" ส่วนแรกสรุปบทบัญญัติที่จำเป็นน้อยที่สุดสำหรับการทำความเข้าใจเคมีและส่วนที่สองประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่คุณจำเป็นต้องรู้เพื่อความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับวิธีการวิเคราะห์หลายตัวแปร งานนำเสนอแสดงโดยตัวอย่างที่ทำในสมุดงาน Excel เมทริกซ์.xlsที่มาพร้อมกับเอกสารนี้

ลิงก์ไปยังตัวอย่างจะอยู่ในข้อความเป็นวัตถุ Excel ตัวอย่างเหล่านี้มีลักษณะเป็นนามธรรม ไม่เกี่ยวข้องกับงานแต่อย่างใด การวิเคราะห์ทางเคมี. ตัวอย่างจริงการใช้พีชคณิตของเมทริกซ์ในวิชาเคมีมีการกล่าวถึงในตำราอื่นๆ

การวัดส่วนใหญ่ที่ดำเนินการในเคมีวิเคราะห์ไม่ใช่การวัดโดยตรง ทางอ้อม. ซึ่งหมายความว่าในการทดลอง แทนที่จะได้รับค่าของสารที่วิเคราะห์ C (ความเข้มข้น) ที่ต้องการ จะได้รับค่าอื่น x(สัญญาณ) ที่เกี่ยวข้อง แต่ไม่เท่ากับ C เช่น x(C) ≠ C. ตามกฎแล้วประเภทของการพึ่งพา x(C) ไม่เป็นที่รู้จัก แต่โชคดีที่ในเคมีวิเคราะห์การวัดส่วนใหญ่เป็นสัดส่วน ซึ่งหมายความว่าเมื่อความเข้มข้นของ C ใน กครั้ง สัญญาณ X จะเพิ่มขึ้นในปริมาณที่เท่ากัน กล่าวคือ x(กค) = ก x(ค). นอกจากนี้ สัญญาณยังเป็นสารเติมแต่ง ดังนั้นสัญญาณจากตัวอย่างที่มีสารสองชนิดที่มีความเข้มข้น C 1 และ C 2 จะเท่ากับผลรวมของสัญญาณจากแต่ละองค์ประกอบ กล่าวคือ x(C1 + C2) = x(C1)+ x(C2). สัดส่วนและการบวกรวมกันให้ ความเป็นเชิงเส้น. มีตัวอย่างมากมายที่สามารถอธิบายหลักการของความเป็นเส้นตรงได้ แต่พอจะกล่าวถึงตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดสองตัวอย่าง นั่นคือ โครมาโทกราฟีและสเปกโทรสโกปี คุณลักษณะที่สองที่มีอยู่ในการทดลองทางเคมีวิเคราะห์คือ หลายช่อง. อุปกรณ์วิเคราะห์ที่ทันสมัยสามารถวัดสัญญาณได้หลายช่องพร้อมกัน ตัวอย่างเช่น ความเข้มของการส่องผ่านของแสงจะวัดได้หลายความยาวคลื่นพร้อมกัน เช่น พิสัย. ดังนั้นในการทดสอบเรากำลังเผชิญกับสัญญาณต่างๆ x 1 , x 2 ,...., x n การกำหนดลักษณะของชุดความเข้มข้น C 1 ,C 2 , ..., C m ของสารที่มีอยู่ในระบบที่ศึกษา

ข้าว. 1 สเปกตรัม

ดังนั้น การทดลองเชิงวิเคราะห์จึงมีลักษณะเป็นเส้นตรงและหลายมิติ ดังนั้นจึงสะดวกที่จะพิจารณาข้อมูลการทดลองเป็นเวกเตอร์และเมทริกซ์ และจัดการโดยใช้เครื่องมือของพีชคณิตเมทริกซ์ ประสิทธิภาพของแนวทางนี้แสดงให้เห็นได้จากตัวอย่างที่แสดงใน ซึ่งแสดงสเปกตรัมสามรายการที่ถ่ายสำหรับความยาวคลื่น 200 ช่วงตั้งแต่ 4,000 ถึง 4,796 ซม.–1 ครั้งแรก ( x 1) และวินาที ( x 2) ได้รับสเปกตรัมสำหรับตัวอย่างมาตรฐานซึ่งทราบความเข้มข้นของสาร A และ B สองตัว: ในตัวอย่างแรก [A] = 0.5, [B] = 0.1 และในตัวอย่างที่สอง [A] = 0.2, [ B] = 0.6 สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับตัวอย่างใหม่ที่ไม่รู้จักซึ่งระบุสเปกตรัม x 3 ?

พิจารณาสเปกตรัมการทดลองสามรายการ x 1 , x 2 และ x 3 เป็นเวกเตอร์สามตัวของมิติ 200 ใช้พีชคณิตเชิงเส้น เราสามารถแสดงได้อย่างง่ายดาย x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2 ดังนั้นตัวอย่างที่สามจึงเห็นได้ชัดว่ามีเพียงสาร A และ B ในความเข้มข้น [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 และ [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19

1. ข้อมูลพื้นฐาน

1.1 เมทริกซ์

เมทริกซ์เรียกว่าตารางตัวเลขสี่เหลี่ยม เป็นต้น

ข้าว. 2 เมทริกซ์

เมทริกซ์แสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ( ก) และองค์ประกอบ - ด้วยตัวอักษรพิมพ์เล็กที่สอดคล้องกันพร้อมดัชนีเช่น กไอเจ ดัชนีแรกระบุแถวและหมายเลขที่สองเป็นคอลัมน์ ในวิชาเคมี เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดค่าสูงสุดของดัชนีด้วยตัวอักษรเดียวกับตัวดัชนี แต่เป็นอักษรตัวใหญ่ ดังนั้นเมทริกซ์ กสามารถเขียนเป็น ( ก ไอเจ , ผม = 1,..., ฉัน; เจ = 1,..., เจ). สำหรับตัวอย่างเมทริกซ์ ฉัน = 4, เจ= 3 และ ก 23 = −7.5.

เลขคู่ ฉันและ เจเรียกว่ามิติของเมทริกซ์และแสดงเป็น ฉัน× เจ. ตัวอย่างของเมทริกซ์ในวิชาเคมีคือชุดของสเปกตรัมที่ได้มา ฉันตัวอย่างบน เจความยาวคลื่น

1.2. การดำเนินการที่ง่ายที่สุดกับเมทริกซ์

เมทริกซ์สามารถ คูณด้วยตัวเลข. ในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบจะคูณด้วยจำนวนนี้ ตัวอย่างเช่น -

ข้าว. 3 การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวน

เมทริกซ์สองรายการที่มีขนาดเท่ากันสามารถเป็นองค์ประกอบได้ พับและ ลบ. ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 4 การบวกเมทริกซ์

จากการคูณด้วยตัวเลขและการบวก จะได้เมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน

เมทริกซ์ศูนย์คือเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยศูนย์ มันถูกกำหนดไว้ อ. เห็นได้ชัดว่า ก+อ = ก, ก−ก = อและ 0 ก = อ.

เมทริกซ์สามารถ ย้าย. ในระหว่างการดำเนินการนี้ เมทริกซ์จะถูกพลิก นั่นคือ มีการสลับแถวและคอลัมน์ การขนย้ายจะแสดงด้วยเส้นประ ก" หรือดัชนี กเสื้อ . ดังนั้น ถ้า ก = {ก ไอเจ , ผม = 1,..., ฉัน; เจ = 1,...,เจ), แล้ว กเสื้อ = ( ก จิ , เจ = 1,...,เจ; ฉัน = 1,..., ฉัน). ตัวอย่างเช่น

ข้าว. 5 การขนย้ายเมทริกซ์

เห็นได้ชัดว่า ( กเสื้อ) เสื้อ = ก, (ก+ข) ท = กเสื้อ + ขเสื้อ .

