท่าเทียมกัน (t) = / 2 = 0.495 จากค่าที่ได้รับ t = 2.58 เราจะกำหนดความแม่นยำของการประมาณค่า (หรือครึ่งหนึ่งของความยาวของช่วงความเชื่อมั่น) d: d = 2.52.58 / 1.24 จากที่นี่ เราได้ช่วงความเชื่อมั่นที่ต้องการ: (10.76; 13.24)

การแปรผันทั่วไปของสมมติฐานทางสถิติ

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงแบบปกติโดยไม่ทราบค่าความแปรปรวน

อนุญาต เป็นตัวแปรสุ่มที่กระจายตามกฎปกติโดยมีค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ไม่รู้จัก M ซึ่งเราแสดงด้วยตัวอักษร a ลองสร้างตัวอย่างปริมาตร n กัน ให้เราหาตัวอย่างเฉลี่ยและแก้ไขความแปรปรวนตัวอย่าง s 2 โดยใช้สูตรที่ทราบ

ตัวแปรสุ่ม

กระจายตามกฎของนักศึกษาโดยมีระดับความอิสระ n - 1

ภารกิจคือการหาตัวเลข t สำหรับความน่าเชื่อถือที่กำหนดและจำนวนองศาอิสระ n - 1 เพื่อให้ความเท่าเทียมกัน

หรือความเท่าเทียมที่เท่าเทียมกัน

ในวงเล็บจะมีการเขียนเงื่อนไขว่าค่าของพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก a อยู่ในช่วงที่กำหนด ซึ่งเป็นช่วงความเชื่อมั่น ขอบเขตของมันขึ้นอยู่กับความน่าเชื่อถือตลอดจนพารามิเตอร์การสุ่มตัวอย่างและ s

เพื่อกำหนดค่าของ t ตามขนาด เราจะแปลงความเท่าเทียมกัน (2) ให้อยู่ในรูปแบบ:

ตอนนี้ เมื่อใช้ตารางสำหรับตัวแปรสุ่ม t ที่แจกแจงตามกฎของนักเรียน โดยใช้ความน่าจะเป็น 1 - และจำนวนองศาอิสระ n - 1 เราจะพบ t สูตร (3) ให้คำตอบของปัญหาที่ถูกวาง

งาน. ในการทดสอบควบคุมหลอดไฟฟ้า 20 หลอด ระยะเวลาการทำงานเฉลี่ยเท่ากับ 2000 ชั่วโมง โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (คำนวณเป็นรากที่สองของความแปรปรวนตัวอย่างที่แก้ไขแล้ว) เท่ากับ 11 ชั่วโมง เป็นที่ทราบกันว่าระยะเวลาการทำงานของหลอดไฟจะกระจายตามปกติ ตัวแปรสุ่ม- กำหนดช่วงความมั่นใจสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนี้ด้วยความน่าเชื่อถือ 0.95

สารละลาย. ค่า 1 - ในกรณีนี้เท่ากับ 0.05 ตามตารางการแจกแจงของนักเรียน โดยจำนวนดีกรีอิสระเท่ากับ 19 เราพบว่า: t = 2.093 ให้เราคำนวณความแม่นยำของการประมาณการ: 2.093121/ = 56.6 จากที่นี่ เราได้ช่วงความเชื่อมั่นที่ต้องการ: (1943.4; 2056.6)

มาสร้างใน MS กันดีกว่า ความไว้วางใจจาก EXCELช่วงเวลาสำหรับการประมาณค่าเฉลี่ยของการแจกแจงในกรณีที่ทราบค่าความแปรปรวน

แน่นอนว่าทางเลือก ระดับความไว้วางใจขึ้นอยู่กับปัญหาที่กำลังแก้ไขโดยสิ้นเชิง ดังนั้นระดับความมั่นใจของผู้โดยสารทางอากาศในความน่าเชื่อถือของเครื่องบินควรสูงกว่าระดับความมั่นใจของผู้ซื้อในความน่าเชื่อถือของหลอดไฟอย่างไม่ต้องสงสัย

การกำหนดปัญหา

ให้เราสันนิษฐานว่าจาก ประชากรได้รับการถ่าย ตัวอย่างขนาด n. สันนิษฐานว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน การกระจายนี้เป็นที่รู้จัก มีความจำเป็นตามนี้ ตัวอย่างประเมินสิ่งที่ไม่รู้จัก ค่าเฉลี่ยการกระจาย(μ, ) และสร้างค่าที่สอดคล้องกัน สองด้าน ช่วงความมั่นใจ.