1.3. การคูณเมทริกซ์

เมทริกซ์สามารถ คูณแต่ถ้ามีขนาดที่เหมาะสมเท่านั้น เหตุใดจึงเป็นเช่นนั้นจะชัดเจนจากคำจำกัดความ ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ ก, มิติ ฉัน× เคและเมทริกซ์ ข, มิติ เค× เจเรียกว่าเมทริกซ์ ค, มิติ ฉัน× เจซึ่งมีองค์ประกอบเป็นตัวเลข

ดังนั้นสำหรับผลิตภัณฑ์ เอบีจำเป็นต้องมีจำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์ด้านซ้าย กเท่ากับจำนวนแถวในเมทริกซ์ด้านขวา ข. ตัวอย่างผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ -

รูปที่ 6 ผลคูณของเมทริกซ์

กฎการคูณเมทริกซ์สามารถกำหนดได้ดังนี้ เพื่อหาองค์ประกอบของเมทริกซ์ คยืนอยู่ที่สี่แยก ผม-th บรรทัดและ เจ-th คอลัมน์ ( ค ไอเจ) จะต้องคูณองค์ประกอบด้วยองค์ประกอบ ผม- แถวที่ 1 ของเมทริกซ์แรก กบน เจคอลัมน์ที่ -th ของเมทริกซ์ที่สอง ขและเพิ่มผลลัพธ์ทั้งหมด ดังนั้นในตัวอย่างที่แสดง องค์ประกอบจากแถวที่สามและคอลัมน์ที่สองจะได้รับเป็นผลรวมของผลคูณตามองค์ประกอบของแถวที่สาม กและคอลัมน์ที่สอง ข

รูปที่ 7 องค์ประกอบของผลคูณของเมทริกซ์

ผลคูณของเมทริกซ์ขึ้นอยู่กับลำดับ เช่น เอบี ≠ ศศ.บอย่างน้อยก็ด้วยเหตุผลด้านมิติ มันถูกกล่าวว่าไม่สับเปลี่ยน อย่างไรก็ตาม ผลคูณของเมทริกซ์เป็นแบบเชื่อมโยง มันหมายความว่า เอบีซี = (เอบี)ค = ก(พ.ศ). นอกจากนี้ยังเป็นแบบกระจายเช่น ก(ข+ค) = เอบี+เครื่องปรับอากาศ. เห็นได้ชัดว่า อบจ = อ.

1.4. เมทริกซ์สแควร์

หากจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนแถว ( ฉัน = เจ=ไม่) จากนั้นเมทริกซ์ดังกล่าวเรียกว่าสแควร์ ในส่วนนี้เราจะพิจารณาเฉพาะเมทริกซ์ดังกล่าว ในบรรดาเมทริกซ์เหล่านี้ เราสามารถแยกเมทริกซ์ที่มีคุณสมบัติพิเศษออกมา

โดดเดี่ยวเมทริกซ์ (แสดง ฉันและบางเวลา อี) เป็นเมทริกซ์ที่องค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ยกเว้นองค์ประกอบในแนวทแยงซึ่งมีค่าเท่ากับ 1 เช่น

อย่างชัดเจน AI = ไอ.เอ = ก.

เรียกว่าเมทริกซ์ เส้นทแยงมุมถ้าองค์ประกอบทั้งหมดยกเว้นเส้นทแยงมุม ( ก ii) มีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น

ข้าว. 8 เมทริกซ์แนวทแยง

เมทริกซ์ กเรียกว่าตัวท็อป รูปสามเหลี่ยมหากองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ด้านล่างเส้นทแยงมุมมีค่าเท่ากับศูนย์นั่นคือ ก ไอเจ= 0 ที่ ผม>เจ. ตัวอย่างเช่น

ข้าว. 9 เมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน

เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

เมทริกซ์ กเรียกว่า สมมาตร, ถ้า กเสื้อ = ก. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ก ไอเจ = ก จิ. ตัวอย่างเช่น

ข้าว. 10 เมทริกซ์สมมาตร

เมทริกซ์ กเรียกว่า มุมฉาก, ถ้า

กที ก = เอ.เอเสื้อ = ฉัน.

เรียกว่าเมทริกซ์ ปกติถ้า

1.5. ติดตามและกำหนด

กำลังติดตามเมทริกซ์สี่เหลี่ยม ก(แทนค่า Tr( ก) หรือ Sp( ก)) คือผลรวมขององค์ประกอบในแนวทแยง

ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 11 การติดตามเมทริกซ์

เห็นได้ชัดว่า

สเปซ(α ก) = α Sp( ก) และ

Sp( ก+ข) = สเปซ ( ก)+ sp( ข).

ก็แสดงว่า

Sp( ก) = สเปซ ( กเสื้อ), Sp( ฉัน) = เอ็น,

และนั่นก็ด้วย

Sp( เอบี) = สเปซ ( ศศ.บ).

คุณสมบัติที่สำคัญอีกประการของเมทริกซ์จตุรัสก็คือ ปัจจัย(แสดงโดยเดช( ก)). คำจำกัดความของดีเทอร์มิแนนต์ใน กรณีทั่วไปค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้นเราจะเริ่มด้วยตัวเลือกที่ง่ายที่สุด - เมทริกซ์ กมิติข้อมูล (2×2) แล้ว

สำหรับเมทริกซ์ (3×3) ดีเทอร์มีแนนต์จะเท่ากับ

ในกรณีของเมทริกซ์ ( เอ็น× เอ็น) ดีเทอร์มิแนนต์จะคำนวณเป็นผลรวม 1 2 3 ... เอ็น= เอ็น! ซึ่งแต่ละข้อมีค่าเท่ากับ

ดัชนี เค 1 , เค 2 ,..., กิโลนิวตันถูกกำหนดให้เป็นลำดับการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมด รตัวเลขในชุด (1, 2, ... , เอ็น). การคำนวณตัวกำหนดเมทริกซ์เป็นขั้นตอนที่ซับซ้อนซึ่งในทางปฏิบัติดำเนินการโดยใช้โปรแกรมพิเศษ ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 12 เมทริกซ์ดีเทอร์มีแนนต์

เราจดเฉพาะคุณสมบัติที่ชัดเจน:

เดช ( ฉัน) = 1, เดต ( ก) = เดช ( กเสื้อ),

เดช ( เอบี) = เดช ( ก)เดช( ข).

1.6. เวกเตอร์

ถ้าเมทริกซ์มีเพียงหนึ่งคอลัมน์ ( เจ= 1) จึงเรียกวัตถุดังกล่าวว่า เวกเตอร์. แม่นยำยิ่งขึ้น เวกเตอร์คอลัมน์ ตัวอย่างเช่น

นอกจากนี้ยังสามารถพิจารณาเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยหนึ่งแถวได้

วัตถุนี้ยังเป็นเวกเตอร์ แต่ เวกเตอร์แถว. เมื่อวิเคราะห์ข้อมูล สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าเรากำลังจัดการกับเวกเตอร์ใด - คอลัมน์หรือแถว ดังนั้นสเปกตรัมที่ใช้สำหรับหนึ่งตัวอย่างจึงถือเป็นเวกเตอร์แถว จากนั้นชุดของความเข้มสเปกตรัมที่ความยาวคลื่นสำหรับตัวอย่างทั้งหมดควรถือเป็นเวกเตอร์คอลัมน์

ขนาดของเวกเตอร์คือจำนวนองค์ประกอบ

เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์คอลัมน์ใดๆ สามารถแปลงเป็นเวกเตอร์แถวได้โดยการเคลื่อนย้าย เช่น

ในกรณีที่ไม่ได้ระบุรูปแบบของเวกเตอร์โดยเฉพาะ แต่พูดง่ายๆ ว่าเวกเตอร์ ก็จะหมายถึงเวกเตอร์แบบคอลัมน์ เราจะปฏิบัติตามกฎนี้ด้วย เวกเตอร์จะแสดงด้วยตัวพิมพ์เล็กตัวหนาโดยตรง เวกเตอร์ศูนย์คือเวกเตอร์ที่องค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ มันเป็นสัญลักษณ์ 0 .

1.7. การดำเนินการที่ง่ายที่สุดกับเวกเตอร์

เวกเตอร์สามารถเพิ่มและคูณด้วยตัวเลขได้เช่นเดียวกับเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 13 การดำเนินการกับเวกเตอร์

เวกเตอร์สองตัว xและ ยเรียกว่า คอลิเนียร์ถ้ามีจำนวน α เช่นนั้น

1.8. ผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์

เวกเตอร์สองตัวที่มีขนาดเท่ากัน เอ็นสามารถทวีคูณได้ ให้มีเวกเตอร์สองตัว x = (x 1 , x 2 ,...,xน) เสื้อ และ ย = (ย 1 , ย 2 ,...,ยน) เสื้อ . ตามกฎการคูณ "แถวต่อคอลัมน์" เราสามารถสร้างผลิตภัณฑ์ได้สองรายการจากกฎเหล่านี้: xที ยและ xyเสื้อ . งานแรก

เรียกว่า สเกลาร์หรือ ภายใน. ผลลัพธ์ของมันคือตัวเลข นอกจากนี้ยังใช้สัญกรณ์ ( x,ย)= xที ย. ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 14 ผลิตภัณฑ์ภายใน (สเกลาร์)

งานที่สอง

เรียกว่า ภายนอก. ผลลัพธ์คือเมทริกซ์มิติ ( เอ็น× เอ็น). ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 15 ผลิตภัณฑ์ชั้นนอก

เวกเตอร์ที่ผลคูณสเกลาร์มีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่า มุมฉาก.

1.9. บรรทัดฐานเวกเตอร์

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่มีตัวมันเองเรียกว่าสเกลาร์สแควร์ ค่านี้

กำหนดสี่เหลี่ยม ความยาวเวกเตอร์ x. เพื่อแสดงถึงความยาว (เรียกอีกอย่างว่า บรรทัดฐานเวกเตอร์) ใช้สัญกรณ์

ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 16 เวกเตอร์บรรทัดฐาน

เวกเตอร์ความยาวหน่วย (|| x|| = 1) เรียกว่าทำให้เป็นมาตรฐาน เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ( x ≠ 0 ) สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้โดยการหารด้วยความยาว เช่น x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| อี. ที่นี่ อี = x/||x|| เป็นเวกเตอร์นอร์มัลไลซ์

เวกเตอร์เรียกว่าออร์โธนอร์มอลหากพวกมันถูกทำให้เป็นมาตรฐานทั้งหมดและตั้งฉากแบบคู่

1.10. มุมระหว่างเวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์กำหนดและ มุมφ ระหว่างสองเวกเตอร์ xและ ย

ถ้าเวกเตอร์อยู่ในมุมฉาก ดังนั้น cosφ = 0 และ φ = π/2 และถ้าพวกมันอยู่ในแนวร่วม แล้ว cosφ = 1 และ φ = 0

1.11. การแสดงเวกเตอร์ของเมทริกซ์

แต่ละเมทริกซ์ กขนาด ฉัน× เจสามารถแสดงเป็นเซตของเวกเตอร์ได้

นี่คือเวกเตอร์แต่ละตัว ก เจเป็น เจ-th คอลัมน์และเวกเตอร์แถว ข ผมเป็น ผมแถวที่ -th ของเมทริกซ์ ก

1.12. เวกเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากัน ( เอ็น) สามารถเพิ่มและคูณด้วยตัวเลขได้ เช่นเดียวกับเมทริกซ์ ผลลัพธ์คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากัน ให้มีเวกเตอร์หลายตัวที่มีขนาดเท่ากัน x 1 , x 2 ,...,x K และจำนวนเดียวกันของตัวเลข α α 1 , α 2 ,...,α เค. เวกเตอร์

ย= α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+α เค x เค

เรียกว่า การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์ x เค .

หากมีตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ α เค ≠ 0, เค = 1,..., เค, อะไร ย = 0 แล้วเซตของเวกเตอร์ดังกล่าว x เคเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น. มิฉะนั้น เวกเตอร์จะเรียกว่าอิสระเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ x 1 = (2, 2) เสื้อ และ x 2 = (−1, −1) t ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เนื่องจาก x 1 +2x 2 = 0

1.13. อันดับเมทริกซ์

พิจารณาชุดของ เคเวกเตอร์ x 1 , x 2 ,...,x เคขนาด เอ็น. อันดับของระบบเวกเตอร์นี้คือจำนวนสูงสุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ตัวอย่างเช่นในชุด

ตัวอย่างเช่น มีเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสองตัวเท่านั้น x 1 และ x 2 ดังนั้นอันดับของมันคือ 2

เห็นได้ชัดว่าหากมีเวกเตอร์ในชุดมากกว่าขนาด ( เค>เอ็น) จากนั้นพวกมันจำเป็นต้องขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

อันดับเมทริกซ์(แสดงโดยอันดับ ( ก)) คืออันดับของระบบเวกเตอร์ที่ประกอบด้วย แม้ว่าเมทริกซ์ใดๆ สามารถแสดงได้สองวิธี (เวกเตอร์คอลัมน์หรือเวกเตอร์แถว) สิ่งนี้จะไม่ส่งผลต่อค่าอันดับ เนื่องจาก

1.14. เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์สี่เหลี่ยม กเรียกว่าไม่เสื่อมถ้ามีเอกลักษณ์ ย้อนกลับเมทริกซ์ ก-1 กำหนดตามเงื่อนไข

เอ.เอ −1 = ก −1 ก = ฉัน.

ไม่มีเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ทั้งหมด เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความไม่เสื่อมถอยคือ

เดช ( ก) ≠ 0 หรืออันดับ ( ก) = เอ็น.

การผกผันเมทริกซ์เป็นขั้นตอนที่ซับซ้อนซึ่งมีโปรแกรมพิเศษ ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 17 เมทริกซ์ผกผัน

เราให้สูตรสำหรับกรณีที่ง่ายที่สุด - เมทริกซ์ 2 × 2

ถ้าเมทริกซ์ กและ ขเป็นผู้ไม่เสื่อมแล้ว

(เอบี) −1 = ข −1 ก −1 .

1.15 น. เมทริกซ์ผกผันเทียม

ถ้าเมทริกซ์ กเสื่อมสภาพและไม่มีเมทริกซ์ผกผัน ในบางกรณีเราสามารถใช้ ผกผันหลอกเมทริกซ์ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นเมทริกซ์ดังกล่าว ก+ นั่น

เอ.เอ + ก = ก.