การประมาณจุด

ดังที่ได้ทราบมาจาก สถิติ(ลองแสดงว่ามัน เฉลี่ย X) เป็น การประมาณค่าเฉลี่ยอย่างไม่เอนเอียงนี้ ประชากรและมีการกระจายตัว N(μ;σ 2 /n)

บันทึก: จะทำอย่างไรถ้าคุณต้องการสร้าง ช่วงความมั่นใจในกรณีที่มีการกระจายสินค้านั้น ไม่ใช่ ปกติ?ในกรณีนี้มาช่วยซึ่งระบุว่ามีขนาดใหญ่พอสมควร ตัวอย่าง n จากการกระจาย ไม่ได้เป็น ปกติ, การกระจายตัวอย่างสถิติ X เฉลี่ยจะ ประมาณสอดคล้อง การกระจายตัวแบบปกติด้วยพารามิเตอร์ N(μ; σ 2 / n)

ดังนั้น, การประมาณจุด เฉลี่ย ค่าการกระจายเรามี - สิ่งนี้ ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง, เช่น. เฉลี่ย X- ตอนนี้เรามาเริ่มต้นกัน ช่วงความมั่นใจ

การสร้างช่วงความเชื่อมั่น

โดยปกติแล้ว เมื่อทราบการกระจายตัวและพารามิเตอร์แล้ว เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะนำค่าจากช่วงเวลาที่เราระบุได้ ตอนนี้เรามาทำสิ่งที่ตรงกันข้ามกัน: ค้นหาช่วงเวลาที่ตัวแปรสุ่มจะตกด้วยความน่าจะเป็นที่กำหนด เช่นจากคุณสมบัติ การกระจายตัวแบบปกติเป็นที่ทราบกันดีว่าด้วยความน่าจะเป็น 95% ตัวแปรสุ่มจะกระจายไปทั่ว กฎหมายปกติจะตกอยู่ในช่วงประมาณ +/- 2 จาก ค่าเฉลี่ย(ดูบทความเกี่ยวกับ) ช่วงเวลานี้จะทำหน้าที่เป็นต้นแบบสำหรับเรา ช่วงความมั่นใจ.

ทีนี้ลองดูว่าเรารู้การกระจายตัวหรือไม่ , เพื่อคำนวณช่วงเวลานี้? เพื่อตอบคำถาม เราต้องระบุรูปร่างของการแจกแจงและพารามิเตอร์ของมัน

เรารู้รูปแบบการกระจาย - นี่คือ การกระจายตัวแบบปกติ(จำไว้ว่าเรากำลังพูดถึง การกระจายตัวอย่าง สถิติ เฉลี่ย X).

เราไม่รู้จักพารามิเตอร์ μ (เพียงแค่ต้องประมาณโดยใช้ ช่วงความมั่นใจ) แต่เรามีค่าประมาณของมัน X เฉลี่ยคำนวณจาก ตัวอย่าง,ซึ่งสามารถใช้ได้

พารามิเตอร์ที่สอง - ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง เราจะถือว่ารู้แล้วมันจะเท่ากับ σ/√n

เพราะ เราไม่รู้ μ จากนั้นเราจะสร้างช่วง +/- 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่ได้มาจาก ค่าเฉลี่ยและจากการประมาณค่าที่ทราบ เฉลี่ย X- เหล่านั้น. เมื่อคำนวณ ช่วงความมั่นใจเราจะไม่ถือว่า เฉลี่ย Xอยู่ในช่วง +/- 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจาก μ ด้วยความน่าจะเป็น 95% และเราจะถือว่าช่วงเวลาคือ +/- 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจาก เฉลี่ย Xด้วยความน่าจะเป็น 95% ที่จะครอบคลุมμ – ค่าเฉลี่ยของประชากรทั่วไปจากที่มันถูกเอาไป ตัวอย่าง- ข้อความทั้งสองนี้เทียบเท่ากัน แต่ข้อความที่สองช่วยให้เราสามารถสร้างได้ ช่วงความมั่นใจ.

นอกจากนี้ ให้เราชี้แจงช่วงเวลา: ตัวแปรสุ่มกระจายไป กฎหมายปกติโดยมีความน่าจะเป็น 95% อยู่ภายในช่วง +/- 1.960 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่ใช่ +/- 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน- สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร =NORM.ST.REV((1+0.95)/2), ซม. ตัวอย่างไฟล์ Sheet Interval.