เมทริกซ์ผกผันหลอกไม่ได้เป็นเพียงรูปแบบเดียวและรูปแบบขึ้นอยู่กับวิธีการสร้าง ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยม คุณสามารถใช้วิธีมัวร์-เพนโรสได้

หากจำนวนคอลัมน์น้อยกว่าจำนวนแถว ดังนั้น

ก + =(กที ก) −1 กที

ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 17a การผกผันเมทริกซ์หลอก

หากจำนวนคอลัมน์มากกว่าจำนวนแถว ดังนั้น

ก + =กเสื้อ ( เอ.เอเสื้อ) −1

1.16. การคูณเวกเตอร์ด้วยเมทริกซ์

เวกเตอร์ xสามารถคูณด้วยเมทริกซ์ กมิติที่เหมาะสม ในกรณีนี้ เวกเตอร์คอลัมน์จะถูกคูณทางด้านขวา ขวานและสตริงเวกเตอร์อยู่ทางด้านซ้าย xที ก. ถ้ามิติของเวกเตอร์ เจและมิติของเมทริกซ์ ฉัน× เจผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ของมิติ ฉัน. ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 18 การคูณเมทริกซ์เวกเตอร์

ถ้าเมทริกซ์ ก- สี่เหลี่ยม ( ฉัน× ฉัน) แล้วเวกเตอร์ ย = ขวานมีขนาดเท่ากับ x. เห็นได้ชัดว่า

ก(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 ขวาน 1 + α 2 ขวาน 2 .

ดังนั้นเมทริกซ์จึงถือได้ว่าเป็นการแปลงเชิงเส้นของเวกเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง x = x, วัว = 0 .

2. ข้อมูลเพิ่มเติม

2.1. ระบบสมการเชิงเส้น

ปล่อย ก- ขนาดเมทริกซ์ ฉัน× เจ, ก ข- เวกเตอร์มิติ เจ. พิจารณาสมการ

ขวาน = ข

เกี่ยวกับเวกเตอร์ xขนาด ฉัน. โดยพื้นฐานแล้วนี่คือระบบของ ฉัน สมการเชิงเส้นกับ เจไม่ทราบ x 1 ,...,x เจ. ทางออกมีอยู่ก็ต่อเมื่อ

อันดับ ( ก) = อันดับ ( ข) = ร,

ที่ไหน ขเป็นเมทริกซ์มิติเสริม ฉัน×( J+1) ประกอบด้วยเมทริกซ์ กเบาะด้วยคอลัมน์ ข, ข = (ก ข). มิฉะนั้นสมการจะไม่สอดคล้องกัน

ถ้า ร = ฉัน = เจแล้วโซลูชันจะไม่ซ้ำกัน

x = ก −1 ข.

ถ้า ร < ฉันจึงมีวิธีแก้ปัญหาต่างๆ มากมายที่สามารถแสดงในรูปของผลรวมเชิงเส้น เจ−รเวกเตอร์ ระบบ สมการเอกพันธ์ ขวาน = 0 ด้วยเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส ก (เอ็น× เอ็น) มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ ( x ≠ 0 ) ถ้าและถ้าตรวจพบ ( ก) = 0 ถ้า ร= อันดับ ( ก)<เอ็นแล้วมี เอ็น−รสารละลายอิสระเชิงเส้น

2.2. รูปแบบทวิเนียร์และกำลังสอง

ถ้า กเป็นเมทริกซ์จตุรัส และ xและ ย- เวกเตอร์ของมิติที่สอดคล้องกัน จากนั้นผลคูณของสเกลาร์ของแบบฟอร์ม xที อายเรียกว่า ทวิรูปร่างที่กำหนดโดยเมทริกซ์ ก. ที่ x = ยการแสดงออก xที ขวานเรียกว่า กำลังสองรูปร่าง.

2.3. เมทริกซ์บวกแน่นอน

เมทริกซ์สี่เหลี่ยม กเรียกว่า บวกแน่นอน, ถ้าสำหรับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ x ≠ 0 ,

xที ขวาน > 0.

เดอะ เชิงลบ (xที ขวาน < 0), ไม่เป็นลบ (xที ขวาน≥ 0) และ ไม่เป็นบวก (xที ขวาน≤ 0) เมทริกซ์บางตัว

2.4. การสลายตัวของ Cholesky

ถ้าเมทริกซ์สมมาตร กเป็นบวกแน่นอน แล้วมีเมทริกซ์สามเหลี่ยมเฉพาะ ยูด้วยองค์ประกอบเชิงบวกซึ่ง

ก = ยูที ยู.

ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 19 การสลายตัวของโคเลสกี้

2.5. การสลายตัวของขั้ว

ปล่อย กเป็นเมทริกซ์กำลังสองที่ไม่เสื่อมของมิติ เอ็น× เอ็น. แล้วมีเอกลักษณ์ ขั้วโลกการเป็นตัวแทน

ก = เอสอาร์

ที่ไหน สเป็นเมทริกซ์สมมาตรที่ไม่เป็นลบ และ รเป็นเมทริกซ์มุมฉาก เมทริกซ์ สและ รสามารถกำหนดได้อย่างชัดเจน:

ส 2 = เอ.เอเสื้อ หรือ ส = (เอ.เอเสื้อ) ½ และ ร = ส −1 ก = (เอ.เอเสื้อ) −½ ก.

ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 20 การสลายตัวของขั้วโลก

ถ้าเมทริกซ์ กเสื่อมสลายแล้วการสลายตัวจะไม่ซ้ำกัน - กล่าวคือ: สยังอยู่คนเดียว แต่ รอาจมีมากมาย การสลายตัวของขั้วโลกแสดงถึงเมทริกซ์ กเป็นการผสมผสานการบีบอัด / การยืด สและการเลี้ยว ร.

2.6. ค่าลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะ

ปล่อย กเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส เวกเตอร์ โวลต์เรียกว่า เวกเตอร์ของตัวเองเมทริกซ์ ก, ถ้า

เฉลี่ย = λ โวลต์,

โดยที่หมายเลข λ ถูกเรียก ค่าลักษณะเฉพาะเมทริกซ์ ก. ดังนั้นการแปลงที่เมทริกซ์ดำเนินการ กบนเวกเตอร์ โวลต์, ลดลงเป็นการยืดหรือบีบอัดอย่างง่ายด้วยปัจจัย λ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะถูกกำหนดขึ้นจากการคูณด้วยค่าคงที่ α ≠ 0 นั่นคือ ถ้า โวลต์เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ แล้วก็ α โวลต์ยังเป็นเวกเตอร์ไอเกน

2.7. ค่าลักษณะเฉพาะ

ที่เมทริกซ์ ก, มิติ ( เอ็น× เอ็น) ไม่สามารถมากกว่า เอ็นค่าลักษณะเฉพาะ พวกเขาพอใจ สมการคุณลักษณะ

เดช ( ก − λ ฉัน) = 0,

สิ่งมีชีวิต สมการพีชคณิต เอ็น-ลำดับที่. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับเมทริกซ์ 2×2 สมการคุณลักษณะจะมีรูปแบบ

ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 21 ค่าลักษณะเฉพาะ

เซตของค่าลักษณะเฉพาะ λ 1 ,..., λ เอ็นเมทริกซ์ กเรียกว่า คลื่นความถี่ ก.

สเปกตรัมมีคุณสมบัติต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

เดช ( ก) = λ 1×...×λ เอ็น, สเปซ( ก) = λ 1 +...+λ เอ็น.

ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์โดยพลการสามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ แต่ถ้าเมทริกซ์นั้นสมมาตร ( กเสื้อ = ก) จากนั้นค่าลักษณะเฉพาะของมันจะเป็นจริง

2.8. ไอเกนเวกเตอร์

ที่เมทริกซ์ ก, มิติ ( เอ็น× เอ็น) ไม่สามารถมากกว่า เอ็น eigen vectors ซึ่งแต่ละค่าสอดคล้องกับค่าของมันเอง เพื่อกำหนดเวกเตอร์ไอเกน โวลต์ นคุณต้องแก้ระบบสมการเอกพันธ์

(ก − λ น ฉัน)โวลต์ น = 0 .

มันมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญเพราะ det( เอ-λ น ฉัน) = 0.

ตัวอย่างเช่น,

ข้าว. 22 ไอเกนเวกเตอร์

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สมมาตรเป็นแบบตั้งฉาก

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์กำลังสองคือเวกเตอร์ที่เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ที่กำหนด จะได้เวกเตอร์คอลลิเนียร์ ด้วยคำพูดง่ายๆเมื่อเมทริกซ์ถูกคูณด้วยไอเกนเวกเตอร์ เมทริกซ์จะยังคงเหมือนเดิม แต่คูณด้วยจำนวนบางตัว

คำนิยาม

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะคือเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ V ซึ่งเมื่อคูณด้วยเมทริกซ์จัตุรัส M จะกลายเป็นตัวมันเอง โดยเพิ่มขึ้นด้วยจำนวน λ ในสัญกรณ์พีชคณิต จะมีลักษณะดังนี้:

M × V = λ × V,

โดยที่ λ เป็นค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ M

ลองพิจารณาตัวอย่างตัวเลข เพื่อความสะดวกในการเขียน ตัวเลขในเมทริกซ์จะถูกคั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค สมมติว่าเรามีเมทริกซ์:

• ม = 0; สี่;
• 6; 10.

ลองคูณด้วยเวกเตอร์คอลัมน์:

• V = -2;

เมื่อคูณเมทริกซ์ด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ เราจะได้เวกเตอร์คอลัมน์ด้วย ในภาษาคณิตศาสตร์ที่เคร่งครัด สูตรสำหรับการคูณเมทริกซ์ 2 × 2 ด้วยเวกเตอร์คอลัมน์จะมีลักษณะดังนี้:

• ม × ว = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 x V11 + M22 x V21

M11 หมายถึงองค์ประกอบของเมทริกซ์ M ซึ่งอยู่ในแถวแรกและคอลัมน์แรก และ M22 เป็นองค์ประกอบที่อยู่ในแถวที่สองและคอลัมน์ที่สอง สำหรับเมทริกซ์ของเรา องค์ประกอบเหล่านี้คือ M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10 สำหรับเวกเตอร์คอลัมน์ ค่าเหล่านี้คือ V11 = –2, V21 = 1 ตามสูตรนี้ เราได้รับสิ่งต่อไปนี้ ผลลัพธ์ของผลคูณของเมทริกซ์จัตุรัสโดยเวกเตอร์:

• ม × ว = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2

เพื่อความสะดวก เราเขียนเวกเตอร์คอลัมน์ลงในแถว ดังนั้นเราจึงคูณเมทริกซ์กำลังสองด้วยเวกเตอร์ (-2; 1) ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ (4; -2) เห็นได้ชัดว่านี่คือเวกเตอร์เดียวกันคูณด้วย λ = -2 แลมบ์ดาในกรณีนี้หมายถึงค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์คือเวกเตอร์เชิงเส้น นั่นคือวัตถุที่ไม่เปลี่ยนตำแหน่งในอวกาศเมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ แนวคิดของความเป็นเส้นตรงในพีชคณิตของเวกเตอร์นั้นคล้ายคลึงกับคำว่าความขนานในเรขาคณิต ในการตีความทางเรขาคณิต เวกเตอร์ collinear คือส่วนที่ขนานกันซึ่งมีความยาวต่างกัน ตั้งแต่สมัยของ Euclid เรารู้ว่าเส้นตรงหนึ่งเส้นมีเส้นขนานขนานกันเป็นจำนวนไม่จำกัด ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะสันนิษฐานว่าแต่ละเมทริกซ์มีจำนวนไอเกนเวกเตอร์เป็นจำนวนไม่สิ้นสุด

จากตัวอย่างที่แล้ว จะเห็นได้ว่าทั้ง (-8; 4) และ (16; -8) และ (32, -16) สามารถเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะได้ ทั้งหมดนี้เป็นเวกเตอร์เชิงเส้นที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ = -2 เมื่อคูณเมทริกซ์ดั้งเดิมด้วยเวกเตอร์เหล่านี้ เราจะยังได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ซึ่งแตกต่างจากต้นฉบับ 2 เท่า นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม ในการแก้ปัญหาการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ จึงจำเป็นต้องค้นหาวัตถุเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นเท่านั้น ส่วนใหญ่แล้ว สำหรับเมทริกซ์ขนาด n × n จะมีจำนวนไอเกนเวกเตอร์เป็นลำดับที่ n เครื่องคิดเลขของเราได้รับการออกแบบมาสำหรับการวิเคราะห์เมทริกซ์กำลังสองอันดับสอง ดังนั้นจึงมักจะพบเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสองตัว ยกเว้นเมื่อตรงกัน

ในตัวอย่างข้างต้น เรารู้ล่วงหน้าถึงเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ดั้งเดิมและกำหนดหมายเลขแลมบ์ดาด้วยสายตา อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติทุกอย่างเกิดขึ้นในทางตรงกันข้าม: ในตอนแรกมีค่าลักษณะเฉพาะและจากนั้นเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

อัลกอริทึมโซลูชัน

ลองดูเมทริกซ์เดิม M อีกครั้งแล้วลองหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั้งสองตัว ดังนั้นเมทริกซ์จึงมีลักษณะดังนี้:

• ม = 0; สี่;
• 6; 10.

ในการเริ่มต้น เราต้องหาค่าลักษณะเฉพาะ λ ซึ่งเราต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้:

• (0 − λ); สี่;
• 6; (10 − λ).

เมทริกซ์นี้ได้จากการลบ λ ที่ไม่รู้จักออกจากองค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลัก ดีเทอร์มิแนนต์ถูกกำหนดโดยสูตรมาตรฐาน:

• เดตเอ = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

เนื่องจากเวกเตอร์ของเราต้องไม่เป็นศูนย์ เราจึงใช้สมการผลลัพธ์ว่าขึ้นต่อกันเชิงเส้นและจัดดีเทอร์มีแนนต์ detA เป็นศูนย์

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

เปิดวงเล็บและรับสมการคุณลักษณะของเมทริกซ์:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

นี่คือมาตรฐาน สมการกำลังสองซึ่งจะต้องแก้ไขในแง่ของการแยกแยะ

D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

รากของการเลือกปฏิบัติคือ sqrt(D) = 14 ดังนั้น λ1 = -2, λ2 = 12 ตอนนี้สำหรับค่าแลมบ์ดาแต่ละค่า เราต้องหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ให้เราแสดงค่าสัมประสิทธิ์ของระบบสำหรับ λ = -2

• M − λ × E = 2; สี่;
• 6; 12.

ในสูตรนี้ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ จากเมทริกซ์ที่ได้รับ เราสร้างระบบสมการเชิงเส้น:

2x + 4y = 6x + 12y

โดยที่ x และ y เป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ลองรวบรวม X ทั้งหมดทางซ้ายและ Y ทั้งหมดทางขวา แน่นอน - 4x = 8y หารนิพจน์ด้วย - 4 และรับ x = -2y ตอนนี้เราสามารถกำหนดเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแรกของเมทริกซ์ได้โดยการรับค่าใด ๆ ของค่าที่ไม่รู้จัก สมมติว่า y = 1 แล้ว x = -2 ดังนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะตัวแรกจึงดูเหมือน V1 = (–2; 1) กลับไปที่จุดเริ่มต้นของบทความ มันเป็นวัตถุเวกเตอร์ที่เราคูณเมทริกซ์เพื่อแสดงแนวคิดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ทีนี้มาหาเวกเตอร์ไอเกนสำหรับ λ = 12 กัน

• M - λ × E = -12; สี่
• 6; -2.