ตอนนี้เราสามารถกำหนดข้อความความน่าจะเป็นที่จะช่วยให้เราสร้างได้ ช่วงความมั่นใจ:
“ความน่าจะเป็นนั้น. ค่าเฉลี่ยประชากรตั้งอยู่ห่างจาก ค่าเฉลี่ยตัวอย่างภายใน 1,960" ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง"เท่ากับ 95%"

ค่าความน่าจะเป็นที่กล่าวถึงในคำสั่งมีชื่อพิเศษ ซึ่งเกี่ยวข้องกับระดับนัยสำคัญ α (อัลฟา) ด้วยการแสดงออกอย่างง่าย ระดับความไว้วางใจ =1 -α . ในกรณีของเรา ระดับนัยสำคัญ α =1-0,95=0,05 .

ตอนนี้ จากข้อความความน่าจะเป็นนี้ เราเขียนนิพจน์สำหรับการคำนวณ ช่วงความมั่นใจ:

โดยที่ Z α/2 – มาตรฐาน การกระจายตัวแบบปกติ(ค่าของตัวแปรสุ่มนี้ z, อะไร ป(z>=ซี α/2 )=α/2).

บันทึก: α/2-ควอนไทล์ตอนบนกำหนดความกว้าง ช่วงความมั่นใจวี ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง α/2-ควอนไทล์ตอนบน มาตรฐาน การกระจายตัวแบบปกติมากกว่า 0 เสมอ ซึ่งสะดวกมาก

ในกรณีของเรา โดยที่ α=0.05 α/2-ควอนไทล์ตอนบน เท่ากับ 1.960 สำหรับระดับนัยสำคัญอื่นๆ α (10%; 1%) α/2-ควอนไทล์ตอนบน ซี α/2 สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร =NORM.ST.REV(1-α/2) หรือหากทราบ ระดับความไว้วางใจ, =NORM.ST.OBR((1+ระดับความน่าเชื่อถือ)/2).

โดยปกติแล้วเมื่อมีการสร้าง ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับการประมาณค่าเฉลี่ยใช้เท่านั้น α ตอนบน/2-ปริมาณและอย่าใช้ α ล่าง/2-ปริมาณ- ที่เป็นไปเช่นนี้เพราะว่า มาตรฐาน การกระจายตัวแบบปกติอย่างสมมาตรเกี่ยวกับแกน x ( ความหนาแน่นของการกระจายตัวสมมาตรเกี่ยวกับ เฉลี่ยเช่น 0). ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณ α/2-ควอนไทล์ที่ต่ำกว่า(เรียกง่ายๆ ว่า α /2-ควอนไทล์), เพราะ มันเท่าเทียมกัน α ตอนบน/2-ปริมาณมีเครื่องหมายลบ

ขอให้เราจำไว้ว่าแม้จะมีรูปร่างของการแจกแจงของค่า x แต่ตัวแปรสุ่มที่สอดคล้องกัน เฉลี่ย Xกระจาย ประมาณ ดี N(μ;σ 2 /n) (ดูบทความเกี่ยวกับ) ดังนั้นใน กรณีทั่วไป, นิพจน์ข้างต้นสำหรับ ช่วงความมั่นใจเป็นเพียงการประมาณเท่านั้น ถ้าค่า x ถูกกระจายออกไป กฎหมายปกติ N(μ;σ 2 /n) จากนั้นนิพจน์สำหรับ ช่วงความมั่นใจมีความแม่นยำ

การคำนวณช่วงความเชื่อมั่นใน MS EXCEL

มาแก้ปัญหากันเถอะ
เวลาตอบสนองของชิ้นส่วนอิเล็กทรอนิกส์ต่อสัญญาณอินพุตเป็นคุณลักษณะที่สำคัญของอุปกรณ์ วิศวกรต้องการสร้างช่วงความเชื่อมั่นสำหรับเวลาตอบสนองโดยเฉลี่ยที่ระดับความเชื่อมั่น 95% จากประสบการณ์ก่อนหน้านี้ วิศวกรรู้ว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาตอบสนองคือ 8 ms เป็นที่ทราบกันดีว่าในการประเมินเวลาตอบสนองวิศวกรทำการวัด 25 ครั้งค่าเฉลี่ยคือ 78 มิลลิวินาที