ให้เราสร้างระบบสมการเชิงเส้นเดียวกัน

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6ย
• 3x=ย.

ตอนนี้ให้ x = 1 ดังนั้น y = 3 ดังนั้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะตัวที่สองจึงดูเหมือน V2 = (1; 3) เมื่อคูณเมทริกซ์เดิมด้วยเวกเตอร์นี้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเวกเตอร์เดิมคูณด้วย 12 เสมอ วิธีนี้ทำให้อัลกอริทึมการแก้ปัญหาเสร็จสมบูรณ์ ตอนนี้คุณรู้วิธีกำหนดเวกเตอร์ไอเกนของเมทริกซ์ด้วยตนเองแล้ว

• ปัจจัย;
• ติดตาม นั่นคือผลรวมขององค์ประกอบในแนวทแยงหลัก
• อันดับ เช่น จำนวนสูงสุดของแถว/คอลัมน์ที่เป็นอิสระเชิงเส้น

โปรแกรมทำงานตามอัลกอริทึมข้างต้น ลดขั้นตอนการแก้ปัญหา สิ่งสำคัญคือต้องชี้ให้เห็นว่าในโปรแกรมแลมบ์ดาจะแสดงด้วยตัวอักษร "c" มาดูตัวอย่างตัวเลขกัน

ตัวอย่างโปรแกรม

ลองนิยามเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับเมทริกซ์ต่อไปนี้:

• ม=5; 13;
• 4; 14.

ป้อนค่าเหล่านี้ลงในเซลล์ของเครื่องคิดเลขและรับคำตอบในรูปแบบต่อไปนี้:

• อันดับเมทริกซ์: 2;
• ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์: 18;
• การติดตามเมทริกซ์: 19;
• การคำนวณเวกเตอร์ไอเกน: c 2 − 19.00c + 18.00 (สมการลักษณะเฉพาะ);
• การคำนวณเวกเตอร์ไอเกน: 18 (ค่าแลมบ์ดาแรก);
• การคำนวณเวกเตอร์ไอเกน: 1 (ค่าแลมบ์ดาที่สอง);
• ระบบสมการเวกเตอร์ 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• ระบบสมการเวกเตอร์ 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• ไอเกนเวกเตอร์ 1: (1; 1);
• ไอเกนเวกเตอร์ 2: (-3.25; 1)

ดังนั้นเราจึงได้รับไอเกนเวกเตอร์สองตัวที่เป็นอิสระเชิงเส้น

บทสรุป

พีชคณิตเชิงเส้นและ เรขาคณิตวิเคราะห์- วิชามาตรฐานสำหรับน้องใหม่ด้านเทคนิคพิเศษ จำนวนมากเวกเตอร์และเมทริกซ์นั้นน่ากลัว และง่ายที่จะทำผิดพลาดในการคำนวณที่ยุ่งยากเช่นนี้ โปรแกรมของเราจะช่วยให้นักเรียนตรวจสอบการคำนวณหรือแก้ปัญหาการหาค่าลักษณะเฉพาะโดยอัตโนมัติ มีเครื่องคำนวณพีชคณิตเชิงเส้นอื่นๆ ในแค็ตตาล็อกของเรา ใช้ในการเรียนหรือทำงานของคุณ

คำจำกัดความ 9.3เวกเตอร์ เอ็กซ์ เรียกว่า เวกเตอร์ของตัวเองเมทริกซ์ และหากมีตัวเลขดังกล่าว λ, ที่ความเท่าเทียมกันถือ: และ เอ็กซ์= λ เอ็กซ์, นั่นคือผลลัพธ์ของการสมัคร เอ็กซ์ การแปลงเชิงเส้นที่กำหนดโดยเมทริกซ์ และคือการคูณเวกเตอร์นี้ด้วยจำนวน λ . เบอร์ตัวเอง λ เรียกว่า หมายเลขของตัวเองเมทริกซ์ และ.

การแทนค่าในสูตร (9.3) x` j = λx j ,เราได้ระบบสมการสำหรับกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ:

. (9.5)

ระบบเอกพันธ์เชิงเส้นนี้จะมีคำตอบที่ไม่สำคัญก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์หลักคือ 0 (กฎของแครมเมอร์) โดยเขียนเงื่อนไขนี้ในรูปแบบ:

เราได้สมการสำหรับหาค่าลักษณะเฉพาะ λ เรียกว่า สมการคุณลักษณะ. โดยสังเขปสามารถแสดงได้ดังนี้

| เอ-λE | = 0, (9.6)

เนื่องจากด้านซ้ายเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์ เอ-λE. พหุนามที่เกี่ยวกับ เล | เอ-λE| เรียกว่า พหุนามลักษณะเฉพาะเมทริกซ์ ก.

คุณสมบัติของพหุนามลักษณะเฉพาะ:

1) พหุนามลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของพื้นฐาน การพิสูจน์. (ดู (9.4)) แต่ เพราะเหตุนี้, . ดังนั้นจึงไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกพื้นฐาน ดังนั้น และ | เอ-λE| ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเปลี่ยนไปใช้พื้นฐานใหม่

2) ถ้าเมทริกซ์ และการแปลงเชิงเส้นคือ สมมาตร(เหล่านั้น. aij = จิ) จากนั้นรูตทั้งหมด สมการคุณลักษณะ(9.6) เป็นจำนวนจริง

คุณสมบัติของค่าลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะ:

1) ถ้าเราเลือกพื้นฐานจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ x 1, x 2, x 3 สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ 1 , λ 2 , λ 3เมทริกซ์ และดังนั้น ในพื้นฐานนี้ การแปลงเชิงเส้น A มีเมทริกซ์แนวทแยง:

(9.7) การพิสูจน์คุณสมบัตินี้เป็นไปตามคำจำกัดความของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

2) ถ้าการเปลี่ยนแปลงค่าลักษณะเฉพาะ และแตกต่างกัน ดังนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับพวกมันจะเป็นอิสระเชิงเส้น

3) ถ้าพหุนามคุณลักษณะของเมทริกซ์ และมีสามรากที่แตกต่างกัน จากนั้นในบางพื้นฐานเมทริกซ์ และมีรูปร่างทแยง

มาหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์กันเถอะ สร้างสมการคุณลักษณะ: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0 λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าที่พบแต่ละค่า λ. จาก (9.5) จะได้ว่า ถ้า เอ็กซ์ (1) ={x 1 , x 2 , x 3) เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ตรงกับ λ 1 = -2 แล้ว

เป็นระบบความร่วมมือแต่ไม่แน่นอน สามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาได้เป็น เอ็กซ์ (1) ={ก,0,-ก) โดยที่ a คือจำนวนใดๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณต้องการที่ | x (1) |=1, เอ็กซ์ (1) =

ทดแทนเข้าสู่ระบบ (9.5) λ 2 =3 เราได้ระบบสำหรับกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอง - x (2) ={y1,y2,y3}:

, ที่ไหน เอ็กซ์ (2) ={ข,-ข,ข) หรือ ให้ | x (2) |=1, x (2) =

สำหรับ λ 3 = 6 หาเวกเตอร์ไอเกน x (3) ={z1, z2, z3}:

, x (3) ={ค,2ค,ค) หรือในเวอร์ชันปกติ

x (3) = จะเห็นได้ว่า เอ็กซ์ (1) เอ็กซ์ (2) = เอบีเอ= 0, x (1) x (3) = ไฟฟ้ากระแสสลับ= 0, x (2) x (3) = พ.ศ- 2พ.ศ. + พ.ศ= 0 ดังนั้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้จึงเป็นมุมฉากแบบคู่

การบรรยายครั้งที่ 10

รูปแบบกำลังสองและการเชื่อมต่อกับเมทริกซ์สมมาตร คุณสมบัติของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สมมาตร การลดรูปแบบกำลังสองเป็นรูปแบบบัญญัติ

คำจำกัดความ 10.1แบบฟอร์มกำลังสองตัวแปรจริง x 1, x 2,…, xnพหุนามของดีกรีสองที่เกี่ยวกับตัวแปรเหล่านี้เรียกว่า ซึ่งไม่มีเทอมอิสระและเทอมของดีกรีแรก

ตัวอย่างของรูปแบบกำลังสอง:

(น = 2),

(น = 3). (10.1)

จำคำจำกัดความของเมทริกซ์สมมาตรที่ให้ไว้ในการบรรยายครั้งล่าสุด:

คำจำกัดความ 10.2เมทริกซ์จตุรัส เรียก สมมาตร, ถ้า , นั่นคือถ้าองค์ประกอบเมทริกซ์สมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน

คุณสมบัติของค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สมมาตร:

1) ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์สมมาตรเป็นจริง

หลักฐาน (สำหรับ น = 2).

ให้เมทริกซ์ และดูเหมือนกับ: . มาสร้างสมการคุณลักษณะกันเถอะ:

(10.2) ค้นหาผู้จำแนก:

ดังนั้นสมการจึงมีรากจริงเท่านั้น

2) เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สมมาตรเป็นแบบตั้งฉาก

หลักฐาน (สำหรับ น= 2).

พิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและต้องเป็นไปตามสมการ

เมทริกซ์ประเภทแนวทแยงนั้นถูกจัดเรียงอย่างเรียบง่ายที่สุด คำถามเกิดขึ้นว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะหาพื้นฐานที่เมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้นจะมีรูปแบบในแนวทแยง มีพื้นฐานดังกล่าวอยู่
ให้ปริภูมิเชิงเส้น R n และตัวดำเนินการเชิงเส้น A ทำหน้าที่แทน ในกรณีนี้ โอเปอเรเตอร์ A จะรับ R n เข้ามาในตัวเอง นั่นคือ A:R n → R n

คำนิยาม. เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เรียกว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A หากตัวดำเนินการ A แปลเป็นเวกเตอร์ที่เรียงตัวกัน นั่นคือ จำนวน λ เรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะหรือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A ที่สอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ
เราสังเกตคุณสมบัติบางอย่างของค่าลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะ
1. การรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ไอเกนใดๆ ของตัวดำเนินการ A ที่ตรงกับค่าลักษณะเฉพาะเดียวกัน λ คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีค่าลักษณะเฉพาะเท่ากัน
2. ไอเกนเวกเตอร์ ตัวดำเนินการ A ที่มีค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันแบบคู่ λ 1 , λ 2 , …, λ m เป็นอิสระเชิงเส้น
3. ถ้าค่าลักษณะเฉพาะ λ 1 =λ 2 = λ m = λ ดังนั้นค่าลักษณะเฉพาะ λ จะสอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นไม่เกิน m

ถ้ามีเวกเตอร์ไอเกนอิสระเชิงเส้น n ตัว สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน λ 1 , λ 2 , …, λ n , จากนั้นพวกมันจะเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นจึงสามารถนำมาเป็นพื้นฐานของช่องว่าง R n . ให้เราหารูปแบบของเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น A บนพื้นฐานของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของมัน ซึ่งเราดำเนินการกับตัวดำเนินการ A บนเวกเตอร์พื้นฐาน: แล้ว .
ดังนั้นเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น A บนพื้นฐานของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจึงมีรูปแบบทแยงมุมและค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A อยู่ในแนวทแยง
มีพื้นฐานอื่นอีกหรือไม่ที่เมทริกซ์มีรูปแบบทแยงมุม? คำตอบสำหรับคำถามนี้ได้มาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท. เมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น A ในพื้นฐาน (i = 1..n) มีรูปแบบทแยงก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ทั้งหมดของพื้นฐานเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A

กฎสำหรับการค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ให้เวกเตอร์ โดยที่ x 1 , x 2 , …, x n - พิกัดของเวกเตอร์ที่สัมพันธ์กับพื้นฐาน และเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น A ที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ , เช่น . ความสัมพันธ์นี้สามารถเขียนในรูปเมทริกซ์

. (*)

สมการ (*) ถือได้ว่าเป็นสมการสำหรับการค้นหา และ นั่นคือเราสนใจ โซลูชั่นที่ไม่สำคัญเนื่องจากเวกเตอร์ไอเกนไม่สามารถเป็นโมฆะได้ เป็นที่ทราบกันดีว่าวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันสมการเชิงเส้นจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ det(A - λE) = 0 ดังนั้น เพื่อให้ λ เป็นค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A จึงมีความจำเป็นและเพียงพอที่ det(A - λE) = 0
หากเขียนสมการ (*) โดยละเอียดในรูปแบบพิกัด เราจะได้ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น:

(1)
ที่ไหน เป็นเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น

ระบบ (1) มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่ศูนย์ ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ D มีค่าเท่ากับศูนย์

เราได้สมการสำหรับหาค่าลักษณะเฉพาะ
สมการนี้เรียกว่าสมการคุณลักษณะ และด้านซ้ายเรียกว่าพหุนามคุณลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ (ตัวดำเนินการ) A หากพหุนามคุณลักษณะไม่มีรากจริง เมทริกซ์ A จะไม่มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและไม่สามารถลดขนาดให้อยู่ในรูปเส้นทแยงมุมได้
ให้ λ 1 , λ 2 , …, λ n เป็นรากที่แท้จริงของสมการคุณลักษณะ และอาจมีผลคูณระหว่างกัน เมื่อแทนค่าเหล่านี้เป็นระบบ (1) เราจะพบเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 12 ตัวดำเนินการเชิงเส้น A ทำหน้าที่ใน R 3 ตามกฎหมาย โดยที่ x 1 , x 2 , .., xn เป็นพิกัดของเวกเตอร์ในพื้นฐาน , , . ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการนี้
การตัดสินใจ. เราสร้างเมทริกซ์ของตัวดำเนินการนี้:
.
เราสร้างระบบสำหรับกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ:

เราสร้างสมการคุณลักษณะและแก้ปัญหา:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3
แทน λ = -1 ในระบบ เราได้:
หรือ
เนื่องจาก จากนั้นมีตัวแปรตามสองตัวและตัวแปรอิสระหนึ่งตัว
ให้ x 1 เป็นค่าที่ไม่รู้จักฟรี เราแก้ปัญหาระบบนี้ด้วยวิธีใดก็ได้และค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบนี้: ระบบพื้นฐานของโซลูชันประกอบด้วยโซลูชันเดียวเนื่องจาก n - r = 3 - 2 = 1
เซตของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ = -1 มีรูปแบบ: โดยที่ x 1 คือจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ลองเลือกเวกเตอร์หนึ่งตัวจากเซตนี้ เช่น โดยตั้งค่า x 1 = 1: .
ในทำนองเดียวกัน เราพบเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ = 3: .
ในปริภูมิ R 3 พื้นฐานประกอบด้วยเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสามตัว แต่เราได้เวกเตอร์ไอเกนอิสระเชิงเส้นเพียงสองตัว ซึ่งพื้นฐานใน R 3 ไม่สามารถสร้างได้ ดังนั้น เมทริกซ์ A ของตัวดำเนินการเชิงเส้นจึงไม่สามารถลดขนาดให้อยู่ในรูปเส้นทแยงมุมได้