สารละลาย: วิศวกรต้องการทราบเวลาตอบสนองของอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ แต่เขาเข้าใจว่าเวลาตอบสนองไม่ใช่ค่าคงที่ แต่เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงของตัวเอง ดังนั้น สิ่งที่ดีที่สุดที่เขาหวังได้คือการกำหนดพารามิเตอร์และรูปร่างของการแจกแจงนี้

น่าเสียดาย จากเงื่อนไขของปัญหา เราไม่ทราบรูปแบบของการกระจายเวลาตอบสนอง (ไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้น ปกติ- การกระจายนี้ไม่เป็นที่รู้จักเช่นกัน มีเพียงเขาเท่านั้นที่รู้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานσ=8. ดังนั้นในขณะที่เราไม่สามารถคำนวณความน่าจะเป็นและสร้างได้ ช่วงความมั่นใจ.

อย่างไรก็ตามถึงแม้ว่าเราจะไม่ทราบการกระจายตัวก็ตาม เวลา การตอบสนองที่แยกจากกันเรารู้ว่าตามนั้น พท, การกระจายตัวอย่าง เวลาตอบสนองโดยเฉลี่ยอยู่ที่ประมาณ ปกติ(เราจะถือว่าเงื่อนไขนั้น พทจะดำเนินการเพราะว่า ขนาด ตัวอย่างค่อนข้างใหญ่ (n=25)) .

นอกจากนี้, เฉลี่ยการกระจายตัวนี้จะเท่ากับ ค่าเฉลี่ยการกระจายคำตอบเดียวเช่น ม. ก ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงนี้ (σ/√n) สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร =8/ROOT(25)

เป็นที่รู้กันว่าวิศวกรได้รับ การประมาณจุดพารามิเตอร์ μ เท่ากับ 78 ms (X เฉลี่ย) ดังนั้นตอนนี้เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นได้แล้วเพราะว่า เรารู้รูปแบบการกระจาย ( ปกติ) และพารามิเตอร์ของมัน (X avg และ σ/√n)

วิศวกรอยากทราบว่า ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์μ การกระจายเวลาตอบสนอง ตามที่ระบุไว้ข้างต้น μ ​​นี้เท่ากับ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการกระจายตัวอย่างของเวลาตอบสนองโดยเฉลี่ย- หากเราใช้ การกระจายตัวแบบปกติ N(XX avg; σ/√n) จากนั้น μ ที่ต้องการจะอยู่ในช่วง +/-2*σ/√n โดยมีความน่าจะเป็นประมาณ 95%

ระดับความสำคัญเท่ากับ 1-0.95=0.05

สุดท้ายเราลองหาขอบซ้ายและขวากัน ช่วงความมั่นใจ.
ขอบซ้าย: =78-NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/รูท(25) = 74,864
ขอบขวา: =78+NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/รูท(25)=81.136

ขอบซ้าย: =NORM.REV(0.05/2; 78; 8/รูท(25))
ขอบขวา: =NORM.REV(1-0.05/2; 78; 8/รูท(25))

คำตอบ: ช่วงความมั่นใจที่ ระดับความเชื่อมั่น 95% และ σ=8มิลลิวินาทีเท่ากับ 78+/-3.136 มิลลิวินาที

ใน ไฟล์ตัวอย่างบนแผ่น Sigmaรู้จักสร้างแบบฟอร์มการคำนวณและการก่อสร้าง สองด้าน ช่วงความมั่นใจโดยพลการ ตัวอย่างโดยให้ σ และ ระดับความสำคัญ.

ฟังก์ชัน CONFIDENCE.NORM()

หากมีค่า ตัวอย่างอยู่ในช่วง B20:B79 , ก ระดับนัยสำคัญเท่ากับ 0.05; จากนั้นสูตร MS EXCEL:
=ค่าเฉลี่ย(B20:B79)-CONFIDENCE.NORM(0.05;σ; COUNT(B20:B79))
จะกลับขอบด้านซ้าย ช่วงความมั่นใจ.

ขีดจำกัดเดียวกันสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
=ค่าเฉลี่ย(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/ROOT(COUNT(B20:B79))

บันทึก: ฟังก์ชัน CONFIDENCE.NORM() ปรากฏใน MS EXCEL 2010 ใน MS EXCEL เวอร์ชันก่อนหน้านี้ ฟังก์ชัน TRUST() ถูกนำมาใช้