ตัวอย่างที่ 13 กำหนดเมทริกซ์ .
1. พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A จงหาค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนี้
2. ค้นหาพื้นฐานที่เมทริกซ์ A มีรูปแบบทแยงมุม
การตัดสินใจ.
1. ถ้า แล้ว เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

.
เวกเตอร์ (1, 8, -1) เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ค่าลักษณะเฉพาะ λ = -1
เมทริกซ์มีรูปแบบทแยงในพื้นฐานประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ หนึ่งในนั้นมีชื่อเสียง ไปหาที่เหลือกันเถอะ
เรากำลังมองหาไอเกนเวกเตอร์จากระบบ:

สมการลักษณะ: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1
ค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ = -3:

อันดับของเมทริกซ์ของระบบนี้เท่ากับสองและเท่ากับจำนวนที่ไม่รู้จัก ดังนั้นระบบนี้จึงมีคำตอบเป็นศูนย์เท่านั้น x 1 = x 3 = 0 x 2 ในที่นี้สามารถเป็นอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ศูนย์ เช่น x 2 = 1 ดังนั้น เวกเตอร์ (0 ,1,0) จึงเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับ λ = -3 ตรวจสอบ:
.
ถ้า λ = 1 จะได้ระบบ
อันดับของเมทริกซ์คือสอง ข้ามสมการสุดท้ายออกไป
ให้ x 3 เป็นค่าที่ไม่รู้จักฟรี จากนั้น x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3
สมมติว่า x 3 = 1 เรามี (-3,-9,1) - เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ = 1 ตรวจสอบ:

.
เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะเป็นค่าจริงและแตกต่างกัน เวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องจึงเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นจึงสามารถนำมาเป็นฐานใน R 3 . ดังนั้นในพื้นฐาน , , เมทริกซ์ A มีรูปแบบดังนี้
.
ไม่ใช่ทุกเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น A:R n → R n ที่สามารถลดขนาดให้อยู่ในรูปทแยงได้ เนื่องจากสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นบางตัวอาจมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นน้อยกว่า n ตัว อย่างไรก็ตาม หากเมทริกซ์เป็นแบบสมมาตร แสดงว่าเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น m ตรงกับรูทของสมการคุณลักษณะของหลายหลาก m

คำนิยาม. เมทริกซ์สมมาตรคือเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบที่สมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน นั่นคือ .
หมายเหตุ. 1. ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์สมมาตรเป็นค่าจริง
2. เวกเตอร์ไอเกนของเมทริกซ์สมมาตรที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่ต่างกันแบบคู่นั้นเป็นมุมฉาก
ในฐานะที่เป็นหนึ่งในหลาย ๆ แอปพลิเคชันของอุปกรณ์ที่ศึกษา เราพิจารณาปัญหาในการกำหนดรูปแบบของเส้นโค้งอันดับสอง

www.siteช่วยให้คุณค้นหา เว็บไซต์ทำการคำนวณ ในไม่กี่วินาที เซิร์ฟเวอร์จะให้คำตอบที่ถูกต้อง สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์จะเป็นนิพจน์พีชคณิตที่พบโดยกฎสำหรับการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ เมทริกซ์ เมทริกซ์ในขณะที่เส้นทแยงมุมหลักจะมีความแตกต่างในค่าขององค์ประกอบในแนวทแยงและตัวแปร เมื่อคำนวณ สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์, แต่ละองค์ประกอบ เมทริกซ์จะถูกคูณด้วยองค์ประกอบอื่น ๆ ที่สอดคล้องกัน เมทริกซ์. ค้นหาในโหมด ออนไลน์เป็นไปได้สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่านั้น เมทริกซ์. ค้นหาการดำเนินการ สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์ลดการคำนวณผลรวมเชิงพีชคณิตของผลคูณขององค์ประกอบ เมทริกซ์อันเป็นผลมาจากการหาดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์เฉพาะเพื่อวัตถุประสงค์ในการพิจารณา สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์. การดำเนินการนี้ใช้สถานที่พิเศษในทฤษฎี เมทริกซ์ช่วยให้คุณค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์โดยใช้ราก หางาน สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์คือการคูณองค์ประกอบ เมทริกซ์ด้วยผลรวมที่ตามมาของผลิตภัณฑ์เหล่านี้ตามกฎบางอย่าง www.siteพบ สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ขนาดที่กำหนดในโหมด ออนไลน์. การคำนวณ สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์สำหรับมิติที่กำหนด นี่คือการหาพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขหรือสัญลักษณ์ที่พบตามกฎสำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ เมทริกซ์- เป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง เมทริกซ์เฉพาะเพื่อวัตถุประสงค์ในการพิจารณา สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์. การหาพหุนามที่เกี่ยวกับตัวแปรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เมทริกซ์เป็นคำนิยาม สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์, ทั่วไปในทางทฤษฎี เมทริกซ์. ค่าของรากของพหุนาม สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์ใช้เพื่อกำหนดลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะของ เมทริกซ์. อย่างไรก็ตามหากตัวกำหนด เมทริกซ์จะเป็นศูนย์แล้ว สมการคุณลักษณะของเมทริกซ์จะยังคงมีอยู่ไม่เหมือนกับสิ่งที่ตรงกันข้าม เมทริกซ์. เพื่อที่จะคำนวณ สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์หรือค้นหาหลายรายการพร้อมกัน สมการคุณลักษณะของเมทริกซ์คุณต้องใช้เวลาและความพยายามอย่างมากในขณะที่เซิร์ฟเวอร์ของเราจะค้นหา สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์. ในกรณีนี้ คำตอบโดยการค้นหา สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์จะถูกต้องและมีความแม่นยำเพียงพอแม้ว่าตัวเลขเมื่อค้นหา สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์จะไร้เหตุผล ออนไลน์ www.siteอนุญาตให้ป้อนอักขระในองค์ประกอบ เมทริกซ์, นั่นคือ สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์สามารถแสดงในรูปแบบสัญลักษณ์ทั่วไปเมื่อคำนวณ เมทริกซ์สมการคุณลักษณะออนไลน์. มีประโยชน์ในการตรวจสอบคำตอบที่ได้รับเมื่อแก้ปัญหาการค้นหา สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์ใช้เว็บไซต์ www.site. เมื่อดำเนินการคำนวณพหุนาม - สมการคุณลักษณะของเมทริกซ์มีความจำเป็นต้องเอาใจใส่และเข้มข้นอย่างยิ่งในการแก้ปัญหานี้ ในทางกลับกัน เว็บไซต์ของเราจะช่วยคุณตรวจสอบการตัดสินใจของคุณในหัวข้อนี้ เมทริกซ์สมการคุณลักษณะออนไลน์. หากคุณไม่มีเวลาตรวจสอบปัญหาที่ได้รับการแก้ไขเป็นเวลานาน www.siteจะเป็นเครื่องมือที่สะดวกในการตรวจสอบเมื่อค้นหาและคำนวณอย่างแน่นอน สมการคุณลักษณะสำหรับเมทริกซ์ออนไลน์